Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel. Podstawy fizyki II

Transkrypt

1 Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel Podstawy fizyki II Warszawa 01

2 Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierunek studiów "Edukacja techniczno informatyczna" 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel. () , () ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, sto@simr.pw.edu.pl Opiniodawca: prof. dr hab. Władysław BOGUSZ Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI Publikacja bezpłatna, przeznaczona dla studentów kierunku studiów Edukacja techniczno informatyczna. Copyright 01 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie moŝe być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN Druk i oprawa: STUDIO MULTIGRAF SP. Z O.O., ul. Ołowiana 10, Bydgoszcz

3 Spis treści Wstęp Magnetyzm Pole magnetyczne Ruch ładunku w polu magnetycznym Pole magnetyczne prądu Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Magnetyczne własności materii Energia pola magnetycznego Obwody prądu zmiennego Impedancja Drgania elektryczne Drgania tłumione w obwodzie RLC Moc w obwodach prądu zmiennego Fale Co to jest fala Równanie róŝniczkowe fali Superpozycja fal Fale stojące Fala akustyczna Energia fali Efekt Dopplera Fale elektromagnetyczne Widmo fal elektromagnetycznych Równania Maxwella Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej Wektor Poyntinga...81

4 16. Optyka Prawa załamania i odbicia światła Optyka geometryczna Polaryzacja Interferencja Dyfrakcja Szczególna teoria względności Szczególna teoria względności Transformacja Lorentza Konsekwencje przekształceń Lorentza Dynamika relatywistyczna Fizyka kwantowa Prawa promieniowania Kwantowa natura promieniowania Dualizm korpuskularno-falowy Fizyka atomu i fizyka jądra atomowego Budowa atomu Jądro atomowe Promieniotwórczość Rozpady promieniotwórcze Reakcje jądrowe Elementy mechaniki kwantowej Właściwości falowe materii Funkcja falowa i równanie Schrödingera Rozwiązania równania Schrödingera dla wybranych potencjałów Kwantowy model atomu Fizyka ciała stałego Wiązania chemiczne Struktury krystaliczne...00

5 1.3. Model pasmowy ciał stałych Urządzenia półprzewodnikowe Lasery...3 Strona 5

6

7 Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego PROGRAM OPERACYJNY KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla studentów kierunku Edukacja techniczno-informatyczna na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej. Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. Podstawy Fizyki. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu. Skrypt stanowi drugą część opracowanych materiałów dydaktycznych, stanowi kontynuację pierwszej części i dotyczy zagadnień omawianych podczas drugiego semestru wykładów z ww przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zostały na 10 rozdziałów. W rozdziale 1 omówione zostały właściwości fizyczne pola magnetycznego, ruch ładunku i przewodnika z prądem w polu magnetycznym, a takŝe magnetyczne właściwości materii. Rozdział 13 dotyczy podstawowych właściwości obwodów prądu zmiennego. W rozdziale 14 wprowadzone pojęcia fali, fali stojącej, energii i natęŝenia fali a takŝe opisano mechanizmy rozchodzenia i nakładania się fal. W rozdziale 15 opisano podstawowe właściwości fal elektromagnetycznych oraz równania Maxwella. Rozdział 16 dotyczy optyki geometrycznej oraz podstawowych zjawisk optyki falowej takich jak interferencja, dyfrakcja czy polaryzacja. W rozdziale 17 przedstawiono załoŝenia szczególnej teorii względności, elementy mechaniki relatywistycznej oraz konsekwencje przekształceń Lorentza.

8 Rozdział 18 stanowi wprowadzenie do zagadnień fizyki kwantowej, omówione zostały zjawiska ukazujące korpuskularną naturę światła. W rozdziale 19 opisana jest budowa atomu, w tym model Bohra atomu wodoru, a takŝe zagadnienia z fizyki jądrowej dotyczące rozpadów promieniotwórczych i reakcji jądrowych. Rozdział 0 poświęcony jest mechanice kwantowej. Przedstawiono w nim między innymi zasadę nieoznaczoności Heisenberga, równanie Schrödingera wraz z rozwiązaniami dla prostych układów kwantowych oraz kwantowy model atomu. W rozdziale 1 przedstawiono elementy fizyki ciała stałego w tym podstawowe informacje o wiązaniach chemicznych, strukturze krystalicznej a takŝe o strukturze pasmowej ciał stałych.

9 1 Magnetyzm W tym rozdziale: o Ruch ładunku w polu magnetycznym, siła Lorentza o Przewodnik z prądem w polu magnetycznym, silnik elektryczny o Pole magnetyczne prądu, prawo Biota-Savarta, prawo Ampera o Magnetyczne własności materii, moment magnetyczny elektronu, rodzaje magnetyków o Indukcja elektromagnetyczna, prawo indukcji Faradaya o Prądnica, alternator o Indukcyjność, transformator o Energia pola magnetycznego

10 ROZDZIAŁ Pole magnetyczne Pierwsze wzmianki o wykorzystaniu zjawiska magnetyzmu pochodzą ze staroŝytności. Kompasy wykorzystywane w nawigacji pojawiły się w Chinach około I wieku n.e. Dokładniejszy opis zjawisk magnetyzmu zawdzięczamy jednak badaniom nad prądem elektrycznym, które ujawniły bliski związek pola magnetycznego z elektrycznym i moŝliwość wzajemnej indukcji obu pól. W przypadku pola elektrycznego, jego źródłem były ładunki elektryczne. Układ ładunków dodatniego i ujemnego, umieszczonych w stałej odległości od siebie określiliśmy jako dipol elektryczny. Odpowiednikiem dipolu elektrycznego jest dipol magnetyczny, czyli magnes, składający się z dwóch nierozdzielnych biegunów magnetycznych północnego N i południowego S. Biegun północny nie moŝe istnieć bez południowego i jeśli rozdzielimy magnes sztabkowy w poprzek na dwie połówki otrzymamy dwa magnesy zawierające równieŝ bieguny N i S. Dalszy podział magnesu będzie prowadził do wytworzenia coraz mniejszych dipoli magnetycznych, aŝ otrzymamy najmniejszy niepodzielny dipol zawierający równieŝ dwa bieguny. Prawo Gaussa dla magnetyzmu Pole magnetyczne nazywamy polem bezźródłowym. Linie takiego pola są zawsze liniami zamkniętymi, nie mają początku ani końca jak w przypadku pola elektrycznego. W prosty sposób moŝemy sformułować prawo Gaussa dla pola magnetycznego: r r B ds = 0 (1.1) PoniewaŜ linie pola magnetycznego są zamknięte to całkowita wartość strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodząca przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa zeru. Strona 10

11 MAGNETYZM 1.. Ruch ładunku w polu magnetycznym Siła Lorentza Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa tzw. siła Lorentza. Działanie tej siły obserwujemy w przypadku, kiedy ładunek porusza się, a wektor prędkości posiada składową prostopadłą do kierunku pola magnetycznego. W tym przypadku siła powoduje zakrzywienie toru ruchu ładunku. MAGNETYCZNYM Rysunek 1.1. Siła Lorentza działająca na ładunek poruszający się w polu magnetycznym Wartość siły Lorentza zaleŝy od wartości ładunku elektrycznego, prędkości poruszania się tego ładunku i równieŝ od siły pola magnetycznego. Aby scharakteryzować tę siłę pola magnetycznego wprowadzamy wektor indukcji magnetycznej B r. Wektor ten na zewnątrz magnesu jest skierowany od bieguna północnego N do bieguna południowego S magnesu. Jednostką indukcji jest tesla N N m s J s V s 1T = 1 = 1 = 1 = 1. C m s C m C m m Strona 11

12 ROZDZIAŁ 1 Siłę Lorentza F L moŝemy wyrazić jako iloczyn ładunku q przez iloczyn wektorowy prędkości v r oraz wektora indukcji pola magnetycznego B r : r F L r r = q v B (1.) Wektor siły Lorentza F L jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory v oraz B a jego zwrot moŝemy określić z reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni (rozdział 1.3). Kierunek i zwrot wektora siły Lorentza działającej na dodatni ładunek poruszający się z prędkością v prostopadłą do kierunku pola magnetycznego B pokazany jest na rysunku 1.1. W ogólnym przypadku ładunek moŝe znajdować się zarówno w polu magnetycznym, jak i polu elektrycznym. Wypadkowa siła działająca w takim przypadku na ten ładunek będzie złoŝeniem siły elektrostatycznej oraz Lorentza: r r r r F = qe + q v B (1.3) Siła Lorentza powoduje zakrzywienie toru ruchu ładunku tak, Ŝe ładunek poruszający się prostopadle do linii sił pola magnetycznego porusza się po okręgu. Siła Lorentza jest więc siłą dośrodkową działającą na ładunek q o masie m poruszający się po okręgu o promieniu r : F = F L d m v q v B = r (1.4) W powyŝszym przypadku wektory prędkości i indukcji są do siebie prostopadłe, więc iloczyn wektorowy (jego wartość) moŝemy zastąpić zwykłym mnoŝeniem. Z równania 1.4 otrzymujemy promień r okręgu, po jakim porusza się ładunek q o masie m w polu magnetycznym o indukcji B: m v r = (1.5) qb Po przekształceniach wzoru moŝemy przekonać się, Ŝe prędkość kątowa w takim ruchu nie zaleŝy od prędkości postępowej ładunku: Strona 1

13 MAGNETYZM v qb ω = r m (1.6) Przykłady Przykładem wykorzystania działania siły Lorentza do zakrzywienia toru ładunku jest cyklotron. W cyklotronie naładowane cząstki są przyspieszane polem elektrycznym pomiędzy tzw. duantami. Pole magnetyczne zakrzywia tor lotu cząstki tak, Ŝe cząstka wraca ponownie w obszar pomiędzy duantami. Rysunek 1. Schemat działania cyklotronu z zaznaczonym torem ładunku dodatniego PoniewaŜ częstość obiegu cząstki nie zaleŝy od jej prędkości v (jak wykazaliśmy we wzorze 1.6), moŝemy tak dobrać częstość przełączania pola elektrycznego przyłoŝonego do duantów, by przyspieszało cząstkę zawsze, kiedy jest ona między duantami. Cząstka (np. elektron) wyemitowana w środku przyrządu, między duantami w miarę kolejnych przejść przez obszar pomiędzy duantami zwiększać będzie swoją prędkość, a więc i promień toru lotu cząstki tak, Ŝe w końcu opuści ona cyklotron. W przypadku lampy katodowej telewizora kineskopowego strumień elektronów emitowany z rozgrzanej katody trafia w obszar skrzyŝowanych pól magnetycznych. W ten sposób wiązka moŝe być odchylana w pionie i w poziomie i kierowana w odpowiednie miejsce na kineskopie, gdzie uderzając w warstwę luminoforu rozświetla dany punkt. Punkty układają się w linie a linie składają się na kolejne klatki obrazu, które Strona 13

14 ROZDZIAŁ 1 są wyświetlane jedna po drugiej na tyle szybko, Ŝe nasze oko nie zauwaŝa procesu odświeŝania obrazu. W spektrometrze masowym najpierw za pomocą odpowiednich parametrów pola elektrycznego i magnetycznego selekcjonujemy cząstki o identycznym ładunku i prędkości, które to cząstki następnie wlatują w obszar pola magnetycznego tak, Ŝe ich wektor prędkości jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej. PoniewaŜ ich ładunek i prędkość są identyczne, jedynym parametrem wpływającym na promień toru cząstek w polu magnetycznym jest ich masa. Izotopy tego samego pierwiastka, posiadające ten sam ładunek, ale róŝniące się masą, będą poruszać się po róŝnych torach, co moŝemy wykryć za pomocą detektora. Za pomocą spektrometru masowego moŝemy zatem badać skład izotopowy pierwiastków wchodzących w skład związków chemicznych. Jeśli prędkość cząstki posiada nie tylko składową prostopadłą do kierunku pola magnetycznego ale i składową równoległą do tego kierunku, wówczas tor ruchu cząstki będzie linią śrubową. Z takim torem śrubowym mamy do czynienia na przykład w zjawisku zorzy polarnej. Gdy naładowane cząstki, powstałe w większości na Słońcu, wpadają w obszar pola magnetycznego Ziemi, działająca na nie siła Lorentza powoduje zakrzywienie toru ich lotu tak, Ŝe poruszają się one po torach śrubowych wzdłuŝ linii Ziemskiego pola magnetycznego, w kierunku ziemskich biegunów magnetycznych. PoniewaŜ linie sił pola magnetycznego zagęszczają się w pobliŝu biegunów magnetycznych Ziemi, koncentracja naładowanych cząstek w tym rejonie jest stosunkowo duŝa. Podczas oddziaływania tych cząstek z atmosferą Ziemi powstaje promieniowanie, które obserwujemy jako zorzę polarną. Przewodnik z prądem w polu magnetycznym Jeśli przewodnik, przez który płynie prąd elektryczny znajduje się w polu magnetycznym, to na nośniki ładunku poruszające się wewnątrz tego przewodnika działa siła Lorentza. JeŜeli we wzorze na siłę Lorentza wartość ładunku q wyrazimy za pomocą natęŝenia I przepływającego prądu oraz powiąŝemy prędkość nośników ładunku v z czasem t, w jakim pokonują one odcinek przewodnika o długości l, to otrzymujemy wzór na siłę Lorentza F działającą na nośniki ładunku poruszające się w przewodniku znajdującym się w polu magnetycznym o indukcji B : Strona 14

15 MAGNETYZM r r r r l r r r F = q v B = I t B = I l B t r r r F = I l B (1.7) Siła ta nazywana elektrodynamiczną działając na przewodnik z prądem jest wprost proporcjonalna do natęŝenia prądu I, długości przewodnika l oraz indukcji pola magnetycznego B. Silnik elektryczny Siłę elektrodynamiczną wykorzystuje się w silnikach elektrycznych. Rozpatrzmy uproszczony model silnika elektrycznego składającego się z pojedynczej ramki, w której płynie prąd, umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B, pomiędzy dwoma biegunami magnesu (w rzeczywistym silniku jest to kilka ramek o wspólnej osi obrotu). Ramka ta moŝe obracać się wokół własnej osi prostopadłej do kierunku wektora indukcji magnesu stałego. JeŜeli przez ramkę płynie prąd o natęŝeniu I, r r r to na kaŝdy z boków ramki działa siła elektrodynamiczna ( F = I l B ) skierowana prostopadle zarówno do kierunku przepływu prądu jak i do kierunku pola magnetycznego (rysunek 1.3). Siły działające na boki o długości a mają tę samą wartość, F = I ab, ale przeciwny zwrot i w efekcie kompensują się. Wartość siły działającej na kaŝdy z boków o długości b wynosi F = I bb. Siły te działają na ramieniu o długości a (odległość boku b od osi obrotu ramki wynosi a ) tak, Ŝe efektywnie na ramkę działać będzie moment sił M : ( a I bb sinα ) IA B sinα M = = (1.8), gdzie B oznacza indukcję pola magnetycznego, I natęŝenie prądu płynącego w prostokątnej ramce o wymiarach a x b i polu powierzchni A, zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny (prostopadły) do płaszczyzny ramki z wektorem B r. Zwrot wektora normalnego wyznaczamy z reguły śruby prawoskrętnej obracanej w kierunku opływania ramki przez prąd elektryczny. Strona 15

16 ROZDZIAŁ 1 Strona 16 Rysunek 1.3. Schemat zasady działania silnika elektrycznego prądu stałego Moment siły działający na ramkę z prądem jest maksymalny, kiedy płaszczyzna ramki jest równoległa do linii sił pola magnetycznego (α=π/). Jeśli ramka jest ustawiona prostopadle do kierunku pola magnetycznego (α=0) to wypadkowy moment sił jest równy zeru. JeŜeli ramka posiada jakąś prędkość obrotową to przechodzi przez martwe połoŝenie, jeŝeli natomiast ramka silnika będzie nieruchoma w takim połoŝeniu, to silnik nie moŝe ruszyć z miejsca. W praktyce w silnikach elektrycznych stosuje się układ ramek (uzwojenia) znajdujące się pod pewnym kątem względem siebie. Wówczas nawet, jeŝeli jedno z uzwojeń znajdować się będzie w martwym połoŝeniu na inne będzie działał niezerowy moment siły i silnik zacznie się obracać. Ze wzoru 1.8 wynika, Ŝe moment siły działający na ramkę silnika będzie dąŝył do jej ustawienia prostopadle do pola magnetycznego. Przy ustalonym kierunku przepływu prądu w ramce, po przejściu ramki przez martwe połoŝenie zmianie ulegnie zwrot momentu sił działających na ramkę ramka będzie chciała wrócić do martwego połoŝenia. W efekcie zamiast ruchu obrotowego, obserwowalibyśmy oscylacje ramki wokół tego martwego połoŝenia. Aby uzyskać ruch obrotowy naleŝy w momencie, gdy ramka silnika jest prostopadła do pola magnetycznego zmienić kierunek przepływu prądu. Zmianę kierunku przepływu prądu

17 MAGNETYZM w ramce zsynchronizowaną z obrotem ramki realizuje się za pomocą tzw. komutatora. Komutator zbudowany jest z dwóch elektrod w kształcie półpierścienia osadzonych na osi obrotu ramki, do których podłączone jest uzwojenie ramki. Po tych ruchomych elektrodach ślizgają się grafitowe szczotki, do których przyłoŝone jest napięcie źródła. Przeskok szczotek między półpierścieniami powoduje zmianę kierunku przepływu prądu w ramce Pole magnetyczne prądu Prawo Biota-Savarta Kierunek linii pola magnetycznego moŝemy określić eksperymentalnie za pomocą igły kompasu, która zawsze ustawia się wzdłuŝ linii pola magnetycznego. Jeśli taką igłę kompasu umieścimy w pobliŝu przewodnika to moŝemy zaobserwować, Ŝe igła obróci się w momencie włączenia prądu w przewodniku. Oznacza to, Ŝe przepływ prądu w przewodniku jest źródłem pola magnetycznego. Przemieszczając igłę magnetyczną wokół przewodnika moŝemy określić kierunek i zwrot wektora indukcji r pola magnetycznego B w kaŝdym punkcie. W przypadku przewodnika prostoliniowego linie pola magnetycznego tworzą okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku przepływu prądu elektrycznego. Kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wokół przewodnika moŝemy wyznaczyć z reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni. Jeśli przewodnik z prądem obejmiemy prawą dłonią tak, Ŝe kciuk wskazywać będzie kierunek przepływu prądu elektrycznego, to zagięte palce dłoni wyznaczać nam będą zwrot wektora B indukcji pola magnetycznego. r Wartość oraz zwrot wektora indukcji pola magnetycznego d B, pochodzącego od elementu dl przewodnika, przez który przepływa prąd elektryczny o natęŝeniu I, wyznaczone w odległości r od tego elementu dl, opisuje prawo Biota-Savarta: r r r µ 0I dl r db = (1.9), 3 4π r Strona 17

18 ROZDZIAŁ 1 7 H gdzie µ 0 jest przenikalnością magnetyczną próŝni µ 0 = 4π 10, m Vs m Vs H r [ µ 0 ] = 1 = 1 = 1. W powyŝszym wzorze wektor d l ma m A Am m zwrot zgodny z umownym zwrotem przepływu prądu w przewodniku, a wektor r r r prowadzimy od elementu d l do punktu P, w którym chcemy obliczyć wektor indukcji magnetycznej B r (rysunek 1.4). Rysunek 1.4. Wyznaczanie indukcji pola magnetycznego za pomocą prawa Biota Savarta Pole magnetyczne pętli z prądem Prostym przykładem zastosowania prawa Biota-Savarta moŝe być wyznaczenie indukcji B pola magnetycznego wytworzonego przez zamkniętą pętlę kołową o promieniu R, w której płynie prąd elektryczny o natęŝeniu I. JeŜeli będziemy szukać indukcji B w punkcie znajdującym się w środku tej pętli to odległość pomiędzy kaŝdym z fragmentów przewodnika a punktem, w którym obliczamy pole jest stała i wynosi R. r RównieŜ wektory d l oraz r r są do siebie prostopadłe w kaŝdym punkcie pętli, a więc szukając wartości db indukcji pola magnetycznego pochodzącego od odcinka dl przewodnika otrzymamy: Strona 18

19 MAGNETYZM µ 0 I dlr sin( π ) µ 0 I dl db = = 3 4πR 4πR (1.10) PoniewaŜ kaŝdy z wektorów db pochodzących od dowolnego fragmentu dl przewodnika będzie miał ten sam kierunek i zwrot prostopadły do płaszczyzny pętli, więc wypadkowy wektor indukcji pochodzący od całej pętli obliczymy, dokonując całkowania po całej długości okręgu: B = πr 0 µ I dl 0 4πR (1.11) µ B = 0I (1.1) R W podobny sposób moŝemy obliczyć indukcję pola magnetycznego w punkcie połoŝonym na osi przechodzącej przez środek pętli (rysunek 1.5). Rysunek 1.5. Obliczanie wektora indukcji pochodzącego od pętli z prądem W tym przypadku naleŝy jednak pamiętać, Ŝe wektory db pochodzące od fragmentów dl pętli nie są równoległe, a więc w obliczeniach wypadkowego natęŝenia naleŝy uwzględnić tylko składowe wzdłuŝ osi pętli db w. Składowe prostopadłe do osi, czyli równoległe do płaszczyzny pętli, pochodzące od dwóch fragmentów dl ułoŝonych symetrycznie na okręgu Strona 19

20 ROZDZIAŁ 1 będą się znosiły jak na rysunku 1.5. W takim przypadku wektor indukcji B w odległości Z od środka pętli wynosi: B ( Z ) µ 0IR = Z ( R + ) 3/ (1.13) MoŜna wykazać, Ŝe dla ramki z prądem o dowolnym kształcie, kierunek i zwrot wektora B indukcji pola magnetycznego, wytworzonego przez płynący w ramce prąd, jest prostopadły do płaszczyzny tej ramki. Ramka taka moŝe być scharakteryzowana za pomocą momentu magnetycznego µ r : r µ = AI r n (1.14), gdzie n r jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni ramki określonym prawoskrętnie w stosunku do kierunku przepływu prądu o I płynącego w ramce, A jest powierzchnią ramki. Kierunek i zwrot wektora momentu magnetycznego ramki z prądem jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego B wytworzony przez taką ramkę z prądem i taki sam jak wektora normalnego ramki. Przykładem urządzenia, w którym mamy do czynienia z oddziaływaniem pola magnetycznego na pętlę z prądem jest głośnik. W większości głośników w polu magnetycznym nieruchomego magnesu stałego umieszczana jest cewka z prądem, która moŝe poruszać się tylko w jednym kierunku. Do cewki zamocowana jest membrana głośnika. W zaleŝności od kierunku przepływu prądu w cewce, cewka i cała membrana są przyciągane lub odpychane przez magnes, a drgania membrany wytwarzają falę dźwiękową. Prawo Ampera Strona 0 Prawo Ampera pozwala łatwo obliczyć indukcję pola magnetycznego szczególnie w przypadkach, kiedy układ charakteryzuje się wysoką symetrią. KrąŜenie wektora indukcji po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe wypadkowemu natęŝeniu prądu przenikającemu przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnoŝonemu przez wartość przenikalności magnetycznej próŝni.

21 r r l = B cosθ dl = B d µ 0 I MAGNETYZM (1.15), gdzie B jest indukcją pola magnetycznego na konturze zamkniętym, dl wycinkiem tego konturu, θ kątem między wektorem B oraz dl, zaś I wartością wypadkowego prądu objętego przez zamknięty kontur. Krą- Ŝenie wektora indukcji magnetycznej wzdłuŝ krzywej zamkniętej (inaczej całkę po zamkniętym konturze) wyraziliśmy tutaj jako sumę (całkę) r iloczynów skalarnych wektora B w danym punkcie krzywej i wektora r dl stycznego do tej krzywej. Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z prądem Jako przykład zastosujemy prawo Ampera do obliczenia indukcji magnetycznej pochodzącej od nieskończenie długiego, prostoliniowego przewodnika. Jako krzywą zamkniętą wybieramy okrąg o promieniu r ułoŝony w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak, Ŝe przez jego środek przechodzi przewodnik. W tym przypadku wektor indukcji pola magnetycznego B w kaŝdym punkcie tego okręgu jest do niego styczny, podobnie jak wektor dl. PoniewaŜ wektory B oraz dl są do siebie równoległe i zgodne, czyli kąt θ jest równy zeru, to cosθ = 1 w kaŝdym punkcie konturu. W efekcie iloczyn skalarny moŝemy zastąpić iloczynem wartości. Ponadto wartość wektora indukcji B jest identyczna w kaŝdym punkcie okręgu, poniewaŝ kaŝdy jego punkt znajduje się w identycznej odległości od przewodnika i jako wartość stała moŝe być wyciągnięta przed znak całkowania. Pozostała całka po konturze zamkniętym jest równa długości tego konturu a więc w naszym przypadku długości obwodu okręgu o promieniu r: r r B d l = B dl cosθ = B dl = B dl = B π r (1.16) Na podstawie prawa Ampera przyrównujemy wyznaczone krąŝenie wektora indukcji magnetycznej do prądu objętego przez wybrany kontur zamknięty i moŝemy wyznaczyć indukcję pola magnetycznego B wytworzoną przez prąd elektryczny o natęŝeniu I płynący przez prostoliniowy przewodnik, w odległości r od tego przewodnika: B π r = µ 0 µ 0I B = π r I (1.17) Strona 1

22 ROZDZIAŁ 1 Zalety stosowania prawa Ampera do obliczenia indukcji pola magnetycznego pokazuje przykład kabla koncentrycznego. Kabel taki składa się z Ŝyły, oddzielonej warstwą izolatora od współśrodkowego metalowego ekranu (oplotu). Podobnie jak poprzednio, jako krzywą zamkniętą wybierzemy okrąg w płaszczyźnie prostopadłej do przewodu, współśrodkowy z Ŝyłą i oplotem. W kablu koncentrycznym prąd w ekranie płynie w przeciwną stronę niŝ w Ŝyle i dlatego suma natęŝeń prądów przecinających kulistą powierzchnię rozpiętą na okręgu obejmującym kabel jest równa zeru. Na mocy prawa Ampera oznacza to, Ŝe równieŝ indukcja pola magnetycznego na zewnątrz takiego kabla koncentrycznego jest równa zeru. Wzorzec ampera PoniewaŜ przewodnik z prądem jest źródłem pola magnetycznego, więc jeśli ustawimy dwa przewodniki z prądem równolegle do siebie (rysunek 1.6) to jeden znajdować się będzie w polu magnetycznym wytworzonym przez drugi. Wektor indukcji pola magnetycznego wytworzony przez przewodnik pierwszy jest zwrócony prostopadle do przewodnika µ 0 I 1 drugiego i zgodnie ze wzorem 1.17 wynosi B1 =, gdzie D ozna- π D cza odległość między przewodnikami, zaś I 1 jest natęŝeniem prądu elektrycznego płynącego w pierwszym przewodniku. Na przewodnik drugi działa więc siła Lorentza, której wartość wyznaczamy za pomocą wzoru 1.7: I I 1 l F = I l B1 = (1.18), π D gdzie l oznacza długość odcinka, na którym przewody są ułoŝone równolegle do siebie. Siła o identycznej wartości, lecz przeciwnym zwrocie będzie działać na przewodnik pierwszy. Kierunek działania siły wyznacza odcinek łączący przewodniki, a zwrot zaleŝy od kierunku przepływu prądów. Jeśli prądy mają zgodne kierunki, między przewodnikami występuje siła przyciągająca; jeśli kierunek prądu jest przeciwny odpychająca, jak na rysunku 1.6. Strona

23 MAGNETYZM Rysunek 1.6. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch równoległych przewodników z prądem: kierunek prądu zgodny (z lewej) i przeciwny (z prawej) Za pomocą elektrodynamicznej siły oddziaływania dwóch przewodników z prądem zdefiniowany jest wzorzec jednostki natęŝenia prądu elektrycznego układu SI ampera: Stały prąd elektryczny o natęŝeniu 1 ampera płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w odległości 1m od siebie powoduje wzajemne oddziaływanie tych przewodów ze sobą z siłą równą 7 10 N na kaŝdy metr długości przewodu. Pole magnetyczne solenoidu Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczyliśmy indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez pętlę z prądem. Wiemy juŝ, Ŝe indukcja ta skierowana jest prostopadle do płaszczyzny pętli. Wartość indukcji pola magnetycznego moŝemy zwiększyć układając koło siebie kolejne pętle. Taki układ wielu pętli, tzw. zwojów, nazywać będziemy cewką a w sytuacji, gdy zwoje te mają kształt okręgu, czyli gdy powstały w wyniku nawinięcia wielu zwojów na powierzchni cylindra nazywamy solenoidem. Pole magnetyczne wytwarzane wewnątrz cewki moŝemy obliczyć stosując prawo Ampera. RozwaŜmy prostokątny kontur zamknięty o długości a przecinający ściankę boczną cewki jak na rysunku 1.7 i obliczmy krąŝenie wektora indukcji po tym konturze. Jeśli solenoid jest nieskończenie długi (odpowiednio długi) to pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu nie istnieje (indukcja magnetyczna pochodząca od górnej części uzwojeń solenoidu jest kompensowana indukcją od dolnej części). Strona 3

24 ROZDZIAŁ 1 Rysunek 1.7. Zastosowanie prawa Ampera do obliczenia pola magnetycznego wewnątrz cewki solenoidalnej i toroidalnej W efekcie krąŝenie wektora indukcji magnetycznej dla odcinka konturu znajdującego się na zewnątrz solenoidu jest równe zeru. Odcinki prostopadłe do cewki są równieŝ prostopadłe do wektora indukcji magnetycznej i ze względu na zerową wartość iloczynu skalarnego krąŝenie na tych odcinkach równieŝ wynosi zero. Jedyny wkład do krąŝenia wektora B r po wybranej krzywej prostokątnej pochodzi zatem od odcinka równoległego do osi solenoidu znajdującego się wewnątrz tego solenoidu. PoniewaŜ pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne (indukcja magnetyczna B ma tę samą wartość i zwrot w kaŝdym punkcie), więc krąŝenie wektora indukcji magnetycznej na odcinku o długości a, będzie równe iloczynowi B oraz a. JeŜeli na tym odcinku o długości a znajduje się N uzwojeń solenoidu, w którym płynie prąd o natęŝeniu I, to suma natęŝeń prądów przecinających powierzchnię rozpiętą na wybranym konturze zamkniętym wyniesie N I. Prawo Ampera przyjmuje więc postać: B 0 a = µ N I (1.19) Stąd wartość wektora indukcji magnetycznej wyniesie: µ 0N I = = µ ni (1.0), a B 0 gdzie n oznacza gęstość nawinięcia zwojów ilość zwojów na jednostkę długości cewki. Strona 4

25 MAGNETYZM Pole magnetyczne toroidu W podobny sposób jak dla solenoidu, korzystając z prawa Ampera mo- Ŝemy obliczyć pole magnetyczne wytworzone przez toroid. W cewce toroidalnej uzwojenie jest nawinięte na torusie o przekroju prostokątnym lub kołowym. Jako krzywą zamkniętą wybierzemy w tym przypadku okrąg współśrodkowy do torusa, którego promień zawiera się w przedziale od wartości promienia wewnętrznego do promienia zewnętrznego cewki toroidalnej (Rysunek 1.7). PoniewaŜ rozwaŝany układ jest symetryczny, wektor indukcji w kaŝdym miejscu tego okręgu będzie taki sam tak, Ŝe ponownie całkę okręŝną moŝna będzie zastąpić wymnoŝeniem wektora indukcji przez długość tego konturu (obwód okręgu). Płaszczyznę rozpiętą na wybranym okręgu przecina N przewodników z prądem, w których płynie prąd o natęŝeniu I. Prawo Ampera przyjmuje zatem postać: π r = µ N I (1.1) B 0 Po przekształceniu otrzymujemy wzór na indukcję magnetyczną wewnątrz cewki toroidalnej: µ 0N I B = (1.) π r Jak widać, wartość wektora indukcji jest w tym przypadku odwrotnie proporcjonalna do promienia wybranego okręgu wartość indukcji wewnątrz toroidu jest największa w pobliŝu jego wewnętrznej, a najmniejsza przy jego zewnętrznej krawędzi. Moment magnetyczny W rozdziale 1. pokazaliśmy, Ŝe na przewodnik z prądem znajdujący się w polu magnetycznym działać będzie siła elektrodynamiczna r r r F = I l B (wzór 1.7). Obliczyliśmy, Ŝe moment M siły, działający na prostokątną ramkę z prądem, którą umieścimy w polu magnetycznym o indukcji B, będzie wynosić M = I A B sinα (wzór 1.8), gdzie A oznacza powierzchnię ramki z prądem, I natęŝenie prądu płynącego w ramce zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny do płaszczyzny ramki z wektorem indukcji magnetycznej B. Moment sił działający na ramkę obraca ją tak, aby ustawiła się prostopadle do linii zewnętrznego pola magnetycznego. Strona 5

26 ROZDZIAŁ 1 Przypomnijmy równieŝ, Ŝe ramka z prądem wytwarza pole magnetyczne prostopadłe do płaszczyzny tej ramki (rysunek 1.5) o kierunku i zwrocie zgodnym z wektorem momentu magnetycznego r µ = AI r n (wzór r 1.14). Za pomocą tak zdefiniowanego momentu magnetycznego r µ ramki z prądem moŝna równieŝ wyrazić wektorowo moment sił M działających na ramkę umieszczoną w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B: r r r M = µ B (1.3) Z powyŝszego równania wynika, Ŝe moment M sił obraca ramkę z prądem tak, aby jej moment magnetyczny µ r ustawił się zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym o indukcji B. Momentowi magnetycznemu ramki z prądem moŝemy przypisać równieŝ pewną energię potencjalną, zaleŝną od jego ustawienia względem pola magnetycznego. Praca obrócenia ramki z prądem o pewien kąt α w zewnętrznym polu magnetycznym B związana jest z momentem sił działających na tę ramkę: W = M dα = µ 0B sinα dα = µ 0 B cosα r r W = µ B µ (1.4), gdzie α oznacza kąt między wektorem indukcji B zewnętrznego pola magnetycznego, a wektorem r µ momentu magnetycznego ramki z prądem. Energia ramki z prądem umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B jest równa powyŝszej pracy, jaką naleŝy wykonać, aby ustawić ją w ustalonej pozycji w zewnętrznym polu magnetycznym. W przypadku, gdy moment magnetyczny ramki r µ ma taki sam zwrot jak wektor indukcji pola magnetycznego B, czyli dla pozycji α = 0 energia ta wynosi E 0 = µ B cos ( 0) = µ B zaś w pozycji α = π E π = µ B cos ( π ) = µ B, a więc praca obrócenia ramki z prądem o kąt π wynosi W = obrotu µ B. Strona 6

27 MAGNETYZM 1.4. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Przekonaliśmy się, Ŝe przepływ prądu stałego wytwarza pole magnetyczne. Doświadczenia, przeprowadzone przez angielskiego fizyka Michaela Faradaya i amerykańskiego Josepha Henry ego w 1831 roku pokazały, Ŝe moŝliwe jest równieŝ wywołanie przepływu prądu za pomocą pola magnetycznego a odkryte zjawisko zostało nazwane indukcją elektromagnetyczną. Prawo indukcji Faradaya Jeśli umieścimy nieruchomy magnes w pobliŝu pętli z przewodnika, nie zaobserwujemy przepływu prądu średnia prędkość nośników ładunku w przewodniku jest równa zeru, a zatem wartość siły Lorentza działającej na te nośniki jest równieŝ równa zeru. Siła Lorentza pojawi się jednak, jeśli przewodnik będzie poruszał się w polu magnetycznym, przecinając linie sił tego pola. Działanie siły Lorentza spowoduje spychanie nośników jednego znaku w określonym kierunku między końcami przewodnika wytworzy się zatem napięcie. Taki sam efekt zaobserwujemy, kiedy magnes porusza się względem przewodnika. Jeśli końce przewodnika połączymy z galwanometrem, zauwaŝymy, Ŝe przez obwód popłynie prąd indukowany. W obwodzie takim pojawią się dwa spadki napięcia jeden na galwanometrze, drugi na pętli. Suma tych spadków napięć jest równa sile elektromotorycznej. Podobnie jak w przypadku ogniwa, siłę elektromotoryczną, oznaczaną równieŝ jako SEM, definiujemy jako stosunek pracy W wykonanej na przeniesienie ładunku q w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku q. Siłę elektromotoryczną SEM, podobnie jak napięcie, wyraŝamy w woltach [V]. PrzybliŜając i oddalając magnes do pętli z przewodnika moŝemy zauwa- Ŝyć, Ŝe napięcie mierzone na jego końcach jest tym większe, im szybciej będzie poruszał się magnes. Do wytworzenia napięcia na zaciskach pętli przewodnika moŝemy uŝyć równieŝ drugiej pętli. Zmiany pola magnetycznego moŝna w tym przypadku uzyskać zarówno przybliŝając i oddalając pętlę zasilaną prądem stałym jak i przepuszczając przez nieruchomą pętlę prąd zmienny. Strona 7

28 ROZDZIAŁ 1 Strona 8 Wartość siły elektromotorycznej SEM powstałej w zjawisku indukcji magnetycznej określa prawo indukcji Faradaya: Wartość siły elektromagnetycznej indukowanej w obwodzie zamkniętym jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. dφ SEM = B (1.5) dt Wielkość Φ B oznacza strumień magnetyczny (strumień wektora indukcji magnetycznej), który definiujemy podobnie jak strumień natęŝenia pola elektrycznego (wzór 10.5 oraz 10.6) jako iloczyn skalarny wektora indukcji magnetycznej i wektora normalnego do danej powierzchni. r r ΦB = B ds (1.6) Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [1 Wb=1 V s]. Jeśli wektor indukcji pola magnetycznego B jest stały w kaŝdym punkcie i przecina powierzchnię S pod pewnym stałym kątem, wówczas strumień wektora indukcji magnetycznej przechodzącej przez tę powierzchnię wyrazimy jako: r r Φ B = B S = B S cosα (1.7), gdzie α oznacza kąt między wektorem S normalnym do powierzchni a wektorem indukcji magnetycznej B. Reguła Lenza Kierunek przepływu prądu indukowanego w obwodzie zamkniętym określa reguła przekory Lenza: Prąd indukowany w obwodzie płynie w takim kierunku, Ŝe jego pole magnetyczne przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd wywołuje. Jeśli magnes stały zbliŝamy do obwodu zamkniętego, zwiększa się liczba linii pola magnetycznego przecinająca powierzchnię określoną przez ten obwód, czyli wzrasta strumień magnetyczny. śeby przeciwdziałać temu wzrostowi strumienia magnetycznego, zgodnie z regułą Lenza, w obwodzie zostanie wyindukowany prąd o takim kierunku przepływu, Ŝeby wektor indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez

29 MAGNETYZM ten prąd miał przeciwny zwrot do linii pola magnesu sztabkowego. W efekcie obwód ten będzie odpychać zbliŝający się magnes. Jest to zgodne z zasadą zachowania energii zbliŝając magnes do pętli musimy wykonać pracę, aby przeciwstawić się siłom wzajemnego odpychania magnesu i pętli. Praca mechaniczna jest zamieniana w pracę wykonaną nad nośnikami ładunku dochodzi zatem do zamiany energii mechanicznej w energię elektryczną. Gdyby kierunek przepływu prądu w pętli był odwrotny, magnes byłby przyciągany w kierunku pętli poruszałby się zatem coraz szybciej, indukując coraz większy prąd. Otrzymalibyśmy urządzenie wytwarzające energię bez konieczności wykonywania pracy perpetuum mobile pierwszego rodzaju. Urządzenie takie nie spełnia zasady zachowania energii. Przykład Prostokątna ramka o szerokości l, wykonana z przewodnika o całkowitym oporze R jest wyciągana z obszaru pola magnetycznego o indukcji B, prostopadłego do płaszczyzny ramki. Oblicz, jaka moc jest niezbędna, by zapewnić stałą prędkość v wysuwania tej ramki. Wyznacz ciepło, jakie wydzieli się na oporze ramki. W zadaniu tym strumień pola magnetycznego jest określony przez powierzchnię tej części ramki, która znajduje się w polu magnetycznym. Szerokość ramki wynosi l a długość tej części ramki, która znajduje się w polu magnetycznym oznaczmy przez x. Jeśli ramka jest wyciągana z obszaru pola magnetycznego ze stałą prędkością to długość x będzie się zmniejszała stale w czasie ( x = x 0 + vt ). Oznacza to, Ŝe równieŝ powierzchnia obszaru znajdującego się w polu magnetycznym będzie się zmniejszała proporcjonalnie do czasu zmieniając tym samym strumień wektora indukcji magnetycznej. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya siła elektromotoryczna SEM przeciwdziałająca takiej zmianie strumienia wynosi: ( B lx ) dφ d B SEM = = = B lv dt dt (1.8) PoniewaŜ opór ramki wynosi R, korzystając z prawa Ohma obliczamy wartość natęŝenia prądu przepływającego przez ramkę: B l v I = (1.9) R Strona 9

30 ROZDZIAŁ 1 Strona 30 Zgodnie z załoŝeniami, ramka porusza się ruchem jednostajnym, czyli siła, którą musimy działać na ramkę, aby utrzymać stałą prędkość jej przesuwu, równowaŝy siłę działającą na przewodnik z prądem w polu magnetycznym: r r r B l v FB = I l B = R (1.30) Stąd moŝemy obliczyć moc mechaniczną niezbędną do poruszania ramki: B l v P = F v = R = I R (1.31) Wyznaczona przez nas moc mechaniczna jest równa mocy wydzielanej w postaci ciepła na całkowitym oporze elektrycznym ramki. Prądy wirowe prawo Faradaya Zmienny prąd elektryczny płynący przez pętlę z przewodnika wytwarzać będzie zmieniające się w czasie pole magnetyczne. Umieśćmy teraz w pobliŝu (w polu magnetycznym pierwszej pętli) drugą pętlę z przewodnika. Przez pętlę tę przechodzić będzie strumień indukcji pola magnetycznego proporcjonalny do pola powierzchni drugiej pętli oraz wartości indukcji magnetycznej wytworzonej przez pierwszą pętlę zmieniającej się w czasie. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya zmiana strumień pola magnetycznego powoduje powstanie siły elektromotorycznej, co w konsekwencji wywoła przepływ ładunku elektrycznego w drugiej pętli. Jeśli zamiast drugiej pętli postawimy litą płytę z przewodnika zmienne pole magnetyczne wywoła wirowe pole elektryczne w tej płycie ruch nośników ładunku w przewodzącej płycie dobywać się będzie wzdłuŝ krzywych zamkniętych (w szczególnych przypadkach okręgów). Aby obliczyć wartość siły SEM takiego wirowego pola elektrycznego musimy najpierw obliczyć pracę przemieszczenia ładunku elektrycznego q wzdłuŝ linii pola (okrąg o promieniu r ): r r W = F dl = qe π r (1.3) Wówczas siła elektromotoryczną SEM zgodnie z definicją będzie równa stosunkowi wykonanej nad ładunkiem pracy W do wartości q tego ładunku będzie miał postać:

31 = E MAGNETYZM r r ε = W/q dl (1.33), r r gdzie E = F q. Porównując otrzymaną zaleŝność z prawem indukcji Faradaya otrzymujemy prawo Faradaya: r r E dl = dφb dt (1.34) Jeśli w jakimś obszarze obserwujemy pole magnetyczne zmienne w czasie, to wokół tego obszaru powstaje wirowe pole elektryczne. Znak minus w powyŝszym wzorze wyraŝa regułę przekory Lenza, czyli mówi nam, Ŝe powstałe wirowe pole elektryczne przeciwdziałać będzie zmianom strumienia pola magnetycznego. Warto porównać zaleŝność 1.34 z zaleŝnością 10.1 dla elektrostatyki, wiąŝącą natęŝenie pola i róŝnicę potencjałów w polu elektrostatycznym. W przypadku prawa Faradaya, a więc w przypadku pola magnetycznego, obliczając pracę przemieszczenia ładunku całkowanie wykonujemy wzdłuŝ pewnej krzywej zamkniętej, podczas gdy w elektrostatyce praca przesunięcia po krzywej zamkniętym była równa zeru, bo wracaliśmy do punktu o tym samym potencjale elektrycznym. W elektrostatyce praca przeniesienia ładunku między dwoma punktami nie zaleŝała od wyboru drogi przemieszczenia, ale jedynie od róŝnicy potencjałów między tymi punktami. W przypadku pola wywołanego indukcją elektromagnetyczną nie moŝemy jednak określić potencjału pola w danym punkcie przestrzeni. Wykrywacze metali wykorzystują właśnie wirowe pola elektryczne oraz prawo Faradaya do detekcji obiektów metalowych. W pętli z przewodnika, znajdującej się w dolnej części urządzenia wytwarzany jest impulsowy prąd elektryczny, co powoduje powstanie zmiennego pola magnetycznego. Jeśli poniŝej pętli znajduje się metalowy przedmiot, to takie zmienne pole magnetyczne wywoła w metalu przepływ prądu wirowego. PoniewaŜ ten wirowy prąd będzie zmieniał się w czasie wytworzy zatem zmienne pole magnetyczne. Pole to z kolei wyindukuje w obwodzie wykrywacza metali prąd płynący w kierunku przeciwnym do kierunku pierwotnego impulsu. Monitorując zatem natęŝenie prądu w pętli wykrywacza moŝemy wykryć obecność metalowego przedmiotu. Na podobnej zasadzie działają stosowane na lotniskach bramki zabezpieczające przed wnoszeniem metalowej broni. Strona 31

32 ROZDZIAŁ 1 Prądnica i alternator Opierając się na zjawisku indukcji elektromagnetycznej, moŝemy zbudować urządzenie nazywane prądnicą, która zamienia pracę mechaniczną na energię elektryczną. Budowa prądnicy jest identyczna jak budowa omawianego juŝ wcześniej silnika elektrycznego. Pomiędzy dwoma biegunami magnesu umieszczamy ramkę, mogącą obracać się wokół osi prostopadłej do kierunku wektora indukcji magnetycznej wytworzonej przez ten magnes. Obroty ramki będą powodowały zmiany wartości strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez ramkę a więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya w ramce będzie powstawała siła elektromotoryczna i prąd elektryczny. Kiedy płaszczyzna ramki znajduje się w połoŝeniu równoległym do kierunku wektora indukcji magnetycznej, strumień tego wektora jest równy zeru, a jego zmiany są wówczas maksymalne. Strumień osiąga wartość maksymalną, kiedy płaszczyzna ramki jest ustawiona prostopadle do kierunku wektora indukcji. Zmiany wartości strumienia wektora indukcji magnetycznej Φ B, indukowana siła elektromotoryczna E oraz schematyczne połoŝenie ramki między magnesami w funkcji czasu przedstawiono na Rysunku 1.8. Strona 3 Rysunek 1.8. ZaleŜność czasowa strumienia indukcji magnetycznej i siły elektromotorycznej dla prądnicy Zgodnie z definicją, siła elektromotoryczna indukowana na końcach ramki zaleŝy od zmian strumienia wektora indukcji magnetycznej. Siła elektromotoryczna odpowiada zatem współczynnikowi nachylenia wykreślonej wartości strumienia wektora indukcji magnetycznej od czasu. W przypadku prądnicy najszybsze zmiany strumienia następują, gdy

33 MAGNETYZM ramka przechodzi przez połoŝenie, w którym jej płaszczyzna jest równoległa do kierunku wektora indukcji. W prądnicy, podczas przejścia przez połoŝenie, w którym płaszczyzna ramki jest prostopadła do kierunku wektora indukcji, następuje zamiana kierunku podłączeń kontaktów elektrycznych ramki jest to realizowane podobnie jak w przypadku silnika elektrycznego za pomocą komutatora. Z tego względu na wykresie siły elektromotorycznej SEM nie obserwujemy przejścia przez zero. Prądnica generuje prąd zmienny, ale wartości siły elektromotorycznej zawsze mają jednakowy kierunek. W przypadku alternatora końce ramki są podłączone zawsze do tych samych kontaktów elektrycznych. W momencie przejścia ramki przez połoŝenie prostopadłe następuje zmiana znaku siły elektromotorycznej (zmiana kierunku przepływu prądu) krzywa przecina oś odciętych. Alternator generuje prąd sinusoidalnie zmienny. Indukcyjność JeŜeli w uzwojeniu cewki elektrycznej będzie płynął zmienny prąd to pole magnetyczne wytworzone wewnątrz cewki będzie się zmieniać w czasie. A więc uzwojenie cewki obejmować będzie zmienny strumień pola magnetycznego. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya na uzwojeniu cewki indukować się zatem będzie prąd elektryczny, który zgodnie z regułą Lenza przeciwdziałać będzie zmianom strumienia wektora indukcji pola magnetycznego, które wywołały powstanie pola magnetycznego w cewce. W momencie podłączenia cewki do źródła w jej uzwojeniu zaczyna płynąć prąd wytwarzający pole magnetyczne. Wówczas w cewce indukowany jest prąd, wytwarza pole magnetyczne przeciwstawiające się powstałemu polu magnetycznemu, a więc prąd o kierunku przeciwnym niŝ prąd źródła. Jeśli natomiast odłączamy cewkę od źródła, to poniewaŝ natęŝenie prądu w uzwojeniu maleje, powstały prąd indukowany płynie w kierunku zgodnym z prądem źródła przeciwstawiając się zanikowi prądu. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya siła elektromotoryczna, powstająca na jednym zwoju cewki wynosi: SEM dφ = B (1.35), zwój dt Strona 33

34 ROZDZIAŁ 1 Strona 34 gdzie Φ B = BS jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez przekrój S pojedynczego uzwojenia. Całkowity strumień magnetyczny dla cewki, równy N Φ B, jest proporcjonalny do natęŝenia przepływającego prądu I : N Φ B = L I (1.36) N ΦB L = (1.37) I Współczynnik proporcjonalności L nazywany indukcyjnością jest cechą charakterystyczną danego elementu indukcyjnego. Jednostką Vs Wb indukcyjności jest jeden henr [ 1H = 1 = 1 ]. A A Podstawiając powyŝszą zaleŝność 1.36 do wzoru 1.35 znajdujemy całkowitą siłę elektromotoryczną powstałą w cewce, która jest proporcjonalna do pochodnej natęŝenia prądu po czasie: ε di = L (1.38) dt Obliczmy indukcyjność dla solenoidu. Korzystając ze wzoru 1.0 na indukcję pola magnetycznego wewnątrz solenoidu moŝemy wyznaczyć strumień wektora indukcji pola magnetycznego przecinający powierzchnię S przekroju solenoidu: ( µ ni ) S = ( na)( ni )S Φ = N B S = N 0 0 (1.39), B µ gdzie a oznacza długość solenoidu, N ilość zwojów, n = N/a gęstość nawinięcia uzwojenia. Podstawiając tak wyznaczony strumień Φ B do wzoru 1.37 na indukcyjność L otrzymujemy: ( na)( µ In)( S ) NΦB 0 L = = = µ 0n as = µ 0n V (1.40), I I gdzie as = V jest objętością solenoidu. Warto pamiętać, Ŝe indukcyjność wykazują nie tylko cewki, ale takŝe pozostałe elementy obwodów elektrycznych. Nawet prosty fragment przewodnika posiada pewną niewielką indukcyjność. Z tego względu przy projektowaniu obwodów, szczególnie tych, w których występują szybkie zmiany natęŝenia prądu elektrycznego np. podzespołów komputera, pracujących z sygnałami

35 MAGNETYZM elektrycznymi zmiennymi z częstotliwością rzędu gigahertzów naleŝy zawsze uwzględniać efekty związane z indukcyjnością. Zjawisko samoindukcji jest równieŝ przyczyną powstawania tzw. przepięć indukcyjnych w obwodach elektrycznych. Jeśli w obwodzie znajdują się urządzenia wyposaŝone w elementy o duŝej indukcyjności np. silniki elektryczne lub zasilacze komputerowe w trakcie wyłączania urządzeń w obwodzie moŝe wytwarzać się siła elektromotoryczna o znacznej wartości. Powoduje ona krótkotrwały impuls wysokiego napięcia, który moŝe znacznie przekraczać nominalne napięcie przewidziane dla elementów obwodu. MoŜe być to przyczyną występowania przebić w izolacji elektrycznej lub przeciąŝenia bezpieczników obwodu. Sposobem na uporanie się z drugim problemem jest stosowanie tzw. bezpieczników zwłocznych. Bezpieczniki tego typu nie rozłączają obwodu pod wpływem przepływu prądu o charakterze impulsowym. Inną metodą redukcji niepoŝądanych skutków zjawiska samoindukcji jest włączenie w obwód kondensatora, który pozwala na zmagazynowanie energii elektrycznej związanej z impulsem powstałym na skutek samoindukcji. Energia ta jest następnie rozpraszana na elementach oporowych. Indukcja wzajemna Jeśli dwie cewki umieścimy blisko siebie, tak Ŝe strumień pola magnetycznego wytworzonego przez jedną cewkę przepływa częściowo przez uzwojenia drugiej cewki, zmiany pola magnetycznego wytworzonego przez pierwszą cewkę doprowadzą do wytworzenia siły elektromotorycznej na uzwojeniu drugiej cewki. Zjawisko to nosi nazwę indukcji wzajemnej. Efekt ten jest tym wyraźniejszy, tym większy jest współczynnik sprzęŝenia, im większa część strumienia pola magnetycznego wytworzonego przez jedną cewkę obejmuje drugą cewkę. Warunek ten moŝemy zapewnić np. umieszczając jedno uzwojenie osiowo wewnątrz drugiego. Transformator Omawiając właściwości ferromagnetyków oraz wpływ przenikalności magnetycznej materiału na wartość indukcji pola magnetycznego (Rozdział 1.3.) wykazaliśmy, Ŝe indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia ferromagnetycznego jest wielokrotnie silniejsza niŝ w powietrzu. W transformatorach na rdzeń ferromagnetyczny o kształcie prostokątnej ramki nawinięte są dwa uzwojenia (Rysunek 1.9). Napięcie zmienne U 1 Strona 35

36 ROZDZIAŁ 1 przyłoŝone do jednego z uzwojeń (uzwojenie pierwotne) powodować będzie przepływ prądu zmiennego w tym uzwojeniu i wywoływać zmienne pole magnetyczne, którego indukcja jest proporcjonalna do liczby zwojów N 1 w uzwojeniu pierwotnym. Dla idealnego transformatora strumień magnetyczny nie ulega rozproszeniu na zewnątrz rdzenia transformatora, więc do drugiego uzwojenia, uzwojenia wtórnego, dotrze zmienny strumień magnetyczny wytworzony w uzwojeniu pierwotnym. W efekcie, zgodnie z zasadą indukcji Faradaya, w drugim uzwojeniu powstanie siła elektromotoryczna U, której wartość zaleŝeć będzie takŝe od liczby uzwojeń N w uzwojeniu wtórnym. W efekcie otrzymujemy, Ŝe stosunek napięć na uzwojeniach pierwotnym i wtórnym jest równy stosunkowi ilości zwojów w obu uzwojeniach: U 1 N = 1 (1.41) Stosunek ten nazywany jest przekładnią transformatora. U Otrzymujemy w ten sposób transformator urządzenie do zamiany wartości napięcia prądu zmiennego, przy zachowaniu pierwotnej częstotliwości zmian tego napięcia i (prawie) tej samej mocy. Sprawność transformatorów jest zwykle duŝa, a straty energii związane są z oporem uzwojeń oraz energią niezbędną na przemagnesowanie rdzenia. Strat związanych z prądami wirowymi powstającymi w rdzeniu moŝemy częściowo uniknąć, dzieląc rdzeń na cienkie blaszki polakierowane jednostronnie warstwą nieprzewodzącą. N Rysunek 1.9. Schemat konstrukcji transformatora (z lewej) i autotransformatora (z prawej) Warto podkreślić, Ŝe napięcie w obwodzie wtórnym jest przesunięte w fazie względem prądu w obwodzie pierwotnym o π ma, zgodnie z regułą Lenza, przeciwną fazę do napięcia pierwotnego. Strona 36

37 MAGNETYZM Autotransformator Szczególnym typem transformatora jest autotransformator. W urządzeniu tego typu występuje tylko jedno uzwojenie. Spełnia ono rolę jednocześnie uzwojenia pierwotnego i wtórnego stosunek wartości napięcia na uzwojeniu wtórnym do napięcia na uzwojeniu pierwotnym zaleŝy od miejsca podłączenia styków obu obwodów do uzwojenia (Rysunek 1.9). W autotransformatorze regulowanym kontakt elektryczny obwodu wtórnego z uzwojeniem następuje za pomocą ruchomej szczotki grafitowej, co umoŝliwia płynną regulację napięcia na uzwojeniu wtórnym. Transformatory wykorzystywane są powszechnie w energetycznych sieciach przesyłowych najpierw do podwyŝszenie wartości napięcia na linii przesyłowej a następnie do obniŝenia napięcia w stacji odbiorczej. Wysokie napięcia linii przesyłowych pozawalają znacznie zmniejszyć wartość natęŝenia przesyłanego prądu jednocześnie zachowując tę samą moc prądu (P = U I ), a mniejsze natęŝenie prądu oznacza mniejsze straty cieplne związane z oporem elektrycznym (prawo Joula). Ciekawym przykładem transformatora jest cewka zapłonowa samochodu. Prąd stały o niskim napięciu z akumulatora jest zamieniany w prąd skokowo zmienny przez tzw. przerywacz. Jest on połączony z zaciskami cewki o niewielkiej ilości zwojów, nawiniętej na wspólnym rdzeniu z cewką o duŝej ilości zwojów. Taki zmienny (przerywany) sygnał prądowy generuje na uzwojeniu wtórnym wysokie napięcie, które jest następnie przekazywane na świece zapłonowe, a one w odpowiedniej chwili inicjują zapłon mieszanki paliwowej Magnetyczne własności materii W poprzednim rozdziale ramce z prądem przypisywaliśmy moment magnetyczny µ r. RównieŜ elektronom krąŝącym na orbicie wokół jądra atomowego moŝna przypisać moment magnetyczny ruch elektronu odpowiada przepływowi prądu w ramce. PoniewaŜ elektron charakteryzuje się ujemnym ładunkiem elektrycznym to zwrot wektora momentu magnetycznego µ r tego elektronu jest przeciwny do zwrotu wektora L r jego orbitalnego momentu pędu. Strona 37

38 ROZDZIAŁ 1 Rysunek Orbitalny dipolowy moment magnetyczny elektronu Oprócz orbitalnego momentu magnetycznego, elektron posiada takŝe wewnętrzny moment magnetyczny, niezaleŝny od jego ruchu orbitalnego, nazywany spinem. (spinowy moment magnetyczny). Spinowy moment magnetyczny moŝe przybierać dwie wartości o przeciwnych zwrotach, skierowane prostopadle względem płaszczyzny orbity. Całkowity moment magnetyczny atomu moŝemy obliczyć sumując orbitalne i spinowe momenty magnetyczne wszystkich elektronów. Własności magnetyczne materii są wynikiem oddziaływania wewnętrznych momentów magnetycznych, charakteryzujących poszczególne atomy, z zewnętrznym polem magnetycznym, jak równieŝ wzajemnego oddziaływania sąsiadujących momentów magnetycznych. Jak pokazaliśmy na przykładzie prostokątnej ramki z prądem na moment magnetyczny umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment sił powodujący ustawienie wektora momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem i zwrotem zewnętrznego pola magnetycznego. Warto podkreślić, Ŝe zachowanie takie ma podobny charakter jak oddziaływania dipolu elektrycznego z zewnętrznym polem elektrycznym. Tak samo jak dipol elektryczny umieszczony między okładkami kondensatora ustawia się w kierunku pola elektrycznego (odwraca się ładunkiem dodatnim w kierunku ujemnie naładowanej okładki kondensatora) tak magnes umieszczony w polu magnetycznym ustawi się w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. Zewnętrzne pole magnetyczne moŝemy scharakteryzować za pomocą wektora natęŝenia pola magnetycznego H r. Wektor natęŝenia i wektor indukcji pola magnetycznego mają ten sam kierunek i zwrot a współczynnikiem proporcjonalności jest stała charakteryzująca właściwości magnetyczne ośrodka dla próŝni jest to przenikalność magnetyczna próŝni μ 0 : Strona 38

39 MAGNETYZM r r B = H (1.4) µ 0 Umieszczenie materiału w zewnętrznym polu magnetycznym o natęŝeniu H spowoduje uporządkowanie atomowych momentów magnetycznych w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego wpływając jednocześnie na wartość efektywnego pola magnetycznego wewnątrz materiału. Podobnie jak dla dielektryków wprowadziliśmy wektor polaryzacji i podatność elektryczną, tak teraz dla magnetyków wprowadzamy wektor namagnesowania M r i podatność magnetyczną χ. Wektor namagnesowania M r charakteryzuje moment magnetyczny jednostki objętości materiału wywołany zewnętrznym polem magnetycznym o natę- Ŝeniu H r : r r r M = χ H = ( µ r 1)H (1.43) Podatność magnetyczna χ ( chi ) jest współczynnikiem proporcjonalności magnetyzacji M od natęŝenia pola magnetycznego H. Współczynnik μ r nazywa się względną przenikalnością magnetyczną ośrodka i pokazuje ilekroć większa będzie indukcja pola magnetycznego w cewce wypełnionej materiałem w stosunku do cewki próŝniowej: r r B = µ 0 µ r H (1.44) Wykonując np. rdzeń cewki z materiału o duŝej wartości podatności magnetycznej (np. z Ŝelaza), moŝemy uzyskać wielokrotnie większą wartość indukcji magnetycznej niŝ dla cewki bez rdzenia (próŝniowej). Z Ŝelaza wykonuje się np. rdzenie elektromagnesów. Efektywne pole magnetyczne (efektywna indukcja magnetyczna) w rdzeniu (w materiale) jest sumą zewnętrznego pola magnetycznego ( H r ) oraz pola magnetycznego związanego z wektorem namagnesowania rdzenia ( M r ): r r r B = µ H + M (1.45) 0 µ 0 Strona 39

40 ROZDZIAŁ 1 Rodzaje magnetyków Ze względu na własności magnetyczne, materiały moŝemy podzielić na: diamagnetyki paramagnetyki ferromagnetyki Własności dia- i paramagnetyzmu są własnościami atomowymi i występują we wszystkich stanach skupienia, zaś ferromagnetyzm występuje tylko w ciałach stałych. Diamagnetyki W przypadku diamagnetyków pole zewnętrzne wywołuje magnetyzację materiału o zwrocie przeciwnym do tego pola. Podatność magnetyczna 5 diamagnetyków przyjmuje wartości ujemne rzędu 10. Przykładami diamagnetyków są ołów, miedź, rtęć i srebro. Diamagnetyki są wypychane z obszaru niejednorodnego pola magnetycznego. Paramagnetyki W atomach paramagnetyków wypadkowy moment magnetyczny jest róŝny od zera. Wartość podatności jest w temperaturze pokojowej jednak 5 niewielka, rzędu10 4 do 10. Umieszczone w polu magnetycznym momenty magnetyczne atomów dąŝą do ustawienia się zgodnie z kierunkiem pola magnetycznego. PoniewaŜ drgania cieplne przeciwdziałają uporządkowaniu momentów magnetycznych, podatność maleje wraz ze wzrostem temperatury. ZaleŜność temperaturową podatności χ paramagnetyków określa prawo Curie: C χ = (1.46), T gdzie C jest wielkością charakterystyczną dla materiału paramagnetyka nazywaną stałą Curie. Umieszczone w polu magnetycznym niejednorodnym paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego pola. Paramagnetykami są np. lit, glin i platyna. Strona 40

41 MAGNETYZM Ferromagnetyki W ferromagnetykach istnieją silne oddziaływania pomiędzy momentami magnetycznymi sąsiadujących atomów. Powoduje to tworzenie się obszarów, tzw. domen magnetycznych, o uporządkowanym ustawieniu momentów magnetycznych. Przypomnijmy, Ŝe wpływ sąsiadów na zjawiska porządkowania dipoli elektrycznych opisywaliśmy juŝ w przypadku ferroelektryków. Opis procesów porządkowania momentów magnetycznych w ferromagnetykach jest podobny do porządkowania dipoli elektrycznych w ferroelektrykach, choć oczywiście przyczyny ich występowania są róŝne w przypadku pola magnetycznego i elektrycznego. PoniewaŜ ustawienie wszystkich momentów magnetycznych w materiale w jednym kierunku powodowałoby wytwarzanie na zewnątrz silnego pola magnetycznego, co jest niekorzystne z punktu widzenia wysokiej energii układu, w materiale na ogół występuje wiele domen o róŝnym kierunku uporządkowania, tak by pola na zewnątrz próbki nie było. Kiedy nienamagnesowany ferromagnetyk umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym, wraz ze wzrostem natęŝenia tego pola momenty magnetyczne domen będą ustawiać się zgodnie z kierunkiem pola, co spowoduje wzrost namagnesowania. W przypadku ferromagnetyków podatność magnetyczna moŝe przyjmować duŝe wartości rzędu setek lub tysięcy. Kiedy wartość pola zewnętrznego jest na tyle duŝa, Ŝe wszystkie momenty magnetyczne ustawią się w jednym kierunku (powstanie jedna duŝa domena), uporządkowanie momentów magnetycznych próbki osiągnie stan nasycenia (Rysunek 1.11). Rysunek Pętla histerezy ferromagnetyka Strona 41

42 ROZDZIAŁ 1 Przy zmniejszeniu wartości zewnętrznego pola magnetycznego do zera, namagnesowanie ferromagnetyka nie spadnie do zera, ale utrzyma się na pewnym poziomie. Poziom ten nazywamy pozostałością magnetyczną (remanencją). Aby rozmagnesować materiał, naleŝy przyłoŝyć zewnętrzne pole skierowane przeciwnie do tego, jakie zostało uŝyte do jego namagnesowania. Wartość pola niezbędna do rozmagnesowania materiału nazywamy polem koercji. W zmiennym polu zewnętrznym wykres namagnesowania zakreśli pętlę histerezy. Pole zawarte wewnątrz pętli histerezy jest proporcjonalne do pracy, wykonanej na przemagnesowanie materiału w jednym cyklu. Materiały miękkie magnetycznie mają wąską pętlę histerezy, a twarde magnetycznie szeroką. Z tego względu materiały twarde magnetycznie dobrze nadają się do wyrobu magnesów trwałych lub pamięci magnetycznych w zastosowaniach, w których wymagana jest trwałość zapisanej informacji. Materiały miękkie magnetycznie równieŝ mogłyby być wykorzystane jako pamięci magnetyczne ich przemagnesowane (zapis informacji cyfrowej) wymaga niewielkiej energii, jednak pod wpływem zakłóceń i zewnętrznych pól magnetycznych informacja w nich zgromadzona moŝe ulec uszkodzeniu. Właściwości ferromagnetyczne materii obserwujemy tylko poniŝej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie T C. PowyŜej tej temperatury energia drgań cieplnych przewyŝsza energię uporządkowania dipoli i ferromagnetyczne uporządkowanie domenowe zanika. ZaleŜność temperaturową podatności χ od temperatury T, powyŝej temperatury Curie, wyraŝa prawo Curie-Weissa: C C gdzie C C jest stałą Curie, zaś T C temperaturą Curie. χ = (1.47), T T Oprócz ferromagnetyków istnieją takŝe antyferromagnetyki oraz ferrimagnetyki. W antyferromagnetykach równieŝ występują silne oddziaływania pomiędzy momentami magnetycznymi, ale w tym przypadku momenty magnetyczne ustawiają się naprzemiennie. W ferrimagnetykach ustawienie momentów magnetycznych równieŝ jest naprzemienne, ale momenty magnetyczne o jednym zwrocie są słabsze niŝ momenty magnetyczne o zwrocie przeciwnym. C Strona 4

43 MAGNETYZM 1.6. Energia pola magnetycznego RozwaŜmy obwód, złoŝony ze źródła zasilania o sile elektromotorycznej ε, cewki o indukcyjności L i opornika R, połączonych szeregowo jak na Rysunku 1.1. Rysunek 1.1. Szeregowe połączenie cewki, opornika i źródła Po zamknięciu klucza włączającego obwód, prąd w obwodzie będzie narastał. Zmiana natęŝenia prądu wywoła powstanie na cewce siły elektromotorycznej, która będzie skierowana tak, aby przeciwstawić się zmianom pola magnetycznego wewnątrz cewki a zatem przeciwnie do siły elektromotorycznej zasilającej obwód. Początkowo ta siła elektromotoryczna samoindukcji jest równa sile elektromotorycznej ogniwa i natęŝenie prądu płynącego przez opornik wynosi zero. W miarę jednak jak zmniejsza się siła elektromotoryczna samoindukcji na cewce, natęŝenie prądu płynące przez obwód stopniowo rośnie aŝ po pewnym czasie osiągnie wartość równowagową, identyczną jak dla przypadku, kiedy w obwodzie znajdują się wyłącznie siła elektromotoryczna i opornik. Zapiszmy drugie prawo Kirchhoffa dla omawianego obwodu: di ε L I R = 0 (1.48) dt Strona 43

44 ROZDZIAŁ 1 Jest to równanie róŝniczkowe względem prądu I a jego rozwiązanie, określające zaleŝność czasową natęŝenia prądu I(t) moŝemy opisać równaniem I ε t 1 e (1.49) R = L R Jest to równanie, opisujące dąŝenie układu do stanu równowagi ze stałą czasową τ = L/R. JeŜeli równanie 1.48 pomnoŝymy przez chwilową wartość natęŝenia prądu I, to otrzymujemy równanie mające postać bilansu energii: di ε I R I LI = 0 (1.50) dt Pierwszy człon ( ε I ) określa szybkość dostarczania energii do obwodu (moc źródła). Drugi ( R I ) wyraŝa moc rozpraszaną w postaci ciepła na d I oporniku. Trzeci człon, LI, wyraŝa szybkość gromadzenia energii d t w polu magnetycznym, wytwarzanym w cewce. Opisując szybkość gromadzenia energii jako M dw, otrzymujemy równanie pozwalające obliczyć energię zgromadzoną w dt cewce: W M dw dt di = LI dt I = L I di = 0 M LI (1.51), gdzie I oznacza natęŝenie prądu płynącego przez cewkę, zaś L jest indukcyjnością tej cewki. Jeśli podzielimy energię zgromadzoną w solenoidzie przez objętość tego solenoidu otrzymamy gęstość energii pola magnetycznego. Dla odcinka solenoidu o długości D i przekroju S otrzymamy więc: LI µ 0n SDI µ 0n I B BH µ 0H ρ B = = = = = = SD SD µ 0 Strona 44

45 MAGNETYZM B µ 0H ρ B = = (1.5) µ 0 PowyŜszy wzór na gęstość energii pola magnetycznego wyprowadziliśmy dla solenoidu, ale jest on prawdziwy dla dowolnego punktu przestrzeni, w którym wartość indukcji magnetycznej wynosi B. Strona 45

46 ROZDZIAŁ 1 Strona 46

47 13 Obwody prądu zmiennego W tym rozdziale: o Obwody prądu zmiennego, impedancja o Drgania w obwodzie LC o Drgania tłumione w obwodzie RLC o Moc w obwodach prądu zmiennego

48 ROZDZIAŁ Impedancja Strona 48 Dla napięć zmiennych w miejsce oporu elektrycznego (rezystancji) wprowadzamy impedancję. Impedancję obwodu elektrycznego definiuje się jako stosunek napięcia wymuszającego do natęŝenia prądu płynącego przez obwód. Wymiar impedancji jest identyczny jak wymiar oporu elektrycznego. ˆ U ( t ) Z = I ( t ) (13.1) PoniewaŜ natęŝenie prądu płynącego w obwodzie elektrycznym moŝe nie być zgodne w fazie z napięciem wymuszającym, tak zdefiniowana impedancja jest funkcją zespoloną i posiada zarówno część rzeczywistą Z jak i urojoną Z : ˆ Z = Z + i Z = Z e i ϕ (13.), ˆ gdzie Z = Z oznacza moduł impedancji, zaś φ jest przesunięciem fazowym między natęŝeniem prądu I (t ) a napięciem wymuszającym U (t ). JeŜeli źródło napięcia zostanie połączone z opornikiem R, to natę- Ŝenie prądu na oporniku jest zgodne w fazie z napięciem wymuszającym. Wówczas impedancja Z takiego obwodu posiadać będzie jedynie składową rzeczywistą równą wartości oporu danego opornika: ˆ Z = Z = R. W poprzednich rozdziałach charakteryzowaliśmy kondensatory i cewki i wiemy, Ŝe dla tych elementów obwodów elektrycznych natęŝenie prądu nie jest zgodne w fazie z napięciem wymuszającym. Impedancja kondensatora W celu wyznaczenia impedancji kondensatora rozwaŝmy obwód elektryczny zawierający źródło napięcia zmiennego U ( t ) = U 0 sin( ωt ) i kondensator o pojemności C połączone szeregowo. Dla źródła prądu stałego kondensator stanowi rozwarcie prąd płynie jedynie podczas ła-

49 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO dowania kondensatora, a po jego całkowitym naładowaniu wartość natę- Ŝenia prądu spada do zera. W przypadku źródła prądu zmiennego polaryzacja źródła (znak napięcia) zmienia się okresowo powodując naprzemienne ładowanie i rozładowywanie kondensatora. NatęŜenie prądu płynącego w obwodzie będzie tym większe, im większa będzie pojemność kondensatora (przy identycznym napięciu na jego okładkach gromadzi się wtedy więcej ładunku) i im większa będzie częstotliwość napięcia wymuszającego. Zapiszmy II prawo Kirchhoffa dla takiego obwodu zawierającego źródło i kondensator: PoniewaŜ ładunek ( t ) U U sin( ) 0 0 ω t (13.3) C = q zgromadzony na kondensatorze jest proporcjonalny do napięcia ładującego U C, q ( t ) CU CU sin 0 ( ωt ) = (13.4), C = więc natęŝenie prądu płynącego w takim obwodzie będzie wynosić: I ( t ) dq ( t ) = ωcu 0cos( ωt ) dt = (13.5) NatęŜenie prądu I (t ) jest proporcjonalne do pojemności kondensatora oraz częstotliwości kołowej zmian napięcia zmiennego źródła. Przypomnijmy, Ŝe funkcję sinus moŝna wyrazić jako kombinację funkcji wykładniczych sin ϕ =. Wówczas napięcie źródła oraz wzór iϕ iϕ e e i 13.5 moŝemy zapisać w postaci: i ω t U ( t ) = U 0e dq ( t ) du ( t ) i ω t i ( ω t +π ) I ( t ) = = C = CU 0 iω e = C ωu 0 e dt dt (13.6) Warto zwrócić uwagę, Ŝe faza natęŝenia prądu (wykładnik funkcji wykładniczej) róŝni się od fazy napięcia o π/ natęŝenie prądu płynącego przez kondensator wyprzedza w fazie napięcie o π/. Strona 49

50 ROZDZIAŁ 13 Rysunek Wykres na płaszczyźnie zespolonej impedancji obwodu zawierającego źródło prądu zmiennego oraz a) opornik, b) kondensator, c) cewkę Na podstawie definicji (wzór 13.1) w łatwy sposób moŝemy wyliczyć zespoloną impedancję Ẑ C kondensatora: ˆ U ( t ) 1 i Z C = = = I ( t ) iωc ωc (13.7) Otrzymana impedancja pojemnościowa kondensatora posiada wyłącznie składową urojoną. Na płaszczyźnie zespolonej wektor impedancji kondensatora skierowany jest pionowo w dół jak na rysunku 13.1 a. Impedancja cewki indukcyjnej Rozpatrzmy następnie obwód elektryczny składający się ze źródła prądu zmiennego U (t ) oraz cewki o indukcyjności L. Dla prądu stałego idealna cewka stanowi zwarcie cewkę naleŝy traktować wyłącznie jako przewód o pewnym oporze elektrycznym. Wraz ze wzrostem częstotliwości zmian napięcia źródła wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prąd płynący w cewce będzie się coraz szybciej zmieniać. Towarzyszyć temu będą coraz szybsze zmiany strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez cewkę a więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukowana będzie siła elektromotoryczna o coraz większej wartości. W rozwaŝanym obwodzie elektrycznym napięcie na cewce U L (t ) równać się będzie napięciu źródła U (t ) ( U L ( t ) = U ( t ) ). Jednocześnie napięcie na cewce moŝemy powiązać z jej indukcyjnością L (wzór 1.44) i otrzymamy wówczas: Strona 50

51 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO di L dt i ωt = U 0e (13.8) Aby wyznaczyć natęŝenie prądu płynącego przez cewkę scałkujemy powyŝszą zaleŝność: i U L ( t ) U 0e I ( t ) = dt = L L iu 0 ωt U i ( ωt ) ( ) e i 0 π I t = = e ωl ωl ωt U 0 dt = e iωl i ωt (13.9) W przypadku cewki indukcyjnej natęŝenie prądu jest opóźnione w fazie w stosunku do napięcia o π/. Impedancja cewki o indukcyjności L, przez którą przepływa zmienny prąd elektryczny o częstotliwości ω wynosi: Z = iωl L (13.10) Impedancja cewki jest więc liczbą urojoną, dodatnią i na płaszczyźnie zespolonej odpowiada wektorowi skierowanemu pionowo w górę (rysunek 13.1) Drgania elektryczne Obwód LC RozwaŜmy obwód elektryczny składający się z kondensatora o pojemności C oraz cewki o indukcyjności L połączonych szeregowo (obwód LC) jak na rysunku 13.. Strona 51

52 ROZDZIAŁ 13 Rysunek 13.. Obwód LC kondensatora C oraz cewki indukcyjnej L połączonych szeregowo Początkowo klucz zamykający obwód jest otwarty tak, Ŝe w obwodzie nie płynie prąd. Kondensator naładowano z zewnętrznego źródła ładunkiem q 0. Zamknięcie klucza umoŝliwia przepływ prądu w obwodzie i rozpoczyna się rozładowywanie kondensatora. Gdy kondensator będzie bliski całkowitego rozładowania, prąd płynący przez cewkę osiągnie wartość maksymalną. Po rozładowaniu kondensatora znika róŝnica potencjałów między jego okładkami, wymuszająca przepływ ładunku w obwodzie jej rolę przejmuje natomiast siła elektromotoryczna, wytworzona na cewce. Na skutek występowania tej siły elektromotorycznej po całkowitym rozładowaniu kondensatora nastąpi jego ponowne ładowanie. Zmieni się jednak polaryzacja okładek znak ładunku zgromadzonego na okładkach będzie przeciwny niŝ na początku. Po naładowaniu kondensatora ponownie nastąpi jego rozładowanie przez cewkę. Siła elektromotoryczna powstająca w cewce na skutek zmiany natęŝenia prądu płynącego przez obwód będzie przeciwnego znaku niŝ w pierwszej części cyklu. Spowoduje to ponowne ładowanie kondensatora układ wróci do stanu początkowego. Równorzędny opis zmian zachodzących w obwodzie LC moŝe zostać sformułowany w odniesieniu do energii, zmagazynowanej w kondensatorze i w cewce. Początkowo cała energia układu występuje w postaci pola elektrycznego, wytworzonego pomiędzy okładkami kondensatora. Po rozładowaniu kondensatora natęŝenie prądu płynącego przez cewkę osiąga wartość maksymalną, co oznacza, Ŝe równieŝ energia zgromadzona w postaci pola magnetycznego jest wówczas maksymalna. Następnie energia ta jest zuŝywana na ponowne ładowanie kondensatora. Widzimy zatem, Ŝe w obwodzie LC zachodzą wzajemne okresowe zamiany energii elektrycznej na magnetyczną i odwrotnie. PokaŜemy, Ŝe w idealnym obwodzie (bez strat) całkowita energia jest zachowana. Strona 5

53 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO Wartości napięć na cewce U L i na kondensatorze U C moŝemy zapisać: di d q U L = L = L (13.11) dt dt q U C = (13.1) C Z II prawa Kirchhoffa wynika, Ŝe w opisywanym obwodzie LC napięcia te muszą być równe: U C U L = 0. Stąd otrzymujemy równanie opisujące przepływ ładunku w obwodzie LC: d q q + dt LC = 0 (13.13) Jest to równanie identycznej postaci jak równanie 6.5 opisujące mechaniczne drgania harmoniczne oscylator harmoniczny. Tym razem jednak opisujemy przepływ ładunku w obwodzie LC i układ taki nazywać będziemy oscylatorem elektromagnetycznym. ZaleŜność wartości ładunku elektrycznego zgromadzonego na kondensatorze C od czasu mo- Ŝemy opisać funkcją: ( t ) q = q cos ω (13.14), 0 0 gdzie q 0 jest wartością ładunku, jaką początkowo naładowany został kondensator, zaś ω 0 jest częstotliwością własną drgań w obwodzie LC. Wartość ω 0 moŝna wyznaczyć porównując równanie z równaniem 6.5: ω = 1 0 LC (13.15) Spróbujmy wyrazić energię zgromadzoną w obwodzie LC w postaci pola elektrycznego i magnetycznego za pomocą ładunku elektrycznego q : ( ω t ) q q 0 cos 0 W E = = (13.16) C C Strona 53

54 ROZDZIAŁ 13 LI L L W B = = q 0 ω0 sin 0 q 0 sin ( ω0t ) W B = C 1 LC ( ω t ) = q sin ( ω t ) 0 0 (13.17) W powyŝszym wzorze energię pola magnetycznego wyznaczyliśmy na podstawie zaleŝności 1.51, podstawiając za natęŝenie prądu elektrycznego pochodną ładunku elektrycznego q po czasie dq d = = ( q 0 cos( ω0t )) = q 0ω0 sin( ω t ) (13.18) dt dt I 0 oraz wyraŝając częstotliwość kołową drgań własnych ω 0 za pomocą indukcyjności cewki L oraz pojemności C kondensatora (zaleŝność 13.15). Korzystając z toŝsamości trygonometrycznej sin α + cos α = 1 łatwo wykazać, Ŝe: Suma energii zgromadzonych w postaci pola magnetycznego i elektrycznego w obwodzie LC zawsze jest wartością stałą, równą energii zgromadzonej początkowo na kondensatorze. Obwód RLC q 0 E = WE + WB = = const. (13.19) C PoniewaŜ kaŝdy rzeczywisty obwód posiada pewien skończony opór elektryczny, zgromadzona w obwodzie energia ulega stopniowemu rozpraszaniu w postaci ciepła. Rozpatrzmy więc układ składający się z kondensatora o pojemności C, cewki indukcyjnej o indukcyjności L oraz opornika o oporze R połączonych szeregowo jak na rysunku Strona 54

55 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO Rysunek Obwód RLC II prawo Kirchhoffa dla takiego obwodu RLC moŝna zapisać w postaci: U U + RI 0 (13.0), C L = gdzie U C oznacza napięcie na kondensatorze, U L napięcie na cewce indukcyjnej zaś iloczyn RI jest równy spadkowi napięcia na oporze R, przez który płynie prąd elektryczny o natęŝeniu I. Dokonując podstawienia podobnego jak dla obwodu LC (równania 13.11, 13.1 oraz 13.18), otrzymujemy róŝniczkowe równanie drgań ładunku elektrycznego q w obwodzie RLC: d q dq q L + R + = 0 (13.1) dt dt C Równanie to ma podobną postać, jak równanie 6.19 dla tłumionego oscylatora mechanicznego. RównieŜ rozwiązanie tego równania, czyli zaleŝność q(t ) wartości ładunku od czasu będzie miało postać analogiczną jak w przypadku drgań mechanicznych: γ q ( t ) = q e t cos( ωt + ϕ) 0 (13.), gdzie q 0 jest wartością początkową ładunku zgromadzonego na kondensatorze C. Funkcja q(t ) jest iloczynem dwóch funkcji. Czynnik okresowy cos ( ω t +ϕ) opisuje oscylacje wartości ładunku z częstotliwością kołową ω: 1 R ω = (13.3) LC L Strona 55

56 ROZDZIAŁ 13 γt Drugi człon A( t ) = q e 0 opisuje spadek amplitudy drgań wartości ładunku, który jest wykładniczą funkcją czasu ze współczynnikiem tłumienia γ =. R L Drgania tłumione w obwodzie RLC JeŜeli w opisywany w poprzednim rozdziale obwód RLC włączymy szeregowo źródło (Rysunek 13.4), którego siła elektromotoryczna jest zmienna okresowo (źródło prądu zmiennego), otrzymujemy układ, w którym zachodzą wymuszone drgania z tłumieniem. Dla obwodu takiego II prawo Kirchhoffa będzie miało postać: di q L RI + = ε M sin( ωt ) dt C + (13.4) Symbol ε M oznacza amplitudę wymuszenia, zaś ω częstotliwość kołową tego wymuszenia. RóŜniczkując powyŝsze równanie po czasie, moŝemy otrzymać równanie opisujące zmiany natęŝenia prądu płynącego w tym obwodzie: d I di I L R + = ε ωcos( ωt ) M dt dt C + (13.5) Rozwiązaniem tego równania są funkcje sinusoidalne i moŝemy je zapisać w postaci: I ( t ) = I sin( ω t + ϕ) 0 (13.6), gdzie I 0 oznacza amplitudę drgań wartości natęŝenia prądu elektrycznego płynącego w obwodzie, zaś ϕ oznacza przesunięcie fazowe występujące pomiędzy napięciem wymuszającym ε a natęŝeniem I (t ) prądu M w obwodzie. Strona 56

57 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO Rysunek Obwód RLC z wymuszeniem o częstotliwości ω Całkowita impedancja omawianego układu RLC będzie sumą impedancji poszczególnych elementów, co moŝemy zapisać: ˆ Z = ˆ Z R + ˆ Z L + ˆ Z C 1 = R + i ωl ωc (13.7) Widzimy, Ŝe składowa rzeczywista impedancji jest związana z oporem, a składowa urojona z róŝnicą impedancji cewki i kondensatora. Na wykresie w płaszczyźnie zespolonej wektory opisujące impedancję cewki i kondensatora są skierowane w przeciwnych kierunkach, a zatem odejmują się jak na rysunku Rysunek Wykres na płaszczyźnie zespolonej składowych i wypadkowej impedancji Z RLC dla szeregowego obwodu RLC Strona 57

58 ROZDZIAŁ 13 Obliczmy moduł i przesunięcie fazowe wektora impedancji obwodu RLC: Z = 1 ZZ = Z + Z = R + ωl ωc 1 ωl Z tgϕ = = ωc Z R (13.8) Analizując przesunięcie fazowe moŝemy określić, czy w obwodzie prąd wyprzedza napięcie (φ < 0), czy jest odwrotnie. Na podstawie modułu impedancji moŝemy natomiast określić maksymalną wartość (amplitudę) natęŝenia prądu, płynącego w obwodzie: ε 0 I 0 = (13.9) Z MoŜna zauwaŝyć, Ŝe jeśli suma impedancji cewki i kondensatora wynosi 1 zero ( ωl = ), wówczas przesunięcie fazowe jest równieŝ równe ωc zeru a więc napięcie i natęŝenie są w fazie. Impedancja obwodu ma w takim przypadku jedynie składową rzeczywistą, równą wartości oporu elektrycznego. W tym przypadku impedancja obwodu osiąga równieŝ minimum. Wartość natęŝenia prądu, a więc i moc wydzielana na oporniku osiągają natomiast maksimum. Opisując zmiany ładunku w obwodzie RLC pokazaliśmy, Ŝe opornik R wpływa na zmniejszenie częstotliwości tych zmian oraz tłumi amplitudę zmian ładunku (wzór 13.3). W układzie RLC, gdy częstotliwość kołowa wymuszenia ω będzie równa częstotliwości własnej obwodu, obserwować będziemy zjawisko rezonansu, będące odpowiednikiem rezonansu znanego juŝ z układów mechanicznych. Częstotliwość rezonansowa ω r w tym przypadku wynosi: R ω r = ω0 L 1 ω0 = LC (13.30) Strona 58

59 OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO Dostrajanie układów elektronicznych do warunków rezonansu jest stosowane w odbiornikach radiowych i telewizyjnych. Sygnały radiowe i telewizyjne przesyłane są na odpowiedniej częstotliwości. Częstotliwość tą nazywamy częstotliwością nośną. Sygnały przesyłane są natomiast na zasadzie modulacji amplitudy (AM), lub modulacji częstotliwości(fm) Moc w obwodach prądu zmiennego Obliczmy moc, jaka wydziela się na oporniku R w omawianym obwodzie RLC. Chwilowa energia rozpraszana na elemencie oporowym równa się pracy dw przesunięcia ładunku dq pod wpływem róŝnicy potencjałów U (t ), występującej na tym oporniku, co w analogii do wzoru 11. moŝemy zapisać: dw = U ( t ) dq = U ( t ) I ( t ) dt dw = U sin( ωt φ ) I sin( ωt ) dt (13.31) gdzie ϕ oznacza przesunięcie fazowe między natęŝeniem prądu I (t ) a napięciem U (t ). Energia rozpraszana na tym oporniku R w ciągu jednego okresu wynosi: U 0I 0 W = W = U I T T sin( ωt + ϕ) sin( ωt ) dt 1 [ cosϕ cos( ωt + ϕ) ] dt = U 0I 0T cosϕ (13.3) PoniewaŜ zwykle interesuje nas średnia moc wydzielana na danym urządzeniu, obliczmy średnią wartość tej funkcji dla jednego okresu drgań: U 0 I 0 P = cosϕ = U SK I SK cosϕ (13.33) Strona 59

60 ROZDZIAŁ 13 I Symbol I SK oznacza natęŝenie skuteczne prądu równe 0. NatęŜenie skuteczne ma identyczną wartość jak natęŝenie prądu stałego, które powodowałoby rozpraszanie takiej samej ilości ciepła w jednostce czasu. U 0 Poprzez analogię definiujemy równieŝ napięcie skuteczne U SK =. Strona 60

61 14 Fale W tym rozdziale: o Rodzaje fal o Równanie róŝniczkowe fali o Superpozycja fal o Fale stojące o Fale akustyczne o Energia i natęŝenie fali o Efekt Dopplera

62 ROZDZIAŁ Co to jest fala Wyjaśnienie licznych zjawisk w przyrodzie wymaga wprowadzenia pojęcia fali. Fala jest to zaburzenie poruszające się w wolnej przestrzeni lub w ośrodku. W przyrodzie obserwujemy fale róŝnego typu mechaniczne (dźwiękowe, fale na wodzie), elektromagnetyczne, grawitacyjne, cieplne czy fale materii. Fale mechaniczne związane są z poruszaniem się cząsteczek ośrodka wokół połoŝenia równowagowego. W przypadku fal elektromagnetycznych mówimy o periodycznych zmianach pola magnetycznego i elektrycznego, które to zmiany rozchodzą się w przestrzeni fala elektromagnetyczna nie wymaga ośrodka materialnego i rozchodzi się takŝe w próŝni. Fale materii wiąŝą się z koncepcją de Brogliea, mówiącą, Ŝe poruszającym się cząstkom materii moŝna przypisać równieŝ właściwości falowe. Rodzaje fal Ze względu na sposób rozchodzenia się zaburzenia wyróŝniamy fale poprzeczne oraz podłuŝne. W przypadku fal poprzecznych mechanicznych cząsteczki ośrodka drgają wokół połoŝenia równowagowego w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala, jaką obserwujemy na powierzchni wody rozchodzi się w kierunku poziomym, zaś cząsteczki wody wykonują drgania w kierunku pionowym. Falą poprzeczną jest równieŝ fala elektromagnetyczna (np. światło widzialne), gdzie w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia fali obserwujemy okresowe zmiany wartości natęŝenia pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego. Fale takie moŝemy polaryzować i wtedy drgania zachodzą tylko w jednej płaszczyźnie. W przypadku fal podłuŝnych drgania cząsteczek ośrodka odbywają się w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Przykładem moŝe tutaj być fala akustyczna (dźwiękowa) w powietrzu, gdzie cząsteczki drgają wokół połoŝenia równowagi w kierunku zgodnym z rozchodzeniem się fali. W efekcie obserwujemy okresowe lokalne zwięk- Strona 6

63 FALE szanie i zmniejszanie się gęstości powietrza a więc zarazem okresowe zmiany ciśnienia w ośrodku Równanie róŝniczkowe fali Rozpatrzmy sznur, którego jeden z końców wykonuje ruch drgający harmoniczny w kierunku osi y. Drgania harmoniczne omawialiśmy juŝ w rozdziale 6 i wiemy, Ŝe połoŝenie w funkcji czasu, y(t ), końca takiego sznura drgającego harmonicznie moŝna opisać funkcją sinusoidalną y ( t ) = A sin ( ωt + ϕ). We wzorze tym A jest amplitudą drgań, czyli maksymalnym wychyleniem z połoŝenia równowagowego. Wychylenie jednego z punktów sznura spowoduje równieŝ wychylenie sąsiednich punktów. W ten sposób zaburzenie przyłoŝone do końca sznura będzie się rozchodzić wzdłuŝ sznura. W efekcie wszystkie punkty sznura (ośrodka) będą wykonywały drgania harmoniczne wokół połoŝeń równowagowych. Jednocześnie sąsiednie punkty sznura róŝnią się fazą. W danej chwili czasu punkty ośrodka ułoŝone wzdłuŝ osi x będą wychylone w kierunku osi y tworząc krzywą typu sinusoidalnego jak pokazano na rysunku Wprawiając koniec sznura w ruch drgający wytwarzamy więc poprzeczną (drgania odbywają się w kierunku y poprzecznym do kierunku x rozchodzenia się fali) falę harmoniczną. Wielkości charakterystyczne, opisujące taką falę harmoniczną to: długość fali λ odległość między dwoma punktami zgodnymi w fazie; amplituda drgania A maksymalne wychylenie z połoŝenia równowagi, okres T czas po jakim dany punkt x będzie ponownie w tej samej fazie (rysunek14.1). Opisując fale często podawać będziemy równieŝ częstotliwość fali f, będącą f = 1 T, lub teŝ częstotliwość kołową ω : odwrotnością okresu T fali ( ) Definiuje się równieŝ wektor falowy k: ω = πf = π T (14.1) k = π λ (14.) PowyŜszą wielkość k nazywamy w przypadku jednowymiarowym takŝe liczbą falową, która definiuje ile razy długość fali λ mieści się na odcinku π metrów. Jednostką liczby falowej jest m 1. Strona 63

64 ROZDZIAŁ 14 Rysunek Schematyczny rysunek fali poprzecznej rozchodzącej się w kierunku x Korzystając z powyŝszych wielkości stan dowolnego punktu przestrzeni (wychylenie y z połoŝenia równowagi) znajdującego się w odległości x od początku układu współrzędnych, w dowolnej chwili czasu t opisany będzie funkcją sinusoidalną postaci: ( x,t ) A ( kx ωt ) y = sin ± (14.3) Argument funkcji sinus nazwiemy fazą ϕ, która zaleŝy zarówno od czasu t jak i połoŝenia x: ϕ = kx ± ωt (14.4) W powyŝszym zapisie znak w fazie oznacza falę rozchodzącą się w kierunku osi x, zaś znak + oznacza falę rozchodzącą się w kierunku przeciwnym do osi x. Warto przy tym zaznaczyć, Ŝe kierunek rozchodzenia się fali definiuje się poprzez kierunek przemieszczania się w przestrzeni punktu o stałej fazie ( φ = const. ). JeŜeli np. grzbiet fali przemieszcza się w kierunku osi x to znaczy, Ŝe fala taka rozchodzi się w kierunku osi x. W takim przypadku w kolejnych chwilach czasu we wzorze 14.4 wzrasta zarówno człon kx, jak i ωt, fazy drgania ϕ, a więc Ŝeby otrzymać stałą fazę znak między tymi członami musi być ujemny. Równanie 14.3, nazywane równaniem fali, jest w istocie rozwiązaniem róŝniczkowego równania fali: y = t v (14.5), x y Strona 64

65 FALE y gdzie oznacza drugą pochodną po czasie wychylenia y z połoŝenia równowagowego punktu ośrodka, jest drugą pochodną tego t y x wychylenia y po współrzędnej x punktu ośrodka, zaś v oznacza prędkość rozchodzenia się stałej fazy (prędkość fazowa) w przestrzeni. Do tej pory zakładaliśmy, Ŝe mamy do czynienia z falą poprzeczną i wychylenie z połoŝenia równowagowego odbywa się wyłącznie w kierunku osi y. W ogólności falę opisywać będzie kaŝda funkcja Ψ połoŝenia x i czasu t : ( ) x ψ x,t = f t ±, która spełniać będzie róŝniczkowe równanie v fali: ϕ ϕ = v (14.6), t x gdzie v jest prędkością rozchodzenia się stałej fazy fali. Definiuje się dwie prędkości fali: prędkość fazową oraz prędkość grupową. Prędkość fazowa Prędkość fazowa jest to prędkość, z jaką rozchodzi się stała faza fali (np. grzbiet fali na wodzie). JeŜeli do róŝniczkowego równania ruchu (równanie 14.5) wstawimy równanie fali 14.3, to otrzymamy, Ŝe prędkość fazowa fali równa jest stosunkowi częstotliwości kołowej do liczby falowej. Korzystając z wcześniejszych definicji częstotliwości kołowej oraz liczby falowej moŝemy równieŝ wyrazić prędkość fazową fali jako stosunek długości fali do jej okresu. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe fala rozchodząca się z prędkością fazową pokonuje drogę równą długości fali w czasie równym okresowi tej fali: ω λ v f = = λ f = (14.7) k T Strona 65

66 ROZDZIAŁ Superpozycja fal Zgodnie z zasadą superpozycji nakładające się fale dodają się algebraicznie nie wpływając przy tym na siebie tzn. wychylenie całkowite punktu x w danej chwili t jest sumą wychyleń pochodzących od wszystkich składowych fal. Rozpatrzmy sumę dwóch fal o zbliŝonych częstotliwościach ω 1 i ω oraz liczbach falowych k 1 i k oraz identycznych amplitudach A: ( ω t k x ) + A ( ω t k x ) y = A cos 1 1 cos (14.8) Przy załoŝeniu bliskości częstotliwości i wektorów falowych prawdziwe są następujące przybliŝenia: ω 1 ω ω1 + (14.9) k + (14.10) 1 k k1 Wówczas przyjmując oznaczenia ω 1 ω = ω i k 1 k = k oraz stosując wzór na sumę kosinusów otrzymujemy: ω k A cos t x cos 1 ( ω t k x ) y 1 (14.11) Strona 66 Jest to równanie fali o częstotliwości ω 1 oraz liczbie falowej k 1, której amplituda zmienia się zgodnie z funkcją ω k cos t x. W wyniku superpozycji fal otrzymujemy więc falę o tzw. amplitudzie modulowanej od wartości zero do A. Pomiędzy minimami amplitudy znajduje się grupa fal o niezerowych amplitudach tworząca tzw. paczki falowe. Prędkość grupowa, dyspersja fal Prędkość grupowa jest prędkością rozchodzenia się maksimów amplitudy paczek falowych w tzw. zjawisku dudnień. Definiuje się ją jako pochodną częstotliwości kołowej po wektorze falowym: dω v g = (14.1) dk

67 FALE Prędkość rozchodzenia się paczki falowej w ośrodku dyspersyjnym jest inna niŝ prędkość fazowa. Dyspersja oznacza zaleŝność prędkości fazowej fali od częstotliwości fali i jest cechą charakterystyczną ośrodka, w którym fala się rozchodzi. JeŜeli ośrodek jest bezdyspersyjny, wówczas prędkość fazowa jest stała i niezaleŝna od częstotliwości fali: ω v f = = const. (14.13) k W ośrodku bezdyspersyjnym prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej: dω d ( v k ) f v g = = = dk dk v f (14.14) W przypadku ośrodka dyspersyjnego, czyli takiego, w którym prędkość fazowa zaleŝy od częstotliwości, grupa fal o zbliŝonych częstotliwościach będzie miała zbliŝone, ale jednak róŝne prędkości fazowe. W konsekwencji zwiększać się będzie w czasie szerokość paczki falowej utworzonej z takich fal, gdyŝ kaŝda z fal składowych w tym samym czasie pokona inną odległość Fale stojące RozwaŜmy dwie fale o tej samej amplitudzie i częstotliwości, ale rozchodzące się w przeciwnych kierunkach. Fale takie moŝemy łatwo wytworzyć np. w sznurze zamocowanym z jednej strony do ściany, którego drugi, wolny, koniec wprawimy w harmoniczny ruch drgający. Powstała w ten sposób fala rozchodzi się w kierunku ściany, odbija się od niej i wraca nie zmieniając przy tym ani częstotliwości ani amplitudy drgań. Zgodnie z zasadą superpozycji obie fale się dodają. Wynik tego dodawania zaleŝeć jednak będzie od długości sznura i od częstotliwości drgań, które wytwarzamy na końcu sznura. Przy ustalonej długości sznura dla pewnych częstotliwości drgań zaobserwujemy, Ŝe w niektórych punktach sznur jest nieruchomy a w innych amplituda tych drgań jest duŝa oraz, Ŝe Strona 67

68 ROZDZIAŁ 14 połoŝenie tych punktów nieruchomych i drgających nie zmienia się w czasie. Mówimy wówczas, Ŝe powstała fala stojąca. Przedstawione zjawisko powstawania fali stojącej opiszemy teraz ilościowo. ZałóŜmy, Ŝe fala w sznurze rozchodzi się w kierunku przeciwnym do osi x. Falę taką nazywać będziemy falą padająca a jej równanie moŝna zapisać w postaci: t x y = A sinπ + T λ padajaca (14.15) Podczas odbicia takiej fali od ściany zmienia się zwrot rozchodzenia się fali (w kierunku osi x ) oraz jej faza o π a więc równanie fali odbitej moŝna przedstawić w postaci: y odbita πt πx = t x = A sin + π A sin π (14.16) T λ T λ Obliczając sumę fali padającej oraz odbitej korzystamy ze wzoru trygonometrycznego na róŝnice sinusów i otrzymujemy równanie fali stojącej: π x πt y = y padajaca + y odbita = A sin cos (14.17) λ T Fala stojąca składa się z węzłów oraz strzałek. W strzałkach amplituda drgań jest stale maksymalna a w węzłach wychylenia są zawsze zerowe (w kaŝdej chwili czasu). PołoŜenia węzłów oraz strzałek nie zaleŝą od czasu i określa je człon sin π x λ powyŝszego równania. Przykładowo w punktach, dla których π x λ = nπ, czyli dla całkowitych wielokrotności połówki długości fali ( x = nλ ) otrzymujemy węzły. Fale stojące powstają np. na strunie gitarowej oraz w piszczałkach organowych. PoniewaŜ końce struny są zamocowane, czyli są tam węzły fali stojącej, na strunie mogą powstać tylko takie fale stojące, dla których całkowita wielokrotność połowy długości fali jest równa długości struny d ( d = nλ ). W przypadku piszczałek organowych zamkniętych (rysunek 14. a) na obu końcach piszczałki, podobnie jak w przypadku struny, są węzły a więc równieŝ w piszczałce zamkniętej mogą powstać tylko takie fale stojące, dla których długość piszczałki d jest równa całkowitej wielokrotności długości fali stojącej d = nλ. W przypadku piszczałek otwartych (rysunek 14. b) na jednym końcu tuby będzie węzeł a na dru- Strona 68

69 FALE gim strzałka i wówczas długość fali stojącej powstałej w takiej otwartej tubie o długości d spełniać będzie warunek d = ( n 1) λ 4. Rysunek. 14. Schematyczny rysunek obrazujący falę stojącą powstającą w tubie zamkniętej (z lewej) i z jednym końcem otwartym (z prawej).narysowano dwie fale o największych długościach moŝliwych do uzyskania w tubie o danej długości Fala akustyczna Fala akustyczna (fala dźwiękowa w powietrzu) jest falą podłuŝną, co oznacza, Ŝe drgania cząsteczek ośrodka następują w tym samym kierunku, w którym rozchodzi się fala. Fala dźwiękowa wytwarzana jest na przykład w powietrzu przez membranę głośnika. Sygnał elektryczny dochodzący do głośnika porusza membraną, co wywołuje lokalne zmiany gęstości i ciśnienia powietrza. Takie lokalne zaburzenie ciśnienia z kolei powodują przemieszczanie się sąsiednich cząsteczek powietrza i w efekcie fala akustyczna rozchodzi się w tym samym kierunku, w którym drgają cząsteczki ośrodka (jest falą podłuŝną). Wychylenie cząsteczek z połoŝenia równowagowego dla fali akustycznej moŝna opisać równaniem: s ( x,t ) A ( kx ωt ) = cos (14.18), gdzie s (x,t ) oznacza wychylenie z połoŝenia równowagowego cząsteczki ośrodka znajdującej się w chwili t w punkcie o współrzędnej x. Strona 69

70 ROZDZIAŁ 14 Szczegółowa analiza zjawiska rozchodzenia się dźwięku w gazach pokazuje, Ŝe prędkość rozchodzenia się dźwięku jest zdeterminowana przez proces adiabatyczny zachodzący w gazie. W efekcie prędkość dźwięku w gazie zaleŝy od temperatury gazu T, wykładnika adiabaty γ oraz masy molowej M cząsteczek ośrodka: γ RT v = (14.19) M Dla ośrodka jednorodnego prędkość rozchodzenia się dźwięku moŝna wyrazić równieŝ za pomocą gęstości ośrodka ρ oraz modułu ściśliwości B (współczynnika spręŝystości objętościowej): B v = (14.0) ρ W przypadku fali dźwiękowej rozchodzącej się w ciele stałym moduł ściśliwości zastępujemy modułem Younga. W ogólności moŝna powiedzieć, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali akustycznej zaleŝy od pierwiastka kwadratowego ze stosunku wielkości charakteryzującej miarę spręŝystości do wielkości będącej miarą bezwładności materiału ośrodka. Prędkość rozchodzenia się fali akustycznej jest najmniejsza w gazach a największa w ciałach stałych Energia fali Strona 70 Przypomnijmy, Ŝe definiowaliśmy falę jako rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie. Podczas rozchodzenia się fali materia efektywnie się nie przemieszcza, nie występuje transport masy, ale rozchodząca się fala przenosi energię i jest w stanie wykonać pracę. Rozpatrzmy jeszcze raz sznur przymocowany z jednej strony do ściany. JeŜeli drugi koniec będziemy podnosili i opuszczali, powstanie fala, która rozchodzić się będzie w sznurze. Sam sznur się nie przesuwa, czyli nie obserwujemy transportu masy, ale jeŝeli w pewnym miejscu sznura umieścimy odwaŝnik to sznur (fala w sznurze) podniesie odwaŝnik, czyli wykona pracę. MoŜna wykazać, Ŝe wartość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu (moc fali) jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali, kwadratu częstotliwości fali oraz parametrów charakteryzujących ośrodek, w którym fala się rozchodzi:

71 FALE P sr de sr = ω A (14.1) dt W przypadku fali dźwiękowej tymi parametrami charakteryzującymi ośrodek są jego gęstość oraz prędkość rozchodzenia się w nim dźwięku. NatęŜenie fali Energia, jaką moŝe przekazać fala obiektowi zaleŝy nie tyko od mocy fali, ale takŝe powierzchni obiektu, z jaką ta fala oddziałuje. Dlatego definiuje się natęŝenie fali jako stosunek mocy źródła P do powierzchni S na jaką ta fala oddziałuje: P E I = = (14.) S S t JeŜeli rozpatrzymy punktowe źródło emitujące falę rozchodzącą się równomiernie we wszystkich kierunkach (izotropowo), to natęŝenie fali będzie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła: gdzie r jest odległością od źródła, zaś P I = (14.3), 4π r 4 r π jest powierzchnią sfery o promieniu r. W efekcie w dwa razy większej odległości natęŝenie fali będzie 4 razy mniejsze. Poziom natęŝenia fali dźwiękowej, tzw. głośność β, przyjęto określać w decybelach db porównując zmierzone natęŝenie fali I z referencyjnym I 0 zgodnie z formułą: I = β = a 10 log10 0 log10 (14.4) I 0 p0 NatęŜenie odniesienia I 0 jest najmniejszym natęŝeniem, jakie jest w stanie usłyszeć ludzkie ucho (próg słyszalności) i wynosi 1 I 0 =10 W m. Poziom natęŝenia fali dźwiękowej moŝna równieŝ określić za pomocą ciśnienia akustycznego p a. p Strona 71

72 ROZDZIAŁ Efekt Dopplera Efekt Dopplera polega na zmianie rejestrowanej częstotliwości fali w przypadku, gdy występuje ruch obserwatora lub źródła fali względem ośrodka. Rozpatrzmy przypadek, gdy źródło fali oddala się od obserwatora. Wówczas odległość między kolejnymi czołami fali jest powiększona o drogę, jaką źródło przebędzie podczas jednego okresu fali. W ten sposób efektywnie zwiększa się okres fali, czyli zmniejsza się częstotliwość fali mierzonej przez obserwatora. W przeciwnym przypadku, gdy źródło zbliŝa się do obserwatora, kolejne czoło fali goni poprzednie czoła fali zmniejszając odległość między nimi a więc długość i okres fali, zwiększając zaś jej częstotliwość (rysunek 14.3). Podobne rozwaŝania moŝna przeprowadzić równieŝ dla przypadku obserwatora poruszającego się względem źródła. W ogólności zmierzoną częstotliwość moŝna opisać wzorem: v ± v f o f = 0 (14.4), v m v z gdzie f 0 to częstotliwość źródła, v prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku, v z prędkość źródła fali, v o prędkość obserwatora. W powyŝszym zapisie górny znak stosujemy, jeŝeli obserwator i źródło zbli- Ŝają się do siebie zaś dolny, jeŝeli oddalają. Przykładowo, częstotliwość sygnału karetki, jaką zmierzy nieruchomy obserwator w przypadku, gdy v karetka zbliŝa się do niego z prędkością v k wyniesie f = f 0 v v k v oraz f = f 0, gdy karetka będzie się oddalała. W efekcie v + v k w chwili mijania obserwator będzie słyszał zmianę tonu sygnału z wysokiego na niski gdy karetka się zbliŝa dźwięk ma wyŝszą częstotliwość (wyŝsze dźwięki), a gdy się oddala mniejszą częstotliwości (niŝsze dźwięki). Strona 7

73 FALE Rysunek Powstawanie efektu Dopplera w przypadku, kiedy porusza się źródło. Dla nieruchomego źródła (z lewej) obserwatorzy O 1 i O odbierają falę o identycznej częstotliwości. Kiedy źródło się porusza (z prawej) obserwator O 1 odbiera falę o większej długości (niŝszej częstotliwości), a obserwator O falę o mniejszej długości (wyŝszej częstotliwości). Zjawisko Dopplera wykorzystywane jest np. w radarach drogowych. Wiązka promieniowania o określonej częstotliwości wysyłana przez nadajnik odbija się od karoserii poruszającego się samochodu i wraca do odbiornika. Na podstawie róŝnicy częstotliwości pomiędzy falą wysłaną a odebraną moŝemy określić prędkość poruszania się pojazdu. Dzięki efektowi Dopplera moŝemy równieŝ wyznaczyć prędkości przemieszczania się chmur związanych z frontami atmosferycznymi. Zmiana charakterystycznych częstotliwości promieniowania elektromagnetycznego pozwala takŝe określić prędkość gwiazd względem Ziemi. Strona 73

74 ROZDZIAŁ 14 Strona 74

75 ` 15 Fale elektromagnetyczne W tym rozdziale: o Druga zasada dynamiki o Zagadnienie proste i odwrotne o Pęd, kręt, zasady zmienności i zachowania o Praca i moc o Energia kinetyczna, zasada zmienności energii o Pole potencjalne sił i energia potencjalna o Zasada zachowania energii mechanicznej

76 ROZDZIAŁ Widmo fal elektromagnetycznych Otaczająca nas przestrzeń jest wypełniona promieniowaniem elektromagnetycznym. Widmo promieniowania elektro-magnetycznego obejmuje fale o częstotliwościach z zakresu ponad 0 rzędów wielkości. W zaleŝności od częstotliwości (lub długości) fali wyróŝniamy fale długie (częstotliwości do ok Hz), fale radiowe ( Hz), podczerwień ( Hz), zakres światła widzialnego (od koloru czerwonego o długości fali ok. 700 nm poprzez pomarańczowy, Ŝółty i zielony do niebieskiego i fioletowego o długości fali ok. 400 nm), nadfiolet ( Hz), promieniowanie rentgenowskie ( Hz) oraz promieniowanie gamma (powyŝej 10 0 Hz) Równania Maxwella Strona 76 Istnienie fal elektromagnetycznych wynika z równań Maxwella. Są to podstawowe, omawiane juŝ w poprzednich rozdziałach równania pola elektrycznego i magnetycznego, które teraz jeszcze raz przypomnimy. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego wyraŝa źródłowy charakter pola elektrycznego źródłem statycznego pola elektrycznego są ładunki elektryczne. Istnieją pojedyncze ładunki elektryczne, na których zaczynają lub kończą się linie statycznego pola elektrycznego. Wartość stru- r mienia wektora E natęŝenia pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa ładunkowi objętemu przez tę powierzchnię podzielonemu przez stałą ε 0 : r r Q E ds = ε 0 (15.1) Prawo Gaussa dla pola magnetycznego mówi, Ŝe nie istnieją pojedyncze bieguny magnetyczne, monopole magnetyczne a więc, Ŝe pole magnetyczne ma charakter bezźródłowy. Linie pola magnetycznego nie

77 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE mają początku ani końca i są liniami zamkniętymi. Wówczas strumień r wektora indukcji pola magnetycznego B przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zeru - tyle samo linii pola magnetycznego wchodzi i wychodzi z obszaru określonego przez tę dowolną powierzchnię zamkniętą: r r B d S = 0 (15.) Prawo indukcji Faradaya: zmienne pole magnetyczne jest źródłem wirowego pola elektrycznego. KrąŜenie wektora natęŝenia indukowanego pola elektrycznego po krzywej zamkniętej równa się szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej. r r r r dφ d ( B ds ) B E dl = = (15.3) dt dt Następnym równaniem jest uogólnienie prawa Ampera dla magnetyzmu. Źródłem wirowego pola magnetycznego jest prąd elektryczny (prawo Ampera) lub zmienne pole elektryczne. KrąŜenie wektora indukcji pola magnetycznego po krzywej zamkniętej jest równe sumie wartości prądów stałych oraz prądów przesunięcia przenikających przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnoŝonych przez przenikalność magnetyczną próŝni µ 0. r r dφe B d l = µ 0ε 0 + µ 0I dt r r B d l = µ 0I p + µ 0I (15.4) (15.5) dφe dφd I P = ε 0 = (15.6), dt dt gdzie I p oznacza prąd przesunięcia czyli prąd, którego przepływ wywołałby wytworzenie pola magnetycznego o identycznej wartości, jak ta wytworzona przez zmienny strumień natęŝenia pola elektrycznego r r Φ = E ds D ε 0 (równanie 15.6). Aby wyjaśnić istotę prądu przesunięcia rozwaŝmy proces ładowania kondensatora. Przerwa między okładkami kondensatora stanowi nieciągłość w obwodzie i wydawać by się mogło, Ŝe w takim obwodzie nie moŝe być spełnione I prawo Kir- Strona 77

78 ROZDZIAŁ 15 chhoffa do okładki dopływa bowiem prąd elektryczny ale nie ma gdzie dalej odpływać. Ale dopływający do okładki kondensatora prąd o natę- Ŝeniu I powoduje gromadzenie się na niej ładunku. Między okładkami kondensatora powstaje jednocześnie pole elektryczne, którego natęŝenie jest proporcjonalne do gęstości ładunku zgromadzonego na okładce kondensatora, a więc proporcjonalne do natęŝenia prądu dopływającego I, czasu ładowania dt ( d q = I dt ) oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni okładek kondensatora A i wynosi: dσ dq A I dt de = = = (15.7) ε ε Aε 0 Strumień natęŝenia pola elektrycznego przechodzący przez pewną powierzchnię A znajdującą się między okładkami kondensatora i równoległą do tych okładek wynosić będzie: I dt dφ E = A de = (15.8) ε Wyznaczając następnie z równania 15.6 prąd przesunięcia otrzymujemy: dφ I dt ε E 0 I P = ε 0 = ε 0 = I (15.9) dt dt Na tym prostym przykładzie procesu ładowania kondensatora wykazaliśmy, Ŝe natęŝenie prądu przesunięcia między okładkami kondensatora równa się wartości natęŝenia prądu ładującego kondensator. MoŜemy zatem stwierdzić, Ŝe prąd przesunięcia kontynuuje w tym przypadku prąd ładowania i pierwsze prawo Kirchhoffa jest spełnione. Indukowane pole magnetyczne będzie miało największą wartość na początku procesu ładowania kondensatora, kiedy zachodzą największe zmiany strumienia natęŝenia pola elektrycznego. Po zakończeniu ładowania kondensatora znika prąd ładowania i indukowane pole magnetyczne zanika. Strona 78

79 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej Konsekwencją zapisanych powyŝej równań Maxwella są fale elektromagnetyczne. Jak wynika z równań Maxwella dla fali elektromagnetycznej wektory natęŝenia pola elektrycznego E r oraz indukcji B r pola magnetycznego są do siebie zawsze prostopadłe oraz są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się tej fali elektromagnetycznej. Oznacza to, Ŝe fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Zmiany wartości obu wektorów, E i B, następują z tą samą częstotliwością i opisane są funkcjami sinusoidalnymi zgodnymi w fazie (rysunek 15.1): E B ( x,t ) = E maxcos( kx ωt ) ( x,t ) = B cos( kx ωt ) max (15.10) Rozpatrzmy falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku osi x, gdzie wektor natęŝenia pola elektrycznego zmienia się wzdłuŝ osi y zaś wektor indukcji pola magnetycznego drga odpowiednio w kierunku osi z, jak na rysunku Rysunek Schematyczny rysunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Strona 79

80 ROZDZIAŁ 15 JeŜeli w pewnym obszarze przestrzeni wokół dowolnego punktu P indukcja B pola magnetycznego będzie malała w czasie, to równieŝ strumień pola magnetycznego przechodzący przez ten obszar przestrzeni będzie malał w czasie. Wówczas zgodnie z prawem indukcji Faradaya wokół punktu P powinno powstać wirowe pole elektryczne, które kompensować będzie tę zmianę strumienia pola magnetycznego. W efekcie wartość natęŝenia pola elektrycznego E w sąsiednim punkcie odległym o dx zmieni się o wartość de. Taka zmiana wartości natęŝenia pola elektrycznego (równieŝ zmiana strumienia wektora natęŝenia pola elektrycznego) zgodnie z prawem Ampera będzie kompensowana przez wirowe pole magnetyczne powstałe wokół tego punktu. Oznacza to, Ŝe analogicznie do pola elektrycznego równieŝ wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie odległym o dx zmieni się o wartość db. W ten sposób wykazaliśmy jakościowo na podstawie równań Maxwella, Ŝe pola elektryczne i magnetyczne są ze sobą powiązane, konsekwencją czego jest istnienie fal elektromagnetycznych. Równania Maxwella pozwalają równieŝ wyznaczyć wartość prędkości rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Równania Maxwella moŝna przekształcić tak, Ŝe otrzymamy róŝniczkowe równanie fali zarówno dla wektora natęŝenia pola elektrycznego E jak i magnetycznego H : E ( x,t ) E ( x,t ) = ε 0µ 0 x t H ( x,t ) H ( x,t ) = ε 0µ 0 x t (15.11), gdzie ε 0 jest przenikalnością elektryczną próŝni, zaś µ 0 oznacza przenikalność magnetyczną próŝni. Równania te mają podobną postać jak róŝniczkowe równanie fali (równanie 14.5). Z porównania równania oraz 14.5 wynika, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próŝni, nazywana prędkością światła c, wynosi: c 1 8 = 3 10 m s ε µ (15.1) 0 0 Strona 80

81 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Warto podkreślić w tym miejscu, Ŝe rozwiązaniem róŝniczkowych równań fali elektromagnetycznej muszą być funkcje sinusoidalne przedstawione w równaniach Źródłem fali elektromagnetycznej jest niejednostajny (przyspieszony) ruch ładunków elektrycznych. Ruch taki moŝemy wywołać na przykład przykładając napięcie do przewodnika (anteny). Ładunki dodatnie i ujemne ulegną wówczas rozsunięciu (powstanie dipol elektryczny). Pod wpływem zmiennego napięcia ładunki będą drgały wytwarzając zmienne pole elektryczne, które zgodnie z równaniami Maxwella stanie się źródłem fali elektromagnetycznej Wektor Poyntinga Fala elektromagnetyczna, podobnie jak rozwaŝana wcześniej mechaniczna fala wytworzona w sznurze, niesie energię i jest zdolna wykonać pracę. W poprzednim rozdziale mówiliśmy, Ŝe opisując zdolność fali do wykonania pracy naleŝy określić, jaka porcja energii w jednostce czasu dociera do jednostkowej powierzchni. W przypadku fal elektromagnetycznych chwilową szybkość przepływu energii, czyli moc przypadającą r na jednostkę powierzchni opisuje wektor Poyntinga S. Wektor ten definiuje się poprzez iloczyn wektorowy wektora natęŝenia pola elektrycznego E oraz natęŝenia pola magnetycznego H: r r r S = E H (15.13) Jako wynik iloczynu wektorowego wektor Poyntinga jest prostopadły zarówno do wektora natęŝenia pola elektrycznego jak i wektora indukcji magnetycznej. Wektor S wyznacza kierunek i zwrot rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. NatęŜenie fali elektromagnetycznej jest równe średniej wartości wektora Poyntinga: E max 1 E max [ E ] sr = 0 cµ 0 µ 0 1 I = S sr = = (15.14) cµ c Strona 81

82 ROZDZIAŁ 15 Ciśnienie promieniowania Strona 8 Fale elektromagnetyczne transportują nie tylko energię, ale równieŝ pęd. JeŜeli obiekt, który oświetlany falą elektromagnetyczną pochłonie pewną energię U, to równocześnie przekazany mu zostanie pęd p: U p = (15.15), c gdzie c jest prędkością światła. W przypadku, gdy promieniowanie elektromagnetyczne ulegnie całkowitemu wstecznemu odbiciu zmiana pędu obiektu będzie dwukrotnie większa. Energia U pochłonięta przez obiekt zaleŝy od natęŝenia promieniowania I, powierzchni obiektu A oraz czasu naświetlania t (równanie 14.): U = I A t (15.16) Wartość siły oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego pochłoniętego całkowicie przez obiekt moŝna obliczyć na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona: p U I A t I A F = = = = (15.17) t c t c t c PoniewaŜ powyŝsza siła działa na powierzchnię A obiektu, więc mo- Ŝemy wyznaczyć ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego: F I p p = = (15.18) A c W przypadku całkowitego wstecznego odbicia ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego będzie dwukrotnie większe i wyniesie: I pp = (15.19), c gdzie I oznacza natęŝenie promieniowania elektro- magnetycznego zaś c jest prędkością światła. Wartość ciśnienia promieniowania jest na tyle niewielka, Ŝe nie odczuwamy go w Ŝyciu codziennym. Ciśnienie promieniowania pozwala jednak na przykład wyjaśnić specyficzne ułoŝenie i zakrzywienie warkoczy komet okrąŝających Słońce a takŝe ma decy-

83 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE dujące znaczenie w utrzymaniu równowagi gwiazd ciśnienie promieniowania równowaŝy siły grawitacji. Strona 83

84 ROZDZIAŁ 15 Strona 84

85 ` 16 Optyka W tym rozdziale: o Prawo odbicia i załamania o Dyspersja o Zwierciadła, soczewki i urządzenia optyczne o Polaryzacja o Interferencja o Dyfrakcja

86 ROZDZIAŁ 16 Optyka Optyka zajmuje się zjawiskami fizycznymi związanymi z falami elektromagnetycznymi z zakresu światła widzialnego. Często wprowadza się podział na optykę geometryczną (zajmującą się geometrycznym opisem toru tzw. promienia świetlnego) i optykę fizyczną (zajmującą się opisem falowych własności światła, takich jak polaryzacja, interferencja i dyfrakcja). Podział taki ma znaczenie głównie historyczne, bowiem geometryczny przebieg promienia świetlnego w materiale moŝemy równieŝ opisać za pomocą równań fali elektromagnetycznej Prawa załamania i odbicia światła Zasada Huygensa oraz zasada Fermata Jednymi z podstawowych praw optyki są zasada Huygensa oraz zasada Fermata. Zasada Huygensa mówi, Ŝe kaŝdy punkt czoła fali moŝna uwaŝać za źródło nowej (wtórnej) fali kulistej. Czoło fali tworzy zbiór punktów fali zgodnych w fazie. JeŜeli czoło fali jest płaszczyzną (linią prostą w przypadku dwuwymiarowym) (rysunek 16.1a), to falę taką nazywamy falą płaską, zaś jeŝeli czoło ma kształt sfery (okręgu) (rysunek 16.1b) to fala nazywana jest falą kulistą. Rozpatrzmy najpierw falę płaską jak na rysunku 16.1a. Zgodnie z zasadą Huygensa kaŝdy punkt czoła fali staje się źródłem nowej fali kulistej. PoniewaŜ fale rozchodzą się w tym samym ośrodku, więc kaŝda z tych wtórnych fal w czasie t przebędzie tę samą drogę s = c t. W efekcie, po czasie t, nowe czoło fali będzie równieŝ falą płaską oddaloną od pierwotnego czoła fali o odległość s. Analogicznie w przypadku fali kulistej nowe czoło fali równieŝ będzie sferą (okręgiem), ale o promieniu większym od pierwotnego o długość s (rysunek 16.1b). Strona 86

87 OPTYKA Rysunek Zasada Huygensa W optyce geometrycznej do opisu przebiegu fal świetlnych często korzystać będziemy z pojęcia promieni światła, czyli nieskończenie cienkiej wiązki światła. Według zasady Fermata promień światła biegnący z jednego punktu do drugiego wybiera drogę, na której przebycie zuŝyje extremum czasu (najczęściej minimum). Zastosujemy zasady Huygensa oraz Fermata do wyznaczenia przebiegu promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków o róŝnych właściwościach optycznych. Współczynnik załamania W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próŝni (prędkość fazowa) jest równa prędkości światła c =1 ε µ 0 0. JeŜeli światło rozchodzi się w ośrodku innym niŝ próŝnia jego prędkość fazowa v zaleŝy od właściwości ośrodka i wynosi: 1 c c v = = = (16.1), εε0µµ 0 εµ n gdzie c oznacza prędkość światła w próŝni, µ oraz ε oznaczają odpowiednio względne przenikalności magnetyczną oraz elektryczną ośrodka zaś n współczynnik załamania ośrodka, w którym rozchodzi się fala elektromagnetyczna. Strona 87

88 ROZDZIAŁ 16 Z powyŝszej zaleŝności wynika, Ŝe światło będzie się rozchodziło z róŝnymi prędkościami w ośrodkach o róŝnym współczynniku załamania (róŝnych właściwościach optycznych). Prawo odbicia Prawo odbicia mówi, Ŝe kąt padania fali świetlnej jest równy kątowi odbicia. Prawo to wynika z zastosowania zasady Fermata dla wyznaczenia przebiegu fali świetlnej między dwoma punktami. JeŜeli podczas tego przebiegu fala świetlna ulega odbiciu od granic ośrodków, to minimalny czas na pokonanie takiej drogi optycznej otrzymamy wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia. Warto przy tym zaznaczyć, Ŝe w optyce kąt padania oraz odbicia wyznaczamy względem normalnej do granicy ośrodków. JeŜeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy którego odbija się fala, jest większy niŝ współczynnik załamania ośrodka, w którym fala propaguje, podczas odbicia następuje zmiana fazy fali o π (zmiana fazy na przeciwną). Prawo załamania Rozpatrzmy teraz przebieg fali świetlnej między dwoma punktami znajdującymi się w ośrodkach o róŝnych współczynnikach załamania n 1 oraz n. JeŜeli współczynnik załamania w ośrodku drugim jest większy niŝ w pierwszym (n 1 < n ), to fala świetlna w tym ośrodku rozchodzić się będzie z prędkością mniejszą niŝ w pierwszym (wzór 16.1). Czyli jeŝeli w czasie T, odpowiadającym okresowi fali, fala w ośrodku 1 przebędzie drogę λ 1, to w ośrodku przebędzie krótszą drogę λ. Zgodnie z zasadą Huygensa, kaŝdy z punktów czoła fali rozchodzącej się w ośrodku 1 docierając do granicy ośrodków staje się źródłem nowej fali kulistej rozchodzącej się dalej w ośrodku. W przypadku, gdy fala pada na granicę ośrodków pod pewnym kątem α 1 (czoło fali tworzy z granicą ośrodków kąt α 1 oraz promień świetlny tworzy kąt α 1 z normalną do granicy ośrodków) kaŝdy z punktów granicy rozdziału ośrodków staje się źródłem nowej fali kulistej w innej chwili czasu (rysunek 16.). Strona 88

89 OPTYKA Rysunek 16.. Załamanie fali na granicy ośrodków o róŝnych właściwościach optycznych PoniewaŜ w drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej, to czoło fali w ośrodku tworzyć będzie kąt α z granicą ośrodków. Relację między długościami fali λ 1 oraz λ a kątami α 1 oraz α moŝna wyznaczyć porównując odcinki AC w trójkątach ABC oraz ACD na rysunku 16.b: λ sin 1 = h = sinα (16.) 1 α λ WyraŜając długości fali λ 1 oraz λ za pomocą prędkości fali świetlnej w ośrodkach 1 i ( λ 1 = v 1 T oraz λ = v T ) po przekształceniach otrzymujemy prawo Snelliusa załamania wiązki światła na granicy dwóch ośrodków optycznych: sinα sinα 1 = v v 1 n = = n 1 n 1 (16.3) Na granicy dwóch ośrodków optycznych stosunek sinusów kąta padania i załamania fali świetlnej jest równy stosunkowi prędkości rozchodzenia się światła w tych ośrodkach lub odwrotności stosunku współczynników załamania tych ośrodków. Stosunek współczynnika n załamania ośrodka do współczynnika n 1 załamania ośrodka 1 nazywany jest równieŝ względnym współczynnikiem załamania ośrodka względem ośrodka 1 ( n 1 = n n1 ). Strona 89

90 ROZDZIAŁ 16 Płytka płasko-równoległa Rozpatrzmy płasko-równoległą płytkę wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n większym niŝ współczynnik załamania otaczającego ją powietrza ( n 1 ). Niech promień świetlny pada na tę płytkę pod powietrza = kątem α jak na rysunku Na granicy powietrze-szkło promień światła dzieli się - częściowo odbije się pod takim samym kątem α oraz częściowo przechodzi do szkła. Promień światła w szklanej płytce rozchodzić się będzie pod kątem β, którego wartość wyznaczamy na podstawie wzoru Snelliusa (wzór 16.3). Następnie ten załamany promień świetlny trafia ponownie na granicę ośrodków szkło-powietrze pod kątem β. RównieŜ w tym przypadku promień częściowo odbija się (pod tym samym kątem β) oraz częściowo załamuje i przechodzi do powietrza. Stosując wzór Snelliusa dla załamania na granicy szkło-powietrze (kąt padania β) otrzymujemy kąt załamania równy α. W efekcie w wyniku przejścia wiązki światła przez płytkę płasko-równoległą otrzymujemy promień równoległy, ale przesunięty względem pierwotnego (rysunek 16.3). Rysunek Przebieg promieni świetlnych przez płytkę płasko-równoległą Strona 90

91 OPTYKA Całkowite wewnętrzne odbicie Na granicy dwóch ośrodków optycznych fala częściowo odbija się a częściowo załamuje. Względne natęŝenie wiązki odbitej do padającej zaleŝy od właściwości optycznych ośrodków oraz kąta padania. Przy przejściu fali z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka optycznie rzadszego (n 1 > n ), czyli na przykład ze szkła do powietrza, obserwuje się tzw. całkowite wewnętrzne odbicie. Dla pewnego granicznego kąta padania otrzymujemy kąt załamania równy π/ a więc promienie ślizgają się po granicy ośrodków nie przechodząc do ośrodka o współczynniku n. sinαgr v = π sin v 1 n = n 1 (16.4) Dla kątów padania większych od kąta granicznego promień padający ulega całkowitemu odbiciu natęŝenia wiązki padającej i odbitej są równe. Działanie światłowodu polega na całkowitym wewnętrznym odbijaniu promieni świetlnych rozchodzących się wewnątrz światłowodu, co pozwala przekazywać sygnał optyczny na duŝe odległości z niewielkimi stratami. Dyspersja Omawiając właściwości fal w poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy pojęcie dyspersji do opisania zaleŝności prędkości fazowej fali od częstotliwości. Wspominaliśmy wówczas równieŝ, Ŝe dyspersja nie jest cechą fali a ośrodka, w którym ta fala się rozchodzi. Zjawisko dyspersji światła w szkle wykorzystuje się do rozszczepiania wiązki światła białego na promienie o róŝnych barwach składowych. Wiązka światła białego padając na powierzchnię pryzmatu pod kątem α 1 ulega załamaniu na granicy ośrodków powietrze-szkło. PoniewaŜ w szkle wewnątrz pryzmatu światło czerwone ma większą prędkość niŝ światło fioletowe, to zgodnie ze wzorem Snelliusa, ulegać będzie załamaniu pod większym kątem niŝ światło fioletowe (β fiolet < β czerwone ), jak zaznaczono na rysunku Tak rozszczepione Strona 91

92 ROZDZIAŁ 16 promienie ulegają ponownemu załamaniu podczas opuszczania pryzmatu ( = ). sinβ czerwone n1 sinα n czerwone Rysunek Przebieg wąskiej wiązki promieni świetlnych w pryzmacie W efekcie, po przejściu przez pryzmat o kącie łamiącym φ (rysunek 16.4), promień światła czerwonego rozchodzić się będzie względem wiązki padającej pod kątem mniejszym niŝ dla barwy fioletowej kąt odchylenia wiązki światła w pryzmacie dla barwy czerwonej jest mniejszy niŝ dla barwy fioletowej ( ε < ε ). MoŜna wykazać, Ŝe kąt czerwone fiolet odchylenia ε zaleŝy od współczynnika załamania pryzmatu n oraz kąta łamiącego φ pryzmatu: ε ( n 1)ϕ. Strona 9

93 OPTYKA 16.. Optyka geometryczna Zwierciadło JeŜeli na drodze promieni świetlnych wychodzących ze źródła X (przedmiot) ustawimy płaską idealnie odbijającą przeszkodę (zwierciadło płaskie), to kaŝdy z promieni wychodzących ze źródła X ulegnie odbiciu od tej przeszkody, zgodnie z prawem odbicia, czyli pod kątem równym kątowi padania (rysunek 16.5a). Promienie odbite rozchodzą się w róŝnych kierunkach i nie przecinają się. JeŜeli jednak przedłuŝymy bieg odbitych promieni świetlnych poza zwierciadło, to otrzymamy punkt przecięcia Y (rysunek 16.5a) znajdujący w takiej samej odległości od zwierciadła jak punkt X (y = x). Punkt Y nazywamy obrazem punktu X. Warto podkreślić, Ŝe ustawiając źródło w punkcie Y uzyskalibyśmy taki sam przebieg promieni jak promieni odbitych od zwierciadła. PoniewaŜ w punkcie Y w rzeczywistości nie przecinają się promienie świetlne tylko ich przedłuŝenie obraz powstały w wyniku odbicia promieni świetlnych od płaskiego zwierciadła jest obrazem pozornym. JeŜeli zamiast punktowego źródła światła płaskie zwierciadło oświetlimy wiązką promieni równoległych padających pod kątem prostym do zwierciadła (kąt padania θ = 0), to promienie odbite nadal będą równolegle i poruszać się będą po tych samych liniach (prostopadłych do zwierciadła). JeŜeli jednak zakrzywimy powierzchnię zwierciadła, nadając mu kształt sfery (lub okręgu w przypadku dwuwymiarowym przedstawionym na rysunku 16.5.b) o promieniu R, to takie promienie równoległe przetną się w punkcie F zwanym ogniskiem zwierciadła, znajdującym się w odległości f = R/ od zwierciadła. Odległość f nazywana jest ogniskową zwierciadła (ang. focus). Strona 93

94 ROZDZIAŁ 16 Rysunek Odbicie światła w zwierciadle płaskim a) oraz odbicie wiązki równoległych promieni świetlnych w zwierciadle wklęsłym b) Zjawisko ogniskowania promieni świetlnych jest konsekwencją prawa odbicia dla kaŝdego z promieni świetlnych kąt padania jest równy kątowi odbicia, przy czym naleŝy pamiętać, Ŝe kąt padania i odbicia wyznaczamy względem normalnej do powierzchni zwierciadła. W przypadku zwierciadła sferycznego normalną do powierzchni zwierciadła wyznacza promień R zwierciadła jak zaznaczono na rysunku 16.5b. Je- Ŝeli źródło światła umieścimy w ognisku F soczewki sferycznej, to po odbiciu otrzymamy wiązkę promieni równoległych. Efekt ten wykorzystuje się na przykład w róŝnego rodzaju latarkach czy np. reflektorach samochodowych. Równanie zwierciadła RozwaŜmy teraz powstawanie obrazu przedmiotu X ustawionego w pewnej odległości x przed zwierciadłem sferycznym. Obraz Y przedmiotu X powstaje w punkcie przecięcia promieni świetlnych wychodzących z przedmiotu X. Strona 94

95 OPTYKA Rysunek Konstrukcja obrazu dla wklęsłego zwierciadła kulistego Na rysunku 16.6 zaznaczono przebieg charakterystycznych promieni świetlnych, które umoŝliwiają łatwą konstrukcję obrazu: promień równoległy do osi zwierciadła po odbiciu przechodzi przez ognisko F zwierciadła promień przechodzący przez ognisko zwierciadła po odbiciu będzie równoległy do osi zwierciadła promień przechodzący przez środek O krzywizny zwierciadła po odbiciu od zwierciadła poruszać się będzie po tej samej linii Oznaczając odległość od obrazu do zwierciadła jako y, na podstawie relacji geometrycznych między odcinkami x, y i f moŝna napisać równanie zwierciadła: Strona 95

96 ROZDZIAŁ = x y f y m = x (16.5), gdzie f jest ogniskową zwierciadła, zaś m powiększeniem zwierciadła. Powiększenie m zwierciadła definiuje się jako stosunek wielkości obrazu Y do wielkości przedmiotu X (m=y/x) i jest równe odległości obrazu y do odległości x przedmiotu od zwierciadła. JeŜeli przedmiot umieścimy w odległości mniejszej niŝ ogniskowa zwierciadła to odbite promienie będą się rozbiegały nie przecinając się. JeŜeli jednak przedłuŝymy linie przebiegu promieni odbitych, to otrzymamy punkt przecięcia po drugiej stronie zwierciadła. W takim przypadku odległość y obrazu od zwierciadła będzie miała znak ujemny, powiększenie równieŝ będzie ujemne a obraz taki nazywać będziemy obrazem pozornym. Jeśli przedmiot znajduje się w ognisku zwierciadła, obraz nie powstanie miejsce przecięcia promieni odbitych znajduje się w nieskończoności. MoŜna powiedzieć, Ŝe obraz pozorny nie moŝe być rzutowany na ekran. Obrazy rzeczywiste (promienie świetlne rzeczywiście się przecinają po odbiciu) otrzymamy, gdy odległość przedmiotu od zwierciadła jest większa niŝ długość ogniskowej. Taki rzeczywisty obraz moŝemy rzutować na ekran (obserwować na ekranie). Powiększony, ale odwrócony obraz uzyskamy, jeŝeli przedmiot będzie się znajdował w odległości większej niŝ ogniskowa, ale mniejszej niŝ promień krzywizny zwierciadła. W przypadku, w którym przedmiot znajduje się w odległości równej promieniowi krzywizny zwierciadła, jego obraz jest odwrócony i ma taką samą wielkość. Dla duŝych odległości (większych niŝ promień krzywizny zwierciadła) zwierciadło sferyczne zmniejsza i odwraca obraz. W przypadku zwierciadła sferycznego wypukłego ognisko jest pozorne i w równaniu soczewki (równanie 16.5) ogniskową f bierzemy ze znakiem minus. Obraz powstały w wyniku odbicia od takiego zwierciadła równieŝ jest pozorny, pomniejszony, ale prosty (nie jest odwrócony). Soczewka Strona 96 Jak pokazaliśmy na początku tego rozdziału bieg promieni świetlnych moŝe ulegać zmianie nie tylko w wyniku odbicia, ale takŝe w wyniku załamania na granicy ośrodków o róŝnych współczynnikach załamania.

97 OPTYKA Przykładem zastosowania zjawiska załamania do zmiany kierunku przebiegu promieni świetlnych są soczewki, gdzie nie tylko mamy do czynienia z innym optycznie materiałem, ale dodatkowo biegiem promieni kierujemy poprzez nadanie soczewce odpowiedniego kształtu. Ostateczny bieg promieni świetlnych zaleŝeć będzie od współczynnika załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka oraz promieni krzywizn powierzchni soczewki. Ogniskową soczewki o promieniach krzywizny r 1 (promień krzywizny od strony padania promieni) oraz r (promień krzywizny od strony wyjścia promieni) i współczynniku załamania n materiału, z którego jest wykonana, moŝna wyznaczyć na postawie tzw. równania szlifierzy: 1 n 1 1 = 1 + f no r1 r (16.6), gdzie n 0 jest współczynnikiem załamania ośrodka, w którym rozchodzi się światło (dla powietrza przyjmujemy n 0 = 1). W równaniu tym przyjmuje się konwencję, Ŝe dla powierzchni wypukłych promień krzywizny bierzemy ze znakiem dodatnim, zaś dla powierzchni wklęsłych jest ujemny. Znając ogniskową soczewki, połoŝenie i wielkość obrazu po przejściu promieni przez soczewkę wyznaczymy z równania soczewki, które ma taką samą postać jak dla zwierciadła sferycznego: = x y f y m = x (16.7), gdzie x jest odległością przedmiotu do osi soczewki; y odległością obrazu od soczewki (y > 0 jeŝeli obraz znajduje się po przeciwnej stronie soczewki w stosunku do przedmiotu); f ogniskową soczewki, zaś m powiększeniem soczewki. Zasady konstrukcji obrazu dla soczewki są podobne jak w przypadku zwierciadła. Obraz powstaje w punkcie przecięcia się promieni. Promienie przechodzące przez ognisko soczewki stają się wiązką promieni równoległych, zaś wiązka promieni równoległych po przejściu przez soczewkę ogniskuje się w jej ognisku. Strona 97

98 ROZDZIAŁ 16 Strona 98 Rysunek Przebieg promieni świetlnych przez soczewkę skupiającą Przykładową konstrukcję obrazu Y przedmiotu X znajdującego się w odległości x od soczewki skupiającej dwuwypukłej o ogniskowej f przedstawiono na rysunku Na rysunku zaznaczono równieŝ promienie krzywizny soczewki r 1 oraz r, na podstawie których moŝna wyznaczyć ogniskową soczewki (równanie 16.6). Dla soczewki skupiającej ogniskowa f jest dodatnia, dla rozpraszającej zaś ujemna. JeŜeli otrzymamy dodatnią odległość y obrazu od soczewki oznacza to, Ŝe powstały obraz jest rzeczywisty i powstaje po przeciwnej stronie soczewki w stosunku do przedmiotu. Ujemna wartość y oznacza, Ŝe obraz powstanie po tej samej stronie soczewki co przedmiot i jest pozorny. Dla soczewki skupiającej, jeśli przedmiot znajduje się w odległości większej niŝ dwukrotna długość ogniskowej, obraz będzie rzeczywisty i pomniejszony. Jeśli odległość przedmiotu od soczewki zawiera się pomiędzy jedną a dwiema długościami ogniskowej, obraz będzie rzeczywisty i powiększony. Dla odległości przedmiotu od soczewki mniejszej niŝ długość ogniskowej uzyskujemy obraz pozorny. Aberracje W przypadku rzeczywistych soczewek spotykamy róŝne niedoskonałości nazywane aberracjami. Na przykład aberracja chromatyczna jest związana z dyspersją. PoniewaŜ światło o róŝnych długościach posiada róŝne prędkości w ośrodku optycznym takim jak szkło czy woda, kaŝda długość fali ulega załamaniu pod nieco innym kątem i efektywnie ogniska dla promieni świetlnych o róŝnych długościach fali nie będą się znajdo-

99 OPTYKA wały w tym samym punkcie. Wpływ aberracji na powstały obraz minimalizuje się robiąc zestawy soczewek wykonanych z materiałów o róŝnych współczynnikach załamania i dobierając odpowiednie promienie krzywizny soczewki lub jej grubość. Urządzenia optyczne W urządzeniach optycznych często stosuje się układy soczewek, które jak wspomniano we wcześniejszym rozdziale często pozwalają minimalizować wpływ aberracji, ale przede wszystkim wpływają na właściwości optyczne układu. JeŜeli rozpatrzymy układ dwóch cienkich soczewek znajdujących się blisko siebie, to ogniskową takiego układu moŝna obliczyć z zaleŝności: = + (16.8), f f f 1 gdzie f 1 oraz f są ogniskowymi kaŝdej z soczewek, zaś f ogniskową układu. Pojedyncze soczewki lub teŝ układy soczewek charakteryzuje się za pomocą zdolności zbierającej definiowanej jako odwrotność ogniskowej (D = 1/f ). Zdolność zbierającą wyraŝa się w dioptriach [1D=1m 1 ] i dla soczewki skupiającej zdolność zbierająca jest dodatnia, zaś dla rozpraszającej ujemna. Połączenie kilku soczewek lub teŝ soczewek oraz zwierciadeł pozwala stworzyć urządzenia optyczne takie jak np. mikroskopy, lunety, obiektywy aparatów fotograficznych czy zwykłe okulary lub soczewki korekcyjne. Przebieg promieni świetlnych oraz powiększenie całkowite tego typu urządzeń zaleŝy od ogniskowych poszczególnych elementów składowych oraz od względnej odległości tych elementów. Na rysunku 16.8 przedstawiony jest schemat konstrukcji obrazu w mikroskopie optycznym. Mikroskop optyczny składa się z obiektywu oraz okularu o ogniskowych odpowiednio f ob oraz f ok. Strona 99

100 ROZDZIAŁ 16 Rysunek Schemat budowy i przebiegu promieni świetlnych w mikroskopie optycznym Powiększenie całkowite mikroskopu jest iloczynem powiększenia y ob y ok obiektywu m ob = oraz okularu m ok =. PoniewaŜ przedmiot x ob x ok umieszczamy blisko ogniska obiektywu, więc odległość x ob przedmiotu od obiektywu moŝemy zastąpić ogniskową obiektywu f ob. Długość tubusa L (odległość od obiektywu do okularu) dobieramy następnie tak, Ŝeby obraz obiektywu znajdował się w pobliŝu ogniska okularu (między ogniskiem a okularem). PoniewaŜ długość tubusa L jest duŝa w stosunku do ogniskowych okularu i obiektywu, więc odległość powstałego obrazu y ob moŝemy przybliŝyć długością tubusa. Przy takich załoŝeniach równieŝ odległość przedmiotu od okularu x ok moŝe być przybliŝona ogniskową okularu f ok. Do prawidłowej obserwacji obiektu powstały obraz Y (y ok ) powinien znajdować się w odległości dobrego widzenia y ok = d = 5cm. Uwzględniając powyŝsze załoŝenia powiększenie mikroskopu wynosić będzie: L d M = mobmok = (16.9) f f ob ok Strona 100

101 OPTYKA Z powyŝszego wzoru wynika, Ŝe powiększenie całkowite mikroskopu moŝna więc modyfikować w pewnym zakresie poprzez zmianę długości tubusa L Polaryzacja W poprzednich rozdziałach mówiliśmy o świetle jako fali elektromagnetycznej. Wykazaliśmy równieŝ, Ŝe jest to fala poprzeczna, w przypadku której zmiany pola elektrycznego i magnetycznego odbywają się kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Co więcej wektory natęŝenia pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego są do siebie zawsze prostopadłe. PoniewaŜ pole elektryczne i magnetyczne są ze sobą ściśle powiązane skoncentrujemy się chwilowo tylko na wektorze natęŝenia pola elektrycznego E r. Wiązka światła niespolaryzowane składa się z wielu fal elektromagnetycznych rozchodzących się w tym samym kierunku, dla których wektor natęŝenia pola magnetycznego ma róŝny kierunek. Rysunek Schematyczny rysunek fali elektromagnetycznej a) niespolaryzowanej i b) spolaryzowanej z zaznaczonym kierunkiem rozchodzenia się fali oraz kierunkami drgań wektora natęŝenia pola elektrycznego W przypadku spolaryzowanej fali elektromagnetycznej drgania wektora natęŝenia pola elektrycznego odbywają się tylko w jednym kierunku (polaryzacja liniowa, rysunek 16.9) lub teŝ kierunek tych drgań zmienia się systematycznie w czasie (polaryzacja kołowa lub eliptyczna). Polaryzacja moŝe odbywać się poprzez absorpcję (filtry polaryzacyjne), przez rozproszenie (np. na cząsteczkach powietrza w górnych warstwach atmosfery) lub teŝ przez odbicie niespolaryzowanej fali elektromagnetycz- Strona 101

102 ROZDZIAŁ 16 nej od powierzchni dielektryka (np. odbicie od powierzchni wody). NatęŜenie fali spolaryzowanej liniowo po przejściu przez idealny polaryzator zaleŝeć będzie od natęŝenia fali padającej oraz kąta φ między kierunkami polaryzacji fali oraz polaryzatora: I = I cos 0 ϕ (16.10), gdzie I 0 jest natęŝeniem spolaryzowanej fali padającej. JeŜeli np. dwa polaryzatory (polaryzator oraz analizator) ustawimy prostopadle do siebie (φ = π/), to uzyskamy całkowite wygaszenie światła przechodzącego przez taki układ. JeŜeli na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to natęŝenie światła po przejściu przez polaryzator (natęŝenie światła spolaryzowanego) równe jest połowie natęŝenia światła padającego ( I = ). cos ϕ dla wielu kierunków polaryza- Wartość ta wynika z uśrednienia cji wiązki światła padającego. I 0 JeŜeli na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to natęŝenie światła po przejściu przez polaryzator (natęŝenie światła spolaryzowanego) równe jest połowie natęŝenia światła padającego ( I = ). cos ϕ dla wielu kierunków polaryza- Wartość ta wynika z uśrednienia cji wiązki światła padającego. I 0 Zjawisko zmiany natęŝenia światła przy przejściu przez polaryzator wykorzystuje się na przykład w wyświetlaczach ciekłokrystalicznych LCD. Między dwoma polaryzatorami z płaszczyznami polaryzacji ustawionymi prostopadle do siebie umieszczone są ciekłe kryształy. Materiały te posiadają zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji. Układ taki oświetlamy światłem niespolaryzowanym, które po przejściu przez pierwszy z polaryzatorów staje się spolaryzowane liniowo. Następnie ciekły kryształ skręca płaszczyznę polaryzacji światła o π/ tak, Ŝe w efekcie światło jest spolaryzowane zgodnie z osią drugiego polaryzatora i przechodzi przez niego bez straty w natęŝeniu (jasny piksel). Ciekłe kryształy umieszczone w polu elektrycznym przestają skręcać płaszczyznę polaryzacji. Oznacza to, Ŝe gdy między polaryzatory przyłoŝymy napięcie światło dochodzące do drugiego polaryzatora będzie polaryzowane prostopadle do jego osi. Wówczas zgodnie ze wzorem otrzymamy zerowe natęŝenie światła przechodzącego przez taki układ (ciemny piksel). Strona 10

103 OPTYKA Interferencja Interferencja to zjawisko nakładania się wielu fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy wypadkowej fali. Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkową amplitudę fali będącej złoŝeniem wielu fal moŝemy w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu określić jako sumę amplitud pochodzących od poszczególnych fal. W szczególnym przypadku, kiedy źródła fali są ze sobą skorelowane, charakteryzują się tą samą częstotliwością drgań oraz stałym w czasie przesunięciem fazowym (źródła są spójne, czyli koherentne), układ wzmocnień (np. jasnych prąŝków lub pierścieni) i wygaszeń nie zmienia się w czasie. Rysunek Interferencja fal pochodzących od dwóch wąskich szczelin (doświadczenie Younga) JeŜeli przed ekranem z dwiema bardzo wąskimi szczelinami (szerokość rzędu długości fali) umieścimy źródło światła, to zgodnie z zasadą Huygensa kaŝda z tych szczelin stanie się źródłem nowej wiązki światła. Co więcej źródła te będą spójne. Rozpatrzmy obraz powstały w wyniku nałoŝenia się fal pochodzących od tych źródeł na ekranie znajdującym się w odległości L od szczelin w punkcie P widocznym pod kątem θ względem osi szczelin, jak na rysunku JeŜeli fale te w punkcie P będą zgodne w fazie, to nastąpi wzmocnienie i zwiększenie amplitudy fali, je- Ŝeli zaś przeciwne w fazie to będziemy mieli do czynienia z wygasze- Strona 103

104 ROZDZIAŁ 16 Strona 104 niem. Faza fali zaleŝy od długości drogi optycznej między szczeliną a punktem P (r 1 oraz r ) oraz długości fali λ. JeŜeli róŝnica dróg optycznych jest wielokrotnością długości fali, to w punkcie P nastąpi wzmocnienie sygnału (jasne pole), a jeŝeli będzie to wielokrotność długości fali powiększona o pół długości fali, to fale dochodzące z dwóch źródeł będą przeciwne w fazie i wygaszą się. Ta róŝnica dróg optycznych δ = r r 1 zaleŝy od odległości między szczelinami d oraz kąta θ, pod jakim widać punkt P. Uwzględniając relacje trygonometryczne między tymi wielkościami warunek na wzmocnienie i wygaszenie sygnału moŝna zapisać w postaci: δ = d sinθ = m λ (wzmocnienie) (16.11) ( 1 ) λ (wygaszenie) δ = d sinθ = m + (16.1) NatęŜenie światła w wyniku interferencji dwóch spójnych wiązek światła opisane będzie wzorem: πd sinθ I = I cos max (16.13), λ gdzie I max w przypadku dwóch źródeł wynosić będzie 4I 0, czyli będzie czterokrotnie większe niŝ maksymalne natęŝenie promieniowania pochodzącego od pojedynczego źródła. Na ekranie będą jednak równieŝ miejsca o zerowym natęŝeniu i efektywnie średnie natęŝenie światła padającego na ekran będzie wynosiło I 0, czyli tyle samo gdyby oświetlić ekran dwoma niespójnymi źródłami światła o natęŝeniu I 0 kaŝde. Zjawisko interferencji wykorzystuje się np. w bardzo precyzyjnych pomiarach długości za pomocą interferometru Michelsona. W urządzeniu tym pomiar odbywa się poprzez przesuwanie ruchomego zwierciadła, co wpływa na róŝnicę dróg optycznych pokonywanych przez dwie wiązki światła. JeŜeli róŝnica ta jest równa wielokrotności długości fali to obserwujemy wzmocnienie, jeŝeli nie to wygaszenie. Mierząc liczbę wzmocnień i wygaszeń moŝemy określić o ile długości fali zostało przesunięte zwierciadło. Interferometr Michelsona pozwala więc mierzyć odległości z dokładnością rzędu setnych części długości fali. Interferencja na cienkich warstwach Zjawisko interferencji pozwala wyjaśnić równieŝ występowanie kolorowych obszarów na powierzchni cienkich warstw takich jak plamy ben-

105 OPTYKA zyny na wodzie, czy bańki mydlane. Taką cienką warstwę płynu moŝna traktować jak płytkę płasko-równoległą. Rozpatrzmy więc jeszcze raz rysunek 16.3 przedstawiający bieg promieni świetlnych w płytce płaskorównoległej. Jak zaznaczono na rysunku promień świetlny, który dotrze do dolnej powierzchni płytki moŝe ją opuścić lub teŝ odbić się od granicy ośrodków i następnie opuścić płytkę przy górnej jej powierzchni (promień zaznaczony linią przerywaną). Promień taki opuszczając płytkę ulegnie załamaniu na granicy ośrodków i rozchodzić się będzie pod kątem α, a więc będzie równoległy do promienia odbitego bezpośrednio od górnej powierzchni. PoniewaŜ oba promienie są koherentne mogą więc interferować ze sobą. Wzmocnienie lub wygaszenie fal zaleŝeć będzie od róŝnicy długości dróg optycznych pokonanych przez oba promienie a więc grubości płytki, jej współczynnika załamania oraz kąta padania promieni na płytkę. Przypomnijmy, Ŝe jeŝeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy którego odbija się fala, jest większy niŝ współczynnik załamania ośrodka, w którym fala propaguje, podczas odbicia następuje zmiana fazy o π (zmiana fazy na przeciwną). W przypadku płasko-równoległej płytki szklanej znajdującej się w powietrzu, zmiana fazy następuje więc tylko przy odbiciu fali świetlnej od jej górnej powierzchni, nie następuje natomiast przy odbiciu od dolnej powierzchni płytki. Wzmocnienie interferencyjne otrzymamy więc, gdy róŝnica dróg optycznych promieni, z uwzględnieniem zmiany fazy, będzie całkowitą wielokrotnością długości fali: λ m λ = nd cosθ + (16.14) W powyŝszym wzorze mλ oznacza całkowitą wielokrotność długości fali, składnik λ został wprowadzony by uwzględnić zmianę fazy przy odbiciu, n oznacza współczynnik załamania płytki, d jej grubość, a θ określa kierunek rozchodzenia się promieni świetlnych w płytce (kąt załamania światła w ośrodku). WyraŜenie nd cosθ opisuje róŝnicę dróg optycznych promieni, która jest równa drodze optycznej, jaką promień odbijający się od dolnej powierzchni płytki pokonuje w materiale płytki (iloczyn drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka). Przy zadanym kącie padania i przy zadanej grubości cienkiej warstwy (grubość ścianki bańki) warunek wzmocnienia spełniony jest tylko dla jednej długości fali (składowa światła o jednej barwie). RóŜne kolory na bańce mydlanej wynikają z faktu, Ŝe ścianka bańki jest cieńsza u góry i grubsza na dole a więc w kaŝdym miejscu fala o innej długości (bar- Strona 105

106 ROZDZIAŁ 16 wie) ulega wzmocnieniu. Analizując róŝnokolorowe wzory na bańce mydlanej naleŝy jednak uwzględnić nie tylko zmienną grubość ścian, ale takŝe róŝny kąt padania światła wynikający ze sferycznego (w przybliŝeniu) kształtu bańki. Zjawisko interferencji na cienkich warstwach jest wykorzystywane np. przy produkcji warstw antyrefleksyjnych do przyrządów optycznych, okularów, szyb i lusterek samochodowych. Element optyczny pokrywany jest cienką warstwą materiału o współczynniku załamania oraz grubości tak dobranych, aby promienie odbite od warstwy oraz od szkła (po przejściu przez warstwę) wygaszały się dla średniej długości fali światła widzialnego (dla barwy Ŝółtej o długości około 500nm) Dyfrakcja Strona 106 Dyfrakcja opisuje zjawisko ugięcia, czyli zmiany kierunku rozchodzenia się fali, następujące na krawędziach przeszkód. NaleŜy przy tym odróŝnić zmianę kierunku rozchodzenia się fali na granicy ośrodków o róŝnych właściwościach optycznych (prawo załamania) od zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód (dyfrakcja). Dyfrakcja najczęściej kojarzy się z dyfrakcją fali świetlnej, ale w ogólności dotyczy wszystkich fal i zachodzi na kaŝdej przeszkodzie jednakŝe efekt ten jest silniejszy, gdy długość fali jest porównywalna z wielkością przeszkody. Zjawisko dyfrakcji omówimy na przykładzie szczeliny o szerokości a, na którą pada płaska fala świetlna o długości λ. Rozpatrzmy obraz, jaki powstanie na ekranie znajdującym się w odległości L od tej szczeliny jak JeŜeli rozpatrzymy teraz promienie r oraz r 3 wychodzące z drugiej pary punktów A oraz A 3, to przy zachowaniu powyŝszego warunku L >> a otrzymamy identyczną, jak w przypadku punktów A 1 oraz A, zaleŝność a na róŝnicę dróg optycznych δ = r 3 r = sinθ. JeŜeli ta róŝnica dróg optycznych δ będzie wynosiła λ/, to w punkcie P widocznym pod kątem θ otrzymamy wygaszenie. a λ sinθ = (16.15)

107 OPTYKA Rysunek Rysunek schematyczny przebiegu promieni świetlnych w zjawisku dyfrakcji fali na szczelinie Podobne rozwaŝania moŝna przeprowadzić dzieląc szerokość szczeliny a na dowolną całkowitą liczbę odcinków. W ogólności warunek na wygaszenie dyfrakcyjne ma postać: sin θ = m λ, m = ± 1, ±, ± 3,... (16.16) a Pomiędzy minimami na ekranie obserwować będziemy maksima dyfrakcyjne. NatęŜenie światła w punktach wzmocnienia dane jest zaleŝnością: sin θ sin π a I = I λ max (16.17), θ π a sin λ gdzie I max jest natęŝeniem światła w punkcie P 0 znajdującym się na ekranie na osi szczeliny. Z powyŝszego wzoru wynika, Ŝe jeŝeli szerokość szczeliny jest równa długości fali, to nie będziemy obserwować wygaszenia i ekran będzie oświetlony prawie jednorodnie moŝliwe jest λ ugięcie światła o kąt π/, bo sin θ = dla a λ równy będzie jedno- a Strona 107

108 ROZDZIAŁ 16 Strona 108 ści. Wraz ze zwiększaniem się szerokości szczeliny zerowe maksimum (oświetlony obszar na wprost szczeliny) staje się coraz węŝsze a natęŝenie światła w tym obszarze rośnie, zaś maksima wyŝszych rzędów zbli- Ŝają się do maksimum zerowego (widoczne są pod mniejszym kątem θ ) oraz ich natęŝenie maleje. Przypomnijmy sobie teraz, Ŝe opisując zjawisko interferencji rozpatrywaliśmy wąskie szczeliny o szerokości rzędu długości fali. Okazuje się, Ŝe przy odpowiednim doborze odległości między szczelinami oraz szerokości samych szczelin na ekranie moŝna zaobserwować zarówno efekty interferencyjne jak i dyfrakcyjne - widoczne będą prąŝki interferencyjne, których intensywność modulowana jest zgodnie z zasadami dyfrakcji. Zdolność rozdzielcza Zjawisko dyfrakcji obserwuje się nie tylko dla pojedynczej szczeliny, ale takŝe dla układu wielu szczelin umieszczonych w regularnych odstępach oraz dla otworu kołowego. Takim otworem kołowym moŝe być równieŝ okrągła soczewka, przez którą przechodzi światło. Zdolność rozdzielcza takiej soczewki określa minimalną odległość między obiektami (źródłami światła), przy której moŝliwe jest rozdzielenie (rozróŝnienie) tych obiektów. Dyfrakcyjne ograniczenia rozdzielczości zaleŝą od dwóch czynników rozmiaru szczeliny (otworu) i długości fali. Rozmiar otworu elementu optycznego w przyrządach optycznych nazywamy aperturą. Im mniejsza apertura, tym silniejsze efekty dyfrakcyjne. Z wcześniejszych rozwa- Ŝań wiemy równieŝ, Ŝe kąt ugięcia fali w zjawisku dyfrakcji jest proporcjonalny do długości fali. Do ilościowego określenia zdolności rozdzielczej wprowadza się tak zwane kryterium Rayleigha. Definiuje ono minimalną odległość kątową θ, przy której jesteśmy w stanie rozróŝnić dwa połoŝone blisko siebie obiekty: λ sin θ =1. (16.18) a W powyŝszym wzorze a oznacza aperturę elementu optycznego. Osiągnięcie większej rozdzielczości optycznej (zmniejszenie kąta θ ) zatem moŝna osiągnąć albo poprzez stosowanie przyrządów o duŝej aperturze stąd w teleskopach astronomicznych stosuje się wielkie zwierciadła albo uŝycie fali o mniejszej długości. To drugie rozwiązanie stosowane jest w czytnikach płyt o wysokiej gęstości zapisu, tak zwanych BLU- RAY. Zamiast tradycyjnego lasera emitującego światło o długości po-

109 OPTYKA wyŝej 600nm zastosowano w nich laser o barwie niebieskiej i długości fali około 400nm. Warto wspomnieć, Ŝe zjawisko dyfrakcyjnego ugięcia fali wykorzystuje się równieŝ w tak zwanych soczewkach Fresnela. Rolę szczelin pełnią w tym przypadku na ogół odpowiednio wyprofilowane w materiale rowki. Soczewki tego typu, stosowane m.in. w rzutnikach, latarniach morskich i reflektorach są tańsze i lŝejsze od tradycyjnych szklanych soczewek. Strona 109

110 ROZDZIAŁ 16 Strona 110

111 ` 17 Szczególna teoria względności W tym rozdziale: o Postulaty szczególnej teorii względności o Transformacja Lorentza o Konsekwencje przekształceń Lorentza o Dynamika relatywistyczna

112 ROZDZIAŁ Szczególna teoria względności Teoria względności, stworzona przez Alberta Einsteina, przedstawia zasady transformowania, czyli przekształcania, wyników pomiarów pomiędzy poruszającymi się względem siebie układami. W naszym wykładzie omówimy załoŝenia i wnioski płynące z tzw. szczególnej teorii względności, która ogranicza się do inercjalnych układów odniesienia. Przypomnijmy, Ŝe inercjalne układy odniesienia to takie, w których wszystkie ciała poruszają się bez przyspieszenia, jeŝeli nie doznają działania sił zewnętrznych. Transformacja Galileusza Rozpatrzmy na początek dwa układy odniesienia nieruchomy związany z obserwatorem stojącym na peronie (układ O) oraz układ związany z obserwatorem znajdującym się w pociągu poruszającym się z prędkością v względem peronu, w kierunku x (układ O ). ZałóŜmy, Ŝe w chwili początkowej oba układy pokrywają się, czyli obaj obserwatorzy znajdują się tuŝ obok siebie oraz osie układów współrzędnych w obu układach mają ten sam kierunek i zwrot. W pewnej chwili t obserwator stojący na peronie (układ O) zauwaŝa, Ŝe w semaforze stojącym przy torach zapala się czerwone światło. Stwierdza równieŝ, Ŝe semafor znajduje się w punkcie o współrzędnych (x, y, z) względem niego. Obserwator znajdujący się w pociągu (układ O ) fakt zapalenia się czerwonego światła semafora zarejestruje w tym samym momencie t = t. Jego zdaniem współrzędne y oraz z tego semafora są takie same jakie podał obserwator stojący na peronie (y = y oraz z = z ), ale współrzędna x jest mniejsza, bowiem w czasie t zdąŝył się juŝ zbliŝyć do tego semafora o odcinek vt, czyli x' = x vt. PowyŜsze relacje pomiędzy układami O i O stanowią tzw. transformację Galileusza, czyli zestaw przekształceń współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się w kierunku osi x ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v względem pierwszego układu: Strona 11

113 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI t' = t x' = y' = z' = x vt y z (17.1) RozwaŜmy obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewną prędkością dx u = wyznaczoną w nieruchomym układzie odniesienia O. Prędkość d t tego samego obiektu w układzie O, poruszającym się z prędkością v w d x kierunku osi x, definiuje się jako u =, ale poniewaŝ x' = x vt dt więc otrzymujemy: d dx u = ( x vt ) = v = u v dt dt u = u v (17.), Otrzymaliśmy w ten sposób prawo składania prędkości. Jako przykład rozpatrzmy samochód, którego prędkość względem fotoradaru stojącego na poboczu (nieruchomy układu odniesienia O) wynosi u = 60km/h. Rower poruszający się z prędkością v = 0km/h w tym samym kierunku moŝemy traktować jako ruchomy układ odniesienia c poruszający się z prędkością v względem układu O. Wówczas prędkość u samochodu w układzie związanym z rowerem (prędkość samochodu względem roweru) wynosić będzie u = u v = 40km/h. Rozpatrzmy teraz obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewnym przyspieszeniem i opiszmy jego ruch w okładzie O oraz O. Zgodnie z transformacją Galileusza przyspieszenie obiektu w obu układach doniesienia O i O będzie miało taką samą wartość: du ( t ) d( u( t ) v ) du( t ) a = = = = a dt dt dt (17.3) Transformacja Galileusza jest słuszna dla wszystkich zjawisk, w których mamy do czynienia z prędkościami (prędkościami obiektów albo prędkościami względnymi układów odniesienia) znacznie mniejszymi od prędkości światła. Tak więc wszystkie zagadnienia klasycznej mechaniki Newtonowskiej mogą być opisywane za pomocą transformacji Galileusza. W przypadku prędkości zbliŝonych do prędkości światła naleŝy za- Strona 113

114 ROZDZIAŁ 17 stosować szczególną teorię względności oraz transformację Lorentza do opisu tego samego zdarzenia w dwóch róŝnych układach odniesienia. Postulaty szczególnej teorii względności U podstaw szczególnej teorii względności leŝą dwa postulaty: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same i Ŝaden z układów nie jest wyróŝniony. We wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we wszystkich kierunkach światło w próŝni rozchodzi się z taką samą prędkością c. Zasada względności Einsteina Warto zaznaczyć w tym miejscu, Ŝe pierwszy postulat szczególnej teorii względności wyraŝa tzw. zasadę względności Einsteina. Według klasycznej zasady względności Galileusza w inercjalnych układach odniesienia poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami równania Newtona muszą być niezmiennicze a więc niemoŝliwe jest wyróŝnienie któregokolwiek z tych układów odniesienia za pomocą eksperymentów mechanicznych. Einstein rozszerzył tę zasadę względności na wszystkie prawa fizyki (nie tylko mechaniki, ale takŝe elektromagnetyzmu i optyki). MoŜemy więc powiedzieć, Ŝe według zasady względności Einsteina nie istnieje eksperyment fizyczny, który pozwoliłby wyróŝnić którykolwiek z inercjalnych układów odniesienia. W dalszej części tego rozdziału omówimy wnioski wynikające z postulatów szczególnej teorii względności Transformacja Lorentza Strona 114 Uwzględniając postulaty szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych przestrzennych oraz czasu między dwoma inercjalnymi układami odniesienia odbywa się w inny sposób niŝ według Galileusza. RozwaŜmy, podobnie jak w poprzednim przykładzie transformacji Galileusza, nieruchomy układ odniesienia O (współrzędne x, y, z, t ), na przykład peron, oraz drugi układ odniesienia O (współrzędne primowane x,

115 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI y, z, t ), na przykład pociąg, poruszającym się względem układu O z prędkością v skierowaną zgodnie z osią x. Transformację Lorentza przekształcającą współrzędne x, y, z, t na współrzędne x, y, z, t podamy bez wyprowadzenia: x' = γ ( x vt ) y' = y z' = z v t' = γ t x c gdzie c jest prędkością światła. γ = 1 v 1 c (17.4), W transformacji Lorentza występuje czynnik γ (tzw. czynnik lorentzowski), który dla nieduŝych prędkości, znacznie mniejszych niŝ prędkość światła jest z dobrym przybliŝeniem równy jedności ( v << c γ 1). Wówczas, dla małych prędkości, transformacja Lorentza zamienia się w klasyczną transformację Galileusza. Oznacza to, Ŝe transformacja Galileusza jest przybliŝeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości. Niezmienniki transformacji Lorentza ZauwaŜmy, Ŝe w transformacji Lorentza przekształceniu ulega nie tylko współrzędna x (kierunek, w którym poruszają się układy względem siebie), ale takŝe czas t. W przypadku transformacji Galileusza czas był absolutny, czyli biegł tak samo, niezaleŝnie od układu odniesienia czas był niezmiennikiem transformacji Galileusza. Z transformacji Lorentza wynika natomiast, Ŝe czas przekształca się podobnie jak współrzędne przestrzenne i w rzeczywistości jest czwartą współrzędną w czterowymiarowej przestrzeni zwanej czasoprzestrzenią. Opisując więc jakieś zdarzenie naleŝy podać zarówno współrzędne przestrzenne (x, y, z ) jak i współrzędną czasową tego zdarzenia (ct ). W konsekwencji odstęp między zdarzeniami zaleŝeć będzie od tego, w jakiej odległości od siebie nastąpiły te zdarzenia, przy czym odległość tę musimy określić zarówno w czasie jak i przestrzeni. Długość czterowektora określającego odległość (w przestrzeni i czasie) między dwoma zdarzeniami nazywamy interwałem czasoprzestrzen- Strona 115

116 ROZDZIAŁ 17 nym ( s = x + y + z c t ). MoŜna wykazać, Ŝe przy przejściu z układu O do O kwadrat interwału czasoprzestrzennego jest wielkością stałą, a więc interwał czasoprzestrzenny s jest niezmiennikiem transformacji Lorentza: x = x + y + y + z + z c t = c t = const. (17.5) Przypomnijmy, Ŝe zgodnie z postulatami Einsteina w kaŝdym układzie odniesienia i w kaŝdym kierunku prędkość rozchodzenia się światła jest stała i wynosi c. Oznacza to, Ŝe równieŝ prędkość światła c jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Oprócz interwału czasoprzestrzennego i prędkości światła niezmiennikami są równieŝ masa spoczynkowa m 0, energia spoczynkowa E 0 =m 0 c oraz ładunek elektryczny q. Opisując róŝnice pomiędzy transformacją Galileusza i Lorentza podkreślaliśmy, Ŝe w teorii względności czas i połoŝenie (odległość) mają charakter względny. Transformacja Lorentza przedstawia inne, niŝ klasyczne, pojmowanie czasu, równoczesności zdarzeń, inne dodawanie prędkości czy pomiar odległości. Konsekwencje przekształceń Lorentza przedstawimy bardziej szczegółowo w dalszej części tego rozdziału Konsekwencje przekształceń Lorentza Względność czasu, dylatacja czasu Strona 116 JeŜeli odległość od obserwatora do zwierciadła wynosi D, to zmierzony czas t 0 jest czasem, jaki potrzebuje światło, Ŝeby pokonać drogę D D (w górę i w dół) z prędkością światła c ( t 0 = ). Dla obserwatora B c stojącego na peronie eksperyment ten będzie wyglądał trochę inaczej, gdyŝ cały pociąg porusza się z prędkością v względem niego. Jego zdaniem promień świetlny przebędzie drogę L, a nie D, zanim dotrze do detektora. DłuŜsza droga L wynika z faktu, Ŝe zarówno zwierciadło jak i detektor uciekają od źródła światła z prędkością v, jak na rysun-

117 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI ku W efekcie, uwzględniając postulat niezmienniczości prędkości światła, obserwator B zmierzy dłuŝszy czas t. Rysunek Schemat pomiaru czasu w układzie nieruchomym i w układzie poruszającym się z prędkością v PowyŜszy eksperyment pokazuje nam, Ŝe czas w układzie nieruchomym płynie szybciej niŝ w tym poruszającym się z prędkością v a odstępy czasu między zdarzeniami stają się dłuŝsze, co nazywa się dylatacją czasu: 1 γ t 0 (17.6), t = γ v 1 c gdzie t jest czasem, jaki upłynął miedzy zdarzeniami 1 i w układzie nieruchomym związanym z obserwatorem B stojącym na peronie, zaś t 0 oznacza czas między zdarzeniami 1 i w poruszającym się z prędkością v układzie obserwatora A. PowyŜszy eksperyment myślowy pokazuje jak waŝne jest w fizyce relatywistycznej określenie nie tylko odległości czasowej między zdarzeniami, ale równieŝ odległości w przestrzeni między tymi zdarzeniami. Dla obserwatora A oba zdarzenia (błysk oraz detekcja) występują w tym samym punkcie przestrzeni i wówczas o odstępie między nimi decyduje wyłącznie odległość na osi czasu. W drugim przypadku, dla obserwatora B zdarzenia błysku światła i jego detekcji są odległe takŝe w przestrzeni Strona 117

118 ROZDZIAŁ 17 Strona 118 o odległość v t, co wpływa na zarejestrowaną odległość w czasie między tymi zdarzeniami. Rozpatrzymy dwóch bliźniakó w, z których jeden wyrusza w podróŝ z prędkością zbliŝoną do prędkości światła a drugi pozostaje na nieruchomej planecie. Bliźniak lecący w rakiecie porusza się względem tego na planecie, więc zgodnie z transformacją Lorentza jego czas płynie wolniej. Ale równieŝ bliźniak na planecie porusza się względem tego znajdującego się w rakiecie a więc zdaniem bliźniaka w rakiecie to zegary na planecie chodzą wolniej. Zagadnienie to jest nazywane paradoksem bliźniąt. Po to, Ŝeby sprawdzić, który z bliźniaków ma rację bliźniak w rakiecie musiałby zawrócić, ale wtedy układy przestają być inercjalne i wnioski szczególnej teorii względności nie obowiązują szczególna teoria względności i transformacja Lorentza dotyczą tylko układów inercjalnych poruszających się bez przyspieszenia, ze stałymi prędkościami względem siebie. Układ odniesienia bliźniaka znajdującego się na planecie pozostaje inercjalny a więc to bliźniak z planety ma rację i w efekcie powracającego kosmonautę będzie witał starszy bliźniak. Istnieje szereg eksperymentów potwierdzających istnienie zjawiska dylatacji. W górnych warstwach atmosfery, na wysokości rzędu kilku kilometrów powstają nietrwałe cząstki zwane mionami. Średni czas Ŝycia tych cząstek, czyli odstęp czasowy między ich powstaniem i rozpadem, mierzony w układzie związanym z tymi cząstkami, czyli w tzw. układzie własnym, wynosi ok.. µs. W tym czasie miony, nawet poruszając się z prędkością światła, pokonałyby odległość rzędu 600 m jak więc jest moŝliwe, Ŝe miony powstałe na wysokości rzędu 0 km są rejestrowane takŝe w laboratoriach na powierzchni Ziemi? W układzie związanym z Ziemią, względem którego miony poruszają się z prędkością zbliŝoną do prędkości światła, średni czas Ŝycia mionów ulega dylatacji i wynosi ok. 64 µs. W takim czasie obiekt poruszający się z prędkością zbliŝoną do prędkości światła jest w stanie pokonać odległość ponad 0 km, a więc miony zdąŝają dolecieć do Ziemi zanim się rozpadną. Te samo zjawisko moŝna równieŝ opisać w układzie związanym z poruszającym się mionem. Jak juŝ powiedzieliśmy w układzie tym, czyli układzie własnym, czas Ŝycia mionów wynosi średnio. µs. Jak więc jest moŝliwe, Ŝe miony są w stanie dotrzeć do detektorów znajdujących się na powierzchni Ziemi? Okazuje się, Ŝe względem takiego poruszającego się z duŝą prędkością układu odniesienia związanego z mionem grubość atmosfery ziemskiej musi być znacznie mniejsza, rzędu kilkuset metrów. Zagadnienie skrócenia (kontrakcji) długości omówimy w kolejnych rozdziałach.

119 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI Względność równoczesności Kolejną konsekwencją transformacji Lorentza jest równieŝ inne rozumienie jednoczesności zdarzeń. Przeprowadźmy eksperyment myślowy. Obserwator A znajduje się w środku nieruchomego pociągu stojącego na peronie. Pociąg ten mija drugi identyczny pociąg poruszający się z prędkością v, w środku którego stoi obserwator B. Gdy oba pociągi zrównają się zapala się jednocześnie czerwone światło na początku i niebieskie na końcu pociągu. Do obserwatora B, nieruchomo stojącego na peronie, oba błyski - czerwony i niebieski - dotrą równocześnie, gdyŝ kaŝda z fal świetlnych ma do pokonania tę samą odległość. Tak więc zdaniem obserwatora B oba błyski nastąpiły jednocześnie. Tymczasem według obserwatora A pierwszy nastąpił błysk czerwony a później błysk niebieski. Wynika to z faktu, Ŝe obserwator A zbliŝa się do czerwonej oraz oddala od niebieskiej Ŝarówki z prędkością v. Skrócenie długości Rozpatrzmy tego samego obserwatora A znajdującego się w pociągu poruszającym się z prędkością v względem peronu. Obserwator ten chcąc zmierzyć długość peronu musi zmierzyć odległość między zdarzeniami - minięcie początku oraz minięcie końca peronu. Według obserwatora A oba te zdarzenia następują w tym samym punkcie jego układu odniesienia. JeŜeli obserwator A zmierzy odległość w czasie t 0, to jego zdaniem długość peronu wynosić będzie L = v t 0 (prędkość obserwatora A względem peronu wynosi v). Obserwator B stojący na końcu peronu zmierzył długość peronu L 0 oraz stwierdził, Ŝe czas przejazdu pociągu L0 wraz z obserwatorem A wyniósł t = a więc L 0 = v t. Stosunek v długości zmierzonych przez obu obserwatorów z uwzględnieniem relacji 17.6 zapisujemy: Strona 119

120 ROZDZIAŁ 17 L L 0 = v t 0 t 0 1 = = v t γ t γ 0 1 L = L0 γ γ 1 v c 1 (17.7) Z powyŝszej relacji wynika tzw. skrócenie długości obiektów w ruchu. Obiekty poruszające się z duŝymi prędkościami dla obserwatora nieruchomego wydają się krótsze niŝ zmierzone w ich układzie własnym. Pomiar długości peronu wykonany przez obserwatora A poruszającego się względem peronu daje wartość mniejszą niŝ ta zmierzona przez obserwatora B znajdującego się na peronie. Podobnie długość pociągu zmierzona przez obserwatora B stojącego na peronie będzie mniejsza niŝ ta zmierzona przez obserwatora A znajdującego się wewnątrz pociągu. Dochodzimy w ten sposób do paradoksu z punktu widzenia obserwatora B pociąg z pewnością zmieści się na długości peronu, zaś według obserwatora A peron jest za krótki. Paradoks ten jest konsekwencją innego postrzegania równoczesności przez obserwatorów poruszających się względem siebie. Dodawanie prędkości Z transformacji Lorentza wynika inny niŝ klasyczny, Galileuszowy, sposób dodawania (transformowania) prędkości. Rozpatrzmy układ O poruszający się względem układu O z prędkością v w kierunku osi x. JeŜeli prędkość pewnego obiektu wzdłuŝ osi x w układzie O wnosi u x, to w układzie O jego prędkość u x moŝna wyznaczyć z zaleŝności: u u + v x x = u x v (17.8) 1 + Jako przykład rozpatrzmy rakietę lecącą z prędkością 0.7c, która wystrzeliła pocisk z prędkością u x = 0.8c względem rakiety. Prędkość pocisku względem nieruchomego układu odniesienia O moŝemy wyznaczyć ze wzoru 17.8: c Strona 10

121 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 0,8c + 0,7c 1.5c u x = = 0,96c < c 0,8c 0,7c ) c (17.9) ZauwaŜmy, Ŝe, mimo iŝ obie prędkości (rakiety i pocisku) są zbliŝone do prędkości światła, prędkość pocisku względem Ziemi nie przekracza tej krytycznej wartości. Co więcej, zgodnie ze wzorem 17.8, jeŝeli prędkość jednego z obiektów jest równa c to suma prędkości (prędkość względna) teŝ jest równa c. Efekt ten został eksperymentalnie potwierdzony w 1881r. w eksperymencie Michelsona Morleya, uznawanym za jeden z najwaŝniejszych eksperymentów fizyki. W eksperymencie tym wykazano, Ŝe prędkość światła jest taka sama w kaŝdym kierunku, niezaleŝnie od pory dnia i roku, a więc niezaleŝnie od względnego ruchu detektora znajdującego się na powierzchni Ziemi względem Słońca Dynamika relatywistyczna Pęd i masa Jednym z postulatów szczególnej teorii względności jest obowiązywanie tych samych praw fizycznych we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, tzn., Ŝe wszystkie inercjalne układy odniesienia są równowaŝne. Okazuje się, Ŝe aby spełniona była zasada zachowania pędu w przypadku relatywistycznych prędkości (prędkości zbliŝonych do prędkości światła) niezbędne jest inne zdefiniowanie pędu ciała o masie m 0 oraz prędkości v : r r p = mv r r p = m r r m0 v p = v 1 c γ 0 v (17.10) Masa m 0 nazywana jest masą spoczynkową ciała, zaś masa m nazywana jest masą relatywistyczną: Strona 11

122 ROZDZIAŁ 17 m m 0 = (17.11) v 1 c Masa relatywistyczna przy małych prędkościach ruchu jest bliska, co do wartości, masie spoczynkowej ciała, gdyŝ wówczas czynnik lorentzowski jest bliski jedności. Jak pokazano na rysunku 17..a czynnik Lorentza dąŝy do nieskończoności przy prędkościach dąŝących do prędkości światła c. Oznacza to, Ŝe równieŝ relatywistyczna masa ciała o masie spoczynkowej róŝnej od zera będzie dąŝyła do nieskończoności a więc ciała takiego nie da się rozpędzić do prędkości światła. Prędkość światła jest więc prędkością graniczną, którą osiągają tylko obiekty o zerowej masie spoczynkowej fotony. Na rysunku 17..b przedstawiono zaleŝność pędu ciała o masie spoczynkowej m od prędkości v. Według klasycznej newtonowskiej definicji pędu, przedstawionej w rozdziale 3, pęd ciała rośnie jednostajnie w funkcji prędkości ciała niezaleŝnie od wartości tej prędkości. Ta klasyczna definicja jest przybliŝeniem relatywistycznej definicji pędu dla niskich prędkości. Przy prędkościach zbliŝonych do prędkości światła klasyczne podejście staje się błędne a pęd dąŝy do nieskończoności. Rysunek 17.. ZaleŜność czynnika Lorentza γ a) oraz pędu relatywistycznego b) od prędkości Strona 1

123 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI Energia całkowita, energia kinetyczna Ze szczególnej teorii względności wynika słynna zaleŝność Einsteina: E E = mc (17.1) m c 0 = γ m0c = (17.13) v 1 c Równanie to ukazuje proporcjonalność pomiędzy energią całkowitą obiektu a jego masą relatywistyczną. MoŜliwe jest przekształcanie masy na energię i odwrotnie - masa i energia są równowaŝne. PowyŜsza zaleŝność pomiędzy masą a energią została potwierdzona eksperymentalnie na przykład w bilansach energetycznych reakcji jądrowych czy zjawisku tworzenia par elektron-pozyton. Z równania wynika, Ŝe takŝe ciało pozostające w spoczynku posiadać będzie energię E 0 = m 0 c nazywaną energią spoczynkową. PoniewaŜ energia całkowita ciała jest sumą energii spoczynkowej oraz energii kinetycznej, więc: Relatywistyczną energię kinetyczną ciała wyznaczamy jako róŝnicę całkowitej energii relatywistycznej tego ciała oraz jego energii spoczynkowej: E k = m c 0 v 1 c E = E E k m c = ( γ 1) m c (17.14) Dla małych wartości prędkości v ciała powyŝszą zaleŝność moŝna wyrazić przybliŝonym wzorem 1 v m0 v E k m0c 1 + m 0c =, co oznacza, Ŝe klasyczna c definicja energii kinetycznej jest przybliŝeniem dla małych prędkości relatywistycznej energii kinetycznej. Strona 13

124 ROZDZIAŁ 17 JeŜeli zaleŝność podniesiemy do kwadratu i uwzględnimy relację 17.10, to po przekształceniach otrzymujemy związek między relatywistyczną energią całkowitą ciała E oraz jego relatywistycznym pędem p: ( m c ) ( pc ) (17.15) E 0 = JeŜeli rozpatrzymy ciało o zerowej masie spoczynkowej m 0 = 0, takie jak cząstka promieniowania elektromagnetycznego foton to powyŝsza zaleŝność upraszcza się do postaci: E = pc p = E c (17.16) Jak pokaŝemy w dalszych rozdziałach, energia fotonów zaleŝy od częstotliwości ν promieniowania elektromagnetycznego: E = h ν = h, c λ 34 m gdzie h jest stałą Plancka i wynosi h = kg. Stąd s otrzymujemy, Ŝe pęd fotonu jest odwrotnie proporcjonalny do długości fali promieniowania i wynosi: h p = (17.17) λ Strona 14

125 ` 18 Fizyka kwantowa W tym rozdziale: o Prawa promieniowania cieplnego, ciało doskonale czarne o Kwantowa natura promieniowania, efekt fotoelektryczny i efekt Comptona o Dualizm korpuskularno falowy, hipoteza de Brogliea

126 ROZDZIAŁ Prawa promieniowania Promieniowanie cieplne, to promieniowanie, które emitowane jest w wyniku ruchu cieplnego cząstek materii. Promieniowanie takie wysyłane jest przez kaŝde ciało w temperaturze powyŝej zera bezwzględnego (0K) i odbywa się kosztem energii kinetycznej cząstek tego ciała. Nazwa promieniowanie cieplne odnosi się do sposobu wytwarzania promieniowania elektromagnetycznego a nie do długości emitowanych fal. Zgodnie z klasyczną fizyką falową niejednostajny ruch ładunku elektrycznego jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego. Drgania termiczne równieŝ wywołują przyspieszenie elektronów w materii a więc stają się źródłem fal elektromagnetycznych, które nazywamy promieniowaniem cieplnym. Odwrotne do zjawiska emisji, zjawisko pochłaniania fal promieniowania cieplnego, polega na wzbudzaniu drgań elektronów przez fale elektromagnetyczne padające na powierzchnię ciała. Warto podkreślić, Ŝe w zaleŝności od temperatury obiektu emitowane promieniowanie cieplne charakteryzować się będzie róŝnymi długościami. Widmo promieniowania ciała rozgrzanego do bardzo wysokiej temperatury, które świeci na czerwono czy nawet na biało, obejmuje zakresie fal widzialnych a ciała o niŝszej temperaturze, których promieniowanie odczuwamy tylko za pomocą receptorów cieplnych emitują głównie fale z zakresu podczerwieni. Zdolność emisyjna i absorpcyjna Ilość energii emitowanej przez ciało w postaci promieniowania cieplnego zaleŝy od temperatury T tego ciała oraz częstotliwości tego promieniowania - zdolność emisyjna ciała E jest więc funkcją częstotliwości oraz temperatury, E (ν,t ). Zdolność emisyjna ciała jest równa energii emitowanej przez jednostkową powierzchnię ciała w jednostce czasu w postaci promieniowania elektromagnetycznego z zakresu częstotliwości (ν, ν+dν). Zdolność absorpcyjna ciała (zdolność pochłaniania) równieŝ zaleŝy od jego temperatury oraz częstotliwości padającego promieniowania A (ν,t ). Na ogół jednak tylko część energii promieniowania padającego na ciało jest pochłaniana a część jest odbijana. Część energii odbitej od ciała określamy za pomocą współczynnika odbicia R (ν,t ) (od angielskiego reflected), który podobnie jak współczynnik absorpcji Strona 16

127 FIZYKA KWANTOWA (zdolność absorpcyjna) zaleŝy od temperatury oraz częstotliwości promieniowania. Energia promieniowania padającego na powierzchnię ciała jest częściowo pochłaniana a pozostała część jest odbijana, tak Ŝe: Suma współczynników absorpcji A(ν,T) i odbicia R(ν,T) jest dla dowolnej powierzchni równa jedności, dla kaŝdej częstotliwości padającego promieniowania oraz dla kaŝdej temperatury: Ciało doskonale czarne A(,T ) + R( ν,t ) = 1 ν (18.1) Ciało doskonale czarne w kaŝdej temperaturze w całości pochłania docierające do niego promieniowanie niezaleŝnie od jego częstotliwości, jednocześnie nic nie odbijając: A( ν, T ) = 1 Zgodnie z powyŝszą definicją dla ciała doskonale czarnego A = 1 zaś R = 0, niezaleŝnie od temperatury i częstotliwości. Wzorcem ciała doskonale czarnego jest wnęka z małym otworem. JeŜeli jakiś promień wpadnie do otworu, to po kilku odbiciach od ścian wewnętrznych wnęki zostanie całkowicie przez nią pochłonięty. Tak więc moŝemy powiedzieć, Ŝe powierzchnia otworu jest całkowicie pochłaniająca promieniowanie niezaleŝnie od jego częstotliwości. Warto zaznaczyć, Ŝe kształt czy wielkość wnęki nie ma przy tym istotnego znaczenia. Pewnym przybliŝeniem ciała doskonale czarnego mogą być równieŝ okna w budynku. Patrząc z zewnątrz widzimy, Ŝe okna budynku są ciemne niezaleŝnie od koloru ścian pomieszczeń znajdujących się za nimi Prawo Kirchhoffa W otaczającym nas świecie obserwujemy pewną równowagę między zdolnością absorpcyjną oraz emisyjną, tzn. ciała z jednej strony pochłaniają część docierającego do nich promieniowania elektromagnetycznego, ale równocześnie emitują część energii wewnętrznej równieŝ w formie promieniowania elektromagnetycznego. Gdyby tak nie było temperatura ciała pochłaniającego promieniowanie powinna ciągle wzrastać. PoniewaŜ obiekty rzeczywiste osiągają równowagę, więc wnioskujemy, Ŝe jeŝeli jakieś ciało charakteryzuje się duŝą zdolnością emisyjną, to równieŝ będzie bardzo dobrze absorbowało padające promieniowanie Strona 17

128 ROZDZIAŁ 18 elektromagnetyczne. PowyŜszą obserwację zapisujemy w postaci tzw. prawa Kirchhoffa promieniowania cieplnego: Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla wszystkich powierzchni, wszystkich ciał, jednakową uniwersalną funkcją częstotliwości oraz temperatury. E ( ν,t ) A( ν,t ) ε( ν,t ) = (18.) Aby znaleźć funkcję ε (ν,t ) zapiszmy prawo Kirchhoffa dla ciała doskonale czarnego. PoniewaŜ, jak juŝ wspominaliśmy, ciało doskonale czarne pochłania całkowicie padające promieniowanie, niezaleŝnie od częstotliwości oraz temperatury, czyli jego zdolność absorpcyjna jest równa jedności (A (ν,t ) = 1), to na podstawie równania 18. otrzymamy, Ŝe ta uniwersalna funkcja ε (ν,t ) w istocie jest zdolnością emisyjną E (ν,t ) ciała doskonale czarnego. Tak więc stosunek zdolności emisyjnej do absorpcyjnej dla dowolnego ciała jest równy zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego. Prawo Stefana-Boltzmanna Jak juŝ wspominaliśmy, w temperaturze wyŝszej od zera bezwzględnego kaŝde ciało emituje promieniowanie cieplne w postaci fal elektromagnetycznych z pewnego zakresu długości fal. Metalowy pręt umieszczony w ognisku jest źródłem ciepła, które odczuwamy na naszej skórze za sprawą promieniowania z zakresu podczerwieni, które emituje ten pręt. Taki metalowy pręt moŝna równieŝ tak rozgrzać, podnieść jego temperaturę do takiej wartości, Ŝe zacznie on świecić. Nie oznacza to jednak, Ŝe na naszej skórze nie będziemy juŝ czuli ciepła. Taki rozgrzany do białości pręt będzie źródłem promieniowania zarówno z zakresu fal widzialnych jak równieŝ podczerwieni. Na rysunku 18.1 przedstawione są widma promieniowania ciała doskonale czarnego w róŝnych temperaturach. Widzimy, Ŝe moc promieniowania, a więc energia emitowana w jednostce czasu, dla ciała doskonale czarnego ma róŝną wartość dla róŝnych długości fali λ. Gdybyśmy chcieli obliczyć całkowitą ilość energii jaką ciało o temperaturze T emituje w postaci promieniowania przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu, a więc całkowitą zdolność emisyjną ciała E T (T ), musie- Strona 18

129 FIZYKA KWANTOWA libyśmy scałkować zdolność emisyjną ciała E (ν,t ) po wszystkich częstotliwościach E ( T ) = E ( ν, T ) dν. T Rysunek Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego w róŝnych temperaturach (schematycznie) Dla ciała doskonale czarnego całkowita zdolność emisyjna E(T) w temperaturze T jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury, co stanowi treść prawa Stefana-Boltzmanna: 4 E ( T ) = σ T (18.3), gdzie stała proporcjonalności σ = W/(m K 4 ). T Strona 19

130 ROZDZIAŁ 18 Prawo przesunięć Wiena Opisywaliśmy juŝ w tym rozdziale, Ŝe wraz z temperaturą zmienia się skład widma promieniowania ciała. Oznacza to, Ŝe wraz ze wzrostem temperatury zmienia się widmo promieniowania. Jak pokazano schematycznie na rysunku 18.1 maksimum zdolności emisyjnej ciała (największa wartość mocy promieniowania) wraz ze wzrostem temperatury przesuwa się w kierunku fal krótszych. Relację między długością fali λ max odpowiadającej maksimum zdolności emisyjnej promieniowania a temperaturą T tego ciała opisuje prawo przesunięć Wiena: gdzie stała b = m K. λ T = b const. (18.4), max = Zgodnie z powyŝszym wzorem rozgrzewane ciało początkowo świeci na czerwono a wraz ze wzrostem temperatury pojawiają się składowe widma o większej częstotliwości, najpierw barwy czerwonej potem Ŝółtej, zielonej, niebieskiej i fioletowej aŝ wreszcie widmo promieniowania obejmuje wszystkie długości fali i ciało emituje światło białe. NaleŜy przy tym zaznaczyć, Ŝe dla ciała (np. metalu) rozgrzanego do białości maksimum promieniowania wciąŝ znajdować się moŝe w zakresie podczerwieni. Przykładem moŝe być tutaj typowa Ŝarówka, w której metaliczny Ŝarnik (najczęściej stop wolframu) rozgrzewany jest do białości. Maksimum promieniowania Ŝarówki przypada jednak na zakres podczerwieni i dlatego Ŝarówka produkuje głównie ciepło (około 97% energii) i tylko około 3% energii emitowane jest w postaci światła. W przypadku nowoczesnych źródeł światła opartych na diodach LED prawie cała energia dostarczona do diody zostaje zamieniona na promieniowanie z zakresu widzialnego, a więc takie samo natęŝenie światła moŝemy uzyskać znacznie mniejszym kosztem energetycznym. Szczegóły budowy i działania diody LED omówimy w dalszej części skryptu. Strona 130

131 FIZYKA KWANTOWA 18.. Kwantowa natura promieniowania Przedstawione powyŝej prawa Kirchhoffa, Stefana-Boltzmanna oraz Wiena opisują podstawowe właściwości promieniowania cieplnego. Okazało się, Ŝe stan wiedzy fizyków pod koniec XIX wieku nie pozwalał wyjaśnić wszystkich tych zjawisk fizycznych za pomocą klasycznej falowej teorii promieniowania. Na przykład model Rayleigha-Jeansa opisuje promieniowanie cieplne ciała doskonale czarnego za pomocą wnęki, w której istnieje układ fal stojących o róŝnych kierunkach i róŝnych częstotliwościach. Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii na kaŝdą z fal stojących przypada średnia energia równa k B T, a energia wypromieniowana przez wnękę (ciało doskonale czarne) zaleŝeć będzie od liczby takich fal stojących. MoŜna udowodnić, Ŝe liczba fal stojących jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości, więc dla fal krótkich energia emitowanej fali powinna dąŝyć do nieskończoności. Tymczasem jak wynika z danych eksperymentalnych (Rysunek 18.1) energia emitowanego promieniowania w granicy krótkofalowej dąŝy do zera. Ta drastyczna rozbieŝność klasycznych modeli falowych z wynikami eksperymentalnymi w zakresie fal krótkich (ultrafioletowych) nazywana jest katastrofą ultrafioletową. Teoria Rayleigha-Jeansa przewiduje równieŝ nieskończoną zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego w kaŝdej temperaturze, podczas gdy zgodnie z omawianym wcześniej prawem Stefana-Boltzmanna jest ona proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Kwanty Nową teorię promieniowania ciała doskonale czarnego zaproponował Max Planck. Stworzył on najpierw wzór, który prawidłowo modeluje widmo promieniowania ciała doskonale czarnego a dopiero potem starał się znaleźć model fizyczny, który mógłby uzasadnić taki wzór. ZałoŜył, Ŝe źródłem promieniowania są drgające ładunki, które zachowują się jak oscylatory liniowe. Okazało się jednak, Ŝe aby wyjaśnić wyniki eksperymentalne trzeba przyjąć załoŝenie sprzeczne z klasyczną fizyką energia tych oscylatorów moŝe przyjmować tylko wartości będące wielokrotnością porcji energii E (kwantu energii): E = hν (18.5), Strona 131

132 ROZDZIAŁ 18 gdzie ν jest częstotliwością drgań oscylatorów harmonicznych (częstotliwość promieniowania elektromagnetycznego), zaś h jest stałą Plancka: h = J s = ev s (18.6). Kwantowy oscylator posiadać więc będzie energię równą: E = n hν (18.7), gdzie n jest liczbą naturalną nazywaną liczbą kwantową. Jego energia jest skwantowana. Zmiana energii takiego oscylatora następować będzie w wyniku pochłonięcia lub oddania porcji energii (kwantu energii). Prędkość fazową fali definiowaliśmy jako iloczyn długości fali oraz częstotliwości c tej fali (wzór 14.7), więc w przypadku fali elektromagnetycznej ν =. λ Wówczas energię kwantu promieniowania elektromagnetycznego zapisujemy: Zasada korespondencji c E = hν = h (18.8). λ Warto zaznaczyć tutaj, Ŝe skoro energie atomów w cząsteczkach są kwantowane, to równieŝ energie wszystkich otaczających nas obiektów (równieŝ nas samych) są kwantowane. JednakŜe ze względu na wartość stałej Plancka nie zauwaŝamy tego kwantowania naszymi zmysłami. MoŜna by to porównać do wciągania po schodach ciała na pewną wysokość. JeŜeli liczba schodów jest mała wysokość kaŝdego schodka musi być duŝa i wówczas skokowa zmiana energii potencjalnej ciała będzie wyraźnie widoczna. JeŜeli natomiast rozpatrzymy bardzo duŝą liczbę schodków to ich wysokość moŝe być na tyle mała, Ŝe nie będziemy zauwaŝać skokowej zmiany energii a jedynie ciągły jednostajny wzrost energii. Mechanika kwantowa w odniesieniu do obiektów makroskopowych nie stoi zatem w sprzeczności z mechaniką klasyczną. Stanowi to treść jednej z podstawowych zasad fizyki kwantowej zasady korespondencji, czyli odpowiedniości wprowadzonej przez Nielsa Bohra: Kwantowy opis zjawiska staje się zbieŝny z opisem klasycznym dla duŝych wartości liczb kwantowych. Strona 13

133 FIZYKA KWANTOWA Koncepcja kwantowania energii, mimo Ŝe pozwalała prawidłowo opisywać zjawiska promieniowania cieplnego, była początkowo trudna do zaakceptowania przez fizyków. Wkrótce okazało się jednak, Ŝe pozwala wyjaśnić zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny zewnętrzny, efekt Comptona, powstawanie promieniowania rentgenowskiego, których klasyczna fizyka falowa nie była w stanie wyjaśnić. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny Rozpatrzmy lampę składającą się z dwóch metalowych elektrod umieszczonych w próŝni w szklanej bańce. Przeprowadzone eksperymenty pokazują, Ŝe oświetlenie jednej z nich (fotokatody) światłem o odpowiednio duŝej częstotliwości powoduje emisję elektronów (fotoelektronów) z tej elektrody na zewnątrz metalu. Zjawisko to nosi nazwę efektu fotoelektrycznego zewnętrznego. JeŜeli zwiększamy częstotliwość padającego promieniowania, to wrasta równieŝ energia kinetyczna fotoelektronów. JeŜeli polaryzacja napięcia między elektrodami jest taka, Ŝe fotoelektrony są odpychane od anody, to przy pewnej wartości napięcia, U h = -V 0, nazywanego napięciem hamowania, Ŝaden fotoelektron nie jest w stanie dotrzeć do anody i natęŝenie prądu w obwodzie zewnętrznym spada do zera (Rysunek 18.). Rysunek 18.. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny. Schematyczne wykresy a) natęŝenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch róŝnych natęŝeń światła I >I 1 ; b) natęŝenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch róŝnych częstotliwości światła ν > ν 1 ; c) wartości napięcia hamowania od częstotliwości padającej fali świetlnej JeŜeli przy danym oświetleniu powstają fotoelektrony, to gdy zwiększamy natęŝenie światła (I > I 1 ), obserwujemy równieŝ zwiększenie na- Strona 133

134 ROZDZIAŁ 18 Strona 134 tęŝenia prądu fotoelektronów docierających do anody (prądu anodowego). Jednocześnie dla ustalonej częstotliwości padającego światła, niezaleŝnie od jego natęŝenia, otrzymujemy to samo napięcie hamujące: V 0 (Rysunek 18.a). Jak juŝ wspominaliśmy, dla większej częstotliwość światła padającego na fotokatodę, czyli dla mniejszej długość fali, zwiększa się równieŝ wartość napięcia hamowania: ν >ν 1 V > V1 (Rysunek 18..b). ZaleŜność wartości napięcia hamowania U 0 = V 0 jest przy tym liniową funkcją częstotliwości ν padającego promieniowania, jak pokazano na wykresie 18..c. Z wykresu tego wynika, Ŝe dla wyŝszej częstotliwości padającego światła powstałe fotoelektrony mają większą energię kinetyczną, a więc równieŝ energia niesiona przez kwanty światła zaleŝy liniowo od częstotliwości tego światła. Okazuje się przy tym, Ŝe istnieje graniczna wartość częstotliwości ν 0, poniŝej której nie obserwuje się juŝ prądu anodowego, czyli elektrony nie są wybijane z powierzchni katody. NaleŜy równieŝ podkreślić, Ŝe emisja fotoelektronów w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym odbywa się bez opóźnienia jeŝeli tylko energia kwantów światła jest wystarczająca, Ŝeby wyemitować fotoelektrony, to emisja ta następuje natychmiast, bez opóźnienia. Klasyczna fizyka falowa nie była w stanie prawidłowo wyjaśnić powyŝszych wyników eksperymentalnych. Na przykład według klasycznej fizyki falowej nie powinno być granicznej częstotliwości ν 0 a więc światło o dowolnej częstotliwości powinno wybijać elektrony z fotokatody. Nawet jeŝeli fala o niskiej częstotliwości niesie niewielką porcję energii, to po odpowiednio długim czasie, a nie natychmiast, naświetlania do katody powinna zostać dostarczona energia wystarczająca do emisji elektronów. Klasyczna fizyka falowa nie była równieŝ w stanie wyjaśnić efektu przedstawionego na wykresie 18..a to samo napięcie hamowania przy róŝnych natęŝeniach padającego światła. Wedle klasycznej fizyki falowej bowiem, jeŝeli zwiększymy natęŝenie padającego światła, to zwiększyć się równieŝ powinna ilość energii docierającej do katody w jednostce czasu, a więc w efekcie energia wybitych z katody elektronów powinna być większa. Wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego zewnętrznego zostało przedstawione przez Einsteina, za co zresztą został uhonorowany nagrodą Komisji Noblowskiej. Einstein w swoim rozumowaniu rozwinął zaproponowaną przez Plancka teorię kwantów energii. Przypomnijmy, Ŝe według modelu Plancka fale elektromagnetyczne powstają w wyniku drgań ładunków (oscylatorów), przy czym energia oscylatorów jest wielokrotno-

135 FIZYKA KWANTOWA ścią jednostkowej porcji energii hν. Einstein załoŝył, Ŝe skoro energia takich oscylatorów jest skwantowana i zmienia się skokowo, więc równieŝ wymiana energii odbywa się kwantowo i powstałe w ten sposób promieniowanie elektromagnetyczne ma skwantowaną energię. Okazuje się więc, Ŝe światło moŝna rozpatrywać nie tylko klasycznie jako falę o częstotliwości ν ale takŝe jako strumień kwantów promieniowania o energii hν. Taki kwant promieniowania elektromagnetycznego, mający charakter korpuskuły (cząstki) został nazwany fotonem. Według fizyki kwantowej, jeŝeli foton niosący porcję energii zderzy się z elektronem katody to przekazuje mu całą swoją energię. Tak więc kaŝdy pojedynczy foton moŝe wybić z materiału tylko jeden elektron. Dlatego teŝ natęŝenie prądu na anodzie powinno być proporcjonalne do natęŝenia oświetlenia, czyli liczby fotonów padających na jednostkę oświetlonej powierzchni katody w jednostce czasu (Rysunek 18..a). Wartość energii, jaką niesie pojedynczy foton (hν) zaleŝy od częstotliwości drgań oscylatora, który był jego źródłem. Energia pojedynczego fotonu zostaje przekazana pojedynczemu elektronowi z katody. JeŜeli dostarczona energia wystarcza, Ŝeby pokonać siły wiąŝące elektron w materiale, elektron opuszcza powierzchnię katody. Taka minimalna porcja energii potrzebna do uwolnienia elektronu z materiału nazywana jest pracą wyjścia φ i jest właściwością badanego materiału. Nadmiar energii fotonu zamieniany jest w energię kinetyczną wybitego elektronu. Zasadę zachowania energii dla efektu fotoelektrycznego zewnętrznego moŝemy zapisać: hν =ϕ + E kin (18.9), Maksymalną energię kinetyczną jaką moŝe uzyskać wybity elektron (przy danej częstotliwości ν padającego światła) moŝemy wyznaczyć na podstawie napięcia hamowania U 0 jeŝeli przyłoŝymy napięcie hamujące o wartości U 0, to prąd na anodzie wynosi zero a więc Ŝaden z elektronów nie ma wystarczającej energii aby pokonać barierę potencjału U 0 : E kinmax = eu 0 (18.10) JeŜeli energia padającego fotonu jest mniejsza niŝ praca wyjścia elektronów z powierzchni materiału, to elektron nie opuści materiału. Oznacza to równieŝ, Ŝe według kwantowego opisu zjawiska fotoelektrycznego istnieje graniczna wartość częstotliwości ν 0 promieniowania elektromagnetycznego, poniŝej której zjawisko nie zachodzi: Strona 135

136 ROZDZIAŁ 18 h ν 0 = ϕ (18.11) Efekt Comptona Efekt Comptona jest zjawiskiem, którego równieŝ nie daje się wyjaśnić na gruncie klasycznej fizyki falowej. W efekcie tym w wyniku rozproszenia promieniowania rentgenowskiego (promieniowanie elektromagnetyczne o długościach fali rzędu nanometrów) na elektronach atomowych materiału obserwuje się falę rozproszoną o długości większej niŝ fali padającej. Wedle klasycznej fizyki falowej długość fali promieniowania rozproszonego powinna być taka sama, gdyŝ elektrony pochłaniając falę padającą odbierają od niej energię, ale tę samą energię następnie emitują. Nawet gdyby w klasycznym falowym wyjaśnieniu tego zjawiska uwzględnić efekty dopplerowskie, to powinniśmy obserwować zmianę długości fali, ale zarówno ją zwiększające jak i zmniejszające. Dokładniejsze pomiary tego zjawiska przeprowadzone przez Comptona pokazały, Ŝe dla danego materiału zmiana długości fali zaleŝy od kierunku rozpraszania fali. Wyjaśnienie tego efektu moŝliwe było tylko na gruncie fizyki kwantowej. Compton załoŝył, Ŝe pojedyncze kwanty światła (fotony) zderzają się spręŝyście z elektronami materiału przekazując im swoją energię i pęd zgodnie z zasadą zachowania energii oraz zasadą zachowania pędu (Rysunek 18.3). Zasadę zachowania energii w tym przypadku moŝemy zapisać: h ν 0 + m 0c = hν 1 + mc (18.1), gdzie ν 0 oraz ν 1 oznaczają odpowiednio częstotliwość promieniowania padającego oraz rozproszonego; m 0 jest masą spoczynkową elektronu, na którym rozpraszane jest promieniowanie rentgenowskie zaś m oznacza masę relatywistyczną tego elektronu po rozproszeniu (elektron odbity). Zasadę zachowania pędu dla kierunków x oraz y (zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na Rysunku 18.3) moŝna zapisać: ν hν = cosθ + mv cos (kierunek x) (18.13) c c h 0 1 ϕ hν 1 0 = sinθ mv sinϕ (kierunek y) (18.14) c Strona 136

137 FIZYKA KWANTOWA Rysunek Schematyczne przedstawienie efektu Comptona Równania stanowią układ równań, z którego wyznaczamy długość fali rozproszonego promieniowania λ 1 w zaleŝności od kąta rozproszenia θ: h λ 1 λ 0= ( 1 cos θ ) m c 0 (18.15) Zakładając więc spręŝyste zderzenie kwantu światła z elektronem Compton otrzymał zaleŝność zgodną z wynikami eksperymentów większą długość fali rozproszonej oraz zaleŝność tej długości od kąta rozpraszania wiązki światła. PoniŜej przedstawimy w skrócie procedurę wyznaczania równania Przepiszmy najpierw równania i do postaci: h 0 ν hν 1 cosθ = mv cosϕ (18.16) c c hν 1 sinθ = mv sinϕ (18.17) c Strona 137

138 ROZDZIAŁ 18 JeŜeli powyŝsze równania podniesiemy do kwadratu, dodamy stronami i uporządkujemy uwzględniając jedynkę trygonometryczną ( sin α + cos α = 1 ) otrzymamy: h ν c 0 hν 1 h ν 0ν 1 + cosθ = m v (18.18) c PomnóŜmy te równanie przez c : c m v c = h ν + h ν h ν ν cosθ (18.19) 0 i porównajmy z równaniem 18.1 uporządkowanym i podniesionym obustronnie do kwadratu: 0 4 ( ν ) + m c h( ν ) + m c = h ν ν (18.0) 4 m c Odejmijmy następnie stronami od równania 18.0 równanie 18.19: v m c c 4 1 = m 0 c 4 h ν ν ( 1 cosθ ) + m c h( ν ν ) Z definicji masy relatywistycznej (równanie 17.11) wynika: m = A więc równość 18.1 moŝna zapisać w postaci: (18.1) v 1 m (18.) 0 c ( ν ν ) = ν ν ( 1 cosθ ) 0c 0 1 h 0 1 m (18.3) a po podzieleniu obu stron przez m 0 cν0ν otrzymamy: 1 c c h = ( 1 cosθ ) (18.4), ν ν m 1 0 0c co jest równowaŝne równaniu Promieniowanie rentgenowskie Strona 138 Promieniowanie rentgenowskie powstaje w wyniku oddziaływania z materią (metalową tarczą) elektronów rozpędzonych duŝą róŝnicą potencjałów. Oddziaływanie to odbywa się na dwa sposoby. Po pierwsze rozpędzony elektron moŝe, uderzając w atom, spowodować zmianę jego

139 FIZYKA KWANTOWA konfiguracji elektronowej, wywołać przeskok elektronu na wyŝszy poziom energetyczny. Zagadnienie to szczegółowo omawiać będziemy w dalszej części skryptu opisując budowę atomu. W tej chwili zaznaczymy tylko, Ŝe taka konfiguracja elektronowa jest niekorzystna energetycznie, taki wzbudzony stan jest stanem metastabilnym. Atom wracając do stanu podstawowego emituje fotony o ściśle określonej energii odpowiadającej róŝnicy poziomów energetycznych w atomie widmo charaktery-styczne na Rysunku Oprócz zderzeń rozpędzonych elektronów z elektronami w atomach, równieŝ dodatnio naładowane jądra atomów przyciągać je będą siłą kulombowską. W efekcie takiego oddziaływania z pojedynczym jądrem atomowym zakrzywieniu ulega tor, po jakim porusza się elektron a sam elektron doznaje przyspieszenia dośrodkowego. Elektron poruszający się ruchem przyspieszonym pod wpływem przyspieszenia dośrodkowego emituje falę elektromagnetyczną (kwant energii foton) tracąc w ten sposób energię i zmniejszając swoją prędkość. W ten sposób pojedynczy elektron moŝe oddziaływać wielokrotnie z jądrami atomowymi tracąc za kaŝdym razem róŝne porcje energii i emitując fale o róŝnych długościach. Powstałe w ten sposób promieniowanie nazywa się promieniowaniem hamowania i charakteryzuje się ciągłym widmem (Rysunek 18.4). Rysunek Schematyczne widmo promieniowania rentgenowskiego Strona 139

140 ROZDZIAŁ 18 Przeprowadzane eksperymenty pokazują, Ŝe ciągłe widmo istnieje tylko powyŝej pewnej długości fali λ min. Istnienia tej tzw. krótkofalowej granicy promieniowania rentgenowskiego nie potrafiła wyjaśnić klasyczna fizyka falowa. W szczególności nie dawało się wyjaśnić dlaczego λ min nie zaleŝy od materiału bombardowanego elektronami. Wyjaśnienie istnienia krótkofalowej granicy promieniowania rentgenowskiego moŝliwe jest tylko na gruncie fizyki kwantowej. W opisie kwantowym ta graniczna długość fali λ min odpowiada przypadkowi, gdy rozpędzony elektron zostanie całkowicie wyhamowany przez jedno jądro, a więc gdy powstały w ten sposób foton będzie miał energię równą energii kinetycznej rozpędzonego elektronu: eu = hν λ min max hc = eu hc = λ min (18.5) Dualizm korpuskularnofalowy Strona 140 Przedstawione powyŝej zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny zewnętrzny, efekt Comptona czy teŝ widmo promieniowania rentgenowskiego z krótkofalową granicą promieniowania, wskazują, Ŝe promieniowanie elektromagnetyczne naleŝy traktować jak strumień fotonów. Z drugiej strony omawialiśmy juŝ wcześniej zjawiska i efekty typowo falowe takie jak dyfrakcja czy interferencja. Oznacza to, Ŝe: Światło (promieniowanie elektromagnetyczne) posiada naturę dualną: korpuskularną i falową (korpuskularno falową). Procesy rozchodzenia się promieniowania, zjawiska takie jak dyfrakcja czy interferencja, ujawniają właściwości falowe promieniowania i mogą być wyjaśnione na gruncie klasycznej fizyki falowej. W zjawiskach oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią tzn. emisji (ciało doskonale czarne), absorpcji (efekt fotoelektryczny zewnętrzny) i rozpraszaniu (efekt Comptona), ujawniają się z kolei właściwości korpuskularne promieniowania elektro-magnetycznego i zjawiska te mogą być wyjaśnione tylko na gruncie fizyki kwantowej.

141 FIZYKA KWANTOWA MoŜna równieŝ powiedzieć, Ŝe właściwości falowe promieniowania elektromagnetycznego dominują przy długich falach (np. fale radiowe). Dla fal radiowych bowiem energia pojedynczego fotonu jest znacznie mniejsza niŝ próg detekcji nawet najczulszych urządzeń pomiarowych. Dla częstotliwości fali np..5mhz energia fotonu wynosić będzie około 10 8 ev, co jest wielkością razy mniejszą niŝ czułość najlepszych urządzeń pomiarowych. W przypadku promieniowania z zakresu światła widzialnego moŝemy obserwować zarówno właściwości korpuskularne (np. efekt fotoelektryczny zewnętrzny) jak i falowe (np. interferencja). Natomiast w przypadku promieniowania krótkofalowego dominujące są zjawiska ujawniające korpuskularną naturę promieniowania. Na przykład krótkofalowe promieniowanie rentgenowskie ulega efektowi Comptona. Ale równieŝ dla tego promieniowania moŝliwe jest zaobserwowanie właściwości falowych jeŝeli jako siatkę dyfrakcyjną wykorzystamy atomy w sieci krystalicznej (odległości rzędu m) to zaobserwujemy charakterystyczne dla fal zjawisko dyfrakcji. Hipoteza de Brogliea Hipoteza de Brogliea mówi, Ŝe nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne ma dualną naturę korpuskularno-falową, ale równieŝ obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularnofalową oprócz właściwości korpuskularnych posiadają takŝe właściwości falowe. Długość fali, którą moŝemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zaleŝy od pędu tak samo jak w przypadku promieniowania elektromagnetycznego: gdzie h jest stałą Plancka, zaś p oznacza pęd cząstki. h λ = (18.6), p Częstotliwość ν fal de Brogliea powiązana jest z energią cząstek kwantowych w taki sam sposób jak dla fotonów czyli: c E = h ν = h (18.7), λ Z hipotezy de Brogliea wynika, Ŝe wszystkim cząstkom mikroskopowym moŝna przypisać fale o długości określonej przez wzór Okazuje się jednak, Ŝe ze względu na wartość stałej Plancka właściwości falowe Strona 141

142 ROZDZIAŁ 18 obiektów makroskopowych są niemierzalne. Na przykład długość fali de Borglie a piłki o masie m = 0. kg lecącej z prędkością v = 10 km/h 33 m/s będzie wynosić około m. A więc, Ŝeby np. zaobserwować falowe zjawisko dyfrakcji dla takiej piłki tenisowej musielibyśmy dysponować siatką dyfrakcyjną o stałej około m (tego samego rzędu, co długość padającej fali), podczas gdy odległości międzyatomowe wynoszą około10-10 m a więc są 4 rzędy wielkości za duŝe! Właściwości falowe materii obserwuje się natomiast dla obiektów mikroskopowych takich jak elektrony, neutrony czy teŝ atomy helu lub ich jądra, czyli cząstki α. Właściwości falowe rozpędzonych elektronów wykorzystuje się np. w mikroskopach elektronowych. Zmieniając pęd elektronów moŝna wpływać na długość fal de Brogliea elektronów. Fale o mniejszych długościach niŝ te z zakresu światła widzialnego pozwalają obserwować obiekty mikroświata z dokładnością większą niŝ dostępna w przypadku mikroskopów optycznych. Strona 14

143 ` 19 Fizyka atomu i fizyka jądra atomowego W tym rozdziale: o Budowa atomu o Model Bohra atomu wodoru o Budowa jądra atomowego o Rozpady promieniotwórcze o Rozszczepienie jądra i reaktor jądrowy o Synteza jądrowa

144 ROZDZIAŁ Budowa atomu Pojęcie atomu, jako podstawowego, niepodzielnego elementu budującego materię wywodzi się z czasów staroŝytnych i do filozofii zachodniej zostało wprowadzone w 4 wieku p.n.e. przez Demokryta. Koncepcja atomu powróciła w XVII i XVIII wieku wraz z intensywnym rozwojem chemii. Zdefiniowanie pojęcia pierwiastka chemicznego i wykazanie, Ŝe związki chemiczne składają się z atomów róŝnych pierwiastków zawdzięczamy pracom Lavoisiera i Daltona. Dopiero na przełomie XIX i XX wieku eksperymenty Thomsona i Rutherforda pokazały, Ŝe uwa- Ŝane wcześniej za niepodzielne atomy w istocie składają się z jądra atomowego, obdarzonego ładunkiem dodatnim, oraz elektronów posiadających ładunek ujemny. Późniejsze doświadczenia pokazały, Ŝe takŝe jądro atomowe moŝna podzielić na mniejsze elementy na protony o dodatnim ładunku i obojętne neutrony. Współcześnie wiemy, Ŝe równieŝ te cząstki moŝna podzielić na jeszcze mniejsze fragmenty, zwane kwarkami. Istnienie kwarków i występujących pomiędzy nimi oddziaływań wydaje się w pełni wyjaśniać budowę materii. Zagadnienia te wykraczają jednak poza ramy niniejszego skryptu. W poniŝszym rozdziale ograniczymy się więc do przedstawienia uproszczonego modelu budowy atomu, jądra atomowego oraz przemian jądrowych, określanych równieŝ jako zjawiska promieniotwórczości. Elektron Strona 144 W rozdziale poświęconym elektrostatyce wspominaliśmy juŝ o istnieniu elementarnego ładunku elektrycznego ładunku elektronu. Naładowanie ciała ładunkiem ujemnym oznacza występowanie w nim nadmiaru elektronów, naładowanie ładunkiem dodatnim występowanie niedoboru elektronów. Masę i ładunek elektronu pozwoliły wyznaczyć dwa eksperymenty; Thomsona z 1897 roku i Milikana z 1909 roku. W pierwszym eksperymencie równoległą wiązkę elektronów skierowano w obszar skrzyŝowanych pól elektrycznego i magnetycznego. Ładunek poruszający się w polu magnetycznym doznaje odchylenia na skutek działania siły Lorentza. JeŜeli przeprowadzimy pomiar tego odchylenia przy wyłączonym i włączonym dodatkowo polu elektrycznym o znanej wartości natęŝenia, to moŝliwe będzie wyznaczenie stosunku ładunku elektronu q 11 (e) do jego masy m: q m = C kg. W drugim eksperymencie

145 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO drobne kropelki oleju, naładowane poprzez jonizację promieniowaniem rentgenowskim, były rozpylane wewnątrz komory wyposaŝonej w parę elektrod wytwarzających pole elektryczne. Okazało się wówczas, Ŝe ładunek elektryczny znajdujący się na kropelkach przybiera wartości będące wielokrotnością pewnej wielkości, którą nazywano ładunkiem elementarnym, ładunkiem elektronu e: 19 e = C (19.1) Znając ładunek elektronu i stosunek ładunku elektronu do jego masy moŝemy wyznaczyć jego masę: 31 m = kg (19.) e W doświadczeniu Thomsona poza wiązką elektronów, badana była równieŝ wiązka zjonizowanych atomów wodoru H +. Takie zjonizowane atomy wodoru niosą ładunek elektryczny równy ładunkowi elektronu, ale o przeciwnym znaku i nazywane są protonami. Stosunek q/m wyznaczony na podstawie pomiaru odchylenia toru lotu w polu magnetycznym wykazał, Ŝe masa protonu jest około 000 razy (1840 razy) większa niŝ masa elektronu. Modele budowy atomu Thomsona i Rutherforda Opierając się na wynikach doświadczeń polegających na odchylaniu naładowanych cząstek w polu magnetycznym, Thomson zaproponował model budowy atomu oparty na następujących załoŝeniach: Masa i ładunek dodatni są rozłoŝone równomiernie w całej objętości atomu, tworząc chmurę ładunku dodatniego. Elektrony znajdują się wewnątrz tej chmury ładunku dodatniego i równieŝ są rozmieszczone równomiernie. Model ten, nazywany równieŝ Ŝartobliwie modelem rodzynek w cieście dobrze wyjaśniał obojętność elektryczną atomu. Taki model materii zbudowanej z kulek o róŝnej gęstości i promieniu, odpowiadających róŝnym pierwiastkom był stosunkowo prosty i obrazowy i z tych względów zyskał początkowo duŝą popularność. Strona 145

146 ROZDZIAŁ 19 Strona 146 Rysunek Schematyczne przedstawienie modeli budowy atomu: Thomsona (z lewej) i Rutherforda (z prawej) Nowych wskazówek dotyczących budowy atomu dostarczył eksperyment przeprowadzony przez współpracowników Rutherforda Geigera i Marsdena. W eksperymencie tym w kierunku cienkiej złotej folii kierowano wiązkę cięŝkich cząstek, naładowanych dodatnio. Były to zjonizowane (pozbawione elektronów) jądra helu He +, określane równieŝ mianem cząstek α. Cząstki takie mają w przybliŝeniu 4 razy większą masę, niŝ zjonizowany atom wodoru H + i dwa razy większy ładunek. Okazało się, Ŝe w eksperymencie tym zarejestrowano nie tylko cząstki α, które przeszły przez złotą folię, lub nieznacznie zmieniły tor lotu, ale równieŝ cząstki rozproszone na folii w róŝnych kierunkach, w tym cząstki powracające w kierunku źródła. Okazało się równieŝ, Ŝe część cząstek α przelatuje przez złotą folię nie doznając Ŝadnego oddziaływania z atomami złota Wynik taki stał w wyraźnej sprzeczności z modelem Thomsona rodzynek w cieście. Wedle tego modelu bowiem tak równomiernie rozłoŝona w przestrzeni chmura ładunku dodatniego, zobojętniona przez znajdujące się wewnątrz elektrony, nie mogłaby wywrzeć na cięŝkie cząstki dodatnie dostatecznego oddziaływania, Ŝeby zmienić kierunek ich lotu na przeciwny naleŝałoby się raczej spodziewać stopniowego wytracania energii przez cząstki α poruszające się w materii. Odbicie wsteczne wskazywało tymczasem na zderzenie cząstek α z niewielkim, ale masywnym obiektem o ładunku dodatnim. Na podstawie wykonanych pomiarów Rutherford oszacował rozmiar tego masywnego obiektu, który został nazwany jądrem atomowym. Okazało się, Ŝe rozmiar ten jest około 10 5 razy mniejszy niŝ rozmiar całego atomu. A wiec atomy są w istocie bardzo puste odległość pomiędzy elektronami, tworzącymi powłokę atomu a jego jądrem jest wielokrotnie większa niŝ rozmiar samego jądra.

147 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO Model atomu wynikający z doświadczeń Rutherforda, nazywany równieŝ modelem planetarnym, moŝemy opisać następująco: Większość masy atomu i jego ładunek dodatni skupione są w jądrze atomowym. Elektrony krąŝą dookoła jądra na orbitach kołowych, przyciągane siłami elektrostatycznymi. Promień atomu jest związany z promieniem orbit elektronowych. Rozmiar jądra jest pięć rzędów wielkości mniejszy niŝ rozmiar atomu. PowyŜszy model Rutherforda budowy atomu w poprawny sposób wyjaśniał obojętność elektryczną atomów oraz poprawnie określał rozmiar jądra atomowego (rzędu m) oraz powłok elektronowych (rzędu m). Podstawowym problemem modelu Rutherforda była kwestia stabilności atomów. JeŜeli bowiem elektrony poruszają się po kołowych orbitach wokół jądra atomowego, pod wpływem oddziaływania elektrostatycznego, doznają wówczas przyspieszenia dośrodkowego. Ale, jak juŝ wielokrotnie wspominaliśmy zgodnie klasyczną fizyką falową, ładunek (elektron) poruszający się z przyspieszeniem staje się źródłem fal elektromagnetycznych. W ten sposób elektron na orbicie elektronowej powinien tracić energię, poruszać się coraz wolniej po orbicie o coraz mniejszym promieniu (po spirali) aŝ wreszcie spaść na jądro atomowe. Czyli otaczająca nas materia powinna być niestabilna. Ponadto podczas takiego ruchu po spirali płynnie zmieniać się powinna prędkość elektronu oraz przyspieszenie dośrodkowe, jakiego doznaje elektron. W konsekwencji w sposób ciągły zmieniać się powinna długość emitowanego promieniowania - atomy powinny mieć ciągłe widmo promieniowania. Tymczasem w eksperymentach przeprowadzonych dla rozgrzanych gazów (moŝna przyjąć, Ŝe mamy do czynienia z emisją przez pojedyncze atomy lub cząsteczki) rejestrowane były tylko dyskretne wartości długości emitowanego promieniowania. Otrzymane widma składają się z tak zwanych linii charakterystycznych kaŝda linia odpowiada promieniowaniu o określonej długości. Na podstawie tych wyników moŝna wnioskować, Ŝe elektrony w atomie nie mogą przyjmować dowolnych energii a takŝe, Ŝe promień orbity, na której się on porusza, moŝe przyjmować jedynie pewne wyróŝnione wartości. Strona 147

148 ROZDZIAŁ 19 Widma atomowe Okazuje się, Ŝe układ linii w widmie promieniowania jest inny dla róŝnych gazów i w ogólności jest charakterystyczny dla danego pierwiastka. Najprostsze widmo promieniowania obserwuje się dla atomu wodoru. Badania układu linii emisyjnych wodoru, przeprowadzone przez Balmera, a zanalizowane przez Rydberga wykazały, Ŝe połoŝenie linii widmowych widocznych w zakresie światła widzialnego emitowanych przez wzbudzony atom wodoru, moŝna opisać wzorem: = R n λ n H = 3, 4,5,... (19.3), 7-1 gdzie n jest liczbą całkowitą większą od, zaś R H = m jest stałą Rydberga. Późniejsze badania widma promieniowania wodoru w zakresie ultrafioletu oraz podczerwieni ujawniły istnienie kolejnych serii linii emisyjnych. Wszystkie serie wodoru mogą być opisane za pomocą ogólnego wzoru: 1 R 1 1 = H n > m, m =1,, 3... λ m n (19.4) Serie widmowe badane przez Balmera z zakresu światła widzialnego odpowiadają zatem wartości m =. Model Bohra atomu wodoru Strona 148 Postulaty modelu Bohra Rozwiązanie problemów modelu Rutherforda, związanych ze stabilnością oraz widmem promieniowania, zostało zaproponowane przez Bohra, który przedstawił trzy postulaty: Elektron porusza się po orbicie kołowej dookoła jądra, przytrzymywany siłą oddziaływania elektrostatycznego. Energia elektronu znajdującego się na orbicie jest stała atom nie emituje promieniowania W atomie dozwolone są tylko takie orbity, dla których orbitalny moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez π:

149 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO h L = n = nh dla n = 1,, 3K π (19.5) Emisja lub absorpcja promieniowania następuje wtedy, kiedy elektron przeskakuje z jednej dozwolonej orbity na drugą. Częstotliwość wyemitowanego (pochłoniętego) promieniowania zaleŝy od róŝnicy energii elektronu między obiema orbitami: E E k E = hν (19.6) = p Warto zaznaczyć, Ŝe model Bohra nie wyjaśniał przyczyn fizycznych, dla których podane postulaty są słuszne. Zostały one tak dobrane, aby uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Model Bohra zakłada natomiast skwantowanie energii i w ten sposób nawiązuje do teorii Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego. Uwzględniając postulaty Bohra obliczmy energię elektronu poruszającego się z prędkością v po stabilnej orbicie o promieniu r n. Siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła oddziaływania elektrostatycznego elektronu z jądrem atomowym (protonem o ładunku +e): F dosrodkowa m = F Coulomba e v e (19.7), = rn 4πε 0rn gdzie e jest ładunkiem elementarnym, zaś m e masą elektronu. MoŜemy równieŝ wyznaczyć orbitalny moment pędu elektronu i wówczas drugi postulat Bohra moŝna zapisać w postaci: h Ln = me v n rn = n (19.8) π Równania 19.7 i 19.8 stanowią układ równań, z którego moŝna wyznaczyć prędkość v n oraz promień orbity elektronu r n : r 4πε 0 h n = n (19.9) mee e v n = (19.10) 4πε 0 hn Strona 149

150 ROZDZIAŁ 19 W powyŝszych wzorach zastosowaliśmy często uŝywany w fizyce kwantowej symbol h ( h kreślone ), który oznacza stałą Plancka dzieloną przez π ( h = h π ). Promień pierwszej orbity atomu wodoru nazywamy promieniem Bohra: a 4πε h 0 A o 0 = = mee (19.11) Całkowita energia elektronu na n-tej orbicie jest sumą jego energii kinetycznej oraz potencjalnej oddziaływania elektrostatycznego: me v e E ( n) = E k ( n) + E p ( n) = n (19.11) 4πε 0 rn Po podstawieniu do zaleŝności 19.9 oraz otrzymujemy wyraŝenie na energię całkowitą: 4 mee ev E ( n) = = ( 4πε 0 ) h n n (19.1) Rysunek 19.. Schemat poziomów energetycznych i serii widmowych atomu wodoru Strona 150

151 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO Energia elektronu znajdującego się w stanie podstawowym w atomie wodoru wynosi E 0 = ev. Energia elektronów znajdujących się na wyŝszych poziomach rośnie (jest mniej ujemna) i dla n = energia ta wynosi E( ) = 0 elektron jest swobodny. Oderwanie elektronu z atomu wodoru (jonizacja) oznacza więc dostarczenie energii niezbędnej do przeniesienia elektronu z orbity podstawowej, n = 0, na n = a więc energii 13.6 ev. Wartość taka jest zgodna z eksperymentalnie wyznaczoną energią jonizacji atomu wodoru. Zgodnie z trzecim postulatem Bohra podczas przejścia elektronu z orbity n na orbitę m emitowane jest promieniowanie elektromagnetyczne o częstotliwości: ν n m E n E = m h (19.13), gdzie E n i E m oznaczają energie elektronu na orbicie odpowiednio n i m. Podstawiając za energie E n i E m wzór 19.1 oraz dzieląc wyraŝenie przez prędkość światła c, po przekształceniach otrzymujemy: 1 1 4πε 4 m e e πh c n m = λ 0 (19.14) PowyŜsza zaleŝność wyprowadzona z modelu Bohra ma postać analogiczną do wzoru 19.4 uzyskanego na podstawie danych eksperymentalnych. Co więcej stałe proporcjonalności występujące w tym wzorze dają wartość zbliŝoną do eksperymentalnie wyznaczonej stałej Rydberga R H. Na podstawie modelu Bohra moŝemy więc teraz wyjaśnić, Ŝe serie widmowe atomu wodoru są wynikiem przeskoków elektronów między róŝnymi poziomami energetycznymi (Rysunek 19.). NaleŜy przy tym zaznaczyć, Ŝe model Bohra pozwala uzyskiwać wyniki w pełni zgodne z wynikami doświadczalnymi tylko dla atomu wodoru. Wyniki zbliŝone do eksperymentalnych otrzymujemy jeszcze dla litu, sodu i potasu, które z tego względu nazywane są wodoropodobnymi, a dla pozostałych pierwiastków wyniki znacząco się róŝnią. O przyczynach takich rozbieŝności opowiemy szerzej w dalszej części skryptu. Doświadczenie Franka-Hertza Zgodnie z modelem Bohra mechanizm emisji i absorpcji promieniowania elektromagnetycznego przez atomy jest taki sam. Proces absorpcji Strona 151

152 ROZDZIAŁ 19 moŝe zachodzić efektywnie tylko wtedy, kiedy energia padającego fotonu jest taka sama jak róŝnica energii odpowiadających orbitom elektronowym. W eksperymencie Franka-Hertza elektrony lampy próŝniowej zawierającej opary rtęci przyspieszane są między katodą a anodą zadanym napięciem. Przy zwiększaniu wartości napięcia przyspieszającego obserwuje się szybki wzrost natęŝenia prądu płynącego przez lampę, ale po przekroczeniu pewnej wartości napięcia obserwuje się gwałtowny spadek natęŝenia prądu na anodzie. Przy dalszym zwiększaniu napięcia obserwujemy kolejne maksima i minima natęŝenia prądu, jak pokazano na Rysunku Strona 15 Rysunek Schemat układu pomiarowego i wyników doświadczenia Franka-Hertza Wzrost napięcia między elektrodami lampy próŝniowej powoduje wzrost energii elektronów i statystycznie coraz ich więcej dociera do anody w jednostce czasu wzrost natęŝenia prądu. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe poniewaŝ w lampie znajdują się równieŝ pary rtęci, to elektrony lampy zderzają się spręŝyście z elektronami atomów rtęci. Jak wynika z eksperymentu dla pewnych wartości energii elektronów z lampy (napięcia lam-

153 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO py) zderzenia te przestają być spręŝyste i elektrony lampy przekazują swoja energię elektronom atomów rtęci, w wyniku czego elektrony te przeskakują na wyŝszy poziom energetyczny. W efekcie dla takiego napięcia na lampie natęŝenie prądu na anodzie gwałtownie maleje, jak pokazano na Rysunku 19.. Widmo charakterystyczne promieniowania rentgenowskiego W rozdziale 18. rozwaŝaliśmy przyczyny istnienia krótkofalowej granicy widma promieniowania rentge-nowskiego. Mówiliśmy wówczas, Ŝe widmo to, oprócz widma ciągłego powstałego w wyniku hamowania wiązki elektronów w tarczy lampy, posiada równieŝ tak zwaną składową charakterystyczną. Są to wąskie i silne maksima natęŝenia promieniowania. Okazuje się, Ŝe połoŝenie i natęŝenia tych maksimów zaleŝy od materiału, z którego wykonana jest tarcza. W wyniku oddziaływania elektronów lampy rentgenowskiej, rozpędzonych duŝą róŝnicą potencjałów (o duŝej energii), z metaliczną tarczą atomy tarczy ulegają wzbudzeniu. Powrót tych atomów do stanu podstawowego (przeskok elektronów na niŝsze orbity) wiąŝe się z emisją kwantów promieniowania o określonej długości. W przypadku widma emisyjnego wodoru mieliśmy do czynienia z promieniowaniem z zakresu światła widzialnego a takŝe podczerwieni i ultrafioletu. W omawianym przypadku promieniowanie emitowane przez lampę rentgenowską charakteryzuje się mniejszą długością, ale mechanizm jego powstawania jest identyczny. Długość emitowanego promieniowania zaleŝy od struktury poziomów elektronowych w materiale, jest więc cechą charakterystyczną kaŝdego materiału i dlatego promieniowanie to nazywane jest promieniowaniem charakterystycznym. W dalszej części tego rozdziału skupimy się na budowie i właściwościach jądra atomowego Jądro atomowe Proton i neutron Wiemy juŝ, Ŝe zjonizowany atom wodoru H + (jądro wodoru) ma ładunek dodatni identyczny, co do wartości, z ładunkiem elektronu. ZałóŜmy, Ŝe jądro wodoru odpowiada pewnej cząstce nazwiemy ją protonem. Strona 153

154 ROZDZIAŁ 19 Izotopy Strona 154 Masa spoczynkowa protonu wynosi m = p 7 kg. Masa atomu kolejnego pierwiastka, helu, jest około czterokrotnie większa niŝ masa atomu wodoru. Jonizując atom helu odrywamy od niego dwa elektrony, otrzymując jon o ładunku +e (He + ). Zatem, jeśli nośnikiem ładunku dodatniego jest proton, to jądro helu zawiera dwa protony. Czterokrotnie większa masa wskazuje jednak na obecność w jądrze równieŝ innych masywnych cząstek, pozbawionych ładunku elektrycznego. Obecność takich cząstek jest równieŝ niezbędna z innego powodu pomiędzy dwoma ładunkami dodatnimi (protonami), skupionymi na niewielkim obszarze jądra istnieją silne elektrostatyczne oddziaływania odpychające. Obecność neutralnych cząstek zwiększa efektywną odległość między protonami a więc mniejsza siłę oddziaływania kulombowskiego. Cząstki neutralne występujące w jądrze atomowym nazywamy neutronami. Masa neutronu jest nieco większa niŝ protonu i wynosi 7 m n = kg. Pomiędzy neutronami a protonami występuje tzw. oddziaływanie silne o duŝej sile, ale krótkim zasięgu. Nazwa i właściwości chemiczne danego pierwiastka związane są z ilością protonów występujących w jądrze atomowym. Ilość protonów nazywamy liczbą atomową Z. Porządkując pierwiastki według liczby atomowej otrzymujemy szereg pierwiastków szereg taki był podstawą do stworzenia układu okresowego. Masa danego atomu zaleŝy zarówno od ilości protonów, jak i neutronów łączną ilość cząstek budujących jądro (nukleonów) nazywamy liczbą masową A. Jak przekonamy się w dalszej części rozdziału, rzeczywista masa jądra danego pierwiastka nie jest prostą sumą mas nukleonów, ale zaleŝy równieŝ od sił wiąŝących jądro. Znając liczbę atomową i masową, moŝna obliczyć liczbę neutronów N w jądrze: N = A Z (19.15) Jądra danego pierwiastka mogą posiadać róŝną liczbę neutronów mogą zatem róŝnić się liczbą masową. Jądra o jednakowej liczbie protonów, zawierające róŝną liczbę neutronów nazywamy izotopami. Jądra atomowe oznacza się symbolem pierwiastka chemicznego z liczbą masową w indeksie górnym po lewej stronie tego symbolu. Na przykład

155 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO zapis 1 C oznacza izotop węgla zawierający 1 nukleonów, a więc 6 protonów i 6 neutronów. Zapis 14 C oznacza izotop węgla zawierający 6 protonów i 8 neutronów. Stabilność izotopów Liczba neutronów w jądrze nie przybiera dowolnych wartości. Jeśli neutronów jest za mało, jądro moŝe być nietrwałe ze względu na silne odpychanie elektrostatyczne pomiędzy protonami. O takim jądrze mówimy, Ŝe jest niestabilne. Podobnie, jeśli neutronów w jądrze jest zbyt duŝo, jądro znajduje się w stanie o wysokiej energii i dąŝy do osiągnięcia stanu o niŝszej energii. RównieŜ w tym przypadku moŝe nastąpić rozpad jądra. Jak przekonamy się w dalszej części rozdziału, rozpad ma charakter statystyczny nie moŝemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane jądro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu moŝemy określić średni czas Ŝycia takiego jądra. Niestabilne izotopy róŝnią się od siebie czasem Ŝycia. Izotopy krótkoŝyciowe, dla których rozpad następuje po czasie rzędu sekundy lub krótszym, nie są obserwowane w przyrodzie i reprezentują mało stabilne konfiguracje nukleonów. Izotopy te mogą być jednak otrzymywane w warunkach laboratoryjnych. Dla innych izotopów o bardziej stabilnej konfiguracji nukleonów rozpad następuje średnio po czasie rzędu miesięcy, lat lub nawet setek tysięcy lat. Izotopy tego typu moŝemy obserwować w przyrodzie. Na podstawie pomiarów czasu Ŝycia izotopów moŝemy stworzyć tak zwaną mapę nuklidów, gdzie, zwyczajowo, na osi x odznacza się liczbę neutronów N, a na osi y liczbę atomową Z. Stabilne izotopy (nie ulegają rozpadowi) obserwujemy dla wszystkich atomów lŝejszych od ołowiu. Dla stabilnych izotopów pierwiastków lekkich liczba neutronów jest zbliŝona do liczby protonów a dla stabilnych izotopów pierwiastków cięŝszych liczba neutronów budujących jądro jest większa niŝ liczba protonów. W przypadku cięŝkich pierwiastków, dla których nie istnieją w przyrodzie stabilne izotopy i znamy jedynie krótkoŝyciowe jądra wytworzone laboratoryjnie, moŝemy jedynie wyróŝnić obszary o większej stabilności, tzw. wyspy stabilności. Energia wiązania Masa jądra danego atomu jest nieco mniejsza od sumy mas nukleonów wchodzących w skład jądra. Aby zrozumieć przyczynę takiego zjawiska, Strona 155

156 ROZDZIAŁ 19 warto wrócić do rozwaŝań przedstawionych w rozdziale poświęconym teorii względności. Wiemy, Ŝe masa moŝe być przekształcona w energię zgodnie ze znanym wzorem Einsteina: E = mc (19.16) Energia wiązania nukleonów, wynikająca z oddziaływania silnego występującego między nimi, powoduje wytworzenie defektu masy jądra. Całkowitą energię wiązania jądra moŝemy obliczyć, odejmując energię odpowiadającą sumie mas nukleonów m od energii odpowiadającej masie całego atomu M: E W = mic M c (19.17) i W praktyce wygodniej jest posługiwać się energią wiązania jądra przypadającą na jeden nukleon: E E = W WN A (19.18) Rysunek Schematyczny wykres energii wiązania w funkcji liczby masowej Strona 156

157 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO Energia wiązania nukleonu dla róŝnych pierwiastków przybiera róŝne wartości. Na wykresie energii wiązania w funkcji liczby masowej A (Rysunek 19.4) widzimy, Ŝe najmniejszą wartość przyjmuje ona dla izotopu wodoru H, i generalnie wzrasta wraz ze wzrostem liczby masowej dla pierwiastków lekkich. Energia wiązania nukleonu osiąga maksimum dla Ŝelaza Fe i niklu Ni. Dla jąder cięŝszych obserwuje się spadek energii wiązania w przeliczeniu na nukleon. Oznacza to, Ŝe jeśli cięŝkie jądro ulegnie rozszczepieniu na mniejsze fragmenty, w procesie tym będzie wydzielać się energia. Zjawisko to wykorzystuje się w elektrowniach jądrowych, których zasadę działania omówimy szczegółowo w dalszej części rozdziału. Energia wydzieli się równieŝ w procesie syntezy (łączenia) lekkich pierwiastków, prowadzącym do powstania cięŝszego jądra. Jednostka energii - elektronowolt Jednostką wygodną do opisu energii wiązania nukleonów i energii przemian jądrowych, które będziemy omawiać w kolejnym rozdziale jest elektronowolt. Jeden elektronowolt 1eV jest równy energii, jaką ładunek elementarny uzyskałby w polu elektrycznym pokonując róŝnicę potencjałów 1V. 19 1eV J (19.19) Dla większości jąder energia wiązania nukleonu zawiera się pomiędzy 5 a 10 MeV Promieniotwórczość Rozpad cięŝkich jąder odbywa się samorzutnie i ma charakter statystyczny nie moŝemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane jądro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu moŝemy określić średni czas Ŝycia takiego jądra. Prawdopodobieństwo rozpadu jest cechą charakterystyczną danego izotopu. Aktywność promieniotwórcza R próbki określa liczbę rozpadów następujących w ciągu sekundy d N dt i zaleŝy od liczby jąder N jakie mogą ulec rozpadowi oraz stałej rozpadu promieniotwórczego λ. Aktywność R wyraŝa się w bekerelach [Bq] (1Bq = 1 rozpad na sekundę). Strona 157

158 ROZDZIAŁ 19 dn R = λ N = (19.0) dt Rozwiązując powyŝsze równanie róŝniczkowe otrzymujemy funkcję wykładniczą opisującą średnią liczbę jąder N, jakie po czasie t nie uległy jeszcze rozpadowi (jąder promieniotwórczych): λt N ( t ) = N e 0 (19.1), gdzie N 0 oznacza początkową liczbę jąder promieniotwórczych. Zakładamy przy tym, Ŝe jądra, które uległy juŝ rozpadowi są stabilne (nie ma wtórnych procesów rozpadu). Z powyŝszego wzoru wynika, Ŝe ilość rejestrowanych początkowo rozpadów jest stosunkowo duŝa i stopniowo maleje, gdyŝ w próbce pozostawać będzie coraz mniej jąder, które wciąŝ mogą ulec rozpadowi (Rysunek 19.5). NaleŜy podkreślić jeszcze raz, Ŝe zjawisko rozpadu promieniotwórczego ma charakter statystyczny. PowyŜsza zaleŝność nie podaje więc dokładnej liczby a jedynie określa średnią liczbę jąder, które nie uległy jeszcze rozpadowi. Rysunek Wykres zaleŝności liczby jąder promieniotwórczych od czasu Strona 158

159 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO W fizyce jądrowej tempo rozpadu promieniotwórczego wyraŝa się często za pomocą tzw. czasu połowicznego zaniku. Czas połowicznego zaniku t 1/ jest to czas, po którym liczba jąder N (a takŝe aktywność próbki R ) maleje do połowy wartości początkowej, jak zaznaczono na Rysunku Na podstawie zaleŝności 19.1 czas połowicznego rozpadu t 1/ wynosi: t = ln 1 τ ln λ = (19.), gdzie τ = 1 λ oznacza średni czas Ŝycia jądra τ. Liczbę jąder promieniotwórczych moŝemy równieŝ wyrazić za pomocą średniego czasu Ŝycia τ : Przykład t N ( t ) N e τ = 0 (19.3). Czas połowicznego rozpadu jądra pewnego pierwiastka wynosi 1 dzień. Ile razy zmieni się aktywność preparatu zawierającego ten pierwiastek po czterech dniach? Po pierwszym dniu połowa jąder ulegnie rozpadowi zatem aktywność próbki spadnie do połowy pierwotnej wartości. W drugim dniu ulegnie rozpadowi połowa z pozostałych jąder, czyli 1/4 początkowej liczby jąder. Po trzech dniach rozpadnie się 1/8 jąder, a po czterech 1/16. Zatem aktywność próbki spadnie w tym czasie 16 razy. Taki sam wynik otrzymamy korzystając ze wzoru 19.3: Zastosowania N ( t ) = N t 4 ln 1 0 e = N 0e = N τ (19.4) Datowanie metodą izotopową W wielu przypadkach obecność izotopów promieniotwórczych w próbce moŝemy wykorzystać do wyznaczenia jej wieku. Przykładem jest datowanie metodą węgla radioaktywnego 14 C. Izotop ten powstaje w górnych warstwach atmosfery, a jego zawartość w atmosferze utrzymuje się na Strona 159

160 ROZDZIAŁ 19 stałym poziomie. śywe organizmy, rośliny i zwierzęta, wymieniają węgiel z otoczeniem w ten sposób równieŝ utrzymując stałą zawartość węgla 14 C w ich tkankach. Po śmierci organizmu wymiana węgla ustaje a zawartość izotopu 14 C zmniejsza się wykładniczo zgodnie z prawem rozpadu. Analizując udział procentowy węgla 14 C w stosunku do pozostałych izotopów węgla w badanej próbce oraz wiedząc, Ŝe czas połowicznego rozpadu wynosi 5730 lat, moŝna wyznaczyć przybliŝony wiek obiektu. Metodę tę moŝna wykorzystywać m.in. do datowania materiałów organicznych takich jak drewno, kości czy tkaniny. Znaczniki radioaktywne Izotopy radioaktywne o niewielkiej, ale moŝliwej do zmierzenia aktywności mogą być równieŝ wykorzystywane jako znaczniki radioaktywne. Właściwości fizyczne i chemiczne izotopów radioaktywnych nie róŝnią się zwykle w zdecydowany sposób od właściwości atomów stabilnych np. wchodzą w identyczne reakcje chemiczne. Z tego względu moŝemy wykorzystywać je do badania obiegu danego pierwiastka w złoŝonych układach, a takŝe organizmach Ŝywych. Metoda taka, przy odpowiednim doborze rodzaju i zawartości izotopów promieniotwórczych nie niesie zagroŝenia dla badanego obiektu i moŝe być takŝe stosowana w badaniach ludzi (np. izotopu 11 C w badaniach aktywności ludzkiego mózgu) Rozpady promieniotwórcze W poprzednim rozdziale opisaliśmy statystyczny charakter rozpadów promieniotwórczych. O samych rozpadach powiedzieliśmy jak dotąd jedynie, Ŝe zachodzą samorzutnie, czyli, Ŝe nic nie moŝemy zrobić Ŝeby taki proces wywołać ani Ŝeby go kontrolować. W tym rozdziale wymienimy róŝne rozpady promieniotwórcze i omówimy ich cechy. Rozpad α Strona 160 W wyniku rozpadu α z jądra emitowana jest cząstka α, zawierająca 4 nukleony dwa protony i dwa neutrony. PoniewaŜ w wyniku emisji cząstki α liczba atomowa Z zmniejsza się o, więc produktem rozpadu

161 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO jest inny pierwiastek niŝ pierwiastek ulegający rozpadowi. Rozpad α przebiega według następującego schematu: A Z A 4 X Y+ α (19.5) Z Jako przykład rozpadu α rozwaŝmy rozpad izotopu uranu 38 U: 4 34 U + α (19.6) Th W powstałym jądrze toru 34 Th, stosunek liczby neutronów do protonów wynosi 1.6, co odpowiada bardziej stabilnej konfiguracji nuklidów, niŝ w ulegającym rozpadowi jądrze uranu 38 U (stosunek wynosi 1.587). Warto wspomnieć równieŝ, Ŝe powyŝsza reakcja jest głównym źródłem gazowego helu na Ziemi. Cząstki α powstałe w wyniku takiego rozpadu wyłapują następnie elektrony i tworzą atomy helu. Czas połowicznego rozpadu 38 U jest bardzo długi i wynosi około lat. 4 Rozpad β Istnieją dwa rodzaje rozpadów β: β i β +. W wyniku rozpadu β jeden z neutronów obecnych w jądrze zmienia się w proton. Liczba atomowa zwiększa się zatem o 1, a więc jądro będące produktem rozpadu reprezentuje inny pierwiastek niŝ jądro ulegające rozpadowi. Liczba masowa pozostaje zachowana. Aby ładunek elektryczny był zachowany, z atomu emitowany jest elektron. Powstaje równieŝ antyneutrino elektronowe ν, które jest cząstką słabo oddziałującą z materią. Ogólne równanie reakcji rozpadu β zapisujemy w następujący sposób: A A 0 Z X Z 1Y+ 1 +ν (19.7) + e Przykładem rozpadu β jest rozpad izotopu cezu 137 Cs, w wyniku którego powstaje izotop baru 137 Ba Cs 56Ba+ 1 +ν (19.8) 137 Rozpady tego typu najczęściej obserwujemy dla izotopów posiadających nadmiar neutronów w stosunku do najbardziej stabilnej konfiguracji. e Strona 161

162 ROZDZIAŁ 19 W wyniku rozpadu β + jeden z protonów zmienia się w neutron. Z atomu emitowany jest pozyton cząstka o właściwościach podobnych do elektronu, ale obdarzona ładunkiem dodatnim. Dodatkowo dochodzi do emisji neutrina elektronowego. PoniewaŜ liczba protonów ulega zmniejszeniu, równieŝ i w tym rozpadzie jądro będące produktem rozpadu odpowiada innemu pierwiastkowi niŝ jądro przed rozpadem. Liczba masowa zostaje zachowana: A A 0 Z X Z 1Y+ + 1e +ν (19.9) Przykładem rozpadu β + jest rozpad izotopu sodu Na, w wyniku którego powstaje jądro neonu Ne: 0 11 Na 10Ne+ 1 +ν (19.30) Równania 19.5, 19.7 i 19.9 pokazują jak zmienią się, liczby atomowa i masowa jądra atomowego w zaleŝności od typu rozpadu promieniotwórczego. ZaleŜności te nazywane są regułami przesunięć Soddyego i Fayansa. Warto podkreślić, Ŝe Kazimierz Fajans był fizykiem jądrowym polskiego pochodzenia. + e Przemiana γ Jądro atomowe moŝe równieŝ przejść do stanu o niŝszej energii w wyniku emisji fotonu, czyli kwantu γ promieniowania elektromagnetycznego. Równanie takiej przemiany γ moŝemy zapisać w następujący sposób: A * A Z X ZX + γ (19.31), gdzie znaczek oznacza jądro w stanie o wyŝszej energii (w stanie wzbudzonym). Wyemitowany foton γ charakteryzuje się zwykle wysoką energią. Po wyemitowaniu takiego kwantu promieniowania jądro moŝe przejść na stan podstawowy lub znaleźć się na niŝszym stanie wzbudzonym. W tym drugim przypadku, przemiana γ moŝe zachodzić kaskadowo aŝ do momentu przejścia jądra do stanu podstawowego. Podczas rozpadu β izotopu kobaltu 60 Co powstaje wzbudzone jądro niklu 60 Ni, które przechodzi do stanu podstawowego w wyniku emisji dwóch fotonów γ, o energiach równych 1.17 MeV oraz 1.33 MeV. Strona 16

163 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO Inne procesy rozpadu Poza trzema wymienionymi powyŝej i najczęściej obserwowanymi w przyrodzie procesami rozpadu promieniotwórczego, moŝe występować równieŝ emisja neutronu, wychwyt elektronu oraz emisja protonu. W procesie emisji neutronu zachowywana jest liczba atomowa jądra a z jądra emitowany jest tylko neutron. Rozpad tego typu następuje np. dla izotopu 13 Be i 5 He, choć w przypadku 5 He mamy do czynienia równieŝ z rozpadem α. Neutrony emitowane są równieŝ w procesie rozszczepienia jąder cięŝkich, które to zjawisko omówimy dokładniej w dalszej części tego rozdziału. Wychwyt elektronu polega na przechwyceniu przez proton z jądra atomowego jednego z elektronów znajdujących się na najniŝszej powłoce elektronowej. Przemiana ta jest w istocie odwrotna do omówionej wcześniej przemiany β. W jej wyniku maleje liczba protonów w jądrze (liczba atomowa), rośnie natomiast liczba neutronów liczba masowa pozostaje więc stała. Dochodzi równieŝ do emisji neutrina elektronowego. Podczas emisji protonu zmniejsza się o 1 liczba atomowa i liczba masowa jądra. Rozpady tego typu rzadko występują w przyrodzie i obserwowane są głównie w przypadku krótkoŝyciowych cięŝkich jąder wytwarzanych laboratoryjnie. Promieniowanie jonizujące PoniewaŜ cząstki wyemitowane w wyniku omawianych powyŝej rozpadów promieniotwórczych charakteryzują się zwykle wysoką energią oddziałując z materią mogą wybijać elektrony z zewnętrznych powłok atomowych (jonizować atomy) lub zrywać chemiczne wiązania międzyatomowe. Ze względu na tę zdolność jonizacji materii produkty rozpadów promieniotwórczych nazywać będziemy promieniowaniem jonizującym. Uszkodzenia spowodowane promieniowaniem jonizującym w przypadku tkanek organizmów Ŝywych mogą być nieodwracalne. Zwłaszcza zerwanie nici kodu genetycznego DNA, moŝe prowadzić do powstawania chorych lub zdegenerowanych komórek. Z drugiej jednak strony promieniowanie jonizujące moŝe być wykorzystane w technice czy medycynie. Przykładowo proces naświetlania wiązką przenikliwego promieniowania γ jest wykorzystywany w przemyśle do modyfikacji Strona 163

164 ROZDZIAŁ 19 Strona 164 właściwości niektórych polimerów a radioterapia stosowana w leczeniu nowotworów polega na naświetlaniu zmian nowotworowych za pomocą promieniowania γ, rentgenowskiego albo wiązką elektronów, protonów czy cząstek α. Oddziaływanie promieniowania jonizującego z materią RóŜne rodzaje promieniowania wykazują róŝną przenikliwość i róŝny stopień oddziaływania z materią. Promieniowanie α jest słabo przenikliwe droga cząstek tego promieniowania w powietrzu jest rzędu centymetrów. Wiązkę cząstek α moŝna powstrzymać cienką folią lub kartką papieru. Zabezpieczenie się przed tym promieniowaniem wydaje się być pozornie łatwe, jednakŝe emitery promieniowania α mogą się łatwo dostać do wnętrza ludzkiego organizmu wraz z wdychanym powietrzem lub pokarmem stanowiąc wówczas powaŝne zagroŝenie dla zdrowia. Zasięg promieniowania β w powietrzu jest znacznie większy niŝ promieniowania α i moŝe dochodzić do kilku metrów. Skuteczną ochroną przed promieniowaniem tego typu moŝe być np. gruba warstwa metalowej blachy. ZagroŜeniem dla organizmów Ŝywych jest nie tylko zewnętrzne oddziaływanie promieniowania β na skórę, które moŝe prowadzić do oparzeń. Szczególnie niebezpieczne w skutkach moŝe być oddziaływanie promieniowania β na układ pokarmowy w wyniku spoŝycia skaŝonej wody lub pokarmu. Najbardziej przenikliwym typem promieniowania jest promieniowanie γ, do osłabienia którego trzeba stosować materiały o duŝej gęstości (np. ołów). Jednak nawet grube osłony z ołowiu nie gwarantują całkowitego zatrzymania promieniowania γ. Ze względu na duŝą przenikliwość promieniowanie tego typu moŝe docierać bezpośrednio do wnętrza tkanek. Aby ilościowo opisać wpływ promieniowania jonizującego na Ŝywy organizm, wprowadza się pojęcie dawki pochłoniętej D T. Określa ona stosunek całkowitej energii promieniowania (wyraŝonej w dŝulach) pochłoniętego przez tkankę do masy tej tkanki. Jednostką dawki pochłoniętej jest grej [ 1Gy = 1J kg ]. Na stopień uszkodzenia tkanek organizmów Ŝywych ma wpływ nie tylko energia, ale i rodzaj cząstek promieniowania jonizującego. Masywne cząstki α powodują ogromne zniszczenia tkanek. Skutki oddziaływania promieniowania β i γ na Ŝywe tkanki są mniejsze niŝ w przypadku pro-

165 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO mieniowania α. Skutek biologiczny danego rodzaju promieniowania moŝemy uwzględnić, wymnaŝając dawkę pochłoniętą przez odpowiedni współczynnik Q R przypisany do danego rodzaju promieniowania. Współczynnik taki dla promieniowania β i γ przyjmuje się za 1, a dla promieniowania α wynosi on około 0. Sumując skutek biologiczny wszystkich rodzajów promieniowania oddziaływających na daną tkankę otrzymujemy równowaŝnik dawki H D Q. Jednostką efektywnego równowaŝnika dawki jest sivert [Sv]. T = T R PoniewaŜ róŝne tkanki są w róŝnym stopniu wraŝliwe na promieniowanie, często wprowadza się równieŝ efektywny równowaŝnik dawki. Jego wartość definiuje się na ogół w odniesieniu do całego ciała. Szkodliwość promieniowania na ludzki organizm otrzymujemy, mnoŝąc dla kaŝdej tkanki równowaŝnik dawki przez współczynnik definiujący podatność tkanki na uszkodzenia wywołane promieniowaniem, a następnie sumując wpływ związany z oddziaływaniem na wszystkie tkanki. Najbardziej wraŝliwymi na promieniowanie organami są przewód pokarmowy i wewnętrzne narządy rozrodcze. Według obowiązujących w Polsce norm, dla osób naraŝonych zawodowo na oddziaływanie promieniowania liczony rocznie efektywny równowaŝnik dawki nie powinien przekroczyć 50 msv. Warto wspomnieć, Ŝe środowisko naturalne nie jest wolne od źródeł promieniowania liczony w skali roku efektywny równowaŝnik dawki od źródeł naturalnych wynosi od 1 do 4 msv Reakcje jądrowe Omawiane powyŝej rozpady promieniotwórcze są procesami samorzutnymi. Pod wpływem czynników zewnętrznych takich jak krótkozasięgowe oddziaływanie z innym jądrem lub teŝ z cząstkami elementarnymi lub fotonami, jądra atomowe mogą podlegać przemianom, które nazywać będziemy reakcjami jądrowymi. W ich wyniku powstają jądra atomowe innych pierwiastków, innych izotopów tego samego pierwiastka lub jądra tego samego izotopu danego pierwiastka w innym stanie energetycznym. Strona 165

166 ROZDZIAŁ 19 Rozszczepienie jądra Reakcje rozpadu, to takie reakcje jądrowe, w wyniku których zmniejsza się liczba atomowa jądra atomowego. Omawiając zaleŝność energii wiązania pojedynczego nukleonu od liczby masowej atomów (Rysunek 19.3) wspominaliśmy, Ŝe rozszczepienie masywnego jądra na mniejsze fragmenty moŝe uwalniać energię. Właśnie ze względu na uwalnianą energię, reakcje rozszczepienia jądra wykorzystywane są w reaktorach jądrowych i bombach atomowych. Proces rozszczepienia przedstawimy na przykładzie izotopu uranu 35 U. Proces rozszczepienia jest w tym przypadku inicjowany przez wychwyt neutronu przez jądro 35 U. Aby proces wychwytu mógł zajść, neutron musi mieć odpowiednio niską energię tak zwane neutrony szybkie, o duŝej energii, nie są wychwytywane. W wyniku wychwytu neutronu powstaje wzbudzone jądro uranu 36 U a kulisty (w przybliŝeniu) kształt jądra ulega deformacjom. Jeśli deformacja jest znaczna, siły odpychania elektrostatycznego pomiędzy dwoma fragmentami jądra powodują rozerwanie go nazywane równieŝ rozszczepieniem na dwie zbliŝone rozmiarami części. Dwa fragmenty jądra uwalniają dodatkowo neutrony nadmiarowe w stosunku do liczby protonów. Średnio w jednym procesie rozszczepienia jądra uranu 36 U uwalniane jest.5 neutronów. Reakcję rozszczepienia uranu 35 U zapisujemy w następujący sposób: U + n U Xe+ Sr + n (19.3) Widzimy, Ŝe powstające fragmenty nie mają równych mas. Reprezentują one nietrwałe izotopy, które podlegają kolejnym procesom rozpadu. Energia wyzwalana w procesie rozszczepienia kaŝdego jądra uranu 35 U wynosi około 00 MeV. Reaktor jądrowy Strona 166 W elektrowniach jądrowych energia uwolniona w reakcji rozszczepienia jąder uranu 35 U zamieniana jest na energię elektryczną. Reakcje rozszczepienia powodują wzrost temperatury wnętrza reaktora (głównie paliwa). Energia cieplna odbierana jest przez chłodzącą reaktor wodę, która zamienia się w parę wodną i napędza turbiny. Uzyskana w ten sposób energia mechaniczna turbiny zamieniana jest na energię elektryczną. NaleŜy jednak zauwaŝyć, Ŝe reaktor jądrowy jest jedynie jednym z elementów niezbędnych do wydajnego i bezpiecznego wykorzystania ener-

167 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO gii jądrowej. W przypadku złoŝonej gałęzi przemysłu, jaką jest energetyka jądrowa, produkcja energii stanowi jedynie niewielki wycinek całego cyklu obejmującego wydobycie rud pierwiastków promieniotwórczych, przetwarzanie ich na paliwo i wzbogacanie go, a następnie przetwarzanie i składowanie odpadów. RozwaŜmy reaktor wykorzystujący omówioną powyŝej reakcję rozszczepienia uranu 35 U. Neutrony generowane w wyniku rozszczepienia uranu 35 U są wychwytywane przez kolejne jądra i proces moŝe zostać powtórzony. PoniewaŜ w wyniku pojedynczego rozszczepienia powstają lub 3 neutrony, proces ten moŝe zachodzić lawinowo (inne określenie to reakcja łańcuchowa) pierwsza reakcja rozszczepienia generuje kolejne. W skali całego reaktora utrzymanie stałego tempa reakcji wymaga równości liczby neutronów otrzymanej w danym pokoleniu do otrzymanych w pokoleniu poprzednim. Stosunek tych dwóch liczb nazywamy współczynnikiem K mnoŝenia reaktora. Stałe tempo reakcji oznacza zatem, Ŝe współczynnik mnoŝenia jest równy 1 mówimy wówczas, Ŝe reaktor jest w stanie krytycznym. Utrzymanie stałego tempa reakcji jądrowej wymaga rozwiązania kilku istotnych problemów, które przedstawiono poniŝej. Wypływ neutronów Neutrony, które wydostaną się na zewnątrz reaktora nie biorą udziału w reakcji rozszczepienia paliwa jądrowego. Nadmierny wypływ neutronów moŝe zatem prowadzić do wygaszenia reakcji rozszczepienia. Liczba neutronów opuszczających reaktor zaleŝy głównie od powierzchni zewnętrznej bloku zawierającego paliwo, a liczba jąder mogących brać udział w reakcji rozszczepienia zaleŝy od objętości tego bloku. Zatem im większy jest element zawierający paliwo jądrowe, tym korzystniejszy stosunek objętości do powierzchni i tym łatwiej jest podtrzymać reakcję rozszczepienia. Parametrem pozwalającym na ilościowe określenie progu niezbędnego do powstania samo-podtrzymującej reakcji jądrowej jest masa krytyczna. Masa krytyczna jest to masa kuli wykonanej z danego izotopu, przy której tyle samo neutronów opuszcza blok, ile jest produkowane w wyniku reakcji. Warto zwrócić uwagę, Ŝe masa krytyczna jest zdefiniowana jedynie dla kształtu kulistego dla innych kształtów wartość masy niezbędnej po potrzymania reakcji będzie większa. Zastosowanie osłon odbijających neutrony do wnętrza reaktora (reflektora neutronów) moŝe natomiast Strona 167

168 ROZDZIAŁ 19 Strona 168 wydatnie zmniejszyć masę paliwa jądrowego niezbędnego do funkcjonowania reaktora. Dla izotopu uranu 35 U masa krytyczna wynosi 5 kg. Dla porównania, dla izotopu plutonu 39 Pu wynosi ona jedynie 10 kg. Spowalnianie i pochłanianie neutronów Aby szybkie neutrony powstające w wyniku reakcji rozszczepienia mogły wywołać kolejne reakcje, muszą zostać spowolnione do tzw. neutronów termicznych. Szybkie neutrony moŝna spowolnić poprzez zderzenia z jądrami lekkich pierwiastków materiał uŝywany w tym celu w reaktorze nazywamy moderatorem. Analizując zderzenie neutronu z jądrem na podstawie klasycznych zasad mechaniki łatwo zauwaŝyć, Ŝe im lŝejsze będzie jądro, z którym zderzy się neutron, tym większa będzie strata energii tego neutronu. Istotne jest przy tym, Ŝeby materiał moderatora charakteryzował się nie tylko duŝą efektywnością w spowalnianiu neutronów (tzw. duŝy przekrój czynny na rozpraszanie neutronów), ale jednocześnie nie pochłaniał neutronów (tzw. mały przekrój czynny na pochłanianie neutronów). Często stosowanymi moderatorami są cięŝka woda (D O), grafit i beryl. W miarę jak kolejne jądra paliwa jądrowego ulegają rozszczepieniu, ich ilość w pręcie paliwowym systematycznie spada, co zmniejsza tempo reakcji jądrowej. Dodatkowo wnętrze pręta paliwowego stopniowo wypełnia się produktami rozpadu uranu 35 U. Często określa się ten proces jako zatruwanie paliwa. NaleŜy ponadto zauwaŝyć, Ŝe izotop 35 U stanowi zwykle niewielką część całkowitej zawartości uranu w pręcie paliwowym. Inne izotopy, jak 38 U równieŝ mogą wychwytywać i generować neutrony. Widać zatem, Ŝe tempo przebiegu reakcji jądrowej zaleŝy od wielu czynników i moŝe znacznie zmieniać się w czasie. Z tego względu niezbędna jest moŝliwość łatwego i szybkiego kontrolowania przebiegu reakcji jądrowej poprzez pochłanianie nadmiaru neutronów. Funkcję taką w reaktorach jądrowych pełnią pręty kontrolne wykonane z materiałów takich jak kadm, bor, ind oraz srebro. Wsunięcie prętów do wnętrza reaktora powoduje zmniejszenie liczby neutronów biorących udział w kolejnym pokoleniu procesów rozpadu. Chłodzenie reaktora Energia uwalniana podczas procesów rozszczepienia powoduje wzrost energii wewnętrznej paliwa jądrowego oraz innych elementów reaktora. Odebranie ciepła z wnętrza reaktora i zamiana go na energię mechaniczną jest moŝliwa dzięki odpowiedniemu układowi chłodzenia, na ogół wodnego. PoniewaŜ woda przechodząc przez komorę reaktora ulega skaŝeniu promieniotwórczemu (pojawiają się w niej nietrwałe izotopy),

169 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO na ogół stosuje się dwa lub więcej obiegów wodnych, tak aby skaŝona woda nie miała kontaktu ze środowiskiem zewnętrznym. W popularnych rozwiązaniach elektrowni typu PWR (ang. Pressure Water Reactor) woda krąŝąca w zamkniętym obiegu pierwotnym pobiera ciepło z reaktora a następnie oddaje je do obiegu wtórnego. W obiegu wtórnym wytwarzana jest para wodna pod wysokim ciśnieniem. Para ta rozpręŝając się obraca turbinę elektrowni generując prąd elektryczny. Bomba atomowa Jeśli stosunek liczby neutronów otrzymanej w danym pokoleniu do liczby otrzymanej w pokoleniu poprzednim jest większy od jedności to tempo reakcji wzrasta w sposób wykładniczy. Taki stan reaktora określa się jako nadkrytyczny, a jego konsekwencją moŝe być niekontrolowana reakcja jądrowa. Wzrost temperatury paliwa jądrowego moŝe doprowadzić do stopienia prętów paliwowych i eksplozji reaktora. W przypadku bomby atomowej celowo doprowadza się do sytuacji, w której paliwo jądrowe przechodzi w stan nadkrytyczny. Wewnątrz bomby znajdują się fragmenty materiału rozszczepialnego, z których kaŝdy ma masę mniejszą niŝ masa krytyczna obliczona dla danej geometrii. Inicjatorem reakcji jest wybuch konwencjonalnego materiału wybuchowego, który łączy fragmenty w całość o masie przekraczającej masę krytyczną. Tempo reakcji jądrowej narasta na tyle szybko, Ŝe dochodzi do rozszczepienia większości dostępnych jąder materiału rozszczepialnego. Energia, która wydziela się w wyniku wybuchu bomby atomowej moŝe wynosić od do J. Reakcje syntezy jądrowej Dla jąder izotopów pierwiastków lekkich, takich jak wodór, hel lub lit energia wiązania nukleonu jest znacząco mniejsza, niŝ dla jąder pierwiastków ze środkowej części szeregu np. dla Ŝelaza. NaleŜy zatem spodziewać się, Ŝe równieŝ w procesie połączenia, syntezy albo fuzji jąder pierwiastków lekkich dochodzi do wydzielania się energii. W istocie, procesy syntezy jądrowej stanowią podstawowe źródło energii dla gwiazd, w tym Słońca. W gwiazdach o rozmiarach Słońca lub mniejszych dominuje tak zwany cykl protonowy łączenia wodoru w hel, który dostarcza około 86% energii Słońca. W cyklu tym z czterech jąder wodoru powstaje stabilne jądro helu a energia wydzielana w całym cyklu Strona 169

170 ROZDZIAŁ 19 reakcji wynosi 6.73 MeV. Cykl ten rozpoczyna się od połączenia dwóch protonów w jądro deuteru: H+ 1H 1D+ + 1e +ν (19.33) Energia uzyskiwana w kaŝdej takiej reakcji wynosi 0.4 MeV. Powstałe w wyniku takiej reakcji pozytony e + ( 0 + 1e ) mogą ulegać anihilacji z elektronami, w wyniku czego powstają dwa fotony o łącznej energii 1.0 MeV. W następnym etapie cyklu jądro deuteru 1 D (reakcja 19.33) łączy się z kolejnym protonem, w wyniku czego powstaje jądro helu 3 He: D+ 1H He +γ (19.34) Energia wydzielana w tym etapie cyklu wodorowego wynosi 5.49 MeV. Następnie dwa jądra helu 3 He łączą się ze sobą, tworząc jądro helu 4 He. W procesie tym powstają równieŝ dwa protony oraz wydzielana jest energia 1.86 MeV: He+ He He+ H H (19.35) PoniewaŜ pomiędzy jądrami występują znaczące siły odpychania elektrostatycznego, do zajścia reakcji syntezy niezbędna jest wysoka temperatura i ciśnienie. Warunki takie spełnione są we wnętrzu gwiazd, natomiast odtworzenie ich na Ziemi jest niezwykle trudne. Warunki niezbędne do przeprowadzenia kontrolowanej reakcji syntezy jądrowej uzyskuje się w skali laboratoryjnej w tzw. tokamakach specjalnych komorach, w których materia w stanie plazmy o temperaturze rzędu 10 8 K jest zamknięta w polu magnetycznym. Utrzymanie tak gorącej plazmy w pułapce magnetycznej z daleka od ścian komory jest jednak niezwykle kosztowne energetycznie, tak Ŝe tokamaki zuŝywają wielokrotnie więcej energii niŝ produkują. Energię syntezy jądrowej wykorzystywano natomiast w przeszłości do celów wojskowych. W tak zwanej bombie termojądrowej do wytworzenia warunków niezbędnych do zajścia reakcji syntezy wykorzystywana jest reakcja rozszczepienia. KaŜda bomba termojądrowa zawiera zatem, obok izotopów lekkich takich jak deuter, tryt i lit, równieŝ pierwiastki cięŝkie takie jak uran i pluton. Wybuch bomby jądrowej pełni w tym przypadku rolę zapalnika dla reakcji syntezy, z której moŝna uzyskać znacznie większą energię (na jeden nukleon) niŝ z reakcji rozszczepienia Strona 170

171 FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO paliwa jądrowego o identycznej masie. Energia uzyskana podczas wybuchu bomby termojądrowej moŝe przekraczać J. Strona 171

172 ROZDZIAŁ 19 Strona 17

173 ` 0 Elementy mechaniki kwantowej W tym rozdziale: o Właściwości falowe materii o Zasada nieoznaczoności Heisenberga o Funkcja falowa i równanie Schrödingera o Rozwiązania równania Schrödingera o Kwantowy model atomu

174 ROZDZIAŁ Właściwości falowe materii W rozdziale 18 pokazaliśmy, Ŝe na początku XX wieku ówczesna fizyka, dziś nazywana fizyką klasyczną, nie potrafiła wyjaśnić zjawisk oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią emisji (promieniowanie ciała doskonale czarnego), absorpcji (zjawisko fotoelektryczne) oraz rozpraszania (efekt Comptona). Wyjaśnienie tych zjawisk okazało się moŝliwe tylko wtedy, gdy będziemy rozwaŝać promieniowanie elektromagnetyczne jako strumień fotonów. Oznaczało to, Ŝe światło posiada dualną naturę i w procesach rozchodzenia się ujawnia swoją falową, a w procesach oddziaływania korpuskularną naturę. Fale de Brogliea W rozdziale 18.3 przedstawiliśmy równieŝ tzw. hipotezę de Brogliea: Nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne ma dualną naturę korpuskularno-falową, ale równieŝ obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularno-falową oprócz właściwości korpuskularnych posiadają takŝe właściwości falowe. Długość fali, którą moŝemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zaleŝy od pędu tak samo jak w przypadku promieniowania elektromagnetycznego: λ = h. Właściwości falowe elektronów zostały po raz pierwszy potwierdzone eksperymentalnie w 197 roku przez Davissona i Germera. W przeprowadzonym przez nich eksperymencie wiązka elektronów padała na kryształ niklu i ulegała na nim selektywnemu odbiciu. Okazało się, Ŝe rejestrowane w detektorze natęŝenie elektronów rozproszonych na niklu zaleŝy od kąta obserwacji. ZaleŜność ta jest analogiczna do niezaleŝnych wyników dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na tym krysztale. Wynik eksperymentu moŝe być wyjaśniony wyłącznie jako dyfrakcja fal związanych z elektronami (dyfrakcja elektronów) na sieci krystalicznej niklu. Co więcej wyznaczona przez Davissona i Germera długość tych p Strona 174

175 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ fal, na podstawie wzoru Braggów, jest zgodna z długością fali elektronu przewidzianej przez de Brogliea. Właściwości falowe cząstek wykorzystuje się np. w mikroskopach elektronowych. Zmieniając pęd elektronów moŝna wpływać na długość fal de Brogliea elektronów, tak Ŝeby uzyskać długości fali mniejsze niŝ te z zakresu światła widzialnego. Dzięki temu mikroskopy elektronowe posiadają większą rozdzielczość niŝ klasyczne mikroskopy optyczne. Fale de Brogliea i model Bohra budowy atomu wodoru Przypomnijmy drugi postulat Bohra, który mówił, Ŝe elektrony mogą się poruszać tylko po takich orbitach, dla których ich orbitalny moment pędu jest róowny całkowitej wielokrotności h π : h m e v r = n (0.1) π Zgodnie z hipotezą de Brogilea elektronowi poruszającemu się po takiej h orbicie elektronowej moŝna przypisać długość fali λ e =. Wówczas zaleŝność 0.1 moŝna zapisać w me v postaci: π r = n λ e (0.), gdzie r oznacza promień dozwolonej orbity elektronowej, n jest liczbą całkowitą, zaś λ e jest długością fali de Brogliea elektronu. W atomie wodoru dozwolone są tylko takie orbity, na obwodzie których moŝe się zmieścić całkowita wielokrotność długości fal de Bogliea elektronów. MoŜemy równieŝ powiedzieć, Ŝe z elektronem znajdującym się na orbicie elektronowej (elektron związany) związana jest fala stojąca. W przypadku elektronów swobodnych natomiast, będziemy mieli do czynienia z falami biegnącymi. Prawdopodobieństwo i niepewność - zasada nieoznaczoności Heisenberga W klasycznej mechanice Newtonowskiej cząsteczki traktowaliśmy jako obiekty punktowe a ich ruch opisywaliśmy podając trzy współrzędne Strona 175

176 ROZDZIAŁ 0 przestrzenne połoŝenia oraz trzy składowe wektora prędkości. śeby wyznaczyć połoŝenie obiektu w kolejnej chwili czasu niezbędne jest przy tym wyznaczenie wszystkich tych wielkości dowolnie dokładnie. W przypadku jednak, gdy zaczynamy rozwaŝać odpowiednio małą skalę pojawiają się podstawowe ograniczenia w precyzji wyznaczenia połoŝenia i prędkości. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej brak moŝliwości przeprowadzenia pomiarów z dowolną dokładnością nie jest wyłącznie wynikiem nieodpowiedniej dokładności urządzeń pomiarowych a w istocie jest nieodłączna cechą otaczającego nas świata. Po pierwsze istnieje interakcja pomiędzy badanym obiektem a badającym go urządzeniem. Czyli nie jest moŝliwe przeprowadzenie pomiaru jakiegoś obiektu bez zaburzenia jego ruchu przynajmniej w małym stopniu. Jako przykład rozwaŝmy piłkę pingpongową poruszającą się w całkowicie ciemnym pomieszczeniu. śeby określić jej połoŝenie moŝemy spróbować dotknąć jej ręką, ale wówczas niewątpliwie wpłyniemy na jej ruch zatrzymamy ją albo odbije się od naszej ręki. Ten sam efekt wpływania na ruch piłki, choć w znacznie mniejszym stopniu, wystąpi równieŝ, gdy uŝyjemy światła do oświetlenia piłki i w ten sposób wyznaczymy jej połoŝenie. śeby zauwaŝyć piłkę przynajmniej jeden foton musi się od niej odbić. Pęd pojedynczego fotonu jest znacznie mniejszy niŝ pęd piłeczki pingpongowej i podczas tego zderzenia ruch piłeczki nie ulegnie zmianie. Ale kiedy będziemy badać znacznie mniejszy obiekt np. elektron, to wówczas zderzenie z fotonem moŝe wywierać znaczący wpływ na jego ruch. Drugim czynnikiem wpływającym na dokładność przeprowadzanych pomiarów jest dualna korpuskularno-falowa natura materii. Rozpatrzmy teraz elektron, którego ruch będziemy chcieli zbadać za pomocą fotonów. Zgodnie z rozwaŝaniami przeprowadzonymi w rozdziale 16 (optyka falowa) wiemy, Ŝe nie da się rozróŝnić szczegółów obiektu mniejszych niŝ długość fali stosowanego promieniowania. W związku z tym, Ŝeby określić połoŝenie badanego przez nas obiektu (elektronu) z jak największą dokładnością naleŝy uŝyć promieniowania o jak najmniejszej długości fali. Ale fali o małej długości odpowiadać będzie duŝa wartość pędu (p = h/λ), która moŝe być przekazana elektronowi podczas pomiaru. JeŜeli jednak pomiaru dokonamy za pomocą fotonów o małym pędzie, czyli duŝej długości fali de Brogliea, to wprawdzie ich oddziaływanie na badany obiekt będzie małe, ale niestety równieŝ poło- Ŝenie elektronu określone będzie mało precyzyjnie. Strona 176

177 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Przedstawione powyŝej rozumowanie pokazuje, Ŝe niepewność określenia połoŝenia ( x) i pędu ( p x ) obiektu są ze sobą powiązane, co jest treścią zasady nieoznaczoności Heisenberga: PołoŜenie i pęd cząstki nie mogą być jednocześnie określone z dowolną dokładnością. Im mniejsza jest niepewność (nieoznaczoność) połoŝenia cząstki tym większa jest nieokreśloność (nieoznaczoność) jej pędu. x p h (0.3) x Przypomnijmy, Ŝe stosowany w mechanice kwantowej symbol ħ (h kreślone) oznacza stała równą: h = h π. W trójwymiarowym przypadku powyŝszą nierówność naleŝy napisać dla kaŝdej współrzędnej: x p y p z p x y z h h h (0.4) NaleŜy zaznaczyć przy tym, Ŝe zasada nieoznaczoności Heisenberga nie odnosi się do iloczynów mieszanych np. x p. Współrzędną x połoŝenia obiektu oraz jego pęd wzdłuŝ osi y moŝemy wyznaczyć jednocześnie z dowolną dokładnością. Przykład Rozpatrzmy piłkę o masie m = 150 g poruszającą się z prędkością v = 30 m/s (około 100 km/h). JeŜeli załoŝymy, Ŝe prędkość tę moŝemy zmierzyć z dokładnością v = 1 m/s, to nieoznaczoność pędu tej piłki wynosi p = 0.15 kg m/s. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga połoŝenia tej piłki nie moŝemy określić z dokładnością większą niŝ: y 34 h Js x = = kg m p s 34 m (0.5) Wyznaczona przez nas wartość jest prawie 0 rzędów wielkości mniejsza niŝ rozmiar jądra atomowego. Zasada nieoznaczoności jest spełniona dla wszystkich ciał, ale jej rozwaŝanie dla obiektów makroskopowych nie ma sensu. Strona 177

178 ROZDZIAŁ 0 Zasada nieoznaczoności Heisenberga odnosi się równieŝ do czasu i energii: E t h (0.6), gdzie E oznacza nieoznaczoność wyznaczenia energii cząstki (np. elektronu na orbicie w atomie), zaś t ma sens czasu Ŝycia cząstki na danym poziomie energetycznym. JeŜeli zatem rozpatrzymy stan podstawowy elektronu, na którym elektron przebywać będzie nieskończenie długo, t, to jego energia moŝe być wyznaczona dokładnie E = 0 (ostry poziom energetyczny). Wzbudzone poziomy energetyczne, które są metastabilne, zgodnie z powyŝszą zaleŝnością ulegają rozmyciu energia moŝe być określona z pewną niejednoznacznością. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, jeŝeli potraktujemy elektron (w ogólności materię) jako cząstkę materii, to wtedy nie będziemy mogli jednocześnie jednoznacznie określić jego połoŝenia oraz pędu. Warto teŝ zaznaczyć, Ŝe w klasycznej mechanice Newtonowskiej mówimy o determinizmie jeŝeli znamy warunki początkowe (połoŝenie oraz prędkości) oraz wypadkową siłę działającą na elektron to mo- Ŝemy jednoznacznie wyznaczyć jakie będą kolejne jego połoŝenia. Wedle mechaniki kwantowej natomiast istnieją róŝne prawdopodobieństwa, Ŝe elektron ten dotrze do róŝnych punktów przestrzeni a więc zachowanie elektronu jest nieprzewidywalne. JeŜeli zasady mechaniki kwantowej zastosujemy do obiektów makroświata, np. dla piłki rzuconej poziomo w polu grawitacyjnym Ziemi, otrzymamy bardzo duŝe prawdopodobieństwo, Ŝe będzie się ona poruszała dobrze znanym torem parabolicznym. Ale według mechaniki kwantowej nie mamy jednak pewności takiego zachowania istnieje niezwykle małe, bliskie zera prawdopodobieństwo odchyleń jej ruchu od toru parabolicznego. 0.. Funkcja falowa i równanie Schrödingera Funkcja falowa Strona 178 Jak pokazaliśmy w poprzednim rozdziale w skali mikroświata wszelkie pomiary wprowadzają niekontrolowane zakłócenia tak wielkie, Ŝe nie

179 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ jest moŝliwe dokładne określenie stanu układu, tj. wartości połoŝenia i pędu. Okazuje się, Ŝe wiele właściwości takich małych obiektów moŝe być wówczas opisane jedynie za pomocą prawdopodobieństwa. W poprzednich rozdziałach fale mechaniczne np. falę na wodzie opisywaliśmy podając wychylenie y (x,t) z połoŝenia równowagi punku o współrzędnej x w chwili czasu t. Z kolei w przypadku fali elektromagnetycznej wyznaczamy wartość wektora natęŝenia pola elektrycznego r E ( x, t ) w puncie x i w chwili t. W ogólności moglibyśmy powiedzieć, Ŝe do opisu fali niezbędne jest określenie wartości pewnej funkcji falowej Ψ (y dla fali mechanicznej, E dla fali elektromagnetycznej) zaleŝnej r od połoŝenia i czasu: Ψ = Ψ ( r,t ). W mechanice kwantowej mówimy o falach falach materii i do ich opisu stosować będziemy funkcję falową Ψ. śeby wyjaśnić sens fizyczny takiej zespolonej funkcja falowa Ψ odnoszącej się do fal materii przypomnijmy sobie kilka informacji na temat korpuskularnych i falowych właściwości światła. W przypadku r fali elektromagnetycznej jej funkcja falowa, E ( x, t ), opisuje rozkład pola elektrycznego w przestrzeni i w czasie. W rozdziale 15 pokazaliśmy, Ŝe natęŝenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natęŝenia pola elektrycznego I E. Mówiliśmy równieŝ, Ŝe natęŝenie światła jest proporcjonalne do liczby fotonów docierających w jednostce czasu do jednostkowej powierzchni. MoŜna równieŝ powiedzieć, Ŝe natęŝenie światła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa znalezienia fotonu w pobliŝu punktu (detektora). W przypadku fal materii sama w sobie funkcja falowa Ψ nie ma sensu fizycznego. Sens fizyczny ma natomiast, w analogii do fali elektromagnetycznej, kwadrat jej modułu Ψ. Kwadrat modułu funkcji falowej oznacza gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w określonym miejscu i czasie. Jest to tak zwana probabilistyczna interpretacja funkcji falowej zaproponowana w 197 roku przez Maxa Borna. śeby wyznaczyć prawdopodobieństwo P znalezienia w chwili t w objętości V cząstki opisywanej funkcją falową Ψ, naleŝy gęstość prawdopodobieństwa scałkować po interesującym nas obszarze V: P 3 ( V, t ) = ( r, t ) d r V r Ψ (0.7), Strona 179

180 ROZDZIAŁ 0 gdzie d 3 r oznacza całkowanie po trzech wymiarach przestrzeni dx, dy oraz dz. NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe prawdopodobieństwo znalezienia + r 3 cząstki gdziekolwiek jest równe 1 ( Ψ ( r, t ) d r = 1 ) co oznacza, Ŝe funkcja falowa jest unormowana. Funkcja falowa stanowi pełną informację o stanie układu kwantowego. Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki kwantowej i pełni podobnie kluczową rolę jak zasady dynamiki Newtona w mechanice czy równania Maxwella w elektrodynamice. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa. Jak pokaŝemy później rozwiązanie równania Schrödingera, a więc wyznaczenie funkcji falowej, pozwala nam opisać i zrozumieć właściwości kaŝdego układu kwantowomechanicznego np. atomów, cząstek, elektronów w ciałach stałych. NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie Schrödingera nie moŝe być wyprowadzone a zostało zapostulowane w 196 roku przez Erwina Schrödingera i pełni rolę zasady fizycznej. Najprostszą formę równania Schrödingera otrzymujemy dla cząstki o masie m poruszającej się tylko w jednym wymiarze x w polu sił stacjonarnych (niezmiennych w czasie) wytwarzających potencjał U (x) niezaleŝne od czasu równanie Schrödingera: h d Ψ ( x ) + U ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x ) m dx (0.8), Strona 180 W ogólnej postaci potencjał sił, w jakim znajduje się cząstka moŝe zmieniać się w czasie a ruch cząstki moŝe odbywać się w trzech kierunkach. Otrzymujemy wówczas tzw. zaleŝne od czasu równanie Schrödingera: r Ψ ( r, t ) h r r i h = Ψ ( r, t ) + U ( x ) Ψ ( r, t ) (0.9), t m gdzie jest laplasjanem, czyli operatorem sumowania drugich po- = + + chodnych po współrzędnych: x y z

181 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Gdy energia potencjalna nie zaleŝy od czasu to rozwiązanie równania Schrödingera moŝna przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, z których jedna zaleŝy tylko od połoŝenia a druga tylko od czasu: r r iω Ψ r, t = ψ r e (0.10), ( ) ( ) t W dalszej części skryptu poszukiwać będziemy tej składowej zaleŝnej od ψ r r, pamiętając, Ŝe uzyskany wynik naleŝy pomnoŝyć współrzędnych ( ) jeszcze przez część czasową i ωt e Rozwiązania równania Schrödingera dla wybranych potencjałów NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie Schrödingera pozwala opisać układy kwantowo-mechaniczne, ale analityczne jego rozwiązanie moŝliwe jest tylko w bardzo uproszczonych przypadkach. Szczegóły matematyczne rozwiązania moŝna znaleźć w większości akademickich podręczników do fizyki np. Podstawy fizyki, W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Podstawy Fizyki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, PWN. Sposób rozwiązania równania Schrödingera, takŝe dla uproszczonych układów wykracza poza ramy niniejszego skryptu. Skoncentrujemy się natomiast na ciekawych i waŝnych wnioskoach, które wynikają z tych rozwiązań. Potencjał stały Cząstka znajdująca się w polu o stałym potencjale U (stałej energii potencjalnej) nie doznaje działania sił, jest więc cząstką swobodną. Wobec nieobecności sił cząstka nie będzie doznawała zmiany stanu ruchu. Jej prędkość i energia będą stałe. Energię potencjalną i potencjał U moŝemy wyznaczać względem takiego poziomu odniesienia, Ŝeby moŝna było przyjąć, Ŝe ten potencjał jest równy zeru. W efekcie równanie Schrödingera niezaleŝne od czasu dla jednego wymiaru zapisać moŝna w postaci: Strona 181

182 ROZDZIAŁ 0 h d ψ ( x ) = E ψ ( x ) m dx (0.11) Strona 18 Rozwiązaniem tego równania jest fala biegnąca: E Ψ ( x t ) = A exp i ± kx t h, (0.1), gdzie liczba falowa k (lub moduł wektora falowego) w tym przypadku me wynosi: k = h. Próg potencjału RozwaŜmy teraz cząstkę o energii E, która napotyka na swej drodze próg potencjału o wysokości V 0, przy czym energia cząstki jest większa niŝ wysokość progu E > V 0. ZauwaŜmy, Ŝe klasyczna cząstka mająca taką energię kinetyczną pokonałaby z pewnością skok potencjału i dla niej współczynnik przejścia byłby równy jedności. Tymczasem rozwiązanie równania Schrödingera dla obszaru poniŝej progu zawiera falę zarówno poruszająca się w kierunku progu jak i w przeciwnym (fala padająca i odbita). Oznacza to, Ŝe według mechaniki kwantowej istnieje pewne prawdopodobieństwo, Ŝe cząstki odbiją się od tego progu. Co jeszcze ciekawsze, cząstka kwantowa moŝe ulec odbiciu od progu potencjału, nawet jeŝeli będzie z niego spadała. Z kolei dla E < V 0 klasyczna cząstka z pewnością odbiłaby się od progu. Dla cząstki kwantowej prawdopodobieństwo odbicia cząstki równieŝ równe jest jedności (jest pewne, Ŝe cząstka się odbije), ale to odbicie nie zachodzi dokładnie w punkcie gdzie znajduje się próg, jak dla cząstki klasycznej. Istnieje skończone prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz progu, które to prawdopodobieństwo maleje szybko z odległością. Jeśli zatem zamiast nieograniczonego przestrzennie progu potencjału mielibyśmy barierę potencjału o skończonej szerokości, to dla cząstki kwantowej o energii mniejszej od wysokości bariery będzie istniała szansa przejścia przez tę barierę. Bariera potencjału Rozpatrzmy barierę potencjału o wysokości V 0 i szerokości a, do której zbliŝa się cząstka kwantowa o energii mniejszej niŝ wysokość bariery, E < V 0. Podobnie jak w poprzednim przypadku rozwiązujemy równania

183 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Schrödingera dla kaŝdego obszaru, a po uwzględnieniu warunków brzegowych (ciągłości funkcji falowej w całym obszarze) moŝemy wyznaczyć współczynnik przejścia przez taką prostokątną barierę potencjału: a exp h 1 [ m( V E ) ] T 0 (0.13), gdzie a oznacza szerokość bariery, V 0 jej wysokość zaś E jest energią cząstki, E < V 0. Przejście cząstki przez barierę potencjału przewyŝszającą energię cząstki nazywane jest efektem tunelowym. Efekt ten pozwala wyjaśnić naturę procesu promieniotwórczego rozpadu α, w tym takŝe uzasadnić róŝną stabilność jąder atomowych, wyjaśnić działanie półprzewodnikowej diody tunelowej, nadprzewodnikowego złącza Josephsona, i in. Studnia potencjału Rozpatrzmy teraz jednowymiarową studnię potencjału o nieskończonej głębokości i szerokości a. ZałoŜymy, Ŝe energia potencjalna wewnątrz studni, tj. dla 0 < x < a jest równa zeru, a poza tym obszarem jest nieskończenie wielka. Klasyczna cząstka umieszczona w tej studni mogłaby spoczywać w dowolnym miejscu wewnątrz studni lub poruszać się z dowolną prędkością odbijając się spręŝyście od ścianek studni. Zachowanie cząstki kwantowej opisane będzie funkcją faloową postaci: ( x ) = A sin( k x ) ψ (0.14), gdzie A jest stałą, zaś liczba falowa k musi przyjmować takie wartości, Ŝeby funkcja falowa wynosiła zero przy ściankach studni (warunki brzegowe). Z warunków brzegowych wynika więc, Ŝe dla prawej ścianki studni (dla x = a) argument funkcji sinus musi być równy całkowitej wielokrotności liczby π: ka = nπ nπ k = a π a λ = = k n λ a = n (0.15), Otrzymaliśmy w ten sposób, Ŝe wektor falowy a więc równieŝ funkcja falowa mogą przyjmować tylko dyskretne wartości zaleŝą od liczby naturalnej n. Skwantowanie funkcji falowej wynika więc w naturalny sposób z rozwiązania równania Schrödingera z uwzględnieniem warun- Strona 183

184 ROZDZIAŁ 0 ków brzegowych. Liczbę naturalną n będziemy nazywać liczbą kwantową. Funkcja falowa będąca rozwiązaniem jest w istocie falą stojącą dozwolone są tylko takie długości fali λ, Ŝe wewnątrz studni o szerokości a zmieści się całkowita wielokrotność połowy długości fali. Funkcje falowe oraz kwadraty modułu funkcji falowej (prawdopodobieństwo znalezienia cząstki) przedstawiono na Rysunku 0.1. Jak widać dla stanu n = 1 największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki kwantowej jest na środku studni, podczas gdy dla cząstki klasycznej kaŝde połoŝenie ma takie samo prawdopodobieństwo obsadzenia. Rysunek 0.1. Funkcje falowe oraz kwadraty modułów funkcji falowych dla nieskończonej studni potencjału Wartości energii, jakie moŝe przyjmować cząstka znajdująca się w nieskończonej studni potencjału wynoszą: E n n h n π h = = n = 1, 8ma ma, 3,... (0.16), Strona 184 W powyŝszym wzorze równieŝ występuje liczba kwantowa n, która moŝe przyjmować tylko wartości całkowite 1,, 3. Zerowa wartość n = 0 nie jest dozwolona, gdyŝ wówczas funkcja falowa była by równa zeru w całej przestrzeni, co oznaczałoby brak cząstki. Tak więc, na podstawie rozwiązania równania Schrödingera dla cząstki znajdującej się w nieskończonej studni potencjału, otrzymaliśmy skwantowanie dozwo-

185 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ lonych poziomów energetycznych (Rysunek 0.). NaleŜy przy tym zwrócić uwagę, Ŝe według uzyskanego rozwiązania najmniejsza energia cząstki wcale nie jest równa zeru energia ta nazywana jest czasem energią drgań zerowych. Rysunek 0.. Funkcje falowe oraz poziomy energetyczne dla nieskończonej studni potencjału Oscylator harmoniczny Zagadnienie kwantowego oscylatora harmonicznego jest waŝne w teorii widm optycznych, drgań sieci krystalicznej i w teorii ciepła molowego ciał stałych. Oscylator harmoniczny (kwantowy) jest kolejnym przykładem cząstki kwantowej, która jest związana. Tym razem jednak cząstka nie znajduje się w nieskończonej studni potencjału o skończonej szerokości tylko w polu sił spręŝystych. Na cząstkę wychyloną z połoŝenia równowagi działać będzie siła F = k x skierowana do połoŝenia równowagi i proporcjonalna do tego wychylenia. Współczynnik k jest współczynnikiem spręŝystości. Pole potencjalne spręŝystości opisane 1 jest funkcją U ( x ) = k x. Rozwiązanie równania Schrödingera dla oscylatora jest znacznie trudniejsze matematycznie niŝ w przypadku nieskończonej studni potencjału. Rozwiązanie to istnieje dla wartości energii E n spełniających warunek: Strona 185

186 ROZDZIAŁ 0 E n 1 k 1 = n + h = n + hω n = 0,1,,... (0.17) m Zaznaczmy, Ŝe w powyŝszym rozwiązaniu liczba kwantowa n moŝe przyjmować wartości 0, 1,,. Z powyŝszego wzoru wynika, Ŝe zerowy poziom energii tzn. poziom dla n = 0 ma wartość energii 1 E = hω hν. Między poziomami energetycznymi natomiast 1 0 = występuje stała róŝnica energii E = hω = hν, dokładnie taka, jaką zapostulował Planck, Ŝeby wyjaśnić zjawisko promieniowania ciała doskonale czarnego (Rozdział 18). Warto podkreślić, Ŝe typowe oddziaływania międzyatomowe dla niewielkich wychyleń z połoŝeń równowagi mogą być opisane funkcją paraboliczną, a więc wówczas zaleŝność 0.14 opisywać będzie skwantowanie energii atomów Kwantowy model atomu Model atomu wprowadzony przez Bohra (Rozdział 19.1) stanowił istotny postęp w stosunku do modelu Rutherforda. NiemoŜliwe było jednak dokładne obliczenie połoŝenia linii widmowych w atomach wieloelektronowych, nie wyjaśniał równieŝ róŝnych natęŝeń promieniowania obserwowanych dla poszczególnych linii widmowych. Pełny opis konfiguracji elektronowej atomu stał się moŝliwy dopiero dzięki tak zwanej nowej teorii kwantowej, za twórców której uwaŝa się Heisenberga i Schrödingera. Liczby kwantowe Przedstawione w poprzednim rozdziale rozwiązania równania Schrödingera dotyczyły uproszczonego jednowymiarowego modelu potencjału. W celu uzyskania rzeczywistego modelu atomu potencjał wytwarzany przez jądro atomowe naleŝy opisać w przestrzeni trójwymiarowej we współrzędnych sferycznych. Rozwiązując równanie Schrödingera, zapisane w tym samym sferycznym układzie odniesienia, moŝemy wyznaczyć funkcje falowe elektronów okrąŝających jądro atomowe. Nie będziemy w tym miejscu przedstawiać szczegółowego zapisu rozwiąza- Strona 186

187 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ nia takiego równania, koncentrować się natomiast będziemy na wnioskach wynikających z tego rozwiązania. Funkcja falowa, w sferycznym układzie współrzędnych, moŝe być przedstawiona, jako iloczyn trzech funkcji zaleŝnych tylko od poszczególnych współrzędnych tego sferycznego układu współrzędnych ψ ( r,θ, ϕ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ). Podobnie jak to było w rozwaŝanych wcześniej przypadkach jednowymiarowych poszukując rozwiązania równania Schrödingera dla kaŝdej z tych funkcji (R, Θ, Φ) naleŝy uwzględnić warunki brzegowe. W efekcie funkcja falowa zaleŝeć będzie od pewnych liczb całkowitych, które będziemy nazywali liczbami kwantowymi. Główna liczba kwantowa n (n = 1,, 3...) związana jest ze składową radialną R(r) funkcji falowej elektronu. Określa ona numer orbity (powłoki) elektronowej i kwantuje energię elektronu (zgodnie z zaleŝnością 19.1). Poboczna (lub orbitalna) liczba kwantowa (l = 0, 1,..., n 1) jest związana z wartością bezwzględną orbitalnego momentu pędu: L = l( l +1)h Poboczna liczba kwantowa określa numer podpowłoki, na której znajduje się elektron. Magnetyczna liczba kwantowa (m l = -l,..., -1, 0, 1,..., l) jest związana z przestrzenną orientacją wektora orbitalnego momentu pędu. Opisuje ona rzut orbitalnego momentu pędu na wybraną oś: L z = m ħ Oprócz trzech powyŝszych liczb kwantowych związanych z funkcjami R, Θ, Φ, do opisu elektronów w atomie, niezbędna jest jeszcze jedna liczba kwantowa. Magnetyczna spinowa liczba kwantowa (m s = ½, ½) pokazuje, w którą stronę skierowany jest spin. Spin jest pewną stałą cechą danej cząstki elementarnej w przypadku elektronu wynosi on 1/. Spin jest związany z wewnętrznym momentem pędu i momentem magnetycznym elektronu. Zasady obsadzania poziomów elektronowych Wypełnienie powłok elektronami (zwane równieŝ obsadzeniem) dla atomu danego pierwiastka następuje według następujących zasad: Strona 187

188 ROZDZIAŁ 0 Jako pierwsze obsadzane są poziomy o mniejszej energii. Obsadzenie dla całego atomu reprezentuje stan o najniŝszej moŝliwej energii potencjalnej. W atomie Ŝadne dwa elektrony nie mogą mieć tej samej czwórki liczb kwantowych: n, l, m l, m s. Zasada ta nazywana jest zakazem Pauliego. NaleŜy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, Ŝe energia danego elektronu zaleŝy nie tylko od głównej liczby kwantowej n, ale częściowo równieŝ od pobocznej liczby kwantowej l. Rysunek 0.3. Diagram obrazujący kolejność obsadzania poszczególnych podpowłok elektronowych Dla małej wartości l orbity mogą przybierać kształt eliptyczny. W takim przypadku elektron moŝe w trakcie swojego obiegu dookoła jądra znajdować się (średnio) bliŝej, niŝ elektrony z niŝszej powłoki, ale o duŝej wartości liczby pobocznej l. Elektron taki doznaje mniejszego ekranowania ze strony elektronów znajdujących się na niŝszych powłokach, zatem stan o wysokiej liczbie n i małej l moŝe mieć niŝszą energię od stanu o mniejszej n i duŝej l (Rysunek 0.3). Zjawisko to nazywane jest efektem przesłaniania. Strona 188

189 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Tabela 0.1 Liczby kwantowe określające moŝliwe stany elektronów na drugiej powłoce N L m l m s 0 0 ½ 0 0 ½ 1-1 ½ 1-1 ½ 1 0 ½ 1 0 ½ 1 1 ½ 1 1 ½ Policzmy teraz, ile elektronów moŝe znaleźć się na poszczególnych powłokach. Dla powłoki o n = 1 mamy l = 0, m l = 0 i dwie wartości spinu (m s = ½, ½) zatem na powłoce tej mogą znajdować się maksymalnie dwa elektrony. Na kolejnej powłoce o n = moŝemy mieć dwie wartości liczby pobocznej l (l = 0 lub l = 1). Dla l = 0 mamy jedną wartość liczby m l = 0. Zatem w stanie o n =, l = 0 mogą znajdować się dwa elektrony, róŝniące się od siebie wartością magnetycznej spinowej liczby kwantowej. Dla l = 1 moŝemy mieć trzy wartości liczby magnetycznej m l = 1, 0 lub 1. Biorąc pod uwagę magnetyczną spinową liczbę kwantową, w stanie o n = i l = 1 moŝe znajdować się sześć elektronów. Suma moŝliwych obsadzeń na drugiej powłoce wynosi zatem 8. Wartości liczb kwantowych dla poszczególnych stanów przedstawia Tabela 0.1. Podobne rozwaŝania moglibyśmy przeprowadzić dla powłok o wyŝszych wartościach głównej liczby kwantowej. Dla kaŝdej powłoki n liczba kwantowa l moŝe przyjmować n wartości, a dla kaŝdej wartości l mamy l+1 wartości m. Dla n = 3 otrzymalibyśmy 18 moŝliwych stanów a dla n = 4 liczba stanów wynosi 36. MoŜna zatem podać ogólny wzór na liczbę elektronów x n na powłoce n: x n = n (0.18) Przyjęto stosować oznaczenia literowe K, L, M, N, O, P, Q dla liczb kwantowych n = 1,, 3, 4, 5, 6, 7 odpowiednio. Z kolei liczbom l = 0, 1,, 3, 4, 5, 6 odpowiadają oznaczenia literowe s, p, d, f, g, h, i. Do zapisu konfiguracji elektronowej atomu danego pierwiastka za pomocą tych oznaczeń stosuje się następującą konwencję: podajemy (liczbowo) główną liczbę kwantową za nią zapisujemy (literowo) poboczną liczbę kwantową Strona 189

190 ROZDZIAŁ 0 w indeksie górnym zapisujemy liczbę elektronów, które znajdują się w stanie określonym przez dwie podane uprzednio liczby kwantowe. Jako przykład podajmy konfigurację elektronową argonu Ar. Liczba atomowa Z wynosi w tym przypadku 18, zatem pierwiastek ten posiada 18 elektronów. Zapis ma postać: 6 6 1s s p 3s 3p (0.19), co oznacza, Ŝe dwa elektrony znajdują się w stanie o n = 1 i l = 0 (1s ), dwa w stanie o n = i l = 0 (s ), sześć w stanie o n = i l = 1 (p 6 ), dwa w stanie o n = 3 i l = 0 (3s ) oraz sześć w stanie o n = 3 i l = 1 (p 6 ). Dla porównania zapis konfiguracji elektronowej srebra (Z = 47) ma postać: 1s s p 6 3s 3p 6 3d 10 4s 4p 6 4d 10 5s 1 Orbitale Jak juŝ wielokrotnie wspominaliśmy kwadrat modułu funkcji falowej elektronu określa prawdopodobieństwo znalezienia tego elektronu w danym punkcie przestrzeni. Rozwiązując równanie Schrödingera dla elektronów w atomie wyznaczamy więc przestrzenny rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w pobliŝu jądra atomowego. Obszary o duŝej gęstości prawdopodobieństwa tworzą tzw. orbitale atomowe. Kształt orbitali zaleŝy od wartości liczb kwantowych n, l, m l. Kształt ten ma duŝe znaczenie dla tworzenia się wiązań chemicznych, a w konsekwencji kształtu cząsteczek chemicznych. Dla przykładu rozpatrzmy elektron w stanie podstawowym atomu wodoru (n = 1, l = 0, m l = 0). Funkcja falowa w takim stanie kwantowym ma tylko składową radialną. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa (Rysunek 0.4) posiada maksimum dla odległości a 0 równej promieniowi Bohra (Wzór 19.11). Tak więc, według mechaniki kwantowej, nie moŝemy jednoznacznie określić połoŝenia elektronu istnieje pewne prawdopodobieństwo zarówno znalezienia elektronu bardzo blisko jak i bardzo daleko od jądra atomowego, ale największe prawdopodobieństwo otrzymujemy dla odległości równej kołowej orbicie modelu Bohra. Strona 190

191 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Rysunek 0.4. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego atomu wodoru Rozszczepienie linii widmowych Istnieje szereg bezpośrednich dowodów doświadczalnych potwierdzających słuszność modelu kwantowego. ZaleŜność energii elektronu nie tylko od liczby głównej n, ale równieŝ od pobocznej liczby kwantowej l jest wyraźnie widoczna w układzie linii emisyjnych poszczególnych pierwiastków. Istnienie magnetycznej spinowej liczby kwantowej jest z kolei manifestowane w tak zwanej strukturze subtelnej widma promieniowania. Obserwuje się rozszczepienie linii widmowych, czyli zamiast pojedynczej linii obserwujemy dwie linie połoŝone bardzo blisko siebie, które jest związane z tak zwanym oddziaływaniem spin orbita. Względne ustawienie spinowego i orbitalnego momentu magnetycznego elektronu wpływa na niewielką zmianę całkowitej energii elektronu znajdującego się w stanie kwantowym n i l. Takie rozszczepienie linii obserwowane np. w liniach emisyjnych sodu (przejście ze stanu 4s do 3p) w zakresie światła widzialnego. W zewnętrznym polu magnetycznym energia elektronu zaleŝy równieŝ od orbitalnej liczby magnetycznej m l. Zatem po umieszczeniu atomów w polu magnetycznym obserwuje się rozszczepienie poziomów energetycznych elektronów i dodatkowe linie widmowych (zjawisko Zeemana). Strona 191

192 ROZDZIAŁ 0 Strona 19

193 1 Fizyka ciała stałego W tym rozdziale: o Wiązania chemiczne w ciele stałym o Struktura krystaliczna ciał stałych o Model pasmowy ciał stałych, energia Fermiego o Urządzenia półprzewodnikowe o Lasery

194 ROZDZIAŁ 7 Fizyka ciała stałego W poprzednich rozdziałach podręcznika opisywaliśmy juŝ, Ŝe atom składa się z jądra atomowego i poruszających się wokół niego elektronów. W tym rozdziale zajmiemy się właściwościami ciał stałych jako układów wielu atomów. Poznamy ich strukturę oraz dowiemy się, jakie są ich właściwości elektryczne. Temu ostatniemu zagadnieniu poświęcimy szczególną uwagę, poniewaŝ właściwości te wykorzystywane są w róŝnorodnych urządzeniach elektrycznych i elektronicznych np. tranzystorach, diodach, termoparach, laserach, ogniwach elektrochemicznych. Warto zaznaczyć, Ŝe chociaŝ trudno wyobrazić sobie funkcjonowanie nowoczesnego społeczeństwa bez tych urządzeń to historia większości z nich sięga zaledwie kilkudziesięciu lat. Przypomnijmy, Ŝe cechy charakterystyczne ciała stałego definiowaliśmy w Rozdziale 7. Mówiliśmy wówczas, Ŝe ciało stałe charakteryzuje się ustalonym kształtem i objętością a oddziaływania między atomami powodują, Ŝe ciała stałe odkształcają się spręŝyście pod wpływem napręŝenia. Atomy w ciele stałym ułoŝone są regularnie tworząc strukturę krystaliczną, z uporządkowaniem dalekiego zasięgu Wiązania chemiczne Wszystkie atomy dąŝą do uzyskania stanu o minimalnej energii. W przypadku gazów szlachetnych powłoki elektronowe są całkowicie zapełnione a taka struktura elektronowa charakteryzuje się najniŝszą energią. W przypadku pozostałych atomów to liczba elektronów na ostatniej powłoce elektronowej elektronów walencyjnych jest czynnikiem decydującym o właściwościach fizycznych i chemicznych pierwiastków. Jeśli ostatnia powłoka jest zapełniona w niewielkim stopniu, dąŝąc do minimalizacji energii, atom będzie chętnie oddawał elektrony. Jeśli natomiast do zapełnienia powłoki brakuje jednego lub dwóch elektronów, atom będzie chętnie przyjmował elektrony by zapełnić tę powłokę elektronową i w ten sposób obniŝyć swoją całkowitą energię. Miarą zdolności atomu do przyciągania elektronu jest jego elektroujemność lub powinowactwo elektronowe. Zgodnie z tymi stwierdzeniami pierwiastki posiadające niedobór elektronów będą miały Strona 194

195 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO duŝą elektroujemność, a pierwiastki posiadające nadmiar elektronów małą elektroujemność. Przekazanie elektronu z jednego atomu do drugiego np. elektronu atomu sodu (Na) do atomu chloru (Cl), moŝe być korzystne energetycznie dla obu atomów. Mechanizm taki jest podstawą tworzenia wiązań chemicznych typu jonowego i metalicznego. Wiązania te są stosunkowo silne a związki chemiczne, w których występują takie wiązania charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, co oznacza, Ŝe rozdzielenie atomów wymaga dostarczenia duŝej energii termicznej. Między atomami mogą występować równieŝ siły oddziaływania elektrostatycznego niezwiązane bezpośrednio ze zmianą obsadzenia poziomów elektronowych atomu w ten sposób powstają wiązania van der Waalsa. Wiązania te są słabsze, a struktury oparte na nich z reguły ulegają stopieniu w stosunkowo niskich temperaturach. W krystalicznych ciałach stałych na ogół występuje kilka rodzajów wiązań chemicznych. W takim przypadku mówimy, Ŝe wiązania maja charakter mieszany. Potencjał wiązania Energia jonu w sieci zaleŝeć będzie od oddziaływań wszystkich jonów na ten wybrany jon. Kształt krzywej potencjału zaleŝy od typu wiązania i struktury krystalicznej kryształów, jednak zawsze moŝemy wyróŝnić w nim część związaną z oddziaływaniami przyciągającymi (odpowiadającymi za tworzenie wiązania) i odpychającymi (Rysunek 1.1.). Te ostatnie powstają, kiedy atomy zbliŝają się do siebie na tyle blisko, Ŝe funkcje falowe elektronów zaczynają się nakładać. PoniewaŜ zgodnie z zakazem Pauliego elektrony o takich samych liczbach kwantowych nie mogą znajdować się obok siebie powstają silne oddziaływania odpychające. Długość wiązania wyznacza odległość między atomami w krysztale, dla której siły przyciągające są równowaŝone przez odpychające (r 0 na Rysunku 1.1.). W odległości równowagowej atomy znajdują się w minimum potencjału. Zerwanie wiązania chemicznego i swobodny ruch jonu następuje, gdy do układu dostarczona zostaje energia, np. termiczna, większa od minimum potencjału oddziaływania. Dlatego teŝ na podstawie wartości temperatury topnienia moŝna oszacować energię wiązania materiału. Strona 195

196 ROZDZIAŁ 7 Rysunek 1.1. Schematyczny wykres potencjału oddziaływania jonów. Zaznaczono potencjał związany z siłami przyciągającymi, odpychającymi i odległość równowagową r 0 odpowiadającą długości wiązania Wiązanie jonowe Strona 196 Wiązanie jonowe występuje pomiędzy pierwiastkiem o właściwościach metalicznych (o małej elektroujemności) i pierwiastkiem niemetalicznym (o duŝej elektroujemności). Przekazanie elektronu walencyjnego z atomu metalu atomowi niemetalu jest korzystne energetycznie dla obu atomów. Atom metalu, pozbawiony elektronu uzyskuje ładunek dodatni staje się jonem dodatnim, czyli kationem. Atom niemetalu, który charakteryzować się będzie ładunkiem ujemnym, nazywać będziemy anionem. Wiązanie jonowe związane jest z siłami przyciągania elektrostatycznego pomiędzy powstałymi kationami i anionami. Jako przykłady związków, w których występuje wiązanie jo-

197 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO nowe (kryształów jonowych), wymienić moŝna chlorek sodu NaCl (sól kuchenną) lub fluorek potasu KF. Przykładowa struktura kryształu jonowego NaCl przedstawiona jest na Rysunku 1.a. Rysunek 1.. Schemat struktury przestrzennej a) i powstawania pęknięć pod wpływem napręŝeń b) dla kryształu jonowego typu NaCl Jony ułoŝone są naprzemiennie tak, Ŝe najbliŝsi sąsiedzi danego jonu mają przeciwny znak ładunku niŝ jon. Kryształy jonowe charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, np. około 800 O C dla chlorku sodu NaCl i 910 O C dla KF, co wskazuje na duŝą siłę wiązania jonowego. Jednocześnie są one kruche i łatwo pękają. JeŜeli bowiem, pod wpływem duŝego napręŝenia, dwie sąsiadujące warstwy kryształu ulegną przesunięciu, naprzeciw siebie mogą znaleźć się jony nie przeciwnego, ale tego samego znaku (Rysunek 1.b). Wówczas warstwy będą się odpychać a w miejscu przesunięcia warstw nastąpi pęknięcie. Pomimo, Ŝe kryształy jonowe składają się z atomów obdarzonych ładunkiem, jony te nie mogą jednak przemieszczać się w strukturze. Brak swobodnych nośników ładunku powoduje, Ŝe kryształy jonowe są zatem izolatorami. Wiązanie kowalencyjne W przeciwieństwie do wiązania jonowego, w którym elektron ulegał całkowitemu przeniesieniu na sąsiadujący atom, w przypadku wiązania kowalencyjnego mamy do czynienia zawsze z parą elektronów ulokowanych pomiędzy atomami tworzącymi wiązanie ich funkcje falowe mają krótki zasięg. Elektrony te muszą mieć przeciwny spin, Ŝeby, Strona 197

198 ROZDZIAŁ 7 zgodnie z zakazem Pauliego, nie miały tego samego zestawu liczb kwantowych. W kaŝdym wiązaniu mogą brać udział tylko dwa atomy, ale pomiędzy atomami mogą wielokrotnie występować wiązania tego typu na przykład w cząsteczce tlenu O występuje wiązanie podwójne a w cząsteczce azotu N wiązanie potrójne. Kolejną waŝną cechą wiązań kowalencyjnych jest ich kierunkowość. UłoŜenie przestrzenne atomoów jest takie, Ŝeby funkcje falowe elektronów tworzących wiązania przekrywały się w jak najmniejszym stopniu. Jeśli więc w cząsteczce występują dwa wiązania, atomy sąsiadujące ustawią się po przeciwnych stronach atomu centralnego i mówimy wówczas, Ŝe cząsteczki mają geometrię liniową. Jeśli centralny atom wiąŝe się z sąsiadami przez trzy wiązania kowalencyjne, najkorzystniejsze jest ich ustawienie w jednej płaszczyźnie względem siebie w ten sposób, Ŝe kąt między nimi będzie równy 10 O. Z taką konfiguracją mamy do czynienia w graficie. Atomy węgla tworzą warstwy o strukturze heksagonalnej typu plastra miodu. Warstwy te są bardzo wytrzymałe na rozciąganie, a na ich strukturze oparte są zaawansowane materiały technologiczne grafen oraz nanorurki węglowe. Natomiast pomiędzy sąsiednimi warstwami występują słabsze wiązania, ulegające łatwemu zerwaniu i dlatego grafit jest łatwo ścieralny. Z kolei, jeśli centralny atom wytwarza cztery wiązania kowalencyjne, utworzą one tetraedr. Taką strukturę ma m.in. diament, którego niezwykła twardość wynika zarówno z siły wiązań pomiędzy atomami węgla jak i geometrii struktury. Wiązania kowalencyjne są zwykle silne, a kryształy kowalencyjne mają wysoką temperaturę topnienia, która w przypadku diamentu przekracza 3500 O C. Warto zaznaczyć, Ŝe ten kierunkowy charakter wiązania ogranicza moŝliwość przemieszczanie się nośników ładunku i w efekcie materiały o wiązaniu kowalencyjnym są izolatorami lub półprzewodnikami. Wiązanie metaliczne Strona 198 Omawiając wiązanie jonowe wspominaliśmy juŝ, Ŝe w przypadku atomów metali korzystne energetycznie jest oddanie elektronów znajdujących się na powłoce walencyjnej. Z kolei w przypadku wiązania kowalencyjnego, ze względu na krótki zasięg funkcji falowych elektronów, elektrony były zlokalizowane między atomami. Istotą wiązania metalicznego jest uwspólnianie elektronów walencyjnych między wszystkimi atomami w krysztale metalu. W przypadku wiązania metalicznego funkcje falowe elektronów walencyjnych mają szeroki zasięg. W efekcie

199 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO elektrony te nie są zlokalizowane i mogą przemieszczać się swobodnie w strukturze materiału, tworząc tak zwany gaz elektronów swobodnych. Metale są zarówno dobrymi przewodnikami elektrycznymi, jak i przewodnikami ciepła, poniewaŝ elektrony nie tylko przenoszą ładunek elektryczny, ale takŝe na skutek zderzeń przekazywana jest energia. Siła wiązania metalicznego zaleŝy m.in. od liczby elektronów walencyjnych atomów oraz stopnia upakowania struktury. Typowym przykładem są tutaj metale z jednym elektronem walencyjnym (metale alkaliczne), które mają stosunkowo niskie temperatury topnienia nieprzekraczające 00 O C. W wielu metalach wiązania mają charakter mieszany, kowalencyjno-jonowy. Metale odkształcają się spręŝyście, ale przy odpowiednio duŝym naprę- Ŝeniu mogą odkształcać się równieŝ plastycznie metale są kowalne. Pozbawione elektronów walencyjnych atomy (rdzenie atomowe) tworzą warstwy, które pod wpływem napręŝenia mogą się przemieszczać bez powstania makroskopowych pęknięć, w czym wydatnie pomaga znajdujący się pomiędzy atomami gaz elektronów walencyjnych. Wiązanie wodorowe W przypadku, w którym atom wodoru jest związany z silnie elektroujemnym atomem wiązaniem kowalencyjnym, elektron naleŝący do atomu wodoru zostaje prawie całkowicie przeniesiony na drugi atom. W efekcie atom wodoru staje się protonem i moŝe przyciągać znajdujące się w pobliŝu atomy naładowane ujemnie. Ze względu na niewielkie rozmiary protonu, oddziaływanie moŝe zachodzić maksymalnie z dwoma takimi atomami. Wiązanie wodorowe jest znacznie słabsze niŝ wiązanie kowalencyjne i jest podstawowym typem oddziaływania występującego pomiędzy cząsteczkami wody, a takŝe pojawia się w wielu związkach organicznych i strukturach biologicznych (oddziaływanie łańcuchów DNA). Powoduje takŝe skłonność materiałów do tworzenia makrocząsteczek polimeryzacji. Szczególne właściwości wody, takie jak większa gęstość fazy ciekłej niŝ fazy stałej czy ujemny współczynnik rozszerzalności cieplnej fazy ciekłej w pobliŝu temperatury topnienia, wynikają właśnie z właściwości wiązania wodorowego. Strona 199

200 ROZDZIAŁ 7 Wiązanie van der Waalsa Fluktuacje ładunku w atomach i cząsteczkach mogą prowadzić do chwilowego powstania momentów dipolowych. Taki moment dipolowy, mimo Ŝe jest nietrwały, moŝe oddziaływać na sąsiednie atomy lub cząsteczki indukując w nich moment dipolowy. W ten sposób atomy, które nie są trwałymi dipolami, oddziałują ze swoimi sąsiadami siłami oddziaływania elektrostatycznego. Oddziaływania takie, nazywane wiązaniem van der Waalsa występują dla wszystkich ciał stałych. Są jednak słabe i nie zawsze efekt z nimi związany jest dostrzegalny, poniewaŝ moŝe łatwo zostać zdominowany przez wielokrotnie silniejsze oddziaływania innego typu. Z tego względu odgrywają waŝną rolę przede wszystkim w przypadkach, kiedy niemoŝliwe jest utworzenie wiązań innego typu, czyli dla atomów o zamkniętych powłokach (gazów szlachetnych np. helu, argonu) oraz obojętnych cząsteczek. W tym drugim przypadku im większą będzie liczba elektronów tym większy będzie całkowity momentem dipolowy cząsteczki i w efekcie tym silniejsze staje się wiązanie van der Waalsa. 1.. Struktury krystaliczne WaŜną cechą ciał stałych jest występowanie w nich uporządkowania dalekiego zasięgu. W kryształach atomy są rozmieszczone w regularnych odstępach tak, Ŝe znając połoŝenie jednego z nich oraz strukturę sieci krystalicznej moŝemy dokładnie określić połoŝenie wszystkich pozostałych. Rozpatrzmy prosty przykład podłogi, która została wyłoŝona prostokątnymi płytkami o identycznych wymiarach. Jeśli wyobrazimy sobie, Ŝe w naroŝach prostokątów znajdują się atomy, mamy przykład dwuwymiarowej sieci krystalicznej. Znając połoŝenie jednego z naroŝy, wymiary płytki oraz kąt, pod jakim ułoŝony jest bok płytki do wyznaczonego kierunku moŝemy wyliczyć połoŝenia wszystkich pozostałych naroŝy (atomów). Gdybyśmy ułoŝyli podłogę uŝywając płytek o kształcie rombu, równieŝ moglibyśmy zastosować podobny opis. Jednak w tym przypadku oprócz wymiarów płytki musimy podać dodatkowo kąt tworzący rombu. Strona 00

201 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Najmniejszy fragment sieci krystalicznej, za pomocą którego moŝemy odtworzyć całą strukturę będziemy nazywać komórką elementarną. Dla sieci krystalicznej dwuwymiarowej komórkę elementarną moŝna opisać za pomocą dwóch wektorów skierowanych wzdłuŝ jej krawędzi, a r i b r (Rysunek 1.3). W podanym przykładzie komórką elementarną jest pojedyncza płytka. NaroŜa płytek będą odpowiadały węzłom sieci krystalicznej. Współrzędne węzłów sieci dwuwymiarowej, której ko- r mórka elementarna jest określona przez wektory a r i b, moŝemy zapisać w następujący sposób: r r r = n a n b (1.1), r n 1 + gdzie n 1 i n są liczbami całkowitymi, a długości wektorów a r i b r (a i b) są stałymi sieci. Rozpatrzmy teraz układ współrzędnych związany z komórką elementarną taki, Ŝe jednostki długości są równe stałym sieci a i b. Wówczas połoŝenia węzłowe będą miały współrzędne (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) itd. Jeśli na środku rozpatrywanej płytki znajdować się będzie dekoracja, to jej współrzędne w tym układzie współrzędnych będą miały wartości (½,½) (Rysunek 1.3). W ten sposób moŝemy dokonać opisu struktury złoŝonej z wielu rodzajów atomów. Warto zaznaczyć, Ŝe przy takim zapisie atomy znajdujące się w połoŝeniu węzłowym o współrzędnej 1 np. (1,0) czy (0,1) mogą być równieŝ opisane jako atomy o współrzędnej (0,0) w sąsiedniej komórce elementarnej. Rysunek 1.3. Sieć dwuwymiarowa prostokątna (z lewej), skośna (pośrodku) i prostokątna z atomami dwóch róŝnych typów w połoŝeniach (0,0) i (½,½) (z prawej). Dla sieci prostokątnej zaznaczono komórkę elementarną. Strona 01

202 ROZDZIAŁ 7 NaleŜy pamiętać, Ŝe sieć krystaliczna stanowi jedynie geometryczny zapis struktury. W zapisie tym atomy nie muszą znajdować się w węzłach sieci, jednakŝe staramy się tak dobierać komórkę elementarną, aby opis struktury krystalicznej był jak najbardziej wygodny i jak najłatwiejszy w zapisie matematycznym. Dla struktury dwuwymiarowej złoŝonej z jednego rodzaju atomów opisu sieci krystalicznej moŝemy dokonać przy uŝyciu 5 typów sieci: kwadratowej, prostokątnej, ukośnokątnej (kąt między krawędziami komórki jest róŝny od 90º), prostokątnej centrowanej (jeden z atomów znajduje się na przecięciu przekątnych prostokąta) oraz heksagonalnej. W strukturach trójwymiarowych opis sieci krystalicznej jest nieco bardziej złoŝony. Komórkami elementarnymi są równoległościany. Do opisu komórki elementarnej potrzebne są długości trzech wektorów odpowiadających krawędziom równoległościanu (oznaczane umownie jako a, b, c ) oraz 3 kąty występujące pomiędzy nimi (oznaczane jako α, β, γ ). Podobnie jak w przypadku sieci dwuwymiarowych, aby ułatwić opis matematyczny sieci stosuje się komórki centrowane. Mogą to być komórki centrowane powierzchniowo (połoŝenia na przekątnych ścianek) albo centrowane objętościowo (połoŝenia na przecięciu głównych przekątnych bryły). Wszystkie moŝliwe trójwymiarowe struktury krystaliczne moŝna opisać za pomocą 14 typów sieci tak zwanych sieci Bravais. W niniejszym opracowaniu nie będziemy przedstawiać poszczególnych typów sieci a podamy jedynie kilka przykładów waŝnych lub ciekawych z fizycznego punktu widzenia. Współczynnik upakowania Jednym z waŝnych parametrów opisujących strukturę krystaliczną jest współczynnik upakowania oznaczany często jako APF od angielskiego Atomic Packing Factor. Jeśli atomy potraktujemy jako sztywne kule, to współczynnik upakowania moŝemy wyrazić jako stosunek objętości tych kul do objętości całego kryształu: APF V N A A A = (1.) V K Strona 0 W powyŝszym wzorze V A oznacza objętość pojedynczego atomu, N A ilość atomów danego typu zawartą wewnątrz kryształu, a V K objętość całego kryształu. Współczynnik upakowania moŝna wyliczyć równieŝ znając komórkę elementarną danej struktury. W tym celu naleŝy określić, jaki wycinek kul reprezentujących atomy znajduje się wewnątrz

203 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO komórki. Przyjmujemy przy tym załoŝenie, Ŝe komórka elementarna zbudowana jest tak, by kule odpowiadające atomom mogły się stykać ze sobą, ale nie nakładać na siebie. Jako promień kul modelujących atomy przyjmuje się promień jonowy. Jest to odległość od środka atomu do zewnętrznych elektronów, wyznaczana na podstawie pomiarów struktur krystalicznych o wiązaniu typu jonowego, jakie tworzy atom danego pierwiastka. Promień jonowy uzyskujemy w tym przypadku poprzez uśrednienie danych uzyskanych na podstawie pomiarów wielu róŝnych struktur. W wielu przypadkach posługujemy się równieŝ promieniem van der Waalsa (odległością pomiędzy środkiem atomu a skrajem chmury elektronowej elektronów ostatniej powłoki). Maksymalny współczynnik upakowania jednakowych kul wynosi 0.74 i jest moŝliwy do osiągnięcia w dwóch strukturach: regularnej centrowanej powierzchniowo oraz w tak zwanej strukturze heksagonalnej gęstego upakowania (HCP). Rysunek Komórka elementarna struktury regularnej centrowanej powierzchniowo wypełniona ciasno upakowanymi kulami reprezentującymi atomy Komórką elementarną struktury regularnej centrowanej powierzchniowo jest sześcian, a atomy umieszczone są w naroŝach i na przecięciu przekątnych ścian bocznych. Kule modelujące atomy stykają się ze sobą tak, Ŝe na przekątnej ściany o długości a znajdują się cztery promienie r kuli jak zaznaczono na Rysunku 1.4. Stąd moŝemy znaleźć zaleŝność między promieniem kul atomowych i długością a boku sześcianu. Wówczas objętość komórki elementarnej wynosi: Strona 03

204 ROZDZIAŁ r V K = (1.3) Sprawdźmy teraz, ile pełnych kul mieści się w komórce elementarnej. Z kul znajdujących się na wierzchołkach tylko 1/8 kaŝdej kuli znajduje się wewnątrz danej komórki reszta naleŝy do sąsiednich komórek. Mamy 8 wierzchołków, czyli w komórce elementarnej mieści się 1 pełna kula naroŝna. Policzmy teraz atomy znajdujące się na ściankach: jest ich 6, a kaŝda ścianka przecina kulę na pół zatem wewnątrz komórki mieści się 6/ kuli. Stąd moŝemy wyznaczyć współczynnik upakowania: 4 3 πr ( 1 + 3) APF = 3 = r (1.4) Struktury gęstego upakowania NajwyŜszy współczynnik upakowania otrzymamy równieŝ dla heksagonalnej struktury gęstego upakowania. Jako model takiej struktury mo- Ŝemy rozpatrzeć układ jednakowych piłek. Pierwszą warstwę układamy tak, Ŝeby w sąsiadujących rzędach środki piłek były ustawione naprzemiennie (warstwa A na Rysunku 1.5). Strona 04 Rysunek 1.5. Schemat ułoŝenia warstw w strukturze heksagonalnej gęstego upakowania (na górze) i regularnej centrowanej powierzchniowo (na dole) Kolejną warstwę nakładamy tak, by środki piłek znalazły się nad pustymi miejscami warstwy dolnej (warstwa B na Rysunku 1.5). Trzecią warstwę C układamy dokładnie nad warstwą A i otrzymujemy w ten

205 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO sposób strukturę heksagonalną gęstego upakowania. Trzecią warstwę C kulek moŝemy umieścić równieŝ w taki sposób, Ŝe atomy C będą znajdowały się nad pustymi miejscami warstwy B, ale nie nad atomami warstwy A. Otrzymujemy w ten sposób strukturę regularną powierzchniowo centrowaną (Rysunek 1.5). Strukturę taką obserwuje się dla szeregu metali, np. złota, miedzi czy srebra. W metalach tych warstwy atomów stosunkowo łatwo przemieszczają się względem siebie się pod wpływem przyłoŝonego napręŝenia. Istotne jest przy tym, Ŝe powstała w wyniku takiego przemieszczenia struktura nadal charakteryzuje się gęstym upakowaniem i niską energią. Dlatego teŝ wspomniane metale stosunkowo łatwo ulegają odkształceniom plastycznym. W podobnej strukturze moŝe krystalizować takŝe Ŝelazo w dobrze kowalnej fazie zwanej austenitem. Jeśli natomiast w wyniku przemian fazowych (obróbki termicznej) struktura będzie miała formę tzw. martenzytu, dla którego stopień upakowania jest mniejszy, otrzymamy materiał znacznie twardszy Model pasmowy ciał stałych Powstawanie pasm Zgodnie z zakazem Pauliego w atomie nie mogą znajdować się dwa elektrony w tym samym stanie kwantowym (o tym samym zestawie liczb kwantowych). Ze stanem kwantowym elektronu powiązana jest równieŝ energia tego elektronu w atomie. Kiedy zbliŝamy do siebie atomy, funkcje falowe elektronów tych atomów zaczynają nachodzić na siebie. Aby nie doszło do złamania zakazu Pauliego, stany kwantowe elektronów muszą się zmienić a w konsekwencji energie elektronów muszą ulec zróŝnicowaniu. W ten sposób dochodzi do rozszczepienia poziomów energetycznych. Zgodnie z powyŝszym rozumowaniem w cząsteczce dwuatomowej poziomów energetycznych, na których znajdują się elektrony będzie dwa razy więcej niŝ w pojedynczym atomie. W krysztale dochodzi do nakładania się funkcji falowych wielu elektronów. Zgodnie z powyŝszym rozumowaniem kaŝdy z elektronóow zajmuje poziom energetyczny o energii zbliŝonej, ale róŝniącej się nieznacznie od pozostałych elektronów w krysztale. W ten sposób poziom Strona 05

206 ROZDZIAŁ 7 energetyczny określany dla pojedynczego atomu w przypadku kryształu ulega rozszczepieniu na zestaw energii, które mogą przyjmować elektrony powstają pasma energetyczne. Jeśli mamy do czynienia z liczbą N sąsiadujących ze sobą atomów to nałoŝenie się funkcji falowych elektronów spowoduje, Ŝe poziomy energetyczne podpowłoki s ulegną rozszczepieniu na pasmo zawierające N poziomów. W analogiczny sposób z rozszczepienia podpowłoki p powstanie pasmo zawierające 6N poziomów a z podpowłoki d pasmo o 10N poziomów. Dla duŝej liczby N rzędu liczby Avogadro pasmo energetyczne składa się będzie z tak wielu dyskretnych poziomów, Ŝe moŝna przyjąć, Ŝe jest ono ciągłe. Na osi energii pasmo energetyczne charakteryzowane jest przez połoŝenie (związane z połoŝeniem pierwotnego poziomu energetycznego) oraz szerokość (określającą przedział wartości energii, jaką mogą mieć elektrony z danego pasma). Pasmo moŝe być całkowicie zapełnione (wszystkie moŝliwe poziomy energii wchodzące w skład danego pasma są obsadzone), częściowo zapełnione (elektrony zajmują wtedy w ramach pasma poziomy o najniŝszej moŝliwej energii, przy czym dwa elektrony nie mogą zająć tego samego poziomu) lub nieobsadzone (Ŝaden elektron nie posiada wystarczającej energii by znaleźć się na najniŝszym poziomie pasma). Pomiędzy pasmami, na osi energii, znajduje się zakres energii wzbronionych. Oznacza to, Ŝe elektrony nie mogą przyjmować energii z obszaru przerwy energetycznej. Energia Fermiego Strona 06 Wspominaliśmy juŝ, Ŝe elektrony obsadzają poziomy energetyczne o najniŝszej moŝliwej energii, przy czym spełniona musi być zasada Pauliego i Ŝadne dwa elektrony nie mogą być w tym samym stanie kwantowym. W temperaturze zera bezwzględnego, energię ostatniego obsadzonego poziomu energetycznego określamy mianem energii Fermiego - E F. W temperaturze wyŝszej od zera bezwzględnego elektrony posiadają dodatkową energię termiczną, dzięki której elektrony mogą obsadzać poziomy o energii wyŝszej niŝ energia Fermiego. Poziomy energetyczne mogą zmieniać przede wszystkim elektrony o energii bliskiej energii Fermiego, jeśli dostępne są niezapełnione poziomy energetyczne o odpowiedniej energii. Elektrony o energii znacznie mniejszej niŝ energia Fermiego, znajdujące się na dnie pasma przewodnictwa, do przeskoku na najbliŝszy nieobsadzony poziom energetyczny potrzebują energii znacz-

207 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO nie większej niŝ energia drgań termicznych, dlatego przejścia takie nie są obserwowane. Poziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo nieobsadzone. Opisywane zmiany poziomów energetycznych elektronów w kryształach pod wpływem temperatury mają charakter statystyczny i dlatego w opisie tych zjawisk stosuje się pojęcia statystyczne jak na przykład prawdopodobieństwo obsadzenia. Dla poziomów energetycznych z dna pasma przewodnictwa prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi 1 (są one zawsze obsadzone), ale dla poziomów bliskich energii Fermiego będzie zaleŝeć od temperatury. Im wyŝsza temperatura, tym większa jest energia termiczna elektronów i tym większe jest prawdopodobieństwo obsadzenia poziomów powyŝej energii Fermiego. Pamiętamy jednak, Ŝe poziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo nieobsadzone, a więc wraz ze wzrostem temperatury zwiększać się będzie takŝe prawdopodobieństwo wystąpienia poziomów nieobsadzonych poniŝej energii Fermiego. Prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu o energii E w temperaturze T określa funkcja Fermiego-Diraca: f ( E ) 1 = E E exp k BT F + 1 (1.5), gdzie E F jest energią Fermiego. Kształt funkcji Fermiego-Diraca dla kilku temperatur przedstawiony jest na Rysunku 1.6. Rysunek 1.6. Wykres prawdopodobieństwa obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony dla róŝnych temperatur. E F oznacza energię Fermiego Strona 07

208 ROZDZIAŁ 7 Funkcja ta przyjmuje wartość ½ dla energii Fermiego. W związku z tym dla temperatur wyŝszych od zera bezwzględnego energię Fermiego mo- Ŝemy zdefiniować, jako energię odpowiadającą poziomowi, prawdopodobieństwo obsadzenia którego wynosi ½. Ta definicja moŝe być takŝe stosowana w przypadku, kiedy pasmo jest całkowicie zapełnione, a pasmo o energii wyŝszej, oddzielone obszarem wzbronionym, całkowicie nieobsadzone. Metale, półprzewodniki i izolatory W strukturze pasm energetycznych szczególną rolę odgrywa ostatnie (połoŝone najwyŝej na osi energii) obsadzone przez elektrony walencyjne pasmo walencyjne. Jeśli wszystkie poziomy tego pasma są obsadzone, w materiale brak jest swobodnych nośników ładunku. Aby elektron mógł stać się nośnikiem ładunku jego energia musiałaby ulec zmianie jednak poniewaŝ wszystkie poziomy energetyczne są juŝ obsadzone, nie jest to moŝliwe. Kolejne, znajdujące się wyŝej w skali energii, pasmo nazywane jest pasmem przewodnictwa. Elektrony, które znajdą się na jednym z poziomów energetycznych tego pasma są swobodnymi nośnikami ładunku. Jeśli elektron walencyjny znajdzie się w paśmie przewodnictwa, w paśmie walencyjnym wytwarza się pusty poziom, który równieŝ umoŝliwia transport ładunku elektrycznego pod wpływem zewnętrznego pola. Taki poziom nazywamy dziurą. Ładunek dziury jest identyczny, co do wartości, jak ładunek elektronu, ale ma przeciwny znak. Metale Pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa mogą być rozdzielone przerwą energetyczną, bądź mogą nakładać się na siebie. Jeśli pasma nie są rozdzielone obszarem wzbronionym, wszystkie elektrony walencyjne mogą uczestniczyć w transporcie ładunku. Taką strukturę pasm spotykamy w metalach. W materiałach tych liczba nośników ładunku jest stała, a poniewaŝ swobodne nośniki ładunku w wyŝszych temperaturach są silniej rozpraszane na drganiach sieci krystalicznej, to w efekcie ich przewodność elektryczna maleje ze wzrostem temperatury. Strona 08

209 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Rysunek 1.7. Schemat układu pasm energetycznych dla metali, półprzewodników samoistnych oraz izolatorów Izolatory W izolatorach i półprzewodnikach pomiędzy pasmem przewodnictwa i pasmem walencyjnym istnieje przerwa energetyczna. Prawdopodobieństwo przeskoku elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa zaleŝy od jego energii, a więc w efekcie od temperatury. W temperaturze zera bezwzględnego przeskok taki nie jest moŝliwy. W temperaturach wyŝszych prawdopodobieństwo zaleŝy od energii elektronu i szerokości przerwy wzbronionej. Im wyŝsza temperatura, tym większe prawdopodobieństwo przeskoku, zatem tym więcej nośników ładunku pojawia się w paśmie przewodnictwa. Umownie przyjmuje się, Ŝe materiały, w których szerokość przerwy wzbronionej na skali energii wynosi powyŝej 3 ev, nazywamy izolatorami. W temperaturze pokojowej prawdopodobieństwo przeskoku elektronu jest na tyle małe, Ŝe w materiałach tych istnieje niewiele swobodnych nośników ładunku i słabo przewodzą one prąd elektryczny. Półprzewodniki samoistne W półprzewodnikach szerokość przerwy wzbronionej jest mniejsza od umownej wartości 3 ev. W materiałach tych juŝ w temperaturze pokojowej istnieje zauwaŝalna ilość nośników ładunku w paśmie przewodnictwa. Przypomnijmy, Ŝe przeskok elektronu do pasma przewodnictwa oznacza równieŝ, Ŝe w pasmie walencyjnym pojawia się dziura elektronowa, która równieŝ moŝe się przemieszczać jest więc drugim nośni- Strona 09

210 ROZDZIAŁ 7 kiem ładunku. Całkowitą przewodność półprzewodnika moŝna zatem zapisać jako: σ = n eµ + n eµ (1.6), e e gdzie n e oraz n h oznaczają koncentrację (liczbę nośników w jednostce objętości) odpowiednio elektronów oraz dziur, natomiast µ e oraz µ h ruchliwość elektronów i dziur odpowiednio. Nośniki ładunku powstające na skutek przeskoków termicznych elektronów noszą nazwę nośników samoistnych. Koncentracja swobodnych elektronów i dziur wzrasta wykładniczo z temperaturą: h h n e Eg ~ exp (1.7) k B T We wzorze tym E g oznacza szerokość przerwy wzbronionej, a k B jest stałą Boltzmanna. MoŜna w tym miejscu zauwaŝyć, Ŝe skoro przeskok elektronu zawsze wytwarza dziurę wprowadzanie dwóch róŝnych koncentracji nośników wydaje się z pozoru zbędne. W dalszej części rozdziału przekonamy się jednak, Ŝe jest moŝliwe wytworzenie w materiale dodatkowych nośników tylko jednego rodzaju i wówczas powyŝszy zapis staje się uzasadniony. Wraz ze wzrostem temperatury przewodność półprzewodników wzrasta. Wykładniczy wzrost liczby nośników ładunku jest w tym przypadku znacznie silniejszy niŝ spadek ruchliwości wywołany drganiami sieci krystalicznej. W efekcie zaleŝność temperaturowa przewodności ma charakter zbliŝony do wykładniczego. Dla półprzewodników samoistnych energia Fermiego znajduje się w obszarze przerwy energetycznej w połowie odległości pomiędzy najwyŝszym poziomem pasma walencyjnego a najniŝszym poziomem pasma przewodnictwa. Półprzewodniki domieszkowane typu n Oprócz nośników samoistnych w półprzewodnikach mogą równieŝ istnieć intencjonalnie wytworzone nośniki ładunku. Powstają one w wyniku wbudowania w strukturę półprzewodnika atomów, które stają się źródłem swobodnych elektronów bądź dziur elektronowych. Proces taki nazywamy domieszkowaniem. Istotne jest przy tym, aby proces domieszkowania wpływał na koncentrację nośników nie zmieniając jedno- Strona 10

211 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO cześnie w zasadniczy sposób struktury krystalicznej półprzewodnika. W związku z tym ilość atomów domieszki powinna być nieduŝa. Wpływ domieszkowania na właściwości fizyczne, w tym takŝe na strukturę pasmową półprzewodników omówimy na przykładzie krzemu. Krzem jest podstawowym półprzewodnikiem stosowanym we współczesnej elektronice. Znajduje się w IV grupie układu okresowego, zatem posiada 4 elektrony walencyjne. W czystym krzemie kaŝdy atom jest związany z czterema sąsiadami wiązaniem kowalencyjnym. Jeśli w trakcie wzrostu kryształów krzemu dodamy niewielką ilość pierwiastka naleŝącego do V grupy, na przykład fosfor, antymon, arsen lub bizmut, to atom tego pierwiastka ulegnie wbudowaniu w strukturę krystaliczną krzemu zamiast atomu krzemu. Cztery elektrony naleŝące do atomu domieszki utworzą wiązania kowalencyjne z atomami krzemu. Piąty elektron walencyjny będzie natomiast słabo związany z atomem domieszki i moŝe stać się swobodnym nośnikiem ładunku. Rysunek 1.8. Schemat układu pasm w półprzewodniku domieszkowanym typu n (z lewej) i typu p (z prawej) Energia jonizacji tego elektronu jest stosunkowo niewielka dla domieszkowania krzemu fosforem wynosi ona około ev. Dla porównania, szerokość przerwy energetycznej dla krzemu wynosi 1.1 ev. Na wykresie obrazującym układ pasm półprzewodnika domieszkowanego (Rysunek 1.8) występuje dodatkowy poziom energetyczny odpowiadający elektronom domieszki. PoniewaŜ atomy domieszki są rozmieszczone daleko od siebie, efekt nakładania się funkcji falowych po- Strona 11

212 ROZDZIAŁ 7 chodzących od ich elektronów moŝna w tym przypadku zaniedbać nie obserwuje się rozszczepienia poziomu energetycznego związanego z domieszką. Poziom ten jest połoŝony w obszarze przerwy energetycznej blisko dna pasma przewodnictwa odległość od dna pasma przewodnictwa odpowiada energii jonizacji. Domieszki, które stają się źródłem swobodnych elektronów w półprzewodniku nazywamy donorami. W półprzewodniku domieszkowanym donorami nośnikami większościowymi ładunku są elektrony a półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem typu n (ang. negative). Półprzewodniki domieszkowane typu p Atomy pierwiastków z III grupy np. bor, glin lub gal na powłoce walencyjnej posiadają trzy elektrony i w związku z tym mogą wytworzyć tylko trzy wiązania kowalencyjne. Energetycznie korzystnie jest jednak dla tych atomów przyjęcie dodatkowego elektronu i zapełnienie powłoki walencyjnej. W efekcie atomy domieszki trójwartościowej podstawione w miejsce krzemu będą się starały wychwycić elektron z sąsiadujących wiązań i uzupełnić swoje czwarte wiązanie. W ten sposób wytworzy jednak dziurę elektronową w innym miejscu sieci krystalicznej. Mechanizm ten moŝe się powtarzać, a dziura elektronowa o ładunku dodatnim stanie się swobodnym nośnikiem ładunku i będzie przemieszczała się pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W rozwaŝanym przypadku domieszka o niŝszej wartościowości wprowadza dodatkowy poziom energetyczny, połoŝony w obszarze przerwy energetycznej krzemu w pobliŝu wierzchołka pasma walencyjnego. W przypadku galu (Ga) poziom ten ma energię o 0.06 ev większą niŝ wierzchołek pasma walencyjnego krzemu. Domieszki, które stają się źródłem dziur elektronowych w półprzewodniku nazywamy akceptorami. W półprzewodniku domieszkowanym akceptorami nośnikami większościowymi ładunku są dziury i półprzewodnik taki nazywamy typu p (ang. positive). Przewodność elektryczna półprzewodników PoniewaŜ domieszkowanie zmienia koncentrację nośników ładunku, więc zgodnie ze wzorem 1.6 wpływa na wartość przewodności elektrycznej. Przypomnijmy, Ŝe zgodnie ze wzorem 1.6 koncentracja nośników w pasmie przewodnictwa zmienia się wykładniczo z temperaturą. Ruchliwość nośników ładunku słabo zaleŝy od temperatury, więc Strona 1

213 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO w efekcie zaleŝność przewodności od temperatury moŝna opisać zaleŝnością: E σ = σ a 0 exp (1.8), k B T k B gdzie E a oznacza energię aktywacji przewodnictwa i w przypadku półprzewodników samoistnych wynosi ona E a =E g /. Jeśli powyŝszą zaleŝność zlogarytmujemy to otrzymujemy równanie postaci E ( ) ( ) a 1 ln σ = ln σ 0. Z zaleŝności tej wynika, Ŝe na wykresie loga- T rytmu przewodności w funkcji odwrotności temperatury (1/T) powinniśmy obserwować linie proste o kącie nachylenia zaleŝnym od energii E a niezbędnej do wytworzenia swobodnych nośników. Jak pokazano na Rysunku 1.9 w przypadku półprzewodników domieszkowych obserwować będziemy dwa obszary liniowej zaleŝności logarytmu przewodności od odwrotności temperatury. W niskich temperaturach (duŝe 1/T) źródłem nośników ładunku są atomy domieszki, a nachylenie prostej odpowiada energii potrzebnej do jonizacji lub przyłączenia elektronu atomu domieszki. Jeśli koncentracja atomów domieszki jest niewielka, w pewnej temperaturze moŝe dojść do aktywacji wszystkich nośników domieszkowych i dalszy wzrost temperatury nie powoduje znaczącego wzrostu przewodności, a w niektórych przypadkach obserwuje się nawet jej nieznaczny spadek związany ze spadkiem ruchliwości nośników ładunku. W obszarze wysokich temperatur (małe wartości 1/T lewa strona wykresu) istotny staje się udział nośników samoistnych. Do ich aktywacji (wytworzenia) niezbędna jest wysoka temperatura (zaleŝna od szerokości przerwy wzbronionej) i dlatego ich udział w przewodnictwie całkowitym zaczyna dominować dopiero w wysokich temperaturach. NaleŜy jednocześnie pamiętać, Ŝe koncentracja nośników samoistnych moŝe o wiele rzędów wielkości przekroczyć koncentrację nośników domieszkowych. Z tego względu w wysokich temperaturach na Rysunku 1.9 ponownie obserwujemy zaleŝność liniową, a nachylenie prostej powiązane jest z wartością połowy szerokości przerwy energetycznej półprzewodnika. Strona 13

214 ROZDZIAŁ 7 Rysunek 1.9. ZaleŜność temperaturowa przewodności dla półprzewodnika domieszkowanego Półprzewodniki domieszkowane są szeroko stosowane w elektronice. Kontrola procesu domieszkowania pozwala otrzymywać materiały o róŝnorodnych właściwościach, które powszechnie stosowane są w urządzeniach elektronicznych Urządzenia półprzewodnikowe Złącze p-n Strona 14 W półprzewodnikowych urządzeniach elektronicznych wykorzystuje się półprzewodniki domieszkowane typu n i typu p oraz układy powstałe w wyniku ich połączenia. Podstawowym elementem jest tutaj złącze p-n,

215 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO które powstaje, jeśli w jednym krysztale półprzewodnika wytworzymy sąsiadujące ze sobą obszary typu n i typu p. Schemat układu pasm energetycznych w obszarze takiego złącza p-n przedstawiony jest na Rysunku Przypomnijmy, Ŝe dla półprzewodnika typu p poziom Fermiego leŝy pomiędzy pasmem walencyjnym a poziomem domieszki, a dla półprzewodnika typu n pomiędzy dnem pasma przewodnictwa a pasmem domieszki. W obszarze złącza, w stanie równowagowym, energie Fermiego obu materiałów wyrównują się. W efekcie pasma walencyjne i przewodnictwa w obszarze złącza p-n ulegają zagięciu jak pokazano na Rysunku Rysunek Schemat układu pasm energetycznych na złączu p-n. Obszary oznaczone jako d n i d p odpowiadają strefom zuboŝonym RozwaŜmy teraz jakościowo zjawiska fizyczne zachodzące w obszarze złącza p-n. W momencie wytworzenia złącza, część elektronów swobodnych znajdujących się w pobliŝu złącza, po stronie n przejdą na stronę p. Po stronie p ulegać będą tak zwanej rekombinacji z dziurami zapełnią wolne poziomy, w których dotychczas znajdowały się dziury elektronowe. Przypomnijmy, Ŝe kaŝdy z półprzewodników przed zetknięciem był obojętny elektrycznie. W wyniku przejścia elektronów z materiału typu n do p na pewnym obszarze półprzewodnika typu n występować będzie niedobór elektronów. W efekcie po stronie n złącza p-n obserwuje się dodatni potencjał elektryczny. Obszar uboŝszy w elektrony nazywamy strefą zuboŝoną (d n ). Podobnie, w wyniku przejścia elektronów przez złącze p-n po stronie półprzewodnika typu p obserwować będziemy nadmiar elektronów albo innymi słowy niedobór nośników dziurowych. Powstanie tam więc równieŝ obszar zuboŝony (d p ) charakteryzujący się potencjałem ujemnym. Występowanie stref zuboŝonych po obu stronach złącza i związana z nimi róŝnica potencjałów w znacznym stopniu ogranicza dalsze przechodzenie elektronów na stronę p oraz dal- Strona 15

216 ROZDZIAŁ 7 szą ich rekombinację prowadząc do wytworzenia się stanu równowagi. Zgodnie z powyŝszym rozumowaniem przedstawione na Rysunku 1.10 zagięcie pasm obrazuje zatem powstanie pewnej bariery potencjału, która utrudnia transport nośników ładunku przez złącze. NaleŜy przy tym zaznaczyć, Ŝe pomimo istnienia takiej bariery potencjału część elektronów potrafi ją pokonać i ulega rekombinacji po stronie p. Prąd elektryczny związany z elektronami, które przechodzą z obszaru n do p nazywamy prądem rekombinacji. Jednocześnie obszarze typu p występują aktywowane termicznie przeskoki elektronów z pasma walencyjnego do przewodnictwa, w wyniku których generowane są nowe swobodne elektrony w pasmie przewodnictwa. Elektrony, znajdujące się w pobliŝu złącza p-n są przyciągane przez dodatni potencjał strefy zubo- Ŝonej po stronie n i przechodzą na tą stronę złącza a prąd elektryczny z tym związany nazywamy prądem generacji. W sytuacji równowagowej prąd rekombinacji płynący ze strony n na stronę p jest równy prądowi generacji płynącemu w przeciwną stronę. Podobne jak opisane powyŝej mechanizmy rekombinacji i generacji elektronów obserwowane są równieŝ dla nośników dziurowych. Polaryzacja złącza p-n Przepływ elektronów ze strony n na stronę p złącza p-n będzie przebiegał łatwiej, jeŝeli do złącza przyłoŝymy napięcie, które częściowo skompensuje barierę potencjału wytwarzaną przez strefę zuboŝoną. Aby tak się stało, biegun dodatni źródła musi być przyłoŝony do strony p, a ujemny do strony n złącza (Rysunek 1.11). Wówczas złącze p-n zaczyna przewodzić, gdyŝ wartość prądu rekombinacji wzrasta wykładniczo w funkcji przyłoŝonego napięcia U a wartość prądu generacji w ustalonej temperaturze nie ulega zmianie. Mówimy wówczas o polaryzacji złącza p-n w kierunku przewodzenia. Strona 16 Rysunek Schemat układu pasm dla złącza p-n spolaryzowanego w kierunku przewodzenia (z lewej) i w kierunku zaporowym (z prawej)

217 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Jeśli przyłoŝymy napięcie w przeciwną stronę, nośniki znajdujące się po stronie n, aby przejść na stronę p muszą pokonać jeszcze wyŝszą barierę potencjału, niŝ miało to miejsce w sytuacji równowagowej (Rysunek 1.11). Prąd rekombinacji jest wówczas mniejszy od prądu generacji i mówimy, Ŝe złącze p-n jest spolaryzowane w kierunku zaporowym. Złącze p-n ma zatem niesymetryczną charakterystykę napięciową i w związku z tym nazywane jest równieŝ diodą. Dla dodatniego napięcia przyłoŝonego do półprzewodnika typu p dobrze przewodzi prąd (kierunek przewodzenia), natomiast dla polaryzacji przeciwnej prąd płynący przez złącze jest bardzo mały (kierunek zaporowy). Rysunek 1.1. Charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego złącza typu p-n Świecąca dioda półprzewodnikowa LED Spolaryzowanie diody w kierunku przewodzenia powoduje, Ŝe przez obszar złącza przepływają zarówno elektrony jak i dziury elektronowe. W obszarze złącza elektrony mogą ulegać rekombinacji. Zjawisko rekombinacji związane jest z przeskokiem elektronu z wyŝszego poziomu energetycznego na niŝszy nieobsadzony poziom, odpowiadający dziurze elektronowej. W wyniku przeskoku elektronu emitowany jest kwant światła o energii równej w przybliŝeniu szerokości przerwy wzbronionej półprzewodnika. PoniewaŜ rekombinacji mogą ulegać elektrony znajdujące się na róŝnych poziomach energetycznych pasma przewodnictwa z dziurami elektronowymi znajdującymi się równieŝ na róŝnych poziomach energetycznych pasma walencyjnego, wiec w efekcie emitowane przez złącze promieniowanie nie jest ściśle monochromatyczne, ale ma zwykle pewien wąski zakres długości fali. Wykonując złącza p-n z róŝnych materiałów półprzewodnikowych o róŝnych przerwach wzbronionych moŝemy wytwarzać promieniowanie o róŝnych Strona 17

218 ROZDZIAŁ 7 Strona 18 długościach fali a taką diodę świecącą nazywamy LED od angielskiego Light Emitting Diode. Po spolaryzowaniu diody w kierunku przewodzenia prąd narasta wykładniczo w funkcji przyłoŝonego napięcia U. Wykładniczo narastać równieŝ będzie prawdopodobieństwo rekombinacji a więc liczba fotonów emitowanych w jednostce czasu. NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe przy przepływie zbyt duŝego prądu ciepło wytworzone na bardzo cienkim obszarze złącza moŝe doprowadzić do uszkodzenia diody. Dlatego nie naleŝy przekraczać napięcia polaryzacji diody podanego przez producenta. NatęŜenie prądu zaleŝy od szerokości bariery potencjału i dlatego diody wykonane z półprzewodników o szerszej przerwie energetycznej wymagają zwykle wyŝszego napięcia pracy. We współczesnych urządzeniach elektronicznych stosowanych jest wiele rodzajów diod świecących. Diody wykonane z półprzewodników o niewielkiej szerokości przerwy wzbronionej świecą w zakresie podczerwieni i są z powodzeniem wykorzystywane w pilotach sterujących urządzeniami elektronicznymi oraz kamerach termowizyjnych. Diody z zakresu światła widzialnego są wykorzystywane zarówno w panelach kontrolnych, jak i w ekranach świetlnych. Tak zwane diody białe często wykorzystują do emisji światła warstwę luminoforu. W diodach tych w złączu wytwarzane jest monochromatyczne promieniowanie o duŝej energii fotonów, które w wyniku oddziaływania z warstwą luminoforu zamieniane na światło o szerokim zakresie widmowym (zakresie długości fali), które odbierane jest przez nasze oko jako światło białe. W celu uzyskania światła białego moŝliwe jest równieŝ złoŝenie trzech barw podstawowych światła widzialnego czerwonej, zielonej i niebieskiej. Warto podkreślić, Ŝe w przeciwieństwie do zwykłych Ŝarówek diody świecące charakteryzują się wysoką sprawnością zamiany energii elektrycznej na energię emitowanego promieniowania. Ponadto diody charakteryzuje takŝe długowieczność i odporność na niekorzystne warunki zewnętrzne i dlatego są chętnie wykorzystywane w oświetleniu pomieszczeń czy w przemyśle motoryzacyjnym. Fotodiody Złącze p-n moŝe równieŝ działać jako element czuły na światło czyli tzw. fotodioda. W tym celu złącze p-n jest polaryzowane w kierunku zaporowym. Wówczas w obwodzie elektrycznym nie płynie prąd. JednakŜe, w wyniku oświetlania diody foton moŝe przekazać swoją energię elektronowi w paśmie walencyjnym, pozwalając mu na przeskok do pasma przewodnictwa. W obszarze typu p w pobliŝu złącza powstaje wów-

219 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO czas para nośników elektron i dziura. Swobodny elektron jest przyciągany przez potencjał wytworzony w obszarze złącza i przechodzi ze strony p na stronę n. Zmierzony prąd, nazywany fotoprądem, zaleŝeć będzie od natęŝenia padającego światła. Fotodiody są czułe na promieniowanie o energii większej niŝ szerokość przerwy energetycznej półprzewodnika. Ogniwa fotowoltaiczne Oddziaływanie fotonów z elektronami moŝemy wykorzystać nie tylko do detekcji promieniowania, ale równieŝ jako źródło energii elektrycznej. Foton zaabsorbowany w obszarze niespolaryzowanego złącza p-n powoduje wytworzenie prądu generacji związanego z przepływem elektronów ze strony p na stronę n. Powstaje w ten sposób róŝnica potencjałó ow, a więc foton ten przyczynia się do wytworzenia siły elektromotorycznej między stroną n (biegun ujemny), a stroną p (biegun dodatni) - tak zwanego fotoogniwa. Rysunek Schemat przekroju i działania fotoogniwa W najczęściej stosowanych fotoogniwach opartych na polikrystalicznym krzemie na powierzchni ogniwa znajduje się warstwa antyodblaskowa, której zadaniem jest skierowanie jak największej ilości fotonów do warstw znajdujących się poniŝej (Rysunek 1.13). Następnie fotony przechodzą przez cienką warstwę typu n i trafiają do znacznie grubszego obszaru typu p, w którym są absorbowane. Elektrony powstałe w wyniku absorpcji fotonów wędrują w kierunku złącza, z którego są zbierane przez rozmieszczone w równych odstępach metalowe elektrody. Nośniki Strona 19

220 ROZDZIAŁ 7 dziurowe natomiast wędrują w kierunku znajdującej się pod obszarem typu p płaskiej elektrody metalowej. Sprawność konwersji energii słonecznej na elektryczną typowych fotoogniw krzemowych jest rzędu 5% a najwyŝsza uzyskana przekracza 40%. Masowość produkcji ogniw opartych na krzemie sprawia, Ŝe zaczynają one stanowić powaŝną alternatywę dla innych źródeł energii. Ogniwa słoneczne sprawdzają się w urządzeniach przenośnych o niewielkiej mocy, takich jak kalkulatory, lub w regionach, w których dostęp do innych źródeł energii jest utrudniony. Elektrownie oparte na fotoogniwach, tak zwane farmy słoneczne, buduje się w regionach o znacznym nasłonecznieniu. Ogniwa słoneczne stanowią takŝe podstawowe źródło zasilania dla satelitów i stacji kosmicznych. Podstawową barierą w większym upowszechnieniu fotoogniw jest ich wciąŝ wysoka cena. Tranzystor Tranzystor jest elementem elektronicznym, składającym się z elementów półprzewodnikowych typu p i n (Rysunek 1.14) tak połączonych, Ŝe za pomocą przyłoŝenia potencjału do jednej z trzech elektrod moŝemy sterować przepływem nośników pomiędzy dwoma pozostałymi elektrodami. W zaleŝności od znaku i wartości przyłoŝonego potencjału tranzystor moŝe realizować róŝne funkcje np. działać jako wzmacniacz napięcia (o charakterystyce liniowej lub wykładniczej), lub jako sterowany przełącznik typu włącz-wyłącz. Warto zaznaczyć, Ŝe w tranzystorach typu MOSFET, którego schemat przedstawiony jest na Rysunku 1.14 obserwuje się zjawisko tunelowania elektronów przez cienką warstwę izolatora. Rysunek Schemat budowy tranzystora typu MOSFET Strona 0

221 FIZYKA CIAŁA STAŁEGO Złącze metal-metal Napięcie kontaktowe Omawiając charakterystykę złącza p-n w półprzewodnikach pokazaliśmy, Ŝe w momencie zetknięcia ze sobą materiałów o róŝnej strukturze pasmowej następuje taki przepływ nośników, Ŝeby poziomy Fermiego obu półprzewodników się wyrównały. RównieŜ w przypadku metali po zetknięciu ze sobą dwóch róŝnych metali, o róŝnej strukturze elektronowej, obserwować będziemy taki przepływ elektronów, Ŝeby poziomy Fermiego w obu metalach się wyrównały (Rysunek 1.15). Przepływ elektronów z metalu, w którym energia Fermiego ma wyŝszą wartość (E F1 ) na stronę metalu, w którym energia Fermiego jest niŝsza (E F ) jest korzystne energetycznie. Elektrony z metalu 1 przeskakując na wcześniej nieobsadzone poziomy energetyczne metalu uzyskują niŝszą energioę. W wyniku tego procesu energia Fermiego w pierwszym metalu ulega obniŝeniu, zaś energia Fermiego w drugim metalu podnosi się, aŝ poziomy Fermiego w obu metalach wyrównają się. Jednak na skutek tego przepływu wytwarza się róŝnica potencjałów między materiałami metal, z którego elektrony wychodzą uzyskuje ładunek dodatni, a metal, na stronę którego przechodzą ujemny. Na diagramie obrazującym strukturę pasmową odpowiada to przesunięciu całego układu pasm w stronę wyŝszych energii po stronie metalu, dla którego wartość energii Fermiego była niŝsza (Rysunek 1.15). Rysunek Schemat układu pasm na złączu dwóch róŝnych metali: z lewej przez zetknięciem, z prawej w sytuacji równowagowej po zetknięciu W stanie równowagi między metalami istnieje zarówno róŝnica potencjałów wynikająca z przejścia elektronów z jednego metalu do drugiego (nazywamy ją napięciem kontaktowym Galvaniego) jak i róŝnica potencjałów wynikająca z róŝnych wartości pracy wyjścia (nazywamy ją napięciem Volty) (Rysunek 1.15). Strona 1