Informator o egzaminie maturalnym. od 2010 roku

Transkrypt

1 Informator o egzaminie maturalnym od 010 roku Warszawa 008

2 Opracowano w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we wspó!pracy z okr"gowymi komisjami egzaminacyjnymi

3 SPIS TRE!CI I. Wst"p... 5 II. Podstawy prawne egzaminu... 7 III. Matura w pytaniach uczniów... 9 IV. Struktura i forma egzaminu V. Wymagania egzaminacyjne VI. Szczegó!owy opis standardów egzaminacyjnych VII. Przyk!adowe arkusze i schematy oceniania VIII. Zbiór przyk!adowych zada# maturalnych

4

5 I. WST"P Oddajemy do r$k Pa#stwa Informator o egzaminie maturalnym z matematyki w nadziei, %e pomo%e w przygotowaniu si" do egzaminu maturalnego w roku 010 i nast"pnych sesjach egzaminacyjnych. Znajd$ w nim Pa#stwo tekst Standardów wymaga# egzaminacyjnych, opis wymaga# egzaminacyjnych wraz z przyk!adowymi zadaniami egzaminacyjnymi. W maju 010 r. matematyk" jako przedmiot obowi$zkowy b"d$ zdawa& wszyscy przyst"puj$cy do matury. O zasadach tego egzaminu informowali'my ju% w zesz!ym roku, a w tym uzupe!niamy informacj" o przyk!adowe arkusze egzaminacyjne dla poziomu podstawowego, który b"dzie obowi$zywa! wszystkich maturzystów. Publikujemy równie% zestaw przyk!adowych zada#, który pomo%e w przygotowaniach do egzaminu maturalnego w 010 roku. Chcemy przekaza& Pa#stwu rzeteln$ informacj", licz$c na wszelkie uwagi i komentarze, które by& mo%e wska%$ na konieczno'& pewnych usprawnie# w przeprowadzaniu tego egzaminu. Sugerujemy zatem uwa%ne zapoznanie si" z Informatorem. Jest to wa%ne zarówno dla Pa#stwa, jak i dla nas. Pa#stwo dowiedz$ si", jak b"dzie wygl$da! egzamin, natomiast ewentualne uwagi i komentarze b"d$ przydatne do poprawy jako'ci i rzetelno'ci egzaminu oraz sposobów informowania o nim. Pa#stwa sukces podczas egzaminu, to równie% nasza satysfakcja. (yczymy zatem sukcesu! Dyrektor Centralnej Komisji Egzaminacyjnej 5

6

7 II. PODSTAWY PRAWNE EGZAMINU Podstawowym aktem prawnym wprowadzaj$cym zewn"trzny system oceniania jest ustawa o systemie o'wiaty z 1991 roku wraz z pó)niejszymi zmianami (DzU z 004 r. nr 56, poz. 57 z pó)niejszymi zmianami). Aktami prawnymi reguluj$cymi przeprowadzanie egzaminów maturalnych s$: 1. Rozporz$dzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 5 wrze'nia 008 r. zmieniaj$ce rozporz$dzenie w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i s!uchaczy oraz przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów w szko!ach publicznych (DzU z 008 r., Nr 178, poz. 1097).. Rozporz$dzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 8 sierpnia 007 r. zmieniaj$ce rozporz$dzenie w sprawie standardów wymaga# b"d$cych podstaw$ przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów(dzu z 007 r., Nr 157, poz. 110). 3. Rozporz$dzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 19 pa)dziernika 1999 r. w sprawie wymaga#, jakim powinni odpowiada& egzaminatorzy okr"gowych komisji egzaminacyjnych oraz warunków wpisywania i skre'lania egzaminatorów z ewidencji egzaminatorów (DzU z 1999 r. Nr 93, poz.1071). 7

8

9 III. MATURA W PYTANIACH UCZNIÓW 1. Dlaczego zosta$y zmienione standardy wymaga# egzaminacyjnych?. Jaka jest struktura nowych standardów wymaga#? 3. Dlaczego wybrano tak% struktur& standardów? 4. Jaki efekt przyniesie ta zmiana dla zdaj%cych egzamin maturalny? 5. Jak sprawdzane s% prace i og$aszane wyniki matury? Uleg!a zmianie podstawa programowa z matematyki, za' standardy wymaga# egzaminacyjnych musz$ by& zgodne z obowi$zuj$c$ podstaw$. Nowe standardy wymaga# egzaminacyjnych maj$ dwie cz"'ci. Pierwsza cz"'& opisuje pi"& podstawowych obszarów umiej"tno'ci matematycznych. Druga cz"'& podaje list" szczegó!owych umiej"tno'ci, których opanowanie b"dzie sprawdzane na egzaminie maturalnym. Lista ta 'ci'le odpowiada has!om z podstawy programowej. W analizach porównawczych systemów edukacyjnych w ramach Unii Europejskiej matematyka stanowi obecnie bardzo wa%ny element jako podstawowy czynnik warunkuj$cy post"p naukowo-techniczny Europy. Nowe uj"cie standardów wydobywa na plan pierwszy podstawowe cele kszta!cenia uczniów w zakresie matematyki: umiej"tno'& modelowania, my'lenia strategicznego i rozumowania. Matematyki uczymy po to, by ucze# nauczy! si" rozumowa&, planowa& strategi" itp., a nie wy!$cznie po to, by umia! rozwi$za& równanie kwadratowe lub nierówno'&. Taki sposób formu!owania wymaga# jest obecnie powszechnie przyj"ty w 'wiecie, zarówno przez systemy egzaminacyjne, jak i przez mi"dzynarodowe badania porównawcze, np. badania OECD PISA. W warstwie praktycznej nic si" nie zmieni. Zdaj$cy nadal b"dzie musia! po prostu jak najlepiej rozwi$za& pewn$ liczb" zada#. Zadania te w wi"kszo'ci nie b"d$ odbiega& od tych, jakie znamy z dotychczasowych sesji egzaminu maturalnego. Klasyfikacja tych zada# w ramach schematu ogólnych umiej"tno'ci nie ma znaczenia dla samego procesu zdawania egzaminu. Jednak%e ucze#, który chce sobie zapewni& dobry wynik, gwarantuj$cy przyj"cie na renomowan$ uczelni", powinien liczy& si" z tym, %e sama znajomo'& podstawowych algorytmów nie gwarantuje sukcesu powinien po'wi"ci& tak%e pewn$ ilo'& czasu na zadania, w których b"dzie &wiczy! umiej"tno'& rozumowania. 1. Poszczególne arkusze egzaminacyjne z ka%dego przedmiotu s$ sprawdzane i oceniane przez egzaminatorów zewn"trznych, przeszkolonych przez okr"gowe komisje egzaminacyjne i wpisanych do ewidencji egzaminatorów. Ka%dy oceniony arkusz jest weryfikowany przez egzaminatora zwanego weryfikatorem.. Wynik egzaminu jest wyra%ony w procentach. 3. Wynik egzaminu z dodatkowego przedmiotu nie ma wp!ywu na zdanie egzaminu, ale odnotowuje si" go na 'wiadectwie dojrza!o'ci. 4. Komisja okr"gowa sporz$dza list" osób, zawieraj$c$ uzyskane przez te osoby wyniki, i przesy!a j$ do szko!y wraz ze 'wiadectwami dojrza!o'ci. 9

