Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D dla tomografii procesowej

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 Andrzej Romanowski *, Krzysztof Grudzieñ * Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D dla tomografii procesowej 1. Wstêp Tomografia jest technik¹ pomiarow¹, która pozwala wizualizowaæ w postaci obrazu 2D lub 3D stan badanego procesu na podstawie pomiaru zebranych z granic obiektu. Rekonstrukcja obrazów tomograficznych jest procesem z³o onym i aby otrzymaæ obraz, nale- y rozwa yæ dwa zagadnienia: 1) problem prosty, 2) problem odwrotny. Rozwi¹zanie problemu prostego polega na obliczeniu wartoœci mierzonej wielkoœci fizycznej przy u yciu np: metody elementów skoñczonych FEM (finite element method). Natomiast rozwi¹zanie zagadnienia odwrotnego polega na znalezieniu rozk³adu w³asnoœci materia³u w przestrzeni pomiarowej, która spowodowa³a taki, a nie inny pomiar. W elektrycznej tomografii procesowej mamy odczynienia z tzw. efektem miêkkiego pola (soft field effect). W przypadku wystêpowania efektu miêkkiego pola, linie pola elektrycznego zwi¹zane z pomiarami zale ne s¹ od w³asnoœci elektrycznych materia³u znajduj¹cego siê w przestrzeni pomiarowej. W pojemnoœciowej tomografii procesowej sygna³ pomiarowy nie przechodzi wzd³u linii prostej przez rozk³ad sta³ej dielektrycznej materia³u wewn¹trz przekroju poprzecznego. Skutkuje to trudnoœciami w rozwi¹zaniu problemu odwrotnego uzyskaniu informacji o wewnêtrznym stanie badanego obiektu na podstawie pomiarów dokonanych na jego granicach. Tego typu zagadnienie ma tê w³asnoœæ, ze jest podokreœlone i Ÿle uwarunkowane, a wiêc nie ma rozwi¹zania ani unikalnego, ani stabilnego. Natomiast zagadnienie proste, które jest tak e jest nieliniowe, jest dobrze uwarunkowane i mo e byæ rozwi¹zane numerycznie choæby przy u yciu metody elementów skoñczonych. Otrzymana reprezentacja graficzna stanu procesu w postaci obrazu pozwala w dalszym etapie estymowaæ szukane parametry procesu, np. prêdkoœæ przep³ywu i masê przep³ywu w transporcie pneumatycznym materia³ów sypkich. Dlatego te obraz dobrej jakoœci * Katedra Informatyki Stosowanej, Politechnika ódzka 621

2 622 Andrzej Romanowski, Krzysztof Grudzieñ i obarczony ma³ym b³êdem pozwoli na polepszenie kontroli i monitorowanie procesów przemys³owych. Najczêœciej pierwszym krokiem do uzyskania informacji o badanym procesie przy u yciu tomografii procesowej jest rekonstrukcja obrazu. W badaniach zosta³a u yta pojemnoœciowa tomografia procesowa, która pozwala na znalezienie rozk³adu przenikalnoœci dielektrycznej ε na podstawie pomiarów pojemnoœci C. Zastosowany 8-elektrodowy sensor, pozwala na uzyskanie zbioru K = 28 pomiarów pojemnoœci C = [C 1, C 2,..., C 28 ]. Aby uzyskaæ obraz sk³adaj¹cy siê (w tym przypadku z L = 704) z elementów pikseli, z których ka dy prezentuje wartoœæ przenikalnoœci dielektrycznej, nale y w pierwszym kroku rozwi¹zaæ problem odwrotny, z 28 pomiarów otrzymaæ 704 niewiadome (piksele). Dla potrzeb niniejszego artyku³u piksele maj¹ kszta³t trójk¹tów. W porównaniu z technikami tomografii opartymi na promieniach X lub gamma