Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów

Transkrypt

1 Stanisław Maciej Kot * Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów Wstęp Celem pracy jest oszacowanie rozkładu dochodów osób w świecie w latach Na tej podstawie analizowane będą tendencje kształtowania się nierówności, ubóstwa i dobrobytu społecznego świata. Światowy rozkład dochodów (w skrócie: WID, World Income Distribution) będzie wyrażony jako mieszanka rozkładów dochodów poszczególnych krajów. Z kolei rozkłady dochodów poszczególnych krajów będą modelowane za pomocą rozkładu loglogistycznego [Fiska, 1961]. Próby szacowania WID podejmowało już wielu badaczy. Niewątpliwie ważny impuls stanowią kontrowersje wokół skutków globalizacji, zwłaszcza w odniesieniu do problemów ubóstwa i nierówności w świecie. Formułowane hipotezy w stylu: biedni jeszcze bardziej biednieją, podczas gdy bogaci jeszcze bardzie się bogacą, czy też: przepaść ekonomiczna między bogatą Północą a biednym Południem poszerza się domagają się weryfikacji empirycznej. W badaniach WID podstawową trudnością jest brak odpowiednio licznych, wiarygodnych i porównywalnych danych statystycznych. Wybór określonego zestawu wskaźników ma decydujący wpływ na uzyskiwane oceny ekonomicznych nierówności i ubóstwa [Atkinson, Brandolini, 2001]. W naszych badaniach uwzględnimy kraje, dla których dostępne są dane w postaci, co najmniej, indeksu Giniego i GDP per capita. Z tego powodu zdecydowaliśmy sie na wykorzystanie dwuparametrycznego rozkładu loglogistycznego, ponieważ jego parametry można oszacować na podstawie tych dwóch informacji. Układ pracy jest następujący. W części 2 przedstawiamy teoretyczną postać WID oraz metodę szacowania charakterystyk tego rozkładu. W części 3 przedstawiamy materiał statystyczny wykorzystany w badaniach. Omawiamy tu również zastosowane w pracy metody interpolacji brakujących danych. W części 4 przedstawiamy wyniki badań empirycznych. Część 5 zawiera dyskusję z wynikami osiągniętymi przez innych autorów. W 6 części (końcowej) przedstawiamy wnioski wynikające z przeprowadzonych badań. Niniejsze badania były wykonane w ramach projektu nr N N Teoretyczny model światowego rozkładu dochodów Będziemy rozważać K krajów świata, dla których dostępne są dane statystyczne w postaci indeksu Giniego, GDP per capita oraz wielkości populacji w danym roku. Zakładamy, że teoretyczny rozkład dochodów per capita w każ- * Prof. dr hab., Zakład Statystyki, Katedra Nauk Ekonomicznych, Wydział Zarządzania i Ekonomii, Politechnika Gdańska, Stanisław.Kot@zie.pg.gda.pl

2 94 Stanisław Maciej Kot dym roku jest typu log-logistycznego (w skrócie L-L), znanym też jako rozkład Fiska (1961) 1, o funkcji gęstości: a1 ax f ( x), a a 2 b 1 ( x / b) x 0, (1) gdzie a i b są parametrami dodatnimi. Dystrybuanta tego rozkładu ma postać: a x F( x) 1, x 0. (2) b Momenty zwykłe rzędu r w tym rozkładzie wyraża wzór: r r b r mr E[ X ]. (3) asin( r / a) W szczególności, wartość przeciętna w tym rozkładzie będzie równa: b E[ X ]. (4) asin( / a) Można też wykazać, że indeks Giniego w rozkładzie log-logistycznym jest równy: G 1. (5) a Jeśli dysponujemy ocenami średniej ˆ oraz indeksu Giniego Ĝ, to korzystając z tożsamości (4) i (5) otrzymamy oceny parametrów a i b omawianego rozkładu: 1 aˆ, (6) Gˆ ˆ ˆ aˆ sin( / aˆ ) b. (7) Proponujemy potraktować rozkład dochodów dla świata jako mieszankę rozkładów dochodów poszczególnych krajów. Dystrybuanta F(x) światowego rozkładu dochodów będzie zatem równa: K i1 i 1 F( x) p F ( x), (8) gdzie F i (x) jest dystrybuantą rozkładu dochodów i-tego kraju, a waga p i jest równa udziałowi wielkości populacji i-tego kraju w łącznej populacji K rozważanych krajów. W postaci mieszanki możemy też przedstawić funkcję gęstości WID: K i1 i i f ( x) p f ( x) (9) i 1 Fisk (1961) przedstawił funkcje gęstości tego rozkładu za pomocą tangensa hiperbolicznego, co utrudniało rozpoznanie na pierwszy rzut oka rozkładu znanego już wcześniej.

