Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 8. klasyczny rachunek kwantyfikatorów klasyczny rachunek nazw

Transkrypt

1 WYKŁAD 8 klasyczny rachunek kwantyfikatorów klasyczny rachunek nazw 1

2 Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok.13 tel dyŝur: poniedziałki, godz [w razie potrzeby dyŝur będzie dłuŝszy] 2

3 Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154 (cienka ksiąŝka) 3

4 Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie Q(x) P(x) x (Q(x) P(x)) Przykład KaŜdy słoń ma trąbę = KaŜdy x jeśli x jest słoniem, to x ma trąbę. Q(x) P(x) x (Q(x) P(x)) Przykład Pewien słoń nie ma trąby = Pewien x jest słoniem i x nie ma trąby. Uwaga: Ograniczenie kwantyfikatora działa jak określenie dziedziny. Wszystkie prawa rachunku kwantyfikatorów zachowują swą waŝność, gdy kwantyfikatory będą miały (konsekwentnie) ograniczony zakres. x y = x,y x y = x,y 4

5 diagramy Venna zdanie prawdziwe zdanie fałszywe x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 5

6 Zadanie Wykazać: - niezawodność schematu rozkładu kwantyfikatora szczegółowego na koniunkcję x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli istnieje [jakaś] koszula w paski z zielonymi guzikami, to istnieje [jakaś] koszula w paski i istnieje [jakaś] koszula z zielonymi guzikami. - zawodność schematu ( x P(x) x Q(x)) x (P(x) Q(x)) Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli istnieje jakaś matka i istnieje jakiś ojciec, to nie znaczy Ŝe istnieje ktoś, kto jest jednocześnie ojcem i matką. 6

7 - niezawodność schematu wyciągania kwantyfikatora ogólnego przed alternatywę ( x P(x) x Q(x)) x (P(x) Q(x)) (załóŝmy fałszywość wniosku) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝda zebra ma paski lub kaŝda zebra ma cętki, to kaŝda zebra ma paski lub cętki. - zawodność schematu x (P(x) Q(x)) ( x P(x) x Q(x)) Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli kaŝdy dorosły człowiek jest kobietą lub męŝczyzną, to nie znaczy, Ŝe kaŝdy dorosły człowiek jest kobietą lub kaŝdy dorosły człowiek jest męŝczyzną (jeśli wszyscy dorośli ludzie są kobietami lub męŝczyznami, to nie znaczy, Ŝe wszyscy dorośli ludzie to kobiety lub wszyscy dorośli ludzie to męŝczyźni). 7

8 - niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na koniunkcję x (P(x) Q(x)) ( x P(x) x Q(x)) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, Ŝe kaŝda zebra ma paski i kopyta, to to samo, co powiedzieć, Ŝe kaŝda zebra ma paski i kaŝda zebra ma kopyta. - niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora szczegółowego na alternatywę x (P(x) Q(x)) ( x P(x) x Q(x)) (rozwaŝmy fałszywość jednej strony, potem fałszywość drugiej strony) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma trąbę lub skrzydła, to to samo, co powiedzieć, Ŝe istnieje słoń co ma trąbę lub istnieje słoń co ma skrzydła. 8

9 zdanie prawdziwe zdanie fałszywe x (P(x) Q(x)) Przypomnienie: tautologią klasycznego rachunku zdań jest (p q) (p q). 9

10 - niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na implikację x (P(x) Q(x)) ( x P(x) x Q(x)) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy który jest zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli kaŝdy jest zaszczepiony przeciwko ospie, to kaŝdy jest odporny na wirusa ospy. - niezawodność schematu x (P(x) Q(x)) ( x P(x) x Q(x)) (załóŝmy prawdziwość obu przesłanek x (P(x) Q(x)) oraz x P(x) - sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy który jest zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli ktoś jest zaszczepiony przeciwko ospie, to ktoś jest odporny na wirusa ospy. 10

