Cel i zadania Podstawowa literatura Uwagi

Transkrypt

1 Gdańsk, PROPOZYCJE TEMATÓW PRAC DYPLOMOWYCH MAGISTERSKICH / PROJEKTÓW INśYNIERSKICH NA ROK AKADEMICKI 2013/2014 Kierunek: /Fizyka /InŜynieria materiałowa/inŝynieria biomedyczna Katedra RÓWNAŃ RÓśNICZKOWYCH I ZASTOSOWAŃ MATEMATYKI L.p. Kierunek/ Specjalność Temat pracy dyplomowej Imię i nazwisko opiekuna Cel i zadania Podstawowa literatura Uwagi 3. Informatyka stosowana Warunki brzegowe w zagadnieniach odwrotnych równania dyfuzji. Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w postaci zasady wariacyjnej z uwzględnieniem warunków brzegowych oraz regularyzacji. Zadanie 1: Sformułować zasadę wariacyjna dla równania dyfuzji w przestrzeni Sobolewa. Zadanie 2: Opracowanie algorytmów i kodów numerycznych dla rozwiązywania odpowiednich dyskretyzacji równań Eulera. Yu P. Petrov, V.S. Sizikov: Well-posed, Illposed, and Intermediate Problems with Applications (Inverse and Ill-Posed Problems) Publisher: V.S.P. Intl Science. 4 Informatyka stosowana Zagadnienia odwrotne Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w postaci zasady wariacyjnej z Yu P. Petrov, V.S. Sizikov: Well-posed, Ill-

2 akustyki gazów i wyznaczenie parametrów mikroskopowyc h. uwzględnieniem warunków brzegowych oraz regularyzacji Zadanie 1: Sformułować zasadę wariacyjna w przestrzeni Sobolewa na podstawie wzoru na prędkość dźwięku. posed, and Intermediate Problems with Applications (Inverse and Ill-Posed Problems) Publisher: V.S.P. Intl Science Zadanie 2:Opracowanie algorytmów i kodów numerycznych dla rozwiązywania odpowiednich dyskretyzacji równań Eulera. 5 Informatyka stosowana Równania stanu cieczy i zagadnienia odwrotne fizyki statystycznej Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia odwrotnego wyznaczenia potencjałów międzymolekularnych w postaci zasady wariacyjnej z uwzględnieniem warunków brzegowych oraz regularyzacji Zadanie 1: : Sformułować zasadę wariacyjna w przestrzeni Hilberta na podstawie wzoru na ciśnienie dla gazu rzeczywistego, wyraŝonego przez potencjał międzycząsteczkowy. Yu P. Petrov, V.S. Sizikov: Well-posed, Illposed, and Intermediate Problems with Applications (Inverse and Ill-Posed Problems) Publisher: V.S.P. Intl Science. Zadanie 2: Opracowanie algorytmów i kodów numerycznych dla rozwiązywania odpowiednich dyskretyzacji równań Eulera. Zadanie 3. Wyznaczenie potencjałów. 6 Informatyka stosowana Zagadnienia odwrotne dla równania Black- Sholes Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla równania BS w postaci zasady wariacyjnej z uwzględnieniem warunków brzegowych oraz regularyzacji Yu P. Petrov, V.S. Sizikov: Well-posed, Illposed, and Intermediate Problems with

3 matematyki finansowej. Zadanie 1: : Sformułować zasadę wariacyjna w przestrzeni Sobolewa na podstawie wzoru na rozwiązanie dla równania Black-Sholes. Applications (Inverse and Ill-Posed Problems) Publisher: V.S.P. Intl Science. Zadanie 2: Opracowanie algorytmów i kodów numerycznych dla rozwiązywania odpowiednich dyskretyzacji równań Eulera. 7 Fizyka Quaziwyznaczni ki i faktoryzacja równań macierzowych. Wzory na transformacje Darboux przez kwaziwyznaczniki. Zadanie 1. Wyprowadzenie wzorów na transformacje Darboux w postaci kwaziwyznaczników. E. Doktorov, S. Leble, Dressing method in mathematical physics. Springer Fizyka matematyczna Zadanie 2. Manipulowanie wielomianami macierzy na podstawie faktoryzacji uzyskanej przez transformacje Darboux. 8 Fizyka Rozwiązania równań solitonowych: równanie Sakhowiczej dla video impulsów światła. Uzyskanie wzorów na transformacje Darboux dla równania Sakhowiczej. Zadanie 1. Wyprowadzenie wzorów na transformacje Darboux dla równanie Sakhowiczej. Zadanie 2. Uzyskanie rozwiązań równania dla ultrakrótkich impulsów przez transformacje Darboux. E. Doktorov, S. Leble, Dressing method in mathematical physics. Springer Fizyka matematyczna 9 Fizyka Rozwiązania Badanie moŝliwych redukcji równania trzech E. Doktorov, S. Leble, Fizyka

