Twierdzenie Pitagorasa

Transkrypt

1 Twierdzenie Pitagorasa Narysujmy trójkąt prostokątny: przy pomocy narzędzia Odcinek między dwoma punktami poprowadźmy odcinek AB, następnie przy pomocy narzędzia Proste prostopadłe utwórzmy prostą do niego prostopadłą, przechodzącą przez punkt B. Wybierając narzędzie Punkt na Obiekcie na prostej b ustalamy punkt C. Prowadząc odcinki BC i AC oraz ukrywając prostą b, otrzymujemy trójkąt prostokątny ABC. Na koniec ukryjmy etykiety odcinków (np. przy pomocy narzędzia Pokaż/Ukryj etykietę). Teraz możemy przystąpid do pokazania twierdzenia Pitagorasa. Wybierając narzędzie Wielokąt foremny i klikając punkty C i B ( w oknie dialogowym wpisujemy 4) tworzymy kwadrat o boku długości przyprostokątnej trójkąta ABC. Podobnie tworzymy kwadrat na drugiej przyprostokątnej oraz przeciwprostokątnej (jeśli utworzymy kwadrat po niewłaściwej stronie, to uruchamiamy polecenie Cofnij i zmieniamy porządek wyboru punktów). W polu wprowadzania wpisujemy: w_1 = wielokąt1, w_2 = wielokąt2, w_3 = wielokąt3.wybieramy Wstaw tekst, zaznaczamy Formuła LaTeX Obiekty w_1.uzyskany tekst umieszczamy we właściwym kwadracie, np. ustalając jego położenie w punkcie, który jest środkiem przekątnej tego kwadratu. Podobnie postępujemy z tekstami w_2 i w_3. Na koocu wstawiamy tekst w_1 + w_3 = w_2 (teksty możemy formatowad wchodząc w ich właściwości). Zmieniając położenie punktów A, B, C przekonujemy się, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest zawsze równa polu kwadratu zbudowanemu na przeciwprostokątnej. Wykonajmy teraz kilka dwiczeo. Narysujmy kwadrat ABCD i poprowadźmy jego przekątną AC. Na tej przekątnej zbudujmy kolejny kwadrat. Wprowadzamy Suwak a: zakres od 0 do 5, krok 0.1. Następnie przy pomocy narzędzia Odcinek o określonej długości tworzymy odcinek AB (w oknie dialogowym w pozycji długośd wpisujemy

2 a; dzięki temu możemy zmieniad długośd boku kwadratu i wszystkich jego elementów). Następnie przy pomocy narzędzia Wielokąt foremny tworzymy kwadrat o boku AB oraz jego przekątną AC (przy pomocy narzędzia Odcinek między dwoma punktami). Na tej przekątnej tworzymy kwadrat ACEF. W Widoku Algebry możemy sprawdzid, że przekątna kwadratu oznaczona jest symbolem g. Przy pomocy narzędzia Wstaw tekst wpisujemy (korzystamy z formuły LaTeX i obiektów): Wybierając kilka wartości całkowitych a i odpowiadających jej wartości g, możemy stwierdzid, że długośd przekątnej kwadratu jest iloczynem długości jego boku i stałej liczby. Zatem wielkości te są wprost proporcjonalne. Pokażemy to na wykresie. W polu wprowadzania wpisujemy: (a, g). Tworzymy w ten sposób punkt H = (a, g). We właściwościach tego punktu zaznaczamy Ślad włączony i zmieniamy położenie suwaka. Pozostawiony przez ten punkt ślad jest częścią prostej o równaniu, co oznacza, że dane wielkości są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Widok koocowy pliku może byd następujący:

