SEMINARIA DYPLOMOWE DLA KIERUNKU

Transkrypt

1 SEMINARIA DYPLOMOWE DLA KIERUNKU M A T E M A T Y K A UWAGA: Wybieramy dwa seminaria dyplomowe (w planie semestru II na studiach drugiego stopnia znajduje się seminarium 1A oraz seminarium 1B). Jedno z nich związane musi być z pisaniem pracy magisterskiej u osoby prowadzącej seminarium. Seminarium: Metody iteracyjne w nierównościach wariacyjnych Prowadzący: dr hab. Andrzej Cegielski, prof. UZ W ramach seminarium poruszane będą problemy programowania kwadratowego, nierówności wariacyjne i metody rzutowe służące rozwiązywaniu tych problemów. Maksymalna liczba studentów: 3 Specjalność: E Seminarium: Jednowymiarowe układy dynamiczne Prowadzący: prof. dr hab. Witold Jarczyk Korzystając z bogatej literatury, w tym z książki Dynamics in One Dimension autorstwa L.S. Blocka i W.A. Coppela, będziemy poznawać podstawowe pojęcia i fakty nowoczesnej i ważnej teorii, mającej liczne zastosowania między innymi w ekonomii i biologii. Tematy prac magisterskich, jakie mogłyby powstać w trakcie pracy seminarium, dotyczyć mogą takich zagadnień, jak: porządek Szarkowskiego, zbiory graniczne, punkty powracające i niebłądzące, asymptotyczna stabilność, chaos w sensie Li i Yorke a, centrum w sensie Birkhoffa, topologiczna entropia. Maksymalna liczba studentów: 5 Specjalności: E, I, M, N, U Kryterium: Znajomość analizy matematycznej 1, 2 i topologii (w stopniu co najmniej dostatecznym) oraz podstaw języka angielskiego.

2 Seminarium: Modele matematyczne w biologii i/lub w finansach Prowadzący: dr hab. Anna Karczewska, prof. UZ Celem seminarium jest dyskusja pewnych modeli, zarówno deterministycznych, jak i stochastycznych, z biologii i/lub z finansów. Z kilku książek i artykułów zostaną wybrane do przeanalizowania te modele, które najbardziej zainteresują studentów. Dodatkowo, studenci będą mogli użyć procedur numerycznych do głębszej dyskusji oraz symulacji wybranych przez siebie modeli. Literatura: Mathematical Biology, R. Shonkwiler, J. Herod, Springer Stochastic Partial Differential Equations, H. Holden, Springer Stochastic Calculus for Finance, S. Shreve, Springer Mathematical Biology, J. Murray, Springer, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, P. Kloeden, E. Platen, Springer Maksymalna liczba studentów: 3 Specjalności: M, U Kryterium: Konieczna znajomość języka angielskiego. Seminarium: Wybrane metody modelowania matematycznego Prowadzący: prof. dr hab. Michał Kisielewicz Seminarium dotyczyć będzie modelowania matematycznego problemów opisywanych układami równań różniczkowych zwyczajnych z elementami teorii sterowania optymalnego. Problematyka seminarium związana jest z modelowaniem problemów statycznych i dynamicznych techniki. Planowane są następujące tematy referatów: Modelowanie matematyczne problemów związanych z projektowaniem mostów. Modelowanie matematyczne problemów związanych z lotem i sterowaniem statków kosmicznych. Modelowanie matematyczne problemów związanych z ruchem i sterowaniem obiektów pływających. Modelowanie matematyczne problemów mechaniki budowli. Modelowanie matematyczne problemów balistycznych. Maksymalna liczba studentów: 10 Specjalność: M

