Zagadnienia lokalizacyjne ze złożonymi modelami preferencji

Transkrypt

1 Zagadnienia lokalizacyjne ze złożonymi modelami preferencji Paweł Olender Promotor: prof. dr hab. Włodzimierz Ogryczak Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 marzec 2015, Poznań Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 1 / 69

2 Agenda 1 Wprowadzenie 2 Modele z agregacja OWA Operator OWA Modele optymalizacyjne OWA 3 Modele z agregacja WOWA Operator WOWA Modele optymalizacyjne WOWA 4 Metoda VNS z agregacja OWA Metoda VNS Modyfikacje VNS 5 Metoda VNS z agregacja WOWA Adaptacja VNS dla WOWA 6 Podsumowanie Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 2 / 69

3 Zagadnienia lokalizacyjne Jak rozmieścić obiekty do obsługi klientów (odbiorców)? Dyskretny problem lokalizacyjny c4 odbiorcy możliwe lokalizacje punktów obsługi c c3 6 abstrakcyjne odległości umiejscowienie punktów obsługi przypisanie odbiorców do p. obsługi c2 4 c5 Klasyczne typy problemów kryterium średniej (sumy) kryterium centrum Aby uzyskać rozwiazania kompromisowe można zastosować podejście wielokryterialne z odpowiednim modelem preferencji. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 3 / 69

11 Wielokryterialny problem lokalizacyjny min{y = f(x) : x Q}, y i = f i (x) f. oceny i-tego klienta min (y 1, y 2,...,y m) p.o. y i = c ij x ij j=1 x j = n, j=1 j=1 x ij = 1 i = 1,...,m, i = 1,...,m, x ij x j i, j = 1,...,m, x j {0, 1} i, j = 1,...,m, 0 x ij 1 i, j = 1,...,m. Zmienne decyzyjne x j x ij y i czy punkt obsługi umieszczony w lokalizacji j czy klient i przypisany do punktu obsługi w lokalizacji j koszt obsługi klienta i Parametry m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) n liczba punktów obsługi c ij koszt obsługi klienta i przez punkt obsługi w lokalizacji j Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 4 / 69

12 Model preferencji Wybór rozwiazania na podstawie wektorów ocen Racjonalna relacja preferencji = Pareto-efektywność zwrotna przechodnia (tranzytywna) ścisle monotoniczna Efektywność w sensie rozkładu ocen Symetryczna efektywność warunek anonimowości (y τ(1), y τ(2),...,y τ(m) ) = (y 1, y 2,...,y m ) dla dowolnej permutacjiτ zbioru I ={1, 2,...,m} Wyrównujaca efektywność reguła przesunięć wyrównujacych y i > y i y εe i +εe i y dla 0<ε<y i y i Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 5 / 69

13 Model preferencji Wybór rozwiazania na podstawie wektorów ocen Racjonalna relacja preferencji = Pareto-efektywność zwrotna przechodnia (tranzytywna) ścisle monotoniczna Efektywność w sensie rozkładu ocen Symetryczna efektywność warunek anonimowości (y τ(1), y τ(2),...,y τ(m) ) = (y 1, y 2,...,y m ) dla dowolnej permutacjiτ zbioru I ={1, 2,...,m} Wyrównujaca efektywność reguła przesunięć wyrównujacych y i > y i y εe i +εe i y dla 0<ε<y i y i Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 5 / 69

14 Techniki generacji rozwiazań Skalaryzacja funkcja skalaryzujaca s: R m R sprowadzenie do optymalizacji jednokryterialnej min{s(f 1 (x), f 2 (x),...,f m (x)) : x Q}. Powszechne funkcje skalaryzujace min{ m f i(x) : x Q} kryterium średniej min{max,...,m f i (x) : x Q} kryterium centrum Uporzadkowana średnia ważona kompromisowe rozwiazania bezstronne i/lub sprawiedliwe tylko dla jednorodnych odbiorców utrudnienie zadania w sensie obliczeniowym Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 6 / 69

15 Tezy rozprawy Teza 1 Możliwe jest sformułowanie parametrycznych modeli optymalizacji wielokryterialnej dla dyskretnych zagadnień lokalizacyjnych, które uwzględniaja zarówno preferencje efektywnościowo-sprawiedliwościowe, jak i zróżnicowane zapotrzebowania. Teza 2 Istnieja nadmiarowe ograniczenia, które pozwalaja na poprawę efektywności modeli optymalizacji wielokryterialnej w sensie najlepszego rozkładu ocen dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych. Teza 3 Możliwa jest konstrukcja przybliżonej metody rozwiazywania dyskretnych problemów lokalizacyjnych, która dla dowolnych wag preferencji pozwala efektywnie osiagać rozwiazania dobrej jakości w sensie rozkładu ocen dla problemów o dużych rozmiarach (rzędu kilkuset lokalizacji). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 7 / 69

16 Cele rozprawy Cel 1 Opracowanie parametrycznych modeli optymalizacji wielokryterialnej dla dyskretnych zagadnień lokalizacyjnych, które uwzględniaja zarówno preferencje efektywnościowo-sprawiedliwościowe, jak i zróżnicowane zapotrzebowania. Cel 2 Poprawa efektywności parametrycznych modeli optymalizacji wielokryterialnej w sensie najlepszego rozkładu ocen dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych poprzez wprowadzenie odpowiednich nadmiarowych ograniczeń. Cel 3 Poprawa wydajności i dokładności przybliżonej metody rozwiazywania dyskretnych problemów lokalizacyjnych w sensie najlepszego rozkładu ocen z dowolnymi wagami preferencji. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 8 / 69

17 Uporzadkowana średnia ważona OWA (ang. Ordered Weighted Averaging): specyficzna średnia ważona wagi sa przypisane do uporzadkowanych wartości (tzn. do wartości największej, drugiej największej itd.) Definicja OWA (Yager, 1988) A w (y) = w i θ i (y) wagi preferencji w = (w 1, w 2,..., w m ) operator porzadkuj acy Θ : R m R m, taki że Θ(y) = (θ 1 (y),θ 2 (y),...,θ m (y)), gdzie θ 1 (y) θ 2 (y)... θ m (y) permutacjaτ zbioru I, taka żeθ i (y) = y τ(i) dla i = 1,...,m Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 9 / 69

