Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Transkrypt

1 Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami

2 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność 3

3 Problem Badanie skuteczności pewnej terapii medycznej: n pacjentów k-krotnie zbadany poziom pewnego czynnika u każdego z nich w różnych momentach czasu Dla ustalonego pacjenta wyniki badania będą ze sobą skorelowane nie można użyć zwykłej ANOVA.

4 Postać modelu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Y ij = µ + τ i + π j + ɛ ij, i = 1,..., k j = 1,..., n gdzie Y ij wynik i-tego pomiaru dla j-tego obiektu (osoby); µ średnia ogólna; τ i efekt i-tego pomiaru; π j efekt charakterystyczny j-tego obiektu (efekt losowy); ɛ ij błąd losowy;

5 Założenia Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność π j N(0, σ 2 π) niezależne zmienne losowe; ɛ ij N(0, σ 2 ɛ) niezależne zmienne losowe; π j i ɛ ij są niezależne;

6 Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Z tego wynika, że: Var(Y ij ) = σπ 2 + σɛ, 2 Cov(Y ij, Y tj ) = σπ 2 Zatem jeśli Yj = [Y 1j, Y 2j,..., Y kj ], to Y j N( µ, Σ) gdzie µ = [µ + τ 1,..., µ + τ k ] oraz σπ 2 + σɛ 2 σπ 2 σπ 2 σπ 2 σπ 2 + σɛ 2 σπ 2 Σ =.... σπ 2 σπ 2 σπ 2 + σɛ 2 Warunek symetrii połączonej (compound symmetry) można go osłabić do warunku sferyczności.

7 Droga do testu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Analogicznie jak w zwykłej ANOVA, można rozbić sumę kwadratów odchyleń obserwacji od średniej ogólnej na następujące składniki: k i=1 j=1 n (Y ij Ȳ )2 = + n k i=1 j=1 n (Y ij Y.j Y i. + Ȳ )2 k ( Y.j Ȳ ) 2 + k j=1 n ( Y i. Ȳ ) 2. Oznaczmy je odpowiednio: SS err (o wartości oczekiwanej σɛ), 2 SS treat (σɛ 2 + w) oraz SS sub (σɛ 2 + kσπ), 2 gdzie w = n k (τi τ)2 i=1 i=1 k 1.

8 Postać testu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Niech MS treat = 1 k 1 SS treat oraz MS err = 1 (n 1)(k 1) SS err. Mają one rozkłady χ 2 (k 1) oraz χ2 (n 1)(k 1). Zatem do weryfikacji hipotezy zerowej H 0 : τ 1 =... = τ k można użyć testu: F = MS treat MS err, który przy prawdziwej hipotezie H 0 ma rozkład F k 1,(k 1)(n 1)

9 Sferyczność Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Słabsze, częściej stosowane założenie o macierzy Σ: wariancje różnic obserwowanej zmiennej dla dwóch dowolnych poziomów czynnika (dwóch dowolnych pomiarów) są sobie równe. Testowanie sferyczności test Mauchly a.

10 Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Co gdy warunek sferyczności niespełniony? Otrzymamy zaniżone p-value rzeczywisty rozkład statystyki testowej będzie miał mniej stopni swobody niż zakładamy. Rzeczywista liczba stopni swobody to θ(k 1) oraz θ(k 1)(n 1), gdzie: θ = (tr(σ JΣ))2 (k 1)tr(Σ JΣ) 2, J = 1 k [1, 1,..., 1]T [1, 1,..., 1].

11 Rada Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Poprawki korygujące liczbę stopni swobody: poprawka Greenhouse a-geissera; poprawka Huynha-Feldta; poprawka ograniczenia dolnego ( 1 k 1 θ 1); albo zastosowanie MANOVA (zwłaszcza przy znacznym naruszeniu warunku sferyczności).

12 Dane Badanie dotyczące zdolności zapamiętywania słów w zależności od ich zabarwienia emocjonalnego. 5 badanych osób (zmienna Subject) 3 poziomy zmiennej określającej zabarwienie słów: negatywne, neutralne, pozytywne (zmienna Valence) zmienną zależną jest liczba zapamiętanych słów (zmienna Recall) Każda z osób miała zapamiętać każdy rodzaj słów, zatem mamy do czynienia z eksperymentem z powtarzanymi pomiarami.

13 data.ex3 Observation Subject Valence Recall 1 1 Jim Neg Jim Neu Jim Pos Victor Neg Victor Neu Victor Pos Faye Neg Faye Neu Faye Pos Ron Neg Ron Neu Ron Pos Jason Neg Jason Neu Jason Pos 35

14 Użycie procedury aov Wprowadzenie aov.ex3=aov(recall Valence + Error(Subject/Valence),data.ex3) summary(aov.ex3) Error: Subject Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Residuals Error: Subject:Valence Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Valence e-07 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

15 Wyniki zwykłej ANOVA aov.ex3.no.rm=aov(recall Valence,data.ex3) summary(aov.ex3.no.rm) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Valence e-08 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Wartość testu F jest dużo niższa.

16 Użycie procedury lme Wprowadzenie library(nlme) lme.ex3 = lme(recall Valence, random = 1 Subject/Valence, data=data.ex3) summary(lme.ex3)... Fixed effects: Recall Valence Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) ValenceNeu ValencePos (Intr) ValncN Correlation: ValenceNeu ValencePos anova(lme.ex3) numdf dendf F-value p-value (Intercept) <.0001 Valence <.0001

17 Użycie metody wielowymiarowej Przeformatowanie danych: data.ex3.m=with(data.ex3,cbind(recall[valence== Neg ], Recall[Valence== Neu ],Recall[Valence== Pos ])) data.ex3.m [,1] [,2] [,3] [1, ] [2, ] [3, ] [4, ] [5, ] rfactor=factor(c( Neg, Neu, Pos )) mlm.ex3=lm(data.ex3.m 1) library(car) mlm.aov.ex3=anova(mlm.ex3, idata = data.frame(rfactor),idesign = rfactor, type= III )

18 summary(mlm.aov.ex3, multivariate=false) Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(> F ) (Intercept) e-05 *** rfactor e-07 *** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Mauchly Tests for Sphericity Test statistic p-value rfactor Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections for Departure from Sphericity GG eps Pr(> F [GG]) rfactor e-05 *** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * HF eps Pr(> F [HF ]) rfactor e-05 *** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

19 Badanie różnic między parami średnich contrastneg.neu=data.ex3.m[,1]-data.ex3.m[,2] t.test(contrastneg.neu) contrastneg.pos=data.ex3.m[,1]-data.ex3.m[,3] t.test(contrastneg.pos) contrastneu.pos=data.ex3.m[,2]-data.ex3.m[,3] t.test(contrastneu.pos) One Sample t-test data: contrastneu.pos t = , df = 4, p-value = 1.944e-06 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x -28.4

20 Boxplot Recall Neg Neu Pos Valence

21 Dziękuję za uwagę :)