M 1 2 ( V (c n(g X) X )).
|
|
|
- Stefan Czyż
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ËÓÖÞÒ Û Ö ÏÝÝ ½¹ ÈÓØÖ ËÒÓÛ ÅÖ ½ ¾¼½ ½ ÏÝ ½ ËÓÖÞÒ Ö Ò¹ÛÙÞÐÒÝ Ï ØÝÑ ÛÝÞ ÙÔÑÝ Ò ÔÖÓÐÑ ÞÒÓÛÒ ÓÖÞ Û ÓÛÓÐÒÝ Öº ÞÒÑÝ Ó ÔÓ ØÛÒ ØÛÖÞÒ Ö³ ÙÓÛÓÒÒ Ó Þ ÛÖ º Æ ØÔÒ ÙÓÛÓÒÑÝ ÐÑØ Ó ¹ ÒÙ Ýк ÏÝÓÖÞÝ ØÙ ØÒ ÐÑØ ÔÓ ÑÝ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ½ ÞÒÙÝ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Þ O(n 3 ) Þ n ØÓ ÐÞ ÛÖÞÓÛ Û Öº ÐÓÖÝØÑ ØÒ Þ ÒÓÞÒ ÓÑ ÓÛÓÙ ØÛÖÞÒ Öº Ï Ö ÛÙÞÐÒÝ Ý ÔÓÞ ÔÓÔÖÛÒÓ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÓÛÒ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Ó¹ ÖÞÝ ØÑÝ Þ ØÛÖÞÒ Ö³ ØÖ ÑÛ ÓÖÞÒ Ø Ñ ÝÑÐÒ Ý Ò ØÒ ÛÞÐÑ ÒÓ ÔÓÛ Þº ÌÙØ ÓÖÞÝ ØÑÝ Þ ÓÑÔÐÑÒØÖÒÓ ÔÓ ÑÒÓÛ ÛÝÓÖÞÝ ØÑÝ ÔÓÒ ÞÝ ÐÑغ ÂÒ ÔÖÞ Ó ÓÖÑÙÓÛÒÑ ÛÔÖÓÛõÑÝ Ð ÓÞÒÞº Æ c n (H) ÓÞÒÞ ÐÞ ÔÒÝ ÓÛÝ ÖÙ H Ó ÒÔÖÞÝ Ø ÐÞ ÛÖÞÓÛº ÄÑØ ½º Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ M Û Ö G = (V,E) ÓÛÓÐÒÓ ÔÓÞÓÖÙ ÛÖÞÓÛ X V ÞÓÞ M 1 2 ( V (c n(g X) X )). ½µ ÓÛ ÙÛ ÑÝ Ð ÒÔÖÞÝ Ø ÓÛ Þ ÖÙ G X Ò ÓÖÞÝÑÝ Þ ÛÖÞÓÑ Þ X ØÓ ÔÓÞÓ ØÒ Û Ò Ó ÒÑÒ Ò ÛÖÞÓ ÛÓÐÒݺ ÈÓÒÛ Þ c n (G X) ÒÔÖÞÝ ØÝ ÓÛÝ ÑÓ ÑÝ ÓÖÞÝ Û ØÒ ÔÓ Ó ÒÛÝ X ØÓ Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ M Û Ö ÔÓÞÓ ØÒ Ó ÒÑÒ c n (G X) X ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒݺ ÞÝÐ ÓÖÞÓÒÝ ÛÖÞÓÛ Þ Ó ÒÛÝ V (c n (G X) X ) Ó Þ ØÝÑ Þ ÖÓÞÑÖ M Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Ø Û ½µº ÄÑØ ØÒ ÑÛ Û ÐÙ ÙÓÛÓÒÒ ÓÖÞÒ M Ø Ñ ÝÑÐÒ ÑÙ ÑÝ ÔÓÞ ÞÖ X V Ø Û ½µ Þ ÞÓÞ ÖÛÒÓº Æ ØØÝ ÐÑØ ØÒ Ò ÑÛ Ø ÞÖ ÑÙ ØÒº ÂÒ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ØÖÝ Þ Ð ÔÖÞ ØÛÑÝ ÔÓÞÛÓÐ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓ ÞÓÖÙ ØÝÑ ÑÝÑ ÔÓÞÛÓÐ ÒÑ Ò ÙÓÛÓÒÒ Ò ØÔÙ ÐÒ Þ ÛÖ ÄÑØÙ ½º ÌÛÖÞÒ ½ Ö³µº Æ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û Ö G = (V,E) ÛØÝ { 1 M = min 2 ( V (c 0(G X) X )) } X V(G). ½º½ ÄÑØ Ó ÒÙ ÝÐ ÛÒÝÑ ÔÖÓÐÑÑ Û ÓÒ ØÖÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÙÓ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û Ö ÓÛÓÐÒÝ Ø ÔÖÓÐÑ ÞÒÐÞÒ ÔÓÛ Þݺ Æ ØØÝ ÓÒ ØÖÙ Ù ÝÛÒ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ ØÙ¹ Ø Ò ÞÞ ÔÓÒÛ Û Ö Ó ÛÖÞÓ ÑÓ ØÒ ÒÔÖÞÑÒÒ ÓÞ ÖÛÞ ÏÝÞ ÅØÑØÝ ÁÒÓÖÑØÝ ÅÒ ÍÒÛÖ ÝØØ ÏÖ ÞÛ Ùк ÒÑÑÙÛºÙºÔÐ Ò ¾ ¼¾¹¼ ÏÖ ÞÛ ÑÐ ½
2 ÓÖÞÓÒ Ò ÓÖÞÓÒº Æ ÑÓ ÑÝ Û ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÔÑØ ÞÝ ÛÖÞÓ ÞÓ Ø ÙÞ ÓÛÞÓÒÝ Ù Ý Þ ØÑÙ ÔÖÓ ØÓ ÔÖÞ ÞÙÛÒ ÖÙº Ï ÐÙ ÔÓÖÞÒ Ó Þ ØÑ ØÖÙÒÝÑ ÔÖÞÝÔÑ Ù ÝÑÝ Ò ØÔÙÓ ÐÑØÙº ÄÑØ ¾ Ç ÒÙ Ýеº Ð ÖÙ G Ò M Þ ÓÖÞÒÑ Û G Z Þ ÝÐÑ ÙÓ 2k +1 ÞÛÖÝÑ k ÖÛÞ Þ M ÖÓÞÞÒÝÑ Þ Ö ÞØ Mº ËÓÒ ØÖÙÙÑÝ ÒÓÛÝ Ö G Þ G ÔÓÔÖÞÞ Ò Z Ó ÒÓ ÛÖÞÓº ËÓÖÞÒ M = M E(Z) Ø Ñ ÝÑÐÒ Û G ÛØÝ ØÝÐÓ ÛØÝ Ý ÓÖÞÒ M Ø Ñ ÝÑÐÒ Û Gº ÓÛ ÍÓÛÓÒÑÝ ÒÔÖÛ Ð M Ø ÓÖÞÒÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ØÓ Ø M Ø Ñ ÝÑÐÒº ÑÝ ÔÖÞÛÒ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û º ÏØÝ ØÒ ÔÓÛ Þ P ÛÞÐÑ Mº  РP Ø ÖÓÞÞÒ Þ Z ØÓ P Ø Ø ÔÓÛ Þ ÛÞÐÑ M M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒº ØÑ P ÔÖÞÒ Þ Zº ÈÓÒÛ Z Ñ Ò ÛÖÞÓ ÛÓÐÒÝ ØÓ Ó ÒÑÒ Ò Þ ÓÛ P Ò Ð Ý Ò Z ÓÞÒÞÑÝ ØÒ ÛÖÞÓ ÔÖÞÞ xº ÈÓÞÝÒ Ó x Ò z Þ ÔÖÛ ÞÝÑ ÔÙÒØÑ Ò Z Ð ÝÑ Ò P º ÏØÝ P[x,z] Ø ÔÓÛ Þ ÛÞÐÑ M Û G ÔÓÒÛ Z ÔÓ ÒÙ Ó z Ø ÛÓÐÒݺ ÈÓ ÑÝ ØÖÞ Û ÐÑ ÞÓÞ Ø ÛÝÒÒ Û ÖÙÑ ÖÙÒÙº Æ M Ò Þ Ñ Ý¹ ÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ÓÖÞ Ò N Þ ÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G º ÊÓÞÛÑÝ ÝÐ Z Ý ÓØÛÓÖÞÝ Gº ÏØÝ N Þ ÓÖÞÒÑ Û G ÓÖÞÝÑ Ó ÒÛÝ Ò ÛÖÞÓ Þ Zº ÅÓ ÑÝ ÛØÝ N ÔÓÛ ÞÝ Ó k ÖÛÞ Þ Z ÓØÖÞÝÑÙ ÓÖÞÒ N Ó ÖÓÞÑÖÞ N = N +k > M +k = M. ÞÝÐ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G Ó ÓÞÝ ÓÛ ÐÑØÙº ÙÛ ÑÝ Ð ÞÒÞÑÝ Û Þ ÓÖÞÒ Ó M Û G ØÓ Ò ØÝÐÓ ÛÑÝ M Ò Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Ð Ø ÙÑÑÝ ÓÒ ØÖÙÓÛ ØÓ Û Þ ÓÖÞÒº ÒÑ ÛÝÓÖÞÝ ØÑÝ Ø Ó ÖÛ Û ÓÒ ØÖÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ÛÔÖÓÛõÑÝ ÔÛÒ ÓÞÒÞÒº ½º¾ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ Æ M Þ ÔÛÒÝÑ ÓÖÞÒÑ ÓÖÞ Ò Ë ÓÞÒÞ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Ð Mº Ä Ñ M¹ÐØÖÒÙÝÑ ÒÞÛÑÝ Ð L Ø ÓÖÞÒÑ Ó ÖÞÛ Û L Ø ÛÖÞÓ S ÖÞÛÓ ØÓ Ò ÞÛÖ ÒÒÝ ÛÖÞÓÛ Þ S Ý ÛÖÞÓ S ÒÐ Ý Ó Ò ÓÛ F ÖÛõ Û ÓÐÓ ÒÔÖÞÝ Ø Ó ÓÖÞÒ ÒÐ Ý Ó Mº ÙÛ ÑÝ Ý ÔÙÒØ Û Ð L Û ÓÐÓ ÔÖÞÝ Ø Ó S Ñ ØÓÔ 2 Ø ÔÙÒØÝ ÒÞݹ Û ÞÑÝ ÛÛÒØÖÞÒÝѺ ÈÓÞÓ Ø ÔÙÒØÝ Û L ÒÞÝÛ ÞÑÝ ÞÛÒØÖÞÒÝѺ Æ ÔÖÞÝ Ð Ý ØÝÐÓ Þ ÔÙÒØÛ S Ø M¹ÐØÖÒÙݺ ¾
