Podstawowe pojęcia geometryczne

PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty w geometrii: Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l. Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń. FIGURY GEOMETRYCZNE Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych. Badaniem właściwości figur płaskich zajmuje się dział geometrii zwany planimetrią (geometrią płaszczyzny). Planimetria jest to geometria płaszczyzny. Dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie nazywamy figura płaską. Figura geometryczna płaska każdy zbiór punktów na płaszczyźnie. Np. punkt, prosta, półprosta, odcinek, okrąg, koło, wielokąt. Prosta a punkt. Punkt najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Jest to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Punkt jest w przestrzeni euklidesowej pojęciem pierwotnym, co oznacza, że nie jest definiowany z użyciem formalizmu matematycznego. Punkty oznaczamy dużymi literami, proste małymi, płaszczyzny literami greckimi, np. π φ σ Prosta jest zbiorem punktów. Linia prosta lub prosta jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie Na prostej leży nieskończenie wiele punktów. Przez jeden punkt może przechodzić nieskończenie wiele prostych. Przez 2 punkty można poprowadzić jedną prostą. Półprostą określamy przez podanie jej początku i innego punktu, który należy do prostej. Np. AB

Pęk prostych zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku, Dwie proste są równoległe, jeżeli leżą w jednej płaszczyźnie i ich częścią wspólną jest zbiór pusty lub prosta (pokrywają się). Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się). m = n przyjmujemy, że m n

Dwie proste m i n się przecinają, jeżeli mają tylko jeden punkt wspólny. Proste przecinające się pod kątem prostym są to proste prostopadłe. Każdy punkt należący do prostej dzieli ja na 2 półproste. Dwa różne punkty na prostej wyznaczają odcinek w niej zawarty. Figury wypukłe i wklęsłe Figurę nazywamy wypukłą wtedy, gdy dla dowolnych2 punktów A, B należących do tej figury odcinek AB zawiera się w tej figurze. Gdy figura nie jest wypukła nazywamy ją wklęsłą albo niewypukłą.

Odległość między 2 punktami A i B odległość euklidesowa punktów na płaszczyźnie i oznaczamy AB Okrąg o(o, r), o środku O i promieniu r zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa promieniowi r. Okrąg oznaczamy o(o, r)

O - środek okręgu OE, OD, OC - promienie okręgu CD - średnica okręgu AB - cięciwa okręgu r = OE = OC = OD - długość promienia okręgu d = CD - długość średnicy okręgu Końce cięciwy AB dzielą okrąg na 2 figury zwane łukami okręgu. Łuk przechodzący przez punkt C oznaczamy ACB.

Koło zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie, nazywanego środkiem koła, jest mniejsza lub równa długości promienia koła. Koło k(o, r), o środku O i promieniu r zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r. Okrąg o(o, r) jest brzegiem koła k(o, r). K(O, r) \ r(o, r) wnętrze koła Wielokąt (albo wielobok) figura płaska ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną Wielokąt jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej oraz części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną. Łamana zamknięta wyznaczająca wielokąt jest brzegiem tego wielokąta. Część płaszczyzny ograniczona łamaną jest wnętrzem wielokąta. Boki tej łamanej nazywamy bokami wielokąta, zaś jej wierzchołki nazywamy wierzchołkami wielokąta Wielokąt o n bokach nazywamy również n -kątem. Wielokąt (n -kat) figura geometryczna ograniczona takimi n -odcinkami, gdzie n 3, że - koniec każdego odcinka, oprócz ostatniego jest początkiem następnego - koniec ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego - żadne 2 odcinki o wspólnym końcu nie należą do jednej prostej - niesąsiadujące ze sobą odcinki nie mają punktów wspólnych. Najczęściej spotykanymi wielokątami są trójkąty i czworokąty

Odcinki, tworzące wielokąt, nazywamy jego bokami, a punkty ich przecięcia wierzchołkami wielokąta. Sumę wszystkich boków nazywamy obwodem wielokąta. Linię łamaną ABCDEA ograniczającą wielokąt nazywamy brzegiem wielokąta. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go obszarem zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. Liczba przekątnych n -kąta jest równa n(n 3) /2 Wielokąty wklęsłe i wypukłe Wielokąt nazywamy wypukłym, jeśli każde jego 2 punkty (leżące wewnątrz) można połączyć odcinkiem całkowicie zawartym w wielokącie. Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy wklęsłym. Jeżeli wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są kątami wypukłymi, to wielokąt ten nazywamy wielokątem wypukłym. Jeżeli co najmniej jeden kąt wewnętrzny wielokąta jest kątem wklęsłym, to wielokąt ten nazywamy wielokątem wklęsłym.

Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi wielokąta. Suma miar kątów wewnętrznych n -kąta jest równa (n - 2) 180. Kąt zewnętrzny wielokąta - to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta. Współniniowość punktów. Nierówność trójkąta Punkty, które leżą na jednej prostej są współliniowe. Każde 2 punkty są współliniowe.

