Wstępna redukcja obrazów z kamer CCD

Transkrypt

1 Wstępna redukcja obrazów z kamer CCD Wstępna obróbka obrazów pochodzących z urządzeń takich jak kamery CCD, czy CMOS polega na usunięciu lub zminimalizowaniu niepoŝądanych efektów dawanych przez te urządzenia (i optykę teleskopu) podczas eksponowania obrazu obiektu. Przebiega ona w trzech etapach (klasyczna trójka redukcyjna ): 1. redukcja na BIAS, 2. redukcja na DARK, 3. redukcja na FLAT, By wykonać powyŝsze etapy obróbki naleŝy, prócz oczywiście właściwego obrazu obiektu (OBJECT), wykonać szereg pomocniczych ekspozycji pamiętając, Ŝe zwiększenie stosunku S/N w obrazach słuŝących redukcji osiąga się zwiększając liczbę obrazów pomocniczych. W ogólności mamy: S ~ N frame gdzie: N frame - liczba zdjęć N Musimy otrzymać szereg (rzędu dziesiątek) 1. obrazów BIAS (odcięty dopływ światła i t exp = 0.0): 2. obrazów DARK (odcięty dopływ światła i t exp (DARK) t exp (OBJECT)) 3. obrazów FLAT (FLATFIELD) (równomiernie i izotropowo emitująca światło powierzchnia: tło nieba o zmierzchu/świcie, ekran oświetlony światłem nieba lub sztucznym źródłem światła - UWAGA na efekt koloru oświetlenia) 209

2 Mamy więc: B ( x, y), i = 1, N, t 0. 0 D ( x, y), j = 1, N, t F ( x, y), k = 1, N, t O( x, y),, texp PoniŜej symbol: <... > oznacza średnią (medianę lub średnią z procedurą odcięcia Kσ) po obrazach dla konkretnego (x,y); wynikiem jest obraz, oznacza średnią z sygnałów pixli dla danego obrazu; wynikiem jest liczba, Zacieramy ręce i przystępujemy do redukcji: i k j B D F B exp D exp F exp O 1. BIAS B ( x, y) = B ( x, y) B ( x, y) = B ( x, y) B ( x, y) dla kontroli i i D ( x, y) = D ( x, y) B ( x, y) j j F ( x, y) = F ( x, y) B ( x, y) k k O ( x, y) = O ( x, y) B ( x, y) i 210

3 2. DARK Tu szczególnie waŝne jest zastosowanie procedur składania obrazów innych niŝ zwykła średnia (np. mediana, odcięcie Kσ), by nie mnoŝyć, a raczej usuwać efekty promieniowania jonizującego, głównie kosmicznego CRH (Cosmic Ray Hit) których ilość narasta proporcjonalnie do czasu ekspozycji i ilości obrazów DARK. D ( x, y) = D ( x, y) j D ( x, y) = D ( x, y) D ( x, y) dla kontroli j j texp Fk ( x, y) = Fk ( x, y) D x y D (, ) t texp O ( x, y) = O ( x, y) D x y D (, ) t F exp O exp 3. FLAT F ( x, y) = F ( x, y), f = F ( x, y) F ( x, y) = f k O ( x, y) = f k Fk ( x, y) F ( x, y) O ( x, y) F ( x, y) dla kontroli 211

4 Przykładowe obrazy średnie BIAS, DARK, FLAT... BIAS Wzrost jasności do brzegu jest efektem generowania sygnału ciemnego podczas odczytu obrazu BIAS trwającego pojedyncze sekundy. Jasne fragmenty kolumn to efekt hot pixel na początku kaŝdego fragmentu. FLAT dla kamery wraz z teleskopem. Spadek jasności od centrum do brzegów jest efektem winietowania. Małe ciemne pierścienie to dyfrakcja światła na pyłkach leŝących na szybce zamykającej próŝnię, większe, na pyłkach leŝących na filtrach. BIAS FLAT DARK FLAT kontrolny DARK Jasne pasma to e- fekt zmiennej przewodności cieplnej pomiędzy matrycą CCD a zimną płytą termoelektrycznego urządzenia chłodzącego. Jasne pixle i klastery to hot pixels i efekty promieniowania jonizującego. FLAT kontrolny powstaje przez redukcję indywidualnej ekspozycji FLAT przy pomocyśredniego FLAT (tzw. Master Flat) 212

