Metoda Taguchiego w projektowaniu niezależnym przekładni zębatych

Transkrypt

1 DREWNIAK Józef TEKIELA Krzysztof Metoda Taguchiego w projektowaniu niezależnym przekładni zębatych WSTĘP Metoda Taguchiego [,, ] jest narzędziem doboru i analizy czynników kontrolowanych oraz badania ich wpływu na wytrzymałość i niezawodność projektowanych elementów lub maszyn, także transportowych. Dzięki tej metodzie uzyskuje się zmniejszenie wariancji i poprawę niezawodności produktu nie poprzez zmianę tolerancji parametrów lecz jedynie dzięki zmianie ich wartości nominalnych. Taki sposób zmniejszenia czułości systemu na czynniki zakłócające to projektowanie niezależne (robust design). Podstawowymi krokami projektowania niezależnego są []: analiza i dobór czynników zmienianych oraz funkcji celu, definicja parametrów kontrolowanych, wybór czynników zakłócających, dobór macierzy ortogonalnej, przeprowadzenie i analiza wyników eksperymentów, identyfikacja optymalnych wartości czynników. Artykuł zawiera analizę wytrzymałości zmęczeniowej podstawy zęba na złamanie oraz wytrzymałości stykowej zęba. W pierwszej części znajduje się porównanie zestawów kilku kluczowych parametrów, każdy w trzech stanach. W wyniku zastosowania metody Taguchiego otrzymuje się najlepszy zestaw wartości parametrów pod względem wytrzymałości i niezawodności [4, 5]. Analogicznie wykonuje się analizę wpływu modułu normalnego oraz średnicy koła na wytrzymałość podstawy zęba na złamanie oraz wytrzymałość stykową zęba a także analizę odległości osi przekładni pod kątem wyznaczenia jej wartości optymalnej. MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY Wyznaczenie niezawodności elementu wymaga znajomości rozkładu prawdopodobieństwa naprężeń i wytrzymałości. Koło zębate może ulec zniszczeniu kiedy naprężenia przekroczą granicę wytrzymałości. Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wytrzymałości dla f oraz naprężeń rozkładu normalnego dane są wzorami: f exp, () s s f exp, () s s gdzie: i są średnimi wartościami naprężeń i wytrzymałości, natomiast s oraz s są odchyleniami standardowymi odpowiednio wytrzymałości i naprężeń. Niezawodność przekładni zębatych definiuje się jako prawdopodobieństwo, że naprężenia nie przekroczą granicy wytrzymałości: gdzie x R P 0 Px 0 fx xdx fz zdz 0 zl jest nową zmienną z funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f jest zmienną standaryzowaną:, () Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, 4-09 Bielsko-Biała, ul. Willowa, jdrewniak@ath.bielsko.pl Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, 4-09 Bielsko-Biała, ul. Willowa x f x, a z 0