3 Narysujmy teraz trójkąt równoboczny ABC zaczynając od użycia narzędzia Odcinek o określonej długości (jak poprzednio). Przy pomocy narzędzia Proste prostopadłe tworzymy prostą prostopadłą do podstawy AB trójkąta ABC, przechodzącą przez wierzchołek C. Przy pomocy narzędzia Przecięcie dwóch obiektów tworzymy punkt D (środek podstawy AB) oraz prowadzimy odcinek CD i ukrywamy prostą. Następnie na bokach trójkąta prostokątnego ADC tworzymy kwadraty. Wybierając kilka wartości całkowitych a i odpowiadających jej wartości g, możemy stwierdzid, że długośd wysokości trójkąta jest iloczynem długości jego boku i stałej liczby. Zatem wielkości te są wprost proporcjonalne. Pokażemy to na wykresie. W polu wprowadzania wpisujemy: (a, g). Tworzymy w ten sposób punkt K= (a, g). We właściwościach tego punktu zaznaczamy Ślad włączony i zmieniamy położenie suwaka. Pozostawiony przez ten punkt ślad jest częścią prostej o równaniu, co oznacza, że dane wielkości są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Widok koocowy pliku może byd następujący: Czy twierdzenie Pitagorasa słuszne jest tylko dla trójkątów prostokątnych? Odpowiedź jest twierdząca. Pokażemy to stosując GeoGebrę. Utwórzmy trójkąt równoramienny: przy pomocy narzędzia Nowy Punkt tworzymy punkty A i B. W polu wprowadzania wpisujemy Odcinek[A,B]. Znajdujemy jego Środek, przez który prowadzimy prostą prostopadłą wykorzystując narzędzie Proste prostopadłe. Następnie wprowadzamy Suwak n: zakres od 0 do 5, krok 0.1 (suwak wprowadzamy z paska narzędzi lub poprzez pole wprowadzania). Kolejnym krokiem jest utworzenie przy pomocy narzędzia Odcinek o określonej długości odcinka o długości n (w oknie dialogowym jako Długośd wpisujemy n). Dalej zmieniamy długośd odcinka CD przy pomocy suwaka (np. n = 4) i umieszczamy punkt D na jego symetralnej i we właściwościach zaznaczamy Osadź obiekt. Sprawdzamy teraz, czy punkt ten porusza się po prostej wraz ze zmianą położenia suwaka. Na bokach trójkąta ABD tworzymy kwadraty (narzędzie Wielokąt foremny; w przypadku wyboru błędnej kolejności punktów należy kliknąd Cofnij i tę kolejnośd zmienid). Zmieniając wartośd liczby n możemy się przekonad, że tylko w przypadku trójkąta prostokątnego pole trójkąta zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Możemy jeszcze wprowadzid teksty: Trójkąt prostokątny, Trójkąt ostrokątny oraz Trójkąt rozwartokątny. Klikamy Wstaw tekst, Formuła LaTeX i wpisujemy: Trójkąt\;prostokątny. Zaznaczamy w widoku grafiki jakiś punkt (np. N), w którym znajdował się będzie górny, lewy wierzchołek tekstu. We właściwościach tego tekstu określamy Położenie N, zaś

4 w Zaawansowane jako warunek wyświetlania obiektu wpisujemy Podobnie postępujemy dla każdego następnego tekstu (zawsze jako położenie wpisujemy N, aby tekst pojawiał się w tym samym miejscu). Po dopracowaniu konstrukcji efekt koocowy może byd następujący: Zaznaczając Ślad trójkątów niebieskich możemy uzyskad efekt następujący: Do tej pory na bokach trójkąta prostokątnego konstruowaliśmy kwadraty. A co będzie, gdy będziemy na nich konstruowad inne wielokąty foremne? Zacznijmy od trójkątów równobocznych, pięciokątów foremnych, sześciokątów foremnych, Wygląda to następująco:

5 Przy okazji przypomnijmy kwadraturę trójkąta. Odcinek EI jest bokiem kwadratu o polu równym polu trójkąta ABC (jeśli mamy utworzony odcinek, to odcinek o takiej samej długości tworzymy przy pomocy narzędzia Odcinek o określonej długości; w oknie dialogowym wpisujemy długośd, np. ).

6 Zwiększając liczbę boków wielokąta foremnego (100, 200, 700, ) upodobniamy go coraz bardziej do koła. Sprawdźmy więc, czy odpowiednia równośd pól zachodzi również wtedy, gdy na bokach trójkąta prostokątnego budujemy półkola. Używając GeoGebry półkole konstruujemy następująco: tworzymy Odcinek między dwoma punktami oraz jego środek, a następnie przy pomocy narzędzia Wycinek koła o danym środku i przechodzący przez dwa punkty tworzymy półkole (trzeba zwrócid uwagę na wybieraną kolejnośd punktów, aby półkole uzyskad po właściwej stronie odcinka). W następnej konstrukcji wykorzystujemy odcinek o stałej długości 10, który stanowi przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Tworzymy go przy pomocy narzędzia Odcinek o określonej długości: jeden koniec umieszczamy na osi y, a drugi na osi x (poleceniem Przesuo), jak to pokazuje poniższy rysunek. Można zauważyd, że punkty przecięcia się każdych dwóch kolejnych odcinków leżą na pewnej krzywej. Widad ją lepiej, gdy tych odcinków jest więcej, np. 40. W tym przypadku posłużymy się jednak bardziej zaawansowaną procedurą ich tworzenia. Na osiach układu współrzędnych tworzymy dwa prostopadłe odcinki o wspólnym koocu A: AB i AC, zaś w polu wprowadzania wpisujemy:

7 Ciąg[Odcinek[B+i*(A-B)/40,A+i*(C-A)/40],i,0,40] Efekt koocowy jest następujący: Wykonując tę procedurę dla pozostałych dwiartek (wykonuje się to dośd szybko, gdyż możemy wywoład w polu wprowadzania każdy poprzednio wprowadzony tekst i dokonad w nim niewielkich zmian), otrzymujemy: Jak nazywa się ta krzywa? Jest to asteroida. Na koniec rozważmy następujące Zadanie: Przedstawiony poniżej rysunek składa się z kwadratów i trójkątów prostokątnych. Bok największego kwadratu ma długośd 10 cm. Oblicz sumę pól wszystkich zacieniowanych kwadratów.

