STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y ) s x s y gdzie, wartość kowariancji (cov) na podstawie próby liczymy wg następującego wzoru: cov(x,y ) = 1 n 1 n i= 1 (Xi X )(Yi Y ) natomiast s x i s y są odchyleniami standardowymi dla zmiennych: X i Y

Współczynnik korelacji liniowej przyjmuje zawsze wartości w zakresie [ -1,1]. Im większa wartość bezwzględna współczynnika, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. r xy = 0 oznacza brak korelacji, r xy = 1 oznacza silną korelację dodatnią, jeżeli jedna zmienna (X) rośnie to również rośnie druga zmienna (Y), r xy = -1 oznacza korelację ujemną (jeżeli zmienna X rośnie, to Y maleje i na odwrót).

14 12 10 r =0,007 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zależność nieliniowa

Testowanie istotności korelacji Testowanie jest tylko wtedy uzasadnione, gdy obydwie zmienne mają rozkład normalny lub zbliżony do normalnego Hipoteza zerowa: H 0 :ρ=0 ρ- wartość współczynnika korelacji dla całej populacji Jeżeli remp >r α,2,n-2 to H 0 odrzucamy. r α,2,n-2 jest wartością krytyczną współczynnika korelacji prostej Pearsona Podobnie jak w przypadku innych hipotez w programach statystycznych (wnioskowanie o istotności współzależności dwóch zmiennych odbywa się na podstawie wartości p (p<α oznacza istotna współzależność) Należy pamiętać również, że współczynnik korelacji liniowej Pearsona dobrze opisuje jedynie zależności liniowe. W przypadku, gdy zależność istnieje ale jest nieliniowa (np. punkty są położone na paraboli) wartość współczynnika korelacji może być bliska 0.

Współczynnik korelacji rang Spearmana (r s )służy do oceny współzależności między dwiema zmiennymi. W odróżnieniu od współczynnika korelacji Pearsona można przy pomocy współczynnika korelacji Spearmana oceniać zależności nieliniowe. Przy testowaniu nie jest wymagana normalność rozkładu zmiennych, tak więc możliwe jest stosowanie tego współczynnika korelacji wtedy gdy nie możemy stosować współczynnika korelacji Persona. Wartości współczynnika korelacji rang Spearmana są z zakresu [-1, 1] a ich interpretacja jest podobna jak w przypadku współczynnika korelacji Pearsona, czyli czym wartość r s jest bliższa 1 tym zależność jest silniejsza, dodatnia, czym bliższa jest -1 tym zależność silniejsza, ujemna, a jeśli wartość r s jest bliska 0 to oznacza brak zależności lub bardzo słabą zależność. r=0,64 r s =1,00 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 2 4 6 8 10 12

Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest metodą statystyczną, w której określamy zależność jednej zmiennej (Y) od drugiej (X), czyli zależność ta jest między tylko dwiema zmiennymi. Regresja prosta liniowa Regresja liniowa to metoda szacowania wartości oczekiwanej jednej zmiennej (Y) znając wartości innej zmiennej (X) na podstawie funkcji liniowej. Szukana zmienna, Y, jest nazywana zmienną zależną, zmienna X nazywa się zmienną niezależną.

Model regresji prostej liniowej Y=a+bX+e i gdzie: b współczynnik regresji a stała regresji e i błędy losowe o rozkładzie N(0;σ e2 ) Stała regresji (a) jest zatem szacowaną średnią wartością zmiennej Y w przypadku gdy X=0, natomiast wartość współczynnika regresji (b) oznacza średnią zmianę wartości Y w przypadku gdy X zwiększymy o jedną jednostkę. Ujemna wartość współczynnika regresji (b) świadczy o ujemnej zależności, a dodatnia wartość wskazuje na dodatnią zależność

Estymację (szacowanie wartości) współczynników równania regresji prowadzi się zwykle metodą najmniejszych kwadratów, która polega na minimalizacji następującej sumy kwadratów: n i= 1 ( yi a bxi ) 2 Estymatory wartości współczynników a i b oblicza się ze wzorów: b = s xy 2 x s a = y bx