18 OWA jako parametryczny model preferencji Operator OWA uogólnia wiele różnych funkcji celu wektor wag w A w (y) = m w i θ i (y) ( 1 m, 1 m,..., 1 m ) kryt. średniej (1, 0,...,0) kryt. centrum ( 1 k,..., 1 k, 0,..., 0) kryt. k-centrów }{{} k 1,..., 1, (1, 1 λ,..., 1 λ) kryt. centro-średniej (0,..., 0, 1) kryt. minimum (w 1 >> w 2 >>...>> w m ) lex(θ 1 (y),θ 2 (y),...,θ m (y)) (w 1 << w 2 <<...<< w m ) lex(θ m (y),θ m 1 (y),...,θ 1 (y)) (0,..., 0, }{{} 0,..., 0) kryt. zawężonej średniej }{{} k 1 k 2 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 10 / 69

19 Warstwice i wykresy agregacji OWA dwóch kryteriów y y2 = y y w1 w2 y w1> w2 w1< w2 w1 w2 10 w1 = w2 y y y Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 11 / 69

20 Model M1 min ŷ k,z ik,y i p.o. w k ŷ k, k=1 ŷ k + Mz ik y i, i, k = 1,...,m, z ik k 1, k = 1,...,m, z ik {0, 1}, i, k = 1,...,m, y A. ŷ k ŷ k+1, k = 1,...,m 1, (1) z ik z ik+1, ŷ k = k=1 i = 1,...,m; k = 1,...,m 1, (2) y i. (3) Zmienne decyzyjne y i ŷ k z ik koszt obsługi i-tego klienta k-ty największy koszt klienta pomocnicze zmienne binarne Parametry m M w k liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) odpowiednio duża stała k-ta waga preferencji Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 12 / 69

21 Model M1 min ŷ k,z ik,y i p.o. w k ŷ k, k=1 ŷ k + Mz ik y i, i, k = 1,...,m, z ik k 1, k = 1,...,m, z ik {0, 1}, i, k = 1,...,m, y A. ŷ k ŷ k+1, k = 1,...,m 1, (1) z ik z ik+1, ŷ k = k=1 i = 1,...,m; k = 1,...,m 1, (2) y i. (3) Zmienne decyzyjne y i ŷ k z ik koszt obsługi i-tego klienta k-ty największy koszt klienta pomocnicze zmienne binarne Parametry m M w k liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) odpowiednio duża stała k-ta waga preferencji Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 12 / 69

22 Model M2 min ŷ k,s ik,y i w k ŷ k, k=1 p.o. ŷ k ŷ k+1, k = 1,...,m 1, ŷ k + M (1 s ik ) y i, i, k = 1,...,m, s ik = 1, k = 1,...,m, s ik = 1, k=1 s ik {0, 1}, y A. ŷ k = k=1 i = 1,...,m, i, k = 1,...,m, y i, (4) Zmienne decyzyjne y i ŷ k s ik koszt obsługi i-tego klienta k-ty największy koszt klienta pomocnicze zmienne binarne Parametry m M w k liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) odpowiednio duża stała k-ta waga preferencji Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 13 / 69

23 Model M2 min ŷ k,s ik,y i w k ŷ k, k=1 p.o. ŷ k ŷ k+1, k = 1,...,m 1, ŷ k + M (1 s ik ) y i, i, k = 1,...,m, s ik = 1, k = 1,...,m, s ik = 1, k=1 s ik {0, 1}, y A. ŷ k = k=1 i = 1,...,m, i, k = 1,...,m, y i, (4) Zmienne decyzyjne y i ŷ k s ik koszt obsługi i-tego klienta k-ty największy koszt klienta pomocnicze zmienne binarne Parametry m M w k liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) odpowiednio duża stała k-ta waga preferencji Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 13 / 69

24 Zależności między M1 i M2 ŷ k jest większy równy nie tylko od przypisanej mu wartości y i, ale także od wartości przypisanych do ŷ j dla j> k Wzmocnienie ograniczenia w modelu M2 (i, k = 1,...,m) ŷ k + M (1 s ik ) y i ŷ k + M(1 s ij ) y i, (5) j=k Zależności między zmiennymi z ik i s ik z ik = 1 m j=k s ij dla i, k = 1,...,m { z ik+1 z ik dla i = 1,...,m; k = 1,...,m 1, s ik = 1 z ik dla i = 1,...,m; k = m. Wniosek Model M2 ze wzmocnionym ograniczeniem (5), gdzie zmienne s ik zostały zastapione zmiennymi z ik, stanowi model M1. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 14 / 69

25 Zależności między M1 i M2 ŷ k jest większy równy nie tylko od przypisanej mu wartości y i, ale także od wartości przypisanych do ŷ j dla j> k Wzmocnienie ograniczenia w modelu M2 (i, k = 1,...,m) ŷ k + M (1 s ik ) y i ŷ k + M(1 s ij ) y i, (5) j=k Zależności między zmiennymi z ik i s ik z ik = 1 m j=k s ij dla i, k = 1,...,m { z ik+1 z ik dla i = 1,...,m; k = 1,...,m 1, s ik = 1 z ik dla i = 1,...,m; k = m. Wniosek Model M2 ze wzmocnionym ograniczeniem (5), gdzie zmienne s ik zostały zastapione zmiennymi z ik, stanowi model M1. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 14 / 69

26 Liniowy model OWA (odchyleniowy) w 1 w 2... w m min w k (kt k + d ik ) t k,d ik,y i k=1 p.o. d ik y i t k, i, k = 1,...,m, d ik 0, y A. θ k (y) = A w(y) = i, k = 1,...,m, k θ i (y), k = 1,...,m w k θ k (y) = k=1 w k θ k (y), i=k gdzie w k = { w k w k+1, k = 1, 2,...,m 1, w k, k = m. Zmienne decyzyjne y i t k d ik koszt obsługi i-tego klienta k-ta wartość bazowa nieujemne odchylenie kosztu i-tego klienta od k-tej wartości bazowej Parametry m w k liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) zmodyfikowana k-ta waga szczegóły Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 15 / 69

