BADANIE AKTYWNOŚCI RADIOCEZU NA OBSZARZE TRANSGRANICZNYM POLSKO-CZESKIM
|
|
- Władysław Małecki
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Proceedings of ECOpole Vol. 1, No. 1/ Agnieszka DOŁHAŃCZUK-ŚRÓDKA 1, Zbigniew ZIEMBIK 1 Maria WACŁAWEK 1 i Ludmila HYŠPLEROVA 2 BADANIE AKTYWNOŚCI RADIOCEZU NA OBSZARZE TRANSGRANICZNYM POLSKO-CZESKIM INVESTIGATION OF RADIOCESIUM ACTIVITY IN THE POLISH-CZECH BORDER REGION Streszczenie: Na skutek awarii reaktora EJ w Czarnobylu do środowiska przedostało się wiele izotopów promieniotwórczych. Skażenia te objęły m.in. terytoria Polski i Czech. W ramach projektu współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego (Inicjatywa Wspólnotowa INTERREG IIIA Czechy- -Polska) przeprowadzono badania, których celem było określenie aktualnych rozkładów terytorialnych depozycji izotopów cezu w powierzchniowej warstwie gleby oraz mocy dawki promieniowania gamma na obszarze transgranicznym polsko-czeskim. Słowa kluczowe: 137 Cs, gleba leśna, aktywność powierzchniowa Sztuczne izotopy radioaktywne, które zostały wprowadzone do środowiska w wyniku wybuchów jądrowych przeprowadzonych przez supermocarstwa w latach 50. i 60. ubiegłego stulecia oraz po awarii w Czarnobylu (1986 r.), stanowią zagrożenia dla środowiska naturalnego. Po tej katastrofie poziom skażenia terytorium Polski był bardzo zróżnicowany. Według danych z 1996 roku, największe koncentracje radioaktywnego cezu wystąpiły w województwie opolskim, w którym średnia aktywność powierzchniowa wynosiła 16,6 kbq/m 2 przy średniej w Polsce - 4,67 kbq/m 2 [1-3]. Obszar zwiększonych koncentracji radioaktywnego cezu nazwano Anomalią Opolską. Wykracza on poza granice województwa w pasie ciągnącym się od Krzepic i Kłobucka w kierunku południowo-zachodnim, poprzez Kotlinę Kłodzką do okolic Jesenika i Opavy. Na obszarze tym znajdowano i nadal znajduje się miejsca, w których aktywność powierzchniowa radiocezu przekracza 100 kbq/m 2, mimo że upłynęło 21 lat od czarnobylskiej awarii. Głównym celem badań, prowadzonych w ramach projektu współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Inicjatywy Wspólnotowej INTERREG IIIA Czechy-Polska, była ocena aktualnej sytuacji radiologicznej na obszarze transgranicznym polsko-czeskim. W pracy przedstawiono wyniki pomiarów aktywności powierzchniowej 137 Cs (a) w glebie oraz mocy dawki promieniowania gamma, ( H & ) na obszarze transgranicznym polsko-czeskim. Metoda pomiaru Aktywność powierzchniową radiocezu w glebie oraz moc dawki promieniowania gamma określono za pomocą przenośnego spektrometru scyntylacyjnego InSpector Zakład Badań Fizykochemicznych, Katedra Biotechnologii i Biologii Molekularnej, Uniwersytet Opolski, ul. kard. B. Kominka 4, Opole, tel , agna@uni.opole.pl 2 Katedra Chemii, Uniwersytet w Hradec Králové (CZ), Rokitanskeho 60, Hradec Králové (CZ)