10 6. Kiedy egzamin maturalny uznawany jest za zdany? 7. Kiedy egzamin maturalny uznawany jest za niezdany? 8. Czy prace maturalne po sprawdzeniu b&d% do wgl%du dla zdaj%cego? 9. Czy matura zapewni dostanie si& na wybrany kierunek studiów? Egzamin jest zdany, je%eli zdaj$cy z ka%dego z trzech obowi$zkowych przedmiotów (w przypadku j"zyków zarówno w cz"'ci ustnej, jak i pisemnej), uzyska! minimum 30% punktów mo%liwych do uzyskania za dany egzamin na zadeklarowanym poziomie. Zdaj$cy otrzymuje 'wiadectwo dojrza!o'ci i jego odpis wydane przez komisj" okr"gow$. Egzamin uwa%a si" za niezdany je%eli: a) zdaj$cy z któregokolwiek egzaminu obowi$zkowego, w cz"'ci ustnej lub pisemnej, otrzyma! mniej ni% 30% punktów mo%liwych do uzyskania na zadeklarowanym poziomie, b) w trakcie egzaminu stwierdzono, %e zdaj$cy pracuje niesamodzielnie i jego egzamin zosta! przerwany i uniewa%niony, c) w trakcie sprawdzania prac egzaminator stwierdzi! niesamodzielno'& rozwi$zywania zada# egzaminacyjnych i uniewa%niono egzamin. Na wniosek zdaj$cego komisja okr"gowa udost"pnia zdaj%cemu do wgl$du sprawdzone arkusze, w miejscu i czasie okre'lonym przez dyrektora OKE. Matura nie daje gwarancji automatycznego dostania si" na studia. Warunki rekrutacji na dan$ uczelni" ustala senat tej uczelni. Ustawa o szkolnictwie wy%szym zastrzega, %e uczelnie nie b"d$ organizowa& egzaminów wst"pnych dubluj$cych matur". To znaczy, je%eli kandydat na studia zda! na maturze egzamin z wymaganego na dany wydzia! przedmiotu, to jego wynik z egzaminu maturalnego b"dzie brany pod uwag" w post"powaniu kwalifikacyjnym. 10

11 IV. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzaj$cym wiadomo'ci i umiej"tno'ci okre'lone w Standardach wymaga! egzaminacyjnych i polega na rozwi$zaniu zada# zawartych w arkuszach egzaminacyjnych. 1. Egzamin maturalny z matematyki zdawanej jako przedmiot obowi%zkowy jest zdawany na poziomie podstawowym. Egzamin trwa 170 minut i polega na rozwi$zaniu zada# egzaminacyjnych sprawdzaj$cych rozumienie poj"& i umiej"tno'& ich zastosowania w %yciu codziennym oraz zada# o charakterze problemowym. Zadania egzaminacyjne obejmuj$ zakres wymaga# dla poziomu podstawowego.. Egzamin maturalny z matematyki zdawanej jako przedmiot dodatkowy jest zdawany na poziomie rozszerzonym. Egzamin trwa 180 minut i polega na rozwi$zaniu zada# egzaminacyjnych wymagaj$cych rozwi$zywania problemów matematycznych. Zadania egzaminacyjne obejmuj$ zakres wymaga# dla poziomu rozszerzonego. Konstrukcja arkusza nie zmienia si" w stosunku do lat ubieg!ych. Opis arkusza dla poziomu podstawowego Arkusz egzaminacyjny sk!ada si" z trzech grup zada#: 1. grupa zawiera od 0 do 30 zada# zamkni"tych. Do ka%dego z tych zada# s$ podane cztery odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna. Ka%de zadanie z tej grupy jest punktowane w skali 0-1. Zdaj$cy udziela odpowiedzi, zaznaczaj$c je na karcie odpowiedzi.. grupa zawiera od 5 do 10 zada# otwartych krótkiej odpowiedzi punktowanych w skali grupa zawiera od 3 do 5 zada# otwartych rozszerzonej odpowiedzi punktowanych w skali 0-4, albo 0-5, albo 0-6. Za rozwi$zanie wszystkich zada# zdaj$cy mo%e uzyska& maksymalnie 50 punktów. Zasady oceniania arkuszy egzaminacyjnych 1. Zadania otwarte w arkuszach egzaminacyjnych sprawdzaj$ i oceniaj$ egzaminatorzy powo!ani przez dyrektora okr"gowej komisji egzaminacyjnej.. Rozwi$zania poszczególnych zada# oceniane s$ na podstawie szczegó!owych kryteriów oceniania, jednolitych w ca!ym kraju. 3. Egzaminatorzy w szczególno'ci zwracaj$ uwag" na:!! poprawno'& merytoryczn$ rozwi$za#, kompletno'& prezentacji rozwi$za# zada# wykonanie cz$stkowych oblicze# i przedstawienie sposobu rozumowania. 4. Ocenianiu podlegaj$ tylko te fragmenty pracy zdaj$cego, które dotycz$ polecenia. Komentarze, nawet poprawne, nie maj$ce zwi$zku z poleceniem nie podlegaj$ ocenianiu. 5. Gdy do jednego polecenia zdaj$cy podaje kilka rozwi$za# (jedno prawid!owe, inne b!"dne), to egzaminator nie przyznaje punktów. 6. Za ca!kowicie poprawne rozwi$zania zada#, uwzgl"dniaj$ce inny tok rozumowania ni% podany w schemacie punktowania, przyznaje si" maksymaln$ liczb" punktów. 7. Zapisy w brudnopisie nie s$ oceniane. 8. Zdaj$cy zda! egzamin maturalny z matematyki, je%eli otrzyma! co najmniej 30% punktów mo%liwych do uzyskania za rozwi$zanie zada# z arkusza dla poziomu podstawowego. 9. Wynik egzaminu maturalnego z matematyki ustalony przez komisj" okr"gow$ jest ostateczny. 11

12

13 V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga# egzaminacyjnych Zdaj%cy posiada umiej&tno'ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formu!uje uzyskane wyniki u%ywa j"zyka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. wykorzystania i interpretowania reprezentacji: u%ywa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych rozumie i interpretuje poj"cia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi 3. modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej sytuacji buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzgl"dniaj$c ograniczenia i zastrze%enia 4. u(ycia i tworzenia strategii: stosuje strategi", która jasno wynika z tre'ci zadania tworzy strategi" rozwi$zania problemu 5. rozumowania i argumentacji: prowadzi proste rozumowanie, sk!adaj$ce si" z niewielkiej liczby kroków. tworzy!a#cuch argumentów i uzasadnia jego poprawno'&. Zdaj%cy demonstruje poziom opanowania powy(szych umiej&tno'ci, rozwi%zuj%c zadania, w których: POZIOM PODSTAWOWY 1) liczby rzeczywiste a) planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególno'ci oblicza pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych, b) bada, czy wynik oblicze# jest liczb$ wymiern$, c) wyznacza rozwini"cia dziesi"tne; znajduje przybli%enia liczb; wykorzystuje poj"cie b!"du przybli%enia, d) stosuje poj"cie procentu i punktu procentowego w obliczeniach, e) pos!uguje si" poj"ciem osi liczbowej i przedzia!u liczbowego; zaznacza przedzia!y na osi liczbowej, POZIOM ROZSZERZONY jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje twierdzenie o rozk!adzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze; wyznacza najwi"kszy wspólny dzielnik i najmniejsz$ wspóln$ wielokrotno'& pary liczb naturalnych, b) stosuje wzór na logarytm pot"gi i wzór na zamian" podstawy logarytmu, 13

