MODEL MATEMATYCZNY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO Z MAGNESAMI TRWAŁYMI TYPU PMSM Z WYKORZYSTANIEM METOD WARIACYJNYCH

Transkrypt

1 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r / (98) 77 Anriy Czaban, Wasyl Czaban,, Anrzej Rusek, Marek is Politechnika Częstochowska, Częstiochowa (), Politechnika wowska, wów () MDE MATATYCZY IIKA YCHRICZEG Z MAGEAMI TRWAŁYMI TYPU PMM Z WYKRZYTAI METD WARIACYJYCH VARIATIA METHD-BAED MATHATICA MDE F THE PERMAET MAGET YCHRU MTR (PMM) treszczenie: W pracy korzystając z koncepcji elektromechanicznego przetwarzania energii i nowej interyscyplinarnej metoy wariacyjnej przestawionej w [], zbuowano moel matematyczny napęu synchronicznego z magnesami trwałymi typu PMM z uwzglęnieniem wzajemnego wpływu nieliniowej zależności inukcji magnesów trwałych i pola magnetycznego twornika maszyny. Wyniki symulacji komputerowej przestawiono w postaci graficznej. Abstract: The mathematical moel of a rive base on permanent magnet synchronous motor (PMM) is propose in the paper. The moel is forme using a concept of electromechanical transformation of energy an the new interisciplinary variational metho presente in []. The influence of nonlinear epenency between magnetic inuction of permanent magnets an magnetic fiel of motor armature is taken into account. The results of simulation are presente in graphical forms. łowa kluczowe: maszyny elektryczne, silniki synchroniczne z magnesami trwałymi (PMM) Keywors: electrical machines, permanent magnet synchronous motor (PMM) Wstęp zybki rozwój technologii elektronicznej oraz techniki mikroprocesorowej oferuje zisiaj możliwości realizacji najbarziej złożonych algorytmów systemów sterowania obiektami ynamicznymi, w tym także skomplikowanymi urzązeniami, jakimi bez wątpienia są maszyny elektryczne. Pozwoliło to stworzyć wysoko efektywne maszyny elektryczne, w ziałaniu których leży stworzenie wirujących pól magnetycznych za pomocą wymienionych systemów sterowania, co pozwala wyłączyć z maszyny komutator oraz uzwojenia wzbuzenia silnika. Takie poejście pozwoliło powyższyć efektywność maszyn, a także zwiększyć ich niezawoność. Jeną z takich maszyn elektrycznych jest silnik synchroniczny typu PMM. Zazwyczaj moele matematyczne wymienionych maszyn buuje się na postawie poejść klasycznych, które nie zawsze uwzglęniają wpływ nieliniowej za-leżności właściwości stałych magnesów. Zależność ta, zwłaszcza w stanie przejściowym, jest ość istotna. W przypaku uwzglęnienia trajektorii magnetycznej po pętli histerezowej znane moele matematyczne są ość skomplikowane i nie zawsze ziałają. Celem niniejszej pracy jest: zbuowanie moelu matematycznego silnika syn-chronicznego z magnesami trwałymi typu PMM, biorąc po uwagę wpływ wzajemny nieliniowych zależności inukcji magnesów trwałych i pola twornika maszyny elektrycznej na postawie interyscyplinarnej metoy []. Moel matematyczny silnika Moel matematyczny maszyny zaproponowano wychoząc z przestawionej w [] metoy, rogą formowania rozszerzonego funkcjonału ziałania wg Hamiltona-strograskiego. Jego wariacja jest równa [, 5, 7] t δ =δ t, = T P+Φ D () gzie funkcjonał ziałania weług Hamiltona, lagrangian zmoyfikowany [7], T energia (koenergia T % ) kinetyczna, P energia potencjalna, Φ energia sił rozproszenia, D inna nie potencjalna energia. Uogólnionymi zmiennymi opisującymi ukła elektromechaniczny przyjęto: łaunki elektryczne w uzwojeniach synchronicznego silnika = Q, strumień magnetyczny magnesu

