KOMPLEKSOWE MODELOWANIE SILNIKÓW RELUKTANCYJNYCH PRZEŁĄCZALNYCH W SYSTEMIE MATLAB 1. WSTĘP

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 50 Politechniki Wrocławskiej Nr 50 Studia i Materiały Nr Jan PROKOP* silniki reluktancyjne przełączalne, obliczenia polowe, modele symulacyjne, obliczenia symboliczne, analiza harmoniczna KOMPLEKSOWE MODELOWANIE SILNIKÓW RELUKTANCYJNYCH PRZEŁĄCZALNYCH W SYSTEMIE MATLAB Omówiono metodę modelowania silników reluktancyjnych przełączalnych (SRM) w systemie MATLAB, integrującą obliczenia polowe z obliczeniami dla modeli obwodowych SRM. Zastosowano obliczenia pola magnetycznego metodą elementów skończonych do wyznaczania współczynników indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń dla modeli obwodowych SRM oraz omówiono modele symulacyjne dynamiki dla środowiska MATLAB/SIMULINK. Zamieszczono wyniki obliczeń rozkładu pola magnetycznego SRM, przykład symulacji stanu dynamicznego oraz wyniki analizy harmonicznej w stanie ustalonym modelowego silnika dla przykładowego sposobu sterowania. 1. WSTĘP Obecny dynamiczny rozwój silników reluktancyjnych przełączalnych (ang. Switched Reluctance Motors SRM) jest związany z postępem w zakresie budowy półprzewodnikowych elementów mocy i rozwojem techniki mikroprocesorowej umożliwiającej realizację skomplikowanych algorytmów sterowania [1, 2]. Ciągły rozwój komputerowych systemów CAD/CAE daje współczesnemu inżynierowi zaawansowane narzędzia wspomagające projektowanie tych silników. Jednym z takich systemów jest stosowany w niniejszej pracy system MATLAB [3, 4]. Kompleksowe projektowanie SRM wymaga między innymi modelowania rozkładu pola magnetycznego w silniku, symulacji jego właściwości dynamicznych i statycznych, jak również analizy, np. zawartości wyższych harmonicznych w prądach i momencie silnika. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie metody modelowania silników SRM w systemie MATLAB integrującej obliczenia polowe z obliczeniami dla modeli obwodowych i umożliwiającej analizę właściwości statycznych i dynamicznych tych maszyn. Przedstawiona w pracy metoda modelowania opiera się na modelach numerycznych [5] i symboliczno-numerycznych przedstawionych w [6, 7] i stanowi rozszerzenie tych modeli. * Politechnika Rzeszowska, Wydział Elektryczny, ul. W. Pola 2, Rzeszów, jprokop@prz.rzeszow.pl.

2 260 Zaletą proponowanej metody jest integracja obliczeń polowych, symbolicznych i numerycznych w jednolitym środowisku programistycznym systemu MATLAB. Zastosowanie proponowanej metody modelowania powinno przyczynić się do poprawy właściwości silników reluktancyjnych przełączalnych, co w konsekwencji może spowodować, że silniki te będą stanowiły bardziej efektywną alternatywę dla szerokiej gamy obecnie stosowanych regulowanych napędów elektrycznych. 2. MODELOWANIE POLA MAGNETYCZNEGO I OBLICZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW INDUKCYJNOŚCI 2.1. ANALIZA POLA MAGNETYCZNEGO METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Dla analizy statycznego pola magnetycznego silników reluktancyjnych przełączalnych opisanego równaniami: H = J (1) B = 0 (2) B = µ H (3) można zastosować Partial Differential Equation Toolbox (PDE) systemu MATLAB przeznaczony do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych w przestrzeni dwuwymiarowej z zastosowaniem metody elementów skończonych (FEM). PDE Toolbox pozwala na rozwiązywanie różnych typów równań różniczkowych (hiperboliczne, paraboliczne, eliptyczne), a) b) c) jak Rys. 1. Silnik reluktancyjny przełączalny 6/4: a) przekrój poprzeczny; b, c) sieć trójkątnych elementów skończonych Fig.1. Switched Reluctance Motor 6/4: a) motor geometry; b,c) motor triangular mesh structure i różnych typów zagadnień, takich jak analiza elektrostatyczna, magnetostatyczna, analiza pola przepływowego, pola temperaturowego oraz analiza pola naprężeń mechanicznych. Korzystając z różnych trybów pracy, można definiować typ równania różniczkowego i jego parametry, geometrię dwuwymiarowego obszaru, określać warunki brzegowe (Dirichleta, Neumanna,