2 z x x. (4) sx Dla rozkładu normalnego i lognormalnego dolne ograniczenie z można wyznaczyć odpowiednio ze wzorów: zl, (5) s s z L ln s ln ln sln. (6) Gdy wyznaczymy wartość dolnego ograniczenia wartości średnich oraz odchylenia standardowego dla naprężeń i wytrzymałości, wtedy można wyznaczyć wartość zależną R dla rozkładu normalnego i lognormalnego. METODA TAGUCHIEGO W metodzie Taguchiego podstawowym i początkowym krokiem jest wyznaczenie funkcji utraty jakości: L k EY T, (7) gdzie: L jest funkcją utraty jakości, k - współczynnikiem utraty jakości, oczekiwaną, T - wartością projektowaną Y. E - wartością Celem metody Taguchiego jest minimalizacja funkcji utraty jakości L. Ta funkcja ma zastosowanie tylko kiedy charakterystyka y ma skończoną wartość projektowaną T []. W tym artykule zastosowana zostanie charakterystyka im mniejsze tym lepsze (smaller-the-better), dla której zdefiniowano współczynnik SN: S / N 0 logl. (8) Minimalizacja funkcji utraty jakości z podejściem STB (smaller the better) jest równoważna maksymalizacji parametru SN wyznaczonemu w oparciu o tę funkcję. W podejściu projektowania parametrów Taguchiego używa się macierzy ortogonalnych do badania całej przestrzeni wartości parametrów używając tylko niewielkiej ilości eksperymentów numerycznych. Wartość współczynnika SN jest wyznaczana dla każdego eksperymentu. Dlatego należy przeprowadzić analizę wariancji (ANOVA) by wyznaczyć znaczące parametry. OPTYMALIZACJA PRZEKŁADNI ZĘBATEJ DWUSTOPNIOWEJ Przykład przedstawia zastosowanie metody Taguchiego w projektowaniu kół zębatych walcowych wykonanych ze stali 7HMN dla przekładni dwustopniowej o nominalnym momencie obrotowym T 00 N m. Funkcję celu określono jako podwójną odległość osi: gdzie: A (ai a II) (ai a II) min, (9) a I, a II odległości osi kół w funkcji modułu normalnego i przełożenia, a, a II odległości osi obliczone z warunku wytrzymałości boku zęba. I Warunki ograniczające: ai a II= ± I dla pierwszego stopnia, (0) a a = ± dla drugiego stopnia, () II II II I, II - zadane małe wartości różnicy odległości osi A.

3 a a I II mn u z cos dla pierwszego stopnia. () m u z cos n dla drugiego stopnia. () gdzie: m, n m n m m T Y Y Y Y K K K K Fa Sa A v F F n cos b z FP T Y Y Y Y K K K K F Sa A v F F n cos b z FP - moduły normalne obliczone z warunku wytrzymałości na zginanie, z - liczba zębów zębnika (pierwszy stopień), z - liczba zębów zębnika (drugi stopień), u - przełożenie geometryczne (pierwszy stopień), u - przełożenie geometryczne (drugi stopień). a a d u (4) (5) I (pierwszy stopień). (6) II du (drugi stopień). (7) d d T u Z Z Z Z K K K H E V H H b u HP T u Z Z Z Z K K K H E V H H b u HP gdzie: d, d- średnice podziałowe obliczone z warunku wytrzymałościowego boku zęba (pitting). Moduł normalny m n jest parametrem projektowym decydującym o naprężeniach od momentu zginającego przy podstawie zęba zębnika F, których wartość średnią oblicza się według normy ISO 66 ze wzoru: T F YFa Y Sa Y Y KA Kv KF KF cos b z mn (8) (9), (0) gdzie: współczynniki są zgodne z normą ISO 66. Parametrami kontrolowanymi są współczynniki wpływające K, K, K, K, Y, Y oraz naprężenia przy podstawie zęba zębnika. A v F F Fa Sa Drugim głównym parametrem projektowym jest średnica podziałowa zębnika d decydująca o wartości średnich naprężeń stykowych H obliczanych zgodnie z normą ISO 66 ze wzoru: T u Z Z Z Z Z K K K K HI B H E A V H H b d u F, ()

4 gdzie: poszczególne współczynniki są zgodne z normą ISO 66. Parametrami kontrolowanymi są współczynniki wpływu K, K, Algorytm metody Taguchiego przedstawiono na rysunku. A v KH, KH oraz H. Przygotowanie danych. Określenie czynników potencjalnie istotnych, określenie ostatecznej funkcji celu A Analiza wariancji. Określenie wpływu czynników na funkcje celu Przeprowadzenie wstępnych obliczeń projektowych według normy ISO Budowa tablicy ortogonalnej na podstawie otrzymanych wartości parametrów projektowych m n i d NIE Otrzymane wartości współczynników bezpieczeństwa porównywalne z założonymi Przeprowadzenie eksperymentu numerycznego TAK Analiza wariancji. Określenie wpływu czynników na funkcję odległości osi A Określenie pośrednich funkcji celu m n i d dla każdego stopnia przekładni. Wskazanie czynników kontrolowanych dla tych funkcji Wskazanie optymalnego zestawu wartości czynników projektowych Budowa osobnej tablicy ortogonalnej na podstawie otrzymanych wartości czynników kontrolowanych dla każdego stopnia przekładni Przeprowadzenie eksperymentów numerycznych Rys.. Schemat blokowy metody Taguchiego

