Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu"

Transkrypt

1 31 marca 2014

2 Problemy cz lowieka za szafa Cz lowiek za szafa rzuca razy moneta. Może on rzucać : 1 moneta symetryczna; 2 moneta, która ma or la z dwu stron.

3 Zadania 1 Wymyśl procedure pozwalajac a stwierdzić jaka to moneta; 2 Opisz w lasnymi s lowami problemy jakie moga sie pojawić.

4 Cz lowiek za szafa powraca Cz lowiek za szafa rzuca 10 razy moneta. Może on rzucać : 1 moneta symetryczna; 2 moneta, dla której p = 1 3

5 Zadania 1 Wymyśl procedure pozwalajac a stwierdzić jaka to moneta; 2 Opisz w lasnymi s lowami problemy jakie moga sie pojawić.

6 Propozycja procedury testujacej φ(x) = { 1, (p = 1/3) gdy x = 0, 1, 2, 3; 0, (p = 1/2) w przeciwnym przypadku. Opisz jakie pope lniamy b l edy stosujac taka procedure.

7 Jaka moneta rzuca cz lowiek za szafa? -ciag dalszy problemów W trakcie wykonywania powyższej procedury pojawia sie nastepuj ace problemy: 1 φ = 1 chociaż cz lowiek za szafa rzuca moneta symetryczna (b l ad I rodzaju); 2 φ = 0 chociaż cz lowiek za szafa rzuca moneta p = 1 3 (b l ad II rodzaju);

8 Prawdopodobieństwo b l edu I rodzaju

9 Prawdopodobieństwo b l edu II rodzaju

10 Podsumowanie p=1/2 p=1/

11 Jaka moneta rzuca cz lowiek za szafa? 1 Oblicz prawdopodobieństwo b l edu I rodzaju dla takiej procedury.

12 Jaka moneta rzuca cz lowiek za szafa? 1 Oblicz prawdopodobieństwo b l edu I rodzaju dla takiej procedury. 2 Oblicz prawdopodobieństwo b l edu II rodzaju dla takiej procedury.

13 Komentarze Uwaga Przy tak skonstruowanej procedurze (teście ) φ rzuca sie w oczy bardzo duży b l ad II rodzaju. Jak temu zaradzić?

14 Komentarze Uwaga Przy tak skonstruowanej procedurze (teście ) φ rzuca sie w oczy bardzo duży b l ad II rodzaju. Jak temu zaradzić? Uwaga Jedna z możliwości jest zmiana sposobu orzekania tzn. koncentrujemy sie tylko na minimalizacji b l edu I rodzaju.

15 Jak to dzia la? przypadek 1 Jeżeli φ(x) = 1, to odrzucamy zdanie p = 1/2 (prawdziwe jest p = 1/3).

16 Jak to dzia la? przypadek 1 Jeżeli φ(x) = 1, to odrzucamy zdanie p = 1/2 (prawdziwe jest p = 1/3). przypadek 2 Jeżeli φ(x) = 0, to mówimy Nie ma podstaw do stwierdzenia, że p = 1/3.

17 Przyk lad studenci i ich punkty z kolokwium Pytanie Czy średnia ilość punktów zdobytych przez studentów I roku jest równa 6? Suma punktów 10 wybranych studentów to odpowiednio: 5, 10, 6, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 5. Średnia z tych liczb wynosi 7.1. Jak zatem odpowiedzieć na tak postawione pytanie?

18 Jak w takim przyk ladzie wymyślić procedure testujac a Za lożenia 1 Jeżeli X 1, X 2,... X 10 N (µ, 2), to X N (µ, 2/ 10);

19 Jak w takim przyk ladzie wymyślić procedure testujac a Za lożenia 1 Jeżeli X 1, X 2,... X 10 N (µ, 2), to X N (µ, 2/ 10); 2 10( X µ 2 ) N (0, 1).

20 Test studenci - punkty W naszym przyk ladzie dotyczacym studentów i ich ocen za statystyke testowa przyjmijmy średnia z próby. n T (X ) = X i, i=1 Za test statystyczny możemy przyjać nastepuj ac a regu l e: 1 przyjmij, że µ = 6 gdy 5 T (X ) 7, 2 odrzuć, że µ = 6 gdy T (X ) < 5 lub T (X ) > 7.

