GeoGebra dynamiczne oprogramowanie matematyczne 1

Transkrypt

1 dr Joanna Kandzia Nauczanie matematyki przez doświadczenia i eksperymenty, wykorzystanie TIK podczas zajęć dydaktycznych GeoGebra dynamiczne oprogramowanie matematyczne 1 Jest to dynamiczne oprogramowanie matematyczne, które łączy geometrię, algebrę oraz analizę matematyczną. W prosty sposób można wykonywać konstrukcje składające się z punktów, wektorów, odcinków, prostych, krzywych stożkowych, wykresów funkcji. Znajdować miejsca geometryczne punktów, wykonywać przekształcenia geometryczne, zadania statystyczne, używać jej jak arkusza kalkulacyjnego. GeoGebra pozwala animować obiekty, tworzyć własne narzędzia oparte na istniejącej konstrukcji.pracami nad tym oprogramowaniem zajmuje się Markus Hohenwarter wraz z międzynarodowym zespołem programistów. Jest ono ciągle udoskonalane. W wykładzie tym zostanie pokazanych kilka prostych zastosowań GeoGebry. Okno GeoGebry składa się z paska narzędzi, okna algebry, obszaru roboczego, pola wprowadzenia. Każdemu obiektowi w oknie geometrii odpowiada wyrażenie w oknie algebry i na odwrót. 1 Materiały znajdują się w publikacji J. Kandzia, Nowe metody nauczania w matematyce, Wydawnictwo WEMA, Warszawa 2012., s

2 Moduł 1 Rysunek 1. Okno GeoGebry Źródło: (materiały prezentacyjne) Wykaz konstrukcji Okrąg opisany na trójkącie Okrąg wpisany w trójkąt Zaznaczanie kątów Wielokąty Jednokładność Wstawianie obrazkawykres funkcjikonstrukcje można wykonywać używając myszy, z zastosowaniem pola wprowadzenia, lub stosując obie metody. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie ABC

3 Rysunek 2. Widok konstrukcji Źródło: opracowanie własne Konstrukcja z użyciem myszy wybieramy tryb: Wielokąt (dowolny) w obszarze roboczym tworzymy wierzchołki A, B i C zamykamy trójkąt klikając ponownie na A wybieramy tryb Symetralna konstruujemy dwie symetralne klikając na dwa boki trójkąta w trybie Przecięcie dwóch obiektów klikamy na obie symetralne wyznaczamy środek okręgu opisanego na trójkącie klikając prawym przyciskiem myszy można zmienić jego nazwę wybierając z menu kontekstowego odpowiednie polecenie Kończymy konstrukcję: wybieramy tryb Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt klikamy środek okręgu a potem dowolny wierzchołek trójkąta wybieramy tryb Przesuń używając myszy zmieniamy pozycję wierzchołków Wskazówki:

4 narzędzie cofnij dostępne z paska menu edycja umożliwia cofanie konstrukcji o jeden krok obiekty można ukrywać i ponownie wyświetlać klikając na nie prawym przyciskiem myszy, włączając i wyłączając (odhaczając) pokaż obiekt wygląd obiektów (kolor, styl linii,...) zmieniamy używając prawego przycisku myszy klikamy na obiekt, z menu kontekstowego wybieramy Właściwości w menu Widok ukrywamy lub wyświetlamy okno algebry, osie, siatkęaby przemieścić obszar roboczy wybieramy tryb Przesuń obszar roboczy łapiemy myszą i przesuwamy z menu Widok wyświetlamy okno protokół konstrukcji, zawierające listę wszystkich kroków konstrukcyjnychza pomocą klawiszy kursora można obejrzeć krok po kroku konstrukcję i modyfikować ją część elementów z listy można ukryć Konstrukcja z zastosowaniem pola wprowadzenia z menu Plik wybieramy Nowy wpisujemy poniższe polecenia, naciskając po każdej linii - Enter A = (2, 1) B = (12, 5) C = (8, 11) Wielokąt[A, B, C] k = SymetralnaOdcinka [a] l = SymetralnaOdcinka [b] M = Przetnij[k, l] Okrąg [M, A] Wskazówki: nie każde polecenie musi być wprowadzane z klawiatury można polecenia wybierać z listy znajdującej się po prawej stronie pola wprowadzania klikając na przycisk Wprowadź aktywujemy tryb pole wprowadzania w tym trybie można kliknąć na obiekt w oknie algebry lub w obszarze roboczym a nazwa obiektu zostanie skopiowana do pola wprowadzania Styczna do okręgu Konstrukcja okręgu o środku w punkcie 0 = (4, 3) i promieniu r = 4 i stycznych do niego przechodzących przez punkt A = (-2, -1).Równanie okręgu: (x 4) 2 + (y 3) 2 = 16

