MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 7-14, Gliwice 2012 ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI TŁUMIĄCYCH STRUKTUR GRANULOWANYCH NA PRZYKŁADZIE DRGAŃ BELEK JACEK MATEUSZ BAJKOWSKI, ROBERT ZALEWSKI Instytut Pojazdów, Instytut Podstaw Budowy Maszyn, Politechnika Warszawska e-mail: jm.bajkowski@gmail.com, robertzalewski@wp.pl Streszczenie. W artykule zaprezentowano wyniki badań innowacyjnych struktur granulowanych, umożliwiających wpływ na charakterystykę drgań belek, poprzez zmiany wartości podciśnienia wewnątrz struktury i wywołanie w niej tzw. stanu zablokowania materiału. Wykorzystując właściwość materiałów sypkich polegającą na przyjmowaniu praktycznie dowolnego kształtu, w zależności od powierzchni ograniczających materiał, uzyskuje się możliwość budowy tanich tłumików drgań, przeznaczonych do konstrukcji o różnorodnym kształcie, z możliwością wpływania na ich charakterystykę tłumienia. 1. WSTĘP Za materiał sypki można uważać liczne skupiska pojedynczych, makroskopowych ciał stałych zwanych granulkami, jak np. żwir, piasek, ziarna, tabletki farmaceutyczne czy kryształy cukru. Pomimo powszechnego występowania materiałów granulowanych w naturze i w przemyśle, fizyka materiałów sypkich ciągle nie wyjaśniła wielu zjawisk towarzyszących ich pozornie nieskomplikowanemu zachowaniu. W zależności od warunków i skali, w jakiej rozpatrywane jest zachowanie materiałów granulowanych, charakteryzują je właściwości zbliżone do ciał stałych, cieczy bądź gazów. Właściwości pojedynczej granulki nie muszą się pokrywać z właściwościami, jakie wykazuje cała struktura złożona z dużej liczby pojedynczych cząstek. W literaturze dotyczącej omawianego tematu dostępne są opracowania opisujące problemy i zjawiska związane z transportem materiałów granulowanych, ich mieszaniem, bądź mechaniką osiadania gruntów []. Niezbadane pozostają natomiast potencjalne obszary wykorzystania unikalnych właściwości tej grupy materiałów w aplikacjach inżynierskich. W pracy przedstawiono zastosowanie specjalnie wykonanych struktur, zbudowanych na bazie granulatu znajdującego się w atmosferze częściowej próżni, do tłumienia drgań belek. Pomysł jest konsekwencją badań prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej, dotyczących szerokiego wykorzystania materiałów granulowanych, poddanych działaniu podciśnienia, w zastosowaniach inżynierskich [1, 8, 10, 11, 12].
8 J. M. BAJKOWSKI, R. ZALEWSKI 2. WYKORZYSTANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW GRANULOWANYCH 2.1. Aplikacje inżynierskie Znane są rozwiązania tłumików granulowanych wykorzystujące bezwładność materiału sypkiego. Ich zasada działania wykorzystuje zjawiska dyssypowania energii, w trakcie niesprężystych zderzeń luźnego granulatu i tarcia, występującego między cząsteczkami oraz pomiędzy cząsteczkami i ścianami []. Właściwości materiałów granulowanych poddanych działaniu podciśnienia zostały wykorzystane w ratownictwie medycznym do konstrukcji specjalnych noszy, kołnierzy i usztywniaczy podciśnieniowych, a także w prototypowych projektach tzw. miękkich robotów [4]. Innym przykładem wykorzystania granulatu znajdującego się w specjalnych warunkach jest uniwersalny chwytak robota, składający się z wypełnionej ziarnami błony z zaworem odpowietrzającym [9]. Chwytak taki umożliwia podniesienie zarówno drobnych i delikatnych przedmiotów jak i dużych części, niezależnie od ich kształtu. Wykorzystanie do tłumienia drgań właściwości. jakie posiada granulat znajdujący się pod działaniem podciśnienia, jest tematem praktycznie nieobecnym w zastosowaniach inżynierskich i w literaturze. 