3 Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów 95 i jego momenty (jeśli istnieją): m r K i1 p m i ri, (10) gdzie f i (x) we wzorze (9) oznacza funkcję gęstości rozkładu dochodów i-tego kraju, natomiast m ri we wzorze (10) jest r-tym momentem rozkładu dochodów i- tego kraju, i =1,,K. Jeśli ustalimy linię ubóstwa z dla świata, to miernik skali ubóstwa h, jako frakcji osób o dochodach poniżej z obliczymy wprost z równości (8) jako h =F(z). Istnieje ogólniejsza rodzina miar ubóstwa, oznaczana zwykle symbolem FGT α, obliczana na podstawie próby (x 1,,x n ) dochodów i zdefiniowana następująco: n 1 FGT g j (11) n j1 gdzie indywidualna luka ubóstwa g j ma postać 2 : z x j, dla x j z g j z, (12) 0, dla x j z zob. [Foster, Greer, Thorbeck, 1984]. Szczególne przypadki rodziny FGT α, indeksowanej po α, ukazują rozmaite aspekty ubóstwa. I tak dla α = 0 otrzymujemy frakcję ubogich h. Dla α = 1 otrzymujemy miarę FGT 1, która odzwierciedla intensywność ubóstwa, co można interpretować jako miarę zubożenia społeczeństwa jako całości (lub ubóstwo per capita). Z kolei miara FGT 2, dla α = 2, odzwierciedla dotkliwość ubóstwa. Można udowodnić, że w rozkładzie log-logistycznym FGT 1 da się przedstawić za pomocą niekompletnego momentu rzędu pierwszego I(z,1), gdzie z jest linią ubóstwa: I( z,1) FGT1 h, (13) z gdzie: 1 1 I( z,1) I F ( z) 1,1 (14) a a jest dochodem średnim, a I y (p,q) jest niekompletną funkcją Beta w punkcie y = F(x). Z uwagi na możliwość nieistnienia niekompletnych momentów rzędu 2-go i wyższych, nie będziemy obliczać dotkliwości ubóstwa FGT 2. Indeks Giniego G dla WID nie da się przedstawić, w ogólnym przypadku, jako średnia ważona indeksów Giniego G i dla krajów i=1,,k, ponieważ nie jest to miara dekomponowalna. Możemy jednak szacować indeks Giniego dla WID korzystając z następującej formuły: 2 Nazwa FGT α pochodzi od pierwszych liter nazwisk tych autorów.

4 96 Stanisław Maciej Kot G, (15) 2 gdzie jest dochodem średnim, a jest średnią różnicą bezwzględną. Ta ostatnia wielkość może być przedstawiona następująco: 0 2 F ( x)[1 F( x)] dx, (16) zob. [Kendall, Stuart, 1961, s. 53] 3. [Yitzhaki, 2003] proponuje następujący estymator dla n-elementowej próby: n1 ˆ 2 Fˆ ( x )[1 ˆ i F( xi )]( xi1 xi ), (17) i1 gdzie znak ^ nad wielkością oznacza estymator z próby. Podstawowy problem ze stosowaniem wzoru (17) w przypadku ustalania indeksu Giniego dla światowego rozkładu dochodów wiąże się z brakiem informacji o poziomach dochodów x i, gdyż nie dysponujemy próbą z tego rozkładu. W niniejszych badaniach rolę tej próby będą spełniać zaobserwowane wartości GDP per capita dla krajów wybranych do badań. Takie rozwiązanie może jednak dostarczać zaniżonych ocen indeksu Giniego dla świata, ponieważ nawet w kraju o największej wartości GDP per capita w próbie (jako miary dochodu średniego per capita) maksymalne dochody są oczywiście większe. 2. Materiał statystyczny Do szacowania światowego rozkładu dochodów będziemy korzystać z danych statystycznych pochodzących z rozmaitych źródeł. Głównym źródłem tych danych będą bazy DS (Deninger-Squire) Banku Światowego, WIID2 (UNU/WIDER World Income Inequality Database) i LIS (Luxemburg Income Study). Dodatkowo skorzystamy też z mikro-danych o budżetach polskich gospodarstw domowych udostępnionych przez GUS, a także z wyników badań innych autorów mających unikatowy dostęp do mikro-danych o budżetach gospodarstw domowych (m.in. Brazylii, Japonii i Polski). Szeregi czasowe indeksu Giniego wygładzono wielomianami odpowiedniego rzędu. Pozwoliło to nie tylko wyeliminować wahania losowe spowodowane różną jakością danych dla poszczególnych lat, lecz także na uzupełnienie brakujących danych. Z uwagi na zastosowaną tu metodę interpolacji i wygładzania danych, ostatecznie do próby wybrano 119 krajów, dla których istniały co najmniej 3 obserwacje indeksu Giniego. Dla uzupełnienia brakujących danych zdecydowano się dodanie ekstrapolacji na jeden rok do przodu i/lub jeden rok wstecz dla tych krajów, dla których było to merytorycznie uzasadnione 4. Chociaż do analizy wybraliśmy tylko 119 krajów, to łączna liczba zamieszka- 3 Wzór (16) jest prawdziwy dla dowolnego rozkładu ciągłego. W przypadku, gdy dziedziną rozkładu jest cała oś rzeczywista, granice całkowania są równe odpowiednio: - i. 4 Dane wygładzonych indeksów Giniego Autor udostępni na życzenie.