5 Rysunek 3. Styczna do okręgu Źródło: opracowanie własne Konstrukcja z użyciem myszy i wprowadzenia pola do pola wprowadzania tekstu wpisujemy równanie okręgu o: (x - 4)² + (y - 3)² = 16 akceptujemy Enterem (znak 2 wybieramy z listy znaków pomocniczych) wprowadzamy i zatwierdzamy O = Środek[o] konstruujemy punkt A - wpisujemy A = (-2, -1) uruchamiamy tryb Styczna klikamy punkt A i okrąg o wybieramy: Przecięcie dwóch obiektów i zaznaczamy punkty styczności wybieramy tryb Przesuń chwytamy i przemieszczamy punkt A, obserwując jak przemieszczają się styczne można przemieszczać okrąg obserwując jego równanie w oknie algebry Zumowanie zawartości okna: klikamy prawym przyciskiem myszy w pustym miejscu obszaru roboczego z menu kontekstowego wybieramy pożądane powiększenie równanie okręgu możemy zmodyfikować bezpośrednio w oknie algebry poprzez podwójnie klikając na równaniu

6 Okrąg wpisany w trójkąt Rysunek 4. Okrąg wpisany w trójkąt Źródło: opracowanie własne Konstrukcja: wyznaczamy punkty A, B, C rysujemy dwusieczną kąta klikamy na sąsiednie boki ukrywamy pomocnicze proste (lewy przycisk myszy) wstawiamy punkt przecięcia obiektów środek okręgurysujemy prostą prostopadłą do jednego z boków przechodzącą przez środek okręgu wpisujemy okrąg w menu Edycja wybieramy Właściwości zmieniamy kolor, styl, grubość, wypełnienie Miary kątów nie znamy miary kąta klikamy na dwie proste, kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara (orientację kąta można również zmienić we właściwościach)kąt o danej mierze zaznaczamy dwa punkty np. A i B, w polu tekstowym wpisujemy miarę kąta

7 Wielokąt, jednokładność rysujemy wielokąt (dowolny) liczymy pole wielokąta klikamy pole i wskazujemy obiekt przekształcamy wielokąt przez jednokładność o środku w danym punkcie - F i danej skali klikamy myszką lub wpisujemy w pole wprowadzenia: Jednokładność[Wielokąt[A,B,C,D,E],-2,F] Rysunek 5. Wielokąt i jednokładność Źródło: opracowanie własne Wstawianie obrazu w pasku narzędzi klikamy w ABC wybieramy wstaw obraz w okienku dialogowym pojawi się możliwość wyboru obrazka z plików Położenie obrazka: w menu Edycja wybieramy właściwości w zakładce położenie okienka dialogowego wybieramy położenie obrazka w zakładce style możemy ustawić przeźroczystość

8 Rysunek 6. Wstawiony obrazek Źródło: opracowanie własne Widok arkusza każda komórka ma swoją nazwę jak w arkuszu kalkulacyjnym można wprowadzać liczby, wszystkie typy obiektów matematycznych (współrzędne punktów, funkcje, polecenia) jeżeli to możliwe, graficzna prezentacja obiektu pojawia się w Widoku Grafiki domyślne obiekty są klasyfikowane jako Obiekty Pomocnicze w Widoku Algebry można je ukryć wybierając Obiekty Pomocnicze z menu Widok Pochodna i styczna do wykresu funkcji rysujemy wykres funkcji f(x) = sinx wyznaczamy styczną do wykresu funkcji w danym punkcie A oraz trójkąt nachylenia

