Klasyczny rachunek zdań

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ 8 Klasyczny rachunek zdań Prezentacja osiągnięć logiki w tej części książki ma charakter autorski jak zresztą każda prezentacja już chociażby przez sam układ materiału, wyeksponowanie pewnych tematów, a zepchnięcie na drugi plan innych. Każda taka prezentacja związana jest z pewną interpretacją, którą autor ma na myśli, z jego własnym rozumieniem tematu w tym wypadku logiki jako pewnej całości. Dlatego bez wahania dodałem komentarze stanowiące już sugestię pewnej interpretacji, przygotowujące grunt pod moją odpowiedź na pytania: do czego jest lub może być przydatna logika i jakie powinny być jej dalsze kierunki rozwoju. Winienem jednak w tym miejscu wyraźne ostrzeżenie, że komentarze nie stanowią jeszcze powszechnie akceptowanych wyjaśnień i u innych autorów wyjaśnienia te bywają inne, często znacznie bardziej skomplikowane. Staram się na to zwrócić uwagę w odpowiednich miejscach, jak i na różnorodność terminologii, tak żeby ktoś sięgający do innych źródeł miał łatwość porównania Sylogistyka Najsłynniejszym osiągnięciem Arystotelesa w dziedzinie logiki jest sformułowanie pewnych niezawodnych schematów wnioskowania, zwanych sylogizmami. Przykładowo, jeden z sylogizmów wygląda tak: Jeśli wszystkie N są M i wszystkie M są P, to wszystkie N są P. Zgodnie z tym schematem, jeśli wiemy że wszystkie wieloryby są ssakami, a wszystkie ssaki są kręgowcami, to możemy wnioskować (niezawodnie), że wszystkie wieloryby są kręgowcami. Arystoteles sformułował 24 takie sylogizmy i pokazał, że można je wyprowadzić z dwóch podstawowych, które nazwał doskonałymi. Był to zaczątek systemu aksjomatycznego. Oprócz niezawodnych schematów wnioskowania można rozważać też zawsze prawdziwe schematy zdań. Najprostszym takim schematem jest tzw. prawo wyłączonego środka. Każde zdanie postaci Albo A, albo nieprawda, że A, gdzie A jest dowolnym zdaniem, jest zawsze prawdziwe, bez względu na to, jakie konkretne zdanie podstawimy za zmienną A, byle miało on jasno określoną wartość logiczną. Na przykład, prawdziwe jest zdanie złożone według tego schematu, że Albo Arystoteles urodził się w 384 roku przed naszą erą, albo nieprawda, że Arystoteles urodził się w 384 roku przed naszą erą. Nawet gdy nie jesteśmy pewni kiedy urodził się Arystoteles, gdy nie umiemy już tego sprawdzić, wiemy, że powyższe zdanie jest z pewnością prawdziwe. Niezawodne schematy wnioskowania zawierające spójniki zdaniowe rozważali już stoicy. Przykładem takiego schematu, niebędącego sylogizmem, jest następujące wnioskowanie: Jeśli prawdziwe jest zdanie postaci A lub B i prawdziwe jest zdanie Nieprawda, że A, to możemy wnioskować niezawodnie, że prawdziwe jest zdanie B. Sylogistyka Arystotelesa wraz z towarzyszącymi jej zasadami definiowania i innymi osiągnięciami logiki starożytnej były przez wiele wieków, w prawie niezmienionej formie, podstawą nauczania logiki w szkołach. Dopiero w wieku XIX podjęto próbę skodyfikowania wszystkich niezawodnych schematów wnioskowania, a przynajmniej wszystkich niezbędnych w matematyce. Próba ta zakończyła się pełnym sukcesem, a wprowadzona wraz z nią metoda formalna doprowadziła do niezwykłego w dziejach rozwoju logiki, metodologii i filozofii nauki, który bez przesady można nazwać złotym wiekiem logiki. 5

2 8. Klasyczny rachunek zdań Rachunek zdań Podstawą współczesnej logiki jest rachunek zdań. Podstawowymi obiektami tego rachunku są dowolne zdania oznajmujące sformułowane na tyle ściśle, że można im przypisać cechę prawdziwości lub fałszywości. Zdania takie nazywamy bardziej precyzyjnie zdaniami logicznymi. Samo znaczenie zdań nie gra tu roli; ważne jest jedynie to, że każdemu z rozważanych zdań można przypisać wartość logiczną Prawdy lub Fałszu, które logicy często oznaczają symbolami, 1 dla Prawdy i 0 dla Fałszu. Nieważne też jest, czy aktualnie umiemy rozstrzygnąć prawdziwość lub fałszywość zdania; ważne jest, że przekonani jesteśmy, że jedna z tych cech danemu zdaniu przysługuje. Zdania logiczne oznacza się zwykle pojedynczymi literami, na przykład p,q,r. Przedmiotem rachunku są zdania złożone, budowane ze zdań podstawowych za pomocą tzw. spójników logicznych, takich jak i, lub, nieprawda, że i tym podobnych. Dla przejrzystości zapisu spójniki te oznacza się symbolami:,, itp. Przykładowo, zapis p q przedstawia zdanie: p lub nieprawda, że q, gdzie p i q reprezentują dowolne zdania logiczne. Dla jednoznaczności zapisu posługujemy się nawiasami (tak jak w arytmetyce). Na przykład zapis (p q) oznacza zaprzeczenie całego poprzedniego zdania złożonego. Warto zauważyć, że w codziennym języku trudno już takie złożone zdanie wypowiedzieć bez narażania się na dwuznaczność: nieprawda, że p lub nieprawda, że q można zrozumieć jako wypowiedzenie zdania p q; trzeba więc wyjaśnić, że ma się na myśli zaprzeczenie całego zdania złożonego. Sam zapis z nawiasami jest jednak jednoznaczny i w matematyce często tego typu zdań złożonych się używa. Jest to zresztą jeden z powodów, dla którego w logice przyjęto w końcu całkowicie symboliczny, matematyczny sposób zapisu. Głównym celem rachunku zdań jest znalezienie metod, które na podstawie wartości logicznych zdań składowych pozwoliłyby, możliwie skutecznie, ustalać wartość logiczną zdań złożonych Koniunkcja i alternatywa Zaczynamy od najprostszych zdań złożonych. Zdanie p q czytamy p i q i nazywamy koniunkcją (zdań p i q). Zgadzamy się, że jest ono prawdziwe (ma wartość logiczną 1), jeśli oba zdania składowe są prawdziwe. Natomiast jeśli choć jedno ze zdań składowych, p lub q, jest fałszywe (ma wartość logiczną 0), to całe zdanie p q jest fałszywe. W istocie rzeczy określiliśmy tu precyzyjnie sposób użycia spójnika, zdefiniowaliśmy znaczenie, w jakim go używamy (lub zamierzamy od tej pory używać). Bardziej algebraicznie można uczynić to w postaci następującej tabelki: p q p q Spójnik traktowany tu jest jak działanie na wartościach logicznych 0, 1; w zależności od wartości składowych mamy odpowiedni wynik. (W tym szczególnym przypadku pokrywa się to nawet ze zwykłym działaniem mnożenia na wartościach 0,1). Pewien kłopot pojawia się już w przypadku alternatywy, tzn. zdania postaci p q, które czytamy p lub q. Jak zamierzamy rozumieć spójnik : w sposób ekskluzywny, czy inkluzywny? Czy jeśli oba zdania p i q są prawdziwe, to p q jest prawdziwe, czy fałszywe? Faktem jest, że w potocznym języku te użycia bywają różne. Odpowiedź (moja) jest następująca. Uczyniliśmy już jedno ograniczenie w stosunku do języka potocznego, a mianowicie, że rozważamy tylko zdania, którym można przypisać jednoznaczną wartość logiczną: Prawdy lub Fałszu. Uczynimy następne: będziemy rozważać tylko takie spójniki, których znaczenie zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań składowych (w filozofii mówi się, że są to funktory ekstensjonalne). Możemy wprowadzić do systemu dwa różne spójniki: lub-ekskluzywne i lub-inkluzywne, ale oba muszą mieć stałe, jednoznacznie zdefiniowane znaczenie. Te i inne wprowadzane ograniczenia mogą się wydawać czytelnikowi bardzo radykalne. Przyjmijmy więc, że jest to tymczasowe (robocze) ograniczenie. Zobaczmy, jak wiele osiągnąć można przy takim ograniczeniu,

