WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

Transkrypt

1 1100-4BW12, rok akademicki 2018/19 WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ dr hab. Rafał Kasztelanic

2 Interferometry Michelsona Macha-Zehndera Fizeau ilf.fizyka.pw.edu.pl/instrukcje/michelson/ Sagnaca płytka 2 en.wikipedia.org

3 Interferometry Mirau Fabry-Perot Twymana-Greena 3 en.wikipedia.org

4 Interferometr Fabry-Perot Różnica faz: 4

5 Interferometr Fabry-Perot 5

6 Analiza interferogramu 6

7 Analiza interferogramu Przesunięcie fazy 7 zto.mchtr.pw.edu.pl/download/18.pdf

8 Analiza interferogramu Dodanie częstości nośnej f 0 = M 4 gdzie M jest rozdzielczością matrycy detektora gdzie jest natężeniem światła w pikselach i=-2, -1, 0, +1, +2 8 Poprawianie obrazu prążków zto.mchtr.pw.edu.pl/download/18.pdf

9 Spektroskopia Fourierowska W klasycznym spektroskopie siatka dyfrakcyjna Detektor linijka Pojedynczy detektor skanowanie po λ Interferencja + analiza Fourierowska FTIR (Fourier Transform Infrared Spectroscopy) Interferencja fal o różnych częstościach jest inna, bowiem dla tej samej drogi x, różnica faz jest inna, czyli w I(x) dla różnych długości fal zawarta jest informacja o WIDMIE. Widmo transmisyjne sygnał interferencyjny sygnał przy Braku interferencji Transformata Fouriera A pr FT interferogramów z próbką A o FT bez próbki 9 mitr.p.lodz.pl/raman/ftir.pdf

10 Dyfrakcja Punktem wyjścia jest równanie Helmholtza: + k 2 U x = 0 Rozwiązanie równania falowego w postaci fal monochromatycznych gdzie k = ω c = 2πν λ jest wektorem falowym. Właściwości danego pola U zależą wyłącznie od położenia i czasu: U x, t = Re U x e iωt Obliczenie własności zespolonego pola U(x) w dowolnym punkcie przestrzeni x możliwe jest przy wykorzystaniu funkcji Greena: U x 0 = 1 4π S U x G x U x G x ds Jest to podstawowe równanie skalarnej teorii dyfrakcji (równanie Helmholtza-Kirchhoffa). Pozwala ono na sprowadzenie problemu dyfrakcji do rozważania pól rozchodzących się bez przeszkód oraz pól pochodzących od przeszkód, które stają się źródłem fal sferycznych. Całkowanie odbywa się po powierzchni zamkniętej S, która otacza dany punkt. 10

11 Dyfrakcja Mamy dwie funkcje ciągłe i dwukrotnie różniczkowalne U i G: Twierdzenie Gaussa: U G = U G + U G G U = G U + G U U G G U = U 2 G G 2 U Liczymy teraz całkę po objętości, w której określone są te funkcje: Przepływ w objętości V ම V U G G U dv = ම V U 2 G G 2 U dv Lewą stronę z teorii Gaussa można zastąpić całką po powierzchni: S U G G U ds = ම V U 2 G G 2 U dv Jeśli gradient policzy się wzdłuż normalnych dostaje się: Strumień przepływający przez objętość otoczoną powierzchnią S ඵ S U G n G U n ds = ම V U 2 G G 2 U dv 11

12 Dyfrakcja Rozważmy dyfrakcję na otworze o wielkości w, fali rozchodzącej się z punktu xs. Krzywą zamkniętą S, po której całkujemy dzielimy na 3 części: A - Obszar otworu 𝑈 𝑥 = 𝑈𝑠 𝑥 𝑈 𝑥 𝑈𝑆 𝑥 = 𝑛 𝑛 B Powierzchnia ekranu 𝑈 𝑥 =0 𝑈 𝑥 =0 𝑛 C ograniczenie w wolnej przestrzeni lim 𝑥 𝑥 𝑈 𝑥 𝑖𝑘𝑈 𝑥 𝑛 Warunek Sommerfelda 12 =0

13 Dyfrakcja Czyli wpływ ekranu i wolnej przestrzeni równy jest 0. Zostaje tylko OTWÓR W EKRANIE. U x 0 = 1 4π ඵ A U x n G x U S x G x n ds Aby rozwiązać to zagadnienie musimy poczynić kilka założeń. Fala wejściowa ma postać fali sferycznej: U S x S = A S e ik 0r S r S r S = x S x Odległość punktu skąd startuje fala wejściowa x S i punktu obserwacji x 0 jest dużo większa niż długość fali: Funkcja G również ma postać fali sferycznej: λ r 0, r S G x = eik 0r 0 r 0 r 0 = x 0 x 13

14 Dyfrakcja Dostajemy: U S x n G x n ik 0 A S cos n, x S x eik 0r S r S ik 0cos n, x 0 x eik0r0 r 0 n normalna do płaszczyzny otworu i po podstawieniu do równania Helmholtza-Kirchhoffa: U x 0 = ia S λ ඵ A e ik 0 r S +r 0 r S r 0 cos n, x 0 x cos n, x S x 2 ds Równanie to jest symetryczne, to znaczy, możemy zamienić punkty x 0 i x S. Jest to twierdzenie o wzajemności Helmholtza. 14

