Analiza danych środowiskowych III rok OŚ

Transkrypt

1 Analiza danych środowiskowych III rok OŚ Wykład 6 Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Kroskorelacja Cel wykładu Rozszerzenie idei autokorelacji na przypadek dwóch różnych szeregów czasowych oraz dyskusja koherencji szeregów czasowych

2 Opady są zwykle przesunięte względem powodzi. Szereg czasowy pokazujący wielkość opadów jest podobny i przesunięty względem szeregu czasowego obrazującego wielkość przepływu wody w rzece opad, mm/dzień czas [dni] przepływ, m 3 /s czas [dni] opad, mm/day przepływ, m 3 /s czas [dni] pik oparów wyprzedza pik przepływu czas [dni]

3 opad, mm/day przepływ, m 3 /s czas [dni] kształt zbliżony czas [dni] Podejdźmy do dwóch szeregów probabilistycznie -uivdwa różne szeregi czasowe, próbki których są realizacjami zmiennych losowych. Rozpatrzmy dwuwymiarową funkcję gęstości prawdopodobieństwa: p(u i, v i+k- ) dla dwóch elementów przesuniętych o (k-)δt i policzmy ich kowariancję. Będzie ona nazywana kroskorelacją: Porównajmy z autokorelacją (poprzedni wykład): różne czasy i różne szeregi czasowe różne czasy i te same szeregi czasowe

4 podobnie jak autokorelacja funkcja kroskorelacji jest podobna do funkcji splotu spełnione są również dwa podstawowe związki poznane dla autokorelacji na poprzednim wykładzie: i w dziedzinie częstotliwościowej: wzajemna gęstość widmowa Proste i najpowszechniejsze zastosowanie funkcji kroskorelacji Postawienie zagadnienia należy znaleźć takie wzajemne przesunięcie dwóch szeregów czasowych, by osiągnąć maksymalną korelację. Jak się łatwo przekonać będzie to miejsce, gdzie funkcja kroskorelacji osiąga maksimum. Poniżej dwa podobne, wzajemnie przesunięte szeregi czasowe rejestracje impulsu sejsmicznego przez dwa różne czujniki - u(t) v(t)

5 kształt funkcji autokorelacji i określenie wartości maksymalnej Wartość funkcji kroskorelacji maksimum czas przesunięcie czasowe (time lag) po przesunięciu drugiego szeregu czasowego o obliczony time lag - u(t) v(t+t lag )

6 nasłonecznienie i poziom ozonu na powierzchni (przy gruncie) (rzeczywisty zbiór danych z West Point NY) s o la r, W / m 2 5 B) o z o n e, p p b porównajmy przesunięcia maksimów obu funkcji Wartość funkcji kroskorelacji maksimum 4 x time, hours czas [h] time lag = 3 godziny

7 solar radiation, W/m 2 ozone, ppb 5 5 A) hour lag originalna B) przesunięta Koherencja rozszerzenie idei korelacji na korelację zależną od częstotliwości Przykład I Na pewnym obszarze można zaobserwować zależność siły wiatru z temperaturą powietrza w skali zmian rocznych. Wynika to z określonego klimatu jaki panuje w danym regionie. Jeśli będziemy analizować taką korelację w krótszych okresach (np. kilku dni) nie stwierdzimy istnienia wysokiej korelacji. wind speed temperature lato ciepłe i wietrzne 2 zima chłodna i 3 bezwietrzna 2 2 3

8 fala gorącego powietrza przy mniejszym wietrze wind speed temperature 2 okres b. zimny i 3 stosunkowo wietrzny W tym wypadku szeregi czasowe korelują się dla długich okresów czasu (małych częstotliwości zmian) zaś dla krótkich okresów (dużych częstotliwości) nie. Przykład II Na pewnym obszarze można zaobserwować zależność tempa rozrostu planktonu z wielkością opadów dla okresów kilkutygodniowych. Jeśli będziemy analizować taką korelację w okresie trwania danej pory roku (np. trwania lata) nie stwierdzimy istnienia wysokiej korelacji. tempo rozrostu nie jest związane z porą roku plant growth rate lato jest bardziej 2 3 suche niż zima precipitation 2 3

9 maksima tempa wzrostu przypadają jednak na maksima opadów plant growth rate 2 3 precipitation 2 3 W tym wypadku szeregi czasowe korelują się dla krótszych okresów czasu (dużych częstotliwości zmian) zaś dla dłuższych okresów (mniejszych częstotliwości) nie. Koherencja metoda do stwierdzenia czy i w jakim zakresie częstotliwości dwa szeregi są ze sobą skorelowane. strategia obliczeń poddaj dwa szeregi czasowe u(t) i v(t) filtracji pasmowej (środkowo przepustowej) dla częstotliwości środkowej ω policz ich korelację dla zerowego przesunięcia wzajemnego (duża wartość kiedy szeregi czasowe będą do siebie podobne) powtórz powyższe (filtrację i korelację) dla wielu ω by utworzyć funkcję c(ω ) zależną od czasu korelację

10 Dygresja Fakt Funkcja korelacji obliczona dla czasu t= jest równa całce z widma Fouriera w całym przedziale Fakt 2 Transformacja Fouriera splotu dwóch funkcji jest równa iloczynowi transformat Fouriera tych funkcji I [ f ( t) c( t) ] = I[ f ( t) ] I[ c( t) ] = f ( ω) c( ω) Fakt 3 całka po częstotliwości z funkcji może być traktowana jako średnia po obszarze całkowania (oznaczone poziomą kreską nad symbolem)

11 filtr środkowoprzepustowy f(t) ma poniższą widmową gęstość spektralną p.s.d. ( f(ω) 2 ) 2Δω f(ω) 2 2Δω -ω ω ω całka po wszystkich częstotliwościach idealny filtr pasmowy przyjmuje wartości lub ujemne częstotliwości dodatnie częstotliwości korelacja jest rzeczywista stąd rzeczywista część iloczynu jest parzysta zaś urojona nieparzysta więc się zeruje, całka jest to uśrednianie po po częstotliwościach w granicach całkowania

12 dwa końcowe kroki. Opuszczamy znak Re w ostatnim wzorze 2. Normalizujemy przez amplitudę dwóch szeregów czasowych i podniesionych do kwadratu tak by wartości zmieniały się od do końcowy rezultat nazywany jest Koherencją

13 precipitation T-air T-water salinity turbidity chlorophyll D) E) F) 2 A) B) C) opady temperatura powietrza temperatura wody zasolenie mętność chlorofil = zawartość alg dane: Water Quality Reynolds Channel, Coastal Long Island, New York precip A) periods near year precip B) periods near 5 days T-air T-air T-water T-water salinity turbidity chlorophyl salinity turbidity chlorophyl Fig, 9.8. Band-pass filtered water quality measurements from Reynolds Channel (New York) for several years starting January, 26. A) Periods near one year; and B) periods near 5 days. MatLab script eda9_6.

14 wysoka koherencja dla okresu roku A) air-temp and water-temp B) C) precipitation and salinity water-temp and chlorophyll one year c o h e re n c e.5 one year one week frequency, cycles per day c o h e re n c e frequency, cycles per day c o h e re n c e frequency, cycles per day średnia koherencja dla okresu około miesiąca bardzo niska koherencja dla okresów od miesiąca do kilku dni