5 ...i wynik redukcji obrazu obiektu przed po 213

6 Pakiety oprogramowania słuŝące do wstępnej (i nie tylko) obróbki zdjęć z kamer CCD Pakiety te powinny umoŝliwiać między innymi: - działania arytmetyczne na obrazach, liczenie funkcji z obrazów, porównywanie obrazów itp., - analizę statystyczną obrazów (momenty rozkładu i parametry statystyczne), - liczenie róŝnych transformat (FFT, itp.), - transformacje geometryczne (afiniczne itp.), - wykrywanie i rozpoznawanie typów obiektów i czyszczenie zdjęć (z CRH itp.), - filtrowanie i dekonwolucję (filtr splotowy, Winera itp., dekonwolucja MEM itp.), - pisanie własnych skryptów wykorzystujących elementy pakietu, - rozbudowę pakietów dzięki zdobycznemu oprogramowaniu. MIDAS (Munich Image Data Analysis System) ESO, IRAF (Image Reduction and Analysis Facility) NOAO Tuscon, USA, AIPS (Astronomical Image Processing System) NRAO, USA, IDL (The Data Visualization & Analysis Platform) ITT Corporation, USA, Podstawowy format zapisu danych uŝywany w astrofizyce obserwacyjnej (i nie tylko) to FITS (Flexible Image Transport System), przykładowe referencje: D.C. Wells et al. 1981, Astron. Astrophys. Supp. Ser. 44, 363 R.J. Hanish et al. 2001, Astron. Astrophys. 376, 359. Zbiór z danymi zawiera nagłówek opisujący formę zapisu danych, warunki otrzymania danych, informacje o metodach i historii redukcji oraz o uŝytym oprogramowaniu. Dalsza część zbioru zawiera dane liczbowe uszeregowane względem dowolnej liczby osi. W ten sposób równie łatwy jest zapis typu 1-D (np. widmo), 2-D (obraz), 3-D (dane ze spektroskopu obrazującego), 4-D (dane ze spektropolarymetru obrazującego)

7 słowo kluczowe (keyword) Przykład nagłówka zbioru FITS. SIMPLE = T / FITS STANDARD BITPIX = 16 / FITS BITS/PIXEL NAXIS = 2 / NUMBER OF AXES NAXIS1 =1024 / LENGTH OF AXIS1 NAXIS2 =1024 / LENGTH OF AXIS2 AXIS10 = 1 / ZERO OF AXIS1 AXIS20 = 1 / ZERO OF AXIS2 BSCALE = E+0 / REAL = ADU*BSCALE + BZERO sposób odtworzenia rzeczywistej wartości BZERO = / sygnału dla pixla OBJECT = 'p17 ' / BIAS,DARK,FLAT,COMMON NAME OF THE OBJECT RA = '03:48:14' / EPOCH 2000 DEC = '50:26:48' / EPOCH 2000 OBSERVER= 'waniak ' WEATHER = 'clear fog' CCD-TEMP = -21 AIR-TEMP = 25 EXPTIME = '20.00 ' FILTER = 'R ' / BESSELL FILTER GAIN = 1 / GAIN NUMBER BINNING = 3 komentarz fragment absolutnie niezbędny / OBSERVER / WEATHER INFO / CCD TEMPERATURE / AIR TEMPERATURE / EXPOSURE DURATION [SEC] informacja, Ŝe jest to FITS ilość bitów na pixel (1,2,4-zapis danych REAL) ilość osi ilość pixli wzdłuŝ osi 1 ilość pixli wzdłuŝ osi 2 FILENAME = 'p17r0001.fit' / ORIGINAL FILE NAME DATE-OBS = '29/10/2007' / DD/MM/YYYY TIME-OBS = '23:56:58.90' / HH:MM:SS.SS UT OF THE EXPOSURE START MID-TIME = / Middle of exp [h] JD = / Julian Day (mid exp) HEL_CORR= HJD = / Heliocentric Julian Day (mid exp) END 215

