Analiza zniekszta³ceñ obrazów w tomografii gamma

Transkrypt

1 AUTOATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 S³awomir Lewandowski*, W³odzimierz osorow*, Jaros³aw W³odarczyk* Anaiza zniekszta³ceñ obrazów w tomografii gamma. Wprowadzenie.. Zadanie rekonstrukcji obrazu Jakoœæ rekonstruowanego obrazu da dowonej techniki tomograficznej w du ym stopniu zae y od uk³adu sensorów i wybranego agorytmu rekonstrukcji. Zadanie rekonstrukcji obrazu w odniesieniu do tomografii gamma poega na odtworzeniu rozk³adu os³abieñ promieniowania na podstawie serii pomiarów pochodz¹cych z detektorów tomografu. Na podstawie rozk³adu os³abieñ mo iwe jest wyznaczenie rozk³adu gêstoœci w badanym przekroju, a wiêc jednoczeœnie wyznaczenie obrazu badanego procesu. Zae noœæ miêdzy rozk³adem gêstoœci oraz danymi pomiarowymi okreœa prawo Lamberta Beera, które mo na zapisaæ w postaci wzoru [4] I = I 0 exp( μρ x) () I natê enie promieniowania po przejœciu przez absorber, I 0 natê enie promieniowanie emitowanego przez Ÿród³o, μ wspó³czynnik os³abienia, ρ gêstoœæ absorbera, x gruboœæ absorbera. Wyznaczenie rozk³adu gêstoœci wymaga zatem rozwi¹zania zagadnienia odwrotnego. Aby zadanie rekonstrukcji mo na by³o rozwi¹zaæ przy u yciu metod numerycznych, niezbêdna jest dyskretyzacja badanego obszaru, czyi jego podzia³ na skoñczon¹ iczbê podobszarów zwanych rekseami (reconstruction eement) [3]. Wartoœæ danego reksea determinuje zae noœæ (2). Wystêpuj¹ca w tej zae noœci waga jest wyznaczana na podstawie geometrii tomografu i okreœa wk³ad danego reksea i do promienia mierzonego przez detektor j [2]. Jej wartoœæ stanowi stosunek czêœci poa objêtego przez promieñ do poa ca³kowitego reksea [], przy czym przyjmuje siê zazwyczaj, e rekse jest kwadratem o boku równym jednoœci. * Katedra Informatyki Stosowanej, Poitechnika ódzka 647

2 648 S³awomir Lewandowski, W³odzimierz osorow, Jaros³aw W³odarczyk Sposób obiczania wagi przedstawia rysunek. p N = w ρ (2) j ji i p j znormaizowana wartoœæ zmierzona przez detektor j, gdzie j =, 2,...,, ρ i znormaizowana gêstoœæ odpowiadaj¹ca rekseowi i, w ji wartoœæ wagi da promienia j oraz reksea i, N iczba reksei, iczba detektorów (pomiarów). rexe i waga w ji A B C w ji P ABC P rexea promieñ j Rys.. Sposób obiczania wagi (wk³adu reksea i do promienia j).2. Iteracyjne agorytmy rekonstrukcji obrazu Jednym z najpowszechniej stosowanych agorytmów rekonstrukcji obrazów w tomografii gamma jest agorytm iteracyjny zwany ILST (Iterative Least Square Technique). Dzia³anie agorytmu iteracyjnego poega na modyfikowaniu wartoœci ka dego reksea w koejnych krokach iteracji a do osi¹gniêcia okreœonego kryterium. Dzia³anie agorytmu przedstawia wzór + ρ i =ρ i + Δρij (3) j= ρ i gêstoœæ reksea w poprzedniej iteracji, ρ i + nowa gêstoœæ reksea, Δρij poprawka da reksea i obiczona na podstawie promienia j.

3 Anaiza zniekszta³ceñ obrazów w tomografii gamma 649 Poprawkê da danego reksea obicza siê na podstawie ró nicy miêdzy wartoœciami odczytanymi z detektorów a wartoœciami obiczonymi z zae noœci (2) na podstawie aktuanego rozk³adu gêstoœci [3]. Je ei w danym kroku iteracyjnym rekse i ma wartoœæ ρ i, to korzystaj¹c z (2), mo emy wyznaczyæ, jakie powinny byæ wskazania detektorów. Otrzymujemy wówczas zae noœæ p cj ρ i p N cj = wjiρi (4) znormaizowana wartoœæ, jak¹ powinien wskazywaæ detektor j, znormaizowana gêstoœæ odpowiadaj¹ca rekseowi i. Poprawkê da danego reksea i otrzymujemy korzystaj¹c z zae noœci [4] N wji pj w jiρi w ji p Δ j Δρ ij = = N N 2 2 wji wji Δ p j ró nica miêdzy wartoœci¹ zmierzon¹ i obiczon¹ da detektora j, p j znormaizowana wartoœæ odpowiadaj¹ca wskazaniu detektora j. (5) 2. Anaiza zniekszta³ceñ obrazu Da symuacji danych pomiarowych zosta³a wybrana geometria tomografu pokazana na rysunku 2. Da wybranego fantomu wykorzystano zae noœæ (2), gdzie za ρ i przyjêto rozk³ad gêstoœci fantomu. Nastêpnie uzyskane dane pomiarowe by³y poddane dzia³aniu opisywanego w punkcie.2 agorytmu rekonstrukcji obrazu. Warunkiem zatrzymania agorytmu ILST by³o spe³nienie kryteriów (6a) oraz (6b). p r ( gi gi ) δ d = 00% < 0,% r r ( gi g ) 2 2 (6a) p gi δ r = 00% < % g g p i r i (6b)