3 8. Klasyczny rachunek zdań 7 a później ewentualnie zastanowimy się jak je przezwyciężyć. (Przekonamy się, że osiągnąć można zaskakująco wiele). A zatem przyjmiemy na razie takie znaczenie spójnika lub, które dyktuje praktyka matematycznych rozumowań. Zgodnie z tym, zdanie p q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy chociaż jedno ze zdań p,q jest prawdziwe. Tabelka alternatywy wygląda następująco: p q p q (Jest to więc działanie zwykłego dodawania, z tym wyjątkiem, że 1 1 = 1) Implikacja Dyskusję na temat możliwych definicji alternatywy przeprowadziliśmy po to, żeby czytelnikowi łatwiej było pogodzić się ze znaczeniem, które logicy nadali spójnikowi implikacji, naśladując praktykę matematycznych dowodów. Implikację p q czytamy Jeśli p, to q i przyjmujemy że jest ona fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy p (zwane poprzednikiem implikacji) jest prawdziwe, a q (zwane następnikiem implikacji) jest fałszywe. Z prawdy nie może wynikać fałsz, natomiast z fałszu może wynikać wszystko, także prawda. Taką definicję implikacji wprowadzili już stoicy. Prawidłowość tej definicji ma bogatą historię filozoficznych sporów i prób naprawienia tego, co wielu filozofów określało mianem paradoksu implikacji. Raził fakt, że takie zdanie jak Jeśli = 3, to ja jestem papieżem logicy uznają za prawdziwe. Jednakże odpowiedź biorąca pod uwagę obecny stan wiedzy jest (moim zdaniem) zupełnie prosta: Taką przyjmujemy konwencję. Pokażemy, że doskonale pasuje ona do praktyki matematycznych rozumowań. Nie twierdzimy, że obejmuje ona wszelkie znaczenia, jakie tego typu implikacyjnym wyrażeniom nadaje język potoczny. Więcej na podstawie dotychczasowych doświadczeń wątpimy, czy implikację można ściśle zdefiniować w jakiś inny sposób, taki, który okazałby się rzeczywiście korzystny w praktyce innych niż matematyczne rozumowań. Sposoby użycia okresu warunkowego Jeśli... to... w języku potocznym nie wydają się ścisłe, nie zawsze mają charakter ekstensjonalny i w dużym stopniu zależą od kontekstu (do tego problemu jeszcze wrócimy). Tabelka implikacji używanej przez matematyków wygląda następująco: p q p q Negacja Spójnik negacji, którego znaczenie teraz określimy, nie jest spójnikiem w potocznym sensie tego słowa, ponieważ nie łączy dwóch zdań, lecz odwraca sens pojedynczego zdania. Jest on funktorem jednoargumentowym, w przeciwieństwie do dotychczasowych funktorów dwuargumentowych. Zdanie p czytamy Nieprawda, że p lub krótko Nie-p i przyjmujemy, że jest ono prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe. Tabelka negacji jest więc następująca: p p Żeby przekonać niedowiarków, że z fałszu wynika wszystko, B. Russell wymyślił następujący dowód zdania Jeśli 2+2 = 3, to ja jestem papieżem : Papież i ja to dwie różne osoby. Jeśli 2+2 = 3, to po odjęciu dwóch od obu stron, otrzymujemy 2 = 1. Czyli, dwie osoby to jedna osoba. Wynika stąd, że papież i ja to jedna osoba. A zatem jestem papieżem.

4 8. Klasyczny rachunek zdań Inne spójniki Moglibyśmy zdefiniować jeszcze inne spójniki logiczne, ale tego nie uczynimy, ponieważ okazało się że wszelkie inne spójniki logiczne (ekstensjonalne) można zdefiniować za pomocą tych już wprowadzonych. Przykładowo, możemy przyjąć, że zapis x y jest skrótem wyrażenia (x y) (x y). Wówczas x y jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań p lub q jest prawdziwe (czyli zdefiniowany w ten sposób nowy spójnik odpowiada tzw. ekskluzywnemu lub ). Można to łatwo sprawdzić, podstawiając wszelkie możliwe kombinacje wartości 0, 1 za p i q i posługując się tabelkami zdefiniowanymi powyżej. Sprawdzenie takie ma wówczas charakter pewnego prostego rachunku, podobnego w swej naturze do rachunków algebraicznych. Na przykład, dla wartości p = 1 i q = 1 wyliczamy 1 1 = (1 1) (1 1) = 1 1 = 1 0 = 0. Przeprowadzając analogiczny rachunek dla pozostałych kombinacji logicznych wartości, otrzymamy w rezultacie następującą tabelkę: p q p q potwierdzającą to, co twierdziliśmy powyżej. Wspomniany tu fakt możliwości zdefiniowania innych spójników logicznych dotyczy również spójników wieloargumentowych: wszelką funkcję n-argumentową na zbiorze wartości logicznych {0, 1} można wyrazić za pomocą już zdefiniowanych spójników. Ma to przełożenie na fakt w dziedzinie elektroniki, że wszelkie realizacje tego typu funkcji można zbudować z wybranego zestawu przełączników (tzw. bramek logicznych) Metoda zero-jedynkowa Podobnie jak wyżej, można obliczyć wartości logiczne dowolnego schematu zdania złożonego przy wszelkich możliwych wartościach zdań składowych. Dla przykładu obliczymy wartości logiczne schematu (p q) ((r p) (r q)). W tabelce poniżej sprawdzamy wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych dla zdań składowych p, q, r. Używając jako definicji wcześniej danych tabelek zwanych tabelkami prawdziwościowymi (truth tables) wykonujemy obliczenia tak jak poprzednio. (W tabeli dla ułatwienia podane są wyniki obliczeń częściowych). A B C D Wynik p q r p q r p r q B C A D

5 8. Klasyczny rachunek zdań 9 Jeśli, tak jak w powyższym przykładzie, wyjdzie nam, że przy wszelkich podstawieniach końcowym rezultatem jest 1 (Prawda), oznacza to, że do czynienia mamy ze schematem zdania zawsze prawdziwym. Takie schematy zdaniowe nazywa się prawami logicznymi lub tautologiami. Wynika stąd, że istnieje prosta metoda (algorytm) sprawdzania, czy dane wyrażenie rachunku zdań (schemat zdania złożonego) jest prawem logicznym, czy nie: należy sporządzić odpowiednią tabelkę i sprawdzić wszystkie możliwe kombinacje (podstawienia zer i jedynek za zmienne odpowiadające zdaniom składowym). Metoda ta nosi nazwę metody zero-jedynkowej lub metody matrycowej. Tu trzeba dodać, że istnieje też algorytm sprawdzający, czy dane wyrażenie jest poprawnym wyrażeniem rachunku zdań, do czego jeszcze wrócimy. Na razie poprzestańmy na ogólnikowo rozumianym stwierdzeniu, że posiadamy efektywną metodę wyznaczenia wszystkich tautologii rachunku zdań (schematów zdań zawsze prawdziwych).

