KRZYSZTOF PIASECKI * EFEKT SYNERGII KAPITAŁU W ARYTMETYCE FINANSOWEJ Słowa kluczowe: Wartość przyzła, Wartość bieżąca, Synergia kapitału Strezczenie: W pracy implementowano warunek ynergii kapitału do układu akjomatów arytmetyki finanowej opiujących wartość przyzła. Uzykano w ten poób pojęcie uogólnionej wartości przyzłej. Zbadano podtawowe właności uogólnionej wartości przyzłej. Zbadano też właności uogólnionej wartości bieżącej. Zwrócono uwagę na kontekt ekonomiczny uzykanych wyników formalnych.. PROBLEM BADAWCZY Pieniądz odpowiednio traktowany zwiękza wą wartość wraz z upływem czau. Jet to przyrot wartości realnej będącej naturalną konekwencją ogólnego kierunku rozwoju połeczności ludzkiej, polegającej na zwiękzeniu wartości tworzonych towarów i uług. Pieniądz, jako ekwiwalent tych produktów bezpośrednio na nie wymienialny, zwiękza zatem w czaie wą wartość. Jet to wyidealizowany ze względów na zatoowanie tutaj zaadę ceteri paribu model przyrotu wartości pieniądza. Otatnio w polkiej literaturze problem pracy ludzkiej jako czynnika kztałtującego przyrot wartości jednotki pieniężnej podnoi Dobija [] cytując przy okazji cały zereg prac równie prominentnych autorów wyrażających ten am pogląd. Przyrot ten jet dokładnie modelowany przy pomocy całego ytemu równań nazywanego kiedyś matematyką finanową [3], [7],a w chwili obecnej arytmetyką finanową [6] lub teorią procentu [4], []. Przy analizie tych modeli uderza ich wyoka złożoność logiczna wyrażająca ię dużą ilością przyjętych założeń. W [5] zaproponowano uprozczenia tego ytemu na drodze zbudowania matematycznej teorii akjomatyczno- * Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, PWSZ im. J.A. Komeńkiego w Leznie Zawarte w tym artykule oryginalne wyniki zotały przedtawione na poiedzeniu Lezczyńkiego Towarzytwa Przyjaciół Nauk w dniu 3 maja 007. Głównym celem tego wytąpienia była prezentacja alchemii warztatu badawczego autora, do czego zachęcał Preze LTPN, prof. dr hab. Staniław Sierpowki - -
dedukcyjnej. Przyjęto implicite jednak tam założenie, że tempo przyrotu wartości kapitału jet niezależne od ilości zgromadzonego kapitału. Praktyka gopodarowania i teoria ekonomii wkazują jednak bardzo wyraźnie, że tempo przyrotu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedięwzięciu rośnie wraz ze wzrotem wartości zainwetowanego kapitału. Efekt ten nazywa ię - - efektem ynergii kapitału. W prezentowanej pracy zotanie przedtawiona implementacja warunku ynergii kapitału do zaprezentowanego w [5] układu akjomatów arytmetyki finanowej.. ARYTMETYKA FINANSOWA PODSTAWY UJĘCIA AKSJOMATYCZNEGO Cześć ta w całości zotała opracowana na podtawie [5]. Tam też można znaleźć dowody przedtawionych tutaj twierdzeń. Na wtępie zotanie przedtawiony model opiującego proce przyrotu (aprecjacji) wartości kapitału w jednoznacznie wyróżnionym przedziale czaowym 0,T. Model ten odnoi ię do intrumentu finanowego o wartości nominalnej C w momencie t 0. Wartość C nazywamy wartością początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że nieujemne wartości finanowe odpowiadać będą przychodom, należnościom lub pozotałym aktywom, podcza gdy ujemne wartości finanowe opiywać będą wydatki, zobowiązania lub inne paywa. Wartości początkowej C i dowolnemu momentowi czaowemu t 0,T przypiujemy wartość przyzłą C t,. Oznacza to, że wartość przyzła pot jet funkcją określoną nad dziedziną określoną przez iloczyn kartezjańki 0, T c, t: c R, t 0 T R, opiuje poniżza definicja. Definicja : Wartością przyzłą nazywamy funkcję dowolnych wartości początkowych warunki: C C, t C, t C t,. Podtawowe właności wartości przyzłej pot : R [0, T] R pełniającą - dla C, C R i momentów czaowych t, t 0, T ; () t t C 0 C, t C t ; (), C, 0 C. (3) Warunek () zakłada, że dowolnie wyznaczana wartość przyzła jet funkcją addytywną wartości początkowej. Oznacza to, że wartość przyzła umy kapitału jet równa umie wartości przyzłych kapitału. Warunek ten wyklucza efekt ynergii kapitału i z tego względu będzie zczegółowo rozważany w drugiej części tej pracy. Warunek () informuje na, że wraz z upływem czau wartość przyzła aktywów nie może zmaleć. Inaczej mówiąc, na ozczędzaniu nie można tracić. Warunek (3) identyfikuje wartość przyzłą pot przypianą chwili bieżącej z wartością początkową.
