Modelowanie mikrosilnika elektrycznego w środowisku MATLAB/SIMULINK

Transkrypt

1 Ćwiczenie 1 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego w środowisku MATLAB/SIMULINK Instrukcja laboratoryjna Warszawa 2013

2 2 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 1. Modelowanie mikrosilnika elektrycznego w środowisku MATLAB/SIMULINK 1.1. WPROWADZENIE Wstęp Powstanie i rozwój techniki mikroprocesorowej zmieniły oblicze praktycznie wszystkich dziedzin techniki. Wszędzie tam, gdzie rozwiązanie problemu może odbyć się poprzez zastosowanie odpowiednich algorytmów obliczeniowych czy sterujących, wykorzystanie mikrokomputera stało się oczywistością. W tym kontekście radykalne przeobrażenia nie ominęły fazy projektowania. W czasach poprzedzających powszechną dostępność mikrokomputerów bardziej złożone obliczenia projektowe były realizowane jedynie w przypadku szczególnie ważnych i odpowiedzialnych projektów. W innych sytuacjach poprzestawano na wykorzystaniu uproszczonych zależności, nomogramów, czy wykresów. Obecnie na rynku znajduje się szeroka gama narzędzi programowych, które można wykorzystać do wspomagania prac projektowych. Są to, w przypadku prac inżynierskich, pakiety matematyczne, takie jak MATLAB, STATGRAPHICS, STATISTICA, MATHCAD i inne, które stanowią zintegrowane środowiska zawierające własne języki programowania wysokiego poziomu. Pakiety te z zasady umożliwiają rozwiązywanie układów równań różniczkowych i algebraicznych, a tym samym badanie systemów dynamicznych opisanych takimi równaniami. Istnieją także specjalizowane języki symulacyjne (np. AMIL, TUTSIM) przeznaczone wyłącznie do prowadzenia badań symulacyjnych. Możliwość badania dynamiki układów na drodze obliczeniowej stanowi zachętę do wykorzystywania symulacji komputerowej w procesie projektowania. Eliminacja lub zredukowanie udziału prac doświadczalnych w istotny sposób obniża koszty badań, jednak wymaga dysponowania wiarygodnymi matematycznymi modelami projektowanych układów. Analiza katalogów podzespołów napędowych [32, 33, 34, 35, 36, 37] potwierdza występowanie tendencji do udostępniania przez producentów odbiorcom coraz większej ilości informacji o charakterystykach wyrobów, a nawet oferowania specjalnego oprogramowania obliczeniowego [33, 36] Elektryczne układy napędowe urządzeń mechatroniki Elektryczny układ napędowy jest to zespół elementów służących do zamiany elektrycznego sygnału sterującego na wielkości mechaniczne, niezbędne do zrealizowania założonych funkcji przez napędzany mechanizm. Tak więc projektowanie wykonawczych zespołów urządzeń mechatroniki można zazwyczaj sprowadzić do dwóch zadań: skonstruowania mechanizmu i doboru układu napędowego. Ogólny schemat zespołu wykonawczego zamieszczono na rys. 1.1.

3 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 3 Sygnały sprzężenia zwrotnego Sygnał sterujący Elektryczny układ napędowy Moc mechaniczna Napędzany mechanizm Ociążenie mechaniczne Zasilanie elektryczne Rys Schemat zespołu wykonawczego Do analizy działania zespołu wykonawczego np. w celu właściwego zaprojektowania układu napędowego konieczna jest znajomość charakterystyk zarówno mechanizmu, jak i samego układu. Prowadzenie takich badań z zastosowaniem symulacji komputerowej wymaga, aby charakterystyki te miały postać akceptowaną przez wykorzystywane oprogramowanie. Z reguły oznacza to potrzebę korzystania z matematycznych modeli zespołów. Model matematyczny jest to uproszczony obraz danego układu lub procesu fizycznego, wyrażający w języku matematycznym najistotniejsze z punktu widzenia zastosowań cechy układu rzeczywistego [19]. W zależności od dostępnych danych oraz cech używanego oprogramowania modele te przedstawia się na ogół za pomocą: układów równań różniczkowych, transmitancji operatorowych, równań stanu Modelowanie układu napędowego Najbardziej uzasadnioną drogą tworzenia matematycznego modelu całego układu napędowego jest modelowanie, które polega na podziale rozpatrywanego systemu na podzespoły o znanych lub dogodnych do wyznaczenia modelach i późniejszym połączeniu tych modeli [10]. O takim podejściu przesądza korzystanie przez konstruktora w znacznym zakresie z gotowych podzespołów. Praktyka pokazuje, że łączenie modeli realizowane jest na ogół dopiero na poziomie oprogramowania symulacyjnego. Budowanie modeli tą metodą nosi także nazwę modelowania strukturalnego [24]. W ogólnym przypadku elektryczny układ napędowy można przedstawić w postaci szeregowego połączenia trzech elementów: układu sterującego, silnika elektrycznego, zespołu przeniesienia napędu, oraz sygnałów sprzężenia zwrotnego, co zilustrowano na schemacie blokowym (rys. 1.2).