6 8. Klasyczny rachunek zdań Schematy wnioskowań Rozważmy teraz drugie zasadnicze zagadnienie: wyznaczenie wszystkich niezawodnych schematów wnioskowań (w rachunku zdań). Chodzi o schematy postaci takiej jak: p q, q, p który reprezentuje symbolicznie wspomniany juz wcześniej schemat: jeśli prawdziwe jest zdanie postaci p lub q oraz prawdziwe jest zdanie postaci nie q, to możemy wnioskować niezawodnie, że prawdziwe jest zdanie p. Ogólnie chcemy wyznaczyć wszelkie schematy postaci A 1,...,A n B gdzie A 1,A 2,...,A n i B są schematami zdań złożonych, o tej własności, że jeśli po podstawieniu za zmienne konkretnych zdań logicznych wszystkie zdania A 1,A 2,...,A n (zwane przesłankami wnioskowania) są prawdziwe, to prawdziwe jest również zdanie B (zwane konkluzją wnioskowania). Oczywiście, zwykle zdanie B jest jakoś powiązany z przesłankami (tak jak w początkowym przykładzie). Zauważmy jednak, że jeśli jako B weźmiemy jakiś schemat zdaniowy zawsze prawdziwy (czyli tautologię), to bez względu na wybór przesłanek otrzymamy niezawodny schemat wnioskowania postaci cokolwiek B (Jako cokolwiek możemy wziąć po prostu pusty zbiór przesłanek). Wydawałoby się więc, że zagadnienie wyznaczenia niezawodnych schematów wnioskowań jest znacznie szersze niż poprzednie wyznaczenia wszystkich tautologii. Jest jednak również w pewnym sensie odwrotnie. Jeśli bowiem A 1,...,A n B jest niezawodnym schematem wnioskowania, to schemat zdaniowy jest tautologią. A 1 A 2... A n B Przekonuje o tym proste rozumowanie. Implikacja może być fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy (wynika to z przyjętej tabelki implikacji). Z definicji koniunkcji wynika, że zdanie A 1 A 2... A n jest prawdziwe tylko wtedy, gdy wszystkie składowe A 1,A 2,...,A n są prawdziwe. Ale wówczas, na mocy rozważanego schematu wnioskowania, wnioskujemy, że B jest prawdziwe. A więc nasza implikacja nie może być fałszywa. Okazuje się zatem, że nasze zadanie wyznaczenia wszystkich schematów niezawodnych wnioskowań można sprowadzić do wyznaczenia pewnego rodzaju praw logicznych (implikacji) i na odwrót: zadanie wyznaczenia wszystkich praw logicznych B można sprowadzić do wyznaczenia wszystkich schematów wnioskowania postaci Ø B z pustym zbiorem przesłanek (symbol Ø oznacza zbiór pusty; schemat taki otrzymujemy ze schematu rozważanego wcześniej, w miejsce cokolwiek wstawiając Ø). A więc, jak się okazuje, mamy tu do czynienia z dwoma aspektami jednego zagadnienia. Zrozumienie tego, że niezawodne schematy wnioskowań i zawsze prawdziwe schematy zdań to dwie strony tego samego medalu, jest jednym z istotnych osiągnięć współczesnej logiki. Zauważmy, że zasadniczą rolę odgrywa tu właściwa definicja implikacji. Wyraża ona właśnie to, co chcieliśmy: gdy mówimy: Jeśli A, to B, to mamy na myśli, że z A wynika dedukcyjnie B (innymi potocznymi znaczeniami słowa jeśli zajmiemy się później). W szczególności metoda zero-jedynkowa sprawdzania, czy dany schemat zdaniowy jest tautologią, może też służyć do sprawdzania, czy dany schemat wnioskowania jest poprawny. Pominęliśmy tu techniczną komplikację, jaką jest konieczność uprzedniego zdefiniowania zdania A 1 A 2 A 3 bez nawiasów: czy mamy na myśli (A 1 A 2 ) A 3, czy też A 1 (A 2 A 3 ). Dowodzi się, że te dwie funkcje logiczne (trzyargumentowe) są identyczne: przyjmują wartość 1 tylko wtedy, gdy wszystkie trzy zmienne mają wartość 1, czyli że układ nawiasów w tym przypadku nie gra roli. Podobnie jest dla koniunkcji dowolnej ilości zmiennych. Dlatego w tego typu wyrażeniach nawiasy można pomijać..,

7 8. Klasyczny rachunek zdań Inne ujęcia Trzeba wyraźnie podkreślić, że to, co zaprezentowałem, jest tylko jednym z wielu możliwych ujęć klasycznego rachunku zdań. Przede wszystkim stosuje się różnego rodzaju odmienną symbolikę (np. & zamiast, zamiast itp.) Istnieje opracowana przez J. Łukasiewicza notacja beznawiasowa, stosowana zresztą dzisiaj w informatyce, mało jednak czytelna dla ludzi (np. CApqr oznacza w tej notacji (p q) r, a ApCqr oznacza p (q r)). Można wybrać inny zestaw wyjściowych (pierwotnych) spójników. Do zdefiniowania wszystkich spójników wystarczy, na przykład, koniunkcja i negacja. Jednakże, dla większej przejrzystości używa się jako wyjściowych wszystkich czterech zdefiniowanych powyżej spójników, a nawet zwykle dodaje się do tego spójnik równoważności (obustronną implikację), oznaczaną p q, a czytaną p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Na mocy definicji wartość logiczna p q wynosi 1 wtedy, gdy wartości logiczne p i q są jednakowe, oraz wynosi 0, gdy wartości logiczne p i q są różne. Często rachunek zdań prezentuje się jako system aksjomatyczny (metodę takiej prezentacji zastosujemy dalej dla rachunku kwantyfikatorów). Jednakże wszystkie te ujęcia i systemy, którym nadaje się wspólne miano klasycznego rachunku zdań, są równoważne w tym sensie, że wyznaczają dokładnie tę samą klasę praw logicznych, a co za tym idzie te same schematy poprawnego wnioskowania. Wśród najsłynniejszych propozycji logiki nieklasycznej jest zwiększenie ilości wartości logicznych do trzech lub większej ilości; logikami nieklasycznymi zajmiemy się jednak później.

8 ROZDZIAŁ 9 Pełna formalizacja Rachunek zdań, nawet gdy uzupełniony sylogistyką, nie wystarcza do ścisłego ujęcia wszystkich rozumowań matematycznych. Niezbędne okazało się wprowadzenie zmiennych oznaczających obiekty i specjalnych symboli,, zwanych kwantyfikatorami, umożliwiających tworzenie dowolnych konstrukcji ze słowami wszystkie i pewne (sylogistyka rozważała tylko niektóre konstrukcje z tymi słowami). Niezbędna okazała się pełna formalizacja języka i rozumowań. Doprowadziła ona do sformułowania i opisania drugiej części logiki klasycznej, bardziej zaawansowanej, zwanej rachunkiem kwantyfikatorów lub rachunkiem predykatów Kwantyfikatory We współczesnej logice, wzorem złożonych zdań matematycznych, zamiast słów wszystkie i pewne zaczęto używać zamiennie słów każdy oraz istnieje. Zapis xp(x) czytamy istnieje (obiekt) x taki, że P(x) lub pewien x ma własność P(x), natomiast zapis xp(x) czytamy dla każdego (obiektu) x zachodzi P(x) lub wszystkie x spełniają P(x). Pierwszy z występujących tu symboli kwantyfikatorów nazywamy kwantyfikatorem egzystencjalnym (lub szczegółowym), a drugi kwantyfikatorem uniwersalnym (lub ogólnym). Zmienne oznaczające obiekty okazały się potrzebne do tego, żeby móc wygodnie i przejrzyście zapisywać zdania złożone z wieloma kwantyfikatorami. Takie zdania pojawiły się w matematyce, na przykład przy dokładniejszej analizie pojęcia granicy ciągu. Mówimy, że ciąg liczbowy nieskończony (a 1,a 2,a 3,...) ma granicę g, jeśli dla każdej (dowolnie małej) liczby ε > 0 istnieje takie N (odpowiednio duże), że dla każdego n > N wyrazy a n są oddalone od g o mniej niż ε. Symbolicznie ε N n ((ε > 0) (n > N) a n g < ε). Przy tak złożonych zdaniach zapis symboliczny pomaga nam w uzmysłowieniu sobie sensu zdania i wyciąganiu z niego prawidłowych logicznych wniosków. Kwantyfikatory zostały więc wprowadzone z całkiem praktycznych powodów. Jednocześnie jednak uświadomiono sobie, że sylogistyka nie wyczerpuje logiki słów wszystkie i pewne. Wraz z kwantyfikatorami pojawiły się nowe reguły niezawodnego wnioskowania: np. z faktu, że xp(x) wywnioskować można niezawodnie, że x P(x) (jeśli nieprawdą jest, że dla wszystkich x zachodzi P(x), to istnieje taki x, dla którego nieprawdą jest P(x)). Podobnie jak w rachunku zdań, reguły wnioskowania odpowiadają pewnym schematom zdań zawsze prawdziwym; w tym wypadku jest to schemat xp(x) x P(x), który jest prawdziwy dla dowolnej własności P(x). W celu skodyfikowania wszystkich takich schematów należy najpierw określić ogólną formę zdań z kwantyfikatorami. Wymaga to wniknięcia w strukturę zdań prostych z punktu widzenia rachunku zdań (tzn. zdań bez spójników logicznych) i wskazania bardziej podstawowych jednostek Relacje Takimi bardziej podstawowymi jednostkami są relacje wyrażające wszelkie własności i warunki łączące rozważane obiekty. Jako przykłady mamy relację równoległości prostych, współliniowości punktów, mniejszości 12