4 650 S³awomir Lewandowski, W³odzimierz osorow, Jaros³aw W³odarczyk δd znormaizowany b³¹d œredni kwadratowy, δr znormaizowany b³¹d œredni, g p i poziom jasnoœci reksea i w fantomie, g r i poziom jasnoœci reksea i w obrazie. Da wszystkich anaizowanych fantomów po 0 iteracjach spe³nione by³y kryteria (6a) oraz (6b). Zniekszta³cenia obrazu anaizowane by³y przez porównanie zadanego fantomu oraz obrazu po rekonstrukcji zwanego tomogramem. Ÿród³o detektory badany przekrój Rys. 2. Geometria stosowanego tomografu gamma 2.. Zniekszta³cenia fantomów symetrycznych Jako pierwsze anaizowane by³y fantomy symetryczne wzgêdem poziomej oraz pionowej osi symetrii. Wybrane fantomy zosta³y przedstawione na rysunku 3. Rys. 3. Wybrane anaizowane fantomy symetryczne

5 Anaiza zniekszta³ceñ obrazów w tomografii gamma 65 Rys. 4. Tomogramy uzyskane z fantomów symetrycznych Rysunek 4 pokazuje natomiast obrazy po rekonstrukcji da fantomów z rysunku 3. We wszystkich tomogramach mo na dostrzec jedn¹ zasadnicz¹ cechê: pozostaj¹ one symetryczne wzgêdem pionowej osi symetrii. Nae y tutaj dodaæ, e równie geometria wykorzystanego tomografu (rys. 2) reprezentowana przez macierz wag by³a symetryczna wzgêdem pionowej osi symetrii. Prowadzi to do wniosku, e na zniekszta³cenia rekonstruowanych obrazów siny wp³yw ma geometria tomografu, m.in. rozmieszczenie Ÿróde³ i detektorów promieniowania gamma Zniekszta³cenia fantomów typu pojedynczy rekse Koejn¹ grup¹ fantomów poddanych anaizie by³y fantomy sk³adaj¹ce siê z pojedynczego reksea. Ceem tych badañ by³o okreœenie zniekszta³cenia pojedynczego piksea w zae noœci od tego, gdzie siê on znajduje (w pobi u œrodka badanego przekroju ub w pobi u brzegu). Wybrane fantomy zosta³y przedstawione na rysunku 5. Rysunek 6 pokazuje natomiast obrazy fantomów uzyskane po rekonstrukcji agorytmem iteracyjnym. Rys. 5. Wybrane anaizowany fantomy typu pojedynczy rekse Rys. 6. Tomogramy uzyskane z fantomów typu pojedynczy rekse

6 652 S³awomir Lewandowski, W³odzimierz osorow, Jaros³aw W³odarczyk Z rysunku 6 wynika, e rekse znajduj¹cy siê w pobi u œrodka badanego przekroju uega rozmyciu, jednak pozostaje on nada symetryczny. Reksee znajduj¹ce siê w pobi u brzegu przekroju oprócz rozmycia uegaj¹ równie niesymetrycznemu zniekszta³ceniu (rozci¹gniêciu) Tomogram jako fantom Ostatni eksperyment przeprowadzony w ramach badania zniekszta³ceñ poega³ na potraktowaniu zrekonstruowanego obrazu jako fantomu. Nastêpnie na podstawie tego fantomu by³y wygenerowane dane pomiarowe i ponownie przeprowadzony by³ proces rekonstrukcji. Uzyskane wyniki przedstawione s¹ na rysunku 7. a) b) c) Rys. 7. Tomogram jako fantom: a) fantom oryginany; b) tomogram odpowiadaj¹cy fantomowi oryginanemu; c) zrekonstruowany obraz da tomogramu b) u ytego w roi fantomu Porównuj¹c rysunki 7b oraz 7c mo emy stwierdziæ, e s¹ one niema identyczne. Prowadzi to do stwierdzenia, e ten sam tomogram uzyskujemy da fantomu pokazanego na rysunkach 7a oraz 7b. 3. Podsumowanie W artykue zosta³y przedstawione wyniki anaizy zniekszta³ceñ powstaj¹cych w rekonstruowanych obrazach w tomografii gamma. Jest to wstêpny etap badañ maj¹cych na ceu opracowanie nowego agorytmu rekonstrukcji obrazu, który bêdzie uwzgêdnia³ po³o- enie Ÿróde³ oraz detektorów tomografu (geometriê tomografu). Na podstawie znanej geometrii mo iwe bêdzie ograniczenie powstaj¹cych w tomogramach zniekszta³ceñ (rozmycie, zniekszta³cenia geometryczne itp.). Jednym ze sposobów reaizacji tego ceu bêdzie zast¹pienie kasycznej równomiernej siatki dyskretnej u ywanej przy rekonstrukcji obrazu przez siatkê nierównomiern¹ uwzgêdniaj¹c¹ geometriê tomografu. Literatura [] Sankowski D., osorov V., Lewandowski S.: Reconstruction image error in gamma tomography. st Poish and Internationa PD Forum Conference on Computer Science, Bronis³awów, 2005

7 Anaiza zniekszta³ceñ obrazów w tomografii gamma 653 [2] aad R., Johansen G.A.: Automatic Weight atrix Generation for Gamma-Ray Tomography. 3rd Word Congress on Industria Process Tomography, Banff, Canada, 2003 [3] Hjertaker B.T.: utiphase Fow Imaging by Dua ode Tomography. Ph.D. Thesis, Department of Physics University of Bergen, Norway, 998, [4] Kak C.A., Saney.: Principes of Computerized Tomographic Imaging. New York, The Institute of Eectrica and Eectronics Engineering 999,

8 654 S³awomir Lewandowski, W³odzimierz osorow, Jaros³aw W³odarczyk