8 Nietrudno obliczyd, że suma pól wszystkich zacieniowanych kwadratów wynosi 100 cm 2. Skupimy się teraz na wykonaniu rysunku. Można go oczywiście tworzyd krok po kroku, ale zrobimy to znacznie szybciej korzystając z własnych narzędzi, na konstrukcję których pozwala GeoGebra. Będą to narzędzia Kwadrat i Trójkąt. Konstrukcja potrzebna do utworzenia własnego narzędzia Kwadrat. W widoku grafiki tworzymy odcinek o koocach A i B, następnie kreślimy prostą do niego prostopadłą przechodzącą przez punkt B, tworzymy okrąg o środku B i przechodzący przez punkt A. Zaznaczamy punkt przecięcia się prostej i okręgu. Dalej tworzymy dwie proste równoległe: równoległą do prostej b i przechodzącą przez punkt A oraz równoległą do odcinka a i przechodzącą przez punkt C. Zaznaczamy punkt przecięcia się narysowanych prostych i rysujemy kwadrat ABCD. Ukrywamy obiekty pomocnicze i etykiety obiektów. Ustawiamy kolor kwadratu na czarny, a przezroczystośd na 0. Teraz otwieramy Narzędzia Utwórz nowe narzędzie. Wybieramy kolejno:

9 Wybieramy wszystkie wierzchołki, gdyż dzięki nim będziemy dokładniej wykonywad rysunek do zadania. Klikamy Następny i mamy: Klikamy Następny i w nazwie narzędzia wpisujemy Kwadrat, zaś w pomocy do narzędzia Kliknij na dwa punkty. Klikamy Zakoocz i narzędzie mamy utworzone (można je zaraz sprawdzid!). Teraz czas na zapisanie nowego narzędzia. Klikamy ponownie Narzędzia i Menedżer narzędzi. W oknie dialogowym klikamy Zapisz jako i wpisujemy nazwę Kwadrat.ggt (rozszerzenie.ggt stosowad będziemy do narzędzi użytkownika). Od tej chwili możemy już używad naszego narzędzia. Otwieramy nowe okno GeoGebry i w menu Plik klikamy Otwórz. Wybieramy Kwadrat i klikamy Otwórz, by zaimportowad narzędzie do paska narzędzi okna GeoGebry (importowad można w trakcie tworzenia konstrukcji). Konstrukcja potrzebna do utworzenia własnego narzędzia Trójkąt. W widoku grafiki tworzymy odcinek o koocach A i B, następnie przy pomocy narzędzia Półokrąg wyznaczony przez dwa punkty tworzymy półokrąg AB, na którym wybieramy punkt C. Tworzymy trójkąt prostokątny ABC. Ukrywamy półokrąg i zmieniamy kolor trójkąta na czarny, a przezroczystośd na 0. Teraz otwieramy Narzędzia Utwórz nowe narzędzie. Wybieramy kolejno: Klikamy Następny i w Obiektach Wejścia pojawiają się Punkt A, Punkt B. Klikamy Następny i w nazwie narzędzia wpisujemy Trójkąt, zaś w pomocy do narzędzia Kliknij na dwa punkty. Klikamy Za-

10 koocz i narzędzie mamy utworzone. Zauważmy, że znów wybraliśmy wszystkie wierzchołki trójkąta, gdyż to ułatwi dokładne rysowanie. Wybierając Narzędzia i Menedżer narzędzi zapisujemy narzędzie jako Trójkąt.ggb. Będziemy mogli to narzędzie zaimportowad do paska narzędzi okna GeoGebry nawet w trakcie tworzenia konstrukcji. Wykonanie rysunku załączonego do zadania przy pomocy utworzonych własnych narzędzi nie przedstawia już trudności (wierzchołki ukrywamy przy pomocy polecenia Pokaż/Ukryj obiekt). Utworzone narzędzia można wykorzystywad wielokrotnie, np. do wykonania takiego rysunku, jak poniżej (używamy narzędzia Kwadrat i Środek).