2.2. Koncepcja struktury granulowanej tłumiącej drgania Struktura granulowana poddana badaniom eksperymentalnym została wykonana jako szczelna, elastyczna osłona z tworzywa sztucznego, wypełniona luźnym granulatem (rys. 1a). Ze względu na tendencję materiałów sypkich do samoczynnego sortowania pod wpływem drgań [5] do badań użyto granulatów o cząsteczkach jednakowej wielkości, tworzących tzw. mieszaninę idealną. Ograniczenie powierzchni elastycznym rękawem wykonanym z folii poliwinylowej oraz siły tarcia międzycząsteczkowego zapobiegały swobodnemu przesypywaniu się granulek w stanie statycznym. Pompa próżniowa umożliwiała regulację wartości ciśnienia wewnątrz rękawa poprzez zamontowany w nim zawór zwrotny. Przy określonej wartości ciśnienia możliwe jest wywołanie w granulacie tzw. stanu zablokowania materiału (ang. jammed state) [2]. Podciśnienie zapewnia, że niezależnie od stopnia odkształcenia materiału i częstości drgań, ziarna materiału będą ze sobą w stałym kontakcie. Wypadkowe naprężenie wewnątrz struktury pomiędzy cząsteczkami można wyrazić zależnością: ' p (1) gdzie efektywne naprężenie międzycząsteczkowe, całkowite naprężenie w strukturze granulowanej, p wartość ciśnienia powietrza pomiędzy granulkami. Efektywne naprężenie wpływa na siły tarcia międzycząsteczkowego, a więc na twardość i odporność na ściskanie materiału ziarnistego. W przypadku zadania podciśnienia p, którego wartość, w stosunku do ciśnienia atmosferycznego, jest ujemna, naprężenie między cząsteczkami wzrasta, na skutek ściskania wolnych przestrzeni przez ciśnienie atmosferyczne (rys. 2c). Opracowując koncepcję struktury granulowanej, założono, że zmiana wartości podciśnienia pozwoli na zmianę właściwości tłumiących materiału, przez co możliwe będzie stworzenie półaktywnego układu redukcji drgań.
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI TŁUMIĄCYCH STRUKTUR GRANULOWANYCH 9. BADANIA EKSPERYMENTALNE STRUKTURY GRANULOWANEJ.1. Obiekt badań i stanowisko badawcze Stanowisko badawcze oraz jego schemat przedstawiono na rys. 1b. Obiektem badań była belka wykonana ze stali sprężynowej, o przekroju 4 10-2 4 10 - m i długości: 0,92, 0,82, 0,72, 0,62, 0,52 oraz 0,42 m. a) b) Rys. 1. a) Struktura granulowana wraz z oznaczeniem najważniejszych elementów, b) stanowisko laboratoryjne do badania właściwości specjalnych struktur granulowanych Na końcu belki umieszczono masę 0,105 kg, dodatkowo zapobiegającą zsuwaniu się rękawa. Wykonano badania drgań swobodnych belki, wykorzystując dwa rodzaje materiału granulowanego: sferyczny, o średnicy 5,9 mm wykonany z tworzywa sztucznego ABS (akrylonitryl-butadien-styren) oraz walcowy o średnicy 2 mm i długości 2 mm również wykonany z tego tworzywa (rys. 2a, 2b). a) b) c) Rys. 2. Granulaty użyte do budowy struktury tłumiącej drgania a) sferyczny b) walcowy c) przekrój poprzeczny struktury wraz z oznaczeniem jej wymiarów.2. Wyniki badań i ich analiza Ze względu na rozpatrywanie zjawisk w skali makro, w rozważaniach pominięto wpływ temperatury na właściwości granulatu, przyjmując nadrzędność zjawisk dynamicznych nad entropią układu [2]. Na rys. przedstawiono przebieg czasowy przemieszczenia końca belki o długości 0,42 m, osłoniętej strukturą z granulatem walcowym, przy trzech wartościach