Punkty A, B i C są współliniowe, jeśli AB = AC + CB lub AB = AC - BC, gdzie AC - BC jest wartością bezwzględną różnicy długości odcinków AC i BC. Punkty A, B i C są niewspólliniowe, gdy spełnione są równocześnie 3 nierówności: AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC Warunek jest równoważny poniższemu: AC - BC < AB < AC + BC W trójkącie o bokach a, b, c muszą być spełnione warunki: a < b + c, b < a + c, c < a + b Nierówność trójkąta W dowolnym trójkącie suma długości dowolnych 2 boków jest większa od długości boku trzeciego.

Kąty i ich rodzaje Kąt to część płaszczyzny wyznaczona przez dwie półproste o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi Początek półprostych - wierzchołek kąta. Półproste ramiona kata Kąt płaski, część płaszczyzny ograniczona dwoma półprostymi (ramionami kąta) wychodzącymi z jednego punktu (wierzchołka kąta) Kąt płaski część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste. Rodzaje kąta: zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy. Miara kąta zerowego jest równa 0 [rad] =0. ostry - α < 90 - kąt o mierze większej od 0 [rad] =0, lecz mniejszej od π/2 [rad] =90. prosty - α = 90 - kąt przystający do swojego kąta przyległego. Miara kąta prostego wynosi π/2 [rad] =90. rozwarty - 90 < α < 180 - kąt o mierze większej od π/2 [rad] =90, lecz mniejszej od π [rad]=180.

półpełny - α = 180 - każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π [rad]=180. pełny - α =360 - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie. Miara kąta pełnego wynosi 2π [rad]=360. wypukły - α <= 180 - kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π [rad]=180 albo równa 2π [rad]=360. wklęsły - 180 < α < 360 - kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest większa niż π [rad=180 ], lecz mniejsza niż 2π [rad]=360. Kąty wypukłe < 180 0 Kąty wklęsłe > 180 0 i < 360 0 Podział kątów Kąty wypukłe < 180

Kąt wypukły ma miarę od 0 do 180 a kąt wklęsły jest większy od 180 a mniejszy od 360 Kąty wklęsłe większe od 180 a mniejsze od 360 Dwa kąty są przyległe, jeżeli mają jedno ramię wspólne, a pozostałe dopełniają się do prostej. Tworzą w sumie kąt 180

Kąty wierzchołkowe pary kątów wypukłych o wspólnym wierzchołku, w których ramiona jednego kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego. Kąty wierzchołkowe w takiej parze mają równe miary. Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia dwóch prostych:

Kąty odpowiadające Leżą po tej samej stronie prostej Kąty naprzemianległe pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych a i b trzecią prostą (sieczną) leżące po przeciwnych stronach siecznej i mające jednakowe miary, gdy prosta a jest równoległa do prostej b. Jeżeli 2 proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wyznaczone przez te proste są równe oraz kąty odpowiadające równe

Jeżeli 2 proste równoległe a i b przetniemy trzecią prostą c, to kąty naprzemianległe wyznaczone przez te proste są równe oraz kąty odpowiadające są równe.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta α + β + γ = 180 Suma kątów zewnętrznych trójkąta 360-2α + 360-2β + 360-2γ = 1080-2(α + β + γ) = 1080-360 = 720 Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta. c 2 = a 2 + b 2 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości 2 boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny. Długości boków trójkąta prostokątnego na podstawie twierdzenie Pitagorasa: c = a = b = Jeśli a 2 + b 2 < c 2 to trójkąt jest rozwartokątny Jeśli a 2 + b 2 > c 2 to trójkąt jest ostrokątny Liczby naturalne k, m, n tworzą trójkę pitagorejską, gdy istnieje trójkąt prostokątny o bokach k, m, n. Szczególny przypadek trójkąta pitagorejskiego jest równy 3 : 4 : 5 trójkąt egipski. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie. Wielokrotności liczb 3, 4 i 5 też tworzą trójkąt prostokątny. Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: c 2 = a 2 + b 2 a b c 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15

9 40 41 11 60 61 13 84 85 Wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta jest rozłączna z okręgiem o(o, r) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu O od prostej jest większa od długości promienia r. Prosta jest styczna do okręgu, jeżeli ma z tym okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Punkt ten nazywany jest punktem styczności. Prosta jest styczna do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od punktu styczności jest równa długości promienia okręgu. Przez punkt P należący do okręgu możemy poprowadzić tylko jedną styczną do okręgu. Prosta ma 2 punkty wspólne z okręgiem o(o, r) jest sieczną okręgu, wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest mniejsza od długości promienia okręgu. Konstrukcja stycznej do okręgu o(o, r), przechodzącej przez dany punkt A na okręgu 1) Prowadzimy półprostą SA 2) Wyznaczamy na półprostej SA taki punkt B, że SB = 2* SA, czyli AB = AS. 3) Kreślimy symetralną odcinka SB - np. przecięcie 2 okręgów o1(s, r1), o2(b, r1), gdzie r1 > SA Symetralna odcinka SB jest styczną do okręgu o(o, r)