9 Rysunek 7. Wykres funkcji, pochodna i styczna do wykresu funkcji Źródło: opracowanie własne Konstrukcja: wpisujemy f(x) = sin(x) do pola wprowadzania wybieramy tryb Nowy punkt klikamy na funkcję f tworzymy punkt A na f wybieramy tryb Styczna i kliknij na punkt A a następnie na funkcję f zmieniamy nazwę stycznej na t wprowadzamy polecenie s = Nachylenie[t] wybieramy tryb Przesuń, chwytamy myszą punkt A i przemieszczamy go obserwując ruch stycznej wprowadzamy tekst B = (x(a), s) włączamy ślad dla tego punktu (prawy przycisk myszy na B i wybieramy ślad włączony) wybieramy tryb Przesuń i z użyciem myszy przemieszczamy punkt A punkt B zostawi ślad wpisujemy polecenie Pochodna[f] Można teraz wprowadzić inną funkcję, np.: f(x) = x4 2x3 do pola wprowadzania, pojawi się jej pochodna i styczna. Inny sposób konstrukcji:f(x) = sin(x) a = 2

10 T = (a, f(a)) t = Styczna[a, f] s = Nachylenie[t] B = (x(t), s) Pochodna[f] wybieramy tryb Przesuń klikamy na liczbę a możemy zmienić wartość a używając klawiszy sterowania kursorem (klawisze ze strzałkami) w tym samym czasie punkt T i styczna przemieszczają się wzdłuż wykresu funkcji f Suwaki: Można zmieniać wartości a przy użyciu suwaka: w oknie algebry klikamy na obiekcie prawym przyciskiem myszy i wybieramy pokaż obiekt Wskazówka: suwak jak i klawisze sterowania kursorem są bardzo przydatne do badania parametrów, np. p i q funkcji f(x) = x² + p x + q. Moduł 2 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. 1. Otwórz nowy plik GeoGebra. 2. Wstaw Suwak dla liczby a: przedział -5 do 5, krok 0,1. 3. W Polu wprowadzania wpisz funkcję w postaci h(x) = a*x². 4. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby a. 5. Wstaw Suwak dla liczby b: przedział -10 do 6, krok 0,5. 6. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby b. 7. Wstaw Suwak dla liczby c: przedział -5 do 7, krok 0,5. 8. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby c. 9. W Polu wprowadzania wpisz funkcję w postaci f(x) = a*(x b)² + c. 10. Przy włączonej opcji Przesuń sprawdź poprawność działania konstrukcji, używając odpowiednich Suwaków. 11. Wstaw tekst (w polu wprowadzania): f(x)= +f. Jego wprowadzenie powoduje wyświetlanie się wzoru funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia. 12. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz w polu tekstowym ) Opis tekst, który będzie się wyświetlał jako nazwa dla pola wyboru, np. wzór otrzymanej funkcji. Z rozwijalnej listy wybierz obiekt odpowiadający wpisanemu w

11 punkcie 11 tekstowi. Widoczność tego obiektu ( wzoru funkcji kwadratowej ) kontrolowana będzie przez Pole wyboru. 13. W Polu wprowadzania wpisz współrzędne wierzchołka paraboli: W = (b,c). Spowoduje to wyświetlenie się punktu W na paraboli. 14. Wstaw tekst (w polu wprowadzania): W= +W. Jego wprowadzenie powoduje wyświetlanie się współrzędnych wierzchołka W paraboli. 15. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz w polu tekstowym Podpis tekst, który będzie się wyświetlał jako nazwa dla pola wyboru, np. wierzchołek paraboli. Z rozwijalnej listy wybierz obiekty odpowiadające punktowi W na paraboli oraz tekstowi wyświetlającemu współrzędne tego punktu. 16. Wstaw prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt W (oś symetrii paraboli). (Powtarzając kolejne punkty konstrukcji od 13 do 15, wstaw Pole wyboru kontrolujące wyświetlanie się osi symetrii paraboli i jej wzoru, jak poniżej). 17. W Polu wprowadzania wpisz x=b. Jest to wzór na oś symetrii paraboli. 18. Wstaw tekst: x= +b. 19. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz w polu tekstowym : Oś symetrii paraboli. Z rozwijalnej listy wybierz obiekt odpowiadający osi. 20. Używając Właściwości poszczególnych obiektów, dopracuj konstrukcję pod względem estetycznym. 21. Po sprawdzeniu poprawności działania konstrukcji osadź wszystkie obiekty.

