Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14

Transkrypt

1 Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października 2013 r. omawiamy kolokwium nr Dowieść, że ilon dowolnych czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o jeden jest kwadratem liczby całkowitej Uporządkować podane liczby w kolejności rosnącej. Nie używać kalkulatora!!! a = 3 b = c = d = 10 e = 2+ 3 f = Uprościć wyrażenia a) b) c) d) (1 ) 6 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e) Uzupełnić wzory skróconego mnożenia. Kropki występujące po lewej stronie równości zastąpić pojedynm znakiem. a) 0 (x+2) 2 = x b) a 3 +b 3 = (a+b)... c) a 3 b 3 = (a b)... d) a 3...b 3 = (a 2 +ab+b 2 )... e) a 4...b 4 = (a+b)... f) a 4...b 4 = (a b)... g) a 5...b 5 = (a+b)... h) a 5...b 5 = (a b)... i) 0 (a+b) 3 = a j) 0 (a b) 4 = a 4... Lista Strony 13-24

2 k) 0 (a b) 5 = a 5... l) a n b n = (a b)... m) a n +b n = (a+b)... - dla których n? n) a n b n = (a+b)... - dla których n? Uwaga: Przyjmujemy, że w postępie geometrycznym wszystkie wyrazy są różne od zera. 78. Drugi, piąty i dziesiąty wyraz pewnego postępu arytmetycznego tworzą postęp geometryczny trójwyrazowy. Jaki jest iloraz tego postępu geometrycznego? Oblić , gdzie różnice między kolejnymi składnikami tworzą ciąg okresowy 1,2,3,1,2,3,1,2,3, Oblić , gdzie w mianownikach znajdują się potęgi dwójki i trójki ustawione rosnąco. 81. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie? W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym o sumie 0 co najmniej jeden z wyrazów jest równy Rozwiązać nierówności a) x+2 x 2 < x 2 1 b) x > 2x c) x 2 1 x d) x 3 1 x e) x ( x 2 +8x 8) x ( x 2 +x 8) f) 4x 4 x 2 x g) x x h) x i) x 2 2x+1+ x 2 4x+4 < x 2 +2x+1+ x 2 8x+16 j) x 2 25 < 24 k) (x+5) (x+5) 3 < (3x+1) (3x+1) 3 l) (x 2 +1) x+2 (x 2 +1) x2 Lista Strony 13-24

3 83 0. Która z liczb jest większa a) b) 1000! c) 1000! d) 1000! (500!) 2 ( ) 2007 ( ) e) f) ( ) 2007 ( ) g) ( ) 2007 ( ) 666 h) ( ) 2007 ( ) 666 i) ( ) 2007 ( ) 667 j) 2 100! 9 99! k) l) m) n) o) p) ( ) ( ) q) ( ) ( ) r) ( ) ( ) s) ( ) ( ) t) u) v) w) x) y) ( ) ( ) 9 27/8 ( ) 27 9/4 z) Lista Strony 13-24

4 84. Czy w dowolnym 10-wyrazowym postępie arytmetycznym a 1, a 2, a 3,..., a 10 zachodzi równość a) a 1 +a 10 = a 3 +a 7 ; b) a 3 +a 9 = 2a 6 ; c) a 2 +a 9 = a 5 +a 6 ; d) a 3 +a 8 = 2a 5? 85. Czy prawdziwa jest nierówność a) < k ; b) k 5 < ; c) k 3 < ; d) k 4 < ? 86. Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowego, o wyrazach będących liczbami naturalnymi, jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla a) n = 2008 ; b) n = 2011 ; c) n = 2009 ; d) n = 2010? 87. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 1000 x b) x 1001 x c) x 1001 x d) x 1000 x Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 4 < 3... b) x c) x d) x 3 < x Podać zbiór rozwiązań nierówności a) 4 x b) 1 x c) 1 x d) 3 x 4... Lista Strony 13-24