11 - niezawodność schematu ( x (P(x) Q(x)) x (Q(x) S(x))) x (P(x) S(x)) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, i kaŝdy odporny na wirusa ospy moŝe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę, to kaŝdy zaszczepiony przeciwko ospie moŝe bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę. - niezawodność schematu ( x (P(x) Q(x)) x (P(x) S(x))) x (Q(x) S(x)) Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, i pewien kominiarz jest zaszczepiony przeciwko ospie, to pewien kominiarz jest odporny na wirusa ospy. 11

12 Zamiana kwantyfikatorów niezawodne schematy: x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) Przykłady potwierdzające: KaŜdy kaŝdemu wilkiem = KaŜdemu kaŝdy wilkiem. Ktoś kogoś kocha = Ktoś jest kochany przez kogoś. (P(x,y) moŝemy tu czytać, albo jako x kocha y, albo y jest kochany przez x ) Jeśli ktoś jest ojcem kaŝdego człowieka, to kaŝdy człowiek ma ojca. zawodny schemat: x y P(x,y) y x P(x,y) Kontrprzykład: To Ŝe kaŝdy kogoś kocha, nie implikuje tego, Ŝe ktoś jest kochany przez kaŝdego. 12

13 Identyczność zwrotność identyczności x (x = x) symetryczność identyczności x,y (x = y y = x) przechodniość identyczności x,y,z ((x = y y = z) x = z) zamienialność w kaŝdym kontekście nazw tego samego obiektu (prawo toŝsamości Leibniza) x,y (P(x) x = y) P(y)) x,y (P(x) P(y)) x y) Uwaga: Mówienie o dwóch (a więc w domyśle dwóch róŝnych) identycznych obiektach, to jak mówienie o mniejszej lub większej połowie. Lepiej jest mówić (myśleć) o tym, Ŝe dwie róŝne nazwy a i b oznaczają ten sam obiekt: więc zamiast a i b są sobie równe (są identyczne) lepiej jest mówić a jest tym samym co b. Identyczność jest trywialna! (zachodzi między obiektem a nim samym) Nietrywialną relacją jest podobieństwo, czyli identyczność pod jakimś względem (np. ze względu na jakąś cechę lub przynaleŝność do jakiejś wspólnej klasy). 13

14 Kwantyfikator jednostkowy!x P(x) ( x P(x) ( x,y (P(x) P(y) x = y))) Istnieje dokładnie jeden x taki, Ŝe P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x taki, Ŝe P(x) oraz dla kaŝdego y, jeśli P(y), to y jest x-em. Negacja kwantyfikatora jednostkowego!x P(x) ( x P(x) ( x,y (P(x) P(y) x y))) 14

15 Rachunek nazw (Arystoteles) Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w którym występują dwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) połączone funktorem zdaniotwórczym jest. WyróŜniamy cztery typy zdań kategorycznych: 1. zdanie ogólno-twierdzące KaŜde S jest P (SaP) 2. zdanie ogólno-przeczące śadne S nie jest P (SeP) 3. zdanie szczegółowo-twierdzące Niektóre S są P (SiP) 4. zdanie szczegółowo-przeczące Niektóre S nie są P (SoP) S - subiectum (podmiot) P - praedicatum (orzecznik) SaP, SiP - affirmo (twierdzę) SeP, SoP - nego (przeczę) Przykład KaŜdy adwokat jest prawnikiem. (SaP) śaden sędzia nie jest prokuratorem. (SeP) Niektórzy prawnicy są prokuratorami. (SiP) Niektórzy prawnicy nie są prokuratorami. (SoP) Ex(S) SiS (zdanie Ex(S) stwierdza istnienie obiektu będącego S, czyli stwierdza niepustość S) 15

16 diagramy Venna zdanie prawdziwe zdanie fałszywe SaP SeP SiP SoP 16

17 Prawa z kwadratu logicznego SaP x (x S x P) x (x S x P) SoP SeP x (x S x P) x (x S x P) SiP SiP x (x S x P) x (x S x P) SeP SoP x (x S x P) x (x S x P) SaP SaP przeciwne SeP podporządkowane sprzeczne sprzeczne podporządkowane SiP podprzeciwne SoP (SaP Ex(S)) SeP ( SiP Ex(S)) SoP (SaP Ex(S)) SiP (SeP Ex(S)) SaP ( SoP Ex(S)) SiP (SeP Ex(S)) SoP 17