2 114 Agnieszka Dołhańczuk-Śródka, Zbigniew Ziembik, Maria Wacławek i Ludmila Hyšplerova firmy Canberra. Spektrometr ten jest łatwym w użyciu, podręcznym, cyfrowym, wielokanałowym analizatorem, idealnie przystosowanym do monitorowania środowiska. Może on być używany we wszystkich polowych zastosowaniach pomiarowych, wymagających określenia dawki i mocy dawki, lokalizacji źródeł, identyfikacji nuklidów wraz z pomiarem aktywności oraz akwizycji widma i analizy. Do analizy widma wykorzystano pakiet oprogramowania Genie-2000 (Gamma Analysis Option model S501C). Wyniki i ich analiza Do badań wybrano lasy znajdujące na obszarach przygranicznych, należące do Anomalii Opolskiej, która charakteryzuje się zwiększoną aktywnością 137 Cs w glebie, oraz na terenie Republiki Czeskiej, który jest przedłużeniem Anomalii Opolskiej. Otrzymane wyniki pomiarów i zależności pomiędzy nimi były analizowane za pomocą metod statystycznych. Do obliczeń wykorzystano język R w wersji [4]. Obliczono wartości parametrów charakteryzujących rozkład aktywności i mocy dawki promieniowania gamma. Za pomocą testów Lillieforsa i Shapiro-Wilka badano istotność hipotezy normalności rozkładu zmiennej losowej. Obliczano poziomy istotności α L (test Lillieforsa) i α SW (test Shapiro-Wilka), umożliwiające odrzucenie lub akceptację przypuszczenia o normalności badanego rozkładu. Do rozważań przyjęto krytyczną wartość α kr równą 0,05. Wykorzystując metodę krigingu, sporządzono mapki pokazujące rozkład a i H & na badanym obszarze. Za pomocą regresji liniowej zbadano wpływ aktywności powierzchniowej radiocezu na moc dawki promieniowania gamma. W tabeli 1 zamieszczono dane charakteryzujące rozkład aktywności powierzchniowej 137 Cs [kbq/m 2 ] oraz moc dawki promieniowania gamma [µsv/h] na badanym obszarze. Przedstawiono wartości minimalne (Min.), maksymalne (Max), kwartyle dolne (Q1), mediany (Q2), kwartyle górne (Q3). Dane charakteryzujące rozkład aktywności 137 Cs i mocy dawki na badanym terenie Tabela 1 Aktywność powierzchniowa 137 Cs (a) [kbq/m 2 ] Moc dawki promieniowania gamma ( H & ) [µsv/h] Min. > 0,01 0,010 Q1 3,85 0,030 Q2 9,20 0,042 Q3 22,23 0,058 Max 77,59 0,095 Na rysunku 1 przedstawiono rozkład aktywności powierzchniowej 137 Cs. Pokazano także krzywą rozkładu normalnego o wartości średniej i odchyleniu standardowym obliczonymi z danych pomiarowych. Można zauważyć, że rozkład ten znacznie odbiega od normalnego. Dalsze obliczenia wykazały, że rozkład logarytmów z aktywności powierzchniowej 137 Cs jest zbliżony do normalnego. Potwierdziły to obliczenia, w wyniku których otrzymano α L = 0,846 i α SW = 0,169, znacznie przekraczające krytyczną wartość α kr. Można przyjąć, że rozkład logarytmów z aktywności powierzchniowych 137 Cs jest rozkładem normalnym.
3 Badanie aktywności radiocezu na obszarze transgranicznym polsko-czeskim 115 0,06 p a 2 [m /kbq] 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, a [kbq/m 2 ] Rys. 1. Histogram rozkładu gęstości prawdopodobieństwa aktywności powierzchniowej 137 Cs na badanym obszarze ,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 H [ µ Sv/h] Rys. 2. Histogram rozkładu gęstości prawdopodobieństwa mocy dawki promieniowania gamma na badanym obszarze Rozkład mocy dawki promieniowania gamma przedstawiono na rysunku 2. Stwierdzono, że rozkład ten jest zbliżony do normalnego. Jednak przypuszczenia o normalności tego rozkładu nie potwierdzają obliczone wartości α L i α SW, znacznie mniejsze od α kr. Zlogarytmowanie wartości mocy dawki zwiększa wartości poziomów istotności, które wynoszą α L = 0,053 i α SW = 0,130. Porównując te wartości z α kr, można przyjąć, że rozkład logarytmów z mocy dawki jest normalny. Uzyskane wyniki pomiarów aktywności powierzchniowej 137 Cs (a) i mocy dawki promieniowania gamma ( H & ) przedstawiono w postaci map (rys. rys. 3, 4).