3 Seminarium: Równania i nierówności funkcyjne Prowadzący: prof. dr hab. Janusz Matkowski Niech I R Będzie przedziałem i niech h : I R R będzie dowolną funkcją. Symbolem F(I, R) oznaczmy zbiór wszystkich funkcji ϕ : I R. Odwzorowanie H : F( I, R) F( I, R) określone wzorem H ( ϕ )( x) : = h( x, ϕ( x)) dla ϕ F( I, R) nazywa się operatorem superpozycji (albo operatorem Niemyckiego), a funkcja h generatorem operatora H. Operatory takie pojawiają się w teorii równań różniczkowych, całkowych oraz równań funkcyjnych. W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych (z normą supremum) łatwo podać warunki na h, przy których H spełnia normowy warunek Lipschitza. Pozwala to stosować twierdzenie Banacha o punkcie stałym w wyznaczaniu ciągłych rozwiązań nieliniowych równań funkcyjnych. Okazuje się, że w przestrzeniach funkcyjnych Banacha z normą istotnie silniejszą niż norma supremum, z normowego warunku Lipschitza na operator H wynika, że dla x I, y R h ( x, y) = a( x) y + b( x) dla pewnych funkcji jednej zmiennej a, b. Wynika stąd, że w rozwiązywaniu równań funkcyjnych w tych przestrzeniach twierdzenie Banacha może być zastosowane jedynie w problemach liniowych. Dowody tych faktów opierają się na klasycznych równaniach funkcyjnych Cauchy ego i Jensena. W ostatnich latach pojawiło się szereg prac dotyczących tych zagadnień. Mogą one stanowić podstawę kilku prac magisterskich. Literatura: J. Appel, P.P. Zabrejko, Nonlinear Superposition Operators, Cambridge University Press, Cambridge, New York, M. Kuczma, An introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, Polish Scientific Editors and Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, J. Matkowski, Functional equation and Nemytskii operators, Func. Ekvac. 25 (1982), Maksymalna liczba studentów: 6 Specjalności: E (2 osoby), N (4 osoby) Seminarium: Zastosowania procesów stochastycznych w finansach i ubezpieczeniach Prowadzący: dr hab. Mariusz Michta, prof. UZ Tematyka dotyczy zastosowania teorii procesów stochastycznych do wyceny finansowych instrumentów pochodnych oraz typowych produktów ubezpieczeniowych. Maksymalna liczba studentów: 4 Specjalności: U Kryterium średnia ocen z przedmiotów: Analiza matematyczna (W, Ć), Rachunek prawdopodobieństwa (W, Ć), Procesy stochastyczne (W, Ć), Matematyka finansowa (inżynieria finansowa, metody aktuarialne) (W, Ć).

4 Seminarium: Analiza matematyczna ze szczególnym uwzględnieniem równań różniczkowych, teorii sterowania i multifunkcji Prowadzący: dr hab. Jerzy Motyl, prof. UZ Zagadnienia poruszane w ramach seminarium dotyczą przede wszystkim teorii równań różniczkowych zwyczajnych i funkcyjnych. Omawiane będą problemy związane z własnościami zbiorów rozwiązań powyższych równań i ich zastosowania w problemach praktycznych. Zastosowania teorii sterowania deterministycznego i stochastycznego do rozwiązywania problemów ekonomicznych i zagadnień rynków finansowych. Rozważane będą również problemy klasycznej analizy matematycznej, związane z pojęciami różniczkowalności i całkowalności zarówno w przypadku odwzorowań jedno jak i wielowartościowych (multifunkcji). Maksymalna liczba studentów: 8 Specjalności: E, M, N, U Kryterium średnia ocen z egzaminów z przedmiotów: Analiza matematyczna, Równania różniczkowe, Analiza funkcjonalna, Rachunek prawdopodobieństwa, Procesy stochastyczne. Seminarium: Analiza funkcjonalna i teoria miary i całki Prowadzący: prof. dr hab. Marian Nowak W szczególności rozważane będą rozważane następujące zagadnienia: Elementy teorii operatorów na przestrzeniach funkcyjnych. Elementy teorii algebr Banacha i C * -algebr. Elementy teorii całki i miar wektorowych. Wstępne propozycje tematów prac dyplomowych: Operatory na przestrzeniach funkcyjnych. Elementy teorii C * -algebr. Przestrzenie funkcji ciągłych jako przykłady algebr Banacha. Elementy teorii całki i miar wektorowych. Literatura: A. Alexiewicz, Analiza Funkcjonalna, PWN, Warszawa T. Pytlik, Analiza Funkcjonalna, Wrocław J. Conway, A Course in Operator Theory, AMS, J. Diestel and J.J. Uhl, Vector Measures, AMS, Maksymalna liczba studentów : 4 Specjalności: I, M, N, U

