Konkurs dla licealistów

Transkrypt

1 opracowa³a EL BIETA JANKOWSKA (Lwówek Œl¹ski) Konkurs dla licealistów W roku szkolnym 2002/2003 prowadziłam dla uczniów wszystkich klas Liceum Ogólnokształcącego Szkolny Konkurs Matematyczny. Zadania konkursu były tak dobrane, aby mogli wziąć w nim udział zarówno pierwszoklasiści, nie operujący jeszcze szeroką wiedzą matematyczną, jak i uczniowie starszych klas, dla których przedstawione zadania są doskonałym treningiem przed egzaminem dojrzałości. Po każdej z czterech serii zadań, rozwiązania uczniowskie były punktowane, a wzorcowe rozwiązania przedstawiane na kółku matematycznym. Konkurs cieszył się dużym zainteresowaniem wśród młodzieży, nauczycieli i dyrekcji szkoły. Sponsorzy przyczynili się do uhonorowania pracy najlepszych uczestników. Drugi etap konkursu odbył się w kwietniu, a nagrody dla laureatów zostały rozdane na apelu kończącym rok szkolny. Regulamin konkursu (LO Lwówek Śląski). W konkursie może uczestniczyć każdy uczeń naszej szkoły. 2. Konkurs odbywa się w dwóch etapach; etap pierwszy polega na samodzielnym rozwiązywaniu przez zainteresowanych uczniów czterech serii zadań. Każda seria składa się z siedmiu zadań. Rozwiązania tych zadań mają być czytelne i staranne. W rozwiązaniu należy podawać nie tylko odpowiedź, ale pełny tok rozumowania matematycznego. Termin ostateczny oddawania rozwiązań to: I seria koniec grudnia, II seria koniec stycznia, III seria koniec lutego, IV seria koniec marca. Szkolna Komisja Konkursowa sprawdza i ocenia prace uczniów. Za rozwiązanie każdego zadania uczestnik może otrzymać od 0 do 0 punktów. Dwudziestu uczestników z największą liczbą punktów przechodzi do etapu drugiego. etap drugi odbywa się w kwietniu, w pracowni matematycznej, trwa 20 minut i polega na samodzielnym rozwiązaniu sześciu zadań. Szkolna Komisja Konkursowa sprawdza i ocenia prace uczniów. Za rozwiązanie każdego zadania uczestnik może otrzymać od 0 do 20 punktów. 3. Nagrody za najlepsze wyniki w konkursie: Szkolną Encyklopedię Matematyczną otrzymuje laureat konkursu. Ocenę celującą z wagą 0,35 otrzymują uczestnicy etapu drugiego. Ocenę celującą z wagą 0,2 otrzymują uczestnicy etapu pierwszego.

2 SERIA I. Stosunek promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy k. Obliczyć w jakim stosunku środek okręgu wpisanego w ten trójkąt, dzieli dwusieczną kąta prostego. Określić jakie wartości może przyjmować parametr k. 2. Różnica promienia kuli opisanej na czworościanie foremnym i promienia kuli wpisanej w niego jest równa. Obliczyć objętość tego czworościanu. 3. Obliczyć wszystkie te wartości rozwinięcia dwumianu całkowitymi , które są liczbami 4. Sześcian o krawędzi 3 cm ma taką samą objętość, jak dwa sześciany, których suma długości obu krawędzi wynosi 4 cm. O ile centymetrów pole powierzchni dużego sześcianu jest mniejsze od sumy pól powierzchni dwóch mniejszych sześcianów? 5. Niech [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n 4 â 3n- 2 - n jest podzielna przez 7. Ä 2 ä 6. Rozwiąż równanie x > x@ - = 2 > x@ x x 7. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n n 2 n 3 jest całkowita SERIA II. Student w ciągu pięciu lat zdał 3 egzaminów. Na każdym kolejnym roku studiów zdawał więcej egzaminów niż w roku poprzednim. Liczba egzaminów na piątym roku była trzy razy większa niż na pierwszym. Ile egzaminów zdał student na czwartym roku? 2. Oblicz wartość wyrażenia a) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c zachodzi nierówność a b 2 c. b) Wykaż, że w prostopadłościanie o wymiarach: a, b, c i przekątnej d zachodzi nierówność a b c 3 d. 4. Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych jest równy ich pięciokrotnej sumie. Co to za liczby? a 5. Czy istnieje trójkąt o bokach a, b, c takich, że b c = 2? b c a c a b 6. Wykaż, że dla b ³ - i b ¹ 0 prawdziwa jest nierówność 4 b 2 b Ì 4 b. _ b _ 7. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie =. x2 xy y2