5 90. Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby a) b) c) d) Czy podane liczby tworzą (z zachowaniem kolejności) trójwyrazowy postęp arytmetyczny a) , 5, ; b) , 8, ; c) , 6, ; d) , 7, 7+4 3? 92. Czy podane liczby tworzą (z zachowaniem kolejności) trójwyrazowy postęp geometryczny a) 5+2 6, 1, ; b) 8+3 7, 1, ; c) 6+4 2, 1, ; d) 7+4 3, 1, 7 4 3? 93. W dowolnym n-wyrazowym postępie arytmetycznym o sumie wyrazów równej n, k-ty wyraz jest równy 1. Dla podanego n wskazać takie k, aby powyższe zdanie było prawdziwe. Jeśli uważasz, że takiego k nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 5, k =... b) n = 15, k =... c) n = 8, k =... d) n = 11, k = Czy dla dowolnych różnych liczb całkowitych dodatnich a, b, podana liczba jest podzielna przez a b a) a b 2013 ; b) a 2014 b 2014 ; c) a 2013 b 2013 ; d) a b 2014? Lista Strony 13-24

6 95. Czy dla dowolnych różnych liczb całkowitych dodatnich a, b, podana liczba jest podzielna przez a+b a) a b 2013 ; b) a 2014 b 2014 ; c) a 2013 b 2013 ; d) a b 2014? 96. Czy równość x 2 = x jest prawdziwa dla x = n n, jeżeli a) n = ; b) n = ; c) n = ; d) n = ? 97. Czy nierówność x 999 < x 2013 jest prawdziwa dla x = n n, jeżeli a) n = ; b) n = ; c) n = ; d) n = ? 98. Dany jest rosnący n-wyrazowy postęp arytmetyczny o wyrazach rzewistych. Niech oraz (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n ) N = a 1 +a 3 +a P = a 2 +a 4 +a będą sumami wyrazów o indeksach (numerach) odpowiednio nieparzystych i parzystych. Czy stąd wynika, że N < P, jeżeli a) n = 2010 ; b) n = 2013 ; c) n = 2011 ; d) n = 2012? 99. Czy przy tych samych oznaczeniach można wnioskować, że N > P, jeżeli a) n = 2014 ; b) n = 2017 ; c) n = 2015 ; d) n = 2016? Lista Strony 13-24

7 100. Podać zbiór rozwiązań nierówności, zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów a) 1 < x 1 < 2... b) 1 < (x 4) 3 < 8... c) 1 < x 2 < 3... d) 1 < (x 3) 2 < Dla podanych n, k, wskazać takie m > k, aby prawdziwa była równość ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = k 1 k m Jeśli uważasz, że takiego m nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 1000, k = 200, m =... b) n = 2013, k = 500, m =... c) n = 1500, k = 300, m =... d) n = 2000, k = 400, m =... Lista powtórkowa do kolokwium nr 2 (18 listopada 2013) Uwaga: To są zadania do samodzielnej powtórki - na zajęciach rozwiążemy tylko część zadań z tej listy. Proszę umieć wskazać zadania, które wymagają omówienia. Kolokwium będzie zakładało umiejętność rozwiązania zadań oraz umiejętność samodzielnego myślenia Oblić sumy postępów (ciągów) arytmetycznych i geometrycznych. a) n b) n c) n d) e) 2 n +3 2 n n n f) g) h) i) (6n+1) j) (100n+55). k) l) m) n) n Lista Strony 13-24

8 103. Czy równość jest prawdziwa dla a) a = 0, b = 2007 ; b) a = 2007, b = 2008 ; c) a = 2007, b = 0 ; d) a = 2007, b = 2007? (a+b) 3 = a 3 +2a 2 b+2ab 2 +b Czy równość x 2 = x jest prawdziwa dla a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x = ? 105. Czy dla dowolnego postępu geometrycznego trójwyrazowego a 1, a 2, a 3 podany niżej ciąg jest postępem geometrycznym a) a 1 +7, a 2 +7, a 3 +7 ; b) 7 a 1, 7 a 2, 7 a 3 ; c) 7a 1, 7a 2, 7a 3 ; d) a 7 1, a 7 2, a 7 3? 106. Czy istnieją dwie liczby naturalne, których największy wspólny dzielnik stanowi p% ich najmniejszej wspólnej wielokrotności, jeżeli a) p = 20 ; b) p = 50 ; c) p = 30 ; d) p = 40? 107. Czy równość jest prawdziwa dla a) a = 2, b = 2 ; b) a = 2, b = 5/2 ; c) a = 3, b = 2 ; d) a = 3, b = 3/2? a 4 b 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 Lista Strony 13-24