21 Test studenci - punkty - rysunek xx

22 To samo tylko troch e bardziej formalnie 1 Obserwujemy niezależne obserwacje pewnej zmiennej losowej pochodzacej z nieznanego rozk ladu;

23 To samo tylko troch e bardziej formalnie 1 Obserwujemy niezależne obserwacje pewnej zmiennej losowej pochodzacej z nieznanego rozk ladu; 2 Zak ladamy, że rozk lady obserwowanych zmiennych losowych dadza sie opisać przez zbiór parametrów Θ;

24 To samo tylko troch e bardziej formalnie 1 Obserwujemy niezależne obserwacje pewnej zmiennej losowej pochodzacej z nieznanego rozk ladu; 2 Zak ladamy, że rozk lady obserwowanych zmiennych losowych dadza sie opisać przez zbiór parametrów Θ; 3 Formu lujemy pytanie (hipoteze) np. obserwowana próba pochodzi z rozk ladu o parametrze θ Θ 0 Θ.

25 Hipotezy Z zasady formu lujemy dwa pytania: hipoteze zerowa H 0 ; hipoteze alternatywna H 1 ; w taki sposób aby wzajemnie sie wyklucza ly.

26 Hipotezy Przyk lad z monetami 1 H 0 : p = 1/2 2 H 1 : p = 1/3

27 Hipotezy Przyk lad z monetami 1 H 0 : p = 1/2 2 H 1 : p = 1/3 Przyk lad z punktami 1 H 0 : µ = 6; 2 H 1 : µ 6

28 Test statystyczny Test statystyczny Testem statystycznym nazywamy regu l e, która określa, dla jakich wyników eksperymentu x X należy podjać decyzje o przyjeciu H 0 ; odrzuceniu H 0 i przyj eciu H 1.

29 Obszar krytyczny testu Test statystyczny dzieli przestrzeń możliwych obserwacji X na dwa roz l aczne podzbiory: 1 obszar odrzucenia hipotezy zerowej (obszar krytyczny) B X ; 2 obszar przyjecia hipotezy zerowej B c.

30 Obszar krytyczny testu Przyk lad z monetami 1 B = {0, 1, 2, 3} 2 B c = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

31 Obszar krytyczny testu Przyk lad z punktami 1 B = (, 5) (7, + ) 2 B c =< 5, 7 >

32 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Parametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób: H 0 : parametr jest równy za lożonej liczbie. Parametryczna hipoteze alternatywna możemy zapisać na kilka sposobów: 1 H 1 : parametr nie jest równy za lożonej liczbie;

33 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Parametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób: H 0 : parametr jest równy za lożonej liczbie. Parametryczna hipoteze alternatywna możemy zapisać na kilka sposobów: 1 H 1 : parametr nie jest równy za lożonej liczbie; 2 H 1 : parametr jest wiekszy od za lożonej liczby;

34 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Parametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób: H 0 : parametr jest równy za lożonej liczbie. Parametryczna hipoteze alternatywna możemy zapisać na kilka sposobów: 1 H 1 : parametr nie jest równy za lożonej liczbie; 2 H 1 : parametr jest wiekszy od za lożonej liczby; 3 H 1 : parametr jest mniejszy od za lożonej liczby.

35 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Nieparametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób:

36 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Nieparametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób: H 0 : próba losowa pochodzi z rozk ladu o dystrybuancie F

37 Testowanie hipotez statystycznych przypadek ogólny Nieparametryczna hipoteze zerowa zapisujemy w nastepuj acy sposób: H 0 : próba losowa pochodzi z rozk ladu o dystrybuancie F Hipoteze alternatywna zapisujemy w nastepuj acy sposób H 1 : próba losowa nie pochodzi z rozk ladu o dystrybuancie F

38 Możliwe sytuacje decyzyjne w badaniu hipotez statystycznych Hipoteza H 0 H 0 prawdziwa H 0 fa lszywa odrzucić H 0 b l ad I rodzaju decyzja poprawna przyjać H 0 decyzja poprawna b l ad II rodzaju

39 Testowanie hipotez przypadek ogólny Uwaga Podstawowym problemem testowania hipotez jest to, że decyzje podejmowane przez statystyka sa obarczone b l edem (I i II rodzaju). Dodatkowym zadaniem staje sie zatem kontrola b l edów wynikajacych z podejmowanych decyzji.

