Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1.

Transkrypt

1 Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. Koordynator - Prof. Dariusz Wrzosek Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, Banacha 2, Warszawa pokój 5600 Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

2 Matematyka i biologia Czy matematyka jest potrzebna biologom? rachunek prawdopodobieństwa i statystyka modelowanie matematyczne i komputerowe zjawisk biologicznych Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

3 Zaliczenie przedmiotu Matematyka i biologia Przedmiot zalicza się po uzyskaniu odpowiedniej liczby punktów, które uzyskuje się na podstawie prac domowych, pięciokrotnie zadane będa po trzy zadania domowe do zrobienia na kartkach (1 zad. domowe =2punkty), sprawdzianów, odbęda się dwa sprawdziany 30 minutowe na których trzeba będzie udzielić odpowiedzi na trzy pytania (1 zad. na sprawdzianie = 5 punktów), egzaminu pisemnego. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

4 Matematyka i biologia Punktacja i zaliczenie przedmiotu Punktacja 30 pktów -sprawdziany (2x3 zadania) 30 pktów -prace domowe (5x3 zadania) 10 pktów - aktywność na zajęciach 40 pktów- egzamin pisemny Aby zaliczyć przedmiot trzeba uzyskać 60 punktów. To daje szanse zaliczenia przedmiotu bez podchodzenia do egzaminu i motywuje do systematycznej pracy. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

5 Strona internetowa Matematyka dla biologów darekw Zajęcia nr 1. 9-października / 90 Matematyka i biologia Literatura Literatura Podstawowe podręczniki: Dariusz Wrzosek, Matematyka dla biologów, Wydawnictwa UW, 2008 Marek Bodnar, Zbiór zadań z matematyki dla biologów, Wydawnictwa UW, 2008 Tablice Matematyczne, Wydawnictwo Adamantan, Literatura uzupełniajaca bardziej zaawansowana Urszula Foryś, Matematyka w biologii, WNT Miłosława Sokół, Metody modelowania populacji, PWN J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2008 Janusz Uchmański, Klasyczna ekologia matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1992.

6 Matematyka i biologia Literatura Plan kursu zajęcia 1-2; podstawy logiki, operacje na zbiorach, liczby, relacje, podstawowe własności funkcji, kombinatoryka i podstawy rachunku prawdopodobieństwa zajęcia 3-4; funkcja liniowa, potęgowa wykładnicza i logarytmiczna, logarytmiczne układy współrzędnych, zajęcia 5-9; granica ciagu, szereg liczbowy (potęgowy), zapis liczby rzeczywistej, granica funkcji, pochodna funkcji jednej zmiennej, ekstrema funkcji, wypukłość zajęcia 10-11; macierz, mnożenie macierzy gradient funkcji wielu zmiennych, metoda najmniejszych kwadratów, funkcja pierwotna całka oznaczona, rozkłady ciagłe zmiennych losowych, rozkład normalny. zajęcia 12-14; Podstawowe modele matematyczne z czasem ciagłym i z czasem dyskretnym, łańcuchy Markowa. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

7 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Czym jest logika Logika formalna lub matematyczna zajmuje się badaniem takich reguł wnioskowania, dzięki którym z prawdziwości jednych zdań wnosimy o prawdziwości innych zdań bez rozpatrywania ich znaczeń i zwiazku z rzeczywistościa. Stosowanie praw logiki umożliwia precyzyjna komunikację między ludźmi i ma znaczenie podstawowe w naukach ścisłych i przyrodniczych. Podstawy rachunku zdań i logiki dwuwartościowej, tzn. takiej, która przyjmuje, że dane zdanie może być albo prawdziwe, albo fałszywe i nic pośrodku, sa w programie szkoły sredniej i zakładamy, że wszyscy się z tym zetknęli. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

8 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Pojęcie zdania w logice Zdanie logiczne Definicja Zdaniem w logice nazywamy wyrażenie oznajmujace, któremu można przyporzadkować wartość prawdy (oznaczamy jako 1) lub fałszu (oznaczamy jako 0). Zauważmy, że w definicji zdania nie ma mowy o tym, w jaki sposób można się przekonać czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie. Logika formalna nie zajmuje się bezpośrednio badaniem rzeczywistości empirycznej, ale badaniem wzajemnych zależności między zdaniami, które coś o rzeczywistości stwierdzaja. Na gruncie klasycznej logiki formalnej omija się cała złożona debatę filozoficzna dotyczac a pojęcia prawdy, odnoszac a się przede wszystkim do relacji pomiędzy myślami czy głoszonymi sadami a rzeczywistościa. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

9 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Pojęcie zdania w logice Przykłady zdań logicznych Nie każde zdanie z punktu widzenia gramatyki jest zdaniem z punktu widzenia logiki. Zdanie, które nie jest zdaniem z punktu widzenia logiki Pytania nie sa zdaniami w sensie logicznym, a zdanie Litera a poprzedza literę b. mimo iż jest dobrze zbudowane i wyraża pewien sad, to jego prawdziwość zależy od kontekstu. Zdanie spełniajace definicję zdania logicznego Litera a poprzedza literę b w wyrazie absolut. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

10 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Podstawowe typy zdań złożonych W logice najczęściej mamy do czynienia ze zdaniami złożonymi. Konwencja Zdania oznaczane będa literami p, q, r.... Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez p. Podstawowe zdania złożone określa się definiujac ich wartość logiczna na podstawie wartości logicznej zdań składowych. Możliwe wartości logiczne zdania złożonego w zależności od wartości zdań składowych przedstawia się w tzw. tabelce logicznej. Przykład tabelka logiczna dla negacji (zaprzeczenia) p p Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

11 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Równoważność zdań Równoważność zdań p, q oznaczamy p q odpowiada wyrażeniu: zdanie p jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie q. Inaczej: Zdanie p jest równoważne zdaniu q, gdy oba zdania sa jednocześnie prawdziwe badź fałszywe. Tabelka logiczna dla równoważności p q p q Zamiast wyrażenia wtedy i tylko wtedy będziemy używać skrótu w.t.w. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

