Wybrane metody szacowania rezerw techniczno-ubezpieczeniowych

Wybrane metody szacowania rezerw techniczno-ubezpieczeniowych Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 1 / 24

Plan 1 Co to są rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe? 2 Rezerwa składek i metody jej wyznaczania 3 Rezerwy na szkody niewypłacone, rezerwy IBNR 4 Trójkąty szkód 5 Indywidualne współczynniki rozwoju szkód 6 Wybrane metody szacowania rezerw IBNR: metoda łańcuchowa (chain ladder) metoda Bornhuettera-Fergusona model logarytmiczny Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 2 / 24

REZERWY TECHNICZNO-UBEZPIECZENIOWE rezerwa składek rezerwa na ryzyka niewygasłe rezerwa na niewypłacone odszkodowania lub świadczenia, w tym rezerwa na skapitalizowaną wartość rent rezerwa na wyrównanie szkodowości (ryzyka) rezerwa ubezpieczeń na życie rezerwa ubezpieczeń na życie, gdy ryzyko lokaty ponosi ubezpieczający rezerwy na premie i rabaty dla ubezpieczonych rezerwy na zwrot składek dla członków inne rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe określone w statucie. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 3 / 24

Rezerwa składek Rezerwa składek - ( UEPR - Unearned Premium Reserve) wyznaczana indywidualnie dla każdej umowy ubezpieczenia, określa część składki przeniesioną na następne okresy sprawozdawcze w związku z tym, że okres na jaki składka została przypisana nie pokrywa się z bieżącym okresem sprawozdawczym. Rezerwa składek powinna stanowić pokrycie przyszłych przewidywanych szkód, które zrealizują się po dacie bilansowej. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 4 / 24

Rezerwa składek - metody wyznaczania Współczynnik przeniesienia WP - część składki przeniesiona na następne okresy sprawozdawcze Metody wyznaczania: metoda 50%, WP = 0, 5 metoda 1/12, 1/360 itd, WP=cześć składki równa części okresu ubezpieczenia przypadającą na następny okres rozliczeniowy (liczona w miesiącach, dniach itp.) metoda proporcjonalna do ryzyka WP = P(R < a) Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 5 / 24

Rezerwy na niewypłacone odszkodowania Rezerwa na niewypłacone odszkodowania i świadczenia - zwana także rezerwą szkód, związana jest ze zobowiązaniami zakładu ubezpieczeń związanym ze szkodami, które wystąpiły w danym okresie sprawozdawczym, ale odszkodowania i świadczenia z nich wynikające jeszcze nie zostały wypłacone. Wyróżniamy trzy grupy rezerw: rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowania została już wyznaczona, ale jeszcze nie została wypłacona; rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowania jeszcze nie została oszacowana, rezerwa na szkody zaistniałe, ale jeszcze niezgłoszone zakładowi ubezpieczeń ( IBNR - incurred but not reported) Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 6 / 24

Co to są rezerwy IBNR T 1 - moment zdarzenia losowego związanego z roszczeniem I - moment (data) bilansu T 2 - moment zgłoszenia (zaksięgowania, rozpatrzenia) zdarzenia Jeżeli T 1 < I < T 2 to w chwili bilansu zdarzenie już zaszło, ale nie zostało zgłoszone (IBNR) Wymagane jest oszacowanie jego wielkości (przyszłych płatności z nim związanych) Przykłady: ubezpieczenia majątkowe, OC, reasekuracja Cel: na podstawie procesu zgłaszania szkód w przeszłości dokonać predykcji rezerw na koniec roku I Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 7 / 24