40 poziom istotnosci Kluczowym zagadnieniem w problemie testowania hipotez jest prawdopodobieństwo b l edu I rodzaju (powinno być ona jak najmniejsze). Pawdopodobieństwo b l edu I rodzaju oznaczane jest przez α poziom istotności.

41 W rozpatrywanych przez nas zagadnieniach skoncentrujemy sie na kontroli b l edu I rodzaju. Tym samym najważniejszym problemem jest poprawne sformu lowanie hipotezy zerowej (odrzucanej).

42 W rozpatrywanych przez nas zagadnieniach skoncentrujemy sie na kontroli b l edu I rodzaju. Tym samym najważniejszym problemem jest poprawne sformu lowanie hipotezy zerowej (odrzucanej). Uwaga W przypadku gdy test nie b edzie w stanie odrzucić hipotezy zerowej b edziemy mówić nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.

43 Problemy z formu lowaniem hipotezy zerowej i alternatywnej Pewna firma farmaceutyczna chce sprawdzić czy nowy lek nie ma skutków ubocznych. Sprawdzenie zostanie wykonane za pomoca testu statystycznego. Zak ladamy, że naszym celem jest kontrola b l edu I rodzaju. Które z poniższych zagadnień testowych jest poprawnie sformu lowane ( z punktu widzenia tej firmy): 1 H 0 : lek nie ma skutków ubocznych; H 1 : lek ma skutki uboczne;

44 Problemy z formu lowaniem hipotezy zerowej i alternatywnej Pewna firma farmaceutyczna chce sprawdzić czy nowy lek nie ma skutków ubocznych. Sprawdzenie zostanie wykonane za pomoca testu statystycznego. Zak ladamy, że naszym celem jest kontrola b l edu I rodzaju. Które z poniższych zagadnień testowych jest poprawnie sformu lowane ( z punktu widzenia tej firmy): 1 H 0 : lek nie ma skutków ubocznych; H 1 : lek ma skutki uboczne; 2 H 0 : lek ma skutki uboczne; H 1 : nie ma skutków ubocznych;

45 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 1. Niech X 1, X 2,..., X n bedzie próba z rozk ladu normalnego N(µ, σ) przy czym parametr σ jest znany. Celem naszych badań jest stwierdzenie czy: 1 parametr µ > µ 0 ; 2 parametr µ < µ 0 ; 3 parametr µ µ 0.

46 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 1. Zagadnienie to można sprowadzić do testowania hipotezy H 0 : µ = µ 0 ; Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ > µ 0,. (b) µ < µ 0, (c) µ µ 0

47 a b x x c x

48 Konstrukcja statystyki testowej Model 1. φ(x 1,..., X n ) = { 1 X µ 0 σ/ n > u 1 α 0 w przeciwnym przypadku.

49 Jak to dzia la? X µ Jeżeli 0 σ/ n > u 1 α to hipoteze H 0 odrzucamy. W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Uwaga u 1 α jest to oczywiście kwantyl rz edu 1 α z rozk ladu N(0, 1).

50 Zadanie Mamy próbe losowa 100-elementowa z rozk ladu N(0, 1) testujemy hipoteze: H 0 : µ = µ 0 ; H 1 : µ > µ 0. 1 Przetestuj to zagadnienie na poziomie istotności α = 0.05

51 Zadanie Mamy próbe losowa 100-elementowa z rozk ladu N(0, 1) testujemy hipoteze: H 0 : µ = µ 0 ; H 1 : µ > µ 0. 1 Przetestuj to zagadnienie na poziomie istotności α = Powtórzmy to doświadczenie n = 200 razy ilu należy si e spodziewać b l ednych odrzuceń?