27 Rozszerzenie modelu liniowego OWA ( k w k < w k+1 ) = ( k w k < 0), Konieczne ograniczenie dolne na funkcję kt k + m d ik. max k,t k,d ik,z ik p.o. k k kt k + m t k + d ik y i, d ik Mz ik, z ik = k, z ik {0, 1}, d ik, i = 1,...,m, i = 1,...,m, i = 1,...,m. Zmienne decyzyjne t k d ik k z ik k-ta wartość bazowa odchylenie kosztu i-tego klienta od k-tej wartości bazowej zmienna pomocnicza pomocnicze zmienne binarne Parametry m M liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) odpowiednio duża stała Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 16 / 69

28 Hybrydowy model M3 min k,t k,d ik,t k,d ik,z ik,y i k=1 p.o. kt k + w k k d ik k k = 1,...,m; w k 0, t k + d ik y i, d ik 0 i, k = 1,...,m; w k 0, m k kt k + d ik k = 1,...,m; w k < 0, t k + d ik y i i, k = 1,...,m; w k < 0, d ik ik i, k = 1,...,m; w k < 0, z ik = k k = 1,...,m; w k < 0, z ik {0, 1} i, k = 1,...,m; w k < 0, y A. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 17 / 69

29 Hybrydowy model M3 min k,t k,d ik,t k,d ik,z ik,y i k=1 p.o. kt k + w k k d ik k k = 1,...,m; w k 0, t k + d ik y i, d ik 0 i, k = 1,...,m; w k 0, m k kt k + d ik k = 1,...,m; w k < 0, t k + d ik y i i, k = 1,...,m; w k < 0, d ik ik i, k = 1,...,m; w k < 0, z ik = k k = 1,...,m; w k < 0, z ik {0, 1} i, k = 1,...,m; w k < 0, y A. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 17 / 69

30 Model M3 uwagi Liczba zm. binarnych proporcjonalna do liczby ujemnych wag w k zbiór indeksów wag ujemnych: K ={k: w k < 0, k = 1,...,m} liczba zmiennych binarnych: K m (m 1)m Ograniczenia nadmiarowe do M3 (i) nieujemność zmiennych d ik (ii) nieujemność zmiennych t k d ik 0 dla i, k = 1,...,m; w k< 0, t k 0 dla k = 1,...,m; w k< 0, (iii) niemalejace uporzadkowanie zmiennych binarnych z ik dotyczacych i-tej oceny z ik z ik dla i = 1,...,m; k {K \ max{k }}; k = suc(k), gdzie suc(k) = min{k : k K k > k} to funkcja następnika w ramach zbioru K. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 18 / 69

31 Hybrydowy model M4 min k,t k,d ik,y ik,z ik,y i k=1 p.o. kt k + w k k d ik k, k = 1,...,m; w k 0, t k + d ik y i, d ik 0, i, k = 1,...,m; w k 0, m k kt k + d ik k y ik, k = 1,...,m; w k < 0, t k + d ik y i y ik i, i, k = 1,...,m; w k < 0, d ik ik = y ik ik,, i, k = 1,...,m; w k < 0, z ik = k, z ik = k, k = 1,...,m; w k < 0, z ik {0, 1}, z ik {0, 1}, i, k = 1,...,m; w k < 0, y A, z ik z ik, i = 1,...,m; k {K \ max{k }}; k = suc(k). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 19 / 69

32 Hybrydowy model M4 min k,t k,d ik,y ik,z ik,y i k=1 p.o. kt k + w k k d ik k, k = 1,...,m; w k 0, t k + d ik y i, d ik 0, i, k = 1,...,m; w k 0, m k kt k + d ik k y ik, k = 1,...,m; w k < 0, t k + d ik y i y ik i, i, k = 1,...,m; w k < 0, d ik ik = y ik ik,, i, k = 1,...,m; w k < 0, z ik = k, z ik = k, k = 1,...,m; w k < 0, z ik {0, 1}, z ik {0, 1}, i, k = 1,...,m; w k < 0, y A, z ik z ik, i = 1,...,m; k {K \ max{k }}; k = suc(k). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 19 / 69

33 Małe problemy testowe Parametry: Rozmiar problemu liczba lokalizacji (klientów) m {8, 10, 12, 15[, 20, 25, 30]} Liczba punktów obsługi proporcjonalne do m n = m 4 n = m 3 n = m 2 n = m Typ problemu wektor wag preferencji w TC1,...,TC12 Dla każdego rozmiaru wygenerowanych zostało 15 macierzy kosztów, które przypisano do kombinacji poszczególnych parametrów zera na przekatnej, a pozostałe koszty z dyskretnego rozkładu jednostajnego na przedziale [1, 100]. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 20 / 69

34 Typy problemów I typ nazwa/opis kryterium wektor wag w parametry TC1 średniej (ang. N-median) (1,...,1) }{{} m TC2 centrum (ang. N-center) (1, 0,...,0) }{{} TC3 k-centrów (ang. k-centra) m 1 m (1,...,1, 0,...,0) k = }{{} 3 k TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 k 1 + k 2 zawężonej średniej (ang. k 1 + k 2 -trimmed mean) (0,...,0 }{{} ciag naprzemiennych 0 i 1, (1, 0, 1, 0, 1, 0,...) zaczynajacy się od 1 ciag naprzemiennych 0 i 1, (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) zaczynajacy się od 0 ciag sekwencji (1, 1, 0) (1, 1, 0, 1, 1, 0,...) ciag sekwencji (1, 0, 0) (1, 0, 0, 1, 0, 0,...), 1,...,1, 0,...,0) k }{{} 1 = k 1 k 2 m 10, k 2 = n+ m 10 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 21 / 69

35 Typy problemów II typ nazwa/opis kryterium wektor wag w parametry TC9 ciag zaczynajacy się od wartości (m, m 1,...,2, 1) m i malejacy o 1 TC10 jak TC9, ale w odwrotnej kolejności (1, 2,...,m 1, m) (ciag rosnacy) m TC11 ciag zaczynajacy się od 3m (3m, 3(m 1),...,3(m k), k = 3 i malejacy przedziałami }{{} k liniowo, najpierw k wag o 3, 3(m k) 2,...,3(m k) 2k, następnie k wag o 2 i reszta }{{} o 1 k 3m 5k 1, 3m 5k 2,...) m TC12 jak TC11, ale w odwrotnej (...,3m 5k 2, 3m 5k 1, k = 3 kolejności (ciag rosnacy) 3(m k) 2k,...,3(m k) 2, }{{} k 3(m k),...,3(m 1), 3m) }{{} k Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 22 / 69