R 2 współczynnik determinacji Określa stosunek zmienności wyjaśnianej przez model regresji do zmienności całkowitej. W przypadku regresji prostej liniowej R 2 =r 2 xy Czym wartość R 2 jest bliższa 100 % (czyli 1) to zależność Y od X jest silniejsza, i na odwrót gdy wartość R 2 jest bliższa 0 % (czyli 0) to zależność Y od X jest słabsza. Wartość współczynnika determinacji jest równa w przypadku regresji ( r ) prostej liniowej kwadratowi współczynnika korelacji prostej Pearsona Testowanie hipotezy H 0 : β=0 (współczynnik regresji dla całej populacji jest równy 0) pozwala na ocenę, czy występuje istotna zależność Y od X. Jeśli tę hipotezę odrzucimy to uznajemy, że Y istotnie zależy od X. ( p<α (powyższą hipotezę odrzucamy jeśli

Y -plon (t/ha) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y = 0,0439x + 0,7413 R 2 = 0,8299 (82,99%) 0 20 40 60 80 100 120 140 X -nawożenie N (kg/ha)

Regresja prosta nieliniowa Nie wszystkie zależności między dwiema zmiennymi są liniowe, dlatego też czasami uzasadnione jest stosowanie innego niż liniowy modelu regresji. Stosowane są w tym celu różne inne modele regresji np. zamiast funkcji liniowej można użyć: -funkcji kwadratowej - pierwiastkowej -logarytmicznej lub innych. Dobór modelu regresji dokonuje się najczęściej na podstawie wartości współczynnika determinacji (R 2 ), większa wartość R 2 oznacza lepiej dopasowany model regresji, a tym samym lepiej opisujący zmiany Y w zależności od X. Szczególnym przykładem regresji prostej jest regresja prosta wielomianowa, czyli wykorzystanie funkcji wielomianowej, w której zmienna niezależna (X) występuje w kolejnych potęgach. Najprostszym modelem regresji wielomianowej jest funkcja kwadratowa (X występuje w pierwszej i drugiej potędze)

9 8 7 Y -plon (t/ha) 6 5 4 3 y = -0,0001x 2 + 0,0587x + 0,4438 R 2 = 0,8995 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300 X -nawożenie N (kg/ha)

Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y). Najprostszym modelem regresji wielokrotnej, a jednocześnie najczęściej stosowanym w praktyce jest regresja wielokrotna liniowa.

Regresja wielokrotna liniowa Jeżeli zmienna zależna (Y) jest determinowana przez więcej niż jedną zmienną niezależną (X i ) to estymowany model regresji możemy zapisać równaniem: Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 +... + b k X k Gdzie a- stała regresji, b 1, b 2,... cząstkowe współczynniki regresji Interpretacja wartości stałej regresji i cząstkowych współczynników regresji jest podobna jak w przypadku regresji prostej. Stała regresji jest to szacowana średnia wartość Y, gdy wszystkie zmienne niezależne (X i ) są równe 0. Wartość każdego cząstkowego współczynnika regresji oznacza szacowaną średnią zmianę wartości Y, gdy dana wartość zmiennej niezależnej (X i ) zwiększy się o jedną jednostkę. W przypadku regresji wielokrotnej zastosowanie metody najmniejszych kwadratów to minimalizowanie sumy: n i= 1 (yi a b xi b xi... bkxik ) 1 1 2 2 2

Graficzne przedstawienie regresji z 2 zmiennymi niezależnymi (X 1, X 2 )

Dobór modelu regresji Nie wszystkie zmienne niezależne (X i ) które bierzemy do analizy regresji wielokrotnej mają wpływ na zmienna zależną (Y), a więc uzasadnione jest usunięcie tych zmiennych i pozostawienie tylko tych zmiennych niezależnych, które mają istotny wpływ. W tym celu stosuje się różne metody pozwalające na usunięcie z modelu regresji nieistotnie wpływających zmiennych niezależnych i pozostawienie tylko tych, których wpływ udowodnimy. Jedną z metod, które są dość często stosowane jest regresja krokowa, która pozwala na dobór modelu z pominięciem zmiennych słabo lub nie wpływających na zmienną zależną.