3 mieszane), generować siatkę elementów trójkątnych, określać warunki początkowe, parametry i metodę rozwiązania oraz sposób wizualizacji uzyskanego rozwiązania. Przebieg pracy z zastosowaniem PDE Toolbox może być zapisany do m-pliku lub wyniki obliczeń mogą być wyeksportowane do przestrzeni roboczej MATLAB-a i wykorzystane do następnych obliczeń. Przykładowo na rys. 1 przedstawiono przekrój porzeczny modelowego silnika reluktancyjnego przełączalnego o danych: moc znamionowa P N = 1,1 kw, napięcie znamionowe U DC = 300 V, prędkość znamionowa n N = obr/min, liczba biegunów stojana N s = 6, liczba biegunów wirnika N r = 4 (rys. 1a) oraz strukturę sieci z elementami trójkątnymi składającą się z 6968 elementów i 3536 węzłów (rys. 1b) otrzymaną w wyniku zastosowania opcji Initialize Mesh. Program PDE umożliwia zmniejszenie wielkości elementów sieci w części lub na całym obszarze (Refine Mesh) oraz korekcję kształtu elementów przez ich wstrząsanie (Jiggle Mesh). Strukturę sieci, składającą się z elementów i węzłów, przedstawiono na rys. 1c. Przykładowe wyniki obliczeń linii potencjału wektorowego modelowego silnika SRM przy zasilaniu pojedynczego pasma uzwojenia stojana dla trzech różnych położeń wirnika przedstawiono na rys Rys. 2. Linie potencjału wektorowego SRM przy zasilaniu pojedynczego pasma dla różnych położeń wirnika Fig. 2. Magnetic flux lines SRM in reference to the excited stator pole for different rotor positions Na rysunku3 przedstawiono wyniki obliczeń linii potencjału wektorowego modelowego silnika SRM przy zasilaniu dwóch pasm uzwojeń stojana dla trzech różnych położeń wirnika. Obliczenia te są następnie wykorzystywane do analizy współczynników indukcyjności dla modeli obwodowych silnika.

4 262 Rys. 3. Linie potencjału wektorowego SRM przy zasilaniu dwóch pasm jednocześnie dla różnych położeń wirnika Fig.3. Magnetic flux lines SRM in reference to the excited two stator poles for different rotor positions 2.2. OBLICZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW INDUKCYJNOŚCI WŁASNYCH I WZAJEMNYCH DLA MODELI OBWODOWYCH SRM Obliczenia polowe można zastosować do obliczenia współczynników indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń fazowych L ij (ϕ) dla modeli obwodowych silnika. Stosując metodę obliczania koenergii zgromadzonej w uzwojeniach wyrażonej wzorem: N N 1 W = Lijiii 2 i= 1 j= 1 j (4) współczynniki indukcyjności własnych przy zasilaniu tylko jednego pasma uzwojenia można obliczyć z zależności: 2W L ii =, i = 1,..., N (5) i i 2 i gdzie W i jest energią zgromadzoną w i-tym uzwojeniu, współczynniki zaś indukcyjności wzajemnej ze wzoru: L ij z ij i j p ij W W =, i, j = 1,..., N (i j) (6) 2i i Rys. 4. Zależność indukcyjności SRM od kąta obrotu i prądu silnika Fig. 4. Inductance SRM as a function of rotor position and current przy czym połączeniu zgodnym, z W ij jest energią zgromadzoną w i-tym i j-tym uzwojeniu przy ich szeregowym p Wij zaś energią przy ich szeregowym połączeniu przeciwnym.

5 Indukcyjności dynamiczne dla danego kąta obrotu można obliczyć metodą przyrostową ze zmian strumienia: lub metodą przyrostu energii wokół punktu pracy z zależności: 263 ψ L = (7) i W ( i + i) + W ( i i) 2W ( i) L =. (8) 2 ( i) Powtarzając obliczenia polowe dla różnych wartości kąta obrotu wirnika i prądu zasilania pasma uzwojenia stojana, można określić zmiany współczynników indukcyjności w funkcji tych wielkości. Przykładowy wynik obliczeń indukcyjności własnej przedstawiono na rys. 4. Do aproksymacji funkcji zmian współczynników indukcyjności dla celów dalszych obliczeń można zastosować pakiet Spline Toolbox systemu MATLAB wykorzystujący tzw. funkcje sklejane. 3. MODELE DYNAMIKI SILNIKÓW RELUKTANCYJNYCH PRZEŁĄCZALNYCH 3.1. RÓWNANIA OBWODOWYCH MODELI MATEMATYCZNYCH SRM Równania modeli obwodowych silników reluktancyjnych przełączalnych mających N pasm uzwojeń stojana można przedstawić w postaci [7]: d u = Ri + ϕ = dt [ ψ( i, )], ψ(0) ψ 0 (9) dω J + Dω + T L = Te, ω(0) = ω0 (10) dt dϕ = ω, ϕ(0) = ϕ 0 dt (11) gdzie poszczególne wektory i macierze są zdefiniowane: u = col( u1, K, un ) (12) ψ i, ϕ) = col( ψ ( i,..., i, ϕ),..., ψ ( i,..., i, )) (13) ( 1 1 N N 1 N ϕ