12

13 Moduł 3 Zastosowanie GeoGebry w nauczaniu statystyki 1. Otwórz nowy plik GeoGebry. 2. W pasku narzędzi Widok kliknij Widok arkusza. 3. W pola A1 wpisz 1, do A2 wpisz 2 itd. aż do pola A6 wpisz tam Zaznacz pole A7 i kliknij w. W polu wprowadzania, które się wyświetliło, wpisz: Średnia[A1:A6] i naciśnij Enter. W polu A7 pojawiła się średnia arytmetyczna liczb ze zbioru {1,2,3,4,5,6}. 5. Teraz w głównym Polu Wprowadzania GeoGebry wpisz polecenie: Moda[1,2,2,3,4,5,6] 6. W Polu Wprowadzenia wpisz polecenie Mediana[1,2,2,3,4,5,6] 7. Teraz używając trzykrotnie narzędzia Wstaw tekst, wstaw teksty: 1) Średnia arytmetyczna = 2) Dominanta = 3) Mediana = 8. Następnie znów trzykrotnie użyj narzędzia Wstaw tekst, a oknie które się pojawi wybierz Obiekty a z nich wybierz A7, za drugim razem wybierz Obiekty-> lista1, za trzecim razem wybierz Obiekty->b. 9. Kliknij Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W opisie wpisz Średnia, dominanta, mediana: a z listy wybierz wszystkie teksty od tekst1 do tekst W Polu Wprowadzania wpisz DiagramKolumnowy[-4,1,{1,2,3,4,5}] 11. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne miejsce -> właściwości -> kolor. 12. W Polu Wprowadzenia wpisz DiagramKolumnowy[{3,4},2] 13. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne miejsce -> właściwości -> kolor 14. W polu wprowadzenia wpisz WykresPudełkowy[2,3,{6,7,8,8,8,8,8,10,10,11}] 15. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne miejsce -> właściwości -> kolor 16. Ukryj etykiety dla powstałych diagramów. 17. Dopracuj konstrukcję pod względem wizualnym.

14 Moduł 4 Zastosowanie kątów środkowych i wpisanych Przypomnienie zależności między kątem wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku Nr Nazwa Definicja Uwagi 1 Punkt O Drugie okienko na pasku narzędzi»nowy punkt» Umieszczamy na obszar roboczy»(prawy klawisz) Zmień nazwę» O 2 Punkt K 3 Okrąg c Okrąg przez K o środku O Szóste okienko paska narzędzi»okrąg o danym środku przechodzący przez punkt»zaznaczamy środek okręgu O a następnie punkt K 4 Punkt L Punkt na c Drugie okienko»punkt na obiekcie»zaznaczamy dowolny punkt na c 5 Łuk e ŁukOkręgu[O,K,L] Pole wprowadzania» ŁukOkręgu[O,K,L]»Właściwości»Nazwa,Kolor, Pokaż etykietę 6 Łuk d ŁukOkręgu[O,L,K]

15 7 Punkt A Punkt na e 8 Punkt B Punkt na d 9 Czworobok poly Wielokąt A,K,B,L Pole wprowadzania»poly=wielokąt[ <Punkt>,..., <Punkt> ] 10 Odcinek_a Odcinek[A,K] z Czworobok poly Pole wprowadzania»odcinek_a=odcinek[ <Punkt>, <Punkt> ]»Właściwości»Pokaż etykietę 11 Odcinek_k Odcinek[K,B] z Czworobok poly 12 Odcinek_b Odcinek[B,L] z Czworobok poly 13 Odcinek_l Odcinek[L,A] z Czworobok poly 14 Kąt β Kąt pomiędzy K, B, L Po prawej stronie pola wprowadzania wybieramy symbol β» β= Kąt[ <Punkt>, <Wierzchołek>, <Punkt> ] 15 Kąt α Kąt pomiędzy L, A, K 16 Odcinek f Odcinek[O,K] 17 Odcinek g Odcinek[O,L] 18 Kąt γ Kąt pomiędzy K,O,L 19 Kąt δ Kąt pomiędzy L,O,K 20 Tekst α+β= +α+ + +β+ = +(α+β) W polu wprowadzania lub wstaw tekst 21 Tekst Jaka jest zależność między kątami wpisanymi opartymi na łukach dopełniających się? 10 okienko»wstaw tekst

16 Literatura Kandzia J., Nowe metody nauczania w matematyce, Wydawnictwo WEMA, Warszawa 2012., Winkowska-Nowak K., Pobiega E., Skiba R. (red.), GeoGebra: wprowadzenie innowacji edukacyjnej, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toruń (materiały prezentacyjne) [ ] [ ]