36 Wpływ ograniczeń nadmiarowych w M1 Średni czas rozwiazania problemów z 8 lokalizacjami Czas [s] TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10TC11TC12 Typ problemu Sformułowania M1 1 M1 bez ograniczeń nadmiarowych, M1 2 M1 z (1), M1 3 M1 z (1), (3), M1 4 M1 z (2), M1 5 M1 z (2), (3). M1 1 M1 2 M1 3 M1 4 M1 5 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 23 / 69

37 Porównanie M1 i M2 Średni czas rozwiazania problemów z 8 lokalizacjami (z nadmiarowymi ograniczeniami) Czas [s] TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10TC11TC12 Typ problemu M1 3 M2 1 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 24 / 69

38 Porównanie m. hybrydowych ze znanymi m. PCLM Średni czas rozwiazania problemów z 8 lokalizacjami (najlepsze sformułowania modeli) Czas [s] TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC10 TC12 Typ problemu M1 3 M3 5 M4 2 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 25 / 69

39 Modele OWA wnioski Nadmiarowe ograniczenia moga znaczaco poprawić wydajność obliczeniową modeli PCLM agregacji OWA. Model M1 jest znacznie efektywniejszy niż model M2. Modele hybrydowe udowadniają swoja skuteczność dla problemów pewnych typów, gdzie wagi nie sa odpowiednio monotoniczne. Szczególnie istotne dla problemów zawężonej średniej (TC4). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 26 / 69

40 Zróżnicowane zapotrzebowania odbiorców Zbiór odbiorców zazwyczaj nie jest jednorodny miasta o różnej liczbie mieszkańców firmy o różnej wielkości Bezpośrednie zastosowanie OWA nie jest możliwe Dezagregacja do równoważnych odbiorców znaczny wzrost rozmiaru problemu dodatkowe koszty dezagregacji Wartościowana OWA uwzględnienie zróżnicowanych wag zapotrzebowania zapewnienie bezstronności w sensie rozkładu Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 27 / 69

41 Wartościowana uporzadkowana średnia ważona Definicja WOWA (Torra, 1997) A w,p (y) = ω i θ i (y), gdzie wagiω i (i = 1, 2,...,m) sa określone jako ω i = w ( p τ(k) ) w ( p τ(k) ) k i k<i Θ operator porzadkuj acy, taki żeθ 1 (y) θ 2 (y)... θ m (y) w niemalejac a funkcja łacz aca punkty ( i m, k i w k) oraz (0, 0) w wagi preferencji (w 1, w 2,...,w m ), w i 0, m w i = 1 p wagi wartościujace (p 1, p 2,...,p m ), p i 0, m p i = 1 τ permutacja zbioru I, taka żeθ i (y) = y τ(i) dla i = 1,...,m Funkcja w musi reprezentować linię prosta, jeśli punkty można interpolować w taki sposób. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 28 / 69

42 Alternatywna definicja operatora WOWA A w,p (y) = k=1 k/m w k m (k 1)/m F y ( 1) (ξ) dξ Dystrybuanta miara wielkości zapotrzebowania odpowiadającemu ocenom większym lub równym d F y (d) = i I p i δ i (d), gdzie δ i (d) = { 1 jeśli yi d 0 w p.p. Funkcja kwantylowa minimalny koszt obsługi dla co najmniej ξ-tej części sumarycznego zapotrzebowania F ( 1) y (ξ) = sup{η : F y (η) ξ} dla 0<ξ 1 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 29 / 69

43 Alternatywne wyznaczanie wartości WOWA Przykład A w,p (y) = Problem z 5 lokalizacjami: y = (1; 3; 2; 4; 5) p = (0,1; 0,2; 0,2; 0,4; 0,1) w = (0,4; 0,3; 0,15; 0,1; 0,05) k=1 k/m w k m (k 1)/m F ( 1) y (ξ) F ( 1) y (ξ) dξ p 5 p 4 p 2 p 3 p dla 0<ξ 0,1, 3 4 dla 0,1<ξ 0,5, 2 F ( 1) y (ξ) = 3 dla 0,5<ξ 0,7, 1 2 dla 0,7<ξ 0,9, 1 dla 0,9<ξ ,2 0,4 0,6 0,8 1 ξ Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 30 / 69

44 WOWA jako zadanie optymalizacji Zastapienie całek na przedziałach całkami lewostronnymi L(y, p, 0) = 0 oraz L(y, p,α) = α 0 F ( 1) y (ξ) dξ dla 0<α 1. Wyznaczenie L(y, p,α) dla 0 α 1jako zadania optymalizacji L(y, p,α) = min{αt + p i d i : t + d i y i, d i 0 i} t,d i = min t {αt + p i max{y i t, 0}}, gdzie t jestα-kwantylem rozkładu zmiennych y i zgodnie z miarami p i. A w,p (y) = mw k (L(y, p, k m k 1 ) L(y, p, m m )) = w k L(y, p, k m ), k=1 k=1 gdzie w m = mw m, w k = m(w k w k+1 ) dla k = 1, 2,...,m 1. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 31 / 69

45 Model liniowy agregacji WOWA Wniosek Zadanie minimalizacji WOWA z w 1 w 2... w m może być sformułowane jako zadanie PL z dodatkowymi ograniczeniami. min k,t k,d ik,y i p.o. k=1 w k k k m t k + p i d ik k, k = 1,...,m, t k + d ik y i, d ik 0, i, k = 1,...,m, y A. Zmienne decyzyjne y i t k d ik k koszt obsługi i-tego klienta k-ta wartość bazowa odchylenie kosztu i-tego klienta od k-tej wartości bazowej zmienna pomocnicza Parametry m w k p i liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) zmodyfikowana k-ta waga pref. waga zapotrzebowania Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 32 / 69