52 Zadanie Mamy próbe losowa 100-elementowa z rozk ladu N(0, 1) testujemy hipoteze: H 0 : µ = µ 0 ; H 1 : µ > µ 0. 1 Przetestuj to zagadnienie na poziomie istotności α = Powtórzmy to doświadczenie n = 200 razy ilu należy si e spodziewać b l ednych odrzuceń? 3 Wykonaj ten eksperyment w sytuacji gdy 100 elementowa próba pochodzi z rozk ladów N(0.05, 1), N(0.3, 1).

53 Zadanie Zbiór krytyczny N(0,1) Wart stat test n=200, N(0,1) y y x x Wart stat test n=200, N(0.05,1) Wart stat test n=200, N(0.3,1) y y x x

54 Zadanie Norma techniczna przewiduje średnio 55 sek na wykonanie pewnej operacji technicznej. Ponieważ robotnicy skarżyli sie, że norma jest z la dokonano pomiarów chronometrażowych dla n = 60 wylosowanych robotników i otrzymano z tej próby średnia x = 72 sek oraz S n = 20 sek. Czy można na poziomie istotności α = 0.01 odrzucić hipoteze, że rzeczywisty średni czas operacji jest zgodny z norma?

55 y

56 Zadanie Zbadano w 81 wylosowanych zak ladach koszty materia lowe i otrzymano średnia x = 540 oraz S n = 150. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że średnie koszty materia lowe przy produkcji tego wyrobu wynosza 600.

57 y

58 Zadanie Badajac w 1966 r. w pewnym dużym zak ladzie przemys lowym absencje pracujacych tam kobiet stwierdzono, że w wylosowanej próbie 100 pracownic tego zak ladu średni czas przebywania ich na zwolnieniach lekarskich wyniós l x = 38 dni, odchylenie standardowe s n = 16 dni. Czy można na tej podstawie stwierdzić, że średni roczny czas zwolnień lekarskich dla pracownic tego zak ladu jest d luższy niż miesiac, tj. 31 dni? Przyjać poziom istotności α = 0.01.

59 y

60 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 2. Niech X 1, X 2,..., X n bedzie próba z rozk ladu normalnego N(µ, σ) przy czym parametr σ jest nieznany. Celem naszych badań jest stwierdzenie czy: 1 parametr µ > µ 0 ; 2 parametr µ < µ 0 ; 3 parametr µ µ 0.

61 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 2. Zagadnienie to można sprowadzić do testowania hipotezy H 0 : µ = µ 0 ; Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ > µ 0,.

62 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 2. Zagadnienie to można sprowadzić do testowania hipotezy H 0 : µ = µ 0 ; Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ > µ 0,. (b) µ < µ 0,

63 Testowanie hipotez w przypadku parametrycznym Model 2. Zagadnienie to można sprowadzić do testowania hipotezy H 0 : µ = µ 0 ; Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ > µ 0,. (b) µ < µ 0, (c) µ µ 0

64 Konstrukcja statystyki testowej przypadek a φ(x 1,..., X n ) = { 1 X µ 0 S n 1 / n > t 1 α 0 w przeciwnym przypadku.

65 Jak to dzia la X µ Jeżeli 0 S n 1 / n > t 1 α to hipoteze H 0 odrzucamy w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Uwaga t 1 α jest to oczywiście kwantyl rz edu 1 α z rozk ladu studenta o n 1 stopniach swobody.

66 Zadanie Producent zapewnia, że żywotność pewnego rodzaju baterii wynosi ponad 500 h. W losowej próbie 28 baterii otrzymano średnia 510 h z wariancja 900 h. Czy zapewnienia producenta sa zasadne na poziomie istotności α = 0.01?

67 Zadanie W pewnym doświadczeniu biochemicznym bada sie czas życia pewnych komórek w pewnym środowisku. Rozk lad tego czasu można przyjać z normalny. Dokonano 8 pomiarów i otrzymano nastepuj ace czasy życia tych komórek w tym środowisku 5.3, 4.0, 3.8, 6.2, 5.5, 4.5, 6.0, 4.7. Przyjmujac poziom istotności α = 0.05 sprawdzić hipoteze że średni czas życia komórek w tym środowisku wynosi 4.0 godziny.