12 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Koniunkcja i alternatywa zdań Koniunkcja zdań p i q (oznaczamy p q) jest prawdziwa w.t.w. gdy oba człony koniunkcji sa jednocześnie prawdziwe: Tabelka logiczna dla koniunkcji zdań p q p q Alternatywa zdań p lub q (oznaczamy p q) jest prawdziwa w.t.w. gdy przynajmniej jeden z członów alternatywy jest prawdziwy: Tabelka logiczna dla alternatywy zdań p q p q Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

13 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Alternatywa zdań: logika a mowa potoczna Warto podkreślić, że alternatywa dwóch zdań jest prawdziwym zdaniem także wtedy, gdy oba zdania składowe sa prawdziwe, a nie tylko gdy jedno z dwóch jest prawdziwe. W mowie potocznej często nie zwraca się uwagi na to, czy mówiac zachodzi A lub B ma się na myśli sytuację, w której równie dobrze zachodzi A jak i B, czy też tylko zachodzi A, a B nie zachodzi lub na odwrót. W celu podkreślenia niemożności jednoczesnego spełnienia obu zdań składowych lepiej użyć słowa albo zamiast lub, tak jak w słynnym być albo nie być. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

14 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Implikacja Implikacja: jeśli p to q (oznaczamy p q) jest prawdziwa, gdy poprzednik implikacji p jest fałszywy lub następnik implikacji q jest prawdziwy i jest fałszywa tylko wtedy, gdy prawdziwy jest poprzednik i fałszywy następnik. Sens implikacji p q dobrze oddaje rzadko już używane określenie: zdanie p pociaga za soba zdanie q. Tabelka logiczna dla implikacji p q p q Dwa zdania p i q sa równoważne, gdy p q i q p. Należy podkreślić, że jeśli poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest zawsze prawdziwa. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

15 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Implikacja a mowa potoczna Zdanie Jeśli będziesz się uczył cały tydzień przed egzaminem, to go zdasz jest fałszywe tylko wtedy, gdy uczyłeś się cały tydzień przed egzaminem i go nie zdałeś, natomiast jest prawdziwe również wtedy, gdy nie uczyłeś się przez tydzień i zdałeś egzamin, gdyż o wyniku egzaminu przesadziły jakieś inne czynniki. Jest ono oczywiście prawdziwe, gdy nie uczyłeś się przez tydzień i nie zdałeś egzaminu. Podkreślmy, że implikacji rozumianej jak wyżej nie należy mylić z wnioskowaniem logicznym, które jest zastosowaniem któregoś prawa logiki przy przechodzeniu od założeń (przesłanek) do wniosku. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

16 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania złożone Implikacja a mowa potoczna Zastapienie konstrukcji okresu warunkowego jeśli p to q wyrażeniem z p wynika q może sugerować, że q jest wnioskiem z p i prowadzić do nieporozumień. Poniższa implikacja jest przykładem oczywistego wnioskowania dedukcyjnego Jeśli Karol mieszka w Krakowie, to mieszka w Polsce. Fakt, że Karol mieszka w Warszawie, a nie w Krakowie, nie wpływa na prawdziwość tego zdania, zgodnie z definicja implikacji. Zdanie Jeśli 4 jest podzielne przez 2, to pies ma cztery nogi. jest przykładem prawdziwej implikacji, bo zarówno poprzednik jak i następnik sa zdaniami prawdziwymi, ale oczywiście nie jest to przykład wnioskowania. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

17 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Warunek konieczny i wystarczajacy Warunek konieczny i wystarczajacy Definicja W przypadku implikacji p q ( ) Zdanie q nazywamy warunkiem koniecznym dla zdania p. Zdanie p nazywamy warunkiem wystarczajacym (lub dostatecznym) dla zdania q. Implikację q p nazywa się implikacja odwrotna do ( ). Implikację q p nazywa się kontrapozycja ( ). Implikację p q implikacja przeciwna do ( ). Dla przykładu: jeśli jakaś osoba jest posłem, to ma ukończone 18 lat. Zatem warunkiem koniecznym, aby być posłem jest ukończenie 18 lat. Nie jest to jednak warunek wystarczajacy. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

18 Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Warunek konieczny i wystarczajacy Zdanie Jeśli dany (nieuszkodzony!) stawonóg ma osiem odnóży krocznych, to należy do gromady pajęczaków. znaczy oczywiście to samo, co kontrapozycja Jeśli dany stawonóg nie należy do gromady pajęczaków, to nie ma ośmiu odnóży krocznych. i znaczy coś zupełnie innego niż implikacja przeciwna Jeśli dany stawonóg nie ma ośmiu odnóży krocznych, to nie należy do gromady pajęczaków. które z kolei znaczy to samo co Jeśli dany stawonóg należy do gromady pajęczaków, to ma osiem odnóży krocznych. Logika nie rozstrzyga, które z powyższych zdań odzwierciedla wiedzę biologiczna! Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

19 Podstawy logiki matematycznej Podstawowe zdania złożone Prawdziwość złożonych zdań logicznych Aby sprawdzić czy dane zdanie złożone jest prawdziwe, trzeba rozpatrzyć wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych i posłużyć się definicjami podstawowych zdań złożonych. Najłatwiej zastosować metodę zero-jedynkowa i skonstruować tabelkę logiczna. Udowodnimy, że implikacja p q jest równoważna swojej kontrapozycji q p, co zapiszemy jako (p q) ( q p) ( ) W powyższym zdaniu użyliśmy nawiasów, co ma na celu wyodrębnienie zdań składowych w zdaniu złożonym. Aby określić wartość logiczna głównego zdania złożonego, określa się wartości logiczne zdań składowych objętych nawiasami, poczynajac od zdania objętego najbardziej wewnętrznymi nawiasami. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

20 Podstawy logiki matematycznej Podstawowe zdania złożone Implikacja jest równoważna swojej kontrapozycji (p q) ( q p) ( ) Oznaczajac równoważność w ( ) jako zdanie r mamy p p q q p q q p r W ostatniej kolumnie występuja same jedynki, a to znaczy, że zdanie r jest zawsze prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań składowych. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