46 Dolne ograniczenie funkcji Lorenza L(y, p,α) jest równoważne αy i + p i max{y i y i, 0} dla i = 1,..., m Zmienne decyzyjne αy i + p i dii i = 1,...,m, d ii y i y i + Mz ii i i = 1,...,m, d ii M(1 z ii ) i i = 1,...,m, d ii = 0 i = 1,...,m, z ii {0, 1} i i = 1,...,m. d ii zmienne pomocnicze z ii pomocnicze zmienne binarne k zmienna pomocnicza Parametry y i koszt obsługi i-tego klienta m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) M odpowiednio duża stała α porcja zapotrzebowania p i waga zapotrzebowania Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 33 / 69

47 Model MW1 dla dowolnych wag preferencji Dowolne zadanie optymalizacji agregacji WOWA może być sformułowane jako zadanie PCLM z dodatkowymi ograniczeniami i zmiennymi binarnymi. min k,t k,d ik,y i, d ii,z ii p.o. k=1 w k k k m t k + p i d ik k k = 1,...,m; w k 0 t k + d ik y i, d ik 0 i, k = 1,...,m; w k 0 k k m m y i + p i dii i, k = 1,...,m; w k < 0 d ii y i y i + Mz ii d ii M(1 z ii ) d ii = 0 z ii {0, 1} y A. i i = 1,...,m, i i = 1,...,m, i = 1,...,m, i i = 1,...,m, Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 34 / 69

50 Model MW2 dla dowolnych wag preferencji Zmienne binarne z ii reprezentuja porównanie parami y i i y i. { 1 gdy y i < y i, z ii = 0 w. p. p. Liczbę zmiennych binarnych i ograniczeń można ograniczyć dzięki własności symetrii zmiennych d ii i d i i. d ii y i y i + Mz ii, i, i = 1,...,m; i< i, d ii M(1 z ii ), i, i = 1,...,m; i< i, d i i y i y i + d ii, i, i = 1,...,m; i< i, d ii = 0, i = 1,...,m, z ii {0, 1}, i, i = 1,...,m; i< i. Model MW2 model MW1, gdzie część całkowitoliczbowa została zastapiona powyższymi ograniczeniami Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 35 / 69

51 Ograniczenia nadmiarowe Nieujemność zmiennych d ii d ii 0 dla i, i = 1,...,m Relacja przechodniości porównania ocen parami (y i < y i y i < y i ) = y i < y i z ii z ii + z i i 1 dla i, i, i = 1,...,m; i< i < i (y i y i y i y i ) = y i y i z ii z ii + z i i dla i, i, i = 1,...,m; i< i < i Ograniczenia na wartość funkcji L(y, p, α) Maksymalny przyrost wartości L(y, p, α) ρ k+1 2ρ k ρ k 1 dla k = 2,...,m 1, ρ 2 2ρ 1. Ograniczenie dolne wartości funkcji L(y, p, α) ρ k k p i y i dla k = 1,...,m m Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 36 / 69

52 Ograniczenia nadmiarowe Nieujemność zmiennych d ii d ii 0 dla i, i = 1,...,m MW1 1, MW1 2, MW2 1, MW2 2 Relacja przechodniości porównania ocen parami (y i < y i y i < y i ) = y i < y i z ii z ii + z i i 1 dla i, i, i = 1,...,m; i< i < i c1 (y i y i y i y i ) = y i y i z ii z ii + z i i dla i, Ograniczenia na wartość funkcji L(y, p, α) Maksymalny przyrost wartości L(y, p, α) i, i = 1,...,m; i< i < i c2 ρ k+1 2ρ k ρ k 1 dla k = 2,...,m 1, c3 ρ 2 2ρ 1. Ograniczenie dolne wartości funkcji L(y, p, α) ρ k k p i y i dla k = 1,...,m c4 m Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 36 / 69

53 Testy obliczeniowe Procedura analogiczna jak dla modeli OWA Dodatkowo dla modelu liniowego problemy z 100 i 200 lokalizacjami z biblioteki OR Dodatkowy parametr wag zapotrzebowania p wygenerowany zgodnie z rozkładem Zipfa p i = 1 i j=1 1 j dla i = 1,...,m. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 37 / 69

54 Wyniki modelu liniowego WOWA Średnie czasy rozwiazania dla 30 lokalizacji CPU[s] m n TC1 TC2 TC3 TC9 TC ,04 1,81 0,81 0,73 0, ,04 1,78 0,81 0,56 0, ,02 1,29 0,25 0,14 0, ,02 1,05 0,21 0,12 0,11 Czasy rozwiazania dla 100 lokalizacji (biblioteka OR) CPU[s] m n TC1 TC2 TC3 TC9 TC ,56 27,01 24,48 7, ,29 81,17 15, ,34 88,1 35,03 22, ,22 35,37 17, ,22 36,05 4,06 4,09 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 38 / 69

55 Porównanie modeli MW1 i MW2 Średni czas rozwiazania problemów z 10 lokalizacjami Czas [s] TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC10 TC12 Typ problemu MW1 1 MW1 2 MW2 1 MW2 2 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 39 / 69

56 Wpływ nadmiarowych ograniczeń w MW2 Średni czas rozwiazania problemów z 10 lokalizacjami Czas [s] Czas [s] TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC10 TC12 Typ problemu Typ problemu MW2 2 c 2 c 3 c 3 c 4 c 1 c 1 c 2 c 4 MW2 2 c 2 c 3 c 3 c 4 c 1 c 1 c 2 c 4 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 40 / 69

57 Modele WOWA wnioski Zapewniają rozwiazania optymalne w sensie rozkładu ocen, uwzględniając przy tym zróżnicowane wielkości zapotrzebowania. Gdy wagi preferencji sa nierosnace agregacja WOWA może być sformułowana w postaci zadania PL. Dla dowolnych wag preferencji agregacja WOWA może być sformułowana w postaci zadania PCLM. Znaczny wzrost złożoności obliczeniowej. Możliwość poprawy efektywności obliczeniowej przez nadmiarowe ograniczenia. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 41 / 69

