Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl

OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia... w przyzwoitym znaczeniu terminu wykład. Zawiera natomiast dużymi literami spisane notatki prowadzącego, służące utrzymaniu dyscypliny wypowiedzi. Stąd też proszę nie wyciągać zbyt daleko idących wniosków na podstawie tego, co dalej napisane, tylko posłuchać. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 2 / 25

1 Czym jest rachunek logiczny? 2 Czym jest system aksjomatyczny? 3 Systemy aksjomatyczne klasycznego rachunku zdań przykłady 4 Zrób sobie logikę: tutorial na przykładzie Łukasiewicza równoważnościowego rachunku zdań kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 3 / 25

Czym jest rachunek logiczny? Co to jest: klasyczny rachunek zdań? klasyczny rachunek predykatów? modalna logika S5? wielopodmiotowa logika wiedzy S5ECD m? Jak zdefiniować te logiki? kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 4 / 25

Czym jest rachunek logiczny? I Rachunek logiczny definiowany jest przez zbiór swoich tez. II Rachunek logiczny, albo system formalny, składa się z: 1 języka formalnego, 2 aparatu dedukcyjnego. Na czym polega różnica między I a II? kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 5 / 25

Formalny system aksjomatyczny Aparat dedukcyjny formalnego systemu aksjomatycznego składa się z: aksjomatów, reguł inferencyjnych. Tezą systemu jest każda formuła, która posiada dowód w oparciu o aksjomaty systemu. Dowodem formuły α w oparciu o zbiór aksjomatów nazywamy każdy skończony ciąg formuł, z których ostatnia jest identyczna z formułą dowodzoną a każda formuła z ciągu jest aksjomatem lub powstaje z wcześniejszych formuł z ciągu w wyniku zastosowania reguł inferencyjnych. Z przyczyn oczywistych pojęcia tezy i dowodu muszą być relatywizowane do systemu formalnego. Przykłady precyzyjnych definicji pojęcia dowodu na gruncie KRZ i KRP znajdą Państwo w wykładach z Logiki I. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 6 / 25

Systemy aksjomatyczne KRZ Różne języki (pełność funkcyjna!). Różne zbiory aksjomatów. Różne zbiory reguł. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 7 / 25

Łukasiewicza system implikacyjno-negacyjny Aksjomaty: 1. (p q) ((q r) (p r)) 2. ( p p) p 3. p ( p q) Reguły inferencyjne: Reguła odrywania (RO): α β, α β Reguła podstawiania (RP): α α[p i /β] kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 8 / 25

Aksjomatyka Mereditha dla systemu implikacyjno-negacyjnego ((((p q) ( r s)) r) t) ((t p) (s p)) albo, w notacji Łukasiewicza: CCCCCpqCNrNsrtCCtpCsp Reguły inferencyjne: RO, RP kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 9 / 25

Russella i Whiteheada system alternatywno-negacyjny Aksjomaty: 1. (p p) p 2. q (p q) 3. (p q) (q p) 4. ( q r) ( (p q) (p r)) Reguły inferencyjne: RP, Reguła odrywania dla alternatywy (RO A ): α β, α β kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 10 / 25

Równoważnościowy rachunek zdań (RRZ) [Łukasiewicz, 1939] 1 Język: 1 symbole: p, q, r,..., p 1,... (zmienne zdaniowe), E (spójnik równoważności); 2 formuły: zmienne zdaniowe i wyrażenia postaci Eαβ (gdzie α i β są formułami). 2 Semantyka: równoważność Eαβ jest prawdziwa wtw α i β obie są prawdziwe albo obie fałszywe. E 1 0 1 1 0 0 0 1 Formuła E αβ spełnia powyższą matrycę wtw jej wartość wynosi 1 dla każdej możliwej kombinacji wartości formuł α i β. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 11 / 25

Strukturalna definicja formuły języka RRZ Wyrażenie języka RRZ jest formułą języka RRZ wtw spełnia dwa warunki: 1 liczba liter E występujących w wyrażeniu jest o jeden mniejsza od liczby liter, reprezentujących zmienne zdaniowe; 2 w każdym odcinku, zaczynającym się w dowolnym miejscu wyrażenia i sięgającym do końca wyrażenia, liczba liter E jest mniejsza od liczby liter, reprezentujących zmienne zdaniowe. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 25

Strukturalna definicja formuły języka RRZ c.d. Definicja ta umożliwia sformułowanie prostej reguły umożliwiającej badanie poprawności wyrażeń języka KRZ. Załóżmy, że każdej literze E przyporządkujemy wartość 1, każdej literze reprezentującej zmienną zdaniową wartość +1 a następnie będziemy dodawać te wartości od prawej do lewej. Jeśli rozważane wyrażenie jest poprawne, to: 1 suma odpowiadająca całemu wyrażeniu musi wynosić 1 oraz 2 wszystkie sumy częściowe muszą być dodatnie. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 25