14 f) wykorzystuje poj"cie warto'ci bezwzgl"dnej i jej interpretacj" geometryczn$, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomoc$ równa# i nierówno'ci typu: x - a = b, x - a > b, x! a " b, g) oblicza pot"gi o wyk!adnikach wymiernych oraz stosuje prawa dzia!a# na pot"gach o wyk!adnikach wymiernych i rzeczywistych, h) zna definicj" logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm pot"gi o wyk!adniku naturalnym, ) wyra%enia algebraiczne: a) pos!uguje si" wzorami skróconego mno%enia: (a # b), (a # b) 3, a * b, a 3 # b 3, b) rozk!ada wielomian na czynniki stosuj$c wzory skróconego mno%enia, grupowanie wyrazów, wy!$czanie wspólnego czynnika poza nawias, c) dodaje, odejmuje i mno%y wielomiany, d) wyznacza dziedzin" prostego wyra%enia wymiernego z jedn$ zmienn$, w którym w mianowniku wyst"puj$ tylko wyra%enia daj$ce si" sprowadzi& do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomoc$ przekszta!ce# opisanych w punkcie b), e) oblicza warto'& liczbow$ wyra%enia wymiernego dla danej warto'ci zmiennej, f) dodaje, odejmuje, mno%y i dzieli wyra%enia wymierne; skraca i rozszerza wyra%enia wymierne, 3) równania i nierówno'ci: a) rozwi$zuje równania i nierówno'ci kwadratowe; zapisuje rozwi$zanie w postaci sumy przedzia!ów, b) rozwi$zuje zadania (równie% umieszczone w kontek'cie praktycznym), prowadz$ce do równa# i nierówno'ci kwadratowych, c) rozwi$zuje uk!ady równa#, prowadz$ce do równa# kwadratowych, d) rozwi$zuje równania wielomianowe metod$ rozk!adu na czynniki, e) rozwi$zuje proste równania wymierne, prowadz$ce do równa# liniowych lub x $ kwadratowych, np. 1 % ; x $ 3 jak na poziomie podstawowym oraz: a) pos!uguje si" wzorem (a 1)(1 + a a n-1 ) = a n 1, b) wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian x*a; stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x*a, c) stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o wspó!czynnikach ca!kowitych, jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje wzory Viète a, b) rozwi$zuje równania i nierówno'ci kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusj" i wyci$ga z niej wnioski, c) rozwi$zuje równania i nierówno'ci wielomianowe, d) rozwi$zuje proste równania i nierówno'ci wymierne, np. x +1 >; x + 3 x +1 <3, x e) rozwi$zuje proste równania i nierówno'ci z warto'ci$ bezwzgl"dn$, typu: 14

15 x $ 1 % x, x f) rozwi$zuje zadania (równie% umieszczone w kontek'cie praktycznym), prowadz$ce do prostych równa# wymiernych, 4) funkcje: a) okre'la funkcj" za pomoc$ wzoru, tabeli, wykresu, opisu s!ownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzin" i zbiór warto'ci, miejsca zerowe, maksymalne przedzia!y, w których funkcja ro'nie, maleje, ma sta!y znak, c) sporz$dza wykres funkcji spe!niaj$cej podane warunki, d) potrafi na podstawie wykresu funkcji y % f x naszkicowa& wykresy funkcji ' ( y % f ' x $ a (, y % f ' x( $ a, %! ' ( y % f '! x (, y f x, e) sporz$dza wykresy funkcji liniowych, f) wyznacza wzór funkcji liniowej, g) wykorzystuje interpretacj" wspó!czynników we wzorze funkcji liniowej, h) sporz$dza wykresy funkcji kwadratowych, i) wyznacza wzór funkcji kwadratowej, j) wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej, k) wyznacza warto'& najmniejsz$ i warto'& najwi"ksz$ funkcji kwadratowej w przedziale domkni"tym, l) rozwi$zuje zadania (równie% umieszczone w kontek'cie praktycznym), prowadz$ce do badania funkcji kwadratowej, m) sporz$dza wykres, odczytuje w!asno'ci i rozwi$zuje zadania umieszczone w kontek'cie praktycznym zwi$zane z proporcjonalno'ci$ odwrotn$, n) sporz$dza wykresy funkcji wyk!adniczych dla ró%nych podstaw i rozwi$zuje zadania umieszczone w kontek'cie praktycznym, x $ 1 $ & 3 i x $ 1 $ x $ " 3, jak na poziomie podstawowym oraz: maj$c dany wykres funkcji y % ' ( naszkicowa&: a) wykres funkcji y % f ' x (, f x potrafi b) wykresy funkcji y % c ) f ' x (, % ' ) ( y f c x, gdzie f jest funkcj$ trygonometryczn$, c) wykres b"d$cy efektem wykonania kilku operacji, na przyk!ad y % f ' x $ (! 3, d) wykresy funkcji logarytmicznych dla ró%nych podstaw, e) rozwi$zuje zadania (równie% umieszczone w kontek'cie praktycznym) z wykorzystaniem takich funkcji, 15

16 5) ci$gi liczbowe: a) wyznacza wyrazy ci$gu okre'lonego wzorem ogólnym, b) bada, czy dany ci$g jest arytmetyczny lub geometryczny, c) stosuje wzory na n-ty wyraz i sum" n pocz$tkowych wyrazów ci$gu arytmetycznego i ci$gu geometrycznego, równie% umieszczone w kontek'cie praktycznym, 6) trygonometria: a) wykorzystuje definicje i wyznacza warto'ci funkcji trygonometrycznych dla k$tów ostrych, b) rozwi$zuje równania typu sinx=a, cosx=a, tgx % a, dla 0 o < x < 90 o, c) stosuje proste zwi$zki mi"dzy funkcjami trygonometrycznymi k$ta ostrego, d) znaj$c warto'& jednej z funkcji trygonometrycznych, wyznacza warto'ci pozosta!ych funkcji tego samego k$ta ostrego, 7) planimetria: a) korzysta ze zwi$zków mi"dzy k$tem 'rodkowym, k$tem wpisanym i k$tem mi"dzy styczn$ a ci"ciw$ okr"gu, b) wykorzystuje w!asno'ci figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontek'cie praktycznym, c) znajduje zwi$zki miarowe w figurach p!askich, tak%e z zastosowaniem trygonometrii, równie% w zadaniach umieszczonych w kontek'cie praktycznym, d) okre'la wzajemne po!o%enie prostej i okr"gu, jak na poziomie podstawowym oraz wyznacza wyrazy ci$gów zdefiniowanych rekurencyjnie, jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje miar"!ukow$ i miar" stopniow$ k$ta, b) wyznacza warto'ci funkcji trygonometrycznych dowolnego k$ta przez sprowadzenie do przypadku k$ta ostrego, c) pos!uguje si" wykresami funkcji trygonometrycznych przy rozwi$zywaniu nierówno'ci typu sin x " a, cos x & a, tgx & a, d) stosuje zwi$zki: sin x $ cos x % 1, tgx % sin x oraz wzory na sinus i cos x cosinus sumy i ró%nicy k$tów w dowodach to%samo'ci trygonometrycznych, e) rozwi$zuje równania i nierówno'ci trygonometryczne, na przyk!ad sinx % 1, sin x $ cos x % 1, cos x " 1 jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje twierdzenia charakteryzuj$ce czworok$ty wpisane w okr$g i czworok$ty opisane na okr"gu, b) stosuje twierdzenie o zwi$zkach miarowych mi"dzy odcinkami stycznych i siecznych, c) stosuje w!asno'ci figur podobnych i jednok!adnych w zadaniach, tak%e umieszczonych w kontek'cie praktycznym, d) znajduje zwi$zki miarowe w figurach p!askich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów, 16