2 78 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r / (98) trwałego po osi 4 = Φ i osi 5 = Φ, kąty obrotu wirnika ( t) ( t) 6 =γ. Pochone zmiennych to opowienio: prąy w uzwojeniach & ( t) = i ( t), & 4 ( t) = Φ / t = Φ & =e( t), & 5 ( t ) = Φ &, oraz prękość obrotowa napęu: & ( t) =ω( t). 6 kłaniki zmoyfikowanego lagrangianu () zapisano w postaci: i j j= J T % Σω = Ψ j ( ij ) ij +, j= A, B, C () Φn t ( n ) n n,,, j n= j=, P= ρ Φ Φ Φ n= Φ= r i τ () t t ω D= ujijτ+ ( M ( ω) ) ω τ+ j= Φ + ( F + F( Φ )) Φ& τ+ t Φ + F Φ& τ (4) t gzie T % koenergia ukłau, r rezystancja każej fazy stojana, A, B, C ineksy faz zasilania maszyny elektrycznej,, ineksy prostokątnych współrzęnych przypisane o wirnika maszyny, u napięcie zasilania silnika, M ( ω), M ( ω ) moment elektromagnetyczny silnika oraz jego moment obciążenia, Ψ ( i ) pełne sprzężenia magnetyczne stojana, Φ strumień magnetyczny maszyny, ρ( Φ n ) rezystancja magnetyczna przewou magnetycznego maszyny, F( Φ ) MM magnesu trwałego (po poprzecznej osi siła magnetomotoryczna magnesu trwałego F ), F MM uzwojeń stojana maszyny po osiach, i. Postawiając elementy zmoyfikowanego lagrangianu () (4) o równania Eulera-agrange a [5]: = (5) t & i zmieniając kolejność różniczkowania, a także wykorzystując twierzenie o pochonej o górnej granicy całki [], otrzymano: j j ( ) ( ) ij Qj = Ψ j ( ij ) ij + t i Q t i = j j j j Ψ + τ τ= = t t j r ij j j j j j u i u r i = j= t (6) Φ ( Φ& ) ( Φ ) = ρ( Φ ) Φ Φ t Φ& Φ Φ ( F + F( Φ )) Φ& Φ& τ= t Φ& i j ρ( Φ ) Φ = F + F( Φ ), (7) Φ ( Φ& ) ( Φ ) = ρ( Φ ) ΦΦ t Φ& Φ Φ FΦ& Φ & τ= t Φ& ρ( Φ ) Φ = F (8) ( ω ) ( ) JΣ ϕ = ω t ω ϕ t ω t ω ( M ( ω) ) ω τ= ω = ( M ( ω )) (9) t J Σ Zależności powiązań la obwoów elektrycznych [, 6]: Ψ +Ψ +Ψ =, i + i + i = () A B C A B C Wtey równania (6) przyjmują postać macierzowo-wektorową: Ψ t Ψ A ua = u r i = t u Ψ B B r i A. () r i B Uwzglęniając zależność hs = hs = hs gzie h s owolny wektor z fazowego ukłau współrzęnych fizycznych, macierz Parka [], wskaźnik o przekształconego ukłau współrzęnych (Parka).,

3 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r / (98) 79 ( ) Ψ = + = Ψ Ψ t t t u r i () Mnożąc wyrażenie () o lewej przez macierz Parka, a także biorąc o uwagi: Ω =, t gzie Ω macierz prękości obrotowych [] otrzymano: Ψ = u Ω Ψ r i, Ω (, ) ω t () Całkowite sprzężenia magnetyczne stojana i wirnika wyznaczono w zwykły sposób, z uwzglęnieniem zależności: ψ = ψ R ψr = ψ, [6] Ψ A Ψ = i + ψ = ΨB i A ψ = +, = (4) i ψ B gzie inukcyjność rozproszenia uzwojeń stojana. tą wyznaczono prąy w uzwojeniach stojana: i A i = ( Ψ ψ ) = ib = ψ ΨA Ψ ψ A. (5) Postawowe sprzężenia magnetyczne uzwojeń stojana poszukamy wychoząc z równań Parka [, 6] ψ =ψ cosϕψ sinϕ, A ψ B =ψ cos( ϕ ) ψ sin( ϕ ) (6) Przekształcone postawowe sprzężenia magnetyczne maszyny wyznaczono z równań równowagi sił magnetomotorycznych i napięć magnetycznych w prostokątnym ukłazie magnetycznego obwou silnika, wychoząc z równania równowagi napięć magnetycznych [6]: ( ) F( ), ( ), ψ = Ψ ψ + Φ =, (7) A ψ = Ψ ψ =, (8) B gzie, postawowe