Strukturalna definicja formuły języka RRZ c.d. Definicja ta umożliwia sformułowanie prostej reguły umożliwiającej badanie poprawności wyrażeń języka KRZ. Załóżmy, że każdej literze E przyporządkujemy wartość 1, każdej literze reprezentującej zmienną zdaniową wartość +1 a następnie będziemy dodawać te wartości od prawej do lewej. Jeśli rozważane wyrażenie jest poprawne, to: 1 suma odpowiadająca całemu wyrażeniu musi wynosić 1 oraz 2 wszystkie sumy częściowe muszą być dodatnie. EEEpqErsEtu 12343232121 kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 25

Strukturalna definicja formuły języka RRZ c.d. Definicja ta umożliwia sformułowanie prostej reguły umożliwiającej badanie poprawności wyrażeń języka KRZ. Załóżmy, że każdej literze E przyporządkujemy wartość 1, każdej literze reprezentującej zmienną zdaniową wartość +1 a następnie będziemy dodawać te wartości od prawej do lewej. Jeśli rozważane wyrażenie jest poprawne, to: 1 suma odpowiadająca całemu wyrażeniu musi wynosić 1 oraz 2 wszystkie sumy częściowe muszą być dodatnie. peeqrs 212321 kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 25

Strukturalna definicja formuły języka RRZ c.d. Definicja ta umożliwia sformułowanie prostej reguły umożliwiającej badanie poprawności wyrażeń języka KRZ. Załóżmy, że każdej literze E przyporządkujemy wartość 1, każdej literze reprezentującej zmienną zdaniową wartość +1 a następnie będziemy dodawać te wartości od prawej do lewej. Jeśli rozważane wyrażenie jest poprawne, to: 1 suma odpowiadająca całemu wyrażeniu musi wynosić 1 oraz 2 wszystkie sumy częściowe muszą być dodatnie. EpqEr 12101 kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 25

Równoważnościowy rachunek zdań (RRZ) 1 Charakterystyka matrycowa: RRZ to zbiór wszystkich formuł rozważanego języka, spełniających matrycę dla równoważności. 2 Charakterystyka aksjomatyczna: RRZ to zbiór wszystkich formuł rozważanego języka, które posiadają dowód w oparciu o aksjomaty RRZ. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 14 / 25

Reguły inferencyjne aksjomatycznych systemów RRZ RO E (reguła odrywania dla równoważności): Eαβ, α β RP (reguła podstawiania): α α[p i /β] kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 15 / 25

Aksjomatyki RRZ Leśniewskiego: EEEprEqpErq i EEpEqrEEpqr Wajsberga (wybrane): 1 EEEpqrEpEqr i EEpqEqp 2 EEpEqrErEqp i EEEpppp 3 EEEEpqrsEsEpEqr Sobocińskiego (wybrane): 1 EEpEqrEEpErsEsq 2 EEpEqrEEpErsEqs Łukasiewicza (wybrane): 1 EEpEqrEEqErsEsp 2 EEsEpEqrEEpqErs 3 EEpqEErqEpr (*) Formuła (*) jest najkrótszym aksjomatem RRZ. Aksjomatyczny system RRZ oparty na tym aksjomacie oznaczać będziemy symbolem RRZ*. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 16 / 25

Przykłady dowodów w RRZ* I. Dowód formuły EEEprEqpErq 1. EEpEqrEpErq (teza) 2. EEErqEprEpq (teza) 3. EEEEprEqpEqrEEEprEqpErq 4. EEEprEqpEqr 5. EEEprEqpErq kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 17 / 25

Przykłady dowodów w RRZ* II. Dowód formuły EEpEqrEEpqr 1. EEpqEErqEpr (*) 2. EErqEEpEpqr (teza) 3. EEEpqEErqEprEEsEErqEprEEpqs 4. EEsEErqEprEEpqs 5. EEEEpqrEEqEqrEpqEEpEqrEEpqr 6. EEEpqrEEqEqrEpq 7. EEpEqrEEpqr kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 18 / 25