8 Fotometria obiektów na zdjęciach z kamer CCD W zaleŝności od rozmiaru obrazu obiektu w porównaniu z PSF pełnego systemu obrazującego mamy do czynienia z fotometrią: obiektów zwartych, punktowych, gwiazdopodobnych (kierunkowy profil jasności powierzchniowej ma mniejsze rozmiary niŝ PSF, informacja o kierunkowym rozkładzie jasności powierzchniowej jest praktycznie utracona), zmierzyć moŝna jedynie pełną jasność obiektu, scałkowaną po profilu kierunkowym, obiektów rozciągłych (kierunkowy profil jasności powierzchniowej przewyŝsza rozmiarami PSF), ( ) B k r zmierzyć moŝna jasność powierzchniową, informacja kierunkowa choć zniekształcona przez PSF moŝe być wykorzystana w badaniach obiektów, np. odtworzona odpowiednim modelem obiektu, czy zjawiska. obiektów rozciągłych małych w porównaniu z PSF (kierunkowy profil jasności powierzchniowej ma rozmiary porównywalne z PSF), przy odpowiednim próbkowaniu i wysokim S/N moŝliwe jest odtworzenie estymaty oryginalnego profilu kierunkowego B k r dzięki ~ metodom rekonstrukcji i dekonwolucji obrazu. Tak czy siak, chcąc otrzymać pełną jasność lub jasność powierzchniową obiektu naleŝy jego fotometrię skalibrować poprzez obserwacje standardów fotometrycznych, a te z reguły są gwiazdami o znanych magnitudach systemowych lub/i widmach. Czyli fotometrii obiektów zwartych raczej nie unikniemy. ( ) B k r ( ) 216

9 Metody fotometrii gwiazdowej z wykorzystaniem zdjęć z kamer CCD Dwa najbardziej podstawowe podejścia do tego zagadnienia to: fotometria aperturowa (wyznaczenie pełnego sygnału w obrazie obiektu zwartego poprzez zliczanie sygnałów dla elementów obrazu zawartych w umownej aperturze obejmującej obiekt z jednoczesnym odjęciem sygnału pochodzącego od tła), fotometria profilowa (wyznaczenie jasności poprzez wyznaczenie normalizacji funkcji PSF optymalnie dopasowanej do profilu obiektu z jednoczesnym wyznaczeniem poziomu sygnału pochodzącego od tła). Sposoby programowej realizacji fotometrii gwiazdowej to: metoda interaktywna (operator wskazuje obiekty, których jasność naleŝy wyznaczyć; w przypadku fotometrowania wielu zdjęć tego samego pola ułatwieniem jest wzorzec (templet) zawierający pozycje obiektów, uŝywany przez program dla analizy kolejnych zdjęć), metoda automatyczna (program samodzielnie wykrywa istotne obiekty na zdjęciu, odrzuca obiekty nie gwiazdowe np. CRH, galaktyki a dla wyselekcjonowanych obrazów gwiazd mierzy jasności), metoda kombinowana (stosowana w przypadku iteracyjnej procedury automatycznej mającej podwyŝszyć jakość fotometrii; ingerencja operatora pomaga w selekcji gwiazd przeznaczonych do sfotometrowania lub do wyznaczenia PSF). 217

10 Fotometria aperturowa. Rozpoczyna się od właściwego, obiektywnego scentrowania apertury na obrazie gwiazdy. Operator najczęściej dokonuje jedynie wskazania obiektu. Stosuje się np.: wyznaczenie środka powierzchniowego rozkładu jasności profilu obiektu, brzegowe rozkłady jasności profilu obiektu względem osi X,Y (np. dopasowanie funkcji Gaussa). Apertura (najczęściej kołowa, choć niekoniecznie) o promieniu r 1 obejmuje obiekt a dodatkowy pierścień o promieniu wewnętrznym r 2 i zewnętrznym r 3 słuŝy wyznaczeniu poziomu tła nieba. Przez tło nieba rozumie się wszelkie oświetlenie detektora nie pochodzące od fotometrowanego obiektu (świecenie nieba, słabe gwiazdy, obiekty rozciągłe, słabe CRH, światło rozproszone w optyce itp.). Poziom jego sygnału otrzymuje się jako: średnią z wartości sygnałów w pierścieniu (dobre statystycznie, ale tło musi być czyste ), dopasowanie poziomu tła zmieniającego się liniowo, kwadratowo,..., lub zagiętego (uwaga na zaleŝności o zbyt wysokich potęgach), medianę rozkładu wartości sygnałów w pierścieniu (odporne na małe zwarte zakłócenia ), modę rozkładu wartości sygnałów w pierścieniu (najbezpieczniejsze, modę przybliŝa się wartością 3 Median-2 Mean. Fotometrię aperturową stosuje się chętnie w przypadku: braku izoplanatyzmu i silnej zaleŝności PSF od pozycji na zdjęciu, fotometrii prowadzonej pomiędzy zdjęciami o wyraźnie róŝnych PSF (np. nawiązania fotometryczne, wyznaczanie ekstykcji). Fotometrii aperturowej nie stosuje się w przypadku: gęstych pól gwiazdowych (nakładanie się profili sąsiednich gwiazd), obrazów prześwietlonych i z wyraźnymi defektami (np. CRH). 218