21 Podstawy logiki matematycznej Tautologie prawa logiki Tautologia Sprawdzenie czy dane zdanie złożone jest prawdziwe czy nie, zostało sprowadzone do automatycznego zastosowania pewnych prostych reguł. Dlatego ten dział logiki matematycznej nazywamy rachunkiem zdań. Zdanie w omawianym przed chwila przykładzie ( ) to właśnie prawo logiki, czyli tautologia w sensie logicznym. W sensie potocznym przez tautologię rozumiemy zwykle powtórzenie tego, co już zostało powiedziane. Definicja Tautologia (w sensie logiki) to prawo logiki, tzn. każde zdanie złożone, które jest prawdziwe przy dowolnej wartości logicznej zdań, z których się składa. Słowo tautologia wywodzi się od greckiego ταυτoσ ten sam i λoγoσ mowa. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

22 Podstawy logiki matematycznej Tautologie prawa logiki Prawo podwójnego zaprzeczenia Prawo podwójnego zaprzeczenia ( p) p. Łatwo sprawdzić, że to rzeczywiście jest tautologia. Nie wszystkie języki naturalne respektuja to prawo (na przykład język polski). Zdanie Nie było nikogo w pokoju. zawiera dwa zaprzeczenia, które nie znosza się wzajemnie. Angielskie tłumaczenie tego zdania There was nobody in the room. zawiera tylko jedno zaprzeczenie. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

23 Podstawy logiki matematycznej Tautologie prawa logiki Prawo wyłaczonego środka i prawa de Morgana Prawo wyłaczonego środka p p Zatem nie ma żadnej wartości logicznej pomiędzy prawda i fałszem. Zaprzeczenie alternatywy oraz koniunkcji (prawa de Morgana) Zdanie (p q) ( p q) (p q) ( p q) nieprawda, że kruki sa czarne lub białe jest równoważne zdaniu kruki nie sa czarne i kruki nie sa białe czyli innymi słowy kruki nie sa ani czarne ani białe Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

24 Podstawy logiki matematycznej Tautologie prawa logiki Zaprzeczenie implikacji Zaprzeczenie implikacji (p q) (p q) Np. zdanie Nieprawda, że jeśli koń jest pokryty łuska, to jest wielorybem równoważne jest zdaniu Koń jest pokryty łuska i nie jest wielorybem. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

25 Podstawy logiki matematycznej Tautologie prawa logiki Modus ponens i modus tollens Modus ponens (łac.) ((p q) p) q Ta tautologia jest podstawa reguły wnioskowania zwanej dedukcja. Modus tollens (łac.) ((p q) q) p Obie tautologie pokazane na tym slajdzie sa szczególnie ważne i bez nich nie sposób wyobrazić sobie wnioskowania w jakiejkolwiek dziedzinie ludzkiej działalności. Konstruujac tabelkę logiczna można w każdym przypadku sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologia czy nie. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

26 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie logiczne Zastosowanie tautologii modus ponens Dedukcja to następujacy schemat wnioskowania: jeśli przyjmiemy dana implikację za prawdziwa i sprawdzimy, że poprzednik tej implikacji jest prawdziwy, to prawdziwy jest także następnik. Przykład Przyjmijmy, że prawdziwa jest implikacja Jeśli po jeziorze płynie żaglówka, to jezioro nie jest zamarznięte Będac nad jeziorem Mamry stwierdzamy, że Po jeziorze płynie żaglówka Dzięki dedukcji wnioskujemy, że Jezioro Mamry nie jest zamarznięte Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

27 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie logiczne Zastosowanie tautologii modus tollens Ta tautologia jest przydatnym narzędziem służacym do obalania zdań ogólnych w rodzaju Wszystkie kruki sa czarne. Niech to będzie zdanie p. Wynika stad, że skoro wszystkie kruki maja tę cechę, to oczywiście każdy napotkany z osobna kruk też ja ma. Tak powstaje zdanie q stwierdzajace, że napotkany kruk jest czarny. Jeśli tylko znajdziemy kruka o ubarwieniu innym niż czarne, czyli stwierdzimy, że zdanie q jest fałszywe, to zdanie p jest także fałszywe. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

28 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Kwantyfikatory Bardzo często (w matematyce i innych naukach) formułuje się twierdzenia, które mówia, że pewna własność jest wspólna dla wszystkich elementów jakiegoś zbioru lub że istnieje przynajmniej jeden element danego zbioru. Aby takie zdania lub twierdzenia zapisać symbolicznie używamy znaczków zwanych kwantyfikatorami. Istnieja dwa kwantyfikatory: ogólny odpowiadajacy wyrażeniu dla wszystkich lub dla każdego szczegółowy opowiadajacy wyrażeniu istnieje Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

29 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Kwantyfikator ogólny Kwantyfikator ogólny Oznaczany jako odpowiada określeniom dla każdego, wszyscy, zawsze Oznaczenie pochodzi od odwróconej litery A, pierwszej litery angielskiego słowa All. W szkole i w niektórych starych polskich podręcznikach akademickich można się spotkać z notacja polska:. W matematyce używa się skrótu x X co znaczy dla każdego elementu x ze zbioru X. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

30 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Kwantyfikator szczegółowy Kwantyfikator szczegółowy Nazywany jest również kwantyfikatorem egzystencjalnym i oznaczamy jako. Odpowiada w mowie potocznej określeniom istnieje, niektóre, zdarza się itp. Oznaczenie pochodzi od odwróconej litery E, pierwszej litery angielskiego słowa Exists. W szkole i w niektórych starych polskich podręcznikach akademickich można się spotkać z notacja polska:. Zapis x X oznacza istnieje element x należacy do zbioru X. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

31 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Nie ma tekstu matematycznego, który nie zawierałby zdań z kwantyfikatorami, co nie oznacza, że w tekście używa się powszechnie wyżej wprowadzonych oznaczeń kwantyfikatorów. Użycie oznaczeń ułatwia jednak wprowadzenie praw rzadz acych użyciem kwantyfikatorów. Rozważmy zdanie Wszyscy zostali wybrani w demokratycznych wyborach. Póki nie określi się zbioru osób, do których odnosi się słowo wszyscy, to powyższe wyrażenie, będace zdaniem w sensie gramatyki, nie jest zdaniem w sensie logiki. Brakuje tu określenia dziedziny, tak jakbyśmy zapisali wyrażenie x 2 > 5 nie precyzujac, jaki jest zakres zmienności zmiennej x. Takie prawie zdanie nazywa się funkcja zdaniowa. Jeśli za słowem wszyscy wstawimy np. słowo ministrowie, otrzymamy zdanie w sensie logiki o wartości fałszu. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