17 8) geometria na p!aszczy)nie kartezja#skiej: a) wykorzystuje poj"cie uk!adu wspó!rz"dnych na p!aszczy)nie, b) podaje równanie prostej w postaci Ax $ By $ C % 0 lub y % ax $ b, maj$c dane dwa jej punkty lub jeden punkt i wspó!czynnik a w równaniu kierunkowym, c) bada równoleg!o'& i prostopad!o'& prostych na podstawie ich równa# kierunkowych, d) interpretuje geometrycznie uk!ad dwóch równa# liniowych z dwiema niewiadomymi, e) oblicza odleg!o'ci punktów na p!aszczy)nie kartezja#skiej, f) wyznacza wspó!rz"dne 'rodka odcinka, g) pos!uguje si" równaniem okr"gu ' ( ' ( x! a $ y! b % r, 9) stereometria: a) wskazuje i oblicza k$ty mi"dzy 'cianami wielo'cianu, mi"dzy 'cianami i odcinkami oraz mi"dzy odcinkami takimi jak kraw"dzie, przek$tne, wysoko'ci, b) wyznacza zwi$zki miarowe w wielo'cianach i bry!ach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii, 10) elementy statystyki opisowej; teoria prawdopodobie#stwa i kombinatoryka: a) oblicza 'redni$ arytmetyczn$, 'redni$ wa%on$, median" i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagaj$cych u%ycia wzorów kombinatorycznych; stosuje zasad" mno%enia, c) wykorzystuje sum", iloczyn i ró%nic" zdarze# do obliczania prawdopodobie#stw zdarze#, d) wykorzystuje w!asno'ci prawdopodobie#stwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobie#stwa do obliczania prawdopodobie#stw zdarze#. jak na poziomie podstawowym oraz: a) interpretuje geometrycznie nierówno'& liniow$ z dwiema niewiadomymi i uk!ady takich nierówno'ci, b) rozwi$zuje zadania dotycz$ce wzajemnego po!o%enia prostej i okr"gu, oraz dwóch okr"gów na p!aszczy)nie kartezja#skiej, c) oblicza odleg!o'& punktu od prostej, d) opisuje ko!a za pomoc$ nierówno'ci, e) oblicza wspó!rz"dne oraz d!ugo'& wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mno%y je przez liczb", f) interpretuje geometrycznie dzia!ania na wektorach, g) stosuje wektory do rozwi$zywania zada#, a tak%e do dowodzenia w!asno'ci figur, h) stosuje wektory do opisu przesuni"cia wykresu funkcji, jak na poziomie podstawowym oraz a) wyznacza przekroje wielo'cianów p!aszczyzn$, b) stosuje twierdzenie o trzech prostych prostopad!ych, jak na poziomie podstawowym oraz wykorzystuje wzory na liczb" permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. 17

18

19 VI. SZCZEGÓ)OWY OPIS STANDARDÓW WYMAGA* EGZAMINACYJNYCH Zdaj%cy posiada umiej&tno'ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY interpretuje tekst matematyczny i formu!uje uzyskane wyniki Zdaj$cy potrafi: *+ odczyta& informacj" bezpo'rednio wynikaj$c$ z tre'ci zadania *+ zastosowa& podany wzór lub podany przepis post"powania *+ wykona& rutynow$ procedur" dla typowych danych *+ przejrzy'cie zapisa& przebieg i wynik oblicze# oraz uzyskan$ odpowied) Przyk!adowe zadania (poziom podstawowy): 1) wykorzystania i tworzenia informacji: POZIOM ROZSZERZONY u%ywa j"zyka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników Zdaj$cy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym oraz: *+ wykona& rutynow$ procedur" na niekoniecznie typowych danych *+ odczyta& informacj" z wykorzystaniem wi"cej ni% jednej postaci danych *+ precyzyjnie przedstawi& przebieg swojego rozumowania 1. Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie napoje pij! mi"dzy posi#kami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajów napojów. Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz: *+ ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wod" mineraln!, *+ ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów gazowanych, *+ ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej. 19

20 n. Dany jest ci!g ' a n ( okre$lony wzorem an '! 1(!! n % dla n = 1,,3.... Oblicz a, a 4 i a 5. n! 1, - 4! 3). / 3 3. Przedstaw 0 1 w postaci nieskracalnego u#amka zwyk#ego.! 1, 1-5!. / Podaj miejsca zerowe funkcji okre$lonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x: f ( x) % x( x $ ), ( ) % '! 5 (( $ ) 5. Oblicz a! b, gdy g x x x, ( ) % ' 5! (' $ 1( h x x x. 4 4 a % sin! cos, b % 1! 4sin cos dla % 60!. 6. Wska% równanie okr"gu o $rodku w punkcie S %'! 1, ( i promieniu r % : a) ' ( ' ( x$ 1 $ y! %, b) ' ( ' ( x$ 1 $ y! %, c) ' ( ' ( x! 1 $ y $ %, d) ' ( ' ( x$ 1! y! %. Przyk!adowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Oblicz '! 3! $ 3 (. 8. Miary dwóch k!tów trójk!ta wynosz! podaj w stopniach. 3 i 6 3. Oblicz miar" trzeciego k!ta. Odpowied& 5 9. Dane jest równanie sin x% a $ 1, z niewiadom! x. Wyznacz wszystkie warto$ci parametru a, dla których dane równanie nie ma rozwi!za'. 10. Funkcja f jest okre$lona wzorem ' ( tej funkcji s! liczby a) 5,, 6. b), 6. c) 5,. d) 5,, 6. 4 x$ 5 dla x"! 5 5 f x % 7! x $ dla! 5 6 x " 5. Miejscami zerowymi 5 9 x! 6 dla x85 0

21 ) wykorzystania i interpretowania reprezentacji: u%ywa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych Zdaj$cy potrafi: *+ poprawnie wykonywa& dzia!ania na liczbach i przedzia!ach liczbowych, przekszta!ca& wyra%enia algebraiczne, rozwi$zywa& niezbyt z!o%one równania, ich uk!ady oraz nierówno'ci, odczytywa& z wykresu w!asno'ci funkcji, sporz$dza& wykresy niektórych funkcji, znajdowa& stosunki miarowe w figurach p!askich i przestrzennych (tak%e z wykorzystaniem uk!adu wspó!rz"dnych lub trygonometrii), zlicza& obiekty i wyznacza& prawdopodobie#stwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych *+ zastosowa& dobrze znan$ definicj" lub twierdzenie w typowym kontek'cie rozumie i interpretuje poj"cia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi Zdaj$cy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, tak%e: *+ w odniesieniu do bardziej z!o%onych obiektów matematycznych, a ponadto potrafi poda& przyk!ad obiektu matematycznego spe!niaj$cego zadane warunki Przyk!adowe zadania (poziom podstawowy): 1. Na osi liczbowej zaznaczono przedzia# A z#o%ony z tych liczb rzeczywistych, których odleg#o$( od punktu 1 jest niewi"ksza od 4,5. Przedzia# A przesuni"to wzd#u% osi o jednostki w kierunku dodatnim, otrzymuj!c przedzia# B. Wyznacz wszystkie liczby ca#kowite, które nale%! jednocze$nie do A i do B.. Rozwi!% równanie x $ 3 $ x % 1 x. 3. Oblicz najwi"ksz! i najmniejsz! warto$( funkcji f ( x) % x! 4x $ 11 w przedziale A % 0, Pan Kowalski planuj!c wyjazd na wakacje letnie w nast"pnym roku postanowi# za#o%y( lokat", wp#acaj!c do banku 000 z# na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat:!"lokata A oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,!"lokata B oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pó# roku,!"lokata C oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwarta#. Oce', wykonuj!c odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego. 1

22 5. W trójk!cie równoramiennym ABC, w którym AC % BC % 10cm, wysoko$( poprowadzona z wierzcho#ka C jest równa 5 cm. Oblicz miary k!tów tego trójk!ta. Odpowied& podaj w stopniach. 6. Ostrok!tny trójk!t równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okr!g o $rodku S, przy czym k!t SAB ma miar" 40!. Oblicz miar" k!ta CAB. 7. Oblicz odleg#o$( punktu A od $rodka odcinka BC, gdzie ' 1,3 (, ' 4,7 (, ', 3( A % B % C %!!. 8. W graniastos#upie czworok!tnym prawid#owym przek!tna o d#ugo$ci m jest nachylona do p#aszczyzny podstawy pod k!tem. Wiadomo, %e sin % 0,. Wyznacz obj"to$( tego graniastos#upa. 9. O zdarzeniach losowych A i B wiemy %e: 1 PA% ( ), PB ( ) %, 3 4 P( A: B) %. Oblicz: 5 a) P( A; B), b) P( A \ B ). 10. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f ' x ( wska%, które zdanie jest prawdziwe. 9 y. (1,9) f(x) x a) Miejscami zerowymi funkcji s! liczby: oraz 4. b) Funkcja jest rosn!ca w przedziale '!, 4(. c) Funkcja przyjmuje warto$ci wi"ksze od zera dla x " 1. d) Zbiorem warto$ci funkcji jest przedzia# '!<,9(.