3 ÐÓÖØÑ ½ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÒÙÝ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û Ö G = (V,E)º ½ M = ¾ Ð L ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ÖÔØ ØÒ ÞÛÒØÖÞÒÝ ÛÖÞÓ x L Ò Þ ÛÖÞÓÑ y / L ØÒ ÞÒõ ÛÖÞÓ z Ø yz M L = L+xy +yz Ð x 1,x 2 L ØÓ ÛÖÞÓ ÞÛÒØÖÞÒ ÔÓÞÓÒ ÖÛÞ ØÒ x 1,x 2 ÒÐ Ó Ö ÒÝ ÓÛÝ L ØÒ Ò P i ØÓ Þ x i Ó ÓÖÞÒ Ó ÓÛ ½¼ ÖÓÞÛ Û ÞÝ Ø ÒØ ÝÐ Û Ö G ½½ M = M (P 1 +P 2 +x 1 x 2 ) ½¾ Ð L ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ½ Ð ½ Ò C Þ ÝÐÑ ÙØÛÓÖÞÓÒÝÑ ÔÖÞÞ ÖÛõ x 1 x 2 ÓÖÞ x y Û L ½ Ò P Þ Û L Þ C Þ ÓÖÞÒÑ ÖÞÛ ½ M = M P ½ ÙØÛÖÞ Ö G ÔÓÔÖÞÞ Ò C ½ G = G ½ Ò ¾¼ Ð ¾½ ÖÓÞÛ Û ÞÝ Ø ÒØ ÝÐ Û Ö G ¾¾ ÖØÙÖÒ M ¾ Ò ¾ ÙÒØÐ ÄË ÌÛÖÞÒ ¾º ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÒÙ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ M Û Ö Gº ÓÛ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÓÞÝ ÞÒ Ý Ý ÛÖÞÓ ÞÛÒØÖÞÒÝ Û L Ñ Ó Û ÛÖÞÓ ÛÛÒØÖÞÒº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ W ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÛÒØÖÞÒÝ Û L ÔÖÞÞ Z ÞÖ ÛÖÞ¹ ÓÛ ÞÛÒØÖÞÒݺ ÅÑÝ ÛØÝ Z W = V 2 M ÔÓÒÛ Û ÝÑ ÖÞÛ Ø Ò ÛÖÞ¹ Ó ÞÛÒØÖÞÒÝ Û Ø ØÓ ÛÖÞÓ ÛÓÐÒݺ  Р٠ÙÒÑÝ ÛÖÞÓ W Þ G ØÓ ÓØÖÞÝÑÑÝ Ö Ý Þ ÞÓÐÓÛÒÝ ÛÖÞÓÛ ÞÛÒØÖÞÒݺ ÐØÓ c n (G W) = Z 1 2 ( V (c n(g W) W )) = 1 2 ( V Z + W )) = 1 (2 M ) = M, 2 ÞÝÐ ÒÖÛÒÓ Û ÄÑ ½ ÞÓÞ Þ ÖÛÒÓº ËÓÖÞÒ M Ø Û Ñ ÝÑÐÒº ÙÛ ÑÝ Þ ÄÑØÙ Ó ÒÙ ÝÐ ÛÝÒ Þ ÓÒÓ Ø Ñ ÝÑÐÒ ÔÓ ÖÓÞÛÒÙ Û ÞÝ Ø ÒØÝ Ýк ½º ËÞÞÝ ÑÔÐÑÒØ ÐÓÖÝØÑÙ ÑÓÒ ÏÔÖÓ Ø ÞÑÔÐÑÒØÓÛÒÝ ÐÓÖÝØÑ ÑÓÒ ÞÓÒ Þ ØÝÑ ÑØÑ Þ Þ Û Þ O(n 2 m)º Ï ÐÙ ÞÛÖÒØÓÛÒ Þ Ù ÞÒ O(n 3 ) ÑÙ ÑÝ ÙÞÙÔÒ ÞÞ Ð ÞÞÛ ÑÔÐÑÒع ÝÒݺ ÈÓ ÔÖÛ Þ Ò ÞÑÝ Ù ÙÛ ÛÖÞÓÛ ÒÐ Ý Ó ÒÝ ÝÐ ØÝÐÓ ØÝØÓÛ Ó ÒØÝÛÒº ÆØÓÑ Ø Ý ÖÔÖÞÒØÓÛ ÛÖÞÓ ÓØÖÞÝÑÒ Þ Ò ÝÐ ÞÑÝ Ó¹ Û ÒÓÛ ÛÖÞÓ ÖÔÖÞÒØÙ ¹ ÞÛÒ Ô ÙÓÛÖÞÓѺ Þ ØÑÙ ØÛ Þ ÒÑ ÓØÛÖÞ ÔÖÞÝ ÖÓÞÛÒÙ ÒØÝ Ýк ÃÖÛÞ Ñ Ò ÓÒ Ý ÛÖÞÓÑ ÒØÝÛÒÝÑ ÒÞÝÛ ÞÑÝ Ø ÒØÝÛÒÝѺ ÈÓÞÓ Ø ÖÛÞ ØÝÛÒº Ï ØÖ ÞÒ ÐÓÖÝØÑÙ ÒÓÖÙÑÝ ÛÖÞÓ ÖÛÞ ÒØÝÛÒº
4 ÌÖÞÝÑÒ ÒÓÖÑ Ó ÖÛÞ ÒØÝÛÒÝ Û Ö ÑÓ ÞÛ ÞÝ ÙÓ Ð Ø ÞØÛº ÈÓ ÒÙ Ð Û ÞÝ Ø Ò Ó ÒÓ ÛÖÞÓ ÛÖÞÓ Ñ Ð ØÝ ÞØÛ Ù Þ Ó ½º ÂÒ Ø Ó ÒÛÝ n/2 ÓÒØÖ Û Ð ØÝ Ø ÙÓ Ó ÒÛÝ 3 2 nº ÈÓ ÑÝ ØÖÞ ÑÞÝ ÞÒÐÞÒÑ ÓÐÒÝ ÔÓÛ ÞÝ ÙÔÝÒ Þ O(n 2 )º ÈÓÑ Þ ÔÓØÖÞÒÝ Ò Ò ÖÓÞÛÒ ÝÐ Þ ÔÓØÖÞÒÝ Ò ÔÖÞØÛÓÖÞÒ Ó ÛÖÞÓ ÛÝÒÓ O(n)º Ã Ý ÛÖÞÓ ÔÖÞØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ØÝÐÓ ÖÞ Û ÑÓÑÒ ÓÒ Ó Ó Ð ÙL ÐØÓ ÓÛØÝ Þ ØÓ O(n 2 )º ÈÓ ÑÝ ØÖÞ Ò Ò Û ÞÝ Ø ÝÐ ÔõÒ Þ ÖÓÞÛÒ ÔÓØÖÞ Ø Þ Ù O(n 2 )º ÑÑÝ ØÖÞ ÒÑ Ýк Æ i 1 i 2... i k i 1 ØÓ ÝÐ Cº ÈÖÓÐÑÑ Ø ØÙØ ØÛÓÖÞÒ Ð ØÝ Û Γ(b) = Γ(i 1 ) Γ(i 2 )...Γ(i k ) Ð Ô ÙÓÛÖÞÓ b ÖÔÖÞÒØÙÓ B ÔÓ ÒÙº Ï ØÝÑ ÐÙ ÔÖÞÐÑÝ ÛÖÞÓ i j ÒÐ Ó Ð ÞÞÒÞÑÝ ÛÖÞÓ Þ Γ(i j ) ÔÖÞÐÑÝ ØÖÞ ÛÖÞÓ ÖÙ ØÛÓÖÞÝÑÝ Ð Ø ÛÖÞÓÛ ÞÞÒÞÓÒÝ ØÓ Ø ÛÒ Γ(b) ÓÑÝ b Ó ÛÖÞÓÛ Γ(b)º ÙÛ ÑÝ Ý ÛÖÞÓ ØÝÐÓ ÖÞ ÑÓ ÒÐ Ó Ðº ÈÖÞÖÞÒ Ð Ø Γ(i j ) ÑÖÓÛÒ ÛÖÞÓÛ ÞÑ Û Û ÙÑ Þ O(n 2 )º ÈÓÞÓ Ø ÞÝÒÒÓ Û ÞÑÙ ÞÛ Þ Þ O(n) Ó Û ÙÑ Þ O(n 2 )º ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Ó ÔÖÓÐÑÙ ÖÓÞÛÒ Ýк ËÑÓ ÖÓÞÛÒ ÝÐ ÑÓ Ý ÞÖÐÞÓÛÒ Û Þ O(n 2 ) ÔÓÔÖÞÞ ÔÖÞÖÞÒ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓÛ ÓÖÞ ÖÛÞ Û Ö Û ØÖ ØÖÓ Ù ÙÛÑÝ Û ÞÝ Ø Ô ÙÓÛÖÞÓ ÑÖÙÑÝ ÒØÝÛÒ ÐÑÒØÝ ÖÙ Ó ØÝÛÒº ÊÓ ØÓ ÑÙ ÑÝ Ò ÔÑØ Ø Ó ÖÓÞÛÒÙ P = P 1 +P 2 +x 1 x 2 º ÆÔÖÛ ÔÖÞÓÞ Ø ÑÖÙÑÝ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ v Ó Ò ÒÐ ÞÔ ÙÑÝ Ð Ò Û ÞÑÒÒ p(v) ÔÓÔÖÞÒÛ Ò ÓÖÞ Û ÞÑÒÒ n(v) Ò ØÔÒÛº  РØÖÞ ÖÓÞÛÑÝ Ô ÙÓÛÖÞÓ v ØÖÝ Ð Ý Ò ØÓ ÑÖÙÑÝ ÒÔÖÛ ÛÖÞÓ ÒÐ Ó ÒØÓ ÝÐÙ ÖÔÖÞÒØÓÛÒÓ ÔÖÞÞ Ô ÙÓÛÖÞ¹ Ó v ÔÖÞ ÞÙÙÑÝ Ð Ø Û p(v) Û ÐÙ ÞÒÐÞÒ ÞÑÖÓÛÒÓ ÛÖÞÓ k p º ÔÖÞ ÞÙÙÑÝ Ð Ø Û q(v) Û ÐÙ ÞÒÐÞÒ ÞÑÖÓÛÒÓ ÛÖÞÓ k q º ÔÖÞÓÞÑÝ ÒØÝ ÝÐ Û ÖÙÒÙ ÞÒÝÑ ÔÖÞÞ ÔÖÞÝ ØÓ Ó ÛÖÞÓ k