4 4 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego Układ napędowy Sygnały sterujące Sygnały sprzężenia zwrotnego Układ zasilania (sterownik) Ob ciążenie elektryczne Silnik napędowy Zredukowane ob ciążenie Zespół przeniesienia napędu Ob ciążenie Napędzany mechanizm Moc elektryczna Moc mechaniczna Moc mechaniczna Moc elektryczna Rys Zespoły funkcjonalne elektrycznego układu napędowego Do przeprowadzenia badań symulacyjnych układu napędowego niezbędna jest więc znajomość matematycznych modeli wyróżnionych podzespołów. Są to z reguły modele o wielu wejściach i wielu wyjściach. Symulacja może mieć na celu badanie przebiegu zjawisk występujących w tych podzespołach, bądź też dobór właściwych sposobów ich sterowania. Pierwszy przypadek wymaga posłużenia się tzw. poznawczymi modelami podzespołów tj. modelami, których współczynniki są parametrami analizowanych zjawisk. W drugim przypadku wystarczające jest korzystanie z tzw. modeli zastępczych, wiernie oddających zachowanie rzeczywistych obiektów w odpowiedzi na określone wymuszenia [5, 6] Symulacja pracy układu Pod pojęciem symulacji działania systemu rozumiane jest rozwiązanie zadania zapisanego w postaci modelu matematycznego z użyciem symulatora, najczęściej w dziedzinie czasu [19]. W przypadku układów napędowych symulacja dotyczy z reguły czasowych odpowiedzi układu na wymuszenia w postaci sygnałów sterujących, które są funkcją czasu i zdarzeń w systemie, oddziaływujących na wejścia poprzez pętle sprzężenia zwrotnego. Symulacja komputerowa wymaga wcześniejszego zapisania modelu matematycznego w postaci symbolicznej za pomocą operatorów wybranego języka symulacyjnego. Układ ten jest następnie rozwiązywany metodami numerycznymi, przy czym symulatorem jest program komputerowy, który obecnie bardzo często stanowi element większego pakietu matematycznego. Wyniki symulacji w postaci liczbowej (np. szeregów czasowych) lub zależności graficznych stanowią podstawę do formułowania wniosków dotyczących zamodelowanego układu Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się z zasadami modelowania układów elektromechanicznych w języku SIMULINK. 2. Poznanie możliwości praktycznego wykorzystania symulacji komputerowej w pracach inżynierskich.