23 Przyk!adowe zadania (poziom rozszerzony): 11. W kolejce do kasy biletowej ustawi#y si" cztery dziewczynki i pi"ciu ch#opców. Liczba wszystkich mo%liwych ustawie' osób w tej kolejce wynosi a) 4! + 5!. b) 9!. c) 4 5. d) 4! 5!. 1. Rozwi!% równanie 5 ' 4 ' (( log log log x % 0. 1 f x %! dla wszystkich liczb rzeczywistych x $ 1 x =!1. Rozwi!% nierówno$( f ' x( & f '! x(. 13. Funkcja f jest okre$lona wzorem ' ( Narysuj wykres funkcji f okre$lonej w przedziale!, wzorem x 1 a) f ' x (%! 1, b) ' ( % x! f x. 15. Pole wycinka ko#a o promieniu 3cm jest równe cm. Oblicz miar" #ukow! k!ta $rodkowego tego wycinka. 16. Punkty A % (1, 1), B % (5,5), C % (3,5) s! wierzcho#kami trapezu równoramiennego ABCD nieb"d!cego równoleg#obokiem, w którym AB CD. a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu. b) Oblicz pole tego trapezu. 17. Na okr"gu zaznaczono sze$( ró%nych punktów. Ile ró%nych wielok!tów wypuk#ych o wszystkich wierzcho#kach w tych punktach mo%na narysowa(? 18. Dla jakich warto$ci parametru m reszta z dzielenia wielomianu ' ( x! mx $ m! x $ x $ m! przez dwumian x! 1 jest równa 3? 19. Wyznacz równanie okr"gu o $rodku A % ',3(, stycznego do prostej o równaniu x! y $ 1 % 0. 3

24 3) modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej sytuacji Zdaj$cy potrafi, tak%e w sytuacjach praktycznych: *+ poda& wyra%enie algebraiczne, funkcj", równanie, nierówno'&, interpretacj" geometryczn$, przestrze# zdarze# elementarnych opisuj$ce przedstawion$ sytuacj" *+ przetworzy& informacje wyra%one w jednej postaci w posta& u!atwiaj$c$ rozwi$zanie problemu *+ oceni& przydatno'& otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzgl"dniaj$c ograniczenia i zastrze%enia Zdaj$cy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, tak%e: *+ buduje model matematyczny danej sytuacji, tak%e praktycznej, równie% wymagaj$cy uwzgl"dnienia niezb"dnych ogranicze# i zastrze%e# Przyk!adowe zadania (poziom podstawowy): 1. Dany jest prostok!t o bokach a i b. Zmniejszamy d#ugo$( boku a o 10% oraz zwi"kszamy d#ugo$( boku b o 0%. a) O ile procent zwi"kszy si" pole tego prostok!ta? b) Wyznacz d#ugo$( boku b, dla której nowy prostok!t b"dzie mia# taki sam obwód jak prostok!t wyj$ciowy, je$li wiadomo, %e bok a ma d#ugo$( 30 cm.. Liczb" 4 przedstaw w postaci sumy dwóch sk#adników tak, by ró%nica ich kwadratów by#a równa Dla ka%dej liczby rzeczywistej b równanie y % x! bx $ opisuje pewn! parabol". Wyznacz wszystkie warto$ci parametru b, dla których wierzcho#ek paraboli le%y nad osi! Ox. 4. Punkt B %(! 1,9) nale%y do okr"gu stycznego do osi Ox w punkcie A % (,0). Wyznacz równanie tego okr"gu. 5. Strzelaj!c do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobie'stwem 0,5, a co najwy%ej 9 punktów z prawdopodobie'stwem 0,7. Oblicz prawdopodobie'stwo, %e ten strzelec uzyska dok#adnie 9 punktów. 4

25 6. D#ugo$( ramienia BC trapezu prostok!tnego jest dwa razy wi"ksza od ró%nicy d#ugo$ci jego podstaw. K!t ABC ma miar" a) 30!. D C b) 45!. c) 60!. d) 75!. A B Przyk!adowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Niech A b"dzie zbiorem wszystkich liczb x, które spe#niaj! równo$( x! 1 $ x! 3 %. Niech B b"dzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odleg#o$ci od punktów 4 i 6 jest niewi"ksza ni% 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które nale%! jednocze$nie do A i do B., 3-8. Przedzia#.!, 0 / jest zbiorem wszystkich rozwi!za' nierówno$ci m 0 1 x " z niewiadom! x. Oblicz m. 9. Rozpatrujemy wszystkie prostok!ty o polu równym 6, których dwa s!siednie boki zawarte s! w osiach Ox i Oy uk#adu wspó#rz"dnych. Wyznacz równanie krzywej b"d!cej zbiorem tych wierzcho#ków rozpatrywanych prostok!tów, które nie le%! na %adnej z osi uk#adu wspó#rz"dnych. Narysuj t" krzyw!. 10. Miary pi"ciu k!tów tworz! ci!g arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ci!gu jest 150!, a czwartym 70!. Oblicz sum" sinusów tych pi"ciu k!tów. 11. Dane jest równanie ' 3! ( %!! x $ m x m z niewiadom! x. Sformu#uj warunki, jakie powinien spe#nia( parametr m, by to równanie mia#o dwa ró%ne pierwiastki, których suma odwrotno$ci jest dodatnia. 1. Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ci!gu geometrycznego wiedz!c, %e s! one dodatnie, ich suma jest równa 1 oraz suma ich odwrotno$ci jest równa Z szuflady, w której znajduje si" 10 ró%nych par r"kawiczek wybieramy losowo cztery r"kawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarze' elementarnych, a nast"pnie oblicz prawdopodobie'stwo zdarze': A w$ród wylosowanych r"kawiczek nie b"dzie pary, B w$ród wylosowanych r"kawiczek b"dzie dok#adnie jedna para. 5