9 9. Pełna formalizacja 13 między liczbami w matematyce, a także chętnie używane dla przykładu różnego rodzaju relacje rodzinne w genealogii, relacje przestrzenne itp. Żeby pokazać sposób (formę) wyrażania danej relacji, stosujemy symbole literowe zwane zmiennymi: prosta k jest równoległa do prostej m, liczba x jest mniejsza od liczby y, liczba z jest sumą liczb x i y, X jest bratem Y. Za zmienne można podstawiać dowolne obiekty (w rozważanej dziedzinie); wówczas wyrażenie staje się stwierdzeniem o zachodzeniu danej relacji między konkretnymi obiektami, które może być prawdziwe lub fałszywe. Są to najprostsze jednostki zdaniowe. W matematyce do wyrażania relacji stosuje się różnego rodzaju zapisy symboliczne, takie jak: k m, x < y, z = x+y. Ze względu na ilość zmiennych relacje takie nazywa się, odpowiednio, dwuargumentową i trzyargumentową itd. Ogólnie, rozważa się relacje n-argumentowe dla dowolnego n (czyli z dowolną ilością zmiennych) i wówczas stosuje się zapis R(x 1,x 2,...,x n ), gdzie R jest symbolem relacji (zamiast pojedynczej litery często używa się kilkuliterowych skrótów nazw, co w dalszym ciągu zastosujemy). Dla n = 1 mamy relacje jednoargumentowe, które odpowiadają własnościom obiektów (np. Odd(x) może oznaczać, że x jest liczbą nieparzystą). Relacje, a czasami ich symbole, nazywa się w literaturze logicznej predykatami i dlatego rachunek logiczny dotyczący relacji i kwantyfikatorów nosi także miano rachunku predykatów. * Zanim zaprezentuję tu klasyczny rachunek kwantyfikatorów, wyjaśnić jeszcze musimy pewne kwestie o charakterze technicznym. Po pierwsze, rozważając dowolne relacje n-argumentowe, możemy potrzebować więcej zmiennych niż zapewniają to litery alfabetu. Faktycznie, potrzebujemy potencjalnie nieskończonej ilości zmiennych i dlatego w praktyce na oznaczenie zmiennych używamy również liter z indeksami liczbowymi x 1,x 2,... itd. Z kolei nadmiar różnych liter na oznaczanie obiektów i relacji czyni cały zapis bardzo nieczytelnym, stąd relacje zaczęto oznaczać również sugerującymi znaczenie skrótami wyrazowymi zamiast pojedynczych liter (takimi jak Odd(x)). Po drugie, w teoriach matematycznych specjalną rolę odgrywają relacje funkcyjne, to znaczy takie, że zawsze istnieje dokładnie jeden obiekt y będący w relacji z pozostałymi. Takie relacje przyjęło się zapisywać w formie y = f(x) lub ogólniej y = F(x 1,...,x n ) i nazywać krótko funkcjami. Dlatego zwykle w rachunku kwantyfikatorów uwzględnia się również symbole funkcji oraz znak równości = jako jeden z pierwotnych symboli logicznych. Wreszcie po trzecie, w wielu zdaniach matematycznych odnosimy się do konkretnych wyróżnionych obiektów; chcemy mieć możliwość nadawania nazw indywidualnym obiektom. W tym celu do języka rachunku kwantyfikatorów oprócz symboli relacji i funkcji wprowadza się również symbole konkretnych obiektów zwane stałymi (takimi są np. nazwy konkretnych liczb: 1,2,3). Stała tym różni się od zmiennej, że ta pierwsza oznacza konkretny wyróżniony obiekt, a ta druga służy do oznaczania dowolnych obiektów (w rozważanym zakresie) i pełni tylko rolę pomocniczą w formowaniu zdań z kwantyfikatorami Aksjomatyzacja W przypadku rachunku zdań wskazaliśmy metodę zero-jedynkową pozwalającą sprawdzić, czy dany schemat zdaniowy jest prawem logicznym, oraz czy dany schemat wnioskowania jest poprawnym schematem wnioskowania. W przypadku rachunku kwantyfikatorów taka metoda nie istnieje. Jednym z głównych osiągnięć logiki współczesnej jest nadanie temu stwierdzeniu ścisłej treści (czym wkrótce zamierzamy się zająć). Żeby wyznaczyć wszystkie prawa logiki kwantyfikatorów i schematy wnioskowań, musimy uciec się więc do innej metody. Można podać pewne podstawowe prawa (zwane aksjomatami) oraz pierwotne reguły wnioskowania, z których w precyzyjnie określony sposób można wyprowadzić wszystkie prawa logiki i co za tym idzie, wszystkie reguły wnioskowania. Istnieje wiele różnych systemów aksjomatyzujących w ten sposób klasyczną logikę. Różnią się one zbiorami aksjomatów, zbiorami pierwotnych reguł wnioskowania, wyborem spójników pierwotnych, a także ujęciem: przedstawianiem logiki albo jako systemu praw, albo jako systemu reguł. Wszystkie te systemy są równoważne, o ile wyraźnie nie jest powiedziane, że do czynienia mamy z systemem logiki nieklasycznej. W tej książce wybrałem sposób prezentacji, w którym logikę definiuje się jako, w pewnym sensie, wspólną część wszystkich teorii matematycznych. To ujęcie wymaga zdefiniowania najpierw formalnego pojęcia teorii, ale ma tę przewagę nad innymi, że jasno wskazuje na sens i rolę logiki oraz umożliwia szybkie przejście do zaprezentowania jej najbardziej zaawansowanych osiągnięć Teorie