tomografia elektryczna dostarcza obrazy o ma³ej rozdzielczoœci. Przyczyn¹ jest m.in. ma³a liczba pomiarów oraz nieliniowoœæ problemu odwrotnego. Ta nieliniowoœæ problemu odwrotnego powoduje to, e proces rekonstrukcji jest bardzo z³o ony. Aby rozwi¹zaæ problem odwrotny, rozwija siê i opracowywuje wiele metod. Klasyczne metody rozwi¹zywania problemu odwrotnego zwykle opieraj¹ siê na za³o eniu linearyzacji pola elektrycznego. Metody te czêsto nie s¹ precyzyjne, co wiêcej, nie daj¹ adnej informacji na temat rozmiaru b³êdu rekonstrukcji. Najprostsze z nich to liniowa projekcja wsteczna LBP (Linear Back Projection) i jej modyfikacja filtracja projekcji wstecznej (FLBP). Bardziej zaawansowane techniki ro technika algebraicznej rekonstrukcji (ART), model-based reconstruction (MOR) [3, 4]. W praktyce, aby rozwi¹zaæ ten problem, konieczne jest zastosowanie techniki regularyzacji lub/i u yæ dodatkowej wiedzy a priori. W artykule zosta³o zaprezentowane nowe podejœcie do rozwi¹zania problemu odwrotnego na przyk³adzie rekonstrukcji statycznych obrazów (fantomów) i porównane z klasycznymi metodami rekonstrukcji. 2. Metody rozwi¹zywania problemu odwrotnego Pierwsz¹ zastosowan¹ metod¹ w rozwoju tomografii procesowej by³a liniowa projekcja wsteczna, oparta na za³o eniu liniowoœci pola elektrycznego (opisana w podrozdz. 2.1) Liniowa projekcja wsteczna (LBP) Metody oparte na najmniejszych kwadratach (least-squares based methods) szacuj¹ parametry modelu poprzez minimalizacjê ró nicy pomiêdzy pomierzonymi danymi i danymi obliczonymi na podstawie liniowego problemu prostego [3, 4], czyli tzw. forwardu C = S * å ˆ (1) K 1 K LL 1 gdzie: S macierz, tzw. jakobian J, czyli tzw. mapa czu³oœci, ˆå obliczony rozk³ad przenikalnoœci dielektrycznej.

3 Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D Takie uproszczenie (linearyzacja problemu odwrotnego i prostego) stosowane jest najczêœciej, gdy ró nica pomiêdzy sta³ymi dielektrycznymi dwóch materia³ów znajduj¹cych siê w badanym polu nie jest du a. Pierwszym problemem jest to, e macierz J mo e nie byæ kwadratowa. Wynika to z przyjêcia innej liczby pikseli ni liczba niezale nych pomiarów. Naturalnym rozwi¹zaniem tego problemu jest wybranie uogólnionej odwrotnoœci Moore a Penrose a * T T 1 w przypadku niedookreœlonym oraz J = J ( JJ ) (2) * T 1 T J = ( J J) J (3) w przypadku nadokreœlonym. W obu przypadkach rozk³ad przenikalnoœci dielektrycznej materia³u jest obliczany wed³ug wzoru * åˆ = J C (4) i jest rozwi¹zaniem najmniejszych kwadratów równania. Niestety nasze zadanie odwrotne jest Ÿle postawione i odwrotnoœæ J T J lub JJ T bêdzie obarczona du ym b³êdem numerycznym. Najprostsza wersja algorytmu LBP opiera siê na za³o eniu, e wra liwoœæ jest sta³a w granicach obszaru wra liwoœci. Poniewa idea LBP rekonstrukcji obrazu zosta³a zaprojektowana dla czujników hard-field, stosowanie tej metody dla czujników soft-field powoduje efekt rozmywania w zrekonstruowanym obrazie. Jej zalet¹ jest szybkoœæ, co pozwala w wiêkszoœci zastosowañ otrzymaæ obraz w czasie rzeczywistym Iteracyjna technika rekonstrukcji (SIRT) Algorytm jednoczesnej rekonstrukcji