58 Metoda przybliżona Przeszukiwanie zmiennego sasiedztwa Heurystyka: Nie gwarantuje uzyskania rozwiazania optymalnego (zazwyczaj rozwiazania bliskie optymalnemu). Kompromis między jakościa, a wydajnościa (czasem uzyskania rozwiazania). VNS (ang. Variable Neighbourhood Search): Przeszukiwanie przestrzeni rozwiazań i uciekanie z lokalnych ekstremów. Systematyczna zmiana sasiedztwa. Badanie sasiedztw za pomoca algorytmu przeszukiwania lokalnego. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 42 / 69

59 Pojęcie sasiedztwa w ramach VNS Rozwiazanie γ problemu lokalizacyjnego to podzbiór n lokalizacji z m możliwych, gdzie zostana umieszczone punkty obsługi. Przestrzeń rozwiazań Γ ={γ :γ I, γ = n} Symetryczna funkcja odległości liczba punktów obsługi umiejscowionych w innych lokalizacjach ρ(γ 1,γ 2 ) = γ 1 \γ 2 = γ 2 \γ 1, γ 1,γ 2 Γ N r, r = 1,...,r max struktura sasiedztw, gdzie r max n N r (γ) zbiór rozwiazań oddalonych (różniacych się) od aktualnego rozwiazania γ o r lokalizacji punktów obsługi γ N r (γ) ρ(γ,γ ) = r Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 43 / 69

60 Ogólny schemat VNS 1: Inicjalizacja 2: Znajdź rozwiazanie poczatkoweγ opt 3: Krok główny 4: r 1 5: while (r r max) i (opcjonalny dodatkowy warunek stopu nie jest spełniony) do 6: Losowanie rozwiazania 7: Wylosuj rozwiazanieγ cur z r-tego sasiedztwan r(γ opt ) 8: Przeszukiwanie lokalne 9: Poprawiaj rozwiazanieγ cur, wymieniajac pojedynczy punkt obsługi, aż osiagniesz minimum lokalne 10: Decyzja o zmianie rozwiazania 11: ifγ cur lepsze niżγ opt then 12: γ opt γ cur 13: r 1 14: else 15: r r : end if 17: end while Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 44 / 69

61 Przeszukiwanie lokalne algorytm wymiany Kluczowy element metody VNS. Ocenia skutki wymiany punktów obsługi. Sprawdza wszystkie możliwe wymiany jednego punktu obsługi (wszystkich najbliższych sasiadów). Realizuje najlepsza wymianę, o ile poprawia ona rozwiazanie. Znajduje najlepszy punkt do usunięcia dla danego dodawanego punktu obsługi. Kryterium średniej relatywnie prosta idea Agregacja OWA sortowanie zdecydowanie utrudnia Znaczny wzrost złożoności i czasów rozwiazania. Rozwiazania dalekie od optymalnych dla pewnych typów problemów (kryterium centrum itp.). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 45 / 69

62 Modyfikacje VNS z OWA Modyfikacje wydajnościowe Ograniczenie przeszukiwania w nieobiecujacych kierunkach możliwie wczesne wykrycie i odrzucenie nieperspektywicznych rozwiazań. Relaksacja Dominacja Zmniejszenie nakładu obliczeń przy wyznaczaniu i ocenie nowych rozwiazań. Zmodyfikowane sortowanie Modyfikacje jakościowe Regularyzacja Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 46 / 69

63 Testy obliczeniowe metody VNS Wersja oryginalna VNS i 4 zmienione wersje. bez warunku warunek dominacji dominacji brak regularyzacji VNS VNS regularyzacja VNS r VNS r Inicjalizacja: zachłanna lub losowa. 2 grupy problemów: wygenerowane małe problemy, duże problemy z biblioteki OR (OR-library). Kryteria porównania: czas rozwiazania, odstęp od rozwiazania optymalnego odstęp = f f opt f opt 100%, f f opt wartość funkcji celu znalezionego rozwiazania, wartość funkcji celu rozwiazania optymalnego. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 47 / 69

64 Wyniki VNS z OWA Małe problemy do 30 lokalizacji Bardzo krótkie czasy rozwiazania (rzędu setnych sekundy). Wyniki jakościowe Średni odstęp od rozwiazania optymalnego dla 30 lokalizacji. wyn VNS zachłanna VNS r zachłanna VNS losowa VNS r losowa 10 Odstęp [%] TC1 TC2 TC3 TC4 TC9 TC11 Typ problemu Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 48 / 69

65 Duże problemy Problemy z biblioteki OR (OR-library) 40 instancji. Parametry: Rozmiar problemu liczba lokalizacji m {100, 200,...,900} Liczba punktów obsługi n = 5 n = 10 n = m n = m n = m zaokraglane, gdy niecałkowite Typ problemu - wektor wag preferencji w TC1, TC2, TC4 Dodatkowy warunek stopu maksymalnie 50 iteracji. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 49 / 69

66 Wyniki VNS z OWA Statystyki czasowe kryterium średniej i zawężonej średniej k. średniej (TC1) k. zawężonej średniej (TC4) Problem CPU[s] CPU[s] id n VNS VNS VNS VNS VNS VNS VNS r VNS r p21 5 1,91 0,52 0,85 1,91 0,52 0,84 0,52 0,86 p ,49 1,77 2,62 13,19 2,69 3,90 2,70 4,05 p ,29 59,25 51,83 401,00 56,58 52,44 47,07 47,59 p ,17 102,00 65,45 632,83 83,78 60,46 84,38 64,45 p ,77 100,52 53,58 682,74 80,82 52,11 103,02 66,77 Tabela: Wyniki dla 500 lokalizacji przy inicjalizacji zachłannej TC1 i TC4 k. średniej (TC1) k. zawężonej średniej (TC4) inicjalizacja VNS VNS VNS VNS VNS r VNS r zachłanna 5,3 6,0 5,7 6,0 5,5 5,5 losowa 6,0 6,7 6,4 6,7 6 6,3 Tabela: Średnia krotność skrócenia czasu dla 40 problemów TC1 i TC4 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 50 / 69