5 Seminarium: Geometria kombinatoryczna Prowadzący: dr hab. Krzysztof Przesławski, prof. UZ Tematyka związana jest z podanymi poniżej propozycjami tematów prac dyplomowych 1. Transwersale układów zbiorów Dany jest układ P niepustych podzbiorów zbioru X. Jego transwersalą nazywamy zbiór T X o tej własności, że ma on elementy wspólne z każdym ze zbiorów S P. Zadanie polega na znalezieniu transwersali o minimalnej liczności, a częściej, na podaniu oszacowań tej liczności. Jiři Matoušek, Lectures on Discrete Geometry, Springer Twierdzenie Dvoretzky ego o przekrojach prawie sferycznych Chodzi o przedstawienie pełnego dowodu tytułowego twierdzenia. Głosi ono, że dla danej liczby k i dostatecznie dużej n każde symetryczne ciało wypukłe wymiaru n można przeciąć przez środek płaszczyzną wymiaru k, tak, by otrzymany przekrój był ciałem przybliżającym elipsoidę wymiaru k ze z góry zadaną dokładnością. Keith Ball, An elementary introduction to modern convex geometry, w: Flavors of geometry, red. Silvio Levy, Cambridge Univ. Press Jiři Matoušek, Lectures on Discrete Geometry, Springer Twierdzenie Minkowskiego o istnieniu wielościanu. Chodzi o pełny dowód twierdzenia Minkowskiego głoszącego, że dla każdego układu mas i kierunków: {m i : i=1,...,k}, {n i : i =1,...,k}, jeśli kierunki rozpinają R n oraz m i n i = 0, to istnieje jedyny, z dokładnością do przesunięcia, wielościan w R n, że wektory n i stanowią normalne zewnętrzne do ścian wielościanu, zaś m i są (n 1)-objętościami tych ścian. Rolf Schneider, Convex bodies the Brunn-Minkwski theory, Cambridge Univ. Press Rozkładalność wielościanów względem dodawania Minkowskiego Mówimy, że wielościan wypukły dowolnego wymiaru jest rozkładalny, jeśli jest sumą Minkowskiego dwóch innych, niepodobnych do niego wielościanów. Na przykład, wszystkie wielokąty są rozkładalne za wyjątkiem trójkątów; nie mamy jednak podobnego twierdzenia dla wielościanów trójwymiarowych. W pracy należałoby przedyskutować znane konieczne i dostateczne warunki rozkładalności wielościanów. Branko Grünbaum, Convex Polytopes, Springer Verlag, Maksymalna liczba studentów: 4 Specjalność: E, I, M, N, U Kryterium: Znajomość języka angielskiego (do podanych tematów brak literatury w języku polskim). Przy temacie 2 wskazana znajomość teorii prawdopodobieństwa (praca jest trudna). k i= 1

6 Seminarium: Badania operacyjne i teoria decyzji (wspólne z IiE) Prowadzący: dr hab. Zbigniew Świtalski, prof. UZ Tematyka seminarium obejmuje analizę modeli matematycznych służących wspomaganiu decyzji ekonomicznych. Proponowana tematyka pracy magisterskiej: Modele kojarzenia. Maksymalna liczba studentów: 1 Specjalności: E, I, M, N, U Seminarium: Statystyczne modele liniowe i ich zastosowania (wspólne z IiE) Prowadzący: prof. dr hab. Roman Zmyślony Przedmiotem seminarium jest zapoznanie uczestników seminarium z teorią modeli liniowych oraz ich zastosowania do badania zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych oraz procesów produkcyjnych szeroko rozumianych. Seminarium ma na celu przygotowania studentów do opracowania statystycznego danych rzeczywistych, co może być podstawą pisania prac dyplomowych z zakresu teorii i/lub analizy danych statystycznych. Przewidziane jest zapoznanie studentów z wybranymi pakietami statystycznymi z zakresu wyżej wymienionej tematyki. Maksymalna liczba studentów: 6 Specjalności: E, I, M, N, U