10 9. Pełna formalizacja 14 Formalny obiekt matematyczny, który zamierzamy zdefiniować, zwany jest teorią elementarną lub teorią pierwszego rzędu. Reprezentuje on najistotniejsze z punktu widzenia logiki elementy zwykłej teorii matematycznej i stanowi pewnego rodzaju idealizację tej ostatniej. Ma charakter formalny w tym sensie, że ściśle zdefiniowane są w nim dopuszczalne formy wyrażeń, twierdzeń i schematów wnioskowania. Ponieważ definicja jest wielostopniowa i dość skomplikowana, najpierw przedstawimy ogólną ideę. Teoria elementarna składa się z trzech podstawowych elementów: formalnego języka, aksjomatów i reguł wnioskowania. Język określony jest przez zbiór symboli (pierwotnych) oraz reguły formowania poprawnych wyrażeń. W zbiorze symboli wyróżniamy symbole logiczne, wspólne dla wszystkich teorii, oraz symbole pozalogiczne, specyficzne dla danej teorii. Symbole pozalogiczne mogą być symbolami relacyjnymi lub funkcyjnymi o dowolnej ilości argumentów. Aksjomaty są pierwotnymi twierdzeniami teorii przyjętymi bez dowodu. Za pomocą reguł wnioskowania, które są również wspólne dla wszystkich teorii, otrzymujemy z aksjomatów twierdzenia pochodne. Spodziewamy się, że wśród twierdzeń będą w szczególności wszystkie zdania będące prawami logicznymi to znaczy takie, które pozostają prawdziwe przy wszelkich interpretacjach symboli relacyjnych i funkcyjnych, a więc są prawdziwe w każdej teorii. Reguły wnioskowania mające pusty zbiór przesłanek, a więc odpowiadające wprost pewnym prawom logicznym, umieszcza się zwykle wśród aksjomatów. W ten sposób również wśród aksjomatów wyróżniamy aksjomaty logiczne (które są jednakowe dla wszystkich teorii) i aksjomaty pozalogiczne, specyficzne dla danej teorii i określające faktycznie sens symboli pozalogicznych. Wybór symboli logicznych, aksjomatów logicznych oraz reguł wnioskowania może być różny w różnych ujęciach wyraża on sposób aksjomatyzacji (prezentacji) logiki. Jeśli jednak, tłumacząc wyrażenia z użyciem jednych symboli na wyrażenia z użyciem innych symboli, okaże się, że wyznaczony jest ten sam zbiór praw logicznych (obejmujących wszystkie prawa rachunku zdań i prawa rachunku kwantyfikatorów), to znaczy, że mamy do czynienia z aksjomatyzacją logiki klasycznej. Wspomnijmy jeszcze w tym miejscu, że w logice matematycznej rozważa się również inne formalne teorie, wyższych rzędów, o większych środkach wyrazu, jednakże idee te mają raczej znaczenie techniczne. Do tych alternatywnych możliwości wrócimy w odpowiednim momencie, a na razie mówić będziemy wyłącznie o teorii elementarnej, która ma charakter podstawowy Formalizacja języka matematyki Proces doprowadzenia dowolnej teorii matematycznej do formalnej postaci, czyli jej formalizacji, rozpoczyna się od formalizacji języka. Reguły tej formalizacji poprzedzimy przykładem z arytmetyki. Potrzebny jest on nie tylko po to, żeby łatwiej zrozumieć sens formalnych definicji i reguł, które określimy poniżej, ale i dlatego, że sama w sobie formalizacja jest zasadniczym elementem metod sztucznej inteligencji, a także metod innych nauk i jej pewne szczególne własności poddamy w dalszej części książki bardziej szczegółowej dyskusji. Trzeba najpierw wyjaśnić, że język współczesnej matematyki używany w podręcznikach i pracach naukowych, nie jest językiem formalnym. W praktyce używa się pewnej mieszaniny języka naturalnego i języka symboli. Czysty symboliczny formalny język jest dla człowieka mało czytelny; mało czytelne są też jednak próby wyrażenia skomplikowanych matematycznych pojęć wyłącznie w języku słów. To, co się stosuje w praktyce matematyki, jest pewnego rodzaju złotym środkiem mającym zapewnić największą przejrzystość wywodu: do zapisania pewnych rzeczy używamy symboli, inne prościej wyjaśnić słowami, odwołując się do ogólnej wiedzy. Całkowitej formalizacji języka matematyki dokonano na potrzeby logiki: żeby się przekonać, że jest to w zasadzie możliwe i żeby z istnienia formalnych odpowiedników matematycznych teorii i rozumowań wyciągnąć stosowne wnioski. Dzięki formalizacji matematyki możliwe stało się użycie matematycznych metod do wyciągnięcia tych wniosków. Logika matematyczna jest częścią matematyki, której przedmiotem badań jest sama w sobie... matematyka stąd tę (zasadniczą) część współczesnej logiki nazywa się też metamatematyką. Tu warto zwrócić uwagę na to, że logika matematyczna jest jedyną dziedziną matematyki, której przedmiotem badań jest wyraźnie wskazany konkretny fragment rzeczywistości! Matematyka sama w sobie jest bowiem konkretnym fragmentem rzeczywistości Hipoteza Goldbacha Jako przykład formalizacji zdania z zakresu arytmetyki rozważymy tzw. hipotezę Goldbacha, która mówi, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych bliźniaczych. To sformułowanie wystarcza matematykom, którzy wiedzą, co to są liczby pierwsze i co rozumie się przez liczby bliźniacze. Można wyjaśnić, ciągle w języku naturalnym, że liczby pierwsze to takie, które nie mają właściwych dzielników (tzn. innych niż one same

11 9. Pełna formalizacja 15 i jedynka), a dwie liczby pierwsze nazywamy bliźniaczymi, gdy różnią się o dwa. To sformułowanie w języku naturalnym jest już trochę zawiłe i prosi się użycie symboli oraz dodatkowej zmiennej, na oznaczenie liczby, o której mowa żeby dalej można było się do niej w sposób jednoznaczny odwołać. Liczbę p nazywamy pierwszą, jeśli nie dzieli się przez inne liczby oprócz p i 1; każdą parę dwóch liczb pierwszych postaci (p,p+2) nazywamy bliźniaczymi. Takimi parami są, na przykład, (3,5),(5,7),(11,13) (ale nie (7,9), bo 9 nie jest liczbą pierwszą, jako że dzieli się przez 3). Tu trzeba dodać, że używając słowa liczba, mamy na myśli wyłącznie liczby naturalne 0, 1, 2, 3,... (czyli całkowite nieujemne). Zadanie zapisania hipotezy Goldbacha w języku formalnym uściślijmy teraz, dodając, że chodzi nam o język tzw. elementarnej arytmetyki, którego jedynymi pierwotnymi symbolami pozalogicznymi są +, (oznaczające dodawanie i mnożenie), < (znak nierówności) oraz 0 i 1, a podstawowymi rozważanymi obiektami są liczby naturalne. To ostatnie ograniczenie stwarza pewną trudność, bowiem hipoteza Goldbacha mówi właściwie o własności pewnego zbioru liczb (że jest nieskończony), a nie o własnościach poszczególnych liczb. Można to obejść, wybierając inne, ewidentnie równoważne sformułowanie: dla dowolnie dużej liczby naturalnej N istnieje liczba pierwsza p większa od N i taka, że p+2 też jest liczbą pierwszą. Wówczas hipotezę tę możemy zapisać jak następuje: N p((p > N) d( n(p = d n) (d = 1 d = p)) d n(p+(1+1) = d n) (d = 1 d = p+(1+1)). Nie namawiam czytelnika do sprawdzenia, że zapis ten jest poprawny (w tym momencie chodzi mi jedynie o zilustrowanie tezy, że posługiwanie się przez człowieka takim językiem jest raczej beznadziejne). Łatwo wszakże sprawdzić, że jest to zapis właściwy, kiedy się wie, jak został otrzymany. Generalna metoda polega na tym, że formalizacji dokonujemy w ciągu stosunkowo prostych kroków: w każdym kroku nadajemy formalny kształt tylko niewielkiej, zewnętrznej części zdania, posługując się przy tym skrótami wyrażeń, których formalizację odkładamy do następnego kroku. Zdanie: dla dowolnie dużej liczby N istnieje liczba pierwsza p większa od N i taka, że p + 2 też jest liczbą pierwszą. zapisujemy więc najpierw jako N p((p > N) Prime(p) Prime(p+2)), gdzie Prime(x) jest skrótem wyrażenia x jest liczbą pierwszą. Teraz należy sformalizować (rozwinąć) wyrażenie Prime(x). Zgodnie z przytoczoną definicją można je zapisać jako d(d x (d = 1 d = x)), co czytamy: dla każdego d, jeśli d dzieli x, to d = 1 lub d = x. Symbol używany jest w arytmetyce jako symbol podzielności, ale nie ma go wśród dopuszczonych przez nas symboli, więc rozwiniemy jeszcze wyrażenie d x. Możemy je uważać za skrót wyrażenia y(x = d y). Na koniec, w naszym słowniku nie ma symbolu 2 będziemy go traktować jako skrót wyrażenia 1+1. Teraz, rozwijając kolejno wszystkie skróty, otrzymamy zapis dokładnie taki, jak przytoczony na wstępie. * Mam nadzieję, że czytelnik ma już dane po temu, żeby w tym samym formalnym języku zapisać, na przykład, zdanie: Każda liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych. Oto pierwszy krok: n(even(n) x y(odd(x) Prime(x) Odd(y) Prime(y) n = x+y). Even(n) ma oznaczać, że n jest parzysta, co można zapisać, na przykład, jako k(n = (1+1) k) lub jeszcze prościej jako k(n = k + k). Odd(x) mające oznaczać, że x jest nieparzysta, możemy traktować jako skrót wyrażenia Even(x) (którego rozwinięcie już mamy). Są to oczywiście najprostsze przykłady, ale dają pojęcie o tym, jak znacznie bardziej skomplikowane zdania przez kolejne redukcje można sprowadzić do postaci formalnej. Pozwalają uwierzyć, że zadanie pełnej formalizacji języka matematyki jest wykonalne i że to tylko kwestia odpowiedniej ilości symboli.