p Ó ÛÖÞÓ k q º Ï ØÒ ÔÓ Ð Ó ÖÓÞÛÒÓ Ð ÑÙ ÑÝ ÛÝÓÒ O(n) ÓØÓÛÝ ÓÔÖ Ó ÔÖÞÝ ÖÓÞÛÒÙ n 1 ÐÛ ÞÓ ÓÒÓ O(n 3 )º ¾ ¾º½ ÏÝ ¾ ËØÖÙØÙÖ ÓÖÞ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ Ý ÔÓÞ Ö Ò Ñ Ó ÓÒÓ ÓÖÞÒ ÑÓ ÑÝ ÔÓÞ ÞÖ S ÒÖÙ ÞÝ ØÛÖÞÒ Ö³ Ø ÞÛÒÝ ÞÖ Ö³º Ì ÞÓÖÛ ÑÓ Ý Ûк ÞÝ ØÒ ÒÓÒÞÒÝ ÞÖ Ö³ ÅÓ ÑÝ Ø ÛÞ ØÖ ÖÛÞ ÒÐ Ó ÔÛÒÓ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ õ ØÖ ÛÖÞÓ ÓÖÞÓÒ Û ÝÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙ ØÔºº ÃÓÒ ØÖÙ ØÓ ÒÓÒÞÒÓ ÞÓÖÙ Ö³ ÒÑ ÖÓÞ ÐйÑÓÒ º ÒÙÑÝ Ò ØÔÙ ÔÓ D(G) ØÓ ÛÖÞÓ Ò ÓÖÞÓÒ Û ÔÛÒÝÑ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙº
5 ÙÖ ½ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ º A(G) ØÓ ÛÖÞÓ Ò Þ D(G)º C(G) ØÓ ÔÓÞÓ Ø ÛÖÞÓº Ò Ø ÞÓ Ø ÔÖÞ ØÛÓÒ Ò ÊÝ ÙÒÙ ½º ÊÓÞ ÐйÑÓÒ Þ ÑÛ Ó ÛÛÓ ÞÓÖÛ A(G),C(G) D(G) Û Ö Gº Ó ÓÔ Ù ØÝ ÛÛÓ ÞÑÝ ÔÓØÖÞÓÛ Ò ØÔÙÝ ÔÓº Ö G Ø ÖÝØÝÞÒÝ Ð Ð Ó v V(G) Ö G v Ñ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº ËÓÖÞÒ ÔÖÛÓ ÓÒ ØÓ ÓÖÞÒ Û ØÖÝÑ ÔÖÝ Ò Ñ ØÝÐÓ Ò ÛÖÞÓ ÖÙº ÇÞÒÞÑÝ Ø ÔÖÞÞ µ(g) ÐÞÒÓ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ Û Gº ÌÛÖÞÒ ÊÓÞ ÐйÑÓÒ µº Ð Ò A(G),C(G) D(G) ÔÓÛÝ ÞÓÞ µ ÔÒ ÓÛ D(G) ÖÝØÝÞÒ µ Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ ÞÛÖ ÔÖÛ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÛÝ D(G) Ó ÓÒ ÓÖÞÒ C(G) ÓÖÞ ÓÖÞÝ Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ A(G) Þ Ö ÒÝÑ ÓÛÝÑ D(G)º µ ÖÓÞÑÖ Ñ ÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ ØÓ Þ c(h) ØÓ ÐÞ ÔÒÝ ÓÛÝ Û Hº µ(g) = 1 2 ( V(G) c(d(g))+ A(G) ), Æ Þ ÓÛ ØÓ ØÛÖÞÒ Þ ÓÔÖ Ò Ù ÝÙ Û ÐÑØÛº ÈÖÛ ÞÝÑ Þ Ò Ø ÄÑØ Ó ØÐÒÓº ÄÑØ Ç ØÐÒÓµº  Рu A(G) ØÓ A(G u) = A(G) u C(G u) = C(G) D(G u) = D(G)º ÓÛ ÈÓ ÑÝ ÒÔÖÛ D(G u) = D(u)º ÏØÝA(G u) = A(G) u Óu A(G) ÛÖÞÓÛ Ò Þ D(G) Ø ØÝÐÓ ÑÒ Ó u ÐØÓ Ø C(G u) = C(G)º Æ M Þ ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û Gº ÏØÝ M ÓÖÞÝ u Ó u / D(G)º ÐØÓ M(G u) = µ(g) 1º Ó Û M u Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G uº ÞÒÑÝ Ó ÔÓÞÒ D(G) D(G u)º ÏÝÖÞÑÝ ÓÛÓÐÒ v D(G)º Æ M v Þ Ò¹ ÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ ÒÓÖÞÝÑ vº ÏØÝ M v u Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G u ÓÖÞ M v u Ò ÓÖÞÝ vº ÐØÓ v D(G v) D(G) D(G u)º
6 Ý ÔÓÞ D(G u) D(G) ÛÝÖÞÑÝ ÛÖÞÓ v D(G u)º ØÑ Þ Ò ØÒ ÒÐÞÒ Þ ÓÖÞÒ M Û G u Ò ÓÖÞ vº Æ w Þ ÓÛÓÐÒÝÑ ÛÖÞÓÑ Û D(G) ÙÝÑ Þ u Û G ÓÖÞ Ò M Þ ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ G Ò ÓÖÞÝÑ wº  РM Ò ÓÖÞÝ v ØÓ v D(V) Û Þ ÑÝ M ÓÖÞÝ vº ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÑ M M º Ò M Ò ÓÖÞÝ v M ÓÖÞÝ vº ÞÝÐ ÓÛ M M ÞÛÖ v ÑÙ Ý ÒÔÖÞÑÒÒ P ÞÞÝÒ Û v ÖÛÞ Þ M M º ÑÝ P ÓÞÝ ÖÛÞ M º ÏØÝ M P Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Ò ÓÖÞÝÑ v Û v D(G)º ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞ ÔÖÞÝÔ Ý P ÓÞÝ ÖÛÞ Mº ËÓÒ ØÖÙÙÑÝ ÓÖÞÒ M 3 = M P º ÅÑÝ ÛØÝ M 3 > M Û M 3 E(G u) Ó M Ø ÒÐÞÒ Þ Û G uº ÐØÓ P ÑÙ ÓÞÝ Û uº ÌÖÞ M (P + uw) Ø ÒÐÞÒ ÞÝÑ ÓÖÞÒÑ Ò ÓÖÞÝÑ v Û v D(G)º ÌÓ ÓÞÝ ÓÛ ÐÑØÙ Ó ØÐÒÓº ÖÙÑ ÔÓØÖÞÒÝÑ ÒÑ ÛÝÒÑ Ø ÄÑØ Ðк ÄÑØ Ðеº  РG Ø ÔÒÝ ÓÖÞ µ(g u) = µ(g) Ð Ó u V(G) ØÓ G Ø ÖÝØÝÞÒݺ ÓÛ ÏõÑÝ X V(G) Ø ÞÓÞ ÖÛÒÓ Û ØÛÖÞÒÙ Ö³  РX 0 ØÓ ÛõÑÝ u X ÛØÝ n 2µ(G) = c 0 (G X) X. n 1 2µ(G u) c 0 ((G u) (X u)) X u. n 1 2µ(G u) c 0 (G X) X +1. n 1 2µ(G) n 2µ(G)+1. µ(g) µ(g)+1. ÇØÖÞÝÑÐÑÝ ÔÖÞÞÒÓ ÐØÓ Û ØÛÖÞÒÙ Ö³ ÖÛÒÓ ÞÓÞ ØÝÐÓ Ð X = º ÇÞÒÞ ØÓ n 2µ(G) = c 0 (G)º ÏÑÝ V(G) Ø ÒÔÖÞÝ Ø Ó G Ò Ñ Ó ÓÒÓ ÓÖÞÒº ÅÑÝ Û µ(g) = (n 1)/2 ÐØÓ G Ñ ÔÖÛ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº Ó Û Ð Ý ÛÖÞÓ u ÑÑÝ µ(g u) = µ(g) Û Ý ÛÖÞÓ ÑÓ Ý Ò ÓÖÞÓÒÝ ÞÝÐ G Ø ÖÝØÝÞÒݺ ÈÖÞõÑÝ Ó ÓÛÓÙ ØÛÖÞÒ Ó ÖÓÞÞ ÐйÑÓÒ º ÓÛ Æ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ G ÓÖÞ Ò u A(G)º M ÓÖÞÝ u Ó u / D(G) Û µ(g u) = µ(g) 1º Ó Û Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ M u Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G uº Í ÙÑÝ ØÖÞ Þ G Û ÞÝ Ø ÛÖÞÓ Þ A(G) ÛØÝ µ(g A) = µ(g) A. C(G