Twierdzenie o niesprzeczności RRZ* Istnieje taka formuła A języka RRZ, że A nie jest tezą RRZ*. Dowód (wyjątkowo urokliwy ) 1 Oznaczmy symbolem G własność formuł polegającą na tym, że równokształtne zmienne występują w nich parzystą liczbę razy. 2 Aksjomat RRZ* (formuła EEpqEErqEpr) posiada własność G. 3 Reguły odrywania dla równoważności i podstawiania zachowują własność G (dlaczego?). 4 Zatem we wszystkich tezach RRZ* liczba równokształtnych zmiennych jest parzysta (spostrzeżenie to pochodzi od St. Leśniewskiego). 5 Formuły nieposiające własności G nie są więc tezami RRZ*. 6 Stąd nie wszystkie formuły języka RRZ są tezami RRZ*. Tezami RRZ* nie są np.: p, Epq, EpEqp,... kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 19 / 25

Twierdzenie o niesprzeczności RRZ* Istnieje taka formuła A języka RRZ, że A nie jest tezą RRZ*. Dowód (wyjątkowo urokliwy ) 1 Oznaczmy symbolem G własność formuł polegającą na tym, że równokształtne zmienne występują w nich parzystą liczbę razy. 2 Aksjomat RRZ* (formuła EEpqEErqEpr) posiada własność G. 3 Reguły odrywania dla równoważności i podstawiania zachowują własność G (dlaczego?). 4 Zatem we wszystkich tezach RRZ* liczba równokształtnych zmiennych jest parzysta (spostrzeżenie to pochodzi od St. Leśniewskiego). 5 Formuły nieposiające własności G nie są więc tezami RRZ*. 6 Stąd nie wszystkie formuły języka RRZ są tezami RRZ*. Tezami RRZ* nie są np.: p, Epq, EpEqp,... kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 19 / 25

Dowód, że aksjomat (*) EEpqEErqEpr w istocie jest najkrótszym aksjomatem dla RRZ Dowód składa się z dwóch etapów: 1 wyliczenia wszystkich tez RRZ krótszych od (*) (czyli składających się z mniej niż 11 symboli); 2 wykazania, że żadna z tych tez nie może być jedynym aksjomatem RRZ. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 20 / 25

Tezy RRZ* składające się z mniej niż 11 symboli Ponieważ wszystkie formuły języka RRZ składają się z nieparzystej liczby symboli (gdyż liczba symboli E musi być o jeden mniejsza niż liczba zmiennych zdaniowych), więc tezy RRZ* krótsze od (*) mogą składać się z 1, 3, 5, 7 lub 9 symboli. Ponieważ wszystkie tezy RRZ* posiadają własność G, więc w grę wchodzą tylko formuły składające się z 3 lub 7 symboli. Z trzech symboli składa się tylko jedna teza: Epp, tez siedmiosymbolowych jest 15, przy czym mają one jedną z następujących postaci: EEExxxx, EExExxx, EExxExx, ExEExxx, ExExExx (i występują w nich co najwyżej po dwie różne zmienne). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 21 / 25

Dowód, że aksjomat (*) EEpqEErqEpr w istocie jest najkrótszym aksjomatem dla RRZ Wykazać, że żadna z tych tez nie może być jedynym aksjomatem RRZ można podając dla każdej z nich taką dedukcyjnie dziedziczną matrycę, że jest ona spełniona przez daną tezę, ale nie jest spełniona przez aksjomat (*). Wystarcza to do udowodnienia, że z danej tezy nie można wyprowadzić aksjomatu (*), czyli że teza ta nie może być jedynym aksjomatem RRZ* (ponieważ nie wszystkie tezy RRZ* dają się z niej wyprowadzić, jako że (*) również jest tezą RRZ*). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 22 / 25

Dowód, że aksjomat (*) EEpqEErqEpr w istocie jest najkrótszym aksjomatem dla RRZ I tak, na przykład, teza Epp spełnia następującą matrycę M 1 (wartością wyróżnioną w tym i następnym przykładzie jest 1): E 1 0 1 1 0 0 1 1 Matrycę M 1 spełniają również, m. in., tezy EEEppqq, EEppEqq, EEpqEpq, EpEqEqp. Natomiast aksjomat (*) jej nie spełnia. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 23 / 25

Dowód, że aksjomat (*) EEpqEErqEpr w istocie jest najkrótszym aksjomatem dla RRZ Z kolei tezy EEEpqpq i EEpEqpq spełniają następującą czterowartościową matrycę M 2 : E 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 1 3 3 2 4 1 1 4 3 1 2 1 Natomiast aksjomat (*) jej nie spełnia (rozważmy przypadek p = 1, q = 3, r = 2). Takie matryce trzeba znaleźć dla wszystkich 16 tez RRZ* krótszych od (*). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 24 / 25

Literatura Łukasiewicz, J. [1939]. Der Äquivalenzkalkül. Polski przekład: Równoważnościowy rachunek zdań, przeł. Egon Vielrose. W: Z zagadnień logiki i filozofii, Warszawa: PWN, 1961, 228 249. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 25 / 25