5 Do analizy parametrów wykorzystano macierz ortogonalną L7 pozwalającą na analizę 7 eksperymentów z trzynastoma czynnikami badanymi, każdy o trzech poziomach. Schemat takiej macierzy przedstawiono w tabeli. Tab.. Tablica L7 z zapisanym eksperymentem K A K V K Fβ K Hβ K Hα Y Fa Y Sa σ H σ F Stopień I,00,5,7,05,7, ,00,5,7,,0, ,00,5,7,5,, ,05,4,7,05,7, ,05,4,7,,0, ,05,4,7,5,, ,5,,7,05,7, ,5,,7,,0, ,5,,7,5,, ,05,00,4,7,05,0, ,05,00,4,7,,, ,05,00,4,7,5,7, ,05,05,,7,05,0, ,05,05,,7,,, ,05,05,,7,5,7, ,05,5,5,7,05,0, ,05,5,5,7,,, ,05,5,5,7,5,7, ,,00,,7,05,, ,,00,,7,,7, ,,00,,7,5,0, ,,05,5,7,05,, ,,05,5,7,,7, ,,05,5,7,5,0, ,,5,4,7,05,, ,,5,4,7,,7, ,,5,4,7,5,0, Tab.. Analiza wartości modułu i średnicy m n S/N m n d S/N d,5 -,97,48-9,96,5 -,9, -9,89,5 -,9 0,99-9,8, -,77,95-0,6,9 -,8,7-0,0,0 -,8 4,77-0,8,7 -,7,6-0,0,9 -, 4,4-0,7,46 -,9 4, -0,66,6 -,98,60-9,99,6 -,98,8-9,9,40 -,9,4-0,46,9 -,88 0,57-9,70,8 -,8,50-0,4,9 -,0, -0,6,8 -,5 4,75-0,8,7 -,7 4,47-0,75,4 -,56 4, -0,68,6 -,0,68-0,0,4 -,96,69-0,55,40 -,90,40-0,48,0 -,5,89-0,4,8 -,,6-0,7,6 -,69,8-0,,46 -,7, -0,6,5 -,6,98-0,0,5 -,6,98-0,6 4

6 W wykonywanej analizie funkcją celu jest minimum modułu normalnego oraz średnicy zębnika: m d T YFa YSa Y Y KA Kv KF KF cos, () n b z T u H E V H H b u HP FP Z Z Z Z K K K. () Wyniki analizy istotności czynników na wartość modułu przedstawiono w Tablicy. Tab.. Analiza wartości oczekiwanej i wag parametrów DOF 8 SS MS F % RSS m n 0,0 K A 0,0077 0, ,0079 6% m n lim,00 K V 0,07 0, ,4680 4% m n I śr, K Fβ 0,08 0,009 46,50 5% m n I predict,5 K Hα 0,007 0, ,60 6% SS 47,8804 Y Fa 0,0007 0, ,84 % SS mean 47,760 Y Sa 0,00 0,0060 7,898 0% Total SS 0,00 σ F 0,0568 0, , 47% SS S/N 69,944 Error 0,0000 0,0000 0% Wykresy zmienności modułu normalnego w zależności od wartości wpływu czynników badanych: Rys.. Graficzna analiza wariancji modułu normalnego dla stopnia I przekładni Natomiast wyniki analizy istotności czynników na wartość średnicy przedstawiono w Tablicy 4. Tab. 4. Wartość oczekiwana i wagi parametrów RSS d 0,50 SS MS F % d lim 46,00 K A 0,004 0,00 0,0044 0% d mean,77 K V 0,700 5,550 9,65 8% d predict,99 K Fβ 0,0005 0,000 0,0009 0% SS 909,76 K Hβ,7 6,6585,950 4% SS mean 900,06 σ H 0,66 5, 8,9 6% Total SS 8,70 Error 4,448 0,780 % SS S/N 4798,85 5