32 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Funkcja zdaniowa Definicja Funkcja zdaniowa nazywamy wyrażenie zawierajace pewne zmienne, które staje się zdaniem (prawdziwym badź fałszywym) po podstawieniu zamiast zmiennej jakiejś nazwy albo w wyniku zwiazania tej zmiennej kwantyfikatorem. Zbiór, którego elementy możemy podstawiać za zmienna, nazywamy zakresem zmienności funkcji zdaniowej. Rolę zmiennej w naszym przykładowym zdaniu pełni dopełnienie dalsze, w sensie gramatyki, precyzujace zbiór osób, o których stwierdzamy, że sa lub nie sa wybierane w demokratycznym głosowaniu. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

33 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Przykład Rozważmy następujace wyrażenie ze zmienna x x 2 x które nazwiemy funkcja zdaniowa P ze zmienna x, co zapisujemy skrótowo jako P(x). Póki nie znamy zakresu zmienności zmiennej x, powyższe wyrażenie nie jest zdaniem logicznym. Staje się ono zdaniem, gdy dodamy na poczatku Dla każdej liczby parzystej x lub Istnieje liczba naturalna x, itp. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

34 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Niech ϕ będzie funkcja zdaniowa. Wówczas zdanie dla każdego x ze zbioru X zachodzi funkcja zdaniowa ϕ(x), co zapisujemy jako x X ϕ(x), jest prawdziwe w.t.w. gdy przy każdym podstawieniu w funkcji zdaniowej ϕ nazwy elementu zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe; zdanie istnieje x ze zbioru X, taki że zachodzi funkcja zdaniowa ϕ(x), co zapisujemy jako x X ϕ(x), jest prawdziwe w.t.w. gdy przy podstawieniu nazwy choćby jednego elementu ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

35 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Pozostawiajac na boku kwestię prawdziwości zdań rozpatrzmy przykład zdania zawierajacego kwantyfikator ogólny Każda komórka w żywym organizmie zawiera fragment kwasu DNA. oraz zdania z kwantyfikatorem szczegółowym Niektóre komórki w żywym organizmie maja podwójna liczbę chromosomów. Pozostawiajac specjalistom stwierdzenie, czy zdania te sa zgodne z obecna wiedza, czy nie, zbudujmy zaprzeczenia tych zdań. oraz Istnieje komórka w żywym organizmie, która nie zawiera choćby fragmentu kwasu DNA. Wszystkie komórki w żywym organizmie maja różna od podwójnej liczbę chromosomów. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

36 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów Budowę zdań będacych zaprzeczeniami zdań z kwantyfikatorami określaja prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. Niech ϕ oznacza pewna funkcję zdaniowa Dla kwantyfikatora ogólnego ( x X ϕ(x)) x X ( ϕ(x)) Dla kwantyfikatora szczegółowego ( x X ϕ(x)) x X ( ϕ(x)). Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

37 Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory Kolejność kwantyfikatorów Uwaga! Kolejność występowania kwantyfikatorów w zdaniu jest istotna i zmienia sens zdania. Przykład Zdanie Każdy student ożeni się z jakaś studentka zawiera dwa kwantyfikatory, gdyż znaczy to samo co Dla dowolnego studenta istnieje studentka, z która się ożeni. Po przestawieniu kwantyfikatorów dostajemy zdanie Istnieje studentka, z która ożeni się każdy student. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

38 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie Przez wnioskowanie rozumie się przejście od zbioru zdań, które nazywamy przesłankami i przyjmujemy za prawdziwe do zdania, będacego wnioskiem (teza). Przez wnioskowanie logiczne rozumie się zastosowanie przy przejściu od przesłanek do wniosku któregoś prawa logiki, czyli tautologii. Przy wnioskowaniu logicznym, jeśli prawdziwe sa przesłanki, to także prawdziwa jest teza. Przykładem wnioskowania logicznego jest zastosowanie reguły dedukcji: Sa tu dwie przesłanki: 1 p q 2 p ((p q) p) q. Przyjęcie, że obie przesłanki sa prawdziwe pociaga za soba prawdziwość tezy q. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

39 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie Przykład wnioskowania, które nie jest wnioskowaniem logicznym: Jeśli dany płyn jest kwasem, to zabarwia papier lakmusowy na czerwono. To zdanie będace implikacja należy do dziedziny chemii, która uzasadnia jego poprawność przy określonych warunkach. Oznaczmy przez p zdanie dany płyn jest kwasem, a przez q zdanie dany płyn zabarwia papier lakmusowy na czerwono. Rozważane zdanie z logicznego punktu widzenia jest implikacja p q. Przyjmujac to zdanie za prawdziwe nie mamy prawa stwierdzić w konkretnym przypadku, że Jeśli dany płyn zabarwia papier lakmusowy na czerwono, to płyn ten jest kwasem. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

40 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie Łatwo sprawdzić za pomoca tabelki logicznej ( ćwiczenia), że nie jest tautologia zdanie ((p q) q) p. ( ) Nie jest to zatem przykład wnioskowania logicznego. Przyjęcie prawdziwości obu przesłanek (1) p q i (2) q nie gwarantuje, że prawdziwe jest zdanie p. Zdanie ( ) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zdanie p, a tego z góry nie wiemy. Jeśli przeciwnie, papier lakmusowy po zanurzeniu w płynie nie zabarwiłby się na czerwono, to stosujac wnioskowanie logiczne (tautologia modus tollens) mamy prawo uznać, że zdanie jest fałszywe. Dany płyn jest kwasem Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

41 Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie W praktyce znanej ze szkoły stosuje się jednak nasze pierwsze zdanie Jeśli dany płyn jest kwasem, to zabarwia papier lakmusowy na czerwono uznajac, że prawdziwa jest równoważność Dany płyn zabarwia papier lakmusowy na czerwono wtedy i tylko wtedy gdy ten płyn jest kwasem, mimo że można sobie wyobrazić, że przyczyna zmiany barwy jest zupełnie inna niż kwasowość roztworu. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

