Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich. Badanie wad soczewek grubych.

Transkrypt

1 O Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich. Badanie wad soczewek grubych. Ceem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych cienkich soczewek: skupiającej (w oparciu o równanie soczewki i metodą Bessea) i rozpraszającej ( w oparciu o wcześniej wyznaczoną ogniskową układu soczewek) oraz zbadanie wad soczewki grubej (wyznaczenie miary aberracji serycznej, chromatycznej i astygmatyzmu). Zagadnienia do przygotowania: natura światła, odbicie światła, dyspersja, soczewki, rodzaje soczewek, właściwości soczewek i ich zastosowanie, powstawanie obrazu w soczewce skupiającej i rozpraszającej, równanie soczewki, metoda Bessea wyznaczania ogniskowej soczewki, wady soczewek grubych (aberracja seryczna, aberracja chromatyczna, astygmatyzm). Podstawowe pojęcia i deinicje Soczewki Przyjmiemy, że powierzchnie soczewek są ragmentami ser. Powierzchnie te mogą być wkęsłe ub wypukłe (w szczegóności płaskie), co daje wiee możiwości kształtowania soczewek: jako dwuwypukłe (Rys. a), dwuwkęsłe (Rys. b.), ae też wkęsło-wypukłe, płasko-wypukłe itd. Ze wzgędu na właściwości optyczne wygodniej jest podzieić soczewki na dwie kasy: skupiające (to takie, które są grubsze na środku, niż przy brzegach) i rozpraszające (na odwrót). Na rysunku pokazano przykłady biegu wiązki równoegłych promieni świetnych w przypadku soczewki: skupiającej (a) i rozpraszającej (b). a) b) F F - Rys. Położenie ogniska soczewki skupiającej (a) i rozpraszającej (b). Podstawowym parametrem charakteryzującym soczewkę jest jej ogniskowa. Rozważania zacznijmy od soczewki skupiającej. Jak pamiętamy ze szkoły, wiązka równoegłych promieni świetnych, równoegła do osi symetrii soczewki skupiającej (zwanej jej osią optyczną), po przejściu przez soczewkę, spotyka się w przybiżeniu w jednym punkcie F zwanym ogniskiem soczewki (Rys. a). Odegłość tego punktu od płaszczyzny środkowej soczewki nazywamy ogniskową soczewki. Można udowodnić że ognisko eżące po drugiej stronie

2 soczewki, znajduje się w tej samej odegłości od soczewki (nawet jeżei soczewka nie jest symetryczna). Można też wykazać, że światło wybiegające z ogniska, po przejściu przez soczewkę, biegnie równoege do osi optycznej. W przypadku soczewki rozpraszającej, w ognisku soczewki przecinają się tyko wsteczne przedłużenia promieni, które po przejściu przez soczewkę są rozbieżne (Rys. b). Ogniskową takiej soczewki uważamy za ujemną, a więc odegłość miedzy ogniskiem i soczewką wynosi w tym przypadku. Jeżei złożymy dwie soczewki o różnych ogniskowych i (soczewki muszą znajdować się bezpośrednio jedna przy drugiej), to taki zestaw działa jak soczewka o ogniskowej spełniającej związek (.) czyi ogniskowa takiego układu soczewek wynosi. (.) Obrazy tworzone przez soczewki skupiające y A B () () F F (3) x S O S B' A' Rys. Konstrukcja obrazu powstającego w soczewce skupiającej. Rozważmy układ przedstawiony na rysunku. Podwójna strzałka na środku jest symboem soczewki skupiającej, świeczka po ewej posłuży jako świecący przedmiot. Świecą wszystkie punkty świeczki: płomień świeci światłem własnym, pozostałe punkty - światłem odbitym (rozproszonym). Tak wiec każdy punkt przedmiotu wysyła rozbieżną wiązkę światła o barwie i natężeniu odpowiadających barwie i jasności danego punktu. Część tego światła pada na soczewkę. Prześedzimy, co dzieje się ze światłem opuszczającym dany punkt przedmiotu (wybraiśmy płomień) i padającym na soczewkę. Można udowodnić, że taka rozbieżna wiązka, nadbiegająca z jednego punktu, po przejściu przez soczewkę skupiającą, przetnie się za nią w przybiżeniu w jednym punkcie. Wyznaczymy go graicznie, jak na Rys.. W tym ceu rozważymy trzy szczegóne promienie: () promień równoegły do osi optycznej () promień przechodzący przez środek soczewki (3) promień przechodzący przez ognisko F.

3 Promień (), po przejściu przez soczewkę, przejdzie przez jej prawe ognisko F. Da promienia () soczewka zachowa się jak zwykła szyba i nie zmieni jego kierunku. Te dwa promienie przecinają się w punkcie, gdzie utworzy się obraz płomienia. Już tyko da kontroi sprawdzamy bieg promienia (3), który, jako przechodzący przez ognisko F, po przejściu przez soczewkę pobiegnie równoege do osi optycznej i dobiegnie do wyznaczonego już punktu przecięcia. Podobną konstrukcję naeżałoby wykonać da wiązek promieni opuszczających pozostałe punkty przedmiotu: każda z tych wiązek przetnie się w koejnych punktach obrazu. Obraz jak widać jest odwrócony. Możemy go zobaczyć na dwa sposoby: abo ustawimy ekran, na którym wszystkie wiązki promieni świetnych utworzą zestaw świecących punktów składających się na obraz, abo możemy spojrzeć z prawej strony (w ewo, wzdłuż osi optycznej oczywiście bez ekranu) wpuszczając do oka wiązki promieni, które, po przecięciu się, biegną już jako rozbieżne, czyi tak, jakby na miejscu obrazu stał świecący przedmiot. Naeży zastanowić się, daczego nie widać wtedy obrazu całego przedmiotu, tyko tę jego część, która wypada na te soczewki (odpowiedź na to pytanie naeży umieścić w sprawozdaniu). Znajdźmy położenie płaszczyzny, w której utworzy się obraz. Odegłość przedmiotu od soczewki niech wynosi x. Gdyby zachodziło x =, to rozbieżne wiązki światła padającego na soczewkę z przedmiotu, po przejściu przez soczewkę byłyby wiązkami równoegłymi, czyi przecinałyby się w nieskończoności. Datego da uzyskania obrazu musimy przedmiot ustawić w odegłości x większej od (bo wtedy wiązki promieni docierających do soczewki są mniej rozbieżne i soczewka już może je skupić). Z podobieństwa pary trójkątów S OF i A ' B' F, przy uwzgędnieniu równości S O AB oraz F B' y mamy: AB A' B' y a z podobieństwa trójkątów ABF i S OF podobnie otrzymujemy: AB x. A' B' y Dzieąc te równania stronami dostajemy x prowadzi do związku zwanego równaniem soczewki:,, co po krótkim rachunku, (.3) x y Zauważmy, że gdy przedmiot stoi bardzo daeko (duża wartość odegłości x), to zachodzi w przybiżeniu y (obraz powstaje w pobiżu ogniska). 3

4 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej na podstawie równania soczewki Da uzyskania obrazu odegłość ekranu od przedmiotu musi być większa od czterokrotnej ogniskowej soczewki. Takie ustawienie daje gwarancję, że między przedmiotem i ekranem znajdziemy takie położenie soczewki, przy którym na ekranie powstanie ostry obraz przedmiotu. Z równania soczewki wynika bowiem zaeżność x yx. (.4) x x Ustaiiśmy już, że soczewka skupiająca utworzy obraz na odpowiednio ustawionym ekranie, gdy x. Z wykresu unkcji y x widać, że gdy x rośnie od wartości, to y maeje od nieskończoności. Przygądając się uważnie wykresowi można zauważyć, że suma x+ y, będąca odegłością przedmiotu od obrazu, początkowo maeje, osiągając najmniejszą wartość da x= y, a potem znowu rośnie. Ta najmniejsza wartość wynosi 4, co można łatwo sprawdzić wstawiając do wzoru (.4) warunek x= y. Pomiar będzie poegał na wyznaczeniu odegłości x i y a następnie obiczeniu ogniskowej: y xy x x. (.5) x y Układ doświadczany do wyznaczania ogniskowych w oparciu o równanie soczewki przestawiony jest schematycznie na Rys. 3. przedmiot źródłoświatła x y soczewka ekran Rys. 3. Ława optyczna do wyznaczania ogniskowych soczewek. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessea Wykonując powyżej opisany pomiar zapewne zauważyiśmy, że przy ustaonej odegłości ( > 4) można znaeźć dwa położenia soczewki, dające ostry obraz. Przyczynę zrozumiemy rozwiązując równanie służące wyznaczeniu tego położenia. Da ustaonej odegłości mamy y = -x i równanie soczewki (.3) można zapisać w postaci: x x czyi x x 0 4

5 a więc są dwa rozwiązania: x 4, oraz x 4 (pamiętamy, że 4, więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest na pewno dodatnie). x x d Rys. 4. Metoda Bessea wyznaczania ogniskowych soczewek. Pomiar będzie tym razem poegał na wyznaczeniu odegłości d obydwu położeń soczewki dających ostry obraz przedmiotu (Rys.4). Znając tę odegłość, równą wg teorii d x x 4, wyznaczymy ogniskową (po przekształceniach): d. (.6) 4 Wady soczewek Wszystkie powyższe wywody teoretyczne naeży traktować jako przybiżone modee. W szczegóności nie jest prawdą, że rozważane wiązki promieni, po przejściu przez soczewkę, skupiają się dokładnie w jednym punkcie. Skutkuje to oczywiście nieostrością obrazów uzyskiwanych za pomocą prostych, pojedynczych soczewek. Mechanizmy powstawania tych niedokładności są różne tu omówimy podstawowe trzy z nich: aberrację seryczną, aberrację chromatyczną i astygmatyzm. Aberracja seryczna. Okazuje się, że w przypadku soczewek o powierzchniach serycznych, promienie przechodzące przez ich skraj skupiają się nieco biżej soczewki, niż te przechodzące przez okoicę środka. Tak więc gdyby występowała tyko ta wada optyczna, to ognisko, zamiast być punktem, byłoby krótkim odcinkiem eżącym na osi optycznej. W rzeczywistości jednak na aberrację seryczną nakładają się też inne niedoskonałości soczewki, o czym niżej. Aberracja chromatyczna. Znając rozszczepiające działanie pryzmatu mamy świadomość zaeżności współczynnika załamania światła od długości ai świetnej. Światło białe jest mieszanką a o różnych długościach, tak więc spodziewamy się, że ognisko (nawet to ideane, punktowe) da każdej długości ai, czyi da każdej barwy, będzie w innym miejscu. Najsiniej załamuje się światło ioetowe, więc ognisko ioetowe będzie eżało najbiżej soczewki. Ogniskowe odpowiadające koejnym barwom (niebieskiej, zieonej, żółtej i czerwonej) będą coraz dłuższe. 5

6 Astygmatyzm. Astygmatyzm jest wadą, która ujawnia się, gdy promienie padają na soczewkę pod kątem innym, niż kąt prosty (a prawie zawsze tak jest). Jeżei na skręconą wzgędem osi ławy soczewkę (na rysunku 5 mamy widok z góry) skierujemy wiązkę równoegłą, to okaże się że ogniskowa da promieni eżących w płaszczyźnie napiętej na pionie i osi ławy jest nieco dłuższa od ogniskowej da promieni eżących w płaszczyźnie poziomej. o o 5 0 Rys. 5. Ława optyczna do badania astygmatyzmu soczewek grubych (widok z góry). Zjawisko to zaobserwujemy stosując specjanie przygotowany przedmiot złożony z inii poziomych i pionowych - obrazy tych zespołów inii będą powstawały w różnych płaszczyznach: obrazy inii pionowych biżej soczewki, obrazy poziomych daej.. Przebieg pomiarów.. Ogniskowa soczewki wyznaczana bezpośrednio z równania soczewki Orientacyjną i bardzo przybiżoną wartość ogniskowej soczewki ustaamy rzutując na dłoń obraz odegłego przedmiotu (ampa na korytarzu, okno odegłe o kika metrów). Wracamy na stanowisko i na ławie optycznej ustawiamy świecący przedmiot i ekran we wzajemnej odegłości wyraźnie większej, niż czterokrotność ogniskowej, ustaonej wcześniej w przybiżeniu. Po wybraniu i ustaeniu pozycji przedmiotu i ekranu na ławie optycznej (od razu zapisujemy te dane, wraz z szacowanymi niepewnościami odczytu) ustawiamy na ławie soczewkę w uchwycie i szukamy takiego jej położenia, aby na ekranie powstał ostry obraz przedmiotu. Zapisujemy położenie soczewki. Czynność powtarzamy 0-krotnie, czyi, nie patrząc na wskaźnik położenia i nie sugerując się poprzednimi odczytami, dziesięciokrotnie szukamy położenia soczewki dającego ostry obraz. Obracamy soczewkę w uchwycie o 80 stopni i powtarzamy całą procedurę. Takie postępowanie posłuży sprawdzeniu, czy płaszczyzna soczewki przechodzi dokładnie przez oś jej uchwytu i wskaźnik położenia na ławie. Sprawa wyjaśni się dopiero przy opracowywaniu wyników, kiedy porównamy obydwa wyiczone średnie położenia. Może się okazać, że te średnie położenia będą się od siebie różniły o wiekość porównywaną ze standardowymi odchyeniami średnich, obiczonymi w zwykły sposób da każdej z serii dziesięciu pomiarów. Gdybyśmy wtedy do daszych rachunków przyjęi średnie położenie soczewki z jednej tyko z dwóch serii pomiarów, to do wyiczonego da tej serii odchyenia standardowego średniej naeżałoby dodać połowę wspomnianej różnicy jako błąd systematyczny, obciążający tę serię. Postąpimy jednak inaczej: obiczymy średnią arytmetyczną da wszystkich dwudziestu pomiarów i poiczymy odchyenie standardowe da tej łącznej serii, co uwoni nas w tym przypadku od obowiązku uwzgędnienia błędu 6

7 systematycznego wynikającego z wadiwej konstrukcji uchwytu. Nie oznacza to oczywiście, że mamy zapomnieć o błędach systematycznych (zapisanych już wcześniej) wynikających z wadiwego odczytu położeń przedmiotu i ekranu... Ogniskowa soczewki wyznaczana metodą Bessea Metoda Bessea uchodzi za bardziej precyzyjną od tej poprzedniej, a to z tej przyczyny, że automatycznie uwania nas od wyżej opisanych niedogodności płynących z możiwego nieprecyzyjnego wykonania uchwytu soczewki. Tak więc dziesięciokrotnie znajdujemy obydwa położenia soczewki dające ostre obrazy, zapisując wyniki na bieżąco..3. Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej Tworzymy układ złożony z dwóch stykających się soczewek: jednej skupiającej, której ogniskową znajdziemy później na podstawie poprzednich pomiarów, i drugiej, rozpraszającej, a więc o ujemnej, nieznanej ogniskowej. Soczewki trzeba tak dobrać, aby zestaw skupiał światło. Metodą Bessea mierzymy ogniskową zestawu i na podstawie wzoru (.) wyiczamy ogniskową. Układ ten ma mniejszą zdoność skupiającą, niż sama soczewka o ogniskowej (bo ta druga rozprasza), więc (ujemny mianownik), czyi 0, czego oczekiwaiśmy..4. Obserwacja wad soczewek Zgromadzone oprzyrządowanie (przesłony, itry barwne itd.) umożiwia: usuwanie z wiązki równoegłej promieni przyosiowych abo peryeryjnych (da zaobserwowania aberracji serycznej); przepuszczanie przez soczewkę światła o okreśonej barwie (ujawni się aberracja chromatyczna); odwzorowywanie przez skręconą soczewkę obiektów iniowych poziomych ub pionowych (zobaczymy skutki astygmatyzmu). Wykorzystamy tu zestaw inii poziomych i pionowych naniesionych na podświetoną płytkę, wykorzystywaną jako przedmiot. Przy ustaonym położeniu skręconej soczewki obrazy inii pionowych powstaną biżej soczewki, niż tych poziomych, co stwierdzimy, manewrując odpowiednio ekranem. W sprawozdaniu naeży zamieścić szczegółowy opis czynności, które pozwoiły zaobserwować wymienione wyżej trzy eekty. 3. Opracowanie wyników 3.. Pomiar ogniskowej bezpośrednio z równania Opracowanie wyników da tego pomiaru będzie poegało na wyiczeniu odegłości obrazu od przedmiotu (będzie to różnica dwóch położeń ustaonych na początku, obarczona 7

8 niepewnością systematyczną sys, którą oszacujemy, ogądając zestaw pomiarowy) i średniej wartości odegłości x soczewki od przedmiotu (z dwudziestu pomiarów rachunki naeży wykonać np. za pomocą programu Origin dostępnego w Pracowni wraz z instrukcją). Z tych danych obiczamy wartość ogniskowej: xy x( x). x y Niepewność zupełnej: wyznaczonej w ten sposób ogniskowej obiczymy metodą różniczki x x x x x Źródłem niepewności x jest oszacowany przez nas błąd systematyczny odczytu położenia przedmiotu (początek odcinka x) i niepewność średniego położenia soczewki (koniec odcinka x). Naeży pamiętać o tym, że niepewność x jest sumą (nie różnicą!) tych dwóch niepewności. Wspomnianą niepewność średniej z dwudziestu pomiarów obiczamy wykorzystując np. program Origin. Niepewność z koei jest sumą oszacowanych wcześniej niepewności systematycznych da odczytu położenia przedmiotu (początek odcinka ) i obrazu (koniec odcinka ). 3.. Pomiar ogniskowej metodą Bessea. Metodą różniczki zupełnej obiczamy niepewność wyznaczonej tą metodą ogniskowej d : 4 d x d d d 4. 4 Odchyenie d jest sumą odchyeń standardowych da obydwu średnich położeń soczewki (czyi położeń końców odcinka d), - tu ponownie korzystamy np. z programu Origin. Niepewność była omówiona wcześniej. Naeży porównać ze sobą niepewności metodami Pomiar ogniskowej soczewki rozpraszającej Obiczamy niepewność ogniskowej metodą różniczki zupełnej: da ogniskowej wyznaczonej obydwoma Niepewność ogniskowej zestawu wyiczymy w opisany wyżej sposób, właściwy da metody Bessea. Niepewność ogniskowej soczewki skupiającej obiczyiśmy już wcześniej.. 8