A) = C(G) i D(G A) = D(G), ÓÖÞ Ð M Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G ØÓ M E(G A) Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G Aº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ G 1,...,G t ÔÒ ÓÛ G A Ð Û Dº ëò ÖÛõ Ò ÞÝ D Cº Æ H ÓÞÒÞ Ö ÒÙÓÛÒÝ ÔÖÞÞ Cº Ã Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Û G A ÓÖÞÝ ÛÖÞÓ Þ Hº Ã Ý ÛÖÞÓ G i Ø ÒÓÖÞÓÒÝ ÔÖÞÞ Ñ ÝÑÐÒ ÓÖÞÒº ÐÑØÙ ÐÐ ÛÑÝ Û G i Ø ÖÝØÝÞÒÝ ÓÛ ÔÙÒØÙ µµº ÈÓÒÛ M A Ø Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û G A ØÓ M Ø Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û C ÓÖÞ M Ø ÔÖÛ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ Û ÓÛÝ Dº ÈÓÒÛ M A = M A ØÓ M Ò ÞÛÖ ÖÛÞ ÛÛÒØÖÞ A M Ò ÓÖÞÝ ÛÖÞÓÛ Þ A Þ C Ò ÓÖÞÝ Û ÛÖÞÓÛ Þ A Þ Ø Ñ ÓÛ G i º ÌÓ ÓÞÝ ÓÛ ÔÙÒØÙ µº ÏÞÑÝ ØÖÞ µ(g) = µ(g A)+ A =
7 = t i=1 V(G i ) C(G) 2 = 1 2 ( V(G) t+ A(G) ). + A = ÌÓ ÓÛÓÞ ÔÙÒØÙ µº ¾º¾ ÏÒÓ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ Ð ÖÛ ÛÙÞÐÒÝ Þ ØÛÖÞÒ ÐйÑÓÒ ØÛÓ ÛÝÔÖÓÛÞ ÓØÓÛ Ó ÖÛº Æ Γ(X) ÓÞÒÞ ÞÖ ÛÖÞÓÛ Ò Û Ö G Þ ÞÓÖÑ X V º ÌÛÖÞÒ Ç ÛÙÞÐÒÝÑ ÖÓÞÞ ÐйÑÓÒ µº Æ G = (U 1,U 2 ) ÓÖÞ Ò Ð i = 1,2 A i = A(G) U i C i = C(G) U i D i = D(G) U i º ÏØÝ ½µ D = D 1 D 2 Ø ÞÓÖÑ ÒÔÓÞÓÒÝ ÛÖÞÓÛº ¾µ ÈÓÖ C 1 C 2 Ñ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ C 1 = C 2 º µ Γ(D 1 ) = A 2 Γ(D 2 ) = A 1 º µ Å ÝÑÐÒ ÓÖÞÒ G ÓÖÞÝ Ó ÓÒÐ C 1 C 2 ÓÖÞ ÛÖÞÓ A 1 Þ D 2 A 2 Þ D 1 º µ  РT Ø ÑÒÑÐÒÝÑ ÔÓÖÝÑ G ØÓ A 1 A 2 T A 1 A 2 C 1 C 2. µ C 1 A 1 A 2 C 2 A 1 A 2 ØÓ ÑÒÑÐÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ A 1 A 2 ØÓ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø ÑÒÑÐÒÝ ÔÓÖݺ µ ÖÝ A 1 D 2 A 2 D 1 Ñ ÓØÒ ÒÛÝ Þ ÔÙÒØÙ ÛÞÒ ÓÔÓÛÒÓ A 1 A 2 º X < Γ(X) D 2 Ð Ó X A 1 º ÓÛ ÓÛ ÔÖÞÔÖÓÛÞÑÝ ÔÓ ÓÐ Ð Û ÞÝ Ø ÔÙÒØÛ ØÛÖÞÒº ½µ ËÓÛ D(G) ÖÝØÝÞÒ Û Ò ÑÓ Ý ÛÙÞÐÒº ØÝ ¾µ µ µ ÛÝÒ Û ÖÓÞÙ ÐйÑÓÒ ØÓ G Ø ÛÙÞÐÒº µ Æ a A 1 T ÛØÝ ØÒ ÔÙÒØ d D Ø ad E Û ÞÛÞÙ Þ ØÝÑ d T º Ó Û Û D Ø ÓÒ Ò ÔÙÒØ d Ò Þ aº  РÝÓÝ Û ØÓ {d 1,...,d r } Γ D (a) ÛØÝ T {d 1,...,d r } {a} Ø ÔÓÖÝÑ ÑÒ Þ ÐÞÒÓº Æ ØÖÞ M Þ Ñ ÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ G Ò ÓÖÞÝÑ dº ÞÝÐ M ÓÖÞÝ a ÖÛÞ Þ G(A 1 A 2 ) Ó Ø ÔÖÞÞÒ Þ ÔÙÒØÑ µ ÖÓÞÙ ÐйÑÓÒ Û A 1 T ÓÖÞ ÔÓÓÒ A 2 T º ÑÝ ØÖÞ d T D d D 2 º ÏØÝ Γ G (d) A 1 T ÓÖÞ T d Ø ÔÓÖÝÑ G ÔÖÞÞ ÑÒÑÐÒÓ T º T D 2 = ÔÓÓÒ T D 1 = º µ ÏÝÒ Þ ØÛÖÞÒ ÃÒ Ó µ(g) = C 1 + A 1 + A 2 = C 2 + A 1 + A 2 = τ(g). ÈÓÒÛ C i +A 1 +A 2 ØÓ ÔÓÖÝ Û ÑÙ Þ Ý ÑÒÑÐÒº µ ÑÝ ÔÖÞÛÒ Ð ÔÛÒÓ X A 1 ÑÑÝ X Γ(X) D 2 º ÏØÝ T = (A 1 X) (Γ(X) D 2 ) A 2 C 1 Ø ÔÓÖÝÑ Gº ÈÓÒÛ T A 1 + A 2 + C 1 = τ(g) ØÓ Ø ØÓ ÔÓÖÝ ÑÒÑÐÒ ÑÙ ÞÛÖ A 1 º ÞÝÐ
8 ÏÝ ÐÓÖÝØÑÝ ÐÙ Ð ÛÙÞÐÒÝ Û ÓÒÝ ÓÖÞ ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÛÓÐÒÝ ÔÖÓÐÑ ÓÔØÝÑÐÞÝÒÝ ÓÖÐÓÒÝ ÔÖÑØÖÑ y i º ÇÐÒ ÐÓÖÝØÑÛ ÐÙ¹ Ý Ø Ø ÖÓÞÛÞÙÑÝ ÔÖÓÐÑ Ð y i = yi 2 Ò ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø Þ ØÓ ÖÓÞÛÞÒ ÖÓÞÛÞÙÑÝ ÔÖÓÐÑ Ð y i º  РÖÓÞÛÞÒ Ð y i Ø ÔÓÓÒ Ó ÖÓÞÛÞÒ Ð y i ØÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÓÛ ÞÝ ÔÓÐÞݺ ÐÓÖÝØÑ Ø ÛÝÓÒÝÛ Þ logw +1 ÛÝÛÓÝÛ ÖÙÖÒÝÒÝ Þ W ØÓ Ñ ÝÑÐÒ ÛÖØÓ ÔÖÑØÖÙ ÔÖÓÐÑÙº Ï ØÝÑ ÖÓÞÞÐ ÔÖÞ ØÛÑÝ Û ÐÓÖÝØÑÝ ÖÓÞÛÞÙ ÔÖÓÐÑ Û ÓÒÝ Ó¹ ÖÞ Û Ö ÛÙÞÐÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÐÓÛÒº ÈÖÛ ÞÝÑ Þ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ¾ ØÖÝ Þ Û Þ O(n 3 4mlogW) ÓÖÞ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ ØÖÝ Þ Û Þ O(n 1 2mlog(nW))º º½ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÅØÓ ÛÖ Þ ÞÝÓ Ð ÞÞÒÑÝ Ó ÓÖÓ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÛÖØÓ ÙÐÒݺ ÒÙÑÝ D = y i w(m ), i U V Þ y i ØÓ ÛÓÛ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ M Ó Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒº Æ f Þ ÐÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Û ØÙÐÒÝÑ ÓÖÞÒÙº Æ tot Þ ÙÑ ÛÖØÓ Þ ÛÝÓÒÒÝ ÖÓÛ ÑØÓÝ ÏÖ º ÄÑØ º Ï ÝÑ ÖÓÙ ÑÑÝ f tot D. ÓÛ ÊÓÞÛ ÑÝ Û ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ y(u V) = i U V y iº à ÞÑÒ ÛÖØÓ Ù¹ ÐÒÝ ÞÑÒ y(u V) Ó Ó ÒÑÒ g Þ g ØÓ ÐÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Ý ÞÑÒ Ñ Ñ º Ð i Ø ÛÓÐÒÝ ØÓ y i ÞÑÒ Þ Ó Ð i Ø ÓÖÞÓÒÝ ÖÛÞ ij ØÓ y i +y j Ò ÞÑÒº ÄÞ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ ÑÓ ØÝÐÓ ÞÑÒ ÞÝ ÔÓ ÞÒÐÞÒÙ ÔÓÛ Þ Û g fº ÓÛØ ÞÑÒ y(u V) Ó ØÙÐÒÓ ØÒÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÛÝÒÓ Û Ó ÒÑÒ gi i f i = f tot. ÖÙ ØÖÓÒÝ Ñ ÝÑÐÒ ÓÛØ ÞÑÒ y(u V) ØÓ D = i U V y i w(m ) ÞÝÐ f tot Dº ÞÑÝ Ù ÝÛ ÐÓÖÝØÑÙ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Ó ÔÓÛ ÞÒ ÓÖÞÒº ÐÓÖÝØÑ ØÒ ÓØÖÞÝÑÙ Ò ÛÙ ÓÖÞÒ M Ó ØÖÓ ÖÓÞÔÓÞÝÒÒ Þ ÛÝ ÞÙÛÒ ÞÛÖ ÒÐÞÒ Þ ÓÖÞÒ Û Öº ÐÓÖÝØÑ ÓÛ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ ¼º Â Ð Û ÞÝ Ø w ij = 0 ØÓ ÞÛÖ ÓÛÓÐÒ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ y i = 0º ½º Òõ ÖÙÖÒÝÒ Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÖÞ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ Ð ÖÙ G Û ØÖÝÑ w ij = wij 2 º
9 ¾º Æ M Þ ÔÙ ØÝÑ ÓÖÞÒѺ Ð Ó i U Ò y i = 2y i +1 Ð Ó i V Ò y i = 2y i º º ÈÓÛØÖÞ Ó Ò ØÔÙ ÓÔ M Ò Ø Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒѺ º½º ÍÖÙÓÑ ÑØÓ ÛÖ ÞÒÞ ÔÓÛ Þº º¾º Æ G y = (V,E y ) Þ E y = {uv E : y(u) + y(v) = w(uv)} Þ ÖÑ ÖÛÒÓÓÛÝÑ Ð yº Í ÝÛ ÐÓÖÝØÑÙ ÀÓÔÖÓØ ÃÖÔ ÔÓÛ Þ M Ó ÒÐÞÒ ÞÓ ÓÖÞÒ Û G y º º ÛÖ M ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛ yº ÄÑØ º ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÞÛÖ Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÒÐ Þ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛº ÓÛ ÃÖÓ ¼ Ø ÔÓÔÖÛÒݺ ÈÓ ÖÓÙ ¾ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ÔÓÔÖÛÒ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛº Ï ÝÑ ÛÝÓÒÒÙ ÖÓÙ ÐÞÒÓ ÓÖÞÒ ÖÓÒº ÈÖÞÒÐÞÙÑÝ ØÖÞ Þ ÞÒ ÐÓÖÝØÑÙ ÓÛº Ï ØÖ ÛÝÓÒÒ ÖÓÙ ÞÓÞ f tot D. ÙÛ ÑÝ ÔÖÞÔÐÓØ Þ ÐÓÖÝØÑÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Ò ØÙØ Ò Ô Ùº ÈÓ ÑÝ ÄÑØ º Ï ÐÓÖÝØÑ ÓÛ µ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø ÑÒ Ò n 1 2 ÖÞÝ µ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø Ó ÒÛÝ n 1 4 ÖÞÝ Ð f n 3 4 º ÓÛ Æ M ØÓ Ò Þ ÓÖÞÒ Û G M ØÓ Ò Þ ÓÖÞÒ Û Gº ÏØÝ D = i y i w G (M ) n Ó w G (M ) w G (M ) 2w G (M ) = 2 i y i = i y i n. ÈÓÐÞÑÝ ÐÓ ÖÓÛ ÛÝÓÒÒÝ Ð f n 1 2 Þ ÐÑØÙ ÑÑÝ tot D f n1 2 º ÈÓÒÛ Û ÝÑ ÖÓÙ > 0 Ó Ò Ñ ÔÓÛ ÞÝ ÞÛÖØÝ Û Ö ÖÛÒÓÓÛÝѺ Ì ÖÓÛ Ø n 1 2 º Ð f < n 1 2 ÔÓÒÛ Ý ÖÓ ÓÖÞÝ Ó ÒÑÒ Û ÛÖÞÓ Û ØÝ ÖÓÛ Ø n 1 2 º Û ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø ÑÒ Ò n 1 2 ÖÞÝ Ó ÓÛÓÞ µº  Рf n 3 4 ØÓ ÛØÝ tot D f n1 4 º ÈÓÒÛ > 0 ØÓ ÐÞ ÖÓÛ Ø ÑÒ Þ Ò n 1 4 º ÐØÓ ÖÓ ÛÝÓÒÒÝ Ø Ó ÒÛÝ n 1 4 ÖÞÝ Ð f n 3 4 Ó ÓÛÓÞ µº à ÙÖÙÓÑÒ ÑØÓÝ ÛÖ ÞÑÙ O(m) Þ Ù ÞÝÐ Û ÞÝ Ø ÙÖÙÓÑÒ ÞÑÙ Ó ÒÛÝ O(n 1 2m) Þ Ùº ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ Þ Û Þ O(min(n 1 2,a)m) Þ a ØÓ ÐÞ ÞÒÐÞÓÒÝ ÔÓÛ¹ Þݺ Æ ÔÓ ØÛ µ ÑÑÝ ÖÓ Þ f n 3 4 ÞÑÙ Ó ÒÛÝ O(n 1 4n 1 2m) = O(n 3/4 m) Þ Ùº ÖÓ Þf < n 3 4 ÞÒ Û ÙÑ Ó ÒÛÝ n3 4 2 ÔÓÛ ÞÝ Û ÞÑ Û ÙÑ O(n3 4m) Þ Ùº
10 ÄÞ ÛÝÛÓ ÖÙÖÒÝÒÝ ØÓ logw +2 Þ W ØÓ Ñ ÝÑÐÒ Û ÖÛÞ Û Ö ÐØÓ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ Ò ØÔÙ ØÛÖÞÒº ÌÛÖÞÒ º Æ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Ö ÛÙÞÐÒÝÑ ÑÓ ÞÓ Ø ÞÒÐÞÓÒ Û Þ O(n 3 4mlogW)º ÓÛ Þ ÞÒ ÛÝÒ Þ ÔÓÛÝ ÞÝ Ó ÖÛ ÔÓÞÓ Ø ÒÑ ØÝÐÓ ÙÓÛÓÒ ÐÞÝ Ò ØÖÝ ÔÖÙÑÝ Ò Ø ÞÝØ Ù º Ï ÝÑ Þ logw ÖÓÛ ÛÖØÓ ÔÓÖÝ ÞÑÒ Ó Ó ÒÛÝ D nº Ï i¹øýñ ÖÓÙ ÑÑÝ a i+1 2a i +1+n, ÞÝÐ ÛÝÒÓ ÒÛÝ ( ) 2 logw +1 1 (n+1) W(2n+2). ÐØÓ ÐÞÝ Û ÞÔ ØÓÛÝÑ ÔÓÖÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÙÓ O(log(nW)) ÓÔÖ Ò Ò ÑÓ ÑÝ ÛÝÓÒÝÛ Û Þ ØÝѺ º¾ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ Ï ÐÓÖÝØÑ ÓÛ ÔÓÞÝÐÑÝ Û ØÒ ÅØÓ ÏÖ ØÖ ÞÒÓÛ ÒÐ Þ ÔÓÛ Þ ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓعÃÖÔ ØÖÝ ÞÒÓÛ ÒÖØ Þ ÔÓÛ Þº ÐÝÑÝ Ò ÞÒÓÛ ÒÓÞÒ ÛÐ ÖÓÞÞÒÝ ÛÖÞÓÓÛÓ ÔÓÛ ÞÝ ØÖ ÝÝÝ ÒÓÞÒ ÖØ ÑÝ Ñ Ûº ÈÖÞ ØÛÑÝ ØÖÞ ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ ØÖÝ ÛÒ ØÓ ÖÓº ÐÓÖÝØÑ ØÒ Ø ØÖÓ Þ ØÛ ÓÔ Ý ÞÑÝ ÞÙ ÒÐ ÞÝ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Ò Ò ÞÝ Ó ÓÒÝ ÓÖÞ Û ÐÓÖÝØÑ ÓÛº ÇÝÛ Ø ÔÖÓÐÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò Ó ÔÓ ÞÑÒ ÞÒÛ Û ÞÝ Ø Û ÒÐ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÓÔÓÛ Ò ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÓÑ Û Ö ÛÓÛÝѺ ÈÖÓÐÑÑ ÙÐÒÝÑ Ø ØÙØ ÔÖÓÐÑ Ò Þ ÙÔÓÛÒ ÛÖÞ¹ ÓÓÛÓº ÍÔÓÛÒ ÛÖÞÓÓÛ ØÓ ÔÖÞÝÔ Ò ÛÖÞÓÓÑ Û y : V R Û Ø ÔÓ Ð ÖÛÞ vw Û Ö ÞÓÞ y v +y w w vw º ÞÑÝ ÔÓØÖÞÓÛ Ò ØÔÙÝ Ò ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞÒ ØÓ ÓÖÞÒ M ÛÖÞ Þ ÛÖØÓ¹ Ñ ÙÔÓÛÒ ÛÖÞÓÓÛÓ y ØÑ Ð ÖÛÞ uv ÞÓÞ ÓÖÞ y v +y w w vw +1, y v +y w = w vw, jezeli vw M. ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ ØÓ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ØÖ Ø ½¹ÓÞÛÓÐÓÒº ÞÑÝ Ù ÝÛ Ò ØÔÙÝ Û Ó ÖÛº Æ M Þ ½¹ÓÔØÝÑÐÒÝÑ ÓÖÞÒÑ ÛØÝ µ Ð ÓÛÓÐÒÓ ÓÖÞÒ P ÞÓÞ w(p) w(m) nº Â Ø Ø ÐØÓ w(m) = w(uv) = y(v) uv P uv M v U V w(uv)+1 = w(p)+n. µ  РÔÛÒ k k > n ÞÐ Û ÞÝ Ø Ó ÞØÝ w(e) ØÓ ÛØÝ M Ø ÒÐ ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞ¹ ÒѺ Â Ø Ø ÐØÓ w(m ) w(m) w(m )+n, ÞÝÐ w(m) = w(m )º ½¼
11 ÐÓÖÝØÑ ÓÛ¹ÌÖÒ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ Æ w(uw) = w(uw) (n+1)º Í ØÛ w(e) = 0 ÓÖÞ y(v) = 0º Ð i Ó 1 Ó logwn +1 ÛÝÓÒÙ Ð ÖÛÞ w(e) = 2w(e)+(i ty bit w(e)) Ð Ó ÛÖÞÓ y(v) = 2y(v) 1 ÞÒõ ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÔÖÓÙÖÝ ÐÑغ Í ÝÛÒ ÔÖÓÙÖ ÐÑØ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ ÞÑÒ Ó ÞØÝ Ò w(uv) := w(uv) y(v) y(u). ÛÝÛÓÙ ÔÖÓÙÖ ÑØ Ó ÞÒÐÞÒ ½¹ÓÔØÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ M ÔÓÖÝ y Ó y Ó y ÞÛÖ M yº ÈÓÛÝ M y ØÓ ½¹ÓÔØÝÑÐÒ ÓÖÞÒ Ð wº ÈÖÞ ÐÓÛÒÑ ÑÑÝ ÆØÓÑ Ø ÔÓ ÐÓÛÒÙ ÑÑÝ ÞÝÐ ÔÙ Ø ÓÖÞÒ Ø ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞ y v +y w w vw +1, y v +y w = 2y v 1+2y w 1 2w vw 2w vw +(i ty bit w vw ) = w vw. w uv y v y w 0. ÙÛ ÑÝ ÛÖØÓ y ÔÖÞÞÒ Ó ÑØ 1º ÖÙ ØÖÓÒÝ Ð uv Ø ÖÛÞ ½¹ ÓÔØÝÑÐÒÓ ÓÖÞÒ M ØÓ ÔÓ ÔÖÞ ÐÓÛÒÙ y (u)+y (v) = 2y(u)+2y(v) 2 = = 2w(uv) 2 = w (uv) (i ty bit w uv ) 2 w (uv) 3. ÅÑÝ Û w (uv) y (u) y (v) 3 Û M Û Û ÔÓ ÔÖÞ ÐÓÛÒÙ ÛÝÒÓ Ó ÒÛÝ 3n ÞÝÐ ÒÐ Þ ÓÖÞÒ Û Ý 3nº ÈÓ ÑÝ ØÖÞ ÔÖÓÙÖ ÑØ ØÖ ÔÖÞÝ ÞÓ Ò Û 0 ÓÖÞ ØÒ ÓÖÞÒ Ó ÛÞ 3n ÞÒÙ ÒÐ Þ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ Û Þ O( nm)º ÒÙÑÝ ÛÓ¹ÙÓ ÖÛÞ e ÛÞÐÑ ÓÖÞÒ M Ó { 1 je sli w / M wd(e) = w(e)+ 0 wpp ÓÛØ ÛÓ¹ÙÓ ÞÓÖÙ ÖÛÞ S ÛÞÐÑ M ØÓ wd(s) = wd(e) e S M e S M wd(e). ½½
12 ÞÝÐ Ø ØÓ Û S ÛÞÐÑ M ÔÐÙ ÐÞ Ò ÓÖÞÓÒÝ ÖÛÞº ÈÓÛÑÝ ÖÛõuv Ø ÓÞÛÓÐÓÒ Ðy(u)+y(v) = wd(uv) ØÞÒº ÛÖÙÒ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓ ÞÓÞ Þ ÖÛÒÓº ÙÛ ÑÝ ÖÛÞ ÓÖÞÓÒ ÓÞÛÓÐÓÒº ÈÓ ÑÝ ÔÓÛ Þ Þ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÖÛÞ Ñ ÒÑÒ Þ ÓÛØ ÛÓ¹ÙÓº ÈÖÓÙÖ ÑØ Þ Û Ò ØÔÙÝ ÔÓ º ÒÐÞÙ y v = 0 ÓÖÞ M = º Æ ØÔÒ ÔÓÛØÖÞ ÓÔ M Ò Ø Ó ÓÒ ½º Òõ Ñ ÝÑÐÒÝ ÞÖ A ÛÖÞÓÓÛÓ ÖÓÞÞÒÝ ÔÓÛ Þݺ Ð P A ÔÓÛ Þ M ÛÞÐÑ P ÓÖÞ Ð Ó ÛÖÞÓ w V P ÞÑÒ Þ y(w) Ó ½º ¾º Í Ý ÑØÓÝ ÛÖ Ó ÞÑÒÝ ÛÖØÓ ÙÐÒÝ ÞÓÛÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓµ ÞÒõ ÔÓÛ Þ Þ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÖÛÞº ÃÖÓ ÔÖÓÙÖÝ ÑØ ÞÓÛÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒÓº à ÛÝÛÓÒ ÑØÓÝ ÛÖ ØÛÓÖÞÝ ÔÓÛ Þ ØÖ Ò ØÔÒ ÞÓ ØÒ Ù ÝØ Ó ÔÓÛ ÞÒ ÓÖÞÒº ÞÝÐ Ó ØØÞÒ Ó ÓÒ ÓÖÞÒ ÞÓ ØÒ ÞÒÐÞÓÒ ÐØÓ ÔÖÓÙÖ ÑØ ÓÞÝ ÞÒ ÞÒÙ ½¹ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÖÞÒº ÈÖÞÒÐÞÙÑÝ ØÖÞ Þ ÞÒº Ð ÓÛÓÐÒÓ ÖÓÙ ÐÓÖÝØÑÙ ÞÒÙÑÝ F ØÓ ÞÖ ÛÖÞÓÛ ÛÓÐÒÝ Û U tot ÙÑ Û ÞÝ Ø ÛÖØÓ Þ ÖÓÛ ÑØÓÝ ÛÖ º ÙÛ ÑÝ ÞÑÒÝ ÛÖØÓ ÙÐÒÝ Ø Ð v F ÑÑÝ y(v) = ÓÖÞ Ð ÛÓÐÒÓ ÛÖÞÓ Û V ÑÑÝ y(v) = 0º Æ M Þ ÒÐ ÞÝÑ Ó ÓÒÝÑ ÓÖÞÒÑ M ØÙÐÒÝÑ ÓÖÞÒѺ Ö M M Þ ÔÓÛ ÞÝ P v Ð Ó v F ÓÖÞ ÞÓÖÙ ÝÐ ÒÔÖÞÑÒÒÝ C w º ÅÑÝ Û n+w(m ) w(m) wd(m M) = = v F wd(p v )+ w wd(c w ). Ç ÞÙÑÝ ÐÛ ØÖÓÒ Ø ÒÖÛÒÓº ÊÓÞÛ ÑÝ ÒÔÖÞÑÒÒ Ó u U Ó m U Û ØÖ u ÒÐ Ý Ó ÖÛÞ Ò ÓÖÞÓÒ m Ó ÖÛÞ ÓÖÞÓÒº ÏØÝ Ð ÖÛÞ vw / M ÞÓÞ Ð wn M ÑÑÝ ÑÑÝ Û y(v)+y(w) wd(vw), y(w)+y(n) = wd(wn), y(v) y(n)+wd(vw) wd(wm). ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ø ÒÖÛÒÓ Ð Û ÞÝ Ø ÔÖ ÖÛÞ Ò P ÓØÖÞÝÑÙÑÝ y(u) y(m)+wd(p). ÒÖÛÒÓ Ø ÛÝÒ Ð Ó ÒÔÖÞÑÒÒÓ ÝÐÙ C w ÑÑÝ wd(c w ) 0. ÇÖÞ Ð ÔÓÛ Þ Þ v F Ó t V ÑÑÝ y(v)+y(t) wd(p v ). ÈÓÒÛ ÑØÓ ÛÖ ÙØÖÞÝÑÙ y(v) = tot ÓÖÞ y(t) = 0 Û tot wd(p v ) wd(c w ) F tot. v F wd(p v )+ w ½¾