26 4) u(ycia i tworzenia strategii: stosuje strategi", która jasno wynika z tre'ci zadania Zdaj$cy potrafi: *+ dobra& odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej *+ ustali& zale%no'ci mi"dzy podanymi informacjami *+ zaplanowa& kolejno'& wykonywania czynno'ci, wprost wynikaj$cych z tre'ci zadania, lecz nie mieszcz$cych si" w ramach rutynowego algorytmu *+ krytycznie oceni& otrzymane wyniki tworzy strategi" rozwi$zywania problemu Zdaj$cy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, tak%e: *+ zaplanowa& i wykona& ci$g czynno'ci prowadz$cy do rozwi$zania problemu, nie wynikaj$cy wprost z tre'ci zadania Przyk!adowe zadania (poziom podstawowy): 1. Podaj przyk#ad liczb ca#kowitych dodatnich a i b, spe#niaj!cych nierówno$( 5 a " " 6. 7 b 7. Stosuj!c wzory skróconego mno%enia roz#ó% na czynniki wyra%enie 1! a $ ab! b. 3. W ci!gu arytmetycznym ' ( n a dane s! wyrazy: a %, a 19. Wyznacz wszystkie % warto$ci n, dla których wyrazy ci!gu ' a n ( s! mniejsze od Liczby dodatnie a, b, c spe#niaj! warunek: log4 c % log3 b % log a %. Oblicz abc. $ y! 3 % 5. Ile punktów wspólnych ma okr!g o równaniu ' ( 6 3 x $ y! 15 % 0? x z prost! o równaniu 6. Zbiorem warto$ci funkcji kwadratowej g jest przedzia# '! <, 5, a zbiorem rozwi!za' nierówno$ci ( x) & 0 g jest przedzia# ', 8(. Wyznacz wzór funkcji g. 7. Rozwi!% równanie ' x ( ' x ( ' x ( ' x ( $ 1 $ $ 4 $ $ 7 $... $ $ 8 % 155, je$li wiadomo, %e sk#adniki po lewej stronie s! kolejnymi wyrazami pewnego ci!gu arytmetycznego. 8. Wiedz!c, %e ) jest k!tem ostrym i tg %, oblicz warto$( wyra%enia 4cos! 3sin. 3cos $ 5sin 9. Dany jest trójk!t prostok!tny ABC o przeciwprostok!tnej AB, taki %e sin "BAC % 0,3 i AC % 7. Oblicz pole ko#a opisanego na tym trójk!cie. 10. W uk#adzie wspó#rz"dnych na p#aszczy&nie zaznaczono punkty A % ',0( i ' 4,0( B %. Wyznacz wszystkie mo%liwe po#o%enia punktu C, dla których ABC jest trójk!tem równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3. 6

27 11. Rzucamy trzy razy symetryczn! sze$cienn! kostk! do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarze' elementarnych, a nast"pnie oblicz prawdopodobie'stwo, %e w ka%dym rzucie liczba oczek b"dzie wi"ksza od numeru rzutu. Przyk!adowe zadania (poziom rozszerzony): 1. Wyznacz wszystkie warto$ci parametru p, dla których równanie x! $ x$ 3 % p ma dok#adnie dwa rozwi!zania. 13. Wyka%, %e dla a > ', 3( zachodzi równo$(! 6 $ 9! 4 $ 4 $ %. 3! a a! a a a a 14. Dane jest równanie x $ bx $ c % 0 z niewiadom! x. Wyznacz warto$ci b oraz c tak, by by#y one rozwi!zaniami danego równania. 15. Dane s! funkcje liniowe g i h okre$lone wzorami: g ( x) % ax $ b i h ( x) % bx $ a. Wiadomo, %e funkcja g jest rosn!ca, a funkcja h malej!ca. a) Wyznacz pierwsz! wspó#rz"dn! punktu przeci"cia wykresów tych funkcji. b) Oblicz liczby a i b wiedz!c, %e wykresy funkcji g i h s! prostymi prostopad#ymi, a punkt ich przeci"cia le%y na osi Ox. 16. Dany jest ci!g ' a n ( maj!cy t" w#asno$(, %e dla ka%dej liczby naturalnej n suma 1 7 n pocz!tkowych wyrazów tego ci!gu jest równa ' n n( tego ci!gu. Wyka%, %e ' a n ( jest ci!giem arytmetycznym.!. Oblicz dwudziesty wyraz 17. Proste zawieraj!ce ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinaj! si" w punkcie S. Dane s!: AB % 6, CD % oraz obwód trójk!ta SCD równy 18. Oblicz obwód trójk!ta SAB. 18. W pewnym trapezie k!ty przy dwóch przeciwleg#ych wierzcho#kach maj! miary oraz! 90 $. Jedno z ramion tego trapezu ma d#ugo$( t. Wyznacz ró%nic" d#ugo$ci podstaw tego trapezu. 19. Czworok!t ABCD jest wpisany w okr!g. Dane s! BC % a, CD % b, " DAB %. Wyznacz d#ugo$( przek!tnej BD. 0. Podstaw! ostros#upa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku d#ugo$ci 4. Odcinek DS jest wysoko$ci! ostros#upa i ma d#ugo$( 6. Punkt M jest $rodkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostros#upa p#aszczyzn! BCM. 7

28 1. Ze zbioru liczb {1,,..., n $ 5} wybieramy jednocze$nie dwie liczby. Na ile sposobów mo%emy to zrobi(, tak aby otrzyma( dwie liczby takie, %e: a) ich ró%nica b"dzie liczb! parzyst!, b) suma ich kwadratów b"dzie liczb! podzieln! przez cztery?. Narysuj przekrój równoleg#o$cianu p#aszczyzn! PQR. Q P R 3. Wiedz!c, %e dla pewnego ci!gu geometrycznego ' a n ( o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równo$( S14 % 5) S7, oblicz iloraz tego ci!gu. Symbol S n oznacza sum" n pocz!tkowych wyrazów ci!gu ' a n (. 8

29 5) rozumowania i argumentacji: prowadzi proste rozumowanie, sk!adaj$ce si" z niewielkiej liczby kroków. Zdaj$cy potrafi: *+ wyprowadzi& wniosek z prostego uk!adu przes!anek i go uzasadni& *+ zastosowa& twierdzenie, które nie wyst"puje w tre'ci zadania tworzy!a#cuch argumentów i uzasadnia jego poprawno'&. Zdaj$cy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, tak%e: *+ wyprowadzi& wniosek ze z!o%onego uk!adu przes!anek i go uzasadni& *+ analizowa& i interpretowa& otrzymane wyniki *+ przeprowadzi& dowód Przyk!adowe zadania (poziom podstawowy): 1. Wiadomo, %e 1,5849 jest przybli%eniem liczby 10 0, z zaokr!gleniem do 4 miejsc po przecinku. Wyznacz przybli%enie liczby oraz przybli%enie liczby. Wyka%, %e dla % 3 wszystkie liczby rzeczywiste x ! z zaokr!gleniem do 3 miejsc po przecinku z zaokr!gleniem do 1 miejsca po przecinku. x $ m! x $ m $ & jest spe#niona przez m nierówno$( ' 3( Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedzia#, w którym ta funkcja jest malej!ca to, $ < (. Najwi"ksza warto$( funkcji f w przedziale! 8,! 7 jest równa '! 4(. Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres. 4. W pewnym trójk!cie prostok!tnym suma cosinusów k!tów ostrych jest równa Oblicz iloczyn sinusów tych k!tów Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przek!tne tego trapezu przecinaj! si" w punkcie S. Wyka%, %e SA ) SD % SB ) SC. 6. Prostok!t ABCD obracaj!c si" wokó# boku AB, zakre$li# walec w 1. Ten sam prostok!t obracaj!c si" wokó# boku AD, zakre$li# walec w. Otrzymane walce maj! równe pola powierzchni ca#kowitych. Wyka%, %e prostok!t ABCD jest kwadratem. 9