9 108. Czy prawdziwa jest równość ) ) 4 = 11 2 ( 5 ; ) ) 7 = 19 2 ( 8 ; ) ) 5 = 14 2 ( 6 ; ) ) 6 = 17 2 ( 7? a) 3 (11 b) 3 (19 c) 3 (14 d) 3 ( Czy prawdziwa jest równość a) b) c) d) (6 55 ) 12 = ( 6 55 ) 6 ; (9 ) 18 ( ) 9 55 = 9 55 ; (7 ) 14 ( ) 7 55 = 7 55 ; (8 ) 16 ( ) 8 55 = 8 55? 110. Czy prawdziwa jest nierówność a) 5 24 < 1 10 ; b) 51 7 < 1 7 ; c) 26 5 < 1 10 ; d) 7 47 < 1 7? 111. Czy prawdziwa jest nierówność a) 2 2 < 3 ; b) < 5 ; c) 3 3 < 5 ; d) 5 5 < 11? ci, 4-ty i 6-ty wyraz postępu arytmetycznego tworzą (w tej kolejności) postęp geometryczny trójwyrazowy. Czy stąd wynika, że postęp geometryczny tworzą także wyrazy (z zachowaniem kolejności): a) 3-ci, 5-ty, 11-ty ; b) 3-ci, 6-ty, 12-ty ; c) 4-ty, 6-ty, 10-ty ; d) 6-ty, 8-my, 11-ty? Lista Strony 13-24

10 113. Podać taką liczbę p, że liczba p po zwiększeniu o p% daje n a) n = 24 p =... b) n = 600 p =... c) n = 39 p =... d) n = 75 p = Czy istnieją takie liczby naturalne a, b, że liczba NWD(a, b) stanowi p% liczby NWW(a, b), jeżeli a) p = 15 ; b) p = 40 ; c) p = 20 ; d) p = 25? 115. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) 4 < x 2 < 9... b) 8 < x 3 < c) 4 < x 2 < 9... d) 8 < x 3 < Podać przykład ciągu arytmetycznego n-wyrazowego o sumie wyrazów równej n, zawierającego wyraz równy 0 a) n = 3... b) n = 6... c) n = 4... d) n = Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby a) b) c) d) Czy nierówność x 2 < x 4 jest prawdziwa dla a) x = 29 4 ; b) x = 29 7 ; c) x = 29 5 ; d) x = 29 6? Lista Strony 13-24

11 119. Czy nierówność x 3 < x 5 jest prawdziwa dla a) x = 29 4 ; b) x = 29 7 ; c) x = 29 5 ; d) x = 29 6? 120. Podać (w postaci przedziału lub sumy przedziałow) zbiór rozwiązań nierówności. a) 1 < x < b) 1 < x 6 < c) 1 < x 2 < d) 1 < x 3 < W dowolnym n-wyrazowym postępie arytmetycznym o sumie wyrazów równej S, co najmniej jeden z wyrazów jest równy w. Dla podanych n oraz S wskazać takie w, aby powyższe zdanie było prawdziwe. Jeśli uważasz, że takiego w nie ma, napisz: nie istnieje. a) n = 3, S = 15, w =... b) n = 11, S = 77, w =... c) n = 5, S = 30, w =... d) n = 8, S = 64, w = Czy prawdziwa jest nierówność a) 11 5 < 1 ; b) 44 5 < 1 ; c) 22 5 < 1 ; d) 33 5 < 1? 123. Liczba całkowita a jest mniejsza od liczby całkowitej dodatniej n o p%, a liczba całkowita b jest większa od liczby n o p%. Czy stąd wynika, że liczba a jest dzielnikiem liczby b, jeżeli a) p = 20 ; b) p = 70 ; c) p = 50 ; d) p = 60? Lista Strony 13-24

12 124. Czy podana liczba jest wymierna a) b) c) d) (3 19 ) ; (59 9 ) ; (5 ) ; (59 7 ) ? 125. Czy prawdziwa jest nierówność a) < ; 7 19 b) < ; c) < ; 7 17 d) < ? 126. Czy istnieje 17-wyrazowy postęp arytmetyczny, w którym liczba wyrazów całkowitych jest równa a) 6 ; b) 9 ; c) 7 ; d) 8? 127. Czy istnieje 17-wyrazowy postęp geometryczny, w którym liczba wyrazów wymiernych jest równa a) 6 ; b) 9 ; c) 7 ; d) 8? 128. Podać zbiór rozwiązań nierówności a) x 2 5 < 4... b) x 2 7 < 9... c) x 2 13 < d) x 2 17 < 8... Lista Strony 13-24