statyczne inukcyjności maszyny po wzłużnej i porzecznej osi, F( Φ ). trefę roboczą magnesu trwałego wyznaczymy z pętli histerezy. Aproksymując jej strefy przez prostą Hcb H = ab+ b, a=, b= Hcb (9) Br gzie a, b współczynniki aproksymacji prostej, H cb siła koercyjna, B r inukcja ostatkowa. a postawie praw przypływu prąu i inukcji elektromagnetycznej Faraaya, a także uwzglęniając współczynnik konstrukcji maszyny [, 6] można zapisać: gzie H = FΣ FΣ = F + F( Φ ) F( Φ ) = H, () π/ 4lτw B = Φ ψ = B cos () π π / π/ B B cos, Φ = lτb () π / grubość magnesu, pole przekroju magnesu, F Σ całkowita siła magnetomotoryczna magnetoprzewou ukłau, F Σ całkowita siła magnetomotoryczna po osi, ziałająca w obwozie całkowania, τ poziałka biegunowa, l ługość wirnika, w liczba cewek uzwojenia twornika, bieżąca współrzęna kątowa. Uwzglęniając rugie prawo Kirchhoffa la obwoów magnetycznych i mnożąc o lewej i prawej strony przez, z uwzglęnieniem (9), () otrzymano Φ F( Φ ) = H = a Φ + b, B=. () Robocze sprzężenie magnetyczne wirnika po osiach i na postawie [] określają zależności (4): 4w π π ψ= Φ Φ = ψ, Φ = ψ (4) π 4w 4w

4 8 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r / (98) Z równania magnetycznej równowagi po osi (7), a także z uwzglęnieniem wyrażeń () (4) można zapisać: V =ρ ( Φ ) Φ = F + F( Φ ) ρ ( Φ ) Φ = m w Hcb = i Φ + H cb πp Br (5) gzie: p liczba par magnetycznych biegunów maszyny. Z uwzglęnieniem wyrażenia (4) równanie (5) zapisano w sposób następujący: π πp π πp Hcb πp ρψ = i ψ + Hcb. 4w w 4w w Br w (6) Wprowazając następujące oznaczenia: π πp = ρ (7) 4w w postawowa owrotna statyczna inukcyjność maszyny po osi, * π πp Hcb = (8) 4w w B * obliczeniowa owrotna statyczna inukcyjność magnesów maszyny, πp F = Hcb (9) w F stały skłanik aproksymacji, wyrażenie (6) z uwzglęnieniem (7) (9) przybiera postać: * r ψ = i ψ + F. () Wyrażenie () z uwzglęnieniem (7) la osi : ψ = * ( Ψ A+ F). () + + Poobnie (8) la osi ψ = + Ψ B. () Moment elektromagnetyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi opisuje zależność [6] M = p ( ψi ψ i ). () Zależności funkcjonalne w fazowych współrzęnych otrzymuje się stosując owrotne przekształcenia Parka []. Wspólnemu rozwiązaniu polega następujący ukła równań różniczkowych: (9), (), (4) z uwzglęnieniem wyrażeń (7) (9), () (). Wyniki symulacji komputerowej Do analizy procesów nieustalonych został wykorzystany silnik synchroniczny z magnesami trwałymi typu PMM, który napęzał obciążenie. Typ silnika: Mwsg4. Dane znamionowe: P = 4. kw, U = x4 V, I = 7.5 A, = 5.5 m, r =.976Ω, ω = 5 obr/min, M =. mh, a = 69.9 mh, a =. mh, I = 4. A, I = 6. A, ωψ m = 6 V, J Σ =,kg m. Rozruch napęu przeprowazono w następujący sposób. Przy znamionowej amplituzie napięcia zasilania zwiększano o zera częstotliwość wg zależności opisanej równaniem: (, ( t ) 4,5 exp(, t )) ω = s-. Wyniki symulacji przestawiono w postaci graficznej. 6 ω,s Rys.. Przejściowa prękość obrotowa mechanizmu a rys. przestawiono przejściową prękość obrotową mechanizmu hamującego napęu synchronicznego typu PMM z aktywnym momentem obciążenia na wale silnika. Postać rozruchu napęu w głównej mierze zależy o zależności opisującej wzrost częstotliwości zasilania. Po okonaniu rozruchu ukła wiruje ze znamionową prękością obrotową.