12 9. Pełna formalizacja 16 Zwróćmy jeszcze uwagę na rolę zmiennych. Zapis y(x = d y) równoważny jest zapisowi n(x = d n); wybór litery na oznaczenie zmiennej nie ma tu znaczenia. Zmienne mają charakter pomocniczy i zostały wprowadzone do języka matematyki w celu bardziej przejrzystego wyrażania zdań dotyczących kilku obiektów i zawierających bardziej złożone kombinacje słów kwantyfikujących istnieje i każdy. Dodajmy, dla porządku, że do dziś nie wiemy, czy hipoteza Goldbacha jest prawdziwa: czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych bliźniaczych, czy też takich par jest tylko skończenie wiele? 2.7. Język formalny Przechodzimy do formalnego zdefiniowania języka teorii elementarnej. Przyjmujemy (na razie), że pierwotnymi symbolami logicznymi tego języka są:,,,, kwantyfikatory, oraz symbol równości =. Do symboli logicznych zaliczymy też zmienne x 1,x 2,x 3... (w nieskończonej ilości), a także dwa nawiasy (,) (czasem nazywa się je symbolami pomocniczymi). Język teorii elementarnej ma ponadto dowolną skończoną ilość symboli relacyjnych i funkcyjnych, wraz z określeniem ilości argumentów odpowiadających każdemu z tych symboli, oraz skończoną ilość stałych, czyli nazw wyróżnionych obiektów (nie wykluczamy, że w pewnych przypadkach ta ilość może być równa zero). Podamy teraz reguły tworzenia poprawnych wyrażeń w naszym formalnym języku oraz ich specjalne nazwy. W celu uzyskania możliwie prostej definicji ujednolicimy zapis relacji i funkcji jak następuje: będziemy zakładać, że zawsze najpierw piszemy symbol relacji lub funkcji, a później w nawiasach argumenty; czyli wzorujemy się na zapisach R(x 1,x 2,...,x n ) i y = F(x 1,x 2,...,x n ). Ogólnie, formalnym wyrażeniem nazywamy dowolny skończony ciąg symboli danego języka. Wśród nich wyróżnimy wyrażenia poprawne. Będą to takie wyrażenia, które w naszej intencji mają coś znaczyć, które mogą stanowić części sensownych zdań. Definicja nasza będzie wielostopniowa: zaczniemy od najbardziej prostych, elementarnych wyrażeń, a zakończymy definicją zdania, to znaczy, określimy na koniec ściśle i jednoznacznie, które ciągi symboli nazywamy zdaniami Termy Rozpoczniemy od tak zwanych wyrażeń funkcyjnych ; chodzi tu o znane ze szkolnej matematyki wyrażenia postaci2x 2 +3 określające funkcje. Z punktu widzenia gramatyki są to wyrażenia rzeczownikowe; na przykład, ojciec żony x-a ; w matematyce odgrywają one szczególnie ważna rolę. Formalnie, wyrażenia funkcyjne, w logice zwane zwyczajowo termami, definiujemy następująco: 1) każda zmienna i każda stała jest termem; 2) jeśli t 1,...,t n są termami, a F jest symbolem funkcji n-argumentowej, to wyrażenie postaci F(t 1...t n ) też jest termem. Przyjmujemy, że termami są te i tylko te wyrażenia, które można otrzymać, stosując powyższe reguły dowolną, ale skończoną ilość razy. Tego typu definicja, rozpoczynająca się od najprostszych przypadków i definiująca bardziej skomplikowane przypadki na bazie prostszych, nosi nazwę definicji indukcyjnej (dokładniej definicji przez uogólnionioną indukcję). Później przekonamy się, że za jej pomocą można efektywnie rozstrzygnąć dla dowolnego wyrażenia, czy jest ono termem, czy nie. Na razie rozważmy przykład. W języku arytmetyki elementarnej, zgodnie z powyższą definicją, termami są w szczególności: stałe 0, 1, wszystkie zmiennex 1,x 2,x 3,..., wyrażenia+(x 1 x 2 ) i (x 1 x 2 ) i dalej wyrażenia bardziej złożone: +(+(x 1 x 2 )x 3 ), (+(x 1 x 2 )+1x 1 ), (+(+(11)1)+(x 1 +(x 1 +(x 1 x 1 )))) itd. W tradycyjnym zapisie są to wyrażenia x 1 +x 2, x 1 x 2, (x 1 +x 2 )+x 3, ((x 1 +x 2 ) (1+x 1 )), (((1+1)+1) (x 1 +(x 1 +(x 1 +x 1 )))), i tak dalej (ale już nie wyrażenie (x 1 < x 2 ), jako że < jest symbolem relacji, a nie funkcji). Tak więc, jak widzimy, termy są wyrażeniami funkcyjnymi w tym sensie, że rzeczywiście definiują pewne funkcje: po podstawieniu za wszystkie zmienne konkretnych wartości (obiektów) dają zawsze jednoznacznie wyznaczoną wartość (obiekt). Żeby to zobaczyć, musieliśmy jednak przejść z zapisu formalnego do zapisu tradycyjnego. *

