W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE. Warszawa, 11 kwietnia 2013 r.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE

W. Guzicki: Liczby pierwsze 2 Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na ich czynniki pierwsze uchodzi za najważniejszeiodużympraktycznymznaczeniuwarytmetyce...samapowaga nauki zdaje się wymagać, aby dołożyć wszelkich możliwych starań do rozwiązania tak eleganckiego i tak słynnego zagadnienia. Gauss(1801) Cytowane za: Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, WNT Warszawa 1997, tłum. J. Browkin, str. 31

W. Guzicki: Liczby pierwsze 3 LICZBY PIERWSZE 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...,2003,2011,2017,... 3,7,31,127,8191,131071,524287,... 193707721 761838257287 3,5,17,257,65537. 641 6700417 274177 67280421310721 59649589127497217 5704689200685129054721

W. Guzicki: Liczby pierwsze 4 LICZBYPIERWSZE c.d. 3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577 32769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533

W. Guzicki: Liczby pierwsze 5 LICZBY ZŁOŻONE 15=3 5 63=7 9 341=11 31 561=3 11 17 2005=5 401, 2007=3 3 223, 2009=7 7 41 2013=3 11 61 4028033=2003 2011

W. Guzicki: Liczby pierwsze 6 LICZBYZŁOŻONE c.d. 2 32 +1=4294967297=641 6700417 2 64 +1=18446744073709551617=274177 67280421310721 2 128 +1=59649589127497217 5704689200685129054721

W. Guzicki: Liczby pierwsze 7 LICZBYZŁOŻONE c.d. 2 67 1=147573952589676412927= = 193707721 761838257287 11438162575788886766923577997614661201021829672124236256256184293 5706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541= =3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577 32769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533

W. Guzicki: Liczby pierwsze 8 OZNACZENIE: a boznacza,żeliczbaajestdzielnikiemliczbyb. WAŻNA WŁASNOŚĆ LICZB PIERWSZYCH Jeślipjestliczbąpierwsząip ab,top alubp b.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 9 TWIERDZENIE EUKLIDESA Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód. Przypuśćmy, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych. Niechp 1,p 2,...,p m będąwszystkimiliczbamipierwszymi. n=p 1 p 2... p m +1 Jednazliczbp 1,p 2,...,p m jestdzielnikiemliczbyn: p i n oraz p i p 1 p 2... p m p i n p 1 p 2... p m p i 1, sprzeczność.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 10 NAJMNIEJSZY DZIELNIK LICZBY ZŁOŻONEJ n=p m pjestnajmniejszym(p 1)dzielnikiemliczbyn p m p 2 p m=n p n

W. Guzicki: Liczby pierwsze 11 PRZYKŁAD n=83 n<10 liczbypierwszemniejszeod10: 2,3,5,7. 83=41 2+1 83=27 3+2 83=16 5+3 83=11 7+6 2 83 3 83 5 83 7 83

W. Guzicki: Liczby pierwsze 12 π(x)=liczbaliczbpierwszychp<x π(10 n ) 10n 2,3 n m 10 60 m 10 30 π(10 30 ) 1030 2,3 30 =1030 69

W. Guzicki: Liczby pierwsze 13 Bardzoszybkikomputer:10 9 dzieleńnasekundę 10 30 1rok=31557600sek. 3lata 10 8 sek. 3lata 10 17 dzieleń 3miliardylat 10 26 dzieleń 69 :1026 = 104 69 145, 3 145=435 435 miliardów lat.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 14 SITO ERATOSTENESA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

W. Guzicki: Liczby pierwsze 15 SITO ERATOSTENESA skreślone wielokrotności 2: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

W. Guzicki: Liczby pierwsze 19 WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA a 2 b 2 =(a b)(a+b), a 3 b 3 =(a b)(a 2 +ab+b 2 ), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 ab+b 2 ).