10 J. M. BAJKOWSKI, R. ZALEWSKI ciśnienia. Charakter drgań miał przebieg periodyczny, tłumiony. Na rys. 4 przedstawiono porównanie amplitud dla belki z granulatem walcowym i sferycznym, wyznaczonych jako obwiednie przemieszczenia w funkcji czasu. Wyniki odniesiono do przemieszczenia belki bez struktury granulowanej. Ze względu na wzrost masy belki tłumionej za pomocą granulatu takie porównanie ma jedynie charakter poglądowy. Wraz ze wzrostem podciśnienia wzrasta współczynnik tłumienia dla różnego rodzaju ziaren, różnych długości belki i częstości drgań. Otrzymane krzywe były bliskie zależnościom wykładniczym, charakterystycznym dla układów, w których występuje tłumienie wiskotyczne.. Rys.. Przemieszczenie końca belki o długości 0,42 m z granulatem walcowym przy różnych wartościach podciśnienia Rys. 4. Porównanie amplitud przemieszczenia końca belki z różnymi granulatami Dokładniejsze analizy zależności wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia od podciśnienia (rys. 5) ujawniły, że w przypadku granulatu walcowego, podobnie jak sferycznego, największą wartość dekrementu otrzymuje się przy najkrótszych długościach belek, a zatem przy najwyższej częstości drgań. Zależność wpływu podciśnienia na wartość dekrementu dla obydwu kształtów granulatu jest nieliniowa. Dla granulatu sferycznego krzywe aproksymacji można opisać równaniem kwadratowym. Dla granulatu walcowego najlepsze odwzorowanie przebiegów uzyskano, posługując się krzywą trzeciego stopnia (rys. 5). W związku z powstawaniem łańcuchów sił, będących formą preferencyjnie naprężonej grupy ziaren, odpowiedzialnych za nieizotropowy charakter rozkładu naprężeń, rośnie sztywność i twardość całej struktury. W stanie zablokowanym dochodzi do intensyfikacji zjawiska dyssypacji energii, w związku z zagnieżdżaniem się
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI TŁUMIĄCYCH STRUKTUR GRANULOWANYCH 11 cząsteczek, stratami związanymi z tarciem, zwiększonymi odkształceniami postaciowymi i poślizgami w miejscach kontaktu [5, 7]. Zaobserwowano również, że dla granulatu sferycznego, wraz ze skracaniem długości belki, a więc wraz ze wzrostem częstotliwości drgań, wartość logarytmicznego dekrementu dla podciśnienia 0,01 MPa wyraźnie wzrastała, co było zgodne z przewidywaniami. Rys. 5. Porównanie wpływu podciśnienia na wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia granulatów: a) sferycznego oraz b) walcowego Analizując wartości dekrementu tłumienia drgań belki z granulatem sferycznym, które wyznaczono przy najniższych wartościach podciśnienia, tzn. przy 0,01 MPa, okazało się, że w przypadku belki o długości 0,92 m jego wartość wynosiła 0,0, a w przypadku belki o długości 0,42 m odpowiednio 0,08 (Rys. 5a). Natomiast dla granulatu walcowego skrócenie długości belki nie miało tak wyraźnego wpływu na wartość wyznaczonego dekrementu tłumienia, co potwierdziły badania przeprowadzone również przy wartości ciśnienia 0,01 MPa (obszar zaznaczony na wykresach na rys. 5). Dla belki o długości 0,92 m wartość dekrementu wynosiła 0,06, podczas gdy dla belki o długości 0,42 m wartość ta wzrosła tylko nieznacznie, do 0,08 (rys. 5b). Zaobserwowane zjawisko można próbować wyjaśnić faktem, że w przypadku granulatu sferycznego, niezależnie od długości belki, mamy do czynienia z takim samym stopniem upakowania i porowatością struktury. Już dla najniższych wartości podciśnienia granulki układają się w taki sposób, że tworzą strukturę podobną właściwościami do ciała stałego. Wzrost ciśnienia nie powoduje wzrostu upakowania, a jedynie zwiększenie naprężeń. W przypadku granulatu walcowatego mamy do czynienia z niejednorodnością upakowania, która skutkuje odmiennym zachowaniem takiej struktury przy niskich wartościach podciśnienia. Dla najniższej wartości podciśnienia struktura ma charakter zbliżony do ciała półpłynnego. Dopiero wzrost podciśnienia do 0,02 MPa skutkuje zwiększeniem sztywności i pozwala obserwować wpływ zmiany długości belki na wartość dekrementu tłumienia. Analizując układ drgającej belki ze strukturą granulowaną, we wstępnych analizach postanowiono go zredukować do możliwie uproszczonego układu o jednym stopniu swobody, z możliwością zmiany sztywności oraz współczynnika tłumienia za pomocą podciśnienia (rys. 6).