13 ÈÓÒÛ c(m ) 3n ÓÖÞ c(m) 0º Ï Ç ØØÞÒ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ 4n n+w(m ) w(m). 4n F tot.  РÔÓ ÑÝ ÛÝÓÒÒ ÑØÓÝ ÛÖ ÞÛ Þ tot ØÓ Ó ÒÛÝ 2 n + 1 ØÖ Ø ÛÝÓÒÒÝ Ð F 2 n Ó ÔÓ ÝÑ ÛÝÓÒÒÙ ÑØÓÝ ÛÖ ÓÖÞÒ ÔÓÛ Þº Ð F > 2 n ØÓ tot < 2 n Ø ØÖ Ø Þ Ó ÒÛÝ 2 nº Ý ÔÓÞ ÛÝÛÓÒ ÑØÓÝ ÏÖ ÞÛ Þ tot ÛÝ ØÖÞÝ ÔÓÞ ÞÑÒ ÓÒÓ ÛÖØÓ ÙÐÒº ÅÓÓÝ Ò ÞÑÒ ØÝÐÓ ÛØÝ ÝÝ ØÒ ÔÖÞ ÛÝÓÒÒÑ ÒÔÖÞÑÒÒ P Þ ÖÛÞ ÓÞÛÓÐÓÒݺ á P ÔÖÞÒ Þ ÞÒÐÞÓÒ Û ÖÓÙ ½ ÔÖÓÙÖÝ Ñغ P ÞÛÖ Ò ÓÖÞÓÒ ÖÛõ vw Ø w ÒÐ Ý Ó Þ ÖÓÙ ½ v Ò ÓÖÞ w V º Ð ÔÓ ÖÓÙ ½ ÖÛõ vw Ò ÑÓ Ý ÓÞÛÓÐÓÒ Ó y w Ø ÞÑÒ ÞÓÒ y v +y w w vw +1. à ÛÝÓÒÒ ÔØÐ Û ÔÖÓÙÖÞ ÑØ ÞÑÙ O(m) Þ Ù Ó ÛÝ ÞÙÛÒ Ñ ÝÑÐÒÓ ÞÓÖÙ ÓÞÛÓÐÓÒÝ ÞÑÙO(m) Ø ÐÓÖÝØÑ ÀÓÔÖÓع ÃÖÔ ÑØÓ ÛÖ ÑÓ Ý ÛÝÓÒÒ Û Þ O(m + nlogn)º ÅÓ Ò ØÒ Þ ÔÓÔÖÛ Ò O(m) ÞÙÛ ÛÖØÓ Û ÓÔÙ Þ ÔÖÞÞÙ 1,...,4n ÞÛ Þ ÖÓ Ò ÓÔ Û ØÐݺ ÊÖÒ ½ º ÑÓÒ º ÅÜÑÙÑ ÑØÒ Ò ÔÓÐÝÖÓÒ ÛØ ¼ ½¹ÚÖØ º ÂÓÙÖÒÐ Ó Ê Ö ÆØÓÒÐ ÙÖÙ Ó ËØÒÖ ¹º ½¾½ ¼ ½º ¾ Àº ƺ ÓÛº ËÐÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆØÛÓÖ ÈÖÓÐÑ º º ÓÑÔÙغ ËÝ Øº ˺ ½ ¾µ½½ ½º Àº ƺ ÓÛ Ò Êº º ÌÖÒº ØÖ ËÐÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆØÛÓÖ ÈÖÓÐÑ º ËÁÅ ÂÓÙÖÒÐ ÓÒ ÓÑÔÙØÒ ½ µ½¼½ ½¼ ½º ½
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
µ(p q) ( q p) µa B B c A c
Ä Ø ¼ Û ØÔ Ó ÑØÑØÝ ½ ¼º½º ËÔÖÛõ ÞÝ Ò ØÔÙ ÞÒ ÐÓÞÒ ØÙØÓÐÓÑ (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) p] qº ¼º¾º ÍÞ Ò ÙÒØÓÖÝ ÐØÖÒØÝÛÝ ÓÒÙÒ Ñ Û ÒÓ ÞÒÓ ÓÖÞ ÔÖÞÑÒÒÓº ÞÝ Ø Ø Û ÔÖÞÝÔÙ ÙÒØÓÖ ÑÔÐ ¼º º ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
f (n) lim n g (n) = a, f g
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
ÊÓÞ Þ º Ð ÓÖÝØÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ½¼º¼ º¾¼¼ Ð ÓÖÝØÑ Å ÐÐ Ø º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ð Ò Ò Ð ÞÝ ÅÊ ÓÛÓÐÒ Ó ¾ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Î ÖÓÞ Ò Û ÛÞ ÑÒ ÔÖÓ ØÓÔ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Î Î ½ Ï ½ ÙÛ Ñ
ÊÓÞÞ º ÐÓÖÝØÑÝ ÒÙÑÖÝÞÒ ¼º¼º¼¼ ÐÓÖÝØÑ ÅÐÐغ ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ Ð Ò ÒÐÞÝ ÅÊ ÓÛÓÐÒÓ ÔÖÞ¹ ØÖÞ Î ÖÓÞ Ò Û ÛÞÑÒ ÔÖÓ ØÓÔ ÔÓÔÖÞ ØÖÞÒ Î Î Ï ÙÛ ÑÝ ÞÓÒ Þ ØÝÑ Ó ÛÑÝ Ó ÒÐÞ ÛÐÓÖÓÞÞÐÞ Û ÔÖÞ ØÖÞÒ Î ÑÑÝ Þ ÓÖØÓÒÓÖÑÐÒ µ Û ÔÖÞ ØÖÞÒ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
a = a ; µ a a a ; a+b a + b ;
½ ÄÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø ½º½ ÐÞÓ Ò ÛÝ ØÖÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ ÒÐÞ ÞÑÙ ÔÖÓÐÑÑ Û ØÖÝ ÔÓÛ ÔÖÞ ÖÒÞÒº ÈÖÞÝÑ Ø ÔÖÓÐÑÛ Û ÑØÑØÝ õ ÞÝ ÑÓ Ý ½º ÈÓ ÔÖÓ ÛÐÓÛ Û ÑÒº  РÑÑÝ Ó ÞÝÒÒ Þ ÖÙÑ ÒÓ¹ ØÒÝÑ ØÓ ÓÖÐÒ ÔÖÓ Ò ÔÖÛ ÓÔÓØÙ ÈÖÓ Ø ØÓ ÐÓÖÞ ÔÖÞ¹
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ Ö Ö Ïº Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÌÝغ ÓÖÝ º Ö ÒØ Ö Ø ÔÖÞ Ó Ý Ä ÓÔÓÐ ËØ ÇÔÖ ÓÛ Ò Ö ÞÒ ½ ÓÖ Ø Â ÖÓ Û È Ø ÖÞÝ ¹Ñ Ð Ô Ø ÖÛÔº Ù Ö Ö Ï Ð ÐÑ Æ ØÞ ½ ÓÑÔ Ð Ý Ä Ì ¾ε ÈÖÞ ÑÓÛ Ã Ø ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ø Ð Ò ÑÒ Ð ÞÒÝ
ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø Þ ÞÙ ð Ò ÙØÖ Ò º º ÖÒ ÏÝ ÁÁ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ËÙÔ Ö Ã Ñ Ó Ò Á Ù ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø
ÈÖ Û ÖÙ Ù ÝÒ Ñ ÞÝ Á Å Ò µ ÏÝ ÁÁ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ð Ð Ù Þ ÞÛ ÒÓð ð Á Þ ÝÒ Ñ Ù Ò Ö ÐÒÝ ÁÁ Þ ÝÒ Ñ ÁÁÁ Þ ÝÒ Ñ
ÈÖÛ ÖÙÙ ÝÒÑ ÞÝ Á ÅÒµ ÏÝ ÁÁ ÌÖÒ ÓÖÑ ÐÐÙ Þ ÞÛ ÒÓð ð Á Þ ÝÒÑ Ù ÒÖÐÒÝ ÁÁ Þ ÝÒÑ ÁÁÁ Þ ÝÒÑ Ù Ù ÓÒ Ò ÏÝÖ ÒØÝÞÒ Þ Ù ØÛÓÒ ÔÓÒÓÛÓ Û Ø ¾ ÌÖÒ ÓÖÑ ÐÐÙ Þ ÒÓ Ò ÔÖÓÒ ÖÙ Ò ÛÓÒº y Ð Ó ÖÛØÓÖ Ò ÔÖÓÒ ÖÙ ÔÓ Û Ø ÒØÝÞÒÝ Û ÔÓÒ