4 116 Agnieszka Dołhańczuk-Śródka, Zbigniew Ziembik, Maria Wacławek i Ludmila Hyšplerova Rys. 3. Rozkład aktywności powierzchniowej 137 Cs na badanym obszarze Rys. 4. Rozkład mocy dawki promieniowania gamma Największe aktywności powierzchniowe radiocezu występują w okolicach Łambinowic i Olesna, co pokrywa się z mapą Anomalii Opolskiej, opracowaną przez PIG
5 Badanie aktywności radiocezu na obszarze transgranicznym polsko-czeskim 117 w 1996 roku [2]. Nieco większą od przeciętnej aktywność radiocezu zaobserwowano na obszarze pomiędzy Kłodzkiem a Jesenikiem. Na rysunku 4 przedstawiono rozkład mocy dawki promieniowania gamma na badanym obszarze. Stwierdzono, że miejsca o podwyższonej w stosunku do przeciętnej mocy dawki pokrywają się z miejscami o podwyższonej aktywności radiocezu. Można zauważyć liniową zależność pomiędzy aktywnością powierzchniową 137 Cs w glebie i mocą dawki promieniowania gamma (rys. 5). Parametry liniowej zależności log( H) & = mlog(a) b przedstawiono w tabeli 2. Tabela 2 Parametry statystyczne liniowej zależności pomiędzy logarytmem mocy dawki i logarytmem aktywności powierzchniowej radiocezu. Symbolem σ oznaczono odchylenia standardowe parametrów, a symbolem α poziomy istotności m, b i współczynnika korelacji r m σ m α m b σ b α m r α r 0,263 0,036 > 0,001 1,643 0,040 > 0,001 0,631 > 0,001-1,0-1,2-1,4-1,6 log(h/[ µ Sv/h]) -1,8-2,0 0,5 1,0 1,5 2 log(a/[kbq/m ]) Rys. 5. Zależność pomiędzy logarytmem z mocy dawki promieniowania gamma i logarytmem aktywności powierzchniowej radiocezu. Linie krzywe pokazują 0,95 zakresy przedziałów ufności Podsumowanie Rozkład geograficzny aktywności powierzchniowej 137 Cs w glebie pokazuje, że skażenia tym radionuklidem były i są nierównomierne na badanym terenie. Wynika to ze skomplikowanych dróg przenoszenia się mas skażonego powietrza oraz występowania w końcu kwietnia i na początku maja 1986 r. lokalnych opadów deszczu, przy czym zależy także od miejsca pomiaru, m.in. od rodzaju (formy geologicznej) gleby. Uzyskane wyniki pomiarów aktywności powierzchniowej 137 Cs w glebie leśnej na obszarze transgranicznym polsko-czeskim pozwalają na stwierdzenie, że 21 lat po opadzie związanym z awarią w EJ w Czarnobylu aktywność powierzchniowa 137 Cs na niektórych
6 118 Agnieszka Dołhańczuk-Śródka, Zbigniew Ziembik, Maria Wacławek i Ludmila Hyšplerova obszarach jest nadal duża. Największe jej wartości odnotowano w okolicach Olesna i Łambinowic, co pokrywa się z mapą Anomalii Opolskiej, opracowaną przez PIG w 1996 roku [2]. Najmniejszymi wartościami aktywności 137 Cs charakteryzowały się obszary po stronie czeskiej, w okolicach Hradec Králové. Promieniowanie 137 Cs jest zauważalnym składnikiem łącznej dawki pochodzącej ze źródeł promieniowania gamma, na jakie narażony jest człowiek. Badania były realizowane w ramach projektu współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego (Inicjatywa Wspólnotowa INTERREG IIIA Czechy-Polska). Literatura [1] Jagielak J., Biernacka M., Grabowski D. i Henschke J.: Zmiany sytuacji radiologicznej środowiska Polski w okresie 10 lat po awarii w Czarnobylu. PIOŚ, Biblioteka Ochrony Środowiska, Warszawa [2] Strzelecki R., Wołkowicz S. i Lewandowski P.: Mapa skażeń cezem obszaru Polski. PIG, Warszawa [3] Komunikat 12/S/96 - Skażenie gleb w gminach województwa opolskiego - PIOŚ (WIOŚ-Opole) [4] R Development Core Team (2007). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing,Vienna, Austria. ISBN , URL INVESTIGATION OF RADIOCESIUM ACTIVITY IN THE POLISH-CZECH BORDER REGION Summary: As the result of breakdown of the nuclear power plant in Chernobyl large quantities of radioactive substances were released to environment. Among others the territories of Poland and Czech were contaminated. The aim of the project was investigation of current local depositions of cesium isotopes close to soil surface and total dose of gamma radiation in the Polish - Czech border region. The work was partly supported by European Regional Development Fund (Community Initiative INTERREG IIIA Czech-Poland). Keywords: 137 Cs, forest soil, surface activity
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Zgodnie z rozporządzeniem wczesne wykrywanie skażeń promieniotwórczych należy do stacji wczesnego ostrzegania, a pomiary są prowadzone w placówkach.