W. Guzicki: Liczby pierwsze 20 WAŻNY WZÓR a n b n =(a b)(a n 1 +a n 2 b+a n 3 b 2 +...+ab n 2 +b n 1 ) WNIOSKI a b a n b n a m b m a mn b mn

W. Guzicki: Liczby pierwsze 21 INNY WAŻNY WZÓR Jeśli liczba n jest nieparzysta, to: a n +b n =(a+b)(a n 1 a n 2 b+a n 3 b 2... ab n 2 +b n 1 ) WNIOSKI Jeśli liczba n jest nieparzysta, to: a+b a n +b n a m +b m a mn +b mn

W. Guzicki: Liczby pierwsze 22 LICZBY PIERWSZE SPECJALNEJ POSTACI Pytanie:Dlajakichainliczbapostacia n 1jestpierwsza? a 1 a n 1,więca n 1jestliczbązłożonądlaa>2. Pytanie:Dlajakichnliczbapostaci2 n 1jestpierwsza? Jeślin=k l,toa k 1 a kl 1. Zatem,jeślinjestliczbązłożoną,to2 n 1teżjestliczbązłożoną.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 23 LICZBY MERSENNE A Pytanie:Dlajakichliczbpierwszychpliczba2 p 1jestpierwsza? Liczby pierwsze: 2 2 1=3, 2 3 1=7, 2 5 1=31, 2 7 1=127, 2 13 1=8191, 2 17 1=131071, 2 19 1=524287.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 24 Liczby złożone: 2 11 1=2047=23 89, 2 23 1=8388607=47 178481, 2 67 1=147573952589676412927= = 193707721 761838257287

W. Guzicki: Liczby pierwsze 25 LICZBY MERSENNE A Definicja.LiczbęM n =2 n 1nazywamyn-tąliczbąMersenne a.jeśliliczbam n jestpierwsza,tonazywamyjąliczbą pierwszą Mersenne a. Marin Mersenne(1588 1648), zakonnik, filozof i matematyk żyjącywparyżu,stwierdziłbezdowodu,żeliczbym p dla p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 sąpierwszeorazżesątojedyneliczbypierwszepostacim p dla p 257.Wciągunastępnych300latstwierdzono,żeMersenne popełnił5błędów:liczbym 67 im 257 sązłożoneorazliczbym 61, M 89 im 107 sąpierwsze.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 26 Znaneliczbypierwszep,dlaktórychliczbaM p jestpierwsza: 2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787 1398269 2976221 3021377 6972593 13466917 20996011 24036583 25964951 30402457 32582657 37156667 42643801 43112609 57885161 10kwietnia2013r.godz.19 25

W. Guzicki: Liczby pierwsze 27 NAJWIĘKSZA ZNANA LICZBA PIERWSZA LiczbaM 57885161 =2 57885161 1jestnajwiększąznaną liczbą pierwszą. Ma ona 17425170 cyfr. Została znaleziona 25 stycznia 2013 r. przez Curtisa Coopera University of Central Missouri w ramach projektu GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)

W. Guzicki: Liczby pierwsze 28 DEFINICJA amodm=resztazdzieleniaaprzezm. PRZYKŁADY: 17mod3=2, 29mod6=5, 44mod10=4.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 29 JAK SPRAWDZAMY, ŻE LICZBA MERSENNE A JEST PIERWSZA? TEST LUCASA-LEHMERA Twierdzenie. Niech p będzie liczbą pierwszą. Definiujemy następujący ciąg liczb: r 1 =4, r k =(r 2 k 1 2)modM p dlak 2. WówczasliczbaMersenne am p jestpierwszawtedyitylkowtedy, gdy r p 1 =0.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 30 PRZYKŁAD. Niechp=5.WtedyM 5 =31.Obliczamykolejno: r 1 =4, r 2 =(4 2 2)mod31=14, r 3 =(14 2 2)mod31=190mod31=8, r 4 =(8 2 2)mod31=62mod31=0.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 31 INNY PRZYKŁAD. Niechp=11.WtedyM 5 =2047.Obliczamykolejno: r 1 =4, r 2 =(4 2 2)mod2047=14, r 3 =(14 2 2)mod2047=194, r 4 =(194 2 2)mod2047=788, r 5 =(788 2 2)mod2047=701, r 6 =(701 2 2)mod2047=119, r 7 =(119 2 2)mod2047=1877,