68 Rozwiazanie One Sample t-test data: z t = , df = 7, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 4 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x 5

69 Zadanie Wylosowano niezależnie 10 indywidualnych gospodarstw rolnych w pewnej wsi i otrzymano dla nich nastepuj ace wielkości uzyskanych plonów owsa (w q/ha): 18.1, 17.0, 17.5, 17.8, 18.3, 16.7, 18.0, 15.9, 17.6, 18.1 Na poziomie istotności α = 0.10 zweryfikować hipoteze, że średni plon owsa w tej wsi wynosi 18q/ha.

70 Rozwiazanie One Sample t-test data: z t = , df = 9, p-value = 8.743e-13 alternative hypothesis: true mean is not equal to 4 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x 17.5

71 Problem Co zrobić gdy chcemy przetestować hipotez e o średniej z próby X 1,..., X k w sytuacji gdy próba ta nie pochodzi z rozk ladu normalnego? Odpowiedź 1 W przypadku dużej liczności próby użyć statystyki użyć CTG (test z); X µ S n/ n i

72 Problem Co zrobić gdy chcemy przetestować hipotez e o średniej z próby X 1,..., X k w sytuacji gdy próba ta nie pochodzi z rozk ladu normalnego? Odpowiedź 1 W przypadku dużej liczności próby użyć statystyki użyć CTG (test z); X µ S n/ n i 2 W przypadku ma lej liczności próby przyjać ( o ile to możliwe ) za lożenie, że próba pochodzi z innego opisanego rozk ladu i skonstruować test.

73 Porównanie dwóch prób, test dla prób sparowanych Obserwujemy nastepuj ac a grupe danych (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),... (X n 1, Y n 1 ), (X n, Y n ). Przy czym X i N(µ X, σ X ) oraz Y i N(µ Y, σ Y ) Niech D i = Y i X i. Testujemy nastepuj ac a hipoteze zerowa H 0 : µ D = 0;

74 Porównanie dwóch prób, test dla prób sparowanych Statystyka testowa przyjmuje postać: d S n 1 n.

75 Zadanie W teście badajacym pamieć uczniów dla 8 wylosowanych uczniów otrzymano nastepuj ace rezultaty (liczby zapamietanych elementów): 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17. Natomiast po specjalnym treningu pamieci grupa ta wykaza la nastepuj ace wyniki: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21, 18. Przyjmujac poziom istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że trening zwieksza liczbe zapamietanych przez uczniów elementów.

76 Rozwiazanie Paired t-test data: y and x t = , df = 7, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater 95 percent confidence interval: Inf sample estimates: mean of the differences 3

77 Zadanie Zmierzono czaas reakcji na bodziec 8 kierowców przed i w 15 minut po wypiciu 100g wódki. Wyniki przed wypiciem wódki by ly nastepuj ace (w sekundach) : 0.22, 0.18, 0.16, 0.19, 0.20, 0.23, 0.17, 0.25 a po wypiciu wódki: 0.28, 0.25, 0.20, 0.30, 0.9, 0.26, Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że wódka zwieksza czas reakcji na bodziec.

78 Rozwiazanie Paired t-test data: y and x t = 1.704, df = 7, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less th 95 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of the differences

79 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Za lóżmy, że obserwujemy dwie proste próby losowe X 1, X 2, X 3,..., X n oraz Y 1, Y 2,... Y k o rozk ladach odpowiednio N (µ X, σ X ) i N (µ Y, σ Y ). Naszym celem jest zweryfikowanie nastepuj acej hipotezy: Przy alternatywach (kolejno) H 1 : H 0 : µ X = µ Y ;

80 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Za lóżmy, że obserwujemy dwie proste próby losowe X 1, X 2, X 3,..., X n oraz Y 1, Y 2,... Y k o rozk ladach odpowiednio N (µ X, σ X ) i N (µ Y, σ Y ). Naszym celem jest zweryfikowanie nastepuj acej hipotezy: Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ X > µ Y,. (b) µ X < µ Y, H 0 : µ X = µ Y ;