Weźmy pod uwagę teraz t C 0, T R trumień finanowy reprezentowany przez parę,, gdzie ymbol t oznacza moment przepływu trumienia, zaś ymbol C opiuje wartość nominalną tego przepływu. Wartość bieżąca trumienia finanowego t, C jet taką wartością początkową t C,, której wartość przyzła przypiana momentowi przepływu trumienia t, C jet równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny poób może być zapiana przy pomocy tożamości t C, t C,. (4) Twierdzenie : Tożamość (4) jet równoważna tożamości t C, t C, (5) Proce wyznaczania wartości bieżącej kapitału. nazywamy potocznie dykontowaniem wartości Twierdzenie : Warunki (), (), (3) i (4) ą warunkami dotatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T pełnione były warunki: t, C C t, C t C ; (6), t t C 0 t, C t C, ; (7) 0, C C. (8) Dzięki Twierdzeniu wiemy, że na to, aby opiać procey aprecjacji kapitału i dykontowania wartości kapitału, wytarczy określić jedynie dowolną wartość przyzłą pełniającą warunki (), () i (3) albo dowolną wartość bieżącą pełniające warunki (6), (7) i (8). W pierwzym przypadku wartość bieżącą jet wyznaczana przy pomocy zależności (4). W drugim przypadku wartość przyzła jet wyznaczana przy pomocy zależności (5). 3. AKSJOMATYCZNE UJĘCIE EFEKTU SYNERGII KAPITAŁU Pan Profeor Antoni Smoluk z Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu w wej recenzji wydawniczej kiążki [5] zaproponował zatąpienie w Definicji warunku () przez warunek 0, T: C C, t C, t C t C C R t, ; (9), Zaproponowany warunek jet modelem dopuzczającym efekt ynergii kapitału. Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrotu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedięwzięciu rośnie wraz ze wzrotem wartości zainwetowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dykutując warunek (9) warto też zauważyć, że dla C 0 warunek ten opiuje efekt dźwigni finanowej. Z tego powodu warunek (9) zotanie wykorzytany w tej części do uogólnienia definicji wartości przyzłej kapitału do przypadku nie wykluczającego już efektu ynergii. - 3 -
Definicja : Uogólnioną wartością przyzłą nazywamy funkcję : R [0, T] R pełniającą - dla dowolnych wartości początkowych t, t 0, T warunki: (), (3) i (9). Twierdzenie 3: Dowolna uogólniona wartość przyzła właściwości:, T: C, t 0-4 - C, C R i momentów czaowych : R [0, T] R poiada C R t 0, (0), T: 0, t 0 t 0, (), T: C, t 0 C R t 0, () 0, T: C, t C, t 0 t 0, T: C C C, t C t C R t, (3) C C R,. (4), Dowód: Z () i (3) dla dowolnej pary C, t R 0, T C, t C,0 C 0, co dowodzi (0). Stąd jeśli C C t C C, t C, t C t,,, otrzymujemy C, to z (9) dla dowolnego t 0,T co dowodzi (4). Korzytając z (9). dla dowolnego t 0,T 0, t 0, t 0, t 0 0 t mamy otrzymujemy,. (*) Z drugiej trony, korzytając z () i (3), dla dowolnego momentu czaowego t 0,T otrzymujemy 0, t 0,0 0. (**) Zetawiając razem (*) i (**) otrzymujemy (). Korzytając z (9) i (), dla dowolnej pary C, t R0, T mamy C C, t C, t C t 0,, co dowodzi (3). Korzytając teraz z (0) i (3), dla dowolnej pary C, t R 0, T otrzymujemy C, t C, t C t 0,, co dowodzi () i kończy dowód całego twierdzenia. Warunki (0) i () informują, że klaa aktywów finanowych i klaa paywów finanowych ą zamknięte ze względu na operację wyznaczania wartości przyzłej. Warunek () pokazuje, że efekt ynergii kapitału nie jet amoitnym źródłem pojawienia ię możliwości arbitrażu cenowego. Treścią warunku (3) jet informacja, że jeśli wartości początkowa aktywów jet równa zwrotowi z wartości początkowej paywów, to tempo przyrotu wartości przyzłej aktywów nigdy nie przekracza tempa względnego przyrotu