7 Wykresy zmienności średnicy podziałowej zębnika w zależności od wartości wpływu czynników badanych: Rys.. Analiza wariancji średnicy podziałowej dla stopnia I przekładni Analogiczna analiza i obliczenia zostały przeprowadzone dla stopnia drugiego przekładni. Wyniki analizy istotności czynników na wartość modułu przedstawiono w Tablicy 5. Tab. 5. Analiza wartości oczekiwanej i wag parametrów DOF 8 SS MS F % RSS m n 0,0 K A 0,04 0, ,0709 % m n lim,00 K V 0,0 0,0 504,770 8% m n I mean,74 K Fβ 0,0 0, ,6959 8% m n I predict,65 K Hα 0,0 0, ,7 0% SS 8,96 Y Fa 0,000 0,0005 6,60 % SS mean 8,9946 Y Sa 0,0 0,0 504,678 8% Total SS 0,07 σ F 0,0975 0, ,546 8% SS S/N 60,5687 Error 0,0000 0,0000 0% Graficzna analiza wariancji czynników badanych na wartość modułu normalnego dla drugiego stopnia przekładni: Rys. 4. Graficzna analiza zmienności czynników dla stopnia drugiego Wyniki analizy istotności czynników na wartość średnicy przedstawiono w Tablicy 6. 6

8 Tab. 6 Wartość oczekiwana i wagi parametrów RSS d 0,64 SS MS F % d lim 46,00 K A 0,00 0,006 0,0058 0% d mean 4,8 K V,6506 6,85 4,550 5% d predict 4,0 K Fβ 0,0007 0,000 0,00 0% SS 49578,8 K Hβ,889,9095 4,874 6% SS mean 4956,8 σ H 7,465 8,708,408 45% Total SS 6,5 Error 7,595 0,4747 0% SS S/N 8747,04 Wykresy zmienności średnicy podziałowej zębnika w zależności od wartości wpływu czynników badanych przedstawiono na rysunku 5. Rys. 5. Wpływ zmienności czynników na średnicę podziałową 4 BADANIE WARTOŚCI ODLEGŁOŚCI OSI PRZY POMOCY EKSPERYMENTU ORTOGONALNEGO Po zakończeniu badania wszystkich założonych w eksperymencie przypadków, czyli dziewięciu wartości parametrów mierzonych oraz zróżnicowania układów przełożeń przekładni, z otrzymanych danych wybrano do dalszej analizy grupę trzech wartości parametrów określających podwójną odległość osi przekładni czyli nowej funkcji celu. Grupa tych trzech wartości parametrów reprezentowała najlepsze uzyskane wyniki w kontekście prowadzonych poszukiwań (Tablica 7). Tab. 7. Czynniki badane dla funkcji odległości osi m n,5,0,40 m n,5,40,50 a I z, 4,45 7,0 a I p 8,0 8,5 8,65 a II z 8,70 86,80 9,00 a II p 84,76 86,4 87,0 d,0,8,54 d,44,06, Przeprowadzony eksperyment numeryczny wskazał zestaw danych określający najmniejszą wartość funkcji celu czyli podwójną odległość osi. Otrzymane dane muszą zostać ocenione przez pryzmat ograniczeń, czyli całkowitego przełożenia przekładni oraz różnicy odległości osi maksymalnie wynoszącej 5 mm. Wagę wpływu poszczególnych czynników na funkcję celu prezentuje Tabela 8. 7