81 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Za lóżmy, że obserwujemy dwie proste próby losowe X 1, X 2, X 3,..., X n oraz Y 1, Y 2,... Y k o rozk ladach odpowiednio N (µ X, σ X ) i N (µ Y, σ Y ). Naszym celem jest zweryfikowanie nastepuj acej hipotezy: Przy alternatywach (kolejno) H 1 : (a) µ X > µ Y,. (b) µ X < µ Y, (c) µ X µ Y H 0 : µ X = µ Y ;

82 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Skoncentrujmy sie na przypadku (a). Rozważmy nastepuj ace sytuacje: 1 parametry σ X i σ Y sa znane;

83 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Skoncentrujmy sie na przypadku (a). Rozważmy nastepuj ace sytuacje: 1 parametry σ X i σ Y sa znane; 2 parametry σ X i σ Y sa nieznane ale równe;

84 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich Skoncentrujmy sie na przypadku (a). Rozważmy nastepuj ace sytuacje: 1 parametry σ X i σ Y sa znane; 2 parametry σ X i σ Y sa nieznane ale równe; 3 parametry σ X i σ Y sa nieznane i nierówne.

85 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 1 statystyka testowa przyjmie postać

86 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 1 statystyka testowa przyjmie postać 1 X Ȳ > u 1 α σ φ(x) = X 2 n + σ2 Y k 0 w przeciwnym przypadku.

87 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 2 statystyka testowa przyjmie postać:

88 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 2 statystyka testowa przyjmie postać: 1 X Ȳ > t ns φ(x) = X 2 1 α +ks2 Y n+k 2 ( 1 n + 1 k ) 0 w przeciwnym przypadku.

89 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 3 statystyka testowa przyjmie postać (zak ladamy duża liczność próby)

90 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 3 statystyka testowa przyjmie postać (zak ladamy duża liczność próby) 1 X Ȳ > u 1 α S n φ(x) = 2 S X 1 n 2 + Y 1 n k 0 w przeciwnym przypadku.

91 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 3 i przy ma lej liczebności próby stosujemy test Cochrana-Coxa. Statystyka testowa przyjmuje wtedy postać

92 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji 3 i przy ma lej liczebności próby stosujemy test Cochrana-Coxa. Statystyka testowa przyjmuje wtedy postać C = X Ȳ Sn n S2 n 2 1 n 2 1

93 Test Cochrana-Coxa Rozk lad zmiennej losowej C zależy od liczności prób oraz od stosunku σ 1 /σ 2, który jest nieznany, jednakże dla n 1 i n 2 można policzyć przybliżona wartość krytyczna testu C α (n 1, n 2 2 ) C α 2 (n 1, n 2 ) = Sn n 1 1 t α (n 1 1) + S2 n n 2 1 t α (n 2 1) 2 Sn n S2 n 2 1 n 2 1

94 Test Cochrana-Coxa Sposób post epowania Jeżeli C > C α 2 (n 1, n 2 ), to odrzucamy hipotez e H 0 na poziomie istotności α.

95 UWAGA,UWAGA,UWAGA UWAGA W sytuacji ma lych prób zastosowanie testu studenta badź testu Cochrana-Coxa powinno być uzależnione od wyniku testu F.

96 Test F Za lóżmy, że obserwujemy dwie proste próby losowe X 1, X 2, X 3,..., X n oraz Y 1, Y 2,... Y k o rozk ladach odpowiednio N (µ X, σ X ) i N (µ Y, σ Y ). Naszym celem jest zweryfikowanie nastepuj acej hipotezy: H 0 : σ X = σ Y.

97 Test F Za lóżmy, że obserwujemy dwie proste próby losowe X 1, X 2, X 3,..., X n oraz Y 1, Y 2,... Y k o rozk ladach odpowiednio N (µ X, σ X ) i N (µ Y, σ Y ). Naszym celem jest zweryfikowanie nastepuj acej hipotezy: H 0 : σ X = σ Y. Przy hipotezie alternatywnej: H 1 : σ X σ Y.

98 Test F Statystyka testowa przyjmuje postać F = S2 n X 1 Sn 2. Y 1 W przypadku gdy hipoteza H 0 jest prawdziwa statystyka F ma rozk lad Snedecora o (n X 1, n Y 1) stopniach swobody.