18 S II I III P S - zakres nazwy S P - zakres nazwy P I - obiekty S, które są P II - obiekty S, które nie są P III - obiekty P, które nie są S 18

19 Zadanie WykaŜ, Ŝe: (SaP Ex(S)) SeP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy krasnal ma czapkę i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe Ŝaden krasnal nie ma czapki. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] (SeP Ex(S)) SaP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma pistoletu i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe kaŝdy krasnal ma pistolet. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 19

20 ( SiP Ex(S)) SoP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal ma chorobę weneryczną i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma choroby wenerycznej. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] ( SoP Ex(S)) SiP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma narzeczoną. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 20

21 (SaP Ex(S)) SiP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy krasnal ma czapkę i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma czapkę. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] (SeP Ex(S)) SoP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma narzeczonej. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 21

22 Prawa konwersji (konwersja to przestawienie podmiotu i orzecznika) prostej z ograniczeniem SeP PeS SiP PiS (SaP Ex(S)) (SeP Ex(P)) PiS PoS 22

23 Prawa obwersji (obwersja to zanegowanie orzecznika i zmiana jakości zdania) SaP Se-P SeP Sa-P SiP So-P SoP Si-P 23

24 Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji) prostej z ograniczeniem SeP Pa-S SiP Po-S (SaP Ex(S)) Po-S (SeP Ex(P)) Pi-S 24

25 Prawa kontrapozycji częściowej (konwersja + zmiana jakości + negacja orzecznika) SaP -PeS SoP -PiS (SeP Ex(S)) -PiS (SaP Ex(-P)) -SoP 25

26 zupełnej (konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu) SaP -Pa-S SoP -Po-S (SeP Ex(S)) -Po-S (SaP Ex(-P)) -Si-P 26

27 Prawa inwersji częściowej (negacja podmiotu + zmiana jakości + zmiana ilości) zupełnej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana ilości) (SeP Ex(P)) -SiP (SeP Ex(P)) -So-P 27

28 Tryby sylogistyczne Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze stałych a, e, i, o i ze zmiennych nazwowych. Trybem sylogistycznym nazywamy schemat wnioskowania spełniający dwa warunki: 1. Wstępują w nim dwie przesłanki będące formami zdania kategorycznego i ewentualnie przesłanka o niepustości jakiegoś terminu. Wiosek jest teŝ formą zdania kategorycznego. 2. Wstępują w nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku występuje w jednej przesłance, a orzecznik wniosku występuje w drugiej przesłance. Termin występujący w obu przesłankach nie występuje we wniosku - jest on nazywany terminem średnim. Mamy więc cztery moŝliwe figury trybów sylogistycznych: I II III IV M P P M M P P M S M S M M S M S S P S P S P S P 28

29 Poprawne tryby sylogistyczne figura I MaP MeP MaP SaM MeP SaM MaP MeP SaM Ex(S) SaM Ex(S) SiM SiM SaP SiP SeP SoP SiP SoP figura II figura III figura IV PeM PaM PeM SaM PaM SeM PeM PaM SaM Ex(S) SeM Ex(S) SiM SoM SeP SoP SeP SoP SoP SoP MaP MeP MaS MiP MaP MaS MoP MeP Ex(M) MaS MiS Ex(M) MaS MiS SiP SiP SiP SoP SoP SoP PaM PaM PeM MaS PaM MeS PiM MaS PeM Ex(P) MeS Ex(S) MaS Ex(M) MiS SiP SeP SoP SiP SoP SoP 29

30 Zadanie. Sprawdź niezawodność następujących trybów sylogistycznych: MeP SaM SeP PeM SiM SoP niezawodny niezawodny 30

31 PeM SaM Ex(S) SoP PeM MeS SeP niezawodny zawodny 31