5 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego PRZEDMIOT ĆWICZENIA I POMOCE Przedmiot ćwiczenia Przedmiotem ćwiczenia jest matematyczny model mikrosilnika prądu stałego Matematyczny model mikrosilnika prądu stałego Przetwarzanie energii w mikrosilniku prądu stałego opiera się na dwóch podstawowych zależnościach liniowych [7,8]: - momentu M rozwijanego przez silnik od pobieranego prądu I M K I, (1.1) - siły elektromotorycznej U ind indukowanej w uzwojeniu od prędkości kątowej ω T Uind K E, (1.2) w których współczynnikami proporcjonalności są stałe silnika: K E - stała napięcia, K T - stała momentu. Uzupełniając te zależności o składniki dynamiczne związane z przyspieszaniem elementów inercyjnych i narastaniem prądu w uzwojeniach silnika, otrzymuje się układ dwu równań różniczkowych stanowiących podstawowy model matematyczny mikrosilnika prądu stałego [8, 9]: - równanie napięć di u Rti L K E, (1.3) dt - równanie momentów d KT i J s Jred KD M F M Fred sgn M red. (1.4) dt W tabeli 1.1 zamieszczono wykaz wielkości i współczynników występujących w powyższych równaniach. Podane jednostki są dobrane w taki sposób, aby zapewnić poprawne rozwiązywanie układu. W opracowywanym programie należy więc zastosować te właśnie jednostki Matematyczny model obciążeń W programie symulacyjnym obciążenie silnika modelowane jest jako zredukowane do jego wałka obciążenie charakteryzujące napędzany mechanizm. Ma ono postać momentów siły: tarcia M Fred [mnm] i czynnego M red [mnm], a także masowego momentu bezwładności J red [gm 2 ], które mogą być funkcjami czasu, kąta obrotu, prędkości kątowej i innych wielkości np. temperatury.

6 6 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego Tabl Jednostki współczynników i zmiennych w programie symulacyjnym Zmienne i prąd twornika ma J red zredukowany masowy moment bezwładności napędzanych zespołów gm 2 M Fred zredukowany moment tarcia obciążenia M red zredukowany moment czynny obciążenia mnm mnm u napięcie zasilania mv ω prędkość kątowa wirnika rad/s Współczynniki J s K D K E K T L M F R t masowy moment bezwładności wirnika (ang. rotor interia) współczynnik tarcia lepkiego w silniku (ang. viscous damping constant) stała napięcia (ang. back EMF constant) stała momentu (ang. torque constant) indukcyjność uzwojenia twornika (ang. rotor inductance) moment tarcia statycznego w silniku (ang. frictional torque) całkowita rezystancja obwodu twornika (ang. terminal resistance) gm 2 mnm/rad/s = mnm s mv/rad/s mnm/ma H mnm Ω Pakiet matematyczny MATLAB i nakładka symulacyjna SIMULINK [16, 17, 29] Podstawowe informacje o pakiecie MATLAB MATLAB jest programem przeznaczonym do wykonywania różnorodnych obliczeń numerycznych. Na całość pakietu składają się następujące elementy: interpreter języka programowania wraz z bibliotekami podstawowych działań i obliczeń na macierzach (odwracanie macierzy, rozkłady macierzy, wartości własne i inne) standardowe biblioteki procedur napisanych w języku programu MATLAB (w tym obliczanie wartości funkcji elementarnych i specjalnych, całkowanie numeryczne, rozwiązywanie układów równań różniczkowych zwyczajnych, podstawowe obliczenia statystyczne)

7 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 7 biblioteki dodatkowe (ang. toolboxes), które zawierają procedury wspomagające obliczenia numeryczne w różnych zastosowaniach nakładki dodatkowe programy napisane w języku MATLAB, które ułatwiają realizację obliczeń określonego rodzaju np. Simulink nakładka umożliwiająca interakcyjne definiowanie struktury układu sterowania oraz wygodną jego symulację MATLAB stanowi w istocie interpreter języka, zaprojektowanego specjalnie z myślą o obliczeniach numerycznych. Praca w środowisku MATLAB-a przypomina pracę w typowym systemie operacyjnym (np. DOS, UNIX) polega na wydawaniu poleceń, które po zatwierdzeniu są wykonywane przez interpreter. W ten sposób bezpośrednio z wiersza poleceń można zdefiniować zmienną, wywołać funkcję lub podprogram zbudowany z poleceń interpretera, a zapisany w specjalnym zbiorze tekstowym zwanym skryptem. Jedynym używanym w MATLAB-ie typem danych są macierze. Obok normalnej funkcji numerycznej występują one także w roli wartości logicznych oraz łańcuchów tekstowych SIMULINK SIMULINK jest interaktywnym pakietem przeznaczonym do modelowania, symulacji i analizy dynamicznych układów ciągłych, układów dyskretnych w czasie oraz mieszanych tzn. dyskretno-ciągłych. SIMULINK jest zintegrowany z MATLAB-em i nie jest możliwe jego używanie bez zainstalowania MATLAB-a. Praca z SIMULINKIEM obejmuje 2 etapy. 1. Definiowanie modelu wykonuje się w postaci schematu blokowego czyli graficznie. W otwartym oknie umieszcza się bloki pochodzące z bibliotek SIMULINK-a i łączy się je liniami reprezentującymi przepływ sygnałów. Modele można definiować także w postaci funkcji o specjalnej strukturze, zwanej S-funkcją i zapisanej zgodnie z syntaktyką języka MATLAB lub języka C. 2. Analiza modelu jest realizowana przy użyciu algorytmów numerycznych działających wyłącznie na modelach graficznych, zbudowanych z bloków bibliotecznych SIMULINK-a. Dla poprawnie zdefiniowanego modelu możliwe do wykonania są: symulacja, linearyzacja, określenie punktów równowagi. Na SIMULINK składają się następujące elementy: Biblioteka bloków zestawy bloków używanych do graficznego definiowania modeli, Algorytmy numeryczne służące do rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych i linearyzacji modeli oraz określania ich punktu równowagi, Funkcje używane przy wykonywaniu symulacji modeli SIMULINK-a z okna poleceń MATALB-a, Funkcje stosowane przy konstruowaniu modeli i ich maskowaniu. Praca z SIMULINKIEM odbywa się w dwóch oknach: Oknie głównym wywoływanym z okna poleceń MATLAB-a przez zrealizowanie polecenia simulink zawierającym menu i ikony służące do otwierania poszczególnych bibliotek Oknie modelu (roboczym) w nagłówku ma nazwę modelu i dostępne wszystkie opcje menu głównego. Takie okno jest stosowane do konstruowania modeli z wy-

8 8 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego korzystaniem bloków bibliotecznych. Menu okna roboczego zawiera następujące elementy: File otwieranie, zamykanie okien modeli oraz zapis zawartości okien do plików, Edit typowe funkcje edycyjne, View ustawianie widoku, Simulation uruchamianie i zatrzymywanie symulacji, wybór metody i ustalenie jej parametrów, Format łączenie i rozdzielanie obiektów, maskowanie, obracanie bloków, optymalizowanie połączeń, wygląd ekranu, czcionki, cienie itp., Tools narzędzia służące do oceny symulacji, w tym debugger, Help zbiór objaśnień poszczególnych funkcji Simulinka. Edytor graficzny SIMULINK-a służy do graficznego definiowania modeli w postaci schematów blokowych. Podstawowe elementy edytora to: Blok reprezentujący określoną funkcję lub operację, na który składają się: symbol graficzny, nazwa, wejścia i wyjścia, okno dialogowe; Napis stanowiący komentarz do modelu; Linia reprezentująca przepływ sygnału od wyjścia bloku do wejścia innego bloku. Na rys. 1.3 przedstawiono wybrane bloki umieszczone w bibliotekach SIMULINK-a, które będą potrzebne przy definiowaniu modelu układu napędowego. Są to: W bibliotece Continuous (Elementy ciągłe): Derivative różniczkowanie, Integrator całkowanie; W bibliotece Discontinuities(Elementy z nieciągłościami): Saturation ograniczenie (nasycenie); W bibliotece Math Operations (Operacje arytmetyczne): Sum suma algebraiczna, Product iloczyn, Gain wzmocnienie, Divide dzielenie, Sign znak wielkości wejściowej; W bibliotece Ports and Systems (Porty i podsystemy): In (inport), port wejściowy, Out (outport) port wyjściowy; W bibliotece Sinks (Odbiorniki): Scope rejestrator odpowiedzi czasowych;

9 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 9 W bibliotece Sources (Źródła): Constant blok służący do wprowadzania stałej wartości wielkości lub parametru, Step skok sygnału; W bibliotece User Defined Functions (Funkcje zdefiniowane przez użytkownika): Fcn funkcja algebraiczna, trygonometryczna lub wykładnicza zdefiniowana na sygnale wejściowym (u) Budowanie modelu w SIMULINK-u Przy budowaniu modelu symulacyjnego w SIMULINKU postępuje się zgodnie z poniższym schematem. 1. Otwarcie okna roboczego i ustawienie wyglądu ekranu 2. Wybranie bloku z biblioteki i przemieszczenie do okna roboczego 3. Połączenie z innymi blokami za pomocą linii 4. Otwarcie okna dialogowego i wprowadzenie parametrów bloku 5. Umieszczenie opisu tekstowego 6. Powtórzenie czynności 2-5 dla wszystkich bloków tworzących model 7. Poprawienie połączeń 8. Zapisanie pliku W przypadku powtarzających się fragmentów modelu celowe jest sporządzenie tzw. podsystemu i wykorzystanie go w dalszych pracach jako pojedynczego bloku Symulacja Symulacja działania zamodelowanego układu wywoływana jest z submenu Simulation komendą Start. Wcześniej należy wybrać metodę obliczeniową i jej parametry wybierając polecenie Simulation parameters w tym samym submenu. SIMULINK zawiera wiele algorytmów rozwiązywania układów równań różniczkowych (solvers) w dwóch kategoriach: Zmiennokrokowe: Rungego-Kutty, Dormanda-Prince a, Adamsa-Bashforta- Moultona, NDF, Rosenbrocka, trapezowa, discrete (zmiennokrokowa); Stałokrokowe: Dormanda-Prince a, Rungego-Kutty czwartego rzędu, Bogackiego- Shampine, Heuna, Eulera, discrete (stałokrokowa). Przed wykonaniem właściwych badań symulacyjnych warto upewnić się, że badany układ jest zamodelowany prawidłowo oraz że metoda obliczeniowa i jej parametry są dobrane poprawnie. Dobrym sposobem sprawdzenia jest przeprowadzenie eksperymentu symulacyjnego, którego wynik jest z góry znany WYKONANIE ĆWICZENIA Cz. 1 - Symulacyjny model mikrosilnika prądu stałego Opracowanie modelu Uruchomić komputer. Wywołać pulpit pakietu MATLAB. Otworzyć główne okno SIMULINKA przez wpisanie polecenia "simulink" w wierszu poleceń głównego okna MATLABA lub naciśnięcie ikony w menu. Po zgłoszeniu się głównego okna otworzyć okno

10 10 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego robocze. Korzystając z bibliotek modeli programu zapisać model mikrosilnika prądu stałego bazując na danych katalogowych dostarczonych przez prowadzącego ćwiczenia. Zwrócić uwagę na użycie jednostek podanych w tabeli 1.1. Jako wielkości wyjściowe modelu przyjąć prąd i oraz prędkość kątową ω. Prąd silnika wyznaczać z równania napięć ze składnika R t i, a prędkość kątową całkując przyspieszenie kątowe z dynamicznego składnika w równaniu ruchu. Bloki użyte do zbudowania modelu nazwać (skrótowo) zgodnie z ich przeznaczeniem. Nie używać polskich znaków! Moment tarcia statycznego w silniku obliczać odejmując od całkowitego momentu oporów ruchu silnika składnik proporcjonalny do prędkości M F K I K, (1.5) T przy czym: I 0 prąd biegu jałowego (ang. no-load current) [ma], ω 0 prędkość kątowa biegu jałowego [rad/s] Uruchomienie modelu Wprowadzić do modelu zerowe wartości zewnętrznych obciążeń Jako napięcie sterujące silnika przyjąć stałe napięcie zasilania 0 D 0 M Fred 0. (1.6) M red 0. (1.7) J red 0. (1.8) u U z, (1.9) gdzie U z oznacza znamionową wartość napięcia zgodnie z katalogiem. Sygnały wyjściowe modelu (i, ω) dołączyć do modeli rejestratorów np. Scope. Ustalić metodę i parametry symulacji w submenu Simulation/Simulation parameters. W szczególności wstępnie ustawić końcową chwilę symulacji na 0,1 do 0,2 s. Uruchomić symulację (Simulation/Start). Sprawdzić poprawność modelu i użytej metody analizując wykres odpowiedzi prędkościowej, który powinien mieć charakter funkcji wykładniczej. Porównać parametry odpowiedzi tzn. jej amplitudę i stałą czasową odpowiednio z prędkością kątową biegu jałowego i mechaniczną stałą czasową silnika według karty katalogowej. W razie wystąpienia niezgodności odnaleźć i usunąć błędy z modelu lub zmienić parametry symulacji. Częstymi przyczynami błędów są: nieprawidłowo przeliczone wartości stałych: napięcia lub momentu (niewłaściwy kształt odpowiedzi), nieprawidłowo przeliczony masowy moment bezwładności wirnika (zbyt duża stała czasowa), niewłaściwie dobrane parametry symulacji np. zbyt duży maksymalny krok całkowania Utworzenie modelu podsystemu Po uzyskaniu prawidłowej odpowiedzi modelu zastąpić liczbowe wartości współczynników modelu silnika ich symbolami np. zgodnie z tabl. 1.1 (KE, KT, KD, Rt, L, Js, MF). Zanotować postać użytych symboli! Zastąpić bloki sygnałów wymuszających: napięcia sterującego u, zewnętrznego momentu czynnego M red, zewnętrznego momentu tarciowego M Fred,

11 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 11 zredukowanego momentu bezwładności obciążenia J red portami wejściowymi In nadając im nazwy zgodne z symbolami reprezentowanych wielkości. Zastąpić modele rejestratorów prądu i prędkości kątowej portami wyjściowymi Out, nadając im odpowiednio nazwy i, omega. Posługując się myszą obrysować cały model zaznaczając wszystkie jego składowe bloki. Wykonać operację grupowania obiektów (Ctrl+G). Zaznaczyć ikonę utworzonego w ten sposób podsystemu i wybrać opcję maskowania (Edit/Mask subsystem lub Ctrl+M). Otworzy się okno definicyjne, które ma cztery zakładki: Icon, Parameters, Initialization i Documentation. Przy opisanym niżej definiowaniu bloku nie używać polskich znaków! W oknie Parameters określić wygląd okna dialogowego dla maskowanego bloku wpisując w kolejne wiersze tablicy tekstowe informacje (polecenia) dla użytkownika np.: Stala napiecia KE [mvs] i odpowiadające im symbole parametrów użytych w modelu podsystemu (w tym przypadku KE). Wielkość liter w symbolach parametrów nie ma znaczenia. W oknie Documentation wpisać w odpowiednie pola teksty z informacjami dotyczącymi maskowanego bloku (nazwa, wprowadzenie, pomoc kontekstowa). W oknie Icon można za pomocą instrukcji graficznych MATLABA określić wygląd ikony maskowanego podsystemu. Zaakceptować okno definicyjne. Kliknąć dwukrotnie myszą zamaskowany blok. Do otwartego w ten sposób okna dialogowego wprowadzić parametry modelowanego wcześniej silnika. Sprawdzić prawidłowość działania modelu Zapisanie wyników pracy Zamaskowany model silnika zapisać w przenośnej pamięci lub wysłać na wybrany adres poczty elektronicznej. Będzie on potrzebny do wykonania ćwiczenia nr SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA W sprawozdaniu z ćwiczenia należy zamieścić: a) matematyczny opis zadania - model mikrosilnika prądu stałego; (określenie model oznacza zarówno zbiór równań, jak i pełny wykaz wartości współczynników w równaniach); b) kartę katalogową modelowanego silnika podpisaną nazwiskiem wykonującego, c) symulacyjny model silnika - wydruk schematu blokowego z programu SIMULINK (p ), d) odpowiedzi nieobciążonego silnika - wydruki z programu wraz z oceną ich zgodności z parametrami katalogowymi (p ), e) widok okna dialogowego zamaskowanego bloku i okno pomocy kontekstowej Help (p ).

12 12 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego 1.5. LITERATURA 1. Acarnley P. P.: Stepping Motors: a guide to modern theory and practice. Peter Peregrinus Ltd. New York Bodnicki M., Z. Mrugalski Z., Oleksiuk W., Wierciak J.: Theoretical-Experimental Method of Analysing Drive Systems Used in Precision Devices. Proceedings of International Conference Engineering Mechanics 96. Svratka, Czech Republic, 1996, vol. 2, s Elektryczne maszynowe elementy automatyki. Praca zbiorowa pod red. J. Owczarka. WNT. Warszawa Gajda J., Szyper M.: Modelowanie i badania symulacyjne systemów pomiarowych. Wyd. Wydz. Elektrotechniki Automatyki Informatyki i Elektroniki AGH. Kraków Gajda J.: Mierzalność modeli złożonych obiektów przemysłowych. Zeszyty Naukowe AGH nr Kraków Janiszowski K.: Podstawy wyznaczania opisu i sterowania obiektów dynamicznych. WPW. Warszawa Jucker E.: Physical Properties of Small DC Motors Using an Ironless Rotor. Portescap, La Chaux-de-Fonds. Switzerland, Kenjo T., Nagamori C.: Dvigateli postojannogo toka s postojannymi magnitami. Énergoatomizdat. Moskva Kuczmański A., Pochanke A., Sochocki R.: Model analogowy mikrozespołu maszyn magnetoelektrycznych w układzie prędkościowym. Przegląd Elektrotechniczny. 1984, nr 8, str Ljung L.: System Identification: Theory for the User. Prentice Hall Makiuchi Y.: DC Motor Encoders Becoming a Focus of Attention. JEE. 1981, Nr 179, v.18, str Market for Industrial Micromotors Enters Fullscale Growth. JEE. 1982, Nr 192, v.19, str Micromotor Horizons Brighten with Electronics. JEE. 1982, Nr 192, v.19, str Mikrosilniki elektryczne. Badanie właściwości statycznych i dynamicznych. Praca zbiorowa pod redakcją W. Jaszczuka. PWN. Warszawa Minegishi R.: Trends of DC Brushless Mini-Motor Fans. JEE. 1982, Nr 192, v.19, str Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink. Poradnik użytkownika. Wyd. Helion. Gliwice Mrozek B., Mrozek Z.: Matlab 5.x. Simulink 2.x. Poradnik użytkownika. Wyd. PLJ. Warszawa Oleksiuk W., Wierciak J.: The Effect of Working Characteristic of a Spiroid Transmission Gear on Performance of the DC Driver Motor. International Seminar on "Problems of the Dynamics of Machine Aggregates". Bratislava, Slovak Republic, May 1994

13 Modelowanie mikrosilnika elektrycznego Osowski S.: Modelowanie układów dynamicznych z zastosowaniem języka Simulink. OWPW. Warszawa Sochocki R.: Mikromaszyny elektryczne. OWPW. Warszawa Stabrowski M.: Język symulacji układów dynamicznych AMIL i jego otoczenie zintegrowane. Materiały sympozjum "Modelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych", s Krynica września 1991, str Wydawnictwo AGH. Kraków Stabrowski M.: Nowe narzędzia w systemie symulacyjnym AMIL - interakcyjna grafika i podprogramy. Materiały sympozjum "Modelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych". Krynica, września 1993, str Wydawnictwo Zakładu Metrologii AGH. Kraków Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu układów regulacji. WNT. Warszawa Szyper M.: Modelowanie systemów pomiarowych i ich elementów. Materiały sympozjum "Modelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych", Krynica września 1992, str Wydawnictwa AGH. Kraków Tabuchi S.: The Future for Coreless Motors. JEE. 1982, Nr 192, v.19, str Tetsugu Y.: The Expanding Applications of Precision Micromotors. JEE. 1981, Nr 179, v.18, str Wierciak J.: Wpływ metody badawczej na wyniki wyznaczenia charakterystyk mikrosilnika prądu stałego. Praca doktorska. Politechnika Warszawska. Warszawa Wróbel T.: Silniki skokowe. WNT. Warszawa Zalewski A., Cegieła R.: Matlab obliczenia numeryczne i ich zastosowanie. Wyd. Nakom. Poznań Żelazny M.: Podstawy automatyki. PWN. Warszawa Życki Z.: Parametry silników wykonawczych prądu stałego o małych bezwładnościach wirników. Wiadomości Elektrotechniczne. 1976, nr 18, str API Portescap. Miniature High Performance Motors & Peripheral Components for Motion Solutions. Katalog MAXON. Katalog mikrosilników 34. MIKROMA. Silniki skokowe. Katalog wyrobów 35. PARKER. Compumotor microstepping linear motion systems. Katalog 36. PORTESCAP. Motion systems. Katalog silników 37. VEXTA. DC stepping motors. Katalog