Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System
Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Nieciągłe przejścia fazowe F x = du dx V = F x dx 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga i stany metastabilne LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda
Stan metastabilny: przechłodzona woda
Jak działają ogrzewacze rąk? 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Diagram fazowy woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe przejście fazowe: punkt krytyczny
Nieciągłe przejście fazowe: punkt potrójny
Perkolacja 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Perkolacja: Pożary lasów
Prawdopodobieństwo przejścia Symulacja komputerowa 101x101 503x503 1003x1003 gęstość zadrzewienia p Dla jakiego p pożar dotrze do drugiej strony lasu?
Perkolacja site Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie z prawdopodobieństwem p Klaster grupa zajętych węzłów znajdujących się wzajemnie w najbliższym sąsiedztwie (rozmiar s)
Krytyczność w modelu perkolacji Próg perkolacji - najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster. Parametr porządku Wyniki dla sieci 2D
Próg perkolacji nie jest uniwersalny! sieć site bond heksagonalna 0.696 2 0.652 71 kwadratowa 0.592 75 0.500 00 trójkątna 0.500 00 0.347 29 diamond 0.428 0.388 Prosta kubiczna 0.311 7 0.249 2 BCC 0.245 0.178 5 FCC 0.198 0.119
Przypadek jako narzędzie budowania modeli Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki Karl Pearson (1857-1936) Metoda Monte Carlo ABM Metoda Monte Carlo
Liczby losowe Tippett (1927) Random Sampling Numbers Pierwsza tablica liczb losowych 41 600 cyfr ułożonych w zestawach po 4 Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry)
21 Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę?
22 Albo Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954)
Generatory liczb pseudolosowych (PRNG) PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła. Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym): x ax b mod c n 1 n a,b,c liczby magiczne, np: a 7 5, b 0, c 2 31 1
Cechy dobrego generatora do MC Długi okres powtarzalności Losowość brak korelacji, równomierność (specjalne testy) Szybki
Generator Mersenne Twister (http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/mt/emt.html) Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997 Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii Zalety MT19937 Mersenne Twistera: Okres 219937 1 (udowodnione) Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia Spełnia większość testów losowości Szybki
Metoda Monte Carlo Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu John von Neumann
Idea metody Monte Carlo Jaka jest szansa ułożenia pasjansa? Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda? Przegrana Przegrana Wygrana Przegrana Szansa ułożenia to ¼!
Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?
Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>
Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J 3 1 + 4 ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL
Oddziaływania pomiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz Ze zgodnością grupy Z rozmiarem grupy Wysoka temperatura nerwowo Piotr Nyczka
Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)
Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i
Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką
Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > = 1 N i=1 S i
Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie
Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1
Przejście fazowe w modelu Isinga