99 Zadanie Pojemność życiowa p luc studentów uprawiajacych czynnie sport ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym 440cm 3, natomiast dla studentów nie uprawiajacych sportu ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym 620cm 3. Wylosowano z obu populacji studentów dwie próby: dla studentów uprawiajacych sport próbe o liczności n = 20 i średniej x = 4080cm 3, a dla studntów nie uprawiajacych sportu próbe liczności n = 15 i średniej x = 3610cm 3. Przyjmujac poziom istotności α = 0.01 sprawdzić hipoteze, że uprawianie przez studentów sportu zwieksza pojemność życiowa p luc.

100 Zadanie Pobrano dwie losowe próby ziaren fasoli i zmierzono d lugość ziaren. W przypadku A otrzymano n = 450, x = 12.3mm, S na = 1.8mm. Natomiast dla gatunku B otrzymano n = 500, x = 11.9mm, S nb = 2.1mm. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że średnie d lugości ziaren obu gatunków sa takie same.

101 Zadanie W celu stwierdzenia czy podanie pewnego preparatu farmaceutycznego zmienia frakcje pewnego bia lkaw moczu królików, dokonano pomiarów frakcji tego bia lka w grupie kontrolnej K, oraz pomiarów w grupie królików Z, którym podano preparat farmaceutyczny. Wyniki by ly nastepuj ace w (%)

102 Zadanie W celu stwierdzenia czy podanie pewnego preparatu farmaceutycznego zmienia frakcje pewnego bia lkaw moczu królików, dokonano pomiarów frakcji tego bia lka w grupie kontrolnej K, oraz pomiarów w grupie królików Z, którym podano preparat farmaceutyczny. Wyniki by ly nastepuj ace w (%) [1] [1] Sprawdzić za lożenie o równości wariancji dla tych dwóch prób, nast epnie wykonać test t dla dwóch prób (poziom istotności α = 0.05).

103 Rozwiazanie F test to compare two variances data: K and Z F = , num df = 8, denom df = 8, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances

104 Rozwiazanie Welch Two Sample t-test data: K and Z t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equ 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y

105 Zadanie Zmierzono w dwóch ulach średnice komórek plastra zbudowanego przez pszczo ly. Dla 7 wylosowanych komórek z pierwszego ula otrzymano nastepuj ace wyniki: 5.36, 5.20, 5.28, 5.16, 5.30, 5.08, 5.23 analogicznie dla drugiego ula otrzymano: 5.15, 5.04, 5.30, 5.22, 5.19, 5.24, 5.12; Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że średnie d lugości komórek w plastrach pochodzacych z dwóch różnych uli a równe. s

106 Rozwiazanie - test F F test to compare two variances data: grupax and grupay F = , num df = 6, denom df = 6, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances

107 Rozwiazanie - test t Two Sample t-test data: grupax and grupay t = , df = 12, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equ 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y

108 Porównanie dwóch prób, weryfikacja hipotezy o średnich W sytuacji gdy rozpatrywane przez nas zagadnienie nie spe lnia wymienionych powyżej za lożeń. Przy czym celem naszym jest wykazanie istotnych różnic miedzy populacjami pozostaja nam wtedy testy nieparametryczne.

1 Testowanie hipotez statystycznych

1 Testowanie hipotez statystycznych 1 Testowanie hipotez statystycznych Zadanie 1 W pewnym eksperymencie psychiatrycznym przeprowadzonym na grupie 42 chorych otrzymano nastepuj wyniki: (w %) 34.8, 33.9, 32.6, 49.4, 44.9, 55.2, 48.5, 40.3,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 19 kwietnia 2011 Testy dla dwóch grup 1 Analiza danych dla dwóch grup: test t-studenta dla dwóch grup sparowanych; test t-studenta dla dwóch grup niezależnych (jednakowe wariancje) test Z dla dwóch grup

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez dla średnich w rozkładzie normalnym. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez dla średnich w rozkładzie normalnym. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez dla średnich w rozkładzie normalnym Wrocław, 18.03.2016r Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym dla jednej próby Model 1 Testowanie hipotez dla

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 18 maja 2009 Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego)