42 Podstawy logiki matematycznej Typy wnioskowania Dwa typy wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Jest to w istocie wnioskowanie logiczne. Jeśli jest prawidłowo przeprowadzone, to jest niezawodne. Wnioskowanie indukcyjne Indukcja polega na wyprowadzaniu wniosków ogólnych na podstawie danych szczegółowych. Jeśli próbuje się na podstawie własności kilku elementów jakiegoś zbioru wnioskować o cechach wszystkich jego elementów, to oczywiście jest to rozumowanie zawodne, jest to tzw. indukcja niezupełna. Ten typ indukcji należy odróżnić od indukcji matematycznej ujętej w postaci twierdzenia matematycznego dotyczacego zbioru liczb naturalnych. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

43 Podstawy logiki matematycznej Typy wnioskowania Indukcja niezupełna W biologii i medycynie stosuje się powszechnie, jako szczególny przypadek indukcji niezupełnej, wnioskowanie statystyczne, które w uproszczeniu polega na określeniu stopnia pewności (prawdopodobieństwa) z jakim przyjęcie ogólnego wniosku na podstawie danych szczegółowych jest słuszne. Przykład liczba ryb w jeziorze Nie da się oczywiście policzyć wszystkich ryb. Wykonujac w odpowiedni sposób kilka odłowów i stosujac odpowiednie procedury można natomiast stwierdzić, że Z prawdopodobieństwem co najmniej 0,95 w danym jeziorze jest więcej niż ryb. Zwróćmy uwagę, że zdanie to nie mówi bezpośrednio o liczbie ryb, tylko o prawdopodobieństwie (stopniu pewności) tego, że w jeziorze jest tyle a tyle ryb. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

44 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Zbiór Przez wieki poszukiwano pojęcia podstawowego, za pomoca którego można by określić przedmiot badań matematyków. Na przełomie XIX i XX wieku zaczęło kształtować się przekonanie, że podstawowym pojęciem w matematyce jest pojęcie zbioru. Tego pojęcia nie definiuje się formalnie, jest to tak zwane pojęcie pierwotne, którego znaczenie przedstawia się opisowo odnoszac się do intuicji. Koncepcja zbioru w matematyce Zbiór jest pewnym obiektem, który albo nic nie zawiera, to znaczy nie należa do niego żadne elementy, albo zawiera jakieś elementy, które też moga hierarchicznie składać się z jakiś elementów i.t.d. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

45 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Pojęcia należenia do zbioru i inkluzji Jest rzecza podstawowej wagi by rozróżnić dwa pojęcia: 1 pojecie pierwotne należenia elementu do jakiegoś zbioru, albo inaczej bycia elementem zbioru; 2 od pojęcia inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim lub inaczej bycia podzbiorem zbioru. Sens stwierdzenia, że x należy do zbioru A, czyli x jest elementem zbioru A uznajemy za powszechnie zrozumiały. W tym sensie pojęcie należenia elementu do zbioru uznajemy za pierwotne. Powszechnie używa się zapisu x A, co oznacza, x należy do A. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

46 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Pojęcie inkluzji definicja W oparciu o pierwotne pojęcie należenia do zbioru i pojęcie implikacji określamy pojęcie zawierania się zbiorów, czyli inkluzji zbiorów. Definicja Zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co oznaczamy A B w.t.w. gdy prawda jest, że (x A) (x B). Zbiór A zawarty w zbiorze B nazywamy jego podzbiorem. W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem. Taki podzbiór, który jest różny od całego zbioru nazywamy podzbiorem właściwym. Nawiasy klamrowe { oraz } oznaczaja w zapisie poczatek i koniec listy elementów danego zbioru. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

47 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Niech A będzie zbiorem dwóch elementów A = {a, b}. Zbiór którego jedynym elementem jest a, czyli {a} jest zawarty w zbiorze A, co zapisujemy jako {a} A. Zbiór pusty Zbiór pusty, to taki zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem Z definicji implikacji wynika, że dla dowolnego zbioru A A. Z punktu widzenia matematyki jest niepoprawne stwierdzenie, że liczba 2 zawiera się w zbiorze liczb parzystych. Powiemy poprawnie, że liczba 2 należy do zbioru liczb parzystych. Natomiast zbiór, którego jedynym elementem jest liczba 2, czyli {2} jest zawarty w zbiorze liczb parzystych. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

48 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Zbiór wszystkich podzbiorów Przykład zbioru wszystkich podzbiorów P (A) zbioru dwuelementowego A = {a, b} ; P (A) = {, {a}, {b}, A}. Elementami tego zbioru sa wszystkie zbiory zawarte w A. Pamiętajmy, że jeśli a A to {a} A i {a} P (A). Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

49 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Działanie na zbiorach: suma i iloczyn zbiorów 1. Suma zbiorów Suma zbioru A i zbioru B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A lub do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B 2. Przecięcie zbiorów (inaczej część wspólna albo iloczyn zbiorów) Przecięciem (iloczynem, częścia wspólna) zbiorów A i B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A i do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

50 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Działanie na zbiorach 3. Różnica zbiorów Dla danych zbiorów A i B różnica zbiorów oznaczana jako A \ B jest zbiór tych wszystkich elementów ze zbioru A, które nie należa do zbioru B, czyli x A \ B (x A ) (x B) A B 4. Produkt kartezjański zbiorów (iloczyn kartezjański zbiorów) Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B istnieje zbiór wszystkich uporzadkowanych par, oznaczany. A B, który nazywa się produktem kartezjańskim lub iloczynem kartezjańskim zbiorów, A B = {(a, b) : a A, b B}. B A B A Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

51 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Co to jest funkcja? Definicja Funkcja f określona na zbiorze X o wartościach w Y nazywamy przyporzadkowanie dowolnemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y = f(x) Y. Zbiór X nazywamy dziedzina lub zbiorem argumentów funkcji, a element y Y wartościa funkcji. Zbiór wszystkich w ten sposób przyporzadkowanych elementów y to obraz zbioru X lub zbiór wartości funkcji, który jest podzbiorem zbioru Y. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