3 SERIA III. Rozwiąż układ Æ a = a- 3b 2c b - 3c 2d c - 3d 2a d - 3a 2b 2. Rozwiąż nierówność x 4 x 2 2 x 3 x Parostatek płynie z Warszawy do Gdańska 2 dni. Ten sam parostatek z takim samym zanurzeniem płynie z Gdańska do Warszawy 3 dni. Ile dni płynąć będą tratwy z Warszawy do Gdańska? 4. Dla jakich całkowitych wartości x wyrażenie x 2 6x 8 jest liczbą pierwszą? 5. Wykaż, że liczba jest sześcianem liczby naturalnej. 6. W czasie ferii zimowych 200 kolegów pewnej szkoły zadeklarowało swój udział w zabawach rekreacyjnych na śniegu. Część jednak wyjechała na zimowisko, /8 pozostałych wolała zostać w domu i grać na komputerze, trzy osoby zachorowały i musiały również pozostać w domu. Gdy uczniowie spotkali się na boisku, /6 stała z boku, a pozostali bawili się w ośmiu jednakowo licznych grupach. Ile osób pojechało na zimowisko? 7. Skonstruuj kwadrat mając dany odcinek, którego długość jest równa sumie długości boku i przekątnej. Podaj opis konstrukcji.

4 SERIA IV. Rozwiąż układ równań Æx > m z = m x y > z@ = 22 > x@ m y z = Rozwiąż równanie [x 3] = [3x]. 3. Rozwiąż układ równań Æa b 2c = a b 4c 3a- 3b - 2c 4 = 0 4. Rozwiąż równanie 2 x -_ x _ = > x VJQx 5. Znajdź wszystkie funkcje f: R R spełniające równanie funkcyjne f(x) 2f(/x) = x. 6. W trapezie ABCD poprowadzono odcinki równoległe do podstaw tak, że: odcinek EF dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach, odcinek GH łączy środki boków nierównoległych, odcinek IJ dzieli trapez na dwa trapezy podobne, odcinek KL przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych trapezu. Oblicz długości tych odcinków. 7. Diabeł i czarownica wylecieli równocześnie z tego samego miejsca i podążyli w stronę Łysej Góry. Diabeł leciał najpierw z prędkością 50 km/h, po dwóch godzinach lotu wylądował w spróchniałej wierzbie. Przespał się kilka godzin w dziupli i poleciał dalej. Czarownicę dogonił po godzinie lotu, poruszając się tym razem z prędkością 60 km/h. Tymczasem czarownica leciała początkowo na miotle z prędkością 30 km/h. Po dwóch godzinach lotu miotła złamała się. Czarownica przesiadła się więc na chmurkę i dryfowała z prędkością 0 km/h. Ile godzin diabeł spał w spróchniałej wierzbie? UWAGA. Symbol [a] oznacza część całkowitą liczby a, symbol m(a) oznacza mantysę liczby, tj. m(a) = a - [a], symbol sgn(a) oznacza znak liczby a.

5 Etap II finał. Rozwiąż równanie x - - = x Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność x 4 - x ³ Oblicz wartość funkcji f(x) = x 3-9x 2 27x - 27 dla argumentu Rozwiąż równanie [x] [ - x] =. 5. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest mniejsza od sumy długości przeciwprostokątnej i opuszczonej na nią wysokości. 6. W dwa przeciwległe naroża sześcianu o boku a = wpisano dwie kule wzajemnie ze sobą styczne. Oblicz odległość środków tych kul.