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Wykład 12 (21.05.07): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w dąbrowie,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Konrad Miziński, nr albumu 233703 31 maja 2015 Zadanie 1 Wartości oczekiwane µ 1 i µ 2 oszacowano wg wzorów: { µ1 = 0.43925 µ = X

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3 Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3 Konrad Miziński, nr albumu 233703 26 maja 2015 Zadanie 1 Wartość krytyczna c, niezbędna wyliczenia mocy testu (1 β) wyznaczono za

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

1 Estymacja przedziałowa

1 Estymacja przedziałowa 1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 4 kwietnia 2012 Testy nieparametryczne Dotychczas zajmowaliśmy si e praktycznym zastosowaniem testów istotności nasze zadanie sprowadza lo si e do testowania hipotez o parametrach rozk ladu. Teraz b edziemy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017 Testowanie hipotez dla frakcji Wrocław, 29 marca 2017 Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu o średniej µ i skończonej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 28 marca 2012 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa - wst ep Przypuśćmy, że chcemy porównać wieksz a (niż dwie) liczbe grup. Aby porównać średnie w kilku grupach, można przeprowadzić analize wariancji.

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla proporcji. Wrocław, 13 kwietnia 2015

Testowanie hipotez dla proporcji. Wrocław, 13 kwietnia 2015 Testowanie hipotez dla proporcji Wrocław, 13 kwietnia 2015 Powtórka z rachunku prawdopodobieństwa Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu o średniej µ i

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności: Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Odp. Zadanie 2 Odp. Zadanie 3 Odp. Zadanie 4 Odp. Zadanie 5 Odp.

Zadanie 1 Odp. Zadanie 2 Odp. Zadanie 3 Odp. Zadanie 4 Odp. Zadanie 5 Odp. Zadanie 1 budżet na najbliższe święta. Podać 96% przedział ufności dla średniej przewidywanego budżetu świątecznego jeśli otrzymano średnią z próby równą 600 zł, odchylenie standardowe z próby równe 30

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii Zadanie 1. W potocznej opinii pokutuje przekonanie, że lepsi z matematyki są chłopcy niż dziewczęta. Chcąc zweryfikować tę opinię, przeprowadzono badanie w

Bardziej szczegółowo

Podsadny þ jest winien. róúzne. W prawodawstwie wielu krajów przyjmuje sie, þ úze pierwszy bład þ jest bardziej dotkliwy - sady þ skazujaþ

Podsadny þ jest winien. róúzne. W prawodawstwie wielu krajów przyjmuje sie, þ úze pierwszy bład þ jest bardziej dotkliwy - sady þ skazujaþ 1 Wykład 6 Przykład 1.1 Podczas rozprawy sadowej, wykorzystujac zebrane dowody i zeznania świadków, sedzia musi odpowiedzieć napytanie:czy prawda jest,úze podsadny jest winien? Zadanie to moúzna przedstawić

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Testowanie hipotez statystycznych Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/23 Testowanie hipotez średniej w R Test istotności dla wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych 9 października 2008 ...czyli definicje na rozgrzewkę n-elementowa próba losowa - wektor n zmiennych losowych (X 1,..., X n ); intuicyjnie: wynik n eksperymentów realizacja próby (X 1,..., X n ) w ω Ω :

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,

Bardziej szczegółowo

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.

Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. # # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski S t a t y s t y k a, część 3 Michał Żmihorski Porównanie średnich -test T Założenia: Zmienne ciągłe (masa, temperatura) Dwie grupy (populacje) Rozkład normalny* Równe wariancje (homoscedasticity) w grupach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW Było: Testowanie hipotez (ogólnie): stawiamy hipotezę, wybieramy funkcję testową f (test statystyczny), przyjmujemy poziom istotności α; tym samym wyznaczamy obszar krytyczny testu (wartość krytyczną funkcji

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7 Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7 1 B l edy pomiaru Wskutek niedoskona lości przyrzadów jak również niedoskona lości naszych zmys lów - wszystkie pomiary sa dokonywane z określonym

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium

Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Zad. 1. Cecha X populacji ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ jest znane, a σ nieznane. Niech X 1,...,X n będzie n-elementową próbą prostą pobraną z tej populacji.

Bardziej szczegółowo