Rozporządzenie Rady Ministrów z dnia 17 grudnia 2002 r. w sprawie stacji wczesnego wykrywania skażeń promieniotwórczych i placówek prowadzących pomiary skażeń promieniotwórczych Joanna Walas Łódź, 2014
Zadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp
tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Konrad Miziński, nr albumu 233703 31 maja 2015 Zadanie 1 Wartości oczekiwane µ 1 i µ 2 oszacowano wg wzorów: { µ1 = 0.43925 µ = X
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Sztuczne radionuklidy w środowisku lądowym Arktyki Edyta Łokas
Sztuczne radionuklidy w środowisku lądowym Arktyki Edyta Łokas 1 Archipelag Svalbard 76 50-80 80 N : 10-34 E Cztery główne i około 150 mniejszych wysp. Obszar 62 800 km 2, 60% zlodowacone. Najwyższe wzniesienie
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Inteligentna analiza danych
Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki
Pomiary urodzeń według płci noworodka i województwa.podział na miasto i wieś.
Pomiary urodzeń według płci noworodka i województwa.podział na miasto i wieś. Województwo Urodzenia według płci noworodka i województwa. ; Rok 2008; POLSKA Ogółem Miasta Wieś Pozamałżeńskie- Miasta Pozamałżeńskie-
Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
1. Charakterystyka działalności naukowej kandydata.
Prof. dr hab. inż. Henryk Rusinowski Gliwice, sierpień 2014 r. Instytut Techniki Cieplnej Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki Politechnika Śląska OPINIA o dorobku i osiągnięciach naukowo badawczych
I N F O R M A C J A O S T A N I E O C H R O N Y R A D I O L O G I C Z N E J K R A J O W E G O W R O K U
I N F O R M A C J A O S T A N I E O C H R O N Y R A D I O L O G I C Z N E J K R A J O W E G O S K Ł A D O W I S K A O D P A D Ó W P R O M I E N I O T W Ó R C Z Y C H W 2 0 1 8 R O K U Zgodnie z artykułem
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Ćwiczenie 3++ Spektrometria promieniowania gamma z licznikiem półprzewodnikowym Ge(Li) kalibracja energetyczna i wydajnościowa
Ćwiczenie 3++ Spektrometria promieniowania gamma z licznikiem półprzewodnikowym Ge(Li) kalibracja energetyczna i wydajnościowa Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się - z metodyką pomiaru aktywności
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
przyziemnych warstwach atmosfery.
Źródła a promieniowania jądrowego j w przyziemnych warstwach atmosfery. Pomiar radioaktywności w powietrzu w Lublinie. Jan Wawryszczuk Radosław Zaleski Lokalizacja monitora skażeń promieniotwórczych rczych
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
LABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
LABORATORIUM 3 Przygotowanie pliku (nazwy zmiennych, export plików.xlsx, selekcja przypadków); Graficzna prezentacja danych: Histogramy (skategoryzowane) i 3-wymiarowe; Wykresy ramka wąsy; Wykresy powierzchniowe;
Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki
Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała
BADANIE MOBILNOŚCI RADIOCEZU W GLEBOWYM KOMPLEKSIE SORPCYJNYM
Proceedings of ECOpole Vol. 2, No. 1 2008 Tadeusz MAJCHERCZYK 1, Agnieszka DOŁHAŃCZUK-ŚRÓDKA 2 Maria WACŁAWEK 2 i Witold WACŁAWEK 1 BADANIE MOBILNOŚCI RADIOCEZU W GLEBOWYM KOMPLEKSIE SORPCYJNYM INVESTIGATION
Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich Rozkład t (Studenta) Wnioskowanie dla jednej populacji: Test i przedziały ufności dla jednej próby Test i przedziały ufności dla par Porównanie dwóch populacji: Test i
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV
Elektroenergetyczne linie napowietrzne i kablowe wysokich i najwyższych napięć PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV Wisła, 18-19 października 2017
Analiza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Oszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)
ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania
Estymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)
Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych
INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń
Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna
Pobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Analiza Statystyczna
Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza
Estymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego w Warszawie Wydział Elektroniki LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI Grupa Podgrupa Data wykonania ćwiczenia Ćwiczenie prowadził... Skład podgrupy:
PROMIENIOWANIE GAMMA NA WYBRANYCH ZWAŁOWISKACH KOPALNIANYCH GÓRNEGO ŚLĄSKA
Proceedings of ECOpole DOI: 10.2429/proc.2012.6(2)111 2012;6(2) Łukasz WRÓBEL 1, Agnieszka DOŁHAŃCZUK-ŚRÓDKA 1, Andrzej KŁOS 1 i Maria WACŁAWEK 1 PROMIENIOWANIE GAMMA NA WYBRANYCH ZWAŁOWISKACH KOPALNIANYCH
Estymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 96: Dozymetria promieniowania gamma
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 96: Dozymetria promieniowania gamma Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z podstawami dozymetrii promieniowania jonizującego. Porównanie własności absorpcyjnych promieniowania
Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11
Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja
Ekonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski
Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem
Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Rozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Przedziały ufności. Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego
Przedziały ufności Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego czyli P( μ [a,b] ) = 1 α P( μ < a ) = α/2 P( μ > b ) =
Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych.
Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych. Statystyka zajmuje się prawidłowościami zaistniałych zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa dotyczy przewidywania, jak często mogą zajść
Recenzja. dorobku naukowego i rozprawy habilitacyjnej. dr. inż. Agnieszki Dołhańczuk - Śródka
Prof. dr hab. Maria Mucha Łódź, dn. 15.03.2016 Politechnika Łódzka Wydział Inżynierii Procesowej i Ochrony Środowiska ul. Wólczańska 213/215 90-924 Łódź Recenzja dorobku naukowego i rozprawy habilitacyjnej
b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3 Konrad Miziński, nr albumu 233703 26 maja 2015 Zadanie 1 Wartość krytyczna c, niezbędna wyliczenia mocy testu (1 β) wyznaczono za
Zawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Testowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Substancje radioaktywne w środowisku lądowym
KRAKÓW 2007 Substancje radioaktywne w środowisku lądowym Andrzej Komosa Zakład Radiochemii i Chemii Koloidów UMCS Lublin Radioizotopy w środowisku Radioizotopy pierwotne, istniejące od chwili powstania
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2)
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz
Spis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
LABORATORIUM PROMIENIOWANIE w MEDYCYNIE
LABORATORIUM PROMIEIOWAIE w MEDYCYIE Ćw nr STATYSTYKA ZLICZEŃ PROMIEIOWAIA JOIZUJACEGO azwisko i Imię: data: ocena (teoria) Grupa Zespół ocena końcowa Cel ćwiczenia Rozpad izotopu promieniotwórczego wysyłającego
g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Szkoła z przyszłością. Zastosowanie pojęć analizy statystycznej do opracowania pomiarów promieniowania jonizującego
Szkoła z przyszłością szkolenie współfinansowane przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Narodowe Centrum Badań Jądrowych, ul. Andrzeja Sołtana 7, 05-400 Otwock-Świerk ĆWICZENIE
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM PRZYPOMNIENIE ROZKŁAD NORMALNY http://www.zarz.agh.edu.pl/bsolinsk/statystyka.html
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1 Konrad Miziński, nr albumu 233703 1 maja 2015 Zadanie 1 Parametr λ wyestymowano jako średnia z próby: λ = X n = 3.73 Otrzymany w
Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25
Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane
Zagrożenia naturalnymi źródłami promieniowania jonizującego w przemyśle wydobywczym. Praca zbiorowa pod redakcją Jana Skowronka
Zagrożenia naturalnymi źródłami promieniowania jonizującego w przemyśle wydobywczym Praca zbiorowa pod redakcją Jana Skowronka GŁÓWNY INSTYTUT GÓRNICTWA Katowice 2007 SPIS TREŚCI WPROWADZENIE (J. SKOWRONEK)...
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika
ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI
ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji
-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak
Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia
Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 STATYSTYKA