12 J. M. BAJKOWSKI, R. ZALEWSKI Rys. 6. Schemat modelu układu zredukowanego do układu zastępczego Równanie ruchu przedstawionego układu można wyrazić zależnością: mz x c x kz x F( p) (2) x przemieszczenie, m z masa zredukowana belki, granulatu i dodatkowej masy umieszczonej na końcu belki, c zastępczy współczynnik tłumienia, k z zastępczy współczynnik sprężystości, p wartość podciśnienia, sygnał sterujący. Zastępczy współczynnik sprężystości struktury można wyznaczyć z zależności 1 k z () gdzie oznacza ugięcie belki wywołane jednostkową siłą przyłożoną w punkcie zamocowania skupionej masy. Może być ono wyznaczone z zastosowaniem wzoru Mohra, który w rozpatrywanym przypadku ma postać l 1 2 M d EJ lz E J (4) 0 z l długość rozpatrywanej belki, J z zastępczy geometryczny moment bezwładności. Sztywność zastępczą wyraża zależność WH bh Ez J z Eb J b Eg J g Eg Eb Eg (5) 12 12 b, h, H, W wymiary przekroju belki stalowej oraz całej struktury granulowanej (rys. 2c), E b, E g moduły Younga odpowiednio belki stalowej oraz struktury granulowanej. Moduł Younga materiału granulowanego został określony eksperymentalnie w pracy [11]. Jest on zależny od wartości podciśnienia w osłonie i przyjmuje różną wartość w zależności od tego, czy materiał jest ściskany czy rozciągany Er dla rozciagania E g Es dla ściskania (p) funkcja podciśnienia, E r/s moduł Younga wyznaczony w przypadku rozciągania lub ściskania. (6)
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI TŁUMIĄCYCH STRUKTUR GRANULOWANYCH 1 Wzór opisujący zastępczy współczynnik sprężystości struktury, przyjmuje postać Er / swh Er / sbh Ebbh kz (7) 4l Chcąc wyznaczyć wartość współczynnika tłumienia układu, można posłużyć się eksperymentalnymi zależnościami opisującymi logarytmiczny dekrement tłumienia, które zostały zilustrowane na rys. 5. Przy założeniu tłumienia wiskotycznego, korzystając z definicji dekrementu, można napisać, że: c( p) (8) mk Ostatecznie, przekształcając powyższą zależność, otrzymano: m c k z (9) Zależności logarytmicznego dekrementu tłumienia od wartości podciśnienia zostały przedstawione na rys. 5. Krzywe aproksymujące rezultaty badań z granulatem sferycznym opisano zależnością kwadratową: 2 A Bp Cp (10) Dla struktury z granulatem walcowym krzywe opisuje wzór: 2 A Bp Cp Dp (11) A, B, C, D eksperymentalnie wyznaczone parametry. Rozpatrując zależność (1),stwierdzono występowanie układu SISO (Single Input Single Output), w którym wejściowym sygnałem sterującym jest wartość podciśnienia w osłonie belki, natomiast sygnałem wyjściowym jest amplituda drgań belki, zredukowanej do układu o jednym stopniu swobody. Kwestią otwartą pozostaje eksperymentalne określenie funkcji podciśnienia i możliwe uproszczenie zależności, umożliwiające aproksymację wyników eksperymentalnych z wymaganą dokładnością. z 4. PERSPEKTYWY Szeroko zakrojone dotychczasowe badania oraz prace dotyczące adaptacyjnego tłumienia drgań struktur belkowych i płytowych za pomocą cieczy sterowanych oraz elementów piezoelektrycznych, dzięki prezentowanym pracom związanym z własnościami specjalnie kształtowanych