11 Problem doboru promienia diafragmy w fotometrii aperturowej. ZaleŜność pełnego sygnału od promienia diaframy opisuje krzywa wzrostu (rys. prawy, czerwona). Jak widać gwiazda nie zanika nigdy. Z drugiej strony formalny błąd fotometrii aperturowej zaleŝy od promienia diafragmy (rys. prawy, niebieskie) osiągając minimum dla promienia diafragmy mniejszego w przypadku gwiazd słabszych i większego w przypadku gwiazd jaśniejszych. Wynika to z formalnego wyraŝenia na pełny błąd fotometrii aperturowej: tot star sky RON DARK FLAT σ = σ + σ + σ + σ + σ Mimo, Ŝe jest to błąd formalny w przypadku dobrze prowadzonej analizy jest on dobrze skorelowany z błędem faktycznym otrzymanym z wielokrotnych pomiarów gwiazd (rys. lewy). Measured photometric error [mag] Arbitrary magnitude error 2 mag error Photometric error 1 [mag] Theoretical photometric error [mag] Aperture radius [pix]

12 W związku z tym fotometrię aperturową gwiazd prowadzi się w dwu reŝimach: błąd fotometrii zdominowany przez pełny sygnał gwiazdy (jasna gwiazda, niskie tło, rozmiar diafragmy nie stanowi problemu), błąd fotometrii zdominowany przez sygnał tła (słaba gwiazda, jasne tło, im większa diafragma tym gorzej), W celu utrzymania prawie niezmiennego magnitudowego błędu fotometrii (mag error) od jasności obiektu, stosujemy diafragmę o promieniu zaleŝnym od jasności gwiazdy. W związku z zaleŝnością sygnału fotometrycznego od promienia diafragmy naleŝy skorygować otrzymane magnitudy na aktualny promień diafragmy przeliczając je przy wykorzystaniu krzywej wzrostu na jeden, zadany promień diafragmy. Jest to tzw. korekcja aperturowa (aperture correction). A jak się ma promień apertury do problemu izoplanatyzmu zdjęć obiektów? Oj ma się, ma! Dla fotometrii róŝnicowej wykonywanej na jednym obrazie: w przypadku izoplanatyzmu - wynik nie zaleŝy od promienia apertury (stałość krzywej wzrostu po polu zdjęcia) (moŝna stosować aperturę minimalizującą mag error), w przypadku braku izoplanatyzmu - wynik zaleŝy od promienia apertury (najlepiej stosować moŝliwie jak największą aperturę). I jeszcze dwa zagadnienia związane z fotometrią aperturową: problem właściwej interpolacji sygnału dla pixli częściowo zawartych w aperturze, problem właściwego doboru pierścienia słuŝącego określeniu poziomu tła - w sytuacji izoplanatyzmu obrazu nie ma problemu. Wynik fotometrii nie jest czuły na rozmiar pierścienia. W sytuacji przeciwnej, wskazany wybór moŝliwie jak najdalszego pierścienia. Wzrost szerokości pierścienia powoduje spadek składowej błędu fotometrii pochodzącej od tła. 220