5 Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów 97 łych w nich osób stanowiła bardzo duży procent populacji świata, rzędu 88-93%. 3. Rezultaty badań empirycznych Na podstawie wygładzonych indeksów Giniego oraz dochodów GDP per capita oszacowano w każdym roku parametry a i b rozkładu log-logistycznego dla każdego z krajów z osobna. Na rysunku 1 przedstawiono wykresy funkcji gęstości światowego rozkładu dochodów w wybranych latach. Dla zwiększenia przejrzystości obrazu zastosowano skalę logarytmiczną (o podstawie 10) dochodów per capita. Rysunek 1. Funkcje gęstości światowego rozkładu dochodów dla lat 1990, 1995, 2000 i 2005 f(x) 5.0E-4 4.0E-4 3.0E-4 2.0E-4 1.0E E Dochód/osobę Źródło: Opracowanie własne. Na rysunku 1 możemy zauważyć systematyczne przesuwanie się w prawo masy prawdopodobieństwa światowego rozkładu dochodów dla kolejnych lat.. Towarzyszą temu zmiany parametrów tego rozkładu, o czym będzie mowa dalej. W tablicy 1 zamieszczono wyniki estymacji przeciętnych wartości światowego rozkładu dochodu/osobę oraz indeksu Giniego w latach W przypadku dochodu średniego stosowano wagi równe udziałowi populacji każdego kraju w łącznej populacji wybranych krajów. Dla porównania przytoczono oceny indeksu Giniego uzyskane przez [Pinkovskiy ego, Sala-i-Martina, 2009]. Ostatnia kolumna tej tablicy zawiera wartości indeksu Sena, będącego uproszczoną funkcją dobrobytu.

6 98 Stanisław Maciej Kot Tablica 1. Dochód średni na osobę oraz nierówności ekonomiczne w światowym rozkładzie dochodów w latach Średni dochód Indeks Giniego 1) Indeks Giniego 2) Indeks Sena Źródło: Obliczenia własne 1) Oceny Autora, 2) oceny Pinkovskiy, Sala-i-Martin (2009) Na rysunku 2 przedstawiono kształtowanie się w czasie nierówności ekonomicznych, mierzonych indeksem Giniego, w światowym rozkładzie dochodów w latach W tablicy 1 i na rysunku 3 ujawniają sie dwie charakterystyczne cechy nierówności ekonomicznych w światowym rozkładzie dochodów: wysoki poziom oraz malejący trend. Nasze oceny nierówności ekonomicznych w tym rozkładzie i oceny [Pinkovskiy ego, Sala-i-Martina, 2009] są bardzo zbliżone 5. Natomiast zjawisko malejącego trendu nierówności ekonomicznych w światowym rozkładzie dochodów, zaobserwowane już wcześniej przez [Sala-i-Martina, 2006], przeczy potocznej opinii o pogłębiających się nierównościach ekonomicznych w świecie. Na rysunku 3 przedstawiono kształtowanie się indeksu Sena, jako uproszczonej miary dobrobytu społecznego. Można zauważyć, że dobrobyt społeczny. po nieznacznym spadku w roku 1991, w następnych latach wzrastał. Do analizy ekonomicznego zubożenia świata przyjęto trzy linie ubóstwa (na osobę): 1 dolar/dzień, 2 dolary/dzień oraz połowę dochodu średniego. Z uwagi na to, że posługujemy się rozkładami dochodu na rok, to pierwsze dwie linie ubóstwa były odpowiednio równe: 365 [$} oraz 730 [$] (ceny stałe roku 2005). Tablica2 zawiera oceny wybranych miar ubóstwa (h frakcja ubogich, FGT 1 oraz dodatkowo μ z średni dochód wśród ubogich. 5 [Pinkovskiy, Sala-i-Martin, 2009] stosowali inne rozkłady teoretyczne do szacowania indeksu Giniego.