9 Tab. 8. Wartość oczekiwana oraz wagi parametrów badanych DOF 0 SS MS F % RSS A 8,7 a Iz,89 6,0946 -,857 0% A śr 40,7 a Ip 0,746 0,7-0,45 0% A mean 40,7 d 4,47,59-0,8674 0% A predict 4,9 d,7 0,566-0,06 0% SS 6585,9 a IIz 0,68 0,4-0,055 0% SS mean 5577,4 m n 0,00 5,050-45,057 0% Total SS 9445,77 m n 0,76 00,6688-9,406 0% SS S/N 6067,6 a IIp 0,0000 0,0000 0,0000 0% u 465,46 06, ,766 49% u 4789, , ,87 5% Error -5,79 -,5546 0% Graficzna analiza wariancji : Rys. 6. Graficzna analiza wariancji parametrów Ponieważ największy wpływ na końcową wartość funkcji celu mają wielkości modułów normalnych oraz średnic kół a także wartości przełożeń obu stopni przekładni, tak więc chcąc poprawić uzyskane wyniki optymalizacji odległości osi należałoby skupić się na dokładniejszym zbadaniu wpływu tych właśnie parametrów na końcowe wymiary przekładni. WNIOSKI Analiza przedstawiona powyżej dotycząca wytrzymałości zęba na złamanie oraz wytrzymałości stykowej zęba koła zębatego zawiera porównanie kilku zestawów głównych parametrów. Wartości każdego z tych czynników analizowano dla trzech poziomów. W wyniku zastosowania metody Taguchiego wybrano najlepszy zestaw parametrów pod względem wytrzymałości i niezawodności wykonując osobne analizy. Do ich wykonania wykorzystano macierze ortogonalne L7. Prezentowane wykresy oraz rysunki przedstawiają rozkłady wartości poszczególnych kluczowych 8

10 parametrów. Ich rozrzut jest istotny w tej analizie, gdyż pokazuje, które z nich są ważne i użyteczne w dalszych rozważaniach. Obliczenia przedstawione w drugiej części składają się z analizy wpływu modułu normalnego oraz średnicy podziałowej na wytrzymałość zęba na złamanie a także wytrzymałość stykową zębów. Streszczenie Artykuł przedstawia zastosowanie metody projektowania niezależnego (robust design) przekładni zębatych z wykorzystaniem teorii Taguchiego oraz metod projektowych z uwzględnieniem niezawodności. Analiza opiera się na wykorzystaniu macierzy ortogonalnych, współczynnika sygnał/szum (S/N), analizy zakłóceń i niezawodności w rozważaniach wytrzymałościowych. Na ich podstawie bada się charakterystyki niezawodnościowe na poziomie projektowania parametrów. Jako kryteria przyjęto wytrzymałość kontaktową oraz wytrzymałośc na złamanie zębów kół zębatych w przekładni. Taguchi method in robust design of gears Abstract Application of Taguchi method and design methods taking into account reliability to robust design of gears are presented in this paper. Analysis is based on the application of orthogonal matrices, signal-to-noise ratio (S/N), noise analysis of variance and reliability in strength consideration. On this ground reliability characteristics are investigated on the level of parameters design. Strength on gear tooth bending and strength on gear tooth wear (pitting) are received as the criteria. BIBLIOGRAFIA. Fowlkes W.Y., Creveling C.M., Engineering Methods for Robust Product Design. Reading, MA.: Addison-Wesley 995. Yang K., El-Haik B., Design for Six Sigma. McGraw-Hill, New York 00. Creveling C.M., Slutsky J.L., Antis D., Design for Six Sigma. Prentice Hall, New Jersey Lin J.L., Wang K.S., Yan B.H., Tarng Y.S., An investigation into improving worn electrode reliability in the electrical discharge machining process. Int. J. Adv. Technol. (000) 6, Tarng Y.S., Yang W.H., Juang S.C., The use of fuzzy logic in the Taguchi method for the optimisation of the submerged arc welding process. (000) 6, Antony J., Simultaneous Optimisation of Multiple Quality Characteristics in Manufacturing Processes Using Taguchi s Quality Loss Function. Int J Adv Manuf Technol (00) 7: Wu F.C., Optimisation of Multiple Quality Characteristics Based on Percentage Reduction of Taguchi s Quality Loss. Int J Adv Manuf Technol (00) 0: Terrence E. M., Kwok-Leung Tsui, Allen J.K., A review of robust design methods for multiple responses. Research in Engineering Design (005) 5: