Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Transkrypt

1 4 kwietnia 2012

2 Testy nieparametryczne Dotychczas zajmowaliśmy si e praktycznym zastosowaniem testów istotności nasze zadanie sprowadza lo si e do testowania hipotez o parametrach rozk ladu. Teraz b edziemy rozważać ogólniejsze zagadnienia

3 Testy nieparametryczne testowanie zgodności obserwowanej próby z za lożonym rozk ladem teoretycznym. Procedury takie b edziemy nazywać testami zgodności;

4 Testy nieparametryczne testowanie zgodności obserwowanej próby z za lożonym rozk ladem teoretycznym. Procedury takie b edziemy nazywać testami zgodności; testowanie jednorodności n rozk ladów w sytuacji, gdy obserwacje należa do k kategorii;

5 Testy nieparametryczne testowanie zgodności obserwowanej próby z za lożonym rozk ladem teoretycznym. Procedury takie b edziemy nazywać testami zgodności; testowanie jednorodności n rozk ladów w sytuacji, gdy obserwacje należa do k kategorii; testowanie niezależności.

6 Przyk lady 1 Rzucano dwiema monetami. Czy można stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia or la tymi monetami jest jednakowe?

7 Przyk lady 1 Rzucano dwiema monetami. Czy można stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia or la tymi monetami jest jednakowe? 2 Zaobserowano 60 kolejnych niezależnych rzutów kostka. Czy na tej podstawie można stwierdzić ( z pewnym prawdopodobieństwem b l edu), że kostka nie jest symetryczna?

8 Przyk lady 1 Rzucano dwiema monetami. Czy można stwierdzić, że prawdopodobieństwo wyrzucenia or la tymi monetami jest jednakowe? 2 Zaobserowano 60 kolejnych niezależnych rzutów kostka. Czy na tej podstawie można stwierdzić ( z pewnym prawdopodobieństwem b l edu), że kostka nie jest symetryczna? 3 krzyżujac homozygoty recesywne z heterozygota otrzymano 234 osobników potomnych z czego 122 osobniki sa homozygotyczne a 112 heterozygotyczne. Czy to powinno sk lonić nas do odrzucenie teorii o równomiernym rozk ladzie tych typów osobników?

9 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek jednej próby H 0 p = p 0 ; H 1 p p 0.

10 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek jednej próby H 0 p = p 0 ; H 1 p p 0. Statystyka testowa u = m n p 0 p0q 0 n

11 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek jednej próby H 0 p = p 0 ; H 1 p p 0. Statystyka testowa u = m n p 0 p0q 0 n Uwaga Korzystamy z faktu, że ta statystyka testowa u przy prawdziwości hipotezy H 0 ma w przybliżeniu rozk lad N (0, 1).

12 Rzucano moneta (monetami)... Zadanie Na 800 zbadanych pacjentów szpitala 320 mia lo grupe krwi,, 0. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że proporcja pacjentów z ta grupa krwi wynosi 0.35.

13 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek dwu prób H 0 p 1 = p 2 ; H 1 p 1 p 2.

14 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek dwu prób H 0 p 1 = p 2 ; H 1 p 1 p 2. Statystyka testowa u = m 1 n 1 m2 n 2 p q n przy czym p = m1+m2 n 1+n 2, q = 1 p, oraz n = n1n2 n 1+n 2.

15 Rzucano moneta (monetami)... Test dla proporcji - przypadek dwu prób H 0 p 1 = p 2 ; H 1 p 1 p 2. Statystyka testowa u = m 1 n 1 m2 n 2 p q n przy czym p = m1+m2 n 1+n 2, q = 1 p, oraz n = n1n2 n 1+n 2. Uwaga Korzystamy z faktu, że ta statystyka testowa u przy prawdziwości hipotezy H 0 ma w przybliżeniu rozk lad N (0, 1).

16 Rzucano moneta (monetami)... Zadanie Przy kontroli pracy dwu central telefonicznych w pewnym dniu stwierdzono, że na 200 po l aczeń w centrali A 16 by lo pomy lkowych. Natomiast na 100 po l aczeeń w centrali B z lych po l aczeń by lo 10. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipoteze, że procent z lych po l aczeń jest jednakowy w obu centralach telefonicznych.

17 Rzucano moneta (monetami)... Uwaga W praktyce w sytacjach takich jak powyżej testy dla proporcji stosuje sie rzadko, ponieważ równie dok ladna odpowiedź można uzyskać stosujac tak zwany test chi - kwadrat.

18 Rzucano moneta (monetami)... Uwaga W praktyce w sytacjach takich jak powyżej testy dla proporcji stosuje sie rzadko, ponieważ równie dok ladna odpowiedź można uzyskać stosujac tak zwany test chi - kwadrat. Uwaga na boku Test chi - kwadrat ma także przewage nad testem dla proporcji, że nie wymaga prób wiekszych niż 100 pomiarów i może być stosowany przy skalach nominalnych, które nie sa dychotomiczne.

19 Test χ 2 zgodności wprowadzenie Rozważmy nastepuj ace zagadnienie testowe: H 0 : próba pochodzi z rozk ladu G;

20 Test χ 2 zgodności wprowadzenie Rozważmy nastepuj ace zagadnienie testowe: H 0 : próba pochodzi z rozk ladu G; H 1 : próba nie pochodzi z rozk ladu G.