Trójkąt szkód Niech i = 0, 1,..., I będzie rokiem zajścia szkody (rok bazowy), a j = 0, 1,..., J rokiem opóźnienia. C ij zmienna losowa opisująca wartości szkód zaistniałych w okresie i, rozliczonych z opóźnieniem j rok opóźnienia j i 0 1...... J 2 J 1 J 0 C 0,0 C 0,1...... C 0,J 2 C 0,J 1 C 0,J 1 C 1,0 C 1,1...... C 1,J 2 C 1,J 1 2 C 2,0 C 2,1...... C 2,J 2...... I 1 C I 1,0 C I 1,1 I C I,0 R i = J j=i i+1 rezerwa dla roku szkody i, R = I i=1 R i rezerwa łączna...... Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 8 / 24

Trójkąty szkód skumulowane S ij zmienna losowa opisująca wartości skumulowane - łączna wartość szkód z roku i zgłoszona z opóźnieniem j rok opóźnienia j i 0 1...... J 2 J 1 J 0 S 0,0 S 0,1...... S 0,J 2 S 0,J 1 S 0,J 1 S 1,0 S 1,1...... S 1,J 2 S 1,J 1 2 S 2,0 S 2,1...... S 2,J 2...... I 1 S I 1,0 S I 1,1 I S I,0 R i = S i,j S i,i i rezerwa dla roku szkody i, R = I i=1 R i rezerwa łączna...... Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 9 / 24

Indywidualne współczynniki rozwoju szkód D I - dane z górnego trójkąta Cel: predykcja R i lub R w oparciu o D I przy kwadratowej funkcji straty Teoretyczne najlepsze rozwiązanie E(R i D I ) oraz E(R D I ) Dla dowolnego predyktora ˆR(D I ) mamy MSEP(ˆR D I ) = E((R ˆR) 2 D I ) = Var(R D I ) + (E(R D I ) ˆR) 2 Predyktory będziemy budować w oparciu o indywidualne współczynniki rozwoju szkód równe Y i,j = S i,j+1 S i,j Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 10 / 24

Metoda chain ladder (CL), podstawowe założenia Dane - trójkąt wartości skumulowanych S ij S i,j, S k,j dla k i są niezależne; istnieją stałe f j, j = 0, 1, 2,..., J 1 takie, że dla każdego i = 0, 1,..., I i dla każdego j E(S i,j+1 S i,0,..., S i,j )) = E(S i,j+1 S i,j ) = f j S i,j E(Y i,j S i,j ) = f j istnieją stałe σ j, j = 1, 2,..., J 1 takie, że dla każdego i = 0, 1,..., I i dla każdego j Var(S i,j+1 S i,j ) = σ 2 j S i,j Var(Y i,j S i,j ) = σ2 j S i,j Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 11 / 24

Metoda chain ladder, predykcja Estymatory parametrów f j, j = 1, 2,..., J (nieobciążone) ˆf CL j = S 0,j+1 + S 1,j+1 + + S I j 1,j+1 S 0,j + S 1,j + + S I j 1,j = 1 S I j 1 j I j 1 i=0 S i,j Y i,j gdzie Sj k = k i=0 S i,j Predyktory rezerw i + j > I (nieobciążone) Ŝ CL i,j CL CL = S i,i i ˆf I i... ˆf j 1 MSEP - prace T. Mack ˆR CL i = Ŝ CL i,j S i,i i ˆR CL = I i=1 ˆR CL i Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 12 / 24

PRZYKŁAD rok opóźnienia 0 1 2 3 4 5 Rok 0 11 12 13 9 6 4 bazowy 1 12 13 15 10 7 2 13 15 17 12 3 15 17 20 4 17 20 5 20 skumulowane wartości szkód 0 1 2 3 4 5 0 11,00 23,00 36,00 45,00 51,00 55,00 1 12,00 25,00 40,00 50,00 57,00 61,47 2 13,00 28,00 45,00 57,00 64,80 69,88 3 15,00 32,00 52,00 65,32 74,26 80,09 4 17,00 37,00 59,27 74,45 84,64 91,28 5 20,00 42,65 68,31 85,82 97,56 105,21 współczynniki łańcuchowe f0= 2,132 f1= 1,602 f2= 1,256 f3= 1,137 f4= 1,078 rezerwy 4 13 28 54 85 185 Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 13 / 24