wartości przyzłej paywów. Wzytkie te wnioki potwierdzają poprawność wykorzytania warunku (9) w celu uogólnienia definicji wartości przyzłej. Warunek (4) przedtawia uogólniona wartość przyzłą, jako ronącą funkcję wartości początkowej kapitału. Dzięki temu, dla każdej utalonej wartości momentu czaowego t 0,T itnieje funkcja odwrotna do funkcji t: R R potrzeżenie to będzie nam ułatwiać dowodzenie dalzych twierdzeń.,. Formalne Analogicznie do podanego w poprzedniej części pojęcia wartości bieżącej, uogólniona wartość bieżąca trumienia finanowego t, C jet taką wartością początkową t, C, której uogólniona wartość przyzła przypiana momentowi przepływu trumienia t, C jet równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny poób może być zapiana przy pomocy tożamości t C, t C,. (5) Lemat : Dowolna uogólniona wartość bieżąca 0, T R R 0, T: C C t, C t C R t, : pełnia warunek: C, C. (6) Dowód: Wprot z (4) i (5). Twierdzenie 4: Tożamość (5) jet równoważna tożamości t C, t C, (7) Dowód: W tożamości (5) podtawiamy C C, t t, C, t, t C t,, co razem z (4) daje (7). i mamy wtedy Twierdzenie 5: Warunki (), (3), (9) i (5) ą warunkami dotatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T pełnione były warunki: t, C C t, C t C ; (8), t t C 0 t, C t C, ; (9) 0, C C. (0) Dowód: Korzytając z (5) i z (9), dla dowolnej trójki C, C, t R 0, T otrzymujemy t, C C, t C C t, C, t t, C, t t, C t, C, t Powyżza nierówność wraz z (4) dowodzi (8). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (8). Korzytając z (7) i (8) otrzymujemy wtedy - 5 -
t, C C, t C C. t, C, t t, C, t t, C C, t Powyżza nierówność wraz z (6) dowodzi (9). Zotała zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami (9) i (8). Z warunku () i (5) mamy t C, t t, C, t C t, C,, t, co razem z (6) dowodzi (9). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (9). Korzytając z (7) i (9) otrzymujemy wtedy t, C, t t, C, t C t, C t., Powyżza nierówność wraz z (6) dowodzi (). Zotała zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami () i (9). Z (3) i (5) mamy C, C 0, C, 0 0, co dowodzi równoważności warunków (3) i (0). Konieczność i dotateczność warunków (), (3) i (9) zotała wykazana. Dzięki Twierdzeniom 4 i 5 wiemy, że na to, aby w pełni opiać procey aprecjacji kapitału i dykontowania wartości kapitału dopuzczające efekt ynergii kapitału, wytarczy określić jedynie dowolną uogólnioną wartość przyzłą pełniającą warunki (), (3) i (9) albo dowolną uogólnioną wartość bieżącą pełniające warunki (8), (9) i (0). W pierwzym przypadku uogólnioną wartość bieżącą jet wyznaczana przy pomocy zależności (5). W drugim przypadku wartość przyzła jet wyznaczana przy pomocy zależności (7). Przedtawione tutaj wyniki wkazują, że w ytuacji - gdy podziewamy ię ujawnienia efektu ynergii kapitału - dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wytarczy jednoznacznie określić merytoryczne uzaadnione uogólnioną wartość przyzłą albo uogólnioną wartość bieżącą. 4. ZAKOŃCZENIE Oceniając znaczenie przedtawionych powyżej wyników należy tutaj podkreślić fakt, że opiane w Twierdzeniu 5 wzajemne relacje pomiędzy uogólnioną wartością przyzła i uogólnioną wartością bieżącą zotały udowodnione bez pomocy twierdzeń o wpółczynnikach aprecjacji i dykontowania, tak jak to miało miejce w [5] w przypadku dowodzenia Twierdzenia. Z drugiej trony zebrane tutaj wyniki ą na tyle zachęcające, że wydaje ię celowym kontynuowanie podjętych tutaj badań nad efektem ynergii kapitału.. Na pierwzy ogień powinny iść uogólnione twierdzenia o czynnikach aprecjacji i dykontowania. Tematem - 6 -
wartym podjęcia jet tez problem pecyfikacji merytorycznie uzaadnionych jednoznacznych modeli uogólnionej wartości przyzłej. LITERATURA [] Chrzan P., Teoria procentu. Chrzan P.; Matematyka finanowa. Podtawy teorii procentu, Katowice 00, Oikońomo Sp.z o.o,. [] Dobija M., Źródła wartości jednotki pieniądza [W:] Tarczyńki W. (red.) Rynek kapitałowy- kuteczne inwetowanie (red. Tarczyńki W.), Szczecin 00, Uniwerytet Szczecińki,.-38. [3] Dobija M., Smaga E.; Podtawy matematyki finanowej i ubezpieczeniowej, Warzawa- Kraków 995, PWN [4] Luenberger D.G., Teoria inwetycji finanowych, Warzawa 003, Wydawnictwo Naukowe PWN,. [5] Piaecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finanowej, Poznań 005, Wydawnictwo Naukowe AE w Poznaniu [6] Smaga E.; Arytmetyka finanowa, Warzawa-Kraków 999, PWN. [7] Sobczyk M.; Matematyka finanowa, Warzawa 997, Placet. - 7 -