4 równań solitonowych: równanie trzech fal z uwzględnieniem asynchronizmu. fal i rozwiązań z uwzględnieniem asynchronizmu. Zadanie 1. Wyprowadzenie wzorów na transformacje Darboux dla równań które powstają jako redukcji równania trzech fal z uwzględnieniem asynchronizmu. Dressing method in mathematical physics. Springer matematyczna Zadanie 2. Uzyskanie rozwiązań równania dla impulsów światła przez transformacje Darboux dla równania trzech fal z uwzględnieniem asynchronizmu: nachylone solitony. 10 Fizyka Symetria Focka atomu wodoru. Reprezentacje symetrii Focka atomu wodoru w przestrzeni przedłuŝonej. Zadanie 1. Wyprowadzenie wzorów na transformacje infinitesimalne grupy symetrii Liego dla równania atomu wodoru w mechanice kwantowej V.A. Fock, Principles of Quantum Mechanics. V.A. Fock - Selected Works: Quantum Mechanics and Quantum Field Theory Mechanika kwantowa Zadanie 2. Uzyskanie rozwiązań równania Schródingera przez transformacje Darboux dla równania atomu wodoru w mechanice kwantowej dl stanów widma ciągłego. 11 Fizyka Teoria propagacji krótkich impulsów światła w nanostrukturach Wyprowadzenie równań propagacji krótkich impulsów światła w nanostrukturach. Zadanie 1. Wyprowadzenie wzorów na współczynnik przenikalności dielektrycznej z uwzględnieniem struktury atomowej nanonici. S. Leble Waveguide propagation of nonlinear waves. Springer Elektrodynamik a

5 Zadanie 2. Wyprowadzenie wzoru na równanie propagacji jednowymiarowej światła w nanonici. 12 Fizyka Propagacja fali elektromagnetyc znej w światłowodzie PCV. Cel. i analog równania Hondrosa-Debaya.. Zadanie 1. Mód poprzeczny w ujęciu analitycznym, wykorzystanie symetrii w płaszczyźnie zespolonej. S. Leble Waveguide propagation of nonlinear waves. Springer Elektrodynamik a 13 Fizyka Dyfrakcja fali elektromagnetyc znej na walcu półprzewodniko wym. Zadanie 2. Wyprowadzenie analogu równania Hondrosa-Debye.. Zadanie 1. Wybór modeli przenikalności elektrycznej przy uwzględnieniu przewodnictwa. Zadanie 2. Wyprowadzenie i badanie wzoru na pole wtórne jako szeregu w bazie funkcji walcowych. S. Leble Waveguide propagation of nonlinear waves. Springer Elektrodynamik a 14 Fizyka Kwantyzacja Feynmanna solitonów nieliniowego równania Schrodingera. Obliczenia wkładów jedno-pętlowych do funkcji działania. Zadanie 1. Wyprowadzenie wyraŝenia dla Zetafunkcji Riemanna. Zadanie 2. Wyliczenia poprawki do masy solitonu. S. Leble, Quantum Corrections to Static Solutions of Sine- Gordon and Nahm Models via Generalized Zeta-Function, Theoretical and Mathematical Physics, 160(1): (2009)) Teoria pól kwantowych.

6 15 Fizyka Kwantyzacja solitonów eliptycznych Obliczenia wkładów jednopiętrowych do funkcji działania Zadanie 1. Wyprowadzenie wyraŝenia dla Zetafunkcji Riemanna. Zadanie 2. Wyliczenia poprawki do masy solitonu eliptycznego. S. Leble, Quantum Corrections to Static Solutions of Sine- Gordon and Nahm Models via Generalized Zeta-Function, Theoretical and Mathematical Physics, 160(1): (2009)) Teoria pól kwantowych. 16 Fizyka Rozwiniecie modeli Bhatnagara - Grossa Krooka (BGK). Fala uderzeniowa w gazie rozrzedzonym. Uwzględnienie poprawek korelacyjnych do równania Boltzmanna w teorii fal uderzeniowych. Zadanie 1. Wyprowadzenie wyraŝenia dla poprawek w modeli BGK. Zadanie 2. Wyprowadzenie poprawek do równania Burgersa. Alexeev B.V., Generalized Boltzmann Physical Kinetics, (Elsevier, 2004). Fizyka statystyczna. 17 Fizyka Wyprowadzenie równania Alexeeva w teorii lancuchu Bogoliubova. Uwzględnienie poprawek korelacyjnych do równania Boltzmanna w teorii gazów. Zadanie 1. Badanie rozwinięcia w szereg asymptotyczny. Alexeev B.V., Generalized Boltzmann Physical Kinetics, (Elsevier, 2004). Fizyka statystyczna. Zadanie 2. Wyprowadzenie poprawionego równania Boltzmanna. 18 Fizyka Potencjału o zerowym prof. dr hab. Zastosowanie symetrii dyskretnej w teorii cząstek elementarnych. Teoria cząstek elementarnych

