Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika, że: Ponadto widać, że: Wstawiając te związki do powyższej zależności mamy: Stąd: Dzieląc ostatnie z równań przez x i dodając do obu stron 1/x, otrzymuje się równanie o postaci: Jest to tzw. równanie zwierciadła kulistego. Identyczną postać ma również równanie soczewki! Po prostych przekształceniach można otrzymać zależność odległości obrazu od odległości przedmiotu od zwierciadła: Soczewki i zwierciadła - opis matematyczny Strona 1
Uwaga: y > 0 dla obrazu rzeczywistego (promienie po przejściu przez soczewkę lub odbiciu od zwierciadła przecinają się) y < 0 dla obrazu pozornego (promienie po przejściu przez soczewkę lub odbiciu od zwierciadła nie przecinają się, natomiast przecinają się ich przedłużenia) f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego f < 0 dla soczewki rozpraszającej lub zwierciadła wypukłego 2. Powiększenie obrazu Powiększenie obrazu iloraz wymiarów liniowych otrzymanego obrazu i wymiarów liniowych przedmiotu, Na rysunku ze strony 2 widać, że trójkąty BSA i B S A są podobne, gdyż mają wszystkie kąty takie same. Zatem zachodzi również proporcja: Ponieważ stosunek wymiarów liniowych obrazu i przedmiotu ma wartość dodatnią, to: Analiza równania zwierciadła kulistego wklęsłego i soczewki skupiającej: x x > 2 f x = 2 f f < x < 2 f x = f 0 < x < f y ----- p ----- Opis obrazu pomniejszony, tej samej wielkości, powiększony, brak obrazu pozorny, powiększony. prosty Soczewki i zwierciadła - opis matematyczny Strona 2
Uwaga: 1. Zwierciadło płaskie można uważać za kawałek powierzchni zwierciadła kulistego o nieskończenie wielkim promieniu krzywizny: Stąd równanie zwierciadła kulistego ma postać: Po podstawieniu do wzoru na powiększenie obrazu otrzymuje się: Wniosek: zwierciadło płaskie daje obraz pozorny, prosty i tej samej wielkości! 2. W przypadku przedmiotu rzeczywistego ( ) ustawionego przed zwierciadłem wypukłym lub soczewką rozpraszającą (w obu przypadkach ): Wniosek: zwierciadło wypukłe i soczewka rozpraszająca daje obraz pozorny, prosty pomniejszony! Wartość ogniskowej soczewki zależy od: 3. Wzór soczewkowy rodzaju materiału z jakiego została wykonana, tj. bezwzględnego współczynnika załamania światła materiału soczewki ns, rodzaju ośrodka otaczającego soczewkę, tj. bezwzględnego współczynnika załamania światła ośrodka otaczającego soczewkę no, kształtu soczewki, tj. promieni jej krzywizny r1 i r2. Mając wyżej wymienione dane, można obliczyć ogniskową soczewki z wzoru soczewkowego: strona wypukła: strona wklęsła: strona płaska: Dla soczewki umieszczonej w powietrzu ( )można zastosować wzór: Soczewki i zwierciadła - opis matematyczny Strona 3
W przypadku soczewki symetrycznej ( ): 4. Zdolność skupiająca soczewki i układu soczewek Zdolność skupiająca pojedynczej soczewki odwrotność ogniskowej soczewki wyrażonej w metrach. Przykłady: Zdolność skupiająca dwóch cienkich soczewek, odległych od siebie o d. Zdolność skupiająca układu n cienkich soczewek stykających się ze sobą. Podane powyżej wzory dla soczewek (punkty 1 4) są prawdziwe tylko przy jednoczesnym spełnieniu podanych poniżej założeń: soczewki są bardzo cienkie, tzn. ich grubość mierzona na osi optycznej soczewki jest znacznie mniejsza od promieni krzywizny obu stron soczewki, światło przechodzące przez soczewki jest monochromatyczne, powierzchnie stron zakrzywionych soczewki są idealnie kuliste, kąty - pomiędzy promieniami padającymi na soczewkę a główną osią optyczną soczewki - są bardzo małe. W praktyce powyższe warunki nie są zazwyczaj spełnione, dlatego obrazy otrzymywane za pomocą soczewek mają pewne zniekształcenia. Do takich typowych zaliczyć można aberrację chromatyczną i sferyczną. Uwaga: Soczewki i zwierciadła - opis matematyczny Strona 4
Aberracja sferyczna Jeżeli wiązka światła monochromatycznego padającą na soczewkę jest szeroka (skrajne promienie leżą daleko od osi optycznej soczewki) i/lub promienienie padające na soczewkę tworzą duże kąty z główną osią optyczną, to ognisko soczewki nie jest punktowe, lecz rozciągnięte wzdłuż osi optycznej soczewki. Promienie biegnące dalej od osi optycznej są silniej załamywane od promieni biegnących bliżej tej osi, dlatego promienie ogniskują się na pewnym odcinku AB (patrz rysunek). Aberracja chromatyczna E Pojawia się, jeśli na soczewkę pada światło zawierające różne długości fal, np. tzw. światło białe. Przechodząc przez soczewkę ulega ono rozszczepieniu. Najsilniej załamywane są fale o najmniejszej długości, natomiast najsłabiej o największych długościach. W przypadku światła białego oznacza to, że najkrótszą ogniskową otrzymuje się dla fal fioletowych, natomiast najdłuższą dla fal czerwonych. W rezultacie obrazem przedmiotu będącego punktem wysyłającym światło białe - otrzymanym na ekranie E - nie jest punkt, lecz kolorowe kółko (plamka) o pewnej średnicy. Jest to tzw. aberracja poprzeczna. Natomiast odcinek odpowiadający odległości pomiędzy ogniskowaniem się światłą fioletowego a czerwonego, określa tzw. aberrację podłużną. Soczewki i zwierciadła - opis matematyczny Strona 5