iteracyjnej SIRT (Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) [4]. Metoda ta bazuje na zasadzie najmniejszych kwadratów. C= S ε+error (5) Ide¹ SIRT jest minimalizacja b³êdu error = C Sε Rekonstrukcja iteracyjna oparta na technikach regularyzacji Celem regularyzacji jest znalezienie zbioru rozwi¹zañ oraz nastêpnie na wybraniu jednego rozwi¹zania z tego zbioru. Najczêœciej stosowan¹ jest regularyzacja Tikhonowa [3, 4]. Stosuj¹c standardow¹ regularyzacjê Tikhonowa, rozwi¹zanie równania (1) jest wyra one w nastêpuj¹cy sposób (jest to rozwi¹zanie bezpoœrednie problemu odwrotnego) T 1 T g = ( S S+μI) S ë (6)

4 624 Andrzej Romanowski, Krzysztof Grudzieñ gdzie: I macierz jednostkowa, μ parametr regularyzacji, λ znormalizowane wartoœci pomierzonych pojemnoœci, ĝ obliczony rozk³ad przenikalnoœci dielektrycznej. Równanie (6) mo e byæ traktowane jako zmodyfikowana wersja równania T 1 T g = ( S S) S ë (7) Aby istnia³a taka macierz odwrotna, macierz S T S zosta³a zmodyfikowana do postaci S T S + μi. Jakoœæ regularyzacji Tikhonowa jest silnie powi¹zana z parametrem μ. W zwi¹zku z tym, optymalny dobór tego parametru stanowi kluczowy element regularyzacji Metoda Markov random field (Mrf ) Metoda Mrf opiera siê na twierdzeniu Bayesa [1, 7], które w ogólnej postaci jest przedstawione poni ej Posterior Likelihood * Prior (8) Twierdzenie to opiera siê na za³o eniu, e rozwi¹zywany problem mo emy przedstawiæ w postaci zale noœci prawdopodobieñstwa wyst¹pienia zdarzeñ. Powy szy zapis oznacza, e gêstoœæ funkcji prawdopodobieñstwa jest wprost proporcjonalna do iloczynu prawdopodobieñstwa otoczenia oraz wiedzy a priori. W³aœnie ta dodatkowa wiedza a priori, któr¹ mo emy dodaæ do rozwi¹zania problemu odwrotnego w tomografii, daje nam mo liwoœæ uzyskania stabilnego rozwi¹zania. W przypadku Mrf bêdzie to wiedza dotycz¹ca zale noœci przestrzennych (np. wygl¹d granicy dwóch faz). W zwi¹zku z tym, u ycie metod klasy Mrf nosi miano modelowania przestrzennego. Wiêcej szczegó³ów na ten temat mo na znaleÿæ w publikacjach [7] oraz [2, 6]. Wiedza a priori w przypadku modelowania przestrzennego faz gaz-cia³o sta³e mo e mieæ nastêpuj¹c¹ postaæ: p { p} π () å exp α å ; α > 0,0 p 2 (9) gdzie badan¹ w³asnoœci¹ fizyczn¹ cia³ jest przenikalnoœæ dielektryczna, któr¹ oznaczyliœmy jako ε. Powy sza zale noœæ prowadzi do rozk³adu Laplace a przy normie 1 (p = 1), a przy normie 2 wyra a rozk³ad Gaussa. Aby dodatkowo uwzglêdniæ g³adkoœæ przestrzenn¹, która zwykle wystêpuje w realnych przypadkach, mo emy j¹ modelowaæ za pomoc¹ homogenicznego pola Mrf. Zak³adamy, e przyleg³e piksele maj¹ podobn¹ wartoœæ i aby wyraziæ lokalnie liniow¹ wiedzê a priori dotycz¹c¹ g³adkoœci obrazu, mo emy zastosowaæ nastêpuj¹c¹ zale noœæ: p { p} π () å exp β å å ; β> 0, 0 p 2 (10)