7 promieniu w modeli Skyrma Zadanie 1. Badanie grupy symetrii. Zadanie 2. Wyprowadzenie wzoru na widmo masy. 19 Kombinowane transformacje Darboux - cechowania w teorii funkcji specjalnych. prof. dr hab. Zastosowanie symetrii pary Laxa dla rozwiązania równania Nahma. Zadanie 1. Wzory na transformacje Darboux - cechowania dla reprezentacji łańcuchowej. Zadanie 2. Wygenerowanie rozwiązań równania Nahma. E. Doktorov, S. Leble, Dressing method in mathematical physics. Springer Teoria funkcji specjalnych 20 Szeregi iteracyjne równania Fredholma o jądrach multisolitonowy ch. prof. dr hab. Zastosowanie szeregów Neumanna w teorii solitonów. Zadanie 1. Wyprowadzić szereg Neumanna dla równania Fredholma w zmiennych solitonowych. Zadanie 2. Zbadać zbieŝność szeregu. Równania całkowe 21 Rozmaitośći Riemanna, diwizory i odwzorowanie Jakobiego w teorii funkcji Bakera- Achiezera. Zastosowanie funkcji Bakera-Akhiezera do rozwiązania równania Lame w teorii solitonów eliptycznych. Zadanie 1. Wyprowadzić wzór na rozwiązanie równania Lame przy n=2 przez teta-funkcje Riemanna. A.R.Its et al " Algebro- Geometric Approach to Nonlinear Integrable Equations", Springer- Verlag, Geometria róŝniczkowa

8 Zadanie 2. Powiązać znalezione rozwiązanie z funkcjami Bakera-Akhiezera. 22 Numeryczne rozwiązania niejednorodnego równania KdV. ZbieŜność i stabilność algorytmów. Symulacje numeryczne procesów generacji solionów. Zadanie 1. Zbadać zbieŝność algorytmu typu Cranka-Nikolsona w przypadku uwzględnienia funkcji źródła. Zadanie 2. Zbadać stabilność i przetestować algorytmu Cranka-Nikolsona w przypadku uwzględnienia funkcji źródła. S. Leble, B. Reichel. On convergence and stability of a numerical scheme of Coupled Nonlinear Schrodinger Equations Computers & Mathematics with Applications, 55, , 2008 Analiza numeryczna. 23 Numeryczne rozwiązania nieliniowego równania Schrodingera o zmiennych współczynnikac h. ZbieŜność i stabilność algorytmów. Symulacje numeryczne procesów generacji solionów Zadanie 1. Zbadać zbieŝność algorytmu typu Cranka-Nikolsona w przypadku uwzględnienia funkcji źródła. Zadanie 2. Zbadać stabilność i przetestować algorytmu Cranka-Nikolsona w przypadku uwzględnienia funkcji źródła. S. Leble, B. Reichel. On convergence and stability of a numerical scheme of Coupled Nonlinear Schrodinger Equations Computers & Mathematics with Applications, 55, , 2008 Analiza numeryczna. 24 Teoria funkcjonalnych operatorów rzutu. prof. dr hab. Uogólnienie teorii funkcjonalnych operatorów rzutu na podprzestrzeni rozwiązań równań róŝniczkowych o pochodnych cząstkowych ewolucyjnych o współczynnikach zmiennych. Zadanie 1. Zbadać moŝliwość uogólnienia Analiza funkcjonalna, Teoria operatorów.

9 teorii funkcjonalnych operatorów rzutu na podprzestrzeni rozwiązań równań róŝniczkowych o pochodnych cząstkowych ewolucyjnych o współczynnikach zmiennych w postaci szeregów Lorana potęg operatora róŝniczkowania. 25 Fizyka/ InŜynieria Materiałowa Model inŝynierski w modelowaniu warstwy przyściennej Parametryzacja funkcji warstw przyściennych w postaci szeregów potęgowych. Zadanie 1. Zbudować aproksymacje potęgową prędkości i temperatury Warstwy przyściennej obok płyty pionowej w zagadnieniu konwekcji swobodnej. S. Leble W. Lewandowski, Study of free convective boundary layer of isothermal lateral surface of axisymmetrical horizontal body Applied Mathematical Modelling, 33 (2009) , Mechanika Cieczy J. Taler, P. Duda. Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodnictwa ciepła. WSNT, Warszawa, 2003.

10 Kierownik Katedry...