5 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r / (98) 8 - i A,A Rys.. Przejściowy prą fazy A w uzwojeniu twornika Rys. przestawia przejściowy prą fazy A uzwojenia twornika maszyny synchronicznej typu PMM. ależy tutaj zaznaczyć, że w przypaku ogólnym rozruch silnika synchronicznego z magnesami trwałymi [4] prowazi się za pomocą specjalnych ukłaów sterowania. Celem niniejszej pracy nie jest moelowanie ukłau sterowania o silnika. W pracy skupiono się na moelowaniu części siłowej silnika PMM. Takie poejście o zaganienia prowazi o wielkiego wzrostu prąu w pierwszym momencie po załączeniu zasilania ukłau napęowego. a rys. przestawiono przejściowy moment elektromagnetyczny silnika. Wiać tutaj wielki wzrost momentu w pierwszym momencie rozruchu. Powiązane jest to z przyjętą funkcją zmiany częstotliwości zasilania silnika. W stanie ustalonym, oczywiście częstotliwość jest stała równa znamionowej. Wartość ustalona momentu elektromagnetycznego jest równa znamionowej M,m Rys.. Przejściowy moment elektromagnetyczny silnika Posumowanie Zastosowanie przestawionej w [] interyscyplinarnej metoy wariacyjnej umożliwiło przestawienie moelu matematycznego ukłau napęowego z silnikiem synchronicznym z magnesami trwałymi typu PMM unikając ekompozycji scalonego ukłau elektromechanicznego na orębne poukłay: elektryczny, magnetyczny oraz mechaniczny. Takie poejście jest stosowane w ukłaach elektromechanicznych ze złożoną transmisją ruchu []. Wykorzystanie w warunkach stacjonarnych powiązań równania namagnesowania maszyny z uwzglęnieniem zjawiska histerezy umożliwiło przestawienie moelu matematycznego maszyny synchronicznej o magnesach trwałych. iteratura []. Chaban A. Mathematical Moel of scillatory Processes in Electromechanical ystems viv: W-wo T. oroki, 8. []. Elsgolc. E. Rachunek wariacyjny. Warszawa: Państwowe Wyawnictwo aukowe, 96, s. 68. []. Kopylow I. Moelowanie matematyczne maszyn elektrycznych M.: Wyższa zkoła,, s. 7. [4]. is M. znaczenie parametrów techniczno-konstrukcyjnych silnika synchronicznego z magnesami trwałymi z trójfazowym uzwojeniem stojana o sterowaniu trapezoialnym // Przeglą Elektrotechniczny Vol., r b, s [5]. rtega R., oria A., icklasson P.J., ira-ramirez H. Passivity-Beast Control of Euler-agrange ystems: Mechanical, Electrical an Electromechanical Applications. onon: pringer Verlag, 998, s. 54. [6]. V. Tchaban Electromagnetic fiel. T. oroka s publish. house, viv, 6. [7]. V White D.C., Wooson H.H. Electromagnetic Energy Conversion, ew-york, John Wiley & ons, Inc, 958. Autorzy Anriy Czaban prof. nazw., r hab. inż. Politechnika Częstochowska Wyział Elektryczny, al. Armii Krajowej 7 oraz Politechnika wowska, katera Elektrotechniki, ul Banery, wów Ukraina, atchaban@gmail.com; Wasyl Czaban prof. r hab. inż., Politechnika Częstochowska, Wyział Elektryczny, al. Armii Krajowej 7, oraz Politechnika wowska katera Elektrotechniki, ul Banery, wów Ukraina; Anrzej Rusek prof. r hab. inż., Politechnika Częstochowska, Wyział Elektryczny, al. Armii Krajowej 7, rusek@el.pcz.czest.pl; Marek is r inż. Politechnika Częstochowska Wyział Elektryczny, al. Armii Krajowej 7 lism@el. pcz.czest.pl.