67 Wyniki VNS z OWA Statystyki czasowe kryterium średniej i zawężonej średniej Kilkukrotnie krótsze czasy rozwiazania nowych wersji. Różnice rosna ze wzrostem rozmiaru, a szczególnie ze wzrostem liczby punktów obsługi (zwłaszcza dla wersji z warunkiem dominacji). VNS /VNS r lepsze wyniki dla problemów mniejszych i z mał a liczba punktów obsługi VNS /VNS r przeciwnie. Czas rozwiazania problemów z większa liczba punktów obsługi wielokrotnie dłuższy niż problemów z niewielka liczba punktów obsługi, dlatego bezwzględne oszczędności czasu wersji VNS /VNS r sa znacznie większe niż wersji VNS /VNS r. Dla TC4 warunek regularyzacji wydłuża czas rozwiazania w niewielkim stopniu (dla TC1 regularyzacja nieaktywna). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 51 / 69

68 Wyniki VNS z OWA Statystyki czasowe kryterium centrum k. centrum (TC2) Problem CPU[s] id n VNS VNS VNS VNS r VNS r p21 5 1,05 0,16 0,24 0,92 1,57 p ,77 0,92 1,22 1,65 2,61 p ,54 1,40 1,79 24,96 25,05 p ,13 2,78 3,48 41,93 32,48 p ,45 4,87 5,96 61,31 39,73 Tabela: Wyniki dla 500 lokalizacji przy inicjalizacji zachłannej TC2 inicjalizacja VNS VNS VNS r VNS r zachłanna 29,4 22,6 3,4 3,0 losowa 43,9 35,4 3,6 3,3 Tabela: Średnia krotność skrócenia czasu dla 40 problemów TC2 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 52 / 69

69 Wyniki VNS z OWA Statystyki czasowe kryterium centrum Wersje bez regularyzacji skróciły czas rozwiazania jeszcze bardziej niż w przypadku kryterium średniej i zawężonej średniej (w większości czasy o ponad rzad wielkości krótsze). Wersje z regularyzacja maja czasy zdecydowanie dłuższe niż bez regularyzacji, ale i tak zazwyczaj kilkukrotnie krótsze niż metoda oryginalna ( 1 wyjatek). Bez regularyzacji wersja VNS osiaga krótsze (nie gorsze) czasy niż wersja VNS dla wszystkich problemów. Przy regularyzacji wersja VNS r ma lepsze wyniki dla problemów mniejszych i z mała liczba punktów obsługi VNS r przeciwnie. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 53 / 69

70 Statystyki Jakościowe Bezpośredni wpływ regularyzacji. Pośredni wpływ modyfikacji szybkościowych (10 krotne naliczenie). Porównanie z rozwiazaniami optymalnymi lub najlepszymi znanymi (w przypadku zawężonej średniej). Porównanie z heurystykami bazujacymi na algorytmach genetycznych (HGA1, HGA2). Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 54 / 69

71 Wyniki VNS z OWA Statystyki jakościowe dla 40 problemów z biblioteki OR VNS VNS r HGA1 HGA2 i. zachł. i. los. i. zachł. i. los. rozw. optymalne odstęp max [%] 0,129 0,232 TC1 odstęp śr. [%] 0,070 0,069 wyn odstęp min [%] 0,013 0,010 0,111 0,176 rozw. optymalne odstęp max [%] 59,77 65,27 3,48 4,15 TC2 odstęp śr. [%] 51,11 45,42 2,47 2,55 wyn odstęp min [%] 44,06 31,90 1,21 1,27 28,39 24,79 rozw. optymalne (27) 25 (22) TC4 poprawione odstęp max [%] 0,105 0,228 0,099 0,233 odstęp śr. [%] 0,029 0,028 0,025 0,026 wyn odstęp min [%] -0,034-0,041-0,036-0,042 0,049 0,119 Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 55 / 69

72 Wyniki VNS z OWA Statystki jakościowe dla 40 problemów z biblioteki OR Kryterium średniej (TC1) Rozwiazania optymalne lub bliskie optymalnym (regularyzacja nieaktywna). Kryterium centrum (TC2) Bez regularyzacji zdarzaja się rozwiazania 2-krotnie (3-krotnie) gorsze od optymalnych (jeśli optimum to zazwyczaj dla problemów małych i z mała liczba punktów obsługi). Regularyzacja zdecydowanie poprawia jakość rozwiazań (odstęp gorszy niż przy kryterium średnim, ale inna charakterystyka problemu funkcja celu zależy tylko od jednej oceny). Kryterium zawężonej średniej (TC4) Bardzo dobra jakość uzyskiwanych rozwiazań (niewielki wpływ warunku regularyzacji). Poprawa części najlepszych znanych rozwiazań (wartości ujemne). Przy inicjalizacji losowej dla każdego problemu wyniki nie gorsze niż najlepsze znane. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 56 / 69

73 VNS z OWA wnioski Modyfikacje wydajnościowe znaczne skrócenie czasu rozwiazania Modyfikacje jakościowe dokładniejsze rozwiazania dla kryterium centrum bez pogarszania jakości dla problemów innych typów Wniosek Zaproponowana metoda VNS z regularyzacja stanowi uniwersalna metodę rozwiazywania problemów z agregacja OWA. Pozwala uzyskiwać dobre jakościowo wyniki w akceptowalnym czasie dla dowolnych wag preferencji. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 57 / 69

74 VNS dla zróżnicowanych wag zapotrzebowania Ogólny schemat metody bez zmian. Podstawowa różnica sposób wyznaczania funkcji celu. Wartość WOWA wyznaczana według klasycznej definicji. Wcześniejsze modyfikacje VNS z OWA zdecydowanie ułatwiaja dostosowanie metody dla WOWA. Wykorzystanie permutacji odwzorowujacej uporzadkowany wektor kosztów na oryginalny wektor. Uwzględnienie modyfikacji VNS z OWA Relaksacja TAK Zmienione sortowanie TAK Warunek dominacji NIE Regularyzacja wymaga zmiany Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 58 / 69