6 264 i = col( i 1, K, i N ) (14) R = diag( R 1, K, R N ) (15) moment zaś elektromagnetyczny silnika T e w równaniu (10) określa wyrażenie: T e = N ii ψ i ( i ϕ i= 1 0 K dii. (16) 1,, in, ϕ) ii = const Przy założeniu liniowego obwodu magnetycznego wektor strumieni skojarzonych określony zależnością (13) można zapisać ψ ( i, ϕ) = L( ϕ), gdzie L(ϕ ) jest macierzą indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń silnika o wymiarze N N. Moment elektromagnetyczny w tym przypadku jest obliczany z zależności: L( ϕ) T = 1 i T e i. (17) 2 ϕ Napięcia zasilania poszczególnych pasm uzwojeń silnika we wzorze (12) zależą od kąta położenia wirnika ϕ i sposobu sterowania, np. prądowego, napięciowego (PWM) lub jednopulsowego [1, 2] MODELE SYMULACYJNE SRM W SYSTEMIE MATLAB Autor w pracy [7] wprowadził umowny podział modeli symulacyjnych maszyn elektrycznych na modele: symboliczne, oparte na rozwiązaniach analitycznych, numeryczne, oparte na rozwiązaniach numerycznych i symboliczno-numerycznych, oparte na częściowo realizowanych obliczeniach symbolicznych i częściowo numerycznych. Do realizacji modeli symulacyjnych numerycznych SRM można zastosować środowisko systemu MATLAB/SIMULINK [4]. Modele symulacyjne symboliczno-numeryczne integrują obliczenia symboliczne w zakresie formułowania równań, obliczania ich współczynników oraz numeryczne w zakresie ich rozwiązywania. Modele te w systemie MATLAB są realizowane z zastosowaniem Extended Symbolic Math Toolbox, który umożliwia dostęp do funkcji systemu Maple V w przestrzeni roboczej MATLAB-a. Na rysunku 5 przedstawiono ogólny schemat blokowy modelu symulacyjnego silnika SRM opisanego równaniami (9) (16).

7 265 Rys. 5. Model symulacyjny SRM w SIMULINK-u Fig. 5. The Simulink representation of SRM drive W omawianym modelu w podsystemie o nazwie Symbolic-Numeric Calculation Block są realizowane obliczenia symboliczne i numeryczne. W bloku tym symbolicznie jest obliczane wyrażenie na moment elektromagnetyczny silnika według zależności (16) lub (17). W pozostałej części przedstawionego modelu symulacyjnego w ramach obliczeń numerycznych rozwiązywane są równania dynamiki części mechanicznej maszyny opisane zależnościami (10) i (11). Na rys. 6 przedstawiono przebiegi czasowe napięć zasilania poszczególnych pasm uzwojeń (u 1, u 2, u 3 rys. 6a), prądów fazowych (i 1, i 2, i 3 rys. 6b) i momentu elektromagnetycznego (T e rys. 6c) podczas rozruchu modelowego silnika sterowanego napięciowo z falownika PWM. Rys. 6. Rozruch SRM zasilanego z falownika PWM Fig. 6. Start-up SRM with PWM voltage control 4. ANALIZA STANÓW STACJONARNYCH Dla analizy przebiegów napięć, prądów i momentu przy stałej prędkości silników SRM w dziedzinie czasu i częstotliwości można zastosować Signal Processing Toolbox systemu MATLAB przeznaczony do cyfrowego przetwarzania i analizy sygnałów. Pakiet ten posiadający swój graficzny interfejs użytkownika pozwala między innymi na import z przestrzeni roboczej MATLAB-a zmiennych reprezentujących określone sygnały, a następnie ich wizualizację lub analizę. W celu otrzymania widma częstotliwości obliczonych

8 266 symulacyjnie przebiegów czasowych można zastosować szybką transformatę Fouriera (FFT). Przykładowo na rys. 7 przedstawiono przebiegi czasowe i ich harmoniczne (przy pominięciu składowej stałej): napięć zasilania poszczególnych pasm uzwojeń (u 1, u 2, u 3 ), prądów fazowych (i 1, i 2, i 3 ), prądu zasilania (I dc ) oraz momentu elektromagnetycznego (T e ) przy sterowaniu prądowym. Do wad silników SRM należy zaliczyć znaczne pulsacje wytwarzanego momentu elektromagnetycznego, zwiększoną głośność pracy oraz tendencję do występowania drgań. Analiza zawartości wyższych harmonicznych w wytwarzanym przez silnik momencie elektromagnetycznym i pobieranym prądzie jest dobrym miernikiem służącym za podstawę oceny różnych sposobów sterowania SRM dla polepszenia ich właściwości, np. dla zmniejszenia drgań silnika. Pozwala na dobór optymalnych kątów sterowania dla zadanych kryteriów. Rys. 7. Sterowanie prądowe SRM, przebiegi czasowe i ich harmoniczne Fig. 7. Current control SRM, waveforms and their harminics 5. PODSUMOWANIE