52 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Notacja Określajac funkcję f zwykle piszemy Można również napisać f : X Y, y = f(x). X f Y, y = f(x) lub nawet X x y = f(x) Y. Mamy sporo dowolności przy wyborze notacji, najważniejsze by pamiętać zawsze o sprecyzowaniu dziedziny funkcji i zbioru, w którym przyjmuje ona wartości. Niesprecyzowanie dziedziny funkcji prowadzić zwykle do nieporozumień. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

53 Podstawowe pojęcia matematyczne Zbiory Złożenie funkcji Definicja (złożenie lub inaczej superpozycja dwóch funkcji) Niech f : X Y, g : Y Z. Funkcję, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element z Z, taki że z = g(f(x)) nazywamy superpozycja (złożeniem) funkcji f i g. Wyznaczona jest nowa funkcja, która oznaczymy przez h h(x) = g(f(x)) x X. Stosuje się zapis: h = g f czyli h(x) = (g f)(x) = g(f(x)). x 1 x 3 x 2 f y 1 z 1 y 2 g z 2 h Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

54 Podstawowe pojęcia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna Funkcja różnowartościowa (injekcja) Definicja Funkcję f : X Y nazywamy funkcja różnowartościowa (injekcja), jeżeli x 1, x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 )) (x 1 = x 2 ). Przykład injekcji dla zbiorów skończonych. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

55 Podstawowe pojęcia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna Definicja surjekcji (funkcji na ) Definicja Funkcję f : X Y nazywamy surjekcja (funkcja na ), jeżeli y Y x X f(x) = y. Przykład Przyporzadkowanie każdej osobie w Polsce numeru miesiaca, w którym się urodziła nie jest injekcja, ale jest surjekcja. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

56 Podstawowe pojęcia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna Definicja bijekcji Definicja Funkcja f : X Y, która jest injekcja i surjekcja, a więc przekształca zbiór X na zbiór Y wzajemnie jednoznacznie, nazywa się bijekcja. y 3 Y f 1 1 X 5 x Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

57 Podstawowe pojęcia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna Funkcja odwrotna Niech f : A B. Definicja Powiemy, że funkcja g jest funkcja odwrotna do funkcji f (oznaczamy g = f 1 ) w.t.w. Stwierdzenie g : B A oraz x A zachodzi g(f(x)) = x. Jeżeli f : A B jest bijekcja, to istnieje funkcja odwrotna do f określona na całym zbiorze B. Stwierdzenie Każda funkcja różnowartościowa f : A B jest bijekcja z A na zbiór swoich wartości f(a). Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

58 Podstawowe pojęcia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna Funkcja odwrotna 5 y = f(x) x = g(y) = f 1 (y) x y Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

59 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Podstawy kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje Niech X będzie zbiorem skończonym. Ciagiem elementów ze zbioru X nazywamy funkcję określona na dowolnym podzbiorze L kolejnych liczb naturalnych o wartościach w X czyli każdej liczbie ze zbioru L przyporzadkowany jest dokładnie jeden element zbioru X. Dla podkreślenia tego, że elementy ciagu sa uporzadkowane a więc ponumerowane nazywa się je wyrazami. Ciag można oznaczyć jako {a k } n k=l. Wtedy pierwszym wyrazem o numerze l jest a l a ostatnim o numerze n jest a n czyli L = {l,..., n}. Jest to skrócony zapis w stosunku do (a l, a l+1, a l+2..., a n ) Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

60 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Rozpatrzmy zbiór liter X = {a, b, c}. Oto wszystkie podzbiory dwuelementowe tego zbioru {a, b}, {a, c} {b, c} a wszystkie ciagi dwuwyrazowe elementów ze zbioru to X (a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

61 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Wsród pytań, które można zadać odnośnie ciagów skończonych wybierzmy dwa; 1. Ile jest wszystkich ciagów p-wyrazowych o wyrazach ze zbioru m-elementowego? Czyli L = p a X = m.(wyrazy moga się powtarzać) Odpowiedź. Jest ich tyle ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze p-elementowym o wartościach w zbiorze m elementowym czyli p m p { }} { = m m... m gdyż pierwszy wyraz ciagu można wybrać na m sposobów, drugi również na m sposobów i tak dalej na każdym spośród p miejsc. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

62 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Ile jest wszystkich ciagów p wyrazowych ze zbioru m-elementowego gdy m p i takich, że wyrazy w ciagu nie powtarzaja się? Innymi słowy, ile jest funkcji różnowartościowych o dziedzinie p-elementowej o wartościach ze zbioru m-elementowego. Odpowiedź. Zbiór wszystkich ciagów p wyrazowych i różnowartościowych ze zbioru m-elementowego ma m (m 1) (m 2) (m 3)... (m (p 1)) ozn. = V p m elementów, gdyż pierwszy wyraz ciagu można wybrać na m sposobów, ale drugi, skoro nie moga się powtarzać, już tylko na m 1 sposobów. Kolejny na m 2 sposobów i tak dalej p-ty wyraz może być wybrany na m (p 1) sposobów, bo dokładnie p 1 elementów zostało już wybranych i ustalonych jako kolejne wyrazy ciagu. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

63 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Wariacja bez powtórzeń Każdy taki ciag nazywa się w kombinatoryce wariacja bez powtórzeń. W przypadku szczególnym gdy m = p, nazywamy go permutacja i wtedy V m m = (m 1)m ozn. = m! Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

64 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Przykłady Ile jest wszystkich możliwych ciagów zasad azotowych w 10 elementowym fragmencie łańcucha RNA? Odpowiedź. Zbiór zasad azotowych UACG jest czteroelementowy. Na każdym miejscu łańcucha RNA może być dowolna spośród czterech zasad a więc wszystkich możliwych jest tyle ile ciagów 10-wyrazowych o wartościach ze zbioru czteroelementowego czyli 4 10 = Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

65 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Ograniczmy się teraz do czteroelementowych fragmentów łańcucha i zapytajmy ile jest 4-elementowych łańcuchów, w których żadne dwie zasady się nie powtarzaja. Jest ich oczywiście = 4! = 24. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