15 Dyfrakcja Kirchhoffa Wypisując jawnie współrzędne punktów (x,y) otrzymujemy: U x 0, y 0 = ඵ h x 0, y 0, x, y U S x, y dx dy = ඵ h x 0, y 0, x, y eik Sr S x,y x,y r S dx dy gdzie: h x 0, y 0, x, y = i λ cos n, x 0 x cos n, x S x 2 e ik 0r 0 r 0 czyli dyfrakcja zależna jest od funkcji h(x 0,y 0,x,y), w której zawarte są informacje o wzajemnym położeniu punktu obserwacji i punktu skąd pochodzi fala padająca oraz od kształtu otworu, o którym informacja zawarta jest w obszarze całkowania. Wzór ten jest prawdziwy dla odległości z>λ/2 Jest trudny do praktycznego stosowania, dlatego wprowadza się kolejne przybliżenia. Wniosek Huygensa dyfrakcja to złożenie fal kulistych rozchodzących się z płaszczyzny otworu Z dokładnością do: czynnika 1/λ, czynnika kierunkowego [(cos-cos)/2], fazy π/2 15

16 Dyfrakcja Hyugensa-Fresnela Przyjmując: cos n, x 0 x cos n, x S x 2 = 1 Prawdziwe jeśli źródło i punkt obserwacji daleko w porównaniu z wielkością otworu Uzyskujemy: U x 0, y 0 = i λ ඵ x,y U x, y eik Sr S dx dy Dyfrakcja Hyugensa-Fresnela r S czyli złożenie fal kulistych z obrębu otworu 16

17 Dyfrakcja Fresnela Dla dużej odległości ekranu od otworu: e ik 0r 0 r 0 eik0r0 z 0 Dodatkowo rozwińmy w szereg Taylora wyrażenia k 0 r 0 z równania: h x 0, y 0, x, y = i λ e ik 0r 0 r 0 k 0 r 0 = k 0 z x x y y 0 2 = k 0 z x x 0 z y y 0 z 0 2 Biorąc tylko człony kwadratowe otrzymujemy: h x 0, y 0, x, y i eik 0z 0 λz 0 k 0 e i 2z x x y y Przybliżenie prawdziwe dla: 2z 0 3 k 0 x x y y 0 max Lub równoważnie: z 0 w gdzie w jest wielkością otworu. 17

18 Dyfrakcja Fraunhofera Pomijając dalej kolejne wyrażenia: k 0 r 0 = k 0 z x x y y 0 2 = = k 0 z x x 0 z 0 = k 0 z x y y y 0 z 0 2 = 2 xx 0 + yy x2 + y 2 2 2z 0 z 0 2z 0 uzyskujemy: h x 0, y 0, x, y i eik 0z 0 λz 0 k 0 e i x 2z 2 0 +y2 0 i k 0 xx 0 e z 0 +yy 0 0 Przybliżenie prawdziwe dla: 2z 0 k x 2 + y 2 max Lub równoważnie: z 0 w2 λ gdzie w jest wielkością otworu. 18

19 Dyfrakcja Fresnel: Fraunchhofer: Sprowadzenie dyfrakcji Fresnela do dyfrakcji Fraunchofera: 19

20 Dyfrakcja - przykłady en.wikipedia.org es.123rf.com 20

21 Dyfrakcja - przykłady Odbiciowa siatka dyfrakcyjna Przykładowa siatka płyta CD Odległość między ścieżkami: d = 1,6 μm Liczba linii na mm: N = 625 Długość fali (laser He-Ne): l = 632,8 nm Rzędy ugięcia: Czyli: 1 3 k 23, ,2791 nie ma kl arcsin d Rozdzielczość siatki dyfrakcyjnej: Określa możliwość rozdzielenia dwóch długości fali różniących się o l Maksimum od jednej wypada w pierwszym minimum od drugiej (kryterium Rayleigha) l l Nd sin sin l gdzie: θ 0 kąt padania wiązki na siatkę 0 l 0,506 nm (2 rząd) 21

22 Dyfrakcja Matlab animacje: Wiązka monochromatycza Światło białe konfiguracja Litrowa dla danej długości fali wiązka w danym rzędzie dyfrakcyjnym biegnie jak wiązka padająca działa dla tej długości fali jak zwierciadło. Nakładanie się kolejnych rzędów dyfrakcyjnych 22

23 Siatka dyfrakcyjna Wydajność siatki dyfrakcyjnej: Stosunek energii padającej na siatkę do energii ugiętej w pierwszy rząd dyfrakcyjny Dla siatki amplitudowej: max 6, 25% Dyspersja siatki dyfrakcyjnej: W konfiguracji Littrowa: 23

24 Siatka dyfrakcyjna Siatka karbowana (blazed): Może być w wersji fazowej i w wersji amplitudowej. W obu przypadkach opis jak w wersji fazowej pochylenie wprowadza zmianę fazy I 2 2 sin d sin / l sin Nasin / l d sin / l N sin asin / l 24

25 Siatka dyfrakcyjna 0,25 0,25 0,52 25

26 Siatka dyfrakcyjna kat = 5 kat = 10 kat = 15 kat = 20 kat = 25 kat = 30 26

27 Siatka dyfrakcyjna Rozważamy jak zmienia się obraz siatki dyfrakcyjnej po filtracji: Siatka dyfrakcyjna: x1 m x1 tx ( 1) rect rect m a b Układ do filtracji: 27

28 Siatka dyfrakcyjna Sygnał w płaszczyźnie fourierowskiej: 28

29 Siatka dyfrakcyjna Filtracja dolnoprzepustowa: 29

30 Siatka dyfrakcyjna Filtracja środkowoprzepustowa: 30

31 Siatka dyfrakcyjna Filtracja górnoprzepustowa: Jednorodne natężenie odwrócenie kontrastu 31