21 Test χ 2 zgodności Test χ 2 zgodności dla jednej próby Najczeciej stosowanym testem zgodności jest test χ 2. Statystyka testowa przyjmuje postać: k χ 2 (n i n i ) 2 = n i gdzie: k liczba kategorii; i=1

22 Test χ 2 zgodności Test χ 2 zgodności dla jednej próby Najczeciej stosowanym testem zgodności jest test χ 2. Statystyka testowa przyjmuje postać: k χ 2 (n i n i ) 2 = n i gdzie: k liczba kategorii; i=1 n i liczba jednostek posiadajacych k-ta kategorie;

23 Test χ 2 zgodności Test χ 2 zgodności dla jednej próby Najczeciej stosowanym testem zgodności jest test χ 2. Statystyka testowa przyjmuje postać: k χ 2 (n i n i ) 2 = n i gdzie: k liczba kategorii; i=1 n i liczba jednostek posiadajacych k-ta kategorie; n i liczebności hipotetyczne.

24 Uwaga Przy prawdziwości H 0 k χ 2 (n i n i ) 2 = n i i=1 ma rozk lad χ 2 o liczbie stopni swobody s = k 1.

25 Zastosowanie testu χ 2 - zadanie z grupa krwi k = 2 (liczba kategorii);

26 Zastosowanie testu χ 2 - zadanie z grupa krwi k = 2 (liczba kategorii); n 1 = 320,n 2 = 480 (liczba jednostek przypadajacych na k-ta kategorie);

27 Zastosowanie testu χ 2 - zadanie z grupa krwi k = 2 (liczba kategorii); n 1 = 320,n 2 = 480 (liczba jednostek przypadajacych na k-ta kategorie); n 1 = 280, n 2 = 520 liczebności hipotetyczne.

28 Zastosowanie testu χ 2 - zadanie z grupa krwi Obliczenia χ 2 = ( ) ( )2 520 =

29 Zastosowanie testu χ 2 - zadanie z grupa krwi Obliczenia χ 2 = ( ) ( )2 520 = Obliczenia P wartość wynosi

30 Jak to teraz zinterpretować?

31 A jak to wyglada w R? Chi-squared test for given probabilities data: grupa_krwi X-squared = , df = 1, p-value =

32 Czy kostka jest uczciwa? Rzuciliśmy 200 razy kostka. Otrzymaliśmy wyniki: wynik testu: Chi-squared test for given probabilities data: rzut_kostka X-squared = 2.5, df = 5, p-value =

33 Przygody muszek owocowych Grup e 234 osobników potomnych możemy traktować jako prób e z populacji, w której proporcja muszek o oczach czerwonych wynosi 50%.. Czerwone Bia le Obserwowane Spodziewane

34 Przygody muszek owocowych - wynik testu Chi-squared test for given probabilities data: muszka_owocowa X-squared = , df = 1, p-value =

35 Przygody dziwaczka Kojarzac heterozygoty dziwaczka o różowych kwiatach otrzymaliśmy w potomstwie nastepuj ace liczby osoników o kwiatach: czerwonych (C) 22 różowych (R) 43 bia lych (B) 17 Czy prawdziwe jest zatem twierdzenie, że w przypadku gdy homozygoty dominujace różnia sie od heterozygot, to w drugim pokoleniu trzy genotypy powinny pojawić sie w proporcji 1 : 2 : 1.

36 Przygody dziwaczka. Czerwone Różowe Bia le Obserwowane Spodziewane

37 Przygody dziwaczka - wynik testu Chi-squared test for given probabilities data: kwiatki X-squared = , df = 2, p-value =

38 Dalsze zastosowanie testu chi - kwadrat Za pomoca testu chi kwadrat można także porównywać ze soba różne rozk lady empiryczne i w ten sposób badać zwiazek miedzy dwoma cechami nominalnymi.

39 Przygody ślimaków winniczków. Grunt Roślinność zielna Pnie drzew Sum w M lode Stare Sum kol Czy m lode ślimaki różnia sie od doros lych sk lonnościa do przebywania w różnych siedliskach?

40 Przygody ślimaków winniczków - tabela liczności oczekiwanych. Grunt Roślinność zielna Pnie drzew Sum w M lode Stare Sum kol Jak otrzymać t e tabel e?

41 Tablica wielodzielcza Obserwowane 1... l Sum 1 n n 1l n 1 2 n n 2l n k n k1... n kl n k Sum n 1... n l N Oczekiwane l Sum n 1 n 1 n l n N... 1 N n 1 n 2 n 1 n l n N... 2 N n n k k n 1 N... Sum n 1... n l N n l n k N n k Uwaga Statystyka testowa przyjmie postać: χ 2 = k l i=0 j=0 (n ij n i n j N )2 n i n j N Statystka ta ma rozk lad χ 2 o (k 1)(l 1) stopniach swobody.

42 ślimaki winniczki - wyniki Pearson's Chi-squared test data: slimaki X-squared = , df = 2, p-value = 2.115e-11

43 Zadanie z centralami telefonicznymi poczatek wyk ladu Obserwowane Po l Awaria Suma w Centr A Centr B Suma kol Tabela dwudzielcza a b a + b c d c + d a + c b + d N Uwaga Statystyka testowa przyjmie postać: χ 2 = N ad cb (a + c)(b + d)(c + d)(a + b) Statystka ta ma rozk lad χ 2 o 1 stopniu swobody.

44 centrala telefoniczna - wyniki Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: centrala_telefoniczna X-squared = , df = 1, p-value =