struktur granulowanych, mogą zostać znacząco rozszerzone o nowy element sterowania, jakim jest wykorzystanie podciśnienia. Zaprezentowana koncepcja wykorzystania tanich i łatwo dostępnych materiałów granulowanych wydaje się być interesującym rozwiązaniem, mogącym sprawdzić się w przypadku aplikacji o dłuższym czasie reakcji, wymagających mniejszych sił tłumienia. Istotne wydaje się przebadanie zachowania rzeczywistego układu dla sił wymuszających o charakterze periodycznym oraz impulsowym. Dla układów poddawanych siłom
14 J. M. BAJKOWSKI, R. ZALEWSKI dynamicznym możliwe będzie stworzenie optymalnego algorytmu sterowania amplitudą drgań belki za pomocą wartości podciśnienia panującego w rękawie. LITERATURA 1. Bajkowski J., Tadzik P., Zalewski R.: New possibilities of the active damping of vibrations. Mechanics 2007, 26, No. 4, p.162-165. 2. Cates. M.E., Wittmer J. P., Bouchaud J.-P., Clauidin P.: Jamming and static stress transmission in granular materials. Chaos 1999, Vol. 9, No., p. 511 522.. Els D.N.: The effectiveness of particle dampers under centrifugal loads. Ph. D Thesis. University of Stellenbosch, Stellenbosch 2009. 4. Hostler S., R. Brenn Ch.E,: Pressure wave propagation in a granular bed. Physical Review E, 2005, Vol. 72, p. 041-045. 5. Marion D. P.: Acoustic, mechanical, and transport properties of sediments and granular materials. Ph. D. dissertation. Stanford University 1990. 6. Mueth D., Jaeger. M, Nagel S. R.: Force distribution in a granular medium. Physical Review E, 1998, Vol. 57, No., p. 164 169. 7. Nedderman R. M.: Statics and kinematics of granular materials. Cambridge 1992. 8. Pyrz, M., Zalewski, R.: Modeling of granular media submitted to internal underpressure. Mech. Res. Commun. 2010, 7, 2, p. 141-144. 9. Steltza E. et. al.: Jamming as an enabling technology for soft robotics. In: Proc. of the SPIE, 2010, Vol. 7642, p. 7642250-7642259. 10. Zalewski R., Bajkowski J., Tadzik P.: Application of granular structures in special conditions for semi-active damping of vibrations. Machine Dynamics Problems 2007, Vol. 1, No, p. 109-115. 11. Zalewski R.: Constitutive model for special granular structures. Int. J. Non-Linear Mech. 2010, 45,, p. 279-285. 12. Zalewski R, Pyrz M.: Modeling and parameter identification of granular plastomer conglomerate submitted to internal underpressure. Engineering Structures 2010, 2, p. 2424-241. ANALYSIS OF THE DAMPING PROPERTIES OF GRANULAR STRUCTURES: A CASE STUDY OF BEAM VIBRATIONS Summary. The article presents the results of the research considering the innovative granular structures, that allows to change the damping characteristics of beams by varying the underpressure inside the structure and thus, transforming the material into a jammed state. Utilizing the behaviour of the underpressured bulk materials, mainly the possibility of adopting any boundary dependant shape, we can obtain the possibility of building low-cost and efficient dampers. They can be adopted for a differently shaped structures, with the feature of the semi-active control of the damping characteristics.