13 Fotometria profilowa. Startuje się od znalezienia PSF charakteryzującego dane zdjęcie. PSF opisywane moŝe być za pomocą: funkcji analitycznej, której parametry określone zostają poprzez jej dopasowanie LSQ do pewnej liczby wyselekcjonowanych gwiazd (odpowiednio jasne i samotne ). Najczęściej stosuje się następujące funkcje: Gauss (uwzględniona eliptyczność i dowolny kąt pozycyjny elipsy): G( x, y) = g exp[ ( α X + β Y + γ XY) ] a = 2 β = 2 2σ Lorentz: L( x, y) = l 1 x 2σ y 2 2 δ 1+ ( α X + β Y + γ XY ) X = x x Y = y y Moffat (1969, uzyskana z profili gwiazd na kliszach, najlepszy wykładnik δ to 4, Racine 1996): Penny (suma funkcji Gaussa i Lorentza): 2 2 (, ) = [ 1+ α + β + γ ] M x y m X Y XY (, ) = (, ) + (, ) P x y G x y L x y mapy z wartościami PSF wyznaczonymi z grupy wyselekcjonowanych gwiazd. Zmieniające się ułoŝenie profili gwiazd względem siatki pixli umoŝliwia zwiększenie gęstości próbkowania PSF w porównaniu z próbkowaniem pojedynczego profilu. W zaleŝności od stopnia izoplanatyzmu PSF moŝliwe są dwa podejścia: izoplanatyzm - parametry analitycznego przybliŝenia PSF lub wyznaczona mapa PSF niezmienne po polu obrazu, brak izoplanatyzmu - parametry analitycznego przybliŝenia PSF lub wyznaczona mapa PSF zmieniające się w sposób np. liniowy lub kwadratowy ze współrzędnymi na obrazie (moŝliwość uwzględnienia aberracji optycznych pozaosiowych) 221 δ 0 0

14 Uwaga: W przypadku izoplanatycznej PSF niedoskonałość dopasowania funkcji analitycznej nie ma większego znaczenia dla wyniku profilowej fotometrii róŝnicowej prowadzonej w ramach danego zdjęcia (np. wydłuŝone profile gwiazd moŝna fitować profilami kołowo-symetrycznymi). Relative signal X [pix] Porównanie profili Gaussa, Lorentza i Moffata z obserwowanym profilem gwiazdy (kwadraty). Jak widać ani Gauss, ani Lorentz, ale Moffat z wykładnikiem 4 najlepiej oddaje rzeczywisty kształt profilu PSF. Większość szanujących się programów przeznaczonych do fotometrowania obiektów zwartych ma zarówno opcję fotometrii aperturowej jak i profilowej. Przykłady takich programów to: DAOPHOT (Dominion Astrophysical Observatory PHOTometry, aut. Stetson), dophot (do PHOTometry, aut. Schechter), ROMAPHOT (ROMA PHOTometry), Inne programy słuŝące rozpoznawaniu, klasyfikowaniu i fotometrowaniu róŝnych obiektów to np.: INVENTORY (aut. Kruszewski), SEXTRACTOR Większość programów realizujących fotometrię obiektów zwartych rozpoczyna działanie od zidentyfikowania tych obiektów w wejściowym obrazie. Stosowane kryteria wyboru obejmują m.in. : minimalny dopuszczalny poziom sygnału w obiekcie, kryteria kształtu (np. stopień okrągłości pozwalający odrzucić fragmenty kolumn o wyŝszym sygnale), kryteria profilu (np. stopień ostrości pozwalający odrzucić CRH i obiekty rozciągłe). 222

15 Idea działania programu DAOPHOT. 1.Wstępna analiza zdjęcia, np. filtrowanie (filtr wygładzająco-kontrastorowy na bazie Gaussa) (cel: zwiększenie wykrywalności gwiazd, obniŝenie wykrywalności CRH i obiektów rozciągłych), 2.Wybór kandydatów na obiekty gwiazdowe przy zastosowaniu 3 powyŝszych (i innych) kryteriów, 3.Fotometria aperturowa gwiazd dla wielu apertur (X,Y, mag, mag error), 4.Wybór gwiazd słuŝących określeniu PSF, 5.Określenie PSF (analityczne, mapa ze skokiem 0.5 pix.) (stałe lub zmienne po polu obrazu), 6.Fotometria profilowa gwiazd w oparciu o PSF (moŝliwość jednoczesnego dopasowania PSF do 60 gwiazd w wyselekcjonowanych przez program grupach), 7.Odjęcie od zdjęcia wejściowego syntetycznego obrazu powstałego przez umieszczenie PSF w wyznaczonych dla gwiazd pozycjach (obraz O-C), 8.Analiza obrazu O-C w celu wykrycia nie znalezionych poprzednio obiektów gwiazdowych, 9.Przeprowadzenie fotometrii wykrytych gwiazd. itd., itp. COORstar: dmap.nxy : Coordinates of all stars in an observed file a fiducial star positions. PSFNlist: dlst.psf : Star numbers to be used for making a PSF. PIXSizea: : pixelsize in arcseconds (used only by `dpar` program dao_re: 7.55 : RE ad noise dao_ga: 1.41 : GA in ADU dao_lo: 1.0 : LO west counts dao_ls: 0.2 : LS Low Sharpness cutoff dao_hs: 1.0 : HS High Sharpness cutoff dao_lr: -1.0 : LR Low Roundness cutoff dao_hr: 1.0 : HR High Roundness cutoff dao_hi: : HI ghest counts alowed by ADC converter dao_fw: 5.0 : FW (initial FWHM of PSF, seeing) dao_th: 3.0 : TH reshold w sigma tla. dao_wa: -1 : WA tch,1 display,-1 do not display info. on a screen dao_fi: 10.0 : FI tting radius dao_ps: 12.0 : PS f radius of substruction of PSF from a star image dao_va: 0 : VA -1,0,1,2, - model: only analytic fit,flat linear,square dao_ex: 9 : EX tra Passes dao_an: 1 : AN - Analytic model PSF (1-Gauss, 2-Moffat (Beta=1.5) 3-Mofat (Beta=2.5), 4-Lorentz, 5-Penny (Gausian + Lorentz, four parameters free), 6-Penny: 5 parameters free. dao_is: 15.0 : IS Inner Sky radius (different than all_is, pg. 58 pt. 5.) dao_os: 20.0 : OS Outer Sky radius ALLSTAR PARAMETERS (Manual pg. 57,58,59) Fragment zbioru DAOPHOT.OPT zawierającego m. in. wartości parametrów analizy obrazu i fotometrii profilowej. all_fi: 5.0 : FI Fitting radius all_ce: 6.0 : CE Clipping Exponent all_is: 2.0 : IS Inner Sky radius (should be sma ll: see pg. 58 pt. 5.) all_os: 20.0 : OS Outer Sky radius 223