Metoda chain-ladder, uwagi opracowana jako algorytm bez podstaw teoretycznych (metoda heurystyczna), rozpowszechniona jeszcze zanim rozwój metod statystycznych w XX wieku w dużym stopniu wpłynął na kształt praktyki ubezpieczeniowej; metoda nie uwzględnia inflacji; pojawienie się danej nietypowej (dana katastoficzna) może drastycznie zmienić wyniki (metoda nieodporna); nie uwzględnia być może występującego trendu związanego z latami zajścia szkód; dane powinny być zdyskontowane na jeden okres; do szacowania rezerw należy dodatkowo uwzględnić przyszłe zyski i inflację; współczynniki łańcuchowe ˆf j CL są estymatorami nieobciążonymi współczynników f j ; Zał: C ij Poiss(α i β j ), β j = 1, oraz C ij niezależne. Predyktory S i,n otrzymane w oparciu o ENW parametrów pokrywają się z predyktorami otrzymanymi metoda łańcuchową. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 14 / 24

Metoda Bornhuettera-Fergusona (BF), założenia Wiedza ekspercka pozwala wyznaczyć a priori E(S i,j ) = µ i Istnieją stałe γ j t. że EC i,j = γ j µ i oraz J j=0 γ j = 1 Estymatory parametrów γ j (wykorzystują założenia metody CL) ES i,j = ES i,j f j+1... f J 1 = β j = ES J 1 i,j 1 = ES i,j f l=j l oraz Zatem przyjmujemy EC i,j+1 ES i,j = β j+1 β j = γ j+1 J 1 ˆβ j CL 1 = l=j ˆf l CL ˆγ 0 CL = ˆβ 0 CL ˆγ j CL = ˆβ j CL ˆβ j 1 CL ˆγ CL J = 1 ˆβ CL J 1 Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 15 / 24

Metoda Bornhuettera-Fergusona, predykcja Ŝ BF i,j = S i,i i + µ i J j=i i+1 Porównanie predyktorów CL i BF ( ) ˆγ j CL = S i,i i + µ i 1 ˆβ I CL i ( ) ˆR i BF = µ i 1 ˆβ I CL i ˆR CL i ( ) = Ŝi,J CL 1 ˆβ I CL i ( ) ˆR i BF = µ i 1 ˆβ I CL i Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 16 / 24

Modele parametryczne - model lognormalny Założenia: Y i,j = S i,j+1 S i,j LN(µ j, σ j ) Y i,j niezależne Estymacja i predykcja ln Y i,j N(µ j, σ j ), i = 1... I j estymatory ˆµ j i ˆσ j stąd estymacja E(Y i,j ) = exp(µ j + 1 2 σ2 j ) i predykcja ˆR i = S i,i i J j=i i+1 exp(ˆµ j + 1 2 ˆσ2 j ) Han i Gau (2008) estymatory i predyktory nieobciążone Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 17 / 24

Model Tweediego złożonego rozkładu Poissona R i,j niezależne zmienne losowe opisujące liczby szkód o rozkładzie Poissona(λ i,j w i ), w i liczba polis, X (k) i,j, k = 1, 2,... niezależne zmienne losowe opisujące wartości poszczególnych szkód o rozkładzie Gamma(γ, τ i,j ), przy czym EX (k) i,j = τ i,j. Zmienne R i,j i X (k) l,m są niezależne przy wszystkich indeksach. Wtedy R i,j C i,j = X (k) i,j, gdy R i,j > 0. k=1 Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 18 / 24

Model Tweediego złożonego rozkładu Poissona Wtedy Y ij = C ij w i ma rozkład Tweediego o gęstości ( (wi /φ) γ+1 y γ ) r 1 f (y) = (p 1) r=1 γ (2 p) r!γ(rγ)y exp w i y µ1 p ij φ 1 p µ2 p ij 2 p gdzie τ 2 p ij p = γ + 2 γ + 1 (1, 2), µ ij = λ ij τ ij, φ = λ1 p ij 2 p Momenty rozkładu: EY ij = µ ij, VarY ij = φ w i V (p) = φ w i µ p ij.. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 19 / 24