13 9. Pełna formalizacja 17 Jest pewną niedogodnością naszej prezentacji, że nie jest ona zgodna z praktyką elementarnej matematyki, gdzie do symboli relacji i funkcji dwuargumentowych stosuje się konwencję pisania symbolu pomiędzy argumentami. Niestety, tej wygodnej konwencji nie da się uogólnić na relacje o większej ilości argumentów. Ponieważ jednak przykłady wymagają maksymalnej przejrzystości, dalej będziemy odwoływać się do zapisów tradycyjnych, takich jak (x < y) lub (x+y); można je traktować jako skróty (zastępniki) formalnych wyrażeń < (xy),+(xy). W przykładach stosujemy też przecinki na oddzielenie argumentów (co w formalnej definicji nie jest potrzebne) oraz opuszczamy niektóre pary nawiasów (jeśli nie są niezbędne do rozumienia zapisu, a wynikają tylko ze sztywnych formalnych reguł). Na oznaczenie zmiennych, zamiast x 1,x 2,x 3 używamy tradycyjnych liter x,y,z, które też możemy traktować jako wygodne skróty symboli x 1,x 2,x 3. Termy, w których nie występują żadne zmienne, mają stałą jednoznacznie wyznaczoną wartość i mogą służyć jako definiowane nazwy konkretnych obiektów. Nazywamy je termami stałymi (ground terms) lub krótko stałymi (constants). Na przykład, (1+1), ((1+1)+1), (((1+1)+1)+1),... są nazwami kolejnych liczb naturalnych, które w systemie dziesiętnym oznaczamy: 2,3,4,... (Może się to wydać dość sztuczne, zauważmy jednak, że również w systemie dziesiętnym zapisu mamy tylko skończoną ilość stałych (cyfr) i nazwy większych liczb definiujemy indukcyjnie na całkiem podobnej zasadzie! Różnica jest tylko taka, że zamiast jednej stałej, jak w przykładzie powyżej, stosujemy 10 cyfr.) 2.9. Formuły Następnym rodzajem poprawnych wyrażeń, które teraz zdefiniujemy, są formuły (schematy zdań). Definiujemy je również indukcyjnie. Formułami są te i tylko te wyrażenia, które można otrzymać w skończonej ilości kroków za pomocą następujących reguł: 1) formułą jest każde wyrażenie postaci (t 1 = t 2 ) oraz P(t 1...t n ), gdzie t 1,t 2...,t n są termami, a P jest symbolem relacji n-argumentowej (nazywamy je formułami atomowymi); 2) formułą jest każde wyrażenie postaci (A B), (A B), ( A), (A B), gdzie A, B są formułami; 3) formułą jest każde wyrażenie postaci ( va), ( vx), gdzie A jest formułą, a x jest zmienną. W ścisłym stosowaniu tych reguł pojawia się wiele nawiasów, z których część wydaje się zbędna. Jednakże próba skodyfikowania opuszczania zbędnych nawiasów niepotrzebnie skomplikowałaby definicję. (W przykładach nie przejmujemy się zbytnio nawiasami). Kontynuując ilustrację z elementarnej arytmetyki: formułami atomowymi są t 1 = t 2 oraz t 1 < t 2, gdzie t 1,t 2 są termami, a więc, w szczególności: x+y = 1 lub x < y +z itd. Formuły bardziej złożone to, na przykład: x((x+y < z) (x > z)), y z ( (y = z) (y z = x x)), x y((x > y) ((x x) > (y y))). Ostatnia formuła jest przykładem zdania. Wyraża ono fakt, że jeśli liczba x jest większa od y, to x 2 jest większe od y 2 (i rozpoznajemy to jako fakt prawdziwy w dziedzinie liczb naturalnych). Wszystkie zmienne mają tu charakter pomocniczy. Zdanie to można by też wypowiedzieć, że jeśli pewna liczba jest większa od innej liczby, to jej kwadrat jest większy od kwadratu tej drugiej liczby. Inną sytuację mamy w pierwszej formule. Zmienne y i z nie są związane z żadnymi kwantyfikatorami i nie jest całkiem jasne, jak należy rozumieć tę formułę. Tu dochodzimy do dwóch ważnych technicznie kwestii. 1. W formułach mamy dwa rodzaje zmiennych: te, które występują w kontekście( x...x...) lub( x...x...) nazywamy zmiennymi związanymi, a pozostałe, niezwiązane z kwantyfikatorem, nazywamy zmiennymi wolnymi. Dopiero gdy za zmienne wolne podstawimy nazwy konkretnych obiektów, formuła otrzymuje konkretny sens. Na przykład, podstawiając w pierwszej formule 1 za y oraz 0 za z, otrzymujemy zdanie x((x+1 < 0 (x > 0)); w tym przypadku jest to zdanie fałszywe, bo dla x = 0 wyrażenie w nawiasach jest nieprawdziwe.

14 9. Pełna formalizacja Formalnie zdania definiujemy więc jako formuły niemające zmiennych wolnych; nazywamy je też formułami zamkniętymi. Z przyczyn technicznych bardziej korzystne okazało się operowanie formułami, a nie zdaniami, jako podstawowymi nośnikami znaczeń w teoriach. Naśladując wielowiekową praktykę matematyczną, przyjęto, że prawdziwość formuły rozumiana jest jako prawdziwość każdego zdania, jakie można otrzymać z tej formuły przez podstawienie za zmienne wolne nazw dowolnych obiektów z rozważanej dziedziny. (Jest to równoważne faktowi, że prawdziwe jest zdanie otrzymane z tej formuły poprzez postawienie przed nią kwantyfikatorów ogólnych wiążących wszystkie zmienne wolne). Prawdziwa jest, na przykład, formuła ((x+y) (x+y)) = (x x)+(1+1) x y +(y y) (nawet w dziedzinie wszystkich liczb rzeczywistych), bo prawdziwe jest zdanie x ((x+y) (x+y)) = (x x)+(1+1) x y +(y y). W tradycyjnym zapisie jest to typowy szkolny wzór (x+y) 2 = x 2 +2xy = y 2 (zauważmy, że w tradycyjnym zapisie też opuszczamy początkowe kwantyfikatory ogólne; wzory ze zmiennymi wolnymi rozumiemy zwykle właśnie jako prawdziwe dla wszystkich podstawień wartości za zmienne). Na razie prawdziwość zdań i formuł będziemy tylko postulować, w formie aksjomatów; później zajmiemy się problemem, co to właściwie znaczy, że konkretne zdanie jest prawdziwe Zmienne Pewną niedogodnością naszego formalnego języka jest fakt, że mamy w nim nieskończoną ilość zmiennych x 1,x 2,x 3,... Nastręcza to kłopotów zarówno formalnych, jak i praktycznych, w komputerowych zastosowaniach. Sposobem na to jest zastąpienie zmiennych przez ściśle określone wyrażenia postaci ν,ν,ν,ν,... Wówczas zamiast zmiennych potrzebujemy tylko jednego ogólnego symbolu zmiennej ν oraz symbolu kreseczki ( prima ), a całą złożoną definicję poprawnego wyrażenia należy rozpocząć od indukcyjnej definicji zmiennej: 1) symbol ν jest zmienną; 2) jeśli z jest zmienną, to z też jest zmienną. W dalszym ciągu używać będziemy liter x,y,z,x 1,x 2, itp., traktując je jako wygodne skróty (zastępniki) formalnych wyrażeń z primami. Zauważmy przy okazji, że definicja zmiennej reprezentuje najprostszą formę definicji indukcyjnej: mamy jeden element początkowy ν i kolejne tworzymy w ciągu kroków polegających na dołączaniu symbolu. W definicjach bardziej skomplikowanych elementów początkowych jest więcej i więcej jest sposobów tworzenia (definiowania) bardziej złożonych obiektów z obiektów już zdefiniowanych Aksjomaty logiczne Teraz możemy przystąpić do właściwej aksjomatyzacji rachunku kwantyfikatorów, tzn. do podania aksjomatów logicznych i reguł wnioskowania wspólnych dla wszystkich teorii. Aksjomatyzacja nasza wzorowana jest na systemie podanym przez Russella i ulepszonym przez Hilberta i Ackermanna (Marciszewski 1987, str. 17). Zakłada ona, że jedynymi symbolami logicznymi języka są,,, oraz =, natomiast pozostałe symbole używane w sformułowaniach aksjomatów traktujemy jako skróty odpowiednich wyrażeń. I tak, A B jest skrótem wyrażenia A B, A B jest skrótem wyrażenia ( A B), natomiast xa jest skrótem wyrażenia x A. Czytelnik sam zechce sprawdzić, że dzięki pierwszym dwóm skrótom uzyskujemy pożądane tabelki W ścisłej definicji występują pewne techniczne komplikacje związane z możliwością jednoczesnego wystąpienia zmiennej w dwóch kontekstach: jako związanej i wolnej. Dlatego wprowadza się pojęcia zakresu (działania) kwantyfikatora oraz mówi się o wystąpieniach danej zmiennej: o wolnym wystąpieniu lub wystąpieniu związanym. Jednakże szczegóły te są nieistotne w dalszym ciągu i dlatego nie będziemy w nie wchodzić (zainteresowanego czytelnika odsyłam do Shoenfield (1967) lub jakiegokolwiek podręcznika logiki matematycznej).