30 Przyk!adowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Wielomian f jest okre$lony wzorem ' ( 4 3 pierwszych a oraz b. Wiadomo, %e liczba Oblicz a i b. f x % ax! 9x $ 3x $ 7x $ b dla pewnych liczb 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu. 8. Dane jest równanie x $ mx $ m! 1 % 0 z niewiadom! x. Uzasadnij, %e dla ka%dej liczby ca#kowitej m wszystkie rozwi!zania tego równania s! liczbami ca#kowitymi. 9. Funkcja g jest okre$lona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w nast"puj!cy sposób: je$li >, $ 1( x k k dla pewnej liczby ca#kowitej k, to ' x( % kx! k! 1 a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale!,0(. b) Uzasadnij, %e funkcja g nie ma miejsc zerowych. c) Rozwi!% równanie gx ( ) % 010. g. 10. Wyka%, %e je%eli liczby b, c, b! a s! kolejnymi wyrazami ci!gu geometrycznego to liczby ab, b, c s! kolejnymi wyrazami ci!gu arytmetycznego. 11. Wyka%, %e wyra%enie! cos x 1 % tgx $ nie jest to%samo$ci!. sin x cos x tgx 1. Dany jest taki czworok!t wypuk#y ABCD, %e okr"gi wpisane w trójk!ty ABC i ADC s! styczne. Wyka%, %e w czworok!t ABCD mo%na wpisa( okr!g. 13. Dane s! punkty A% (,3), B% (5, 4). Na prostej o równaniu y % 5 wyznacz punkt C tak, aby #amana ACB mia#a jak najmniejsz! d#ugo$(. Odpowied& uzasadnij. 14. Trójk!t ABC jest podstaw! ostros#upa ABCS. Punkt M jest $rodkiem boku AB i AM prosty. % MC. Odcinek AS jest wysoko$ci! tego ostros#upa. Wyka%, %e k!t SCB jest 15. Podstaw! ostros#upa ABCDS jest prostok!t ABCD, w którym AB % 1, BC %. Wszystkie kraw"dzie boczne tego ostros#upa maj! d#ugo$( 1. Wyznacz warto$( dowolnej funkcji trygonometrycznej k!ta mi"dzy dwiema s!siednimi $cianami bocznymi tego ostros#upa. 30

31 16. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w sze$ciostopniowej skali ocen). Dziewcz"ta Ch#opcy liczba osób $rednia ocen 4,0 3,8 odchylenie standardowe 1,1 1,8 Oblicz $redni! ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla ca!ej klasy. Wyniki podaj z zaokr!gleniem do dwóch miejsc po przecinku. 31

32

33 VII. PRZYK)ADOWE ARKUSZE I SCHEMATY OCENIANIA Poziom podstawowy 170 minut 33

34

35 PRZYK"ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz#cego 1. Sprawd&, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s! podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedn# odpowied& i zaznacz j! na karcie odpowiedzi. 3. Zaznaczaj!c odpowiedzi w cz"$ci karty przeznaczonej dla zdaj!cego, zamaluj pola do tego przeznaczone. B#"dne zaznaczenie otocz kó#kiem i zaznacz w#a$ciwe. 4. Rozwi!zania zada' od 6. do 33. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadz!cy do ostatecznego wyniku. 5. Pisz czytelnie. U%ywaj d#ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 6. Nie u%ywaj korektora. B#"dne zapisy przekre$l. 7. Pami"taj, %e zapisy w brudnopisie nie podlegaj! ocenie. 8. Obok numeru ka%dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów mo%liwych do uzyskania. 9. Mo%esz korzysta( z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 10. Wype#nij t" cz"$( karty odpowiedzi, któr! koduje zdaj!cy. Nie wpisuj %adnych znaków w cz"$ci przeznaczonej dla egzaminatora.!yczymy powodzenia! Za rozwi!zanie wszystkich zada' mo%na otrzyma( #!cznie 50 punktów

36 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI$TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn" poprawn" odpowied#. Zadanie 1. (1 pkt) Punkty A % ' 1,! (, C % ' 4, ( s! dwoma wierzcho#kami trójk!ta równobocznego ABC. Wysoko$( tego trójk!ta jest równa A. 5 3 B C D Zadanie. (1 pkt) Wska% nierówno$(, która opisuje przedzia# zaznaczony na osi liczbowej.! 5 1 x A. x $ 6 3 B. x! 6 3 C. x! 3 6 D. x $ 3 6 Zadanie 3. (1 pkt) Drut o d#ugo$ci 7 m poci"to na trzy cz"$ci, których stosunek d#ugo$ci jest równy :3:4. Jak! d#ugo$( ma najkrótsza z tych cz"$ci? A. 4,5 m B. 6 m C. 6,75 m D. 9 m Zadanie 4. (1 pkt) Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y %! x $ z okr"giem o $rodku w pocz!tku uk#adu wspó#rz"dnych i promieniu? A. 0 B. 1 C. D. 3 Zadanie 5. (1 pkt) Liczby: 1, 3, x! 11, w podanej kolejno$ci, s! pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci!gu arytmetycznego. Liczba x jest równa A. 5 B. 9 C. 16 D. 0 36

37 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 37

38 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 6. (1 pkt) Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y % f ' x(. y y y % f ' x( x 0 1 x Rys. 1. Rys.. Funkcja przedstawiona na rysunku. jest okre$lona wzorem A. y % f ' x( $ B. y % f ' x(! C. y % f ' x! ( D. y % f ' x $ ( Zadanie 7. (1 pkt) 3 K!t jest ostry i cos %. Wtedy sin jest równy 4 A. 1 4 B. 7 4 C D Zadanie 8. (1 pkt) Wska% funkcj" kwadratow!, której zbiorem warto$ci jest przedzia#!, < (. y B. y %!' x $1(! C. y % ' x! 1( D. y % ' x $1(! A. %!x $ Zadanie 9. (1 pkt) Liczba log36 jest równa A. log18 B. log 40! log C. log 4! 3log D. log 6! log1 Zadanie 10. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry s! parzyste? A. 16 B. 0 C. 4 D. 5 Zadanie 11. (1 pkt) Powierzchnia boczna sto%ka po rozwini"ciu jest pó#kolem o promieniu 1 cm. Podstawa tego sto%ka jest ko#em o promieniu A. 1 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 1 cm $ 38

39 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 39

40 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 1. (1 pkt) Wyniki sprawdzianu z matematyki s! przedstawione na diagramie Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa A. 6 B. 5 C. 4,5 D. 4 Zadanie 13. (1 pkt) Prosta l ma równanie y % x! 11. Wska% równanie prostej równoleg#ej do l. 1 1 A. y % x B. y %! x C. y %! x D. y % x Zadanie 14. (1 pkt) x $ 3 Liczba rozwi!za' równania % 0 jest równa ' 5! x (' x $ ( A. 3 B. C. 1 D. 0 Zadanie 15. (1 pkt) x 1 x Wska% przedzia#, który jest zbiorem rozwi!za' nierówno$ci $ " <,!, $ < A. ' <,! (! B. '! ( C. ' ( D. ', $ < ( Zadanie 16. (1 pkt) Przek!tna prostopad#o$cianu o wymiarach 3? 4? 5 ma d#ugo$( A. 5 B. 3 C. 5 D. 15 Zadanie 17. (1 pkt) Liczba x %! 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ' x( % ' 3! a( x $ 7 dla A. a %! 7 B. a % C. a % 3 D. a %! 1 Zadanie 18. (1 pkt) Zbiorem rozwi!za' nierówno$ci liczba osób x 8 9 jest ocena A. '! <,! 3 : 3, $ < ( B.! 3, 3 C.! 3, $ < ( D. 3,$ < ( 40

41 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 41

42 Zadanie 19. (1 pkt) Zaznaczony na rysunku k!t jest równy Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy 40@ O 30@ r A. B. C. D. Zadanie 0. (1 pkt) Która z liczb jest rozwi!zaniem równania ' x! 1( $ x % x! 3'! 3x(? A. B.! C D.! 1 Zadanie 1. (1 pkt) 40 0 Liczba ) 4 jest równa A B C D Zadanie. (1 pkt) Wska% liczb", której 4% jest równe 8. A. 3, B. 3 C. 100 D. 00 Zadanie 3. (1 pkt) K!t jest ostry i cos % 0,9. Wówczas A. o " 30 B. o % 30 C. o % 45 D. o & 45 Zadanie 4. (1 pkt) Trzeci wyraz ci!gu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ci!gu jest równy (! ). Pierwszy wyraz tego ci!gu jest równy A. 16 B.! 16 C. 8 D.! 8 Zadanie 5. (1 pkt) Ze zbioru liczb {1,,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedn! liczb". Liczba p jest prawdopodobie'stwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy A. p " 0,3 B. p % 0,3 C. 1 p % D. 3 1 p & 3 4