7 Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów 99 Rysunek 2. Nierówności w światowym rozkładzie dochodów Gini 67 Oceny indeksu Giniego Autora Pinkovskiy, Sala-i-Martin Źródło: Opracowanie własne. Rysunek 3. Dobrobyt w światowym rozkładzie dochodów Sen [$] Źródło: Opracowanie własne. Dla zilustrowania tendencji kształtowania się skali ubóstwa w świecie sporządzono rysunek 4, na którym przedstawiono frakcję ubogich h obliczaną na podstawie absolutnej linii ubóstwa (lewa oś) oraz relatywnej linii ubóstwa równej połowie dochodu średniego (prawa oś). Wykres frakcji ubogich h na rysunku 5 liczony na podstawie absolutnej linii ubóstwa 1dolar/dzień (lewa oś) ukazuje malejącą tendencję skali ubóstwa w świecie, za wyjątkiem roku 1991, w którym można zaobserwować nieznaczny wzrost. W roku 1990 było na świecie około 5% osób o dochodzie nieprzekraczającym $1/dzień ($365/rok). W roku 2005 osoby te stanowiły około 2% populacji świata. Oznacza to, ze w wymiarze

8 100 Stanisław Maciej Kot absolutnym, w roku 1990 było na świecie 272 mln takich osób, a w roku mln, a więc ponad dwukrotnie mniej w porównaniu z rokiem Tablica 2. Ubóstwo ekonomiczne w światowym rozkładzie dochodów w latach z=365 ($1/dzień) z=730 ($2/dzień) z=średnia/2) h FGT 1 z h FGT 1 z h FGT 1 z Objaśnienia: z linia ubóstwa, h frakcja ubogich,, μ z średni dochód wśród ubogich, FGT 1 miara Foster-Greer-Thorbecke dla α = 1. Źródło: Obliczenia własne. Rysunek 4. Skala ubóstwa w świecie w latach h 0.06 h Frakcja ubogich h dla linii ubóstwa: $1/dzień (lewa oś) średnia/2 (prawa oś) Źródło: Opracowanie własne.

9 Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów 101 Gdy za linię ubóstwa przyjmiemy $2/dzień ($730 /rok), to w roku 1990 osoby ubogie stanowiły około 20% populacji świata. W roku 2005 osoby ubogie wg tego standardu stanowiły nieco ponad 8% ludności świata. Oznacza to, że w wymiarze absolutnym żyło na świecie 1,07 mld ubogich, a w 2005 roku 524 milionów. Gdy frakcja ubogich h jest obliczana na podstawie relatywnej linii ubóstwa, równej połowie średniej w rozkładzie dochodów świata, to otrzymujemy nieco inny obraz kształtowania się w czasie skali ubóstwa w świecie. W okresie procent osób ubogich w świecie utrzymywał się na mniej więcej stałym poziomie rzędu 66%. Począwszy od roku 2000 procent osób ubogich (wg tego kryterium) systematycznie malał, do poziomu 62%. W wymiarze absolutnym, w roku 1990 żyło na świecie około 3,47 mld osób ubogich, natomiast w roku 2005: 4 mld. Można sądzić, że ten wzrost absolutnej liczby ubogich (wg kryterium relatywnego) był wypadkową dwóch procesów: faktu rosnącego poziomu dochodu średniego świata oraz z powiększającej się populacji światowej. W odróżnieniu od rozpatrywanych powyżej miar h oraz μ z odnoszących się do rozkładu dochodów wśród osób ubogich, miara FGT 1 odzwierciedla stopień zubożenia społeczeństwa jako całości. Jak zaznaczaliśmy w części 2, miarę FGT 1 można interpretować jako ubóstwo per capita, lub intensywność ubóstwa. Na rysunku 5 przedstawiono wykresy obrazujące kształtowanie się miary FGT 1 w rozważanym okresie, dla absolutnej linii ubóstwa (lewa oś) oraz relatywnej linii ubóstwa równej połowie dochodu średniego (prawa oś). Rysunek 5. Intensywność ubóstwa w świecie w latach FGT FGT Linia ubóstwa: $1/dzień (lewa oś) średnia/2 (prawa oś) Źródło: Opracowanie własne.

