Geometria wykreślna 6. Punkty przebicia, przenikanie wielościanów. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1
6. Punkty przebicia, przenikanie wielościanów. Metody przebicia wielościanów schematy ogólne Przebicie metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Przebicie metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek wielościanu Przenikanie wielościanów schematy ogólne Przenikanie wielościanów zadania
Przebicie schemat metody rozwiązania g p 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez prostą p. 2. Wyznaczamy wielokąt przekroju płaszczyzny g z wielościanem. 3. Punkty przecięcia się wielokąta przekroju z prostą p są szukanymi punktami przebicia.
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W D C f A 4 D C f B W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W 1. Przyjmujemy pomocniczą płaszczyznę g przechodzącą przez prostą f. D C g f A D f B C 5 W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W D C f 2. Wyznaczamy wielokąt przekroju płaszczyzny g z wielościanem g A (trójkąt W12). D f B C 6 W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W 2. Wyznaczamy wielokąt przekroju płaszczyzny g z wielościanem (trójkąt W12). D C g 1 f 2 A D f B 7 C W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W 2. Wyznaczamy wielokąt przekroju płaszczyzny g z wielościanem (trójkąt W12). D C g 1 f 2 A D f B 8 C W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W 3. Punkty przecięcia się trójkąta przekroju W12 z prostą p są szukanymi punktami przebicia. D C g 1 f E F 2 A D f =E =F B 9 C W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W Ustalamy widoczność. D C g 1 f E F 2 A D f =E =F B 10 C W
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą P p R P Q p 11
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Przyjmujemy płaszczyznę g przechodzącą przez prostą p. Ze względu na specyfikę konstrukcji w rzutach Monge a, przyjmujemy położenie rzutujące płaszczyzny, bez znaczenia czy będzie to płaszczyzna poziomo czy pionowo rzutująca. W tym przypadku wybrano położenie poziomo rzutujące. P p R P Q p =g 12
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Wyznaczamy przekrój wielościanu płaszczyzną g. P p R P Q 4 3 p =g 13
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Wyznaczamy przekrój wielościanu płaszczyzną g. P 1 2 4 3 p R P Q 4 3 p =g 14
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Punkty przecięcia się wielokąta przekroju z prostą p to szukane punkty przebicia ( M i N). P 1 M 2 4 N 3 p R P Q 4 3 p =g 15
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Punkty przecięcia się wielokąta przekroju z prostą p to szukane punkty przebicia ( M i N). P 1 M 2 4 N 3 p R P Q M 4 N 3 p =g 16
Przebicie wielościanu metoda z rzutującą płaszczyzną pomocniczą Określamy widoczność. P 1 M 2 4 N 3 p R P Q M 4 N 3 p =g 17
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek D C E E f W A D f C B W 18
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek g = W, f D C E E f W A D f C B W 19
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek g = W, f m = W, F F є f g = f, m D C E f E W F m g D A f m C B F W 20
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek g =f, m L D C E f E W F m K g L D C f B A F m K W 21
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek L D g =f, m f 1 C E E 2 W F m K g L D C f B A F m K W 22
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek L D g =f, m f 1 C E E 2 W F m K g L D C f B A F m K W 23
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek L D g =f, m I f 1 C E E II 2 W F m K g L D C I f B II A F m K W 24
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek L D g =f, m I f 1 C E E II 2 W F m K g L D C I f B II A F m K W 25
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 W 1 p P 2 W p R S Q P 26
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 W 1 p k P g =k,l W l 2 l p R S Q P W W 27 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 1 p k P g =k,l l 2 l p L R S Q P K 28 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 1 p k P K g =k,l l l 2 p L L R S Q P K 29 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 1 p k P K g =k,l l l 2 p L L R S Q P K 30 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 1 p k P 3 K g =k,l l l 2 p 4 L L R S Q P K 31 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 1 p k P 3 K g =k,l l l 2 p 4 L L R S Q P K 32 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 g =k,l l l 1 2 p M p N 4 L L R k S Q P 3 P K K 33 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 g =k,l l l 1 2 p M k M p N 4 L L R 4 S N Q P 3 3 P K K 34 k
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek p=1,2 g =k,l l l 1 2 p k M p N 4 L L R 4 S N Q P 3 3 P K M K 35 k
PRZENIKANIE WIELOŚCIANÓW Zbiór punktów wspólnych powierzchni obu wielościanów nazywamy linią przenikania. Jest to łamana przestrzenna 36
Linia przenikania łamana przestrzenna może składać się z dwóch odrębnych części, może tworzyć przecinające się pętle.