9 Napęd z silnikiem reluktancyjnym przełączalnym jest złożonym układem elektromechanicznym składającym się z układu falownika i samego silnika, w którym bardzo istotną rolę odgrywa nieliniowość obwodu magnetycznego oraz układu sterującego. W pracy omówiono kompleksową metodę modelowania i symulacji SRM w systemie MATLAB. Zachowano wprowadzony w [7] umowny podział modeli symulacyjnych maszyn elektrycznych na modele symboliczne, numeryczne i symboliczno-numeryczne. Do zalet omawianej kompleksowej metody modelowania i symulacji silników reluktancyjnych przełączalnych należy: Praca w jednolitym środowisku programistycznym systemu MATLAB z możliwością analizy różnych typów zagadnień, takich jak analiza pól (np. magnetycznego, temperaturowego), analiza właściwości dynamicznych, np. dla różnych algorytmów sterowania i właściwości statycznych, np. analiza harmoniczna przebiegów czasowych. Możliwość integracji obliczeń polowych z zastosowaniem metody elementów skończonych z obliczeniami dla potrzeb modeli obwodowych, które są bardziej przydatne w realizacji praktycznej układów sterowania. Możliwość integracji obliczeń symbolicznych i numerycznych, w szczególności możliwość zastosowania zoptymalizowanego kodu źródłowego generowanego w procesie obliczeń symbolicznych a wykorzystywanego w obliczeniach numerycznych. Łatwość symulacji pełnej struktury układu napędowego SRM w układzie zamkniętym sterowania z wizualizacją graficzną wybranych zmiennych, z możliwością optymalizacji struktury sterowania przy dynamicznym doborze parametrów (np. kątów załączenia i wyłączania dla zadanych kryteriów, np. w celu osiągnięcia maksymalnego momentu, minimalizacji pulsacji momentu czy uzyskania maksymalnej sprawności) oraz analizy nowych typów układów zasilania Dla i uzyskania sterowania. optymalnych właściwości silników reluktancyjnych przełączalnych, ze względu na skomplikowane algorytmy sterowania, konieczne jest stosowanie sterowników mikroprocesorowych, które dla zadanych kryteriów, np. minimalizacji pulsacji momentu realizują odpowiednie sterowanie na podstawie regulatorów z logiką rozmytą, czy regulatorów neuronowych. Wówczas modelowanie ułatwiają pakiety Fuzzy Logic Toolbox oraz Neural Network Toolbox systemu MATLAB. 267 LITERATURA [1] PROKOP J., KORKOSZ M., Wpływ sposobu sterowania na pulsacje momentu i prądu silników reluktancyjnych przełączalnych, Wiadomości Elektrotechniczne, 1999, Nr 12, [2] PROKOP J., BOGUSZ P., Analiza właściwości dynamicznych silników reluktancyjnych przełączalnych w systemie MATLAB/SIMULINK, Przegląd Elektrotechniczny, 2000 (w druku). [3] MATLAB The Language of Technical Computing, Using MATLAB Version 5, The Math Works, Inc [4] SIMULINK Dynamic System Simulation for Matlab, Using SIMULINK Version 2, The Math Works, Inc

10 268 [5] PROKOP J., Biblioteka MOTORS opis i zastosowanie w modelowaniu układów napędu elektrycznego w systemie MATLAB-SIMULINK, Przegląd Elektrotechniczny, 1996, Nr 3, [6] PROKOP J., Modelling of electromechanical systems simulation models, symbolic computation, Scientific Bulletin of Łódź Technical University, Nr 788, Elektryka, 1998, z. 91, [7] PROKOP J., Modele symulacyjne maszyn elektrycznych integrujące obliczenia symboliczne i numeryczne, SME COMPLEX MODELLING OF SWITCHED RELUCTANCE MOTORS IN THE MATLAB SYSTEM The paper presents a method of simulation Switched Reluctance Motors (SRM) with the application of the MATLAB system. FEM analysis of magnetic flux, symbolic and numerical calculation and Simulink simulation models of the SRM are described. Simulation models of SRM are based on mathematical models equations of which can be described assuming the general case of non-linearity of the magnetic circuit. Results of simulation test for Switched Reluctance Motor and conclusions are presented.