5 Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D gdzie wielkoœæ β stanowi parametr g³adkoœci, steruj¹cy stopniem korelacji pomiêdzy s¹siednimi pikselami, a w konsekwencji g³adkoœci¹ obrazu. Prawdopodobieñstwo otoczenia, czyli likelihood dla tomografii pojemnoœciowej zwi¹zanej z badaniem rozk³adu przenikalnoœci dielektrycznej ε mo e byæ wyra one nastêpuj¹cym wzorem p( C å) = exp () n 2 C C å 2 (11) 2τ 2 ( 2πτ ) gdzie τ 2 jest wariancj¹ wektora niezale nie roz³o onych b³êdów Gaussa δ ze wzoru C= C(å ) +δ (12) Wreszcie, funkcja gêstoœci prawdopodobieñstwa (Posterior denstity function) jest wyra ona wzorem p( å C) p( C å)* π( å ) (13) Funkcja ta prezentuje kompletny stan wiedzy dotycz¹cej parametrów badanego zjawiska na podstawie jego pomiarów z perspektywy statystyki Bayesowskiej. Zwykle nie potrzebujemy jednak ca³ej wiedzy, a jedynie estymacjê niektórych parametrów badanego zjawiska. Wyniki przedstawione w dalszej czêœci artyku³u zosta³y otrzymane przy u yciu estymacji œredniej funkcji gêstoœci prawdopodobieñstwa [1]. 3. Opis eksperymentów Przeprowadzone zosta³o kilkanaœcie eksperymentów z u yciem dwóch materia³ów w formie sypkiej. Pierwszy z nich to granulat poliamidowy w postaci nieregularnych granulek zbli onych kszta³tem do kul, o rozmiarach œrednicy oko³o 3 mm. Drugim materia³em by³y kulki szklane o œrednicach w zakresie od oko³o 0,4 do 0,6 mm. Eksperymenty polega³y na umieszczaniu w przestrzeni czujnika tomograficznego jednego na raz lub kilku jednoczeœnie fantomów o ró nych geometriach. Liczba u ytych fantomów to od 1 do 3 jednoczeœnie. Eksperymenty zak³ada³y wype³nianie przestrzeni pomiêdzy pustymi fantomami badanym materia³em i przeprowadzanie pomiarów w takiej konfiguracji. Dodatkowo przeprowadzane by³y pomiary w konfiguracji przeciwnej, tzn. fantomy u ywane w eksperymentach by³y wype³niane badanym materia³em, natomiast pozosta³a przestrzeñ czujnika pozostawiana by³a pusta. Nastêpnie umieszczano fantomy w takich samych po³o eniach jak podczas pomiarów z pustymi fantomami. Przy umieszczaniu fantomów w eksperymentach w konfiguracji przeciwnej dopilnowano takiego samego umieszczenia fantomów wzglêdem po³o enia elektrod. W przypadku eksperymentów z granulatem poliamidowym u yto fantomów wykonanych z plastiku.

6 626 Andrzej Romanowski, Krzysztof Grudzieñ Przyk³adowy fantom (torebka plastikowa) jest pokazany na rysunku 1b. Natomiast do eksperymentów ze szk³em u yto fantomów wykonanych ze szk³a. Przyk³adowe fotografie tych fantomów s¹ na rysunku 2. a) b) Rys. 1. Zdjêcia: a) czujnika tomograficznego z boku; b) jednego z fantomów u ytych w trakcie eksperymentów z kulkami poliamidowymi (torebka plastikowa wype³niona powietrzem otoczona granulatem poliamidowym) a) b) Rys. 2. Zdjêcia fantomów u ytych w trakcie eksperymentów ze szk³em ulokowanych w przestrzeni pomiarowej czujnika: a) dwa szklane fantomy wype³nione szk³em; b) trzy szklane fantomy umieszczone w obrêbie czujnika Do pomiarów u yto tomografu firmy PTL. Jako czujnik zastosowano oœmioelektrodowy sensor produkcji PTL, typu DP8G6/1 wyposa ony w elektrody typu guard, zarówno promieniowe jak i osiowe, oraz rezystory ochronne 1 MOhm. Wymiary elektrod: pomiarowe 8 30 mm, guard 8 75 mm. Nominalna œrednica wewnêtrzna sensora to 6 cali (sensor by³ wyprodukowany oryginalnie w systemie imperialnym), czyli nieco ponad 150 mm. Zdjêcie czujnika z boku jest pokazane na rysunku 1a, natomiast widok z góry jest przedstawiony na rysunku 2.