75 Różnice VNS z WOWA Dominacja dominacja symetryczna wektorów kosztów nie gwarantuje lepszej wartości WOWA Przykład Wagi zapotrzebowania p = (0,1; 0,2; 0,2; 0,4; 0,1) Dwa wektory kosztów y = (1; 3; 2; 4; 5) oraz y = (1; 3; 2; 5; 3) Wagi preferencji w = (0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2) ale Θ(y) = (5; 4; 3; 2; 1) (5; 3; 3; 2; 1) = Θ(y ) A w,p (y) = 5 p i y i = 3,2<3,4 = 5 p i y i = A w,p (y ) Regularyzacja porównanie funkcji kwantylowych F y ( 1) uporzadkowanych wektorów kosztów zamiast Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 59 / 69

76 Wyniki VNS z WOWA Średni odstęp dla 30 lokalizacji w VNS zachłanna w VNSr zachłanna w VNS losowa w VNSr losowa Odstęp [%] TC1 TC2 TC3 TC9 TC11 Typ problemu Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 60 / 69

77 Wyniki VNS z WOWA Statystyki wydajnościowe duże problemy Charakterystyka analogiczna jak VNS z OWA czas rozwiazania rośnie ze wzrostem rozmiaru, a szczególnie ze wzrostem liczby punktów obsługi Porównanie VNS z WOWA i VNS z OWA przy równych wagach zapotrzebowania Porównanie czasów VNS z WOWA dla wag zróżnicowanych i równych (pogladowe) typ wersja max WOWA wagi zróżnicowane czas [s] vs OWA vs równe TC1 ok. 450 > o 30% 70%, śr. 50% od < 50% do > 100% TC2 w VNS ok. 15 > o 20% 50%, śr. 40% do > 100% w VNS r ok. 300 > o 30% 70%, śr. 50% do > 100% TC4 ok. 500 > o 30% 70%, śr. 50% od < 50% do > 100% Tabela: Analiza czasów rozwiazania metody VNS z WOWA Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 61 / 69

78 VNS z WOWA wnioski Koszt wydajnościowy uwzględnienia zapotrzebowań ok. 50% (w stosunku do czasów VNS z OWA). Rozwiazania dobrej jakości (dla kryterium centrum znaczaco pomaga warunek regularyzacji). Wniosek Zaprezentowana metoda pozwala na efektywne rozwiazywanie dużych dyskretnych problemów lokalizacyjnych ze zróżnicowanymi zapotrzebowaniami i uzyskiwanie rozwiazań o dobrej jakości w sensie rozkładu ocen. Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 62 / 69

79 Podsumowanie Teza/Cel 1: modele dyskretnych problemów lokalizacyjnych z agregacja WOWA Teza/Cel 2: analiza i porównanie modeli agregacji OWA analiza i porównanie modeli agregacji WOWA wpływ nadmiarowych ograniczeń w modelach OWA i WOWA opracowanie i analiza hybrydowych modeli OWA Teza/Cel 3: ulepszenie metody VNS dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych z agregacja OWA adaptacja metody VNS dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych z agregacja WOWA Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 63 / 69

80 Dziękuję za uwagę! Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 64 / 69

81 Suma k największych ocen Liniowa reprezentacja Θ k (y) = k θ i (y), k = 1,...,m k 1 θ k (y) = kθ k (y)+ (θ i (y) θ k (y)) dla k = 1,..., m Zmienne decyzyjne θ k (y) = min t k,d ik (kt k + Powrót p.o. d ik ) d ik y i t k, i = 1,...,m, d ik 0, i = 1,...,m. t k d ik k-ta wartość bazowa nieujemne odchylenie kosztu i-tego klienta od k-tej wartości bazowej Parametry m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 65 / 69

82 Wyniki VNS z OWA Średni czas rozwiazania (inicjalizacja losowa) dla 30 lokalizacji Czas [s] TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10TC11TC12 Typ problemu VNS VNS VNS VNS r VNS r Powrót Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 66 / 69

83 Wyniki VNS z OWA Wyniki jakościowe kryterium średniej inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt. odstęp [%] # opt. odstęp [%] id n opt. znal. max. śr. min. znal. max. śr. min. p p ,049 0, ,049 0,105 0 p p ,371 0,128 0 p ,274 0, ,602 0,263 0,109 Tabela: Wyniki dla 500 lokalizacji TC1 Powrót Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 67 / 69

84 Wyniki VNS z OWA Wyniki jakościowe kryterium centrum inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt. odstęp [%] # opt. odstęp [%] id n opt. znal. max. śr. min. znal. max. śr. min. p ,00 11, ,50 4,50 0 p ,42 12,63 5, ,68 16,84 7,89 p ,18 49,09 45, ,18 59,55 45,45 p ,67 116,67 100, ,67 88,00 73,33 p ,45 145,45 145, ,27 130,00 109,09 Tabela: Wyniki wersji bez regularyzacji dla 500 lokalizacji TC2 inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt. odstęp [%] # opt. odstęp [%] id n opt. znal. max. śr. min. znal. max. śr. min. p ,50 0,75 0 p ,26 3,95 2,63 0 5,26 3,42 2,63 p ,55 4,55 4,55 0 4,55 4,55 4,55 p ,67 6, ,67 3,33 0 p ,09 1,82 0 Tabela: Wyniki wersji z regularyzacja dla 500 lokalizacji TC2 Powrót Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 68 / 69

85 Wyniki VNS z OWA Wyniki jakościowe kryterium zawężonej średniej inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt./ odstęp [%] # opt./ odstęp [%] id n NZR popr. max. śr. min. popr. max. śr. min. p / / p /0 0,957 0, /0 1,032 0,223 0 p / /0 0,060 0,024 0 p /9 0-0,125-0,200 0/10-0,050-0,145-0,200 p /0 0,174 0, /0 0,784 0,157 0 Tabela: Wyniki wersji bez regularyzacji dla 500 lokalizacji TC4 inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt./ odstęp [%] # opt./ odstęp [%] id n NZR popr. max. śr. min. popr. max. śr. min. p / / p /0 0,957 0, /0 0,823 0,197 0 p /0 0,181 0, /0 0,181 0,036 0 p /10-0,100-0,160-0,200 0/9 0,050-0,115-0,200 p /0 0,174 0, /0 0,261 0,105 0 Tabela: Wyniki wersji z regularyzacja dla 500 lokalizacji TC4 Powrót Paweł Olender (WEiTI PW) Lokalizacja ze złożonymi preferencjami 10 marzec 2015, Poznań 69 / 69