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2 RÓŻNORODNOŚĆ KAPITAŁÓW W NOWEJ RZECZYWISTOŚCI SPOŁECZNEJ Z DOROBKU ZIELONOGÓRSKIEGO ŚRODOWISKA SOCJOLOGICZNEGO Pod redakcją
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2 WSPÓŁCZESNA WIZJA MIASTA W TEORII I PRAKTYCE SPOŁECZNEJ Pod redakcją Żywii Leszkowicz-Baczyńskiej Justyny Nyćkowiak Zielona
ÏÝ º ÌÖÒ ÓÖÑØÓÙÖÖ ºº ÈÖÞÝÓÑÒÑÝ Ó ØÛÓÛ ÞÒÒ ÞÛÞÒ Þ ØÖÒ ÓÖÑØÓÙÖÖº ÌÖÒ ÓÖÑØ ÓÙÖÖ ÖÞ ÞØ ÛÝÓÛÙÒ Û ØÒ Ó ÛÖØÓ ØÖÒ ÓÖÑØÝ ÒÒÓÖÑÙ Ó ÛÖØÓ ÑÙÒ Û ÑÓÐÛ ÙÒ ÐÒÓÖÑÙ Ø ÞÛÖØÓ Ó¹ Û Ó Ò Þ ØÓØÐÛÓ Û ÙÒ ÛÝÓÛº Ï ÞÛÞÙ Þ ØÝÑ ÓÐÞÒ
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÇÄÁÌ ÀÆÁà ÏÊÇ ÏËÃ Ï Á Ä ÃÌÊÇÆÁÃÁ à ÖÙÒ ËÔ ÐÒÓ ÙØÓÑ ØÝ ÊÓ ÓØÝ ÊÓ ÓØÝ ÈÊ ÈÄÇÅÇÏ Å ÁËÌ ÊËà ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Þ ÓÛ Û Ø ÖÓÛÒ Ù Ñ Ó ÖÓ ÓØ ÑÓ ÐÒ Ó ÁÑÔÐ Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ú ÓÖ ÓÒ Ñ ÐÐ ÑÓ Ð ÖÓ Óس ÓÒØÖÓÐ Ö ÙØÓÖ Ö Ù Þ Å Ø Ö ÈÖÓÛ
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
Ax = b. f(x) = c T x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
ÏÔÖÓÛÞÒ Ó ÔÖÓÖÑÓÛÒ ÐÒÓÛÓ Ò ÔÖÓÖÑÓÛÒ ÐÒÓÛÓ Èĵ ÒÐ Ý Ó ÞÖ Þ Ð Ý Þ¹ Ò ÓÔØÝÑÐÞ Þ ÓÖÒÞÒѺ Ï ÔÖÓÖÑÓÛÒÙ ÐÒÓÛÝÑ ÞÖÛÒÓ ÙÒ ÐÙ ÓÖÒÞÒ ÙÒÑ ÐÒÓÛÝѺ Ò Ø ÓÖÑÙ¹ ÓÛÒ Ò ØÔÙÓ ÑÒ c T x, x R n ÔÖÞÝ ÓÖÒÞÒ Ax = b x 0 Þ c R n
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
C c. In In+ Out A 1 A 2. Wzmacniacz wzmacniajacy. Bufor
ÈÓÐØÒ ÏÖ ÞÛ ÏÝÞ ÐØÖÓÒ ÌÒ ÁÒÓÖÑÝÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÅÖÓÐØÖÓÒ ÇÔØÓÐØÖÓÒ ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÖÞÑÓØÙ ÈÖÓØÓÛÒ ÙÛ ÒÐÓÓÛÝ Ð Ý ØÑÛ ÎÄËÁ ÏÞÑÒÞ ÓÔÖÝÒÝ ÑÖ Ò º ÂÙ ÃÓÔ ¾ ÞÖÛ ¾¼½ ËÔ ØÖ ËÔ ÖÝ ÙÒÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
ÏÔÖÓÛ Þ Ò ÇÔ ÑÓ ÐÙ ÏÝÒ ÝÑÙÐ ÈÓ ÙÑÓÛ Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ë ÙØ ÔÖÞÝ Ø Ô Ò ÈÓÐ Ó ËØÖ Ý ÙÖÓ ÏÝÒ ÝÑÙÐ Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ Ö À
Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ Ð Ð Ø Ö ØÙÖÝ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ý ÑÓ ÐÙ Þ ÒÝ ÅÓ Ð ÞÓÛÝ ÊÓÞ Þ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙ ÞÓÛ Ó Ó Ò ÝÑÙÐ Ò Ð Þ ÛÖ Ð ÛÓ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
O O X X X , +1. h f. {(x 1, dec(x 1 )),...,(x n, dec(x n Ð ))} h(x i ) = dec(x i ) Ð Ó 1 i n
ÍÞÒ Ñ ÞÝÒÓÛ ÓÒÞÒ Û ÒÞÒÒÝÑ ÖÓÓÛ Ù Ø Ý ÔÖÓØÒØ Ý ¹ Â Ø Ò ÔÓ Û ÞÛÞÝ ØÑÙ ÔÖÞÝØÒ Ó ÑØÓ ÓÒ ØÖÙ Ý ØÑÙ Ø ÓÒÖÓÒØÙ Â Ø Þ ÖÞÞÝÛ ØÓ ÞÑ Ø ÔÖÝ ÒÔ Ò Ó ÔÖÓÖÑÙ ÒØ ÑÒÞÑ ÝÞÝÒÝ ÒØ Ý ÔÓÔÖÛ Ûݹ ÅÓÝÙ ÒÓ ØÝÔÝ ÙÞÒ ÑÓ Ý ÖÓÞÛ Ò Ó
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ï ÊË ÏËÃÁ Ï Á Á ÃÁ  ËÞÞÝØ Ó È ÈÊ ÏÇ ÆÁÃÁ È Å Æ Ì Æ ÁÁÁ¹Î Å Æ Æ Å ÈÖ Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Ò ÏÝ Þ Ð ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ Ï Ö Þ Û Ó ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÌÛ Ö ÓÛ Ó Ï ÊË Ï Ð Ô ¾¼¼½
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =
½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ
ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û
faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny
Á à ËÃÇÆ ÆËÇÏ Æ Â Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù Ì Ù Þ Ð ÖÞ Ì Ù Þ Ð ÖÞ ¹Ñ Ð Ø Ð ÖÞ ÙÒ ºÐÓ ÞºÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÙÒ ºÐÓ ÞºÔл»ÞØ»Ì È»Ì º ØÑ Ã Ø Ö ÞÝ ËØ Ó ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Þ Ê Ø Ò ÞÒ Ó ÖÞÝ õ ¾¼½½ ËÈÁË ÌÊ
¾
ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
ËÈÁË ÊáÁ ËÔ ØÖ Ð ÞÖ ÔÖÝ ÇÔ ÑØÑØÝÞÒÝ ÔÖÞÔÝÛÙ ÓÔ º ÊÛÒÒ ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Þ ØÓ ÓÛ ÖÛÒÒ ÈÒÒ º º º º º º º
ÈÇÄÁÀÆÁà áäëã Ï ÄÁÏÁÀ ÏÁ ÅÀÆÁÆ ÀÆÇÄÇÁÆ ÃØÖ ÏÝØÖÞÝÑÓ ÅØÖÛ ÅØÓ ÃÓÑÔÙØÖÓÛÝ ÅÒ ÑÖ Ò º ÅÖ Â ÅÓÐÓÛÒ ÔÖÓ Ù ÒÖÞÛÒ ØÒ ÓÐÓÞÒ ÊÓÞÔÖÛ ÓØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓº Ö º Ò º Û ÅÖÞ ÐÛ ËÈÁË ÊáÁ ËÔ ØÖ Ð ÞÖ ÔÖÝ ÇÔ ÑØÑØÝÞÒÝ ÔÖÞÔÝÛÙ
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º