PRZENIKANIE WIELOŚCIANÓW Linię przenikania wyznaczają punkty przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego. 38
P W Zadanie: Wyznacz linię przenikania graniastosłupa PQRS z ostrosłupem WABC P B A C Q S C W R
P W Ponieważ ściany graniastosłupa są rzutujące w rzucie poziomym, rozpoczynamy od wyznaczenia punktów przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Oznaczamy je w rzucie poziomym 1, 2, 3, 4. P B A C 3 Q S C 4 R W
P W 4 3 C Na odpowiednich krawędziach ostrosłupa wyznaczamy rzuty pionowe punktów 1, 2, 3, 4. P B A C 3 Q S 4 W R
P W 4 3 C Następnie wyznaczamy punkty przebicia krawędzi graniastosłupa ze ścianami ostrosłupa. Na ogół na każdej krawędzi biorącej udział w przenikaniu powinny być dwa punkty przebicia. Oznaczamy je w rzucie poziomym i opisujemy 5,6,7,8. P B A C 3 Q =5 =6 S 4 W R =7 =8
P W 4 3 g P C B A C 3 Q =5 =6 W g 2 g 1 R =7 =8 W celu dokładnego wyznaczenia położenia punktów 5,6,7,8 przyjmujemy pomocnicze płaszczyzny g 1 i g 2 przechodzące przez odpowiednie krawędzie graniastosłupa i wierzchołek ostrosłupa W. S 4 W
P V VII W VIII 4 3 VI W g P C V =VI B A C g 3 2 Q =5 =6 g 1 VII =VIII R =7 =8 4 Wyznaczamy trójkąty przekrojów ostrosłupa przez płaszczyzny g 1 i g 2 (W, V, VI i W, VII, VIII). S W
P V 5 W 8 7 VII VIII 4 6 3 VI C Wyznaczamy rzuty pionowe punktów 5, 6, 7, 8 na przecięciu się odpowiednich krawędzi graniastosłupa z trójkątami przekrojów przez płaszczyzny g 1 i g 2. P V =VI VII =VIII B A C 3 Q =5 =6 R =7 =8 4 S W
P V 5 W 8 7 VII VIII 4 6 A + B + C + A P _ Q _ R + S + W celu połączenia punktów przenikania posłużymy się schematem. Pionowo oznaczymy ściany graniastosłupa, poziomo ostrosłupa. Zaznaczamy widoczność ścian. P P B A C 3 Q =5 =6 S 3 C 4 VI V =VI W VII =VIII R =7 =8
P V 5 W 8 7 VII VIII 4 6 A + B + C + A P 1 3 _ Q _ R + S + Na odpowiednie krawędzie ostrosłupa i odpowiednie ściany graniastosłupa nanosimy punkty 1, 2, 3, 4. 4 2 P P 3 C VI V =VI VII =VIII B A C 3 Q =5 =6 R =7 =8 4 S W
P V 5 W 8 7 VII VIII 4 6 A + B + C + A P 1 3 _ Q 6 _ R 5 7 8 + S + Na odpowiednie krawędzie graniastosłupa i odpowiednie ściany ostrosłupa nanosimy punkty 5,6,7,8. 4 2 P P 3 C VI V =VI VII =VIII B A C 3 Q =5 =6 R =7 =8 4 S W
P V 5 W 8 7 VII VIII 4 6 A + B + C + A P 1 3 _ Q 6 _ R 5 7 8 + S + 4 Łączymy punkty, zaznaczając widoczność (aby segmenty linii przenikania były widoczne - obie ściany na których leżą muszą być widoczne). 2 P P B A C 3 Q =5 =6 S 3 C 4 VI V =VI W VII =VIII R =7 =8
P V 5 W 7 8 VII VIII A + B + C + A P 1 3 _ Q 6 _ R 5 7 + S + Zgodnie ze schematem łączymy punkty w rzucie pionowym. 8 4 2 P P 4 3 C VI V =VI B A C 3 Q =5 =6 R =7 =8 4 S W 6 VII =VIII
P V 5 W 7 8 VII VIII A + B + C + A P 1 3 _ Q 6 _ R 5 7 8 + S + 4 2 Korygujemy widoczność wielościanów. Odcinki krawędzi, które znalazły się wewnątrz drugiego wielościanu zaznaczamy linią konstrukcyjną (cienko). P P B A C 3 Q =5 =6 S 3 4 C 4 6 VI V =VI W VII =VIII R =7 =8
P V 5 W 7 8 VII VIII A + B + C + A P 1 3 _ Q 6 _ R 5 7 8 + S + 4 2 Korygujemy widoczność wielościanów. Zmieniamy widoczność krawędzi ostrosłupa zasłoniętych przez graniastosłup. P P B A C 3 Q =5 =6 S 3 4 C 4 6 VI V =VI W VII =VIII R =7 =8
D C U T P Q U A R Zadanie: Wyznacz linię przenikania dachu PQRSTU z kominem ABCD P D T C S B
D C S U T P Q 3 U A R P D T B C
D C S U T P Q 3 U A R P D T B C
D C S U 2 T P 1 3 Q 3 U A R P D T B C
D C S U 2 T 5 P 4 1 3 Q 3 U A =5 R P D =4 T B C
D C S U 2 T 5 6 P 4 7 1 3 Q 3 U A =5 R P D =4 T B C
D C P U 2 T 5 6 8 4 7 1 3 Q 3 U A =5 P D =4 T 6 B R 8 C =7 S
D C U 2 T 5 6 P 8 4 7 1 3 9 Q 3 U A =5 P D =4 T 6 B =9 R 8 C =7 S
D C P U 2 T 5 6 8 4 7 9 1 3 Q 3 U A =5 P D =4 T 6 B =9 R 8 C =7 S
D C P U 2 T 5 6 8 4 7 9 1 3 Q 3 U A =5 P D =4 T 6 B =9 R 8 C =7 S
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów.
1 p=1,2 Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną pomocniczą przechodzącą przez wierzchołek wielościanu W 2 p P D C E E f p R S Q P D f A C B W
Przebicie wielościanu metoda z płaszczyzną rzutującą W p P D C f R A P Q p D f B C W 77
P W C P B A C Q R Zadanie: Wyznaczyć linię przenikania graniastosłupa PQRS z ostrosłupem WABC. Określić widoczność. S W
Zadanie: Wyznacz linię przenikania podanych obiektów. D C U T P Q U A R P D T B Zadanie: Wyznacz linię przenikania dachu PQRSTU z kominem ABCD C S