66 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinacje Kombinacja k-elementowa kombinacja ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k elementowy podzbiór tego zbioru. Liczbę kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego, oznaczamy przez Cn k. Udowodnimy, że C k n = ( n k ) ozn. = n! (n k)!k!. Symbol ( n k ) to tzw. symbol Newtona, który czytamy n po k. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

67 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Dowód: Spróbujmy najpierw znaleźć liczbę wszystkich ciagów k-wyrazowych o elementach ze zbioru n elementowego, n k, czyli liczbę wszystkich wariacji k-wyrazowych ze zbioru n-elementowego. Pierwszy wyraz ciagu możemy wybrać na n sposobów drugi już tylko na n 1 sposobów i tak k-ty wyraz na n (k 1) sposobów. Teraz pozostaje uwzględnić, że rozróżnialiśmy ciagi w których występuja te same elementy w różnej kolejności. Liczbę wszystkich wariacji bez powtórzeń musimy zmniejszyć tyle razy ile jest permutacji k-wyrazowych. Wszystkich kombinacji jest zatem n(n 1)... (n (k 1)) k! = n! (n k)!k!. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

68 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Słowem nazywać będziemy dowolny ciag liter (znaków) jakiegoś alfabetu. Oto kilka pytań, które można postawić odnośnie liczby słów majacych określone własności. 1 Ile różnych słów dziesięcioliterowych można utworzyć z dziesięciu różnych liter tak aby litery nie powtarzały się w słowie? 2 Na ile sposobów można wybrać trójki (nie uporzadkowane) niepowtarzajacych się liter spośród 10 znaków alfabetu? 3 Na ile sposobów można wybrać słowa trzyliterowe o niepowtarzajacych się literach spośród 10 znaków alfabetu? 4 Ile słów trzyliterowych można utworzyć z 10 liter alfabetu? Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

69 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa W pierwszej chwili może się wydawać, że trzy ostatnie pytania dotycza tego samego zagadnienia. Tak jednak nie jest. Spróbujmy wyrazić te pytania w języku matematyki. Pierwsze pytanie dotyczy w istocie liczby wszystkich ciagów 10-wyrazowych i różnowartościowych lub używajac specyficznej terminologii kombinatorycznej liczby wszystkich permutacji 10 wyrazowych. Jest ich V = = 10! = Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

70 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa W drugim pytaniu chodzi o liczbę wszystkich podzbiorów 3-elementowych zbioru 10-elementowego bez ustalenia jakiegokolwiek porzadku ich występowania. W naszym przypadku C 3 10 := ( ) 10 3 = 10! 7! 3! = ( ) 2 3 = = = Powyższe rozumowanie zawiera odpowiedź na pytanie trzecie. Słów trzyliterowych o niepowtarzajacych się literach jest tyle ile jest wariacji trzywyrazowych bez powtórzeń czyli V3 10 = = 720. W pytaniu czwartym chodzi zaś o liczbę wszystkich ciagów trzywyrazowych o wyrazach ze zbioru 10-elementowego (litery moga się powtarzać) czyli liczbę wszystkich funkcji określonych na zbiorze trzyelementowym w zbiór 10-elementowy. Jest ich tyle ile jest wszystkich trzywyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 10-elementowego czyli = Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

71 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Pary alleli na chromosomach Przyjmijmy, że w pewnej populacji organizmów diploidalnych występuje n odmian danego genu czyli alleli. Najczęściej w szkolnych zadaniach spotykamy się z przypadkiem dwóch alleli. W ogólności alleli może być więcej, jest tak na przykład u grzybów podstawczaków w genach odpowiedzialnych za rozmnażanie. Pojawia się pytanie Ile jest par alleli jednego genu ulokowanych w odpowiadajacych sobie miejscach na chromosomach homologicznych, jeśli wszystkich alleli danego genu jest n? Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

72 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Odpowiedź. Zwróćmy uwagę, że z punktu widzenia klasycznych praw genetyki kolejność występowania alleli w parze nie ma znaczenia (podobnie do liczby oczek na kościach domina). Wszystkich ciagów dwuwyrazowych (par) o wyrazach ze zbioru n elementowego jest n 2. I taka byłaby odpowiedź jeśli rozróżnialibyśmy pary typu (A,a) i (a,a). By wyeliminować te przypadki odejmiemy od n 2 liczbę wszystkich par majacych te same alle na obu miejscach np. (A,A). Jest ich oczywiście n. Ponieważ każde dwie pary różniace się tylko kolejnościa traktujemy jako jedna to jest ich n2 n 2. Do tej liczby trzeba tylko dodać pary majace te same alle na obu miejscach. Ostateczna odpowiedzia jest zatem n 2 n 2 + n = n(n + 1) 2 = ( ) n+1 2. W znanym przypadku dwóch alleli mamy trzy genotypy : AA, Aa, aa. Dla pięciu alleli możliwych 15 genotypów. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

73 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Przewidywalne/nieprzewidywalne Co to jest rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki zajmujaca się badaniem modeli zjawisk i procesów o przebiegu nie dajacym się przewidzieć z całkowita pewnościa. Takie zjawiska nazywamy zjawiskami losowymi. Nieprzewidywalny jest wynik rzutu moneta lub kościa, wynik meczu piłkarskiego, znalezienie wadliwej żarówki wśród nowo wyprodukowanych, wynik pomiaru wysokości przypadkowo wybranego studenta a także wystapienie mutacji genetycznej. Rzut moneta symetryczna W pokoju podrzucamy w górę symetryczna monetę. Zanim moneta upadnie wyrażamy dwie opinie; 1) moneta spadnie reszka do góry 2) moneta spadnie na podłogę. W pierwszym przypadku nie ma pewności co do tego czy opinia jest prawdziwa czy nie, a w drugim przypadku mamy pełna pewność, że sad jest prawdziwy. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

74 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Chcac mimo wszystko znaleźć jakaś regułę opisujac a wyniki rzutu moneta i chcac uwolnić się od konsekwencji oddziaływania wielkiej liczby czynników wpływajacych na przebieg każdego rzutu z osobna należy wykonać wielka liczbę powtórzeń i przeformułować sad 1), który teraz brzmiałby następujaco 1 ) W trakcie 1000 rzutów ta sama moneta w tych samych warunkach liczba reszek które wypadna mieści się w przedziale [490,510]. Rachunek prawdopodobieństwa umożliwia określenie stopnia pewności z jakim można uznać, że sad 1 ) przewiduje rezultat konkretnej serii rzutów. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