W. Guzicki: Liczby pierwsze 32 INNYPRZYKŁAD c.d. Przypominamyp=11.WtedyM 5 =2047.Obliczamydalej: r 8 =(1877 2 2)mod2047=240, r 9 =(240 2 2)mod2047=282, r 10 =(282 2 2)mod2047=1736. WNIOSEK r 10 0,więcliczbaM 11 =2047jestzłożona.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 33 Pytanie:Dlajakichliczbnliczba2 n +1jestpierwsza? Niechn=kl,gdziel>1jestliczbąnieparzystą. Wtedy: 2 k +1 (2 k ) l +1, czyli 2 k +1 2 n +1.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 34 LICZBY FERMATA Jeśliliczbapostaci2 n +1jestpierwsza,to wykładnik n jest potęgą liczby 2. LiczbyF n =2 2n +1nazywamyliczbamiFermata.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 35 LICZBYFERMATA c.d. Liczby: F 0 =2 20 +1=2 1 +1=3, F 1 =2 21 +1=2 2 +1=5, F 2 =2 22 +1=2 4 +1=17, F 3 =2 23 +1=2 8 +1=257, F 4 =2 24 +1=2 16 +1=65537 są pierwsze

W. Guzicki: Liczby pierwsze 36 LICZBYFERMATA c.d. F 5 =2 25 +1=2 32 +1=4294967297=641 6700417, F 6 =2 26 +1=2 64 +1=18446744073709551617= = 274177 67280421310721 F 7 =2 27 +1=2 128 +1= = 59649589127497217 5704689200685129054721

W. Guzicki: Liczby pierwsze 37 DZIELNIKI LICZB FERMATA Jeślid F n,toistniejeliczbanaturalnaktaka,że d=k 2 n+2 +1. Dlan=5mamy: 1 2 7 +1=128+1=129, 2 2 7 +1=2 128+1=257, 3 2 7 +1=3 128+1=385, 4 2 7 +1=4 128+1=513, 5 2 7 +1=5 128+1=641.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 38 MAŁE TWIERDZENIE FERMATA Jeślipjestliczbąpierwsząip a,toa p 1 modp=1. Jeślipjestliczbąpierwsząoraz0<a<p,to: a p 1 modp=1. WNIOSEK Jesli0<a<poraza p 1 modp 1,topjestliczbązłożoną.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 39 PRZYKŁAD 2 6 1=63 2 6 1 2 60 1 63 2 60 1 2 62 =2 62 2 2 +2 2 =2 2 (2 60 1)+4 2 62 mod63=4 Liczba 63 jest złożona

W. Guzicki: Liczby pierwsze 40 p=2 67 1=147573952589676412927 p 1=147573952589676412926 3 p 1 modp=95591506202441271281 2 67 1jestliczbązłożoną. 2 67 1=147573952589676412927= = 193707721 761838257287 F.N.Cole(1903)

W. Guzicki: Liczby pierwsze 41 Jakobliczyća n modmdladużychn? a 1 =a a 2 =a 1 a a 3 =a 2 a...... a n 1 =a n 2 a a n =a n 1 a Wtensposóbwykonamyn 1mnożeń.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 42 Jakobliczyća 1239 modm? 1239=2 10 +2 7 +2 6 +2 4 +2 2 +2 1 +2 0 1239=1024+128+64+16+4+2+1

W. Guzicki: Liczby pierwsze 43 a 1 = a p:=a 1 p=a 1 0 a 2 = a 1 a1 p:=p a 2 p=a 3 2 a 4 = a 2 a2 p:=p a 4 p=a 7 2 a 8 = a 4 a4 p=a 7 1 a 16 = a 8 a8 p:=p a 16 p=a 23 2 a 32 = a 16 a16 p=a 23 1 a 64 = a 32 a32 p:=p a 64 p=a 87 2 a 128 = a 64 a64 p:=p a 128 p=a 215 2 a 256 = a 128 a128 p=a 215 1 a 512 = a 256 a256 p=a 215 1 a 1024 = a 512 a512 p:=p a 1024 p=a 1239 2

W. Guzicki: Liczby pierwsze 44 DEFINICJA Jeśli 0<a<p oraz a p 1 modp 1, to liczbę a nazywamy świadkiem złożoności liczby p. liczba 2 jest świadkiem złożoności liczby 63. liczba3jestświadkiemzłożonościliczby2 67 1.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 45 KILKA PRZYKŁADÓW 2 340 mod341=1 3 340 mod341=56 5 340 mod341=67 7 340 mod341=56 11 340 mod341=253 341=11 31

W. Guzicki: Liczby pierwsze 46 KILKA PRZYKŁADÓW 2 560 mod561=1 3 560 mod561=375 5 560 mod561=1 7 560 mod561=1 11 560 mod561=154 561=3 11 17

W. Guzicki: Liczby pierwsze 47 TWIERDZENIE Jeśli0<a<porazNWD(a,p)>1,toa p 1 modp 1. 3 560 mod561=375 11 560 mod561=154 17 560 mod561=34 51 560 mod561=408 55 560 mod561=154 85 560 mod561=34 119 560 mod561=34

W. Guzicki: Liczby pierwsze 48 Liczba 561 nie ma innych świadków złożoności. JeśliNWD(a,561)=1,to3 a,11 aoraz17 a. 3 a 2 1 11 a 10 1 17 a 16 1 560=2 280 560=10 56 560=16 35 a 2 1 a 560 1 a 10 1 a 560 1 a 16 1 a 560 1 3 a 560 1 11 a 560 1 17 a 560 1 561 a 560 1

W. Guzicki: Liczby pierwsze 49 TWIERDZENIE Załóżmy,żepjestliczbąpierwsząoraza 2 modp=1.wtedy amodp=1 lub amodp=p 1

W. Guzicki: Liczby pierwsze 50 ZASTOSOWANIE 2 560 mod561=1 2 560 =(2 280 ) 2 2 280 mod561=1 2 280 =(2 140 ) 2 2 140 mod561=67 Wniosek: 561 jest liczbą złożoną.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 51 561=3 11 17 a a 35 a 70 a 140 a 280 a 560 2 263 166 67 1 1 5 23 529 463 67 1 13 208 67 1 1 1 50 560 1 1 1 1 52 307 1 1 1 1 103 1 1 1 1 1

W. Guzicki: Liczby pierwsze 52 481=13 37 a a 15 a 30 a 60 a 120 a 240 a 480 2 60 233 417 248 417 248 6 216 480 1 1 1 1 10 38 1 1 1 1 1 11 369 38 1 1 1 1 36 480 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 1

W. Guzicki: Liczby pierwsze 53 TEST MILLERA p 1=2 s t, 2 t r 0 =a t modp r 1 =a 2t modp r 2 =a 4t modp...... r s 1 =a 2s 1t modp r s =a 2st modp=a p 1 modp

W. Guzicki: Liczby pierwsze 54 DEFINICJA Liczba a jest świadkiem złożoności liczby p, jeśli: r s =a p 1 modp 1 lubistniejeindeksitaki,że0 i<soraz r i+1 =1, r i 1 i r i p 1 TWIERDZENIE Liczba złożona ma co najmniej 75% świadków złożoności.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 55 TWIERDZENIE Jeśliliczbapjestpierwszaoraz0<a<p,to (X a) p modp=x p a. WNIOSEK Jeśliliczbapjestpierwsza,0<a<porazr<p,to (X a) p mod(p,x r 1)=X pmodr a.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 56 TWIERDZENIE Manindra AGRAWAL, Neeraj KAYAL, Nitin SAXENA sierpień 2002 r. Jeśliliczbapjestzłożonaorazp m n dlam,n 2,toistnieją: nieduża liczba r oraz nieduża liczba a takie, że (X a) p mod(p,x r 1) X pmodr a.

W. Guzicki: Liczby pierwsze 57 KONIEC