16 Idea działania programu DoPHOT. 1.UŜycie jedynie analitycznej reprezentacji PSF w postaci fragmentu potęgowego rozwinięcia funkcji Gaussa (dla profili niedopróbkowanych na ogół pracuje lepiej niŝ reprezentacja PSF jako mapy): D x, y d z z z δ δ + B, z = αx + βy + γ XY, α = =, X = x x Y = y y 2 6 2σ β 2σ ( ) = ( ) ( ) x y 2.Poziom lokalnego tła jako jeden z dopasowywanych parametrów (B), 3.Zastąpienie jednoczesnego dopasowywania profilu PSF do wielu obiektów (znane z programu DAOPHOT) dopasowywaniem do potencjalnych obiektów gwiazdowych spełniających zmieniające się od iteracji do iteracji kryteria (np. malejący poziom sygnału), 4.Klasyfikowanie obiektów (gwiazda, CRH, obiekt rozciągły), 5.Dodawanie kolejnych obiektów gwiazdowych do listy obiektów i jednoczesne odejmowanie ich profili od obrazu wejściowego (działanie przypominające algorytm CLEAN Högbom 1974), 6.MoŜliwość wykonania fotometrii aperturowej. Schemat ideowy działania programu DoPHOT. 224

17 Fotometria obiektów gwiazdowych o zmiennej jasności w gęstych polach - ISM (Image Subtraction Method). Stosuje się ją do wykrywania zmienności i fotometrowania zmiennych obiektów gwiazdopodobnych znajdujących się w gęstych polach gwiazdowych utrudniających lub uniemoŝliwiających przeprowadzenie fotometrii profilowej (przy odległości centrów obiektów mniejszej niŝ 0.37 FWHM PSF DAOPHOT traktuje je jako jeden obiekt), a tym bardziej fotometrii aperturowej. Bazuje ona na odejmowaniu od siebie obrazów tego samego pola gwiazdowego uzyskanych w pewnym odstępie czasu. Istotą ISM jest: właściwe zgranie astrometryczne zdjęć uzyskane dzięki zastosowaniu: przeskalowań, obrotów, przesunięć transformacji wyŝszego stopnia, właściwe zgranie fotometryczne zdjęć odjęcie tła nieba, przeskalowanie sygnałów w oparciu o średnią jasność grupy odpowiednio dobranych obiektów, właściwe zgranie PSF - splot zdjęcia charakteryzującego się węŝszym PSF (f 1 (x,y)) z funkcją rozmywającą F(x,y) dającą efektywny PSF bliski temu, jaki ma zdjęcie uzyskane z szerszym PSF (f 2 (x,y)). ~ I x, y = F x, y I x, y f x, y = F x, y f x, y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I = ~, 2 ( x, y) I 1 ( x y ) ( ) ( ) ~ I2 x, y I1 x, y 225