Styczne do okręgu z punktu zewnętrznego Wyznaczenie stycznej do okręgu o(o, r) z punktu zewnętrznego P, lezącego poza okręgiem Dany jest okrąg o środku w punkcie O i punkt P nie należący do danego okręgu. Skonstruować styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt P. 1. Wyznaczamy środek S odcinka OP (symetralna odcinka OP na przecięciu 2 okręgów o1(r1, O) i o2(p, r1), gdzie r1 dowolne, większa o połowy odcinka OP 2. Promieniem SO = r2 kreślimy okrąg pomocniczy o2 (S, r2 ) 3. Na przecięciu okręgów o(o, r) i okręgu o2(s, r2) otrzymujemy punkty styczności A i B.

Wzajemne położenie 2 okręgów Jeżeli odległość środków okręgów s(o, R) i o(s, r) jest: - większa od sumy długości ich promieni to te okręgi nie mają punktów wspólnych są rozłączne zewnętrznie - mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni to okręgi nie mają punktów wspólnych są rozłączne wewnętrznie i jeden z nich leży wewnątrz koła ograniczonego drugim okręgiem. Okręgi rozłączne wewnętrznie, mające wspólny środek są to okręgi współśrodkowe.

Jeżeli odległość środków okręgów o(o, R) i o(s, r) jest równa: - sumie ich promieni, to te okręgi mają tylko jeden punkt wspólny są styczne zewnętrznie; - wartości bezwzględnej różnicy długości ich promieni, to te okręgi mają jeden punkt wspólny są styczne wewnętrznie. Jeżeli odległość środków okręgów o(o, R) i o(s, r) jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, ale mniejsza od ich sumy, to te okręgi mają 2 punkty wspólne są okręgami przecinającymi się. Kąty środkowe, wpisane i dopisane Kąt środkowy, to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu. Kąt środkowy jest oparty na łuku okręgu. Przez każde 2 punkty okręgu oraz jego środek (jeśli punkty nie są współliniowe), są wyznaczone 2 kąty środkowe: - kąt środkowy wypukły α oparty na łuku ACB - kąt środkowy wklęsły β oparty na łuku BDA Suma tych katów wynosi 360.

Kąt wpisany kąt wypukły, którego wierzchołek należy do okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego okręgu. Kąt wpisany oparty jest na łuku okręgu. Miara kąta środkowego jest 2 razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu. Katy wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym.

Kąt dopisany kąt utworzony przez styczną do okręgu w punkcie A i półprostą zawierającą cięciwę, której końcem jest punkt styczności A - kąt dopisany do okręgu w punkcie A. Częścią wspólną kąta dopisanego i okręgu jest łuk, a kat dopisany jest opary na tym łuku.

Kąt dopisany i kąt wpisany oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary. Okrąg opisany na trójkącie Symetralna odcinka prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od końców odcinka. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równo oddalony od jego wierzchołków.

Trójkąt równoboczny Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest punktem przecięcia jego wysokości,

R = 2/3 * h h = a* 3 / 2 R = a* 3 / 3 Okrąg wpisany w trójkąt W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kata, która dzieli ten kąt na 2 kąty o równej mierze.

Okrąg wpisany w trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt przecięcie dwusiecznych kątów, równe odległości od punktu przecięcia do boków trójkąta długość promienia r

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c, promień okręgu wpisanego przedstawia wzór: r = 1/2 * (a + b + c)

Jeżeli w trójkąt o bokach a, b, c jest wpisany okrąg o promieniu r to pole tego trójkąta: P = p * r, gdzie p = ½ * (a + b + c) czyli P = ½ * (a + b + c) * r Twierdzenie Talesa Jeżeli 2 proste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kata są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu. OA : OB = OA' : OB' OA : AB = OA' : A'B' Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeśli ramiona kąta przetniemy 2 prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe. Jeżeli OA : AB = OA' : A'B' to AA II do BB Trójkąty i ich punkty szczególne Punkt przecięcia wysokości trójkąta - ortocentrum trójkąta

Odcinek łączący środki 2 boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego, a jego długość równa się połowie długości boku trzeciego.

Środkowe trójkąta Środkowa trójkąta odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe. Środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Środkowa dzieli trójkąt na 2 trójkąty o równych polach.

Środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1: 2 licząc od boku lub 2: 1 licząc od wierzchołka. Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Korzystając z twierdzenia Carnota można dowieść, że w trójkącie o bokach a, b, c, długość środkowej d opadającej na bok c wynosi: CD = d = ½ (2a 2 + 2b 2 c 2 ) analogicznie AE = ½ (2b 2 + 2c 2 a 2 ) BF = ½ (2a 2 + 2c 2 b 2 ) Dwusieczna kąta wewnętrznego w dowolnym trójkącie dzieli przeciwległy bok trójkąta na odcinki proporcjonalne do pozostałych jego boków: