Metody numeryczne - laboratorium. Matlab 6.1

Transkrypt

1 Metody numeryczne - laboratorium. Matlab 6.1 wersja 2.3 Kwiecień 2002 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 1

2 Spis treści 1 Matlab - podstawy Wiadomości ogólne Praca z Matlab -em Wyrażenia w Matlab -ie Zmienne Liczby Operatory Funkcje Pliki skryptowe i funkcjne Rysunki w Matlab -ie - polecenia plot i subplot Pliki danych Polecenie save Polecenie load Literatura Nieuniknione błędy Miary błędów Reprezentacja binarna liczby rzeczywistej Zamieniamy całkowitą potęgę do układu binarnego Zamieniamy rzeczywistą mantysę do układu binarnego Liczby użyteczne i nieużyteczne Macierze i operacje na nich, techniki przetwarzania macierzy Mnożenie macierzy Potęgowanie i dzielenie macierzy Transpozycja i sprzężenie macierzy Rząd macierzy Wyznacznik macierzy Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 2

3 3.6 Macierze specjalne Macierz diagonalna (przekątniowa) Macierz jednostkowa Macierz permutacji Macierz trójkątna Macierz odwrotna Macierz symetryczna Macierz ortogonalna Układy równań liniowych Rozwiązanie formalne dla kwadratowej macierzy układu Eliminacja Gaussa Rozwiązanie układu diagonalnego Rozwiązanie układu trójkątnego Eliminacja Gaussa Eliminacja Gaussa z wyszukiwaniem elementu głównego Rozwiązanie układu z użyciem opratora dzielenia lewostronnego Co robi operator dzielenia lewostronnego? Aproksymacja Aproksymacja linią prostą Aproksymacja Co jeszcze robi operator dzielenia lewostronnego? Interpolacja Interpolacja wielomianami sklejanymi Interpolacja kawałkami liniowa Interpolacja kawałkami sześcienna - Hermite Interpolacja kawałkami sześcienna - splajny Funkcje interpolacyjne Matlab -a Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 3

4 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 4

5 Wstęp 1. W obliczniach numerycznych (w przeciwieństwie do obliczeń symbolicznych) dopuszczamy błąd w reprezentacji liczby. 2. W celu zaoszczędzenia pamięci komputera stosuje się różne typy zmiennych. 3. Dla potrzeb nauki praktycznego zapoznania się z metodami numerycznymi będziemy stosować program Matlab (MATrix LABoratory), który wykorzystuje tylko jeden typ zmiennych - macierz. A mn = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 5

6 1. Matlab - podstawy 1.1. Wiadomości ogólne. Matlab umożliwia wykorzystanie metod rachunku macierzowego za pomocą interaktywnego interfejsu i prostego języka poleceń. Wszystkie polecenia są formułowane w trybie tekstowym, a podstawową strukturą danych jest macierz, której elementami mogą być liczby rzeczywiste lub zespolone. W skład interfejsu wchodzą między innymi: Command Window - okno poleceń Command History - okno poprzednich poleceń Launch Pad - okno dostępu do pakietów Matlab -a Current Directory - okno katalogu roboczego Workspace - inoformacje o zmiennych w przestrzeni roboczej Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 6

7 1.2. Praca z Matlab -em Praca z Matlab -em przypomina pracę w typowym systemie operacyjnym (DOS, UNIX) i polega na wydawaniu poleceń, które po zatwierdzeniu są wykonywane przez interpreter. polecenie może być jedno, bądź jest to ciąg poleceń oddzielonych przecinkiem lub średnikiem. pliki, które są używane w pakiecie Matlab mają rozszerzenie *.m w Matlab -ie są rozróżnialne małe i duże litery! Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 7

8 Podstawowe polecenia Matlab -a: Enter wykonanaj polecenie ponowne wyświetlenie polecenia na ekranie help pomoc na dowolny temat help nazwa tematu pomoc na określony temat exit zakończenie pracy z Matlab -em (lub quit) demo pokaz przykładowych zastosowań Matlab -a Polecenia DOS-a: dir type nazwa pliku!notepad wyświetlenie zawartości aktualnego katalogu wyświetlenie zawartości pliku wywołanie Notatnika (lub innego programu) Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 8

9 W Matlab -ie podstawowym poleceniem jest instrukcja przypisania: zmienna = wartość >> x=5 x = 5 >> z=6; jeśli na końcu polecenia zostanie postawiony średnik, to wartość zmiennej nie będzie wyświetlona, zmienna = wyrażenie >> 5+4 ans = 9 >> z=5*7 z = 35 jeśli nie zostanie zdefiniowana zmienna (nie nadana nazwa zmiennej), to Matlab przypisuje jej nazwę zmiennej roboczej ans, Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 9

10 1.3. Wyrażenia w Matlab -ie. Matlab udostępnia użytkownikowi polecenia - komendy, które w odróżnieniu od innych języków programowania związane są z macierzami. Polecenia wykonują operacje na: zmiennych, liczbach, operatorach, funkcjach. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 10

11 Zmienne. Matlab nie wymaga deklaracji typu i wymiarów zmiennych. Automatycznie tworzy zmienną i przydziela jej domyślny obszar pamięci. Jeżeli zmienna już istnieje, Matlab zmienia jej zawartość i w sposób dynamiczny przyporządkowuje jej wymagany obszar pamięci. Polecenie: >> num_students = 25 tworzy macierz 1 1 o nazwie num_students i przechowuje w niej wartość 25. Nazwa zmiennej musi zaczynać się od litery alfabetu, a po niej może występować dowolny znak alfanumeryczny lub znak podkreślenia. Maksymalna długość nazwy zmiennej wynosi 31 znaków. Przy wyborze nazw zmiennych należy pamiętać o tym, że Matlab rozróżnia małe i duże litery. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 11

12 Liczby. Matlab używa konwencjonalną notację dziesiętną, z kropką dziesiętną. W przypadku notacji naukowej litera e służy do określenia wykładnika potęgi dziesięć. W przypadku liczb zespolonych używa się zarówno literę i, jak j przy części urojonej liczby zespolonej. Przykłady liczb w programie Matlab : e e23 1i j 3e5i Wszystkie liczby są zachowywane w formacie długim (z ang. format long). Na komputerach wykorzystujących 32-bitowy procesor odpowiada to dokładności do 16 cyfr znaczących po kropce dziesiętnej i zakresowi od do Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 12

13 Polecenie format kontroluje format liczb wyświetlanych przez program MATLAB. Polecenie jest jedynie odpowiedzialne za sposób wyświetlania liczb, a nie dokładność obliczeń i sposób ich zapamiętywania. Ćwiczenie: Format liczby >> a = polecenie nadania wartości zmiennej a >> a wyświetlenie wartości zmiennej a >> format short e >> a >> format short >> a >> format long >> a >> format long e >> a ustawienie formatu liczb na ustawienie formatu liczb na format format Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 13

14 Operatory. Operatory arytmetyczne (macierzowe i tablicowe) Symbol operacji Znaczenie Symbol operacji Priorytet macierzowej tablicowej operacji ^ potęgowanie.^ najwyższy sprzężenie nie ma najwyższy. transpozycja nie ma najwyższy * mnożenie.* niższy / dzielnie prawostronne./ niższy \ dzielenie lewostronne.\ niższy + dodawanie + najniższy - odejmowanie - najniższy Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 14

15 Operatory logczne Symbol Znaczenie < mniej niż <= mniej niż lub równe > większe niż >= większe niż lub równe == równa się ~= nie równa się & iloczyn logiczny (i) suma logiczna (lub) ~ zaprzeczenie (nie) Uwaga! W języku Matlab tylko liczba zero ma wartość logiczną false - fałsz, pozostałe liczby mają wartość logiczną true - prawda. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 15

16 Funkcje. Matlab udostępnia użytkownikowi szereg standardowych elementarnych funkcji obejmujących m.in. abs, sqrt, exp i sin. Większość tych funkcji akceptuje zespolone argumenty. >> help elfun polecenie wyświetlające listę elementarnych funkcji matematycznych >> help specfun >> help elmat polecenie wyświetlające listę zaawansowanych matematycznych i macierzowych funkcji Niektóre funkcje takie, jak sqrt i sin, są wbudowane w program, dzięki czemu są bardzo efektywne. Inne funkcje takie, jak gamma i sinh, są zewnętrznymi plikami *.m. Użytkownik może przejrzeć kody tych funkcji i ewentualnie poddać je modyfikacjom. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 16

17 Matlab udostępnia również szereg funkcji specjalnych generujących pomocne stałe: pi i liczba urojona 1 j liczba urojona (to samo znaczenie co i) eps odległość od 1.0 do następnej liczby realmin najmniejsza dodatnia liczba realmax największa ujemna liczba Inf nieskończoność ( ) NaN nie jest to liczba (z ang. not a number) >> eps ans = e-016 >>eps = 1.e-6 >>clear eps nazwy powyższych funkcji nie są zastrzeżone, dzięki czemu jest możliwa zmiana ich wartości domyślna wartość funkcji może być odtworzona przy pomocy polecenia Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 17

18 Przykład: >> a=10/0 Warning: Divide by zero. a = Inf Ostrzeżenie: Dzielenie przez zero. >>b=0/0 Warning: Divide by zero. b = NaN >>c=inf-inf c = NaN Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 18

19 Przykład: Wyrażenia z wykorzystaniem wbudowanych funkcji. >>rho = (1+sqrt(5))/2 rho = funkcje sqrt() -, abs() -,... >>a = abs(3+4i) a = 5 >>duzo = exp(log(realmax)) duzo = e+308 >>zbytduzo = pi*duzo zbytduzo = Inf Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 19

20 Ćwiczenie: >> a=1.234; >> size(a) Wypełnij macierze. Sprawdź rezutalt poleceniem whos. polecenie size zwraca wymiar macierzy, zmienna a to macierz o wymiare 1x1 >> clear a polecenie usunięcia zmiennej a z pamięci >> a=[ ; ] wypełnianie macierzy (; jest separatorem wierszy) >> a=[1.1:2.2:7] wypełnianie macierzy (min:skok::max), domyślny skok to 1 >> who polecenie who pokazuje wszystkie zmienne w przestrzeni roboczej >> whos polecenie whos pokazuje wszystkie zmienne i ich rozmiary Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 20

21 Ćwiczenie: Wykonaj polecenia - spróbuj przewidzieć wynik. Sprawdź rezutalt poleceniem whos. >> a=[1,0,0,0,0,1] zapamiętaj rolę przecinka - oddziela on koleje pola macierzy >> b=[2;4;6;10] zapamiętaj rolę średnika - to separator wierszy macierzy >> c=[5 3 5; 6 2-3] spacja pełni rolę taką jak przecinek >> d=[ ] >> e=[ ; ; ] zapamiętaj rolę zmiany linii (Enter) w trakcie wypełniania macierzy, jest ona taka sama jak rola średnika... to znak kontynuacji wiersza Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 21

22 Ćwiczenie: Wykonaj polecenia - spróbuj przewidzieć wynik. Sprawdź rezutalt poleceniem whos. >> t=[4 24 9] >> q=[t 0 t] >> x=[3 6] >> y=[d;x] >> z=[x;d] >> r=[c;x,5] >> c >> c(2,1) >> v=[c(2,1);b] >> a(2,1)=-3 >> c(1,5)=1 zauważ, że elementami macierzy mogą być macierze macierz d była wprowadzone wcześniej i zapamiętana w przestrzeni roboczej nie pomyl średnika z przecinkiem i koniecznie sprawdź poleceniem whos co już masz w pamięci, macierz c zdefinowano wcześniej c(2,1) wskazuje konkretny element macierzy czy wynik tych poleceń jest zaskakujący? Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 22

23 1.4. Pliki skryptowe i funkcjne. Pliki *.M są plikam ASCII, które mogą zawierać: sekwencje poleceń, wywołania innych plików M lub samych siebie, skrypty, czyli ciągi poleceń - pliki-m skryptowe, funkcje tworzone przez użytkownika - pliki-m funkcyjne. Pliki-M funkcyjne zawierają definicje nowych funkcji, które działają na zmiennych lokalnych i globalnych. Komunikują się z przestrzenią roboczą poprzez parametry i zmienne globalne (polecenie global). Pliki-M funkcyjne rozpoczynają się od słowa kluczowego function o następującej składni: function [lista param. wyjść] = nazwa funkcji (lista param. wejść) Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 23

24 Ćwiczenie: 1. Utwórz za pomocą dowolnego edytora ASCII plik o nazwie pit.m 2. Wprowadź do niego następujące polecenia: function z = pit(x,y); % moja funkcja % temp = x.^2 + y.^2; z = sqrt(temp); 3. Zapisz plik w katalogu roboczym. 4. Wykonaj polecenia z wykorzystaniem nowej funkcji pit. 5. Spróbuj wykonać inną własną funkcję. >> pit(3,4) >> a=4, b=6, c=pit(a,b) Wywołaj funkcję na różne znane ci sposoby. Wykonaj polecenie help pit. Zmodyfikuj komentarz (tekst poprzedzony znakiem %) Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 24

25 1.5. Rysunki w Matlab -ie - polecenia plot i subplot. Polecenie plot służy do sporządzania rysunków 2-D i może być wywołane z następującymi parametrami: plot(y) plot(x,y) plot(x,y,s) plot(x,y,s,x1,y1,s1,...) y - wektor wrtości na osi pionowej, na osi poziomej będą kolejne liczby naturalne x - wektor wartości na osi poziomej o tym samym wymiarze co wektor y s - ciąg co najwyżej trzech znaków określających: kolor, rodzaj punktu, typ lini. b niebieski. punkt - ciągła g zielony o koło : kropkowa r czerwony x krzyż -. kreska-kropka c turkusowy + plus -- przerywana m amarantowy * gwiazda y żółty s kwadrat k czarny d diament v^<> trójkąt Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 25

26 Przykład: >> x=-pi:0.1:pi; >> plot(x,sin(x), +-,x,cos(x), * ) pierwsze polecenie wypełnia macierz x w zakresie od π do π co 0.1, drugie rysuje dwie funkcje polecenie sin(x) generuje macierz wartości dla wszystkich warości macierzy x Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 26

27 Polecenie subplot dzieli okno graficzne na mniejsze prostokątne pola. subplot(m,n,p) subplot(mnp) Przykład: >> x = -5:0.01:5; >> subplot(2,2,2), plot(x,sin(x)) >> subplot(2,1,2), plot(x,cos(x)) m,n - ilość pól pionowo i poziomo p - numer aktywnego pola Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 27

28 Polecenia dodatkowe do opisu rysunku: polecenie opis przykład title tytuł title( Moj rysunek ) xlabel opis osi poziomej xlabel( x w cm ) ylabel opis osi pionowej ylabel( f(x) ) legend utworzenie legendy legend( moja linia ) text wstawienie tekstu w punkcie (x, y) text(1,1, moj tekst ) gtext wstawienie tekstu przy pomocy myszy gtext( tekst ) grid wyświetlanie siatki axis skalowanie i wygląd osi axis off, axis on Inne polecenia związane z rysunkiem: hold print clf nowy rysunek nie usunie istniejącego wydruk lub zapis rysunku do pliku wyczyszczenie okna graficznego Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 28

29 Przykład: Rysunek 3-D. >> [x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); >> z = x.* exp(-x.^2 - y.^2); >> mesh(z) Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 29

30 1.6. Pliki danych Polecenie save. Polecenie save pozwala na zapamiętanie zawartości pamięci operacyjnej programu w pliku danych z rozszerzeniem *.MAT, które następnie można wczytać do programu dzięki poleceniu load. save save nazwa pliku save nazwa pliku lista zmiennych nazwa pliku - nazwa pliku do którego zapisżą się dane (domyślnie matlab.mat ), lista zmiennych - lista zmiennych do zapisania (domyślnie wszystkie). Dodatkowe opcje: -ascii w 8-cyfrowym formacie tekstowym -double w 16-cyfrowym formacie tekstowym -tabs elementy macierzy rozdzielone zostają znakami tabulacji -append dopisuje dane do istniejącego pliku *.MAT Uwaga! W jednym pliku tekstowym (ASCII) powinna być zapamiętana jedna zmienna. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 30

31 Przykład: >> clear >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; >> b=12; >> save Saving to: matlab.mat >> clear >> who >> load Loading from: matlab.mat >> who Your variables are: A b zapis zmiennych A i b do pliku matlab.mat czyścimy wszystkie zmienne poleceniem clear, upewniamy się, że to prawda poleceniem who i czytamy zapisane wcześniej zmienne z pliku matlab.mat >> save zmiennaa A >> clear >> load zmiennaa >> who Your variables are: A zapis i odczyt zmiennej A z pliku zmiennaa.mat Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 31

32 Przykład: >> A A = >> save zmiennaa.dat A -ascii -double -tabs >> type zmiennaa.dat e e e e+000 >> whos Name Size Bytes Class A 2x2 32 double array Grand total is 4 elements using 32 bytes Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 32

33 Przykład: >> B=A B = >> clear A >> whos Name Size Bytes Class B 3x3 72 double array Grand total is 9 elements using 72 bytes >> load zmiennaa >> who Your variables are: A B Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 33

34 Przykład: >> save zmienne A B >> clear >> load zmienne B >> who Your variables are: B Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 34

35 Polecenie load. Polecenie load wczytuje pliki binarne oraz pliki tekstowe zawierające dane numeryczne. Plik tekstowy powinien zawierać prostokątną tablicę liczb rozdzielonych spacjami. W pliku tym linia zawiera jeden wiersz macierzy. Każdy z wierszy posiada równą liczbę elementów. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 35

36 Ćwiczenie: linie: Utwórz plik tekstowy magik.dat zawierający następujące cztery >> load magik.dat >> magik wczytuje plik danych i tworzy zmienna magik zawierającą przykładową macierz. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 36

37 1.7. Literatura 1. Matlab 6 - poradnik użytkownika, Bogumił i Zbigniew Mrozek, ISBN X, cena 38zł, 230 stron. 2. Matlab - obliczenia numeryczne i ich zastosowania, Andrzej Zalewski i Rafał Cegieła, ISBN , cena 30zł, 400 stron. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 37

38 2. Nieuniknione błędy. Przykład: >> format long e Polecenie zmiany formatu wyświetlania liczby (help format). >> ans = e+000 >> ans ans = e+000 >> ans ans = e+000 Dlaczego ? >> ans = e+000 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 38

39 2.1. Miary błędów. błąd bezwzględny = wartość otrzymana wartość prawdziwa błąd względny = wartość otrzymana wartość prawdziwa wartość prawdziwa Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 39

40 2.2. Reprezentacja binarna liczby rzeczywistej. Każdą liczbę można zamienić do następującej postaci, nazywanej znormalizowaną notacją naukową: } {{ } 10 3 mantysa Skończona liczba bitów jest przeznaczana na zapamiętanie liczby, przy czym część bitów b m przeznaczana jest na znormalizowana mantysę z przedziału (0.1,1.0), a część na całkowitą potęgę b p. Zarówno b m jak i b p mogą przyjmować wartości 1 lub bity { }} { b m }{{} znak b m b m b m b m b m } {{ } 52 bity } {{ } mantysa b p }{{} znak b p b p b p b p b p } {{ } 10 bitów } {{ } potęga Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 40

41 2.3. Zamieniamy całkowitą potęgę do układu binarnego p k = p 0 1 k=10 b p k 2 k 1 = p k 1 b p k 2 k 1, gdzie p 0 = potęga Przykład: Niech potęga p 0 = 10. k 2 k 1 b p k p k = p k 1 b p k 2 k Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 41

42 2.4. Zamieniamy rzeczywistą mantysę do układu binarnego m k = m 0 52 b m k k=1 1 2 k = m k 1 b m k 1 2 k, gdzie m 0 = mantysa Przykład: Niech mantysa m 0 = k ( 1 ) k 2 b m k m k = m k 1 b k ( ) k Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 42

43 Ćwiczenie: 1. Rozpakuj plik mn.zip w katalogu:...\toolbox\ 2. Ustaw bieżący katalog (okno Current Directory) na:...\toolbox\mn\bledy. 3. Makra Matlab -a mają rozszerzenie *.m. Sprawdź, czy widoczne jest makro man2bin.m. 4. Kliknij dwa razy w nazwę pliku man2bin.m. Zapoznaj się z jego zawartością: (a) pierwsza linia zawiera zawsze nagłówek funkcji o takiej samej nazwie jak nazwa pliku, (b) linie poprzedzone znakiem % to komentarze, (c) słowa w niebieskim kolorze należa do języka Matlab -a. 5. Opis funkcji wywołuje się przez polecenie help "nazwa_funkcji" w oknie poleceń (Command Window). Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 43

44 2.5. Liczby użyteczne i nieużyteczne. >> relmax >> relmin Sprawdź wartości tych zmiennych. Dalej ich wartości będziemy oznaczać odpowiednio: R max i R min. Zakresy dyskretnej reprezentacji liczb rzeczywistych: przydatność liczb zakres wartości komentarz nieużyteczne (, R max ) przepełnienie (z ang. overflow) użyteczne ( R max, R min ) pełna precyzja mantysy część. użyteczne ( R min, R min ε) gorsza precyzja mantysy nieużyteczne ( R min ε, 0, +R min ε) zero część. użyteczne (+R min ε, +R max ) gorsza precyzja mantysy użyteczne (+R min, +R max ) pełna precyzja mantysy nieużyteczne (+R max, + ) przepełnienie Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 44

45 3. Macierze i operacje na nich, techniki przetwarzania macierzy. Macierz A to tablica elementów a ik na której można wykonać operacje macierzowe. Wskaźnik i = 1,... m oznacza numer wiersza, a k = 1,... n numer kolumny w której znajduje się element. Liczby m n nazywane są rozmiarem macierzy. A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn Poznaliśmy na wcześniejszych zajęciach symbole operacji macierzowych: ^ potęgowanie, sprzężenie,. transpozycja, * mnożenie, / dzielenie prawostronne, \ dzielenie lewostronne, + odejmowanie, - odejmowanie. Teraz zajmiemy się nimi bliżej. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 45

46 3.1. Mnożenie macierzy Mnożenie macierzy A o rozmiarze m k przez macierz B o rozmiarze r n jest możliwe jeśli k = r, tzn kiedy ilość kolumn (k) w pierwszej macierzy jest równa ilości wierszy (r) w drugiej macierzy. Definicja mnożenia macierzy (symbol * w Matlab -ie) jest następująca: C = AB c i,j = r k=1 a i,k b k,j Każdy element i-tego wiersza pierwszej macierzy jest mnożony przez j-tą kolumnę drugiej macierzy. Suma wyników mnożeń zapisywana jest w macierzy wynikowej na pozycji (i, j). Własności mnożenia macierzy: A(BC) = (AB)C, A(B + C) = AB + AC, ale na ogół AB BA. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 46

47 Wydanie polecenia C=A*B w Matlab -ie spowoduje wykonanie następującego algorytmu: Algorytm 3.1 Mnożenie macierzy. Wynik: C[m x n] Dane: A[m x r], B[r x n] C = zeros(m,n) for j = 1:m for i = 1:n for k = 1:r C(i,j) = A(i,k) * B(k,j) + C(i,j); end end end Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 47

48 3.2. Potęgowanie i dzielenie macierzy Operacja potęgowania (symbol ^ w Matlab -ie) to krótszy zapis mnożenia macierzy przez samą siebie, czyli A 2 = AA, a A 3 = (AA)A, gdzie A musi być macierzą kwadratową. Operacja odwrotna do mnożenia to dzielenie macierzy. Jeśli C = AB to podobnie jak dla wielkości skalarnych z dzielenia prawostronnego (symbol /) otrzymamy A = C/B oraz przy dzieleniu lewostronnym (symbol \) B = A \ C. Wynik dzielenia macierzy może być nieokreślony. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 48

49 Ćwiczenie: Niech Pomnóż i podziel macierze A = , w = 1 2 3, x = Oblicz y = Aw i z = Ax. Następnie utwórz macierz B = [w, x] i wykonaj mnożenie C = AB. Porównaj kolumny macierzy C z macierzami y i z. Oblicz D = A \ C i porównaj z macierzą B. Podobnie sprawdź, czy E = C/B równa się A? Oblicz F = A \ A, oraz G = A/A. Zauważ, że F i G różnią się rozmiarami. Czy wiesz jakie wartości będą miały elementy na przekątnej macierzy H = B/B? Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 49

50 3.3. Transpozycja i sprzężenie macierzy Dla dowolnej macierzy A o elementach a ij istnieje macierz transponowana A T, której kolumny są wierszami macierzy A. W Matlab -ie symbolem operatora transpozycji są dwa znaki występujące jeden za drugim (bez spacji). A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. a m1 a m2... a mn A T = a 11 a a m1 a 12. a a m2.. a 1n a 2n... a mn Operator sprzężenia działa tak samo jak operator. na macierzach o elementach rzeczywistych, dlatego używany jest zamiennie. Jeśli elementami macierzy są liczby zespolone to sprzężenie macierzy powoduje jej transpozycję i zamianę każdego z elementów na sprzężony.. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 50

51 Przykład: >> A=[1+2i 2 3 4; ]. element a 11 = 1+2i jest liczbą zespoloną A = i >> A=[1+2i 2 3 4; ] liczba sprzężona do 1 + 2i to 1 2i A = i Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 51

52 3.4. Rząd macierzy Rząd macierzy (z ang. rank) A o rozmiarze m n to ilość wierszy lub kolumn liniowo niezależnych (wykłady). W Matlab -ie istnieje polecenie rank, które liczy rząd macierzy (dalej oznaczany przez r). Podobnie jak wszystkie inne obliczenia numeryczne, obliczenie rzędu macierzy są obarczone błędami nieuniknionymi. Rząd macierzy o rozmiarze m n spełnia nierówność r min{m, n}. Jeśli r = min{m, n} mówimy, że macierz ma rząd najwyższy. Przykład: >> A=[1 0 1; 2 1 0; 3 1 1] A = >> rank(a) ans = 2 ta macierz ma niepełny rząd ponieważ 2 < min{3, 3} Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 52

53 3.5. Wyznacznik macierzy Dla każdej macierzy kwadratowej A o rozmiarze n n istnieje liczba nazywana wyznacznikiem, którą oznaczamy symbolem det(a). Jeśli det(a) 0, to macierz nazywa się nieosobliwą. Jeśli, na przykład, rozmiar macierzy jest 2 2 to wyznacznik a det(a) = 11 a 12 a 21 a = a 11a 22 a 12 a W ogólności definicję wyznacznika możemy zapisać poprzez minory M ij, które są wyzacznikami macierzy o rozmiarze n 1 n 1 utworzonymi przez zmazanie i-tego wiersza i j-tej kolumny det(a) = n ( 1) i+j a ij M ij, j=1 gdzie i oznacza jeden z wierszy. Wyznacznik w Matlab-ie obliczymy wydając polecenie det(a). Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 53

54 3.6. Macierze specjalne Ponieważ macierze mogą być dowolnymi tablicami dwuwymiarowymi o elementach liczbowych to istnieją macierze specjalne mające określone własności. Znając własności tych macierzy można uprościć obliczenia. Matlab dostarcza zestaw komend do ich tworzenia. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 54

55 Macierz diagonalna (przekątniowa) Macierz diagonalna ma elementy jedynie na głównej przekątnej C = diag(c 11, c 22,..., c nn ) = c c c nn. Jeżeli pomnożymy dowolną macierz przez macierz diagonalną to otrzymamy efekt skalowania kolumn, a mnożąc w odwrotnej kolejności skalowania wierszy. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 55

56 Przykład: >> x = [1-5]; >> A = diag(x) A = >> B = [1-5; 6 12]; >> y = diag(b) y = 1 12 >> C = ones(2,2}; >> C*A ans = Polecenie Matlab -a diag służy do tworzenia macierzy diagonalnej jeśli argumentem wejściowym jest macierz, której jeden z wymiarów jest równy 1 (wektor). Polecenie diag zwraca elemnty z przekątnej, o ile argumentem jest macierz o wymiarach różnych od 1. Polecenie ones wypełnia macierz jedynkami. Dalej pokazany jest efekt sklowania kolumn poprzez mnożenie z macierzą diagonalna A. Mnożąc AC, otrzymamy efekt sklowania wierszy. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 56

57 Ćwiczenie: Macierze wielo-diagonalne. Poleceni diag(x,k) ma dwa parametry. Pierwszy z nich x to macierz elemntów leżących na przekątnej, a drugi to numer przekątnej macierzy. Brak k oznacza domyślnie 0. Numer 0 przypisany jest do głównej przekątnej, liczby ujemne wskazuja na przekątne poniżej, a dodatnie powyżej głównej przekątnej. Wykonaj polecenie: A = diag(2*ones(4,1)) - diag(ones(3,1),1) - diag(ones(3,1),-1) B = tridiag(-1,2,-1) Tę samą macierz trójdiagonalną można otrzymać poleceniem tridiags, które znajdziesz w podkatalogu Matlab -a...\toolbox\mn\macierze\ Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 57

58 Macierz jednostkowa Macierz jednostkowa to macierz diagonalna o elementach na głownej przekątnej równych I = diag(1, 1,..., 1) = Jeżeli pomnożymy dowolną macierz przez macierz jednostkową to otrzymamy tę samą macierz. A I = I A = A >> I = eye(n) Polecenie eye(n) tworzy macierz jednostkową o rozmiarze n n. >> I = eye(m,n) Polecenie eye(m,n) tworzy macierz podobną do jednostkej o rozmiarze m n. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 58

59 Macierz permutacji Jeżeli w macierzy jednostkowej przestawimy wiersze lub kolumny to otrzymamy macierz permutacji P, na przykład: P = Mnożąc dowolną macierz przez macierz pertmutacji otrzymamy taką samą macierz z tym, że wiersze tej macierzy (lub kolumny) ulegną przestawieniu w taki sam sposób jak przestawione są wiersze (lub kolumny) w macierzy permutacji.. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 59

60 Przykład: >> A = [ ; ; ]; >> P = [1 0 0; 0 0 1; 0 1 0]; >> B = P*A B = >> C = A *P C = Macierz dowolna A i macierz permutacji P Realizacja efeku przestawienia wierszy i kolumn przy uzyciu macierzy permutacji. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 60

61 Macierz trójkątna Przez macierz trójkątną rozumiemy macierz postaci: L = l l 21. l l n1 l n2... l nn, lub R = r 11 r r 1n 0. r r 2n r nn. Macierz L nazywamy macierzą trójkątną lewą (lub dolną), a macierz R - prawą (lub górną). Suma, iloczyn i odwrotność macierzy trójkątnej tego samego rodzaju są dalej macierzami trójkątnymi. Macierze trójkątne mają wiele innych ciekawych własności, które są wykorzystywane przy rozwiązywaniu układów równań. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 61

62 Macierz odwrotna Macierz odwrotna do A onaczana jest przez A 1 i jest to macierz spełniająca następujący warunek: A 1 A = A A 1 = I. Macierz odwrotna jest związana z rozwiązywaniem układów rownań liniowych o których będzie mowa na następnych zajęciach. Polecenie Matlab -a inv(a) liczy macierz odwrotną A 1. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 62

63 Macierz symetryczna Macierz symetryczna to taka macierz dla której spełniony jest następujący warunek: A = A T. Jej elemnty są symetryczne względem głównej przekątnej a ij = a ji. Przykład: >> B=[1 2; 3 4; 5 6]; Macierz B nie jest symetryczna. >> B*B ans = >> B *B ans = Jednym ze sposobów generacji macierzy symetrycznej z dowolnej macierzy jest pomnożenie jej przez macierz transponowaną. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 63

64 Macierz ortogonalna Macierz ortogonalna Q to taka macierz dla której spełniony jest następujący warunek: Q T Q = I. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 64

65 4. Układy równań liniowych. Układ n równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2, x 3,..., x n n k=1 a i,k x k = b i (i = 1, 2,..., n) lub AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz układu A i macierz rozszerzona R = [A, B] mają ten sam rząd w przeciwnym przypadku są sprzeczne A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n.. a n1 a n2... a nn i R = a 11 a a 1n b 1 a 21. a a 2n.. b 2. a n1 a n2... a nn b n Jeśli rząd macierzy układu rank(a) = n, to dla dowolnej macierzy B istnieje rozwiązanie układu X i jest ono jednoznaczne.. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 65

66 Przykład: Poszukajmy współczyników równania kwadratowego, które aproksymuje krzywą pompy. 120 krzywa pompy h(m) q(m 3 /s) * 10 3 Model (h - wysokość pompowania, q - wydatek pompy): q(m 3 /s) h(m) h = c 1 q 2 + c 2 q + c 3, gdzie c 1, c 2, c 3 są szukanymi niewiadomymi. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 66

67 Podstawmy trzy wybrane punkty (q,h) (patrz rysunek) do modelu = c c 2 + c 3, = c c 2 + c 3, 82.4 = c c 2 + c 3. Po przepisaniu do formy macierzowej otrzymamy: Ax = b gdzie A = , x = c 1 c 2 c 3, b = Ćwiczenie: Zdefiniuj macierz A, b i wykonaj A 1 b poleceniem: >> x = inv(a)*b. Otrzymasz c 1 = , c 2 = c 3 = 116. Wykonaj wykres funkcji h(q) w zakresie q = (0, ). Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 67

68 4.1. Rozwiązanie formalne dla kwadratowej macierzy układu. Formalne rozwiązanie układu równań A X = B to gdzie rozmiar A jest n n. X = A 1 B Nie rozwiązuj A X = B szukając A 1 i mnożąc przez B Jeśli widzisz: X = A 1 B, to szukaj: rozwiązania A X = B przez eliminacje Gaussa lub inny podobny algorytm. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 68

69 4.2. Eliminacja Gaussa. Celem eliminacji Gaussa jest zamiana dowolnego układu równań (n n) na równoważny układ, którego macierz jest trójkątna. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązań dla układów o macierzy diagonalnej i trójkątnej. Do każdego przypadku prezentowany jest przykładowy algorytm, który należy szczgółowo przeanalizować. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 69

70 Rozwiązanie układu diagonalnego Przykład: Układ zdefinowany przez A = jest równoważny z , b = x 1 = 1 3x 2 = 6 5x 3 = 15 x 1 = 1 x 2 = 6 3 = 2 x 3 = 15 5 = 3. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 70

71 Algorytm 4.1 Układ diagonalny. Wynik: x[n x 1] Dane: A[n x n], b[n x 1] for i = 1:n x(i) = b(i) / A(i,i) end W Matlab -ie: >> A =... >> b =... >> x = b./diag(a) A to macierz diagonalna. To jest jedyny przypadek, gdzie dzielenie elementu przez element (./) jest wykorzystane do rozwiązywania układu równań. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 71

72 Rozwiązanie układu trójkątnego Przykład: Układ zdefinowany przez A = , b = jest równoważny z 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 3x 2 + 2x 3 = 1 4x 3 = 8 x 3 = 8 4 = 2 x 2 = 1 3 ( 1 + 2x 3) = 3 3 = 1 x 1 = 1 2 (9 x 2 2x 3 ) = 4 2 = 2 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 72

73 Algorytm 4.2 Układ trójkątny górny. Proces rozwiązywania polega na zastosowaniu metody podstawiania w odwrotnej kolejności poczynając od x n do x 1. Wynik: x[n x 1] Dane: U[n x n], b[n x 1] x(n) = b(n) / U(n,n) for i = n-1:1 s = b(i) for j = i+1:n s = s - U(i,j) * x(j) end x(i) = s / U(i,i) end Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 73

74 Algorytm 4.3 Układ trójkątny dolny. Proces rozwiązywania polega na zastosowaniu metody podstawiania w kolejności poczynając od x 1 do x n. Wynik: x[n x 1] Dane: L[n x n], b[n x 1] x(1) = b(1) / L(1,1) for i = 2:n s = b(i) for j = 1:i-1 s = s - L(i,j) * x(j) end x(i) = s / L(i,i) end Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 74

75 Eliminacja Gaussa Przykład: Rozwiążemy układ o macierzy: A = , b = W tym celu utworzymy macierz rozszerzoną Ã = [Ab] = a następnie będziemy przekształcać wiersze macierzy trójkątną. Ã tak by otrzymać macierz Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 75

76 Dodajmy 2 razy wiersz 1 do wierza 2, a następnie dodajmy 1 raz wiersz 1 do 3, by poniżej głownej przekątnej w kolumnie 1 otrzymac zera. Ã (1) = Teraz zajmiemy się kolumną drugą. Należy odjąć od wiersza 3 wiersz 2. Ã (2) = x 3 = 2 2 = 1 x 2 = 1 2 ( 9 5x 3) = 2 x 1 = 1 3 ( 1 2x 2 + x 3 ) = 2 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 76

77 Algorytm 4.4 Eliminacja Gaussa. Wynik: U[n x n] Dane: A[n x n] U=[A b] for i = 1:n-1 for k = i+1:n for j = i:n+1 U(k,j) = U(k,j) - (U(k,i) / U(i,i)) * U(i,j) end end end Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 77

78 Eliminacja Gaussa z wyszukiwaniem elementu głównego Przykład: Rozwiążemy inny układ o macierzy: A = , b = Podobnie jak poprzednio utworzymy macierz rozszerzoną i tak jak poprzednio spróbujemy utworzyć macierz trójkątną. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 78

79 Odejmiemy 1/2 raza wiersz 1 od wiersza 2, dodamy 3/2 raza 1 do 3 i 1/2 raza wiersz 1 do okazuje się że element (22) na głównej przekatnej (element główny) jest równy zero co uniemożliwia dalsze operacje. Dlatego musimy wykonać dodatkowe przestawienie wiersza 2 i Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 79

80 Kontynuujemy eliminację: odejmujemy 1 raz wiersz 2 od 3. Ponownie na przekątnej pojawia się zero zatem przestawiamy wiersz 3 z Dalej już postępujemy tak jak poprzednio. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 80

81 Algorytm 4.5 Eliminacja Gaussa z wyszukiwaniem elementu głównego. Wynik: U[n x n] Dane: A[n x n] U=[A b] for i = 1:n-1 for k=i:n poszukaj numer wiersza j gdzie max( U(j,i) )>=max( U(k,i) ) przestaw wiersz U(j,:) z wierszem U(i,:) end for i = i+1:n for j = i:n+1 U(k,j) = U(k,j) - (U(k,i) / U(i,i)) * U(i,j) end end end Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 81

82 Rozwiązanie układu z użyciem opratora dzielenia lewostronnego. Dla równania skalarnego wiemy, że na przykład 5x = 20 x = (5) 1 20 = 4 Analogicznie możemy zapisać dla układu równań Ax = b x = A 1 b gdzie A 1 b jest formalnym rozwiązaniem równań. W notacji Matlab -a polecenie rozwiązania układu ma postać następującą x = A\b Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 82

83 4.3. Co robi operator dzielenia lewostronnego? Dla zadanej macierzy A o rozmiarze n n i wektora b operator \ wykonuje szereg testów macierzy A. Matlab wybiera metodę rozwiązania układu tak by błędy numeryczne i ilość operacji były najmniejsze. 1. Sprawdza, czy macierz można przedstawić w postaci trójkątnej? Jeśli tak, to przyjmuje metodę trójkątów. 2. Sprawdza, czy A jest symetryczna i dodatnia? Jeśli tak, to przyjmuje metodę Choleskiego. 3. Jeśli metoda Choleskiego zawiedzie lub jeśli macierz jest niesymetryczna, to Matlab stosuje metodę rozkładu macierzy A na dolną i górną LU. Limity maszynowe: zapotrzebowanie na RAM n 2, czas obliczeń n 3. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 83

84 5. Aproksymacja. Zajmiemy się szukaniem krzywej y = F (x), dla zadanej liczby punktów (x i, y i ) dla i = 1,..., m F (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x), gdzie c j to nieznane współczynniki, a funkcje f j (x) nazywane są funkcjami bazowymi, gdzie j = 1,..., n. Aproksymację stosujemy wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest większa od ilości nieznanych współczynników n krzywej F (x). Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie zadane punkty. Szuka się wówczas najlepszej krzywej, w sensie minimum kwadratu błędów. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 84

85 5.1. Aproksymacja linią prostą Rozważmy najprostszy przypadek, kiedy f 1 (x) = x, f 2 (x) = 1, a pozostałe funkcje f j (x) = 0. Wówczas dla kolejnych punktów (x i, y i ) mamy c 1 x 1 +c 2 = y 1 c 1 x 2. +c 2 = y 2. lub c n x m +c 2 = y m x 1 1 x x m 1 Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 85 c 1 c 2 = Zatem w postaci macierzowej zapiszemy Ac = y. Ponieważ równanie to dla m > n nie ma dokładnego rozwiązania możemy zapisać r = y Ac, gdzie r jest wektorem pionowych odległości pomiędzy szukaną krzywą i zadanymi punktami. Będziemy szukali takiego rowiązania dla którego m i=1 y 1 y 2. y m r 2 i lub macierzowo r T r ma wartość minimalną.

86 Ponieważ r = y Ac, to iloczyn r T r możemy zapisać w następującej formie: Iloczyn ten osiąga minimum jeśli r T r = (y Ac) T (y Ac) = y T y y T Ac c T A T y + c T A T Ac = y T y 2y T Ac + c T A T Ac. d dc (rt r) = 0 A T y + A T Ac = 0, co ostatecznie prowadzi do równaia (A T A)c = A T y, które nazywane jest równaniem aproksymacji. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 86

87 Przykład: Aproksymacja liniowa. Szukamy linii prostej aproksymującej punkty (1 1), (2 2), (4 2), (5 3). >> x=[ ]; y=[ ]; >> x=x ; y=y ; >> A=[x ones(size(x))]; >> c=(a *A)\(A *y) c = >> ya=c(1)*x+c(2) >> plot(x,y, o,x,ya, - ) >> grid on >> xlabel( x ) >> ylabel( y=f(x) ) Definiujemy wektory x i y ze współrzędnymi punktów. Ponieważ dalej potrzebne są wektory kolumnowe, wykonujemy transpozycję. Następnie wypełniamy macierz A, która w pierwszej kolumnie ma wektor x, a w drugiej wektor jedynkowy o rozmiarze macierzy x. Macierz współczynników c liczymy wykorzystując równanie aproksymacji i operator dzielenia lewostronnego \. Znając współczynniki c 1, c 2 możemy obliczyc nowe aproksymowane wartości ya i przedstawić wyniki graficznie. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 87

88 5.2. Aproksymacja Można wykazać, że równanie aproksymacji (A T A)c = A T y jest prawdziwe dla dowolnej funkcji aproksymacji w postaci: F (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x), gdzie c j to nieznane współczynniki, f j (x) to funkcje bazowe, a macierze A, c i y mają następującą postać: A = f 1 (x 1 ) f 2 (x 1 )... f n (x 1 ) f 1 (x 2 ). f 2 (x 2 )..... f n (x 2 ). f 1 (x m ) f 2 (x m )... f n (x m ), c = c 1 c 2. c n, = y 1 y 2. y m. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 88

89 Przykład: Aproksymacja Szukamy funkcji w postaci y = c 1 x + c 2x, która aproksymuje następujące punkty: x y Znajdziesz je w pliku...\mn\dane\aprox.dat. >> load aprox.dat >> x=aprox(:,1) >> y=aprox(:,2) Ładowanie danych z pliku i kopiowanie danych do odpowiednich wektorów kolumnowych x, y. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 89

90 >> A=[1./x x]; >> c=(a *A)\(A *y) c = >> xa=linspace(min(x),max(x),100); >> xa=xa ; >> Aa=[1./xa xa]; >> ya=aa*c; >> plot(x,y, o,xa,ya, - ) >> xlabel( x ) >> ylabel( y=f(x) ) >> legend( dane, aproksymacja ) Przygotowanie macierzy A i rozwiązania równania aproksymacji. Polecenie linspace generyje wektor wierszowy o elementach równoodleglych w zadanym zakresie. Zmienne z literą a w nazwie odnoszą się do wartości aproksymowanych. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 90

91 5.3. Co jeszcze robi operator dzielenia lewostronnego? Rozwiązanie równania macierzowego Ax = y, polega na wyborze właściwej metody i jej zostosowaniu. Wiemy już, że dla zadanej macierzy A o rozmiarze n n i wektora y, operator \ wykonuje szereg testów macierzy A. Matlab wybiera metodę rozwiązania układu tak by błędy numeryczne i ilość operacji były najmniejsze. Matlab dzięki wbudowanej wiedzy z algebry potrafi znacznie więcej. x = A\y = (A *A)\(A *y) W przypadku kiedy macierz układu A ma rozmiar m n, gdzie m > n automatycznie zakłada, że użytkownik chce otrzymać aproksymację rozwiązania z najmniejszym błędem w sensie minimum kwadratu błędów. Zatem w Matlab - ie równanie aproksymacji jest wywoływane bez udziału użytkownika, wystaryczy użyć magicznego dzielenia lewostronnego. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 91

92 6. Interpolacja. dane aproksymacja interpolacja Interpolacja polega (podobnie jak aproksymacja) na poszukiwaniu funkcji pomiędzy znanymi punktami. W przeciwieństwie do aproksymacji funkcja ta przechodzi przez te punkty. Jeżeli poszukujemy funkcji poza zakresem zadanych punktów to mówimy o ekstrapolacji. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 92

93 Wybrane metody interpolacji Najblizszy sasiad Kawalkami liniowo Kawalkami kwadratowo Splajny kwadratowo Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 93

94 Ćwiczenie: Interpolacja wielomianem. P n 1 (x) = c 1 x n 1 + c 2 x n c n 1 x + c n >> rok=[ ]; >> cena=[ ]; >> plot(rok,cena, o ) >> A=vander(rok);% funkcja MATLABA [x^n x^n-1.. 1], n wym. x >> cena=cena ; % macierz prawych stron układu >> c=a\cena % otrzymasz ostrzeżenie - złe skalowanie >> xnowe=linspace(min(rok),max(rok),100); >> ynowe=polyval(c,xnowe); >> plot(rok,cena, o,xnowe,ynowe, - ) >> rokumowny=rok-mean(rok) % poprawienie skalowania macierzy A Wykonaj ponownie wszystkie obliczenia dla zmiennej niezależnej (przesuniętej) rokumowny. Na kartce Zadania do zaliczenia (5) w polu Zadanie 2 wpisz obliczone c i. W katalogu...\toolbox\mn\interpolacja znajdziesz pomocną funkcję Idemo_02. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 94

95 Ćwiczenie: Interpolacja wielomianem Lagrange-a. P n 1 (x) = y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + + y n L n (x), gdzie L j (x) = n k=1,k j x x k x j x k W katalogu...\toolbox\mn\interpolacja znajdziesz funkcję ILagrange. Korzystając z tej funkcji, oblicz cenę benzyny w 1991 roku dla danych z poprzedniego przykładu. Ćwiczenie: Interpolacja wielomianem Newton-a. P n 1 (x) = c 1 +c 2 (x x 1 )+c 3 (x x 1 )(c x 2 )+ +c n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) W katalogu...\toolbox\mn\interpolacja znajdziesz funkcję INewton. Korzystając z tej funkcji, oblicz cenę benzyny w 1993 roku. Funkcje Idemo_03 i Idemo_04 demonstrują wykorzystanie funkcji: ILagrange, INewton. Uwaga! Nie trzeba rozwiązywać układu równań. Jest to zaleta tych metod. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 95

96 Porównanie interpolacji: 10 5 Flops 10 4 wielomian Lagrange Newton liczba interpolowanych punktów Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 96

97 Ćwiczenie: Zbadaj wpływ stopnia wielomianu użytego do interpolacji na jej jakość. Skorzystaj z funkcji Idemo_05. Wniosk wpisz na kartce Zadania do zaliczenia (5) w polu Zadanie Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 97

98 6.1. Interpolacja wielomianami sklejanymi. Interpolacja wielomianami sklejanymi to praktyczne rozwiązanie konieczności zwiększania stopnia wielomianu. Zamiast stosować jeden wielomian dla wszystkich danych punktów, metoda sklejania polega na użyciu wielu wielomianów niskiego stopnia P i (x) dla przedziału danych x i x x i+1. Punkty łączenia wielomianów będziemy nazywali węzłami. W węzłach możemy żądać spełnienia określonych warunków np. na ciągłość pochodnych. Pierwsza Poprzednia Następna Ostatnia Wróć Cały ekran Zamknij Wyjdź Strona: 98