75 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Odpowiednikiem wyrzucenia reszki badź orła może być wystapienie badź niewystapienie w ciagu tysiaca pokoleń, mutacji genetycznej w ustalonej części łańcucha DNA, w komórce generatywnej jakiegoś organizmu. Wystapienie mutacji w ciagu kolejnego miliona lat to jakby kolejny rzut moneta itd. Różnica pomiędzy tym przykładem i seria rzutów moneta polega na tym, że w odróżnieniu od tego ostatniego nie możemy powtarzać wielokrotnie przebiegów ewolucji aby oszacować prawdopodobieństwo pojawienia się mutacji. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

76 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Trzy powody dla których biolog winien znać podstawy rachunku prawdopodobieństwa: 1 Podstawowym źródłem przypadkowej zmienności w populacjach organizmów dwupłciowych sa dwa procesy towarzyszace mejozie, w trakcie pierwszego z nich następuje wymiana części chromatyd chromosomów homologicznych pochodzacych od obojga rodziców (crossing-over), w drugim dochodzi do losowego rozchodzenie się chromatyd do biegunów komórki. Oba procesy sa od siebie niezależne a ich rezultat nie jest przewidywalny o czym przekonać może się każdy kto ma rodzeństwo pochodzace od tej samej pary rodzicielskiej. 2 Drugim czynnikiem powodujacym przypadkowa zmienność (a także specjację) jest występowanie mutacji genetycznych. Zarówno miejsce w genomie jaki moment w którym wystapi, sa zjawiskami losowymi. 3 Powyższe czynniki losowe wydaja się być immanentna cecha procesów naturalnych. Innej natury czynnikiem losowym, nieprzewidywalnym, jest wpływ nieświadomych błędów i niedokładności towarzyszacych każdemu aktowi pomiaru. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

77 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych W każdym z przytoczonych wyżej przykładów zjawisk losowych potrafimy sporzadzić listę wszystkich możliwych sytuacji, które moga się pojawić w taki sposób by każda z nich wykluczała pozostałe. Każda taka sytuacja nazywa się zdarzeniem elementarnym. Jest to pojęcie pierwotne rachunku prawdopodobieństwa tzn. nie definiuje się go w języku teorii, której dotyczy. Wszystkie zdarzenia elementarne dotyczace wyników danego doświadczenia losowego tworza zbiór zdarzeń elementarnych. Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym to zdarzeniem może być dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych, a w przypadku gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem nieskończonym, trzeba wprowadzić dodatkowe warunki ograniczajace, które musi spełniać podzbiór będacy zdarzeniem. Jest to niezbędne dla matematycznej spójności teorii ale nie ma bezpośredniego praktycznego znaczenia. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

78 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Przykłady przestrzeni zdarzeń dla doświadczenia polegajacego na jednokrotnym rzucie moneta zbiór zdarzeń elementarnych jest dwuelementowy Ω 1 = {0, R} gdzie 0 reprezentuje wyrzucenie orła a R reszki. dla doświadczenia polegajacego na dwukrotnym rzucie moneta zbiór zdarzeń elementarnych jest czteroelementowy i składa się z wszystkich możliwych serii wyników Ω 2 = {(0, R), (0, 0), (R, R), (R, 0)}, w przypadku pojedyńczego rzutu kościa zbiór zdarzeń elementarnych jest sześcioelementowy. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

79 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Wszystkie operacje, które znamy z rachunku zbiorów maja swoje odpowiedniki w rachunku zdarzeń. Dla przykładu jeśli Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych i A Ω to zbiór Ā = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym. Jeśli zachodzi zarówno zdarzenie A jaki zdarzenie B to takie zdarzenie nazywa się, podobnie jak w rachunku zbiorów, iloczynem (częścia wspólna) zdarzeń A B i.t.d. W przypadku dwukrotnego rzutu moneta jeśli przez A oznaczymy zdarzenie polegajace na wyrzuceniu orła w pierwszym rzucie a przez B zdarzenie polegajace na wyrzuceniu orła w drugim rzucie to zdarzenie polegajace na wyrzuceniu orła w obu rzutach to A B = {(0, R), (0, 0)} {(0, 0), (R, 0)} = {(0, 0)}. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

80 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo a częstość Pojęcie prawdopodobieństwa jest uogólnieniem pojęcia częstości. Jeśli przy n-krotnym powtórzeniu danego doświadczenia zdarzenie A zachodzi n A razy to liczbę c A = n A /n nazywamy częstościa występowania zdarzenia A. Rozważmy dla przykładu sekwencję zasad nukleinowych w łańcuchu DNA. Przypomnijmy, że ze względu na podobieństwo budowy czasteczek wyróżnia się puryny: adeninę ozn. A i guaninę ozn. G oraz pyrymidyny cytozynę ozn. C i tyminę ozn. T. Zasady A i T oraz G i C tworza pary komplementarne. W 12-wyrazowej sekwencji zasad AGCTGGCGACTA częstość występowania adeniny A wynosi 1 4, częstość występowania guaniny G wynosi 1 3, a częstość występowania puryn wynosi = 7 Widzimy zatem, że częstości zdarzeń rozłacznych dodaja się do siebie. 12. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90

81 Podstawowe pojęcia matematyczne Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa Przyjmujac aksjomaty sformułowane przez Andrieja Kołmogorowa ( ) można uwolnić się od źródłowego pojęcia częstości. Niech Ω będzie przestrzenia zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo zdarzenia A oznaczamy przez P(A). 1 Dla dowolnego zdarzenia A Ω, 0 P(A) 1. 2 P(Ω) = 1 3 Dla każdej pary rozłacznych zdarzeń A i B P(A B) = P(A) + P(B). Drugi aksjomat mówi, że zajście któregoś ze zdarzeń spośród wszystkich możliwych jest pewne tzn. że zbiór Ω uwzględnia wszystkie możliwe zdarzenia, które moga zajść w danych okolicznościach. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 1. 9-października / 90