7 Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D Wyniki badañ Reprezentacjê niektórych z szerokiej gamy wyników otrzymanych za pomoc¹ opisanych wczeœniej metod autorzy przedstawili poni ej. Wybór wyników zosta³ tak dobrany, aby mo liwie najpe³niej przedstawiæ przeprowadzone eksperymenty. Przedstawione wyniki dotycz¹ eksperymentów kolejno z: jednym fantomem o relatywnie ma³ym przekroju w stosunku do przestrzeni pomiarowej (20/150); badany materia³ to szk³o (rys. 3); jednym fantomem o wiêkszym ni poprzedni fantom przekroju w stosunku do przestrzeni pomiarowej (80/150); badany materia³ to plastik (rys. 4); dwoma powy szymi fantomami umieszczonymi jednoczeœnie w przestrzeni pomiarowej (20/150 i 80/150); fantomy wype³nione szk³em (rys. 5); dwoma powy szymi fantomami umieszczonymi jednoczeœnie w przestrzeni pomiarowej; fantomy s¹ puste, natomiast pozosta³a przestrzeñ wype³niona plastikiem (20/150 i 80/150) (rys. 6); trzema fantomami umieszczonymi jednoczeœnie w przestrzeni pomiarowej (20/150, 40/150, 80/150); fantomy wype³nione szk³em (rys. 7 i rys. 8). Rysunki pokazuj¹ wyniki otrzymane dla metod: SIRT [4], Gaussa-Newtona (G-N) [3] i Mrf [1, 7]. Rys. 3. Obraz tomograficzny zrekonstruowany: a) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób liniowy); b) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób nieliniowy); c) metoda Gaussa Newtona Rys. 4. Obraz tomograficzny zrekonstruowany: a) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób liniowy); b) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób nieliniowy); c) metoda Gaussa Newtona

8 628 Andrzej Romanowski, Krzysztof Grudzieñ Rys. 5. Obraz tomograficzny zrekonstruowany: a) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób liniowy); b) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób nieliniowy); c) metoda Gaussa Newtona Rys. 6. Obraz tomograficzny zrekonstruowany: a) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób liniowy); b) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób nieliniowy); c) metoda Gaussa Newtona Rys. 7. Obraz tomograficzny zrekonstruowany: a) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób liniowy); b) metoda SIRT (problem prosty rozwi¹zywany w sposób nieliniowy); c) metoda Gaussa Newtona

9 Zestawienie metod rekonstrukcji obrazów i modelowania przestrzennego 2D Rys. 8. Modelowanie przestrzenne Mrf dla 3 obiektów znajduj¹cych siê wewn¹trz tomografu Nale y podkreœliæ, e uzyskane wyniki nie maj¹ na celu pokazanie lepszych algorytmów rekonstrukcji obrazu od opracowywanych w œwiecie nauki. Celem natomiast jest porównanie ró nych podejœæ stosowanych do rozwi¹zania problemu odwrotnego maj¹cych miejsce przy rekonstrukcji obrazów, pocz¹wszy od prostej linowej projekcji wstecznej, przez algorytmy iteracyjne: SIRT z liniowym i nieliniowym rozwi¹zaniem problemu prostego i metodê regularyzacji w metodzie Gaussa Newtona do przestrzennego modelowania metod¹ Mrf. Jak widaæ z wyników, zastosowana siatka sk³adaj¹ca siê z 704 elementów jest równie niewystarczaj¹ca. Ta sama siatka u yta zosta³a dla problemu prostego i odwrotnego. Nale a³oby równie zastosowaæ dok³adniejsze modelowanie tomografu, choæby poprzez zamodelowanie 3D elektrod. Zastosowana metoda elementów skoñczonych dotyczy- ³a tylko wnêtrza obszaru tomografu. Poprawê obrazu mo na równie uzyskaæ poprzez odpowiedni¹ segmentacjê obrazu. Zastosowanie tej techniki pozwoli³oby zapewne otrzymanie ostrych krawêdzi obiektów. Jest oczywiste, e lepsze wyniki uzyskujemy dla metod iteracyjnych i tam, gdzie nie ma uproszczenia nieliniowego problemu prostego do liniowego. Kolejn¹ poprawê wyników, mo emy zaobserwowaæ, stosuj¹c nieliniowe rozwi¹zanie problemu odwrotnego poprzez uaktualnienie macierzy czu³oœci w ka dej iteracji (dla ka - dego nowego oszacowania rozk³adu sta³ej dielektrycznej wewn¹trz tomografu). Ma to miejsce dla metody Gaussa Newtona. 5. Podsumowanie U ywane na szerok¹ skalê algorytmy rekonstrukcji obrazów 2D nie s¹ jednak dok³adne i nie potrafi¹ wydobyæ z danych pomiarowych wszystkich nap³ywaj¹cych informacji o badanym procesie przemys³owym. Rozwi¹zanie problemu odwrotnego, które ma miejsce podczas rekonstrukcji obrazu tomograficznego, polega na znalezieniu rozk³adu szukanego parametru na podstawie dokonanego pomiaru. W przypadku tomografii pojemnoœciowej problem ten jest zarówno Ÿle postawiony, jak i nieliniowy, co powoduje dodatkow¹ trudnoœæ. Rozwi¹zuj¹c taki problem mo na u yæ technik regularyzacji, co jednak powoduje efekt rozmycia w zrekonstruowanym obrazie tomograficznym. Zaprezentowane wyniki po-

10 630 Andrzej Romanowski, Krzysztof Grudzieñ kazuj¹ now¹ metodê zobrazowania w przestrzeni dwuwymiarowej materia³u w zamkniêtym naczyniu, przy wykorzystaniu Mrf. Mimo pojawiaj¹cego siê równie efektu rozmycia, wyniki uzyskane za pomoc¹ tej metody s¹ stosunkowo najlepsze, co widaæ na przyk³adzie z rysunku 8. Zalet¹ jest równie mo liwoœæ oszacowania b³êdu rozwi¹zania bez potrzeby porównania z prawdziwym rozk³adem materia³u, który nie zawsze jest znany. Podziêkowania Autorzy dziêkuj¹ EPSRC za mo liwoœæ wykonania badañ w ramach grantu nr. Ref. GR/R22148/01 Spatial and temporal modelling for ECT. Literatura [1] Gilks W.R., Richardson S., Spiegelhalter D.J.: Markov Chain Monte Carlo in Practice. London, UK, Chapman & Hall 1996 [2] Grudzieñ K., Romanowski A.: Wizualizacja przep³ywu materiaów sta³ych w hoperach. Pó³rocznik AGH Automatyka, t. 8, z. 3, 2004, [3] Lionheart W.R.B.: Review: Developments in EIT reconstruction algorithms: pitfalls, challenges and recent developments. Physiol. Meas., 25, 2004, [4] Liu S., Fu L., Yang W.Q.: Comparison of Three Image Reconstruction Algorithms for Electrical Capacitance Tomography. 2nd World Congress on Industrial Process Tomography, Hannover, Germany, 2001 [5] Maxwell J.C.: A Treatise on Electricity and Magnetism, vol. I. Oxford, Clarendon Press 1873 [6] Romanowski A., Grudzieñ K., Aykroyd R.G., Sankowski D.: Application of the Bayesian/MCMC approach to investigation of the phenomena present in multiphase processes. Bulletin DE LA SOCIETE DES SCIENCES ET DES LETTERS DE LÓD, vol. LIV, 2004, [7] Winkler G.: Image Analysis, Random Fields and Markov Chain Monte Carlo: A Mathematical Introduction. 2nd ed., Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag 2003