15 9. Pełna formalizacja 19 implikacji i koniunkcji, natomiast równoważność ostatnich wyrażeń z kwantyfikatorami wydaje się oczywista. Dzięki mniejszej ilości spójników logicznych system ma znacznie prostszą prezentację. Jako aksjomaty logiczne teorii elementarnej przyjmiemy wszelkie formuły (zdania) mające jedną z następujących postaci: A1. (A A) A A2. A (A B) A3. (A B) (B A) A4. (A B) ((C A) (C B)) A5. (A B) ( xa B), gdzie B jest formułą, w której nie występuje zmienna x A6. A[x/t] xa, gdzie A[x/t] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej x przez term t A7. t = t, gdzie t jest termem A8. (x = y) (A A[x\y]), gdzie A[x\y] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpienie jednego z wolnych wystąpień zmiennej x przez zmienną y A, B, C oznaczają tu dowolne formuły danej teorii. Dla każdej teorii jest to więc system nieskończenie wielu aksjomatów podzielonych na osiem klas; każdą z tych klas nazywamy schematem aksjomatów danego typu. Schematy (A1 A4) są schematami należącymi do rachunku zdań, więc czytelnik (stosując metodę zero-jedynkową) łatwo może sprawdzić ich poprawność. Pozostałe schematy dotyczące kwantyfikatorów lub termów mają charakter bardziej techniczny i wymagają pewnej analizy, żeby stwierdzić, że w istocie rzeczy są całkowicie oczywiste. Ponieważ prezentacja ta ma służyć wyłącznie ukazaniu istoty rachunku kwantyfikatorów, taką analizę czytelnik może pominąć (lub sięgnąć do podręcznika, np. Shoenfield 1967). Istotne jest to, że tak niewielka ilość schematów o tak podstawowym charakterze wystarcza do sformalizowania rachunku kwantyfikatorów, a co za tym idzie, jak zobaczymy do sformalizowania wszystkich matematycznych rozumowań Reguły wnioskowania Jedyną regułą wnioskowania w tym ujęciu jest tzw. reguła odrywania (modus ponens): (RO) A, A B. B Pokazuje ona, że każdą prawdziwą formułę mającą postać implikacji możemy wykorzystać do wnioskowania: jeśli poprzednik implikacji jest prawdziwy, to prawdziwy jest też następnik. Zauważmy tu, że poprawność tej formuły wynika wprost z definicji implikacji. Jeśli poprzednik implikacji jest prawdziwy, to (na mocy tabelki implikacji w podrozdz. 1.4) prawdziwy musi być jej następnik. Poprawność tej formuły gwarantuje nam, że jeśli regułę tę będziemy stosować wyłącznie do zdań prawdziwych, to pozostaniemy w obrębie zdań prawdziwych. Opisaliśmy wspólne części wszystkich teorii: reguły formowania wyrażeń, symbole logiczne, aksjomaty logiczne i reguły wnioskowania. Do określenia konkretnej teorii wystarczy więc podać symbole pozalogiczne i pozalogiczne aksjomaty Arytmetyka elementarna Dla przykładu podamy tu pewną aksjomatyzację arytmetyki, którą nazwiemy arytmetyką elementarną (podobnie jak w przypadku rachunku kwantyfikatorów, istnieje kilka różnych sposobów zaksjomatyzowania arytmetyki różniących się zasobem symboli pierwotnych i aksjomatów; pierwszym, który sformułował taki system, był G. Peano). Język tej teorii ma pięć, wskazanych już, symboli pozalogicznych: +,, 0, 1, <. Aksjomaty pozalogiczne są następujące:

16 9. Pełna formalizacja 20 N1. x+1 0 N2. (x+1 = y +1) x = y N3. x+0 = x N4. x+(y +1) = (x+y)+1 N5. x 0 = 0 N6. x (y +1) = (x y)+x N7. (x < 0) N8. (x < y +1) (x < y x = y) (Przypomnijmy, że zgodnie z wcześniejszym ustaleniem, aksjomaty te rozumiemy w ten sposób, że zachodzą one dla każdego x i y; moglibyśmy je zastąpić formułami zamkniętymi (zdaniami), stawiając na początku odpowiednie kwantyfikatory ogólne, ale wówczas zapis byłby nieco mniej czytelny). Do tych aksjomatów dodajemy następujący schemat. Dla każdej formuły A(x) ze zmienną wolną x N9. (A(0) x(a(x) A(x+1))) xa(x) Schemat ten nosi nazwę schematu indukcji. Mówi on, że jeśli pewna własność przysługuje liczbie 0 oraz w każdym przypadku, gdy przysługuje liczbie x, to przysługuje również liczbie następnej, wówczas własność ta musi przysługiwać wszystkim liczbom. Zdumiewające jest, że z aksjomatów tych potrafimy wyprowadzić wszystkie znane twierdzenia arytmetyki; później pokażemy równie prosty system aksjomatów, z którego można wyprowadzić wszystkie znane twierdzenia całej matematyki! Twierdzenia i dowody Żeby stwierdzeniom tym nadać bardziej ścisły sens, dla danej teorii definiujemy teraz formalne pojęcie twierdzenia danej teorii (ponownie stosując uogólnioną indukcję): 1) każdy aksjomat (logiczny lub pozalogiczny) jest twierdzeniem; 2) jeśli wszystkie przesłanki reguły wnioskowania są twierdzeniami, to konkluzja też jest twierdzeniem. Oznacza to, iż startujemy ze zbioru aksjomatów, stosujemy do niego regułę odrywania, uzyskując nowe twierdzenia, do tak powiększonego zbioru twierdzeń stosujemy ponownie regułę odrywania, otrzymując jeszcze większy zbiór twierdzeń itd. Twierdzeniem jest każde zdanie, które otrzymamy w ten sposób w skończonej liczbie kroków. Zauważmy, że z poprawności reguły odrywania wynika, że jeśli nasze aksjomaty były prawdziwe, to prawdziwe są wszystkie twierdzenia. Alternatywnie można najpierw zdefiniować pojęcie formalnego dowodu: formalnym dowodem formuły A nazywamy ciąg formuł kończący się formułą A i o tej własności, że każda formuła w tym ciągu jest albo aksjomatem, albo otrzymana jest z formuł poprzedzających przez zastosowanie reguły wnioskowania. Formułę nazywamy twierdzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy posiada dowód. (Oczywiście obie definicje są równoważne). Dla przykładu podamy formalny dowód formuły postaci A A (zachowujący ważność dla dowolnej teorii i dowolnej formuły A danej teorii): 1. (A A) A (na mocy A1); 2. A (A A) (na mocy A2; podstawiliśmy A za B; możemy to zrobić, bo aksjomat jest prawdziwy dla każdych formuł A i B, także dla identycznych); 3. ((A A) A) (( A (A A)) ( A A)) (na mocy A4; za A,B i C podstawiliśmy odpowiednio A A, A oraz A); 4. (A (A A)) ( A A) (z 1 i 3 na mocy reguły odrywania i przy wykorzystaniu skrótu ); 5. A A (z 2 i 4 na mocy reguły odrywania); Pokazaliśmy w ten sposób, że w każdej teorii obowiązuje prawo wyłączonego środka A A (dla dowolnej formuły A), bo korzystaliśmy tylko z aksjomatów logicznych. W podobny sposób można otrzymać dalsze prawa. I choć w miarę zwiększania się ilości symboli jest to coraz żmudniejsze, to okazuje się, że na bazie powyższych aksjomatów logicznych i reguły odrywania można otrzymać wszystkie prawa rachunku kwantyfikatorów i rachunku zdań, czyli wszystkie prawa logiki klasycznej. Jest to zasadnicza część słynnego twierdzenia Gödla o pełności, którym się za chwilę bliżej zajmiemy.