Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód L Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności. Opór omowy jest równy zeru (R = ). Załóżmy, że w chwili początkowej na 1
kondensatorze jest nagromadzony ładunek q m, a prąd przez cewkę jest równy zeru. Energia zawarta w kondensatorze W = q m /() (7.1) jest maksymalna, a energia w cewce W L = L / (7.) jest równa zeru. Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd = dq/. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko
kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu). Opis ilościowy Z prawa Kirchoffa U L + U = d q L (7.3) Ponieważ = dq/ więc d q L q (7.4) To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne q x, L M, 1/ k Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania q = q m cost 3
gdzie m = q m = dq/ = -q m sint =- m sint = (1/(L)) 1/ (7.5) U L =Ld/ = -L m cost U = q/c = (q m /)cost Ponieważ L m = Lq m = Lq m (1/(L)) = q m / widać, że amplitudy napięć są takie same. Obwód szeregowy RL Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny, przy czym 4
współczynnik tłumienia 1/() jest równy R/(L). Drgania w obwodzie RL można porzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym U ( t) U sint Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, oraz źródło SEM ma postać d q L R U sint (7.6) różniczkując po otrzymujemy albo d L d R U cost (7.7) d R d U cost (7.8) L L L To jest równanie analogiczne do równania dla oscylatora wymuszonego przy R/L 1/, 1/(L) oraz U /L. Rozwiązanie ma więc analogiczną postać sin( t ). Amplituda wynosi więc 5
R U L 1 (7.9) a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem 1 L tg (7.1) R Wyrażenie (7.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U i Z 1 R L (7.11) pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu. Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy q do kondensatora to U Stąd du 6
co dla U=U sint daje Stąd U U cost cost U sin( t 9 ) Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 9. Maksymalny prąd = U () a stałą 1/() pełniącą rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową. X = 1/() (7.1) Jeżeli generator napięcia zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że U cost L U sin( t L 9 ) Prąd pozostaje za napięciem o 9, a reaktancja indukcyjna ma wartość X L = L (7.13) 7
Zauważmy, że w obwodzie RL, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć. U = U R + U + U L czyli U = Rsint - X cost + X L cost (na kondensatorze U pozostaje za, na cewce U wyprzedza ) Stąd U R sint ( X L X ) cost Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (7.1) według, którego tg = (X L - X )/R Z (X L - X ) R 8
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie Z = (R + (X L - X ) ) 1/. Rezonans Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania. Amplituda tych drgań zależy od i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy 1 (7.14) L Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą U R (7.15) Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R. 9
Przykład Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RL w obwodzie wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest zasilany sygnałem z anteny. W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości. Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 1, a L = 1 H. Sprawdźmy, jaka powinna być pojemność aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 11 MHz? Korzystając z warunku (7.14) otrzymujemy =.48 pf. W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RL) jest równe 1
U, rez X U R 1 U R L Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 1 V to napięcie na kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mv. Dla porównania napięcie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, i sygnale o tej samej amplitudzie ale o częstotliwości 96. MHz (radio "RMF") wynosi 1 mv. Moc w obwodzie prądu zmiennego W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla prądu stałego P( t) U ( t) ( t) (7.16) ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RL w dowolnej chwili t wynosi 11
P ( t) U ( t) ( t) U sint sin( t ) Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy P( t) U U (sin sint (sint cos cost sin) t cos 1 sin t sin) gdzie skorzystaliśmy z relacji sint cost sin t. Moc średnia jest więc dana wyrażeniem 1 P U (sin t cos sin t sin Ponieważ sin t cos t 1 to sin t cos t 1 (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o /). Ponao sin t bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponao że U = Z oraz cos R Z otrzymujemy wyrażenie na moc średnią U ( Z ) cos R R P (7.17) Z ) 1
Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu sk (7.18) Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego U U sk (7.19) Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 3 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R 13
P R R R ( t) R sin t Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe /, a ponieważ cos( /) = to zgodnie z równaniem (7.16) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu). Omawiane obwody, w których elementy R, L, stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową. Mamy wtedy do 14
czynienia z obwodami o elementach rozłożonych. 15