43 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 43

44 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA OTWARTE Rozwi"zania zada$ o numerach od 6. do 33. nale%y zapisa& w wyznaczonych miejscach pod tre'ci" zadania. Zadanie 6. ( pkt) n! n Dany jest ci!g ' a n ( okre$lony wzorem an % '! 1( dla n 81. Oblicz a i a 5. n Odpowied&: a %... i a 5 %

45 Zadanie 7. ( pkt) Rozwi!% równanie x 3! 1x $ x! 1 % 0. Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Odpowied&:. Zadanie 8. ( pkt) Punkt E le%y na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB CD. Udowodnij, %e " AED % " BAE $ " CDE. 45

46 Zadanie 9. ( pkt) Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Podaj przyk#ad liczb ca#kowitych dodatnich a i b, spe#niaj!cych nierówno$( 4 9 a " " b 5 9. Odpowied&: Liczby takie to np.: a %... i b %.... Zadanie 30. ( pkt) Dany jest prostok!t o bokach a i b oraz prostok!t o bokach c i d. D#ugo$( boku c to 90% d#ugo$ci boku a. D#ugo$( boku d to 10% d#ugo$ci boku b. Oblicz, ile procent pola prostok!ta o bokach a i b stanowi pole prostok!ta o bokach c i d. Odpowied&: Pole prostok!ta o bokach c i d stanowi... % pola prostok!ta o bokach a i b. 46

47 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 31. (6 pkt) Dwa poci!gi towarowe wyjecha#y z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Poci!g jad!cy z miasta A do miasta B wyjecha# o godzin" wcze$niej ni% poci!g jad!cy z miasta B do miasta A i jecha# z pr"dko$ci! o 9 km/h mniejsz!. Poci!gi te min"#y si" w po#owie drogi. Oblicz, z jakimi pr"dko$ciami jecha#y te poci!gi. 47

48 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 3. (4 pkt) Dane s! dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje si" 9 kul: 4 bia#e, 3 czarne i zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: bia#e, 3 czarne i 1 zielona. Z ka%dego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobie'stwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. 48

49 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 33. (5 pkt) Wysoko$( ostros#upa prawid#owego czworok!tnego jest równa 8. Kraw"d& boczna jest nachylona do p#aszczyzny podstawy pod k!tem Oblicz obj"to$( tego ostros#upa. 49

50 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 50

51 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Karta odpowiedzi Wype#nia pisz!cy Nr zadania A B C D 1. # # # #. # # # # 3. # # # # 4. # # # # 5. # # # # 6. # # # # 7. # # # # 8. # # # # 9. # # # # 10. # # # # 11. # # # # 1. # # # # 13. # # # # 14. # # # # 15. # # # # 16. # # # # 17. # # # # 18. # # # # 19. # # # # 0. # # # # 1. # # # #. # # # # 3. # # # # 4. # # # # 5. # # # # Wype#nia sprawdzaj!cy Nr zadania X # # # # 7. # # # # 8. # # # # 9. # # # # 30. # # # # Nr zadania X # # # # # # # # 3. # # # # # # 33. # # # # # # # Suma punktów Cyfra dziesi!tek Cyfra jednostek # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # D J 51

52 Zestaw P1 Odpowiedzi do zada' zamkni"tych Nr zadania Odpowied% A A B C C B B D D B B B A C D C B A A C A D A A A Odpowiedzi do zada' otwartych Numer zadania 3 6 a % 0, a 5 % 5 7 x % 1 Odpowied& 8 Dowód 9 np. a % 1, b % % 31 45km/h, 54 km/h V % A484,9 3) tg 40@ 5

53 PRZYK"ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz#cego 1. Sprawd&, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s! podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedn# odpowied& i zaznacz j! na karcie odpowiedzi. 3. Zaznaczaj!c odpowiedzi w cz"$ci karty przeznaczonej dla zdaj!cego, zamaluj pola do tego przeznaczone. B#"dne zaznaczenie otocz kó#kiem i zaznacz w#a$ciwe. 4. Rozwi!zania zada' od 1. do 9. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadz!cy do ostatecznego wyniku. 5. Pisz czytelnie. U%ywaj d#ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 6. Nie u%ywaj korektora. B#"dne zapisy przekre$l. 7. Pami"taj, %e zapisy w brudnopisie nie podlegaj! ocenie. 8. Obok numeru ka%dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów mo%liwych do uzyskania. 9. Mo%esz korzysta( z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 10. Wype#nij t" cz"$( karty odpowiedzi, któr! koduje zdaj!cy. Nie wpisuj %adnych znaków w cz"$ci przeznaczonej dla egzaminatora.!yczymy powodzenia! Za rozwi!zanie wszystkich zada' mo%na otrzyma( #!cznie 50 punktów

54 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI$TE W zadaniach od 1. do 0. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn" poprawn" odpowied#. Zadanie 1. (1 pkt) 0 40 Liczba ) 4 jest równa A. 60 B C D Zadanie. (1 pkt) Zbiór rozwi!za' nierówno$ci x! jest przedstawiony na rysunku A. B x 4 x C.! x D. 0 4 x Zadanie 3. (1 pkt) O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, %e: P ' A( % 0, 5, P ' B( % 0, 3 i P ' A: B( % 0, 7. Prawdopodobie'stwo iloczynu zdarze' A i B spe#nia warunek A. P( A; B) % 0, B. P( A; B) & 0,3 C. P( A; B) " 0, D. P( A; B) % 0,3 Zadanie 4. (1 pkt) Wska% liczb", której 6% jest równe 6. A. 0,36 B. 3,6 C. 10 D. 100 Zadanie 5. (1 pkt) Ró%nica miar dwóch s!siednich k!tów wewn"trznych równoleg#oboku jest równa 30@. K!t rozwarty tego równoleg#oboku jest równy A. 105@ B. 115@ C. 15@ D. 135@ Zadanie 6. (1 pkt) Funkcja f jest okre$lona wzorem f ' x( Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? 4 x! 4 % 7 9! x $ dla dla x 6 3 x & 3 A. 0 B. 1 C. D. 3 54

55 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS 55

56 Zadanie 7. (1 pkt) 3 K!t jest ostry i sin %. Wówczas 4 Przyk!adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy A. o " 30 B. o % 30 C. o % 45 D. o & 45 Zadanie 8. (1 pkt) Liczba ) 7 jest równa 4 A. 5 7 B C. 9 7 D. 7 Zadanie 9. (1 pkt) Dana jest funkcja y % f ' x( okre$lona dla x >!1, 8 na rysunku: y, której wykres jest przedstawiony x Wska% zbiór warto$ci tej funkcji. A. B! 1, 0,1,,3, 4,5,6,7,8C B. ' 1, 4(! C.! 1, 4 D.! 1, 8 Zadanie 10. (1 pkt) Trzeci wyraz ci!gu geometrycznego jest równy 4, a pi!ty wyraz tego ci!gu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ci!gu jest równy A. 4 B. 4 C. 16 D. 16 Zadanie 11. (1 pkt) Pewien wielo$cian ma 6 kraw"dzi. Liczba jego $cian jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 Zadanie 1. (1 pkt) Wykres funkcji kwadratowej f ' x( % ' x! 3(! nie ma punktów wspólnych z prost! o równaniu A. y %! 3 B. y %! 1 C. y % 1 D. y % 3 56