10 102 Stanisław Maciej Kot Na rysunku 5 wykres miary FGT 1 dla absolutnej linii ubóstwa maleje w całym rozpatrywanym okresie. Oznacza to, że zubożenie światowej populacji osób zmniejszało się. Do podobnego wniosku prowadzi obserwacja zmian FGT 1, gdy kryterium ubóstwa jest połowa średniej w światowym rozkładzie dochodów. Wyjątek w tej ogólnej tendencji stanowią trzy pierwsze lata, w których rozważana miara wzrastała. Zakończenie Zastosowana w pracy metoda rekonstrukcji światowego rozkładu dochodów ujawniła kilka ważnych faktów. Okazało się, że w rozważanym okresie nierówności ekonomiczne systematycznie malały. Wzrastał tez dobrobyt społeczny. Ubóstwo ekonomiczne również zmniejszało się, niezależnie od przyjętej linii ubóstwa. Wnioski te przeczą potocznym poglądom na temat negatywnego wpływu globalizacji na nierówności i ubóstwo w świecie. Literatura 1. Atkinson, A. B., Brandolini, A. (2001), Promise and pitfalls in the use of secondary data-sets: income inequality in OECD Countries, Journal of Economic Literature, vol Deninger K., Squire L. (1996), A new data set measuring income inequality, The World Bank Economic Review, Vol. 10 (3). 3. DS World Bank database, 4. Kendall M.G., Stuart A. (1961), The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2, Griffin & Co. Ltd., London. 5. Pinkovskiy M., Sala-i-Martin X. (2009), Parametric estimations of the Word distribution of income, NBER Working Paper No Sala-i-Martin X. (2006) The world distribution of income: Falling poverty and convergence, period, Quarterly Journal of Economics, Vol. 121 (2). 7. WIID2 (May, 2005), UNU-WIDER World income inequality database. 8. World Development Indicators (2010), World Bank, Washington. 9. World Development Report (różne roczniki), World Bank, Oxford and New York, Oxford University Press. 10. Yitzhaki S. (2003), Gini s Mean difference: a superior measure of variability for non-normal distributions, METRON International Journal of Statistics. Streszczenie Światowy rozkład dochodów potraktowano jako mieszankę rozkładów krajowych, z wagami równymi udziałom populacji danego kraju w łącznej populacji analizowanych krajów. Jako teoretyczny model krajowych rozkładów dochodów przyjęto dwuparametryczny rozkład log-logistyczny Fiska. Wybór tego typu rozkładu teoretycznego był podyktowany jakością dostępnych danych statystycznych. Z istniejących baz danych nt. dochodu w krajach świata (Denuinger-Squire, WIID, TransMONEE, LIS) można było uzyskać jedynie dwie charakterystyki: indeks Giniego i GDP/capita (jako ocena docho-

11 Próba oszacowania światowego rozkładu dochodów 103 du średniego) o zadowalającym stopniu porównywalności dla odpowiednio dużej liczby krajów. Po interpolacji brakujących danych dla okresu uzyskano niezbędne informacje dla 119 krajów, pokrywających około 90% populacji świata. Oszacowano parametry rozkładów krajowych i na tej podstawie oszacowano charakterystyki światowego rozkładu dochodów, w szczególności miary nierówności i ubóstwa. Uzyskane wyniki świadczą o tym, że w rozważanym okresie nierówności ekonomiczne w świecie i ubóstwo ludności świata wykazywały tendencję malejącą. An attempt to estimation of world income distribution (Summary) The world income distribution is treated as the mixture of countries distribution with weights in the form of population shares. Two-parameter log-logistic distribution is applied as theoretical model of country s income distribution. Deninger-Squire, WID2, LIS, and World Bank database to 119 countries in years are used for estimation of parameters of the log-logistic distribution. Decreasing trends of inequality, poverty and welfare have been observed in the whole period.