Model Tweediego złożonego rozkładu Poissona Istnieją stałe α(i) i β(j) takie, że µ i,j = α(i)β(j) ln(µ ij ) = b 0,0 + b i,0 + b 0,j Wektor nieznanych parametrów modelu: B = [b 0,0, b 1,0,..., b I,0, b 0,1,..., b 0,J, φ, p], logarytm funkcji wiarogodności przy danych R ij = r ij i Y ij = y ij L(µ, p, φ) = {i,j:r ij 0} [ + i,j r ij ln w i φ ( (wi /φ) γ+1 y γ ) ] ij (p 1) γ ln (r ij!γ(r ij γ)y ij ) (2 p) µ 1 p ij y ij 1 p µ2 p ij 2 p, Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 20 / 24

Estymacja parametrów, Wuthrich (2003) 1 Wybierz wstępną wartość ˆp. 2 Przy znanym ˆp korzystając z metod GLM wyznacz estymatory ˆµ ij. 3 Przy ustalonym p = ˆp i µ = ˆµ wyznacz estymator największej wiarogodności parametru φ: ) i,j ˆφ w µ i (y 1 p ij ij 1 p µ2 p ij 2 p = (1 + γ) i,j r. ij 4 Mając ˆφ i ˆµ, maksymalizuj funkcję wiarogodności wyznaczając kolejne ˆp. 5 Kroki 2, 3, 4, 5 powtarzaj do momentu zbieżności wartości ˆp, otrzymując końcowe wartości ˆp, ˆφ i ˆµ ij. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 21 / 24

Estymacja i predykcja rezerw Predyktor zmiennej C ij dla i + j > J i estymator EC i,j definiujemy jako Ĉ ij = w i ˆµ ij Predyktor zmiennej S i (S) i estymator wartości oczekiwanej zmiennej S i (S) definiujemy jako Ŝ i = J j=j i+1 I Cˆ ij (Ŝ = Ŝ i ) i=1 Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 22 / 24

Model bayesowski, założenia Zmienne obserwowane S i,j albo Y i,j = S i,j+1 S i,j Wektor F = (F 0, F 1,..., F J 1 ) T - odpowiedniki współczynników łańcuchowych f j, teraz zmienne losowe Warunkowo przy danym F i B j = {S i,m : i + m I, m j, i I } mamy E(S i,j+1 F, B j ) = F j S i,j E(Y i,j F, B j ) = F j Var(S i,j+1 F, B j ) = σ 2 j (F j )S i,j Var(Y i,j F, B j ) = σ2 j (F j) S i,j Zmienne z różnych lat bazowych są warunkowo niezależne przy danym F Znając rozkład a priori wektora F = (F 1, F 2,..., F J ) T i rozkłady warunkowe zmiennych Y i,j albo S i,j przy znanym F otrzymujemy predyktory bayesowskie zmiennych F i rezerw R i oraz R. Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 23 / 24

Literatura Mack (1993), Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates, ASTIN Bulletin England, Verrall (2002), Stochastic claims reserving in general insurance, British Actuarial Journal Wüthrich, Merz (2008), Stochastic claims reserving methods in insurance, Wiley Han Z., Gau W. (2008), Estimation of loss reserves with lognormal development factors, Insurance: Mathematics and Economics Gisler, Wüthrich (2008), Credibility for the Chain Ladder Reserving Method, ASTIN Bulletin Wüthrich (2003), Claims reserving using Tweedie s compound Poisson model, ASTIN Bulletin Boratyńska, Juszczak (2015), Robustnees of Tweedie model of reserves with respect to distribution of severity of claims, MIBE Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 24 / 24