Kvantum homogenizálás

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kvantum homogenizálás"

Bożena Kowalewska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Kvantum homogenizálás Koniorczyk Mátyás Pécsi Tudományegyetem, Fizikai Intézet (jelentős részben Vladimír Bužek és Mário Ziman cikkei alapján) ELFT Elméleti Fizika Iskola, Tihany, 2010 szeptember 1.

2 Motiváció Theroetical phyiscists live in a classical world looking out in the quantum mechanical world. The latter we describe only subjectively, in terms of procedures and results in our classical domain. J. S. Bell

3 Motiváció Egyensúly (pl. hőmérsékleti) T S T R T Eq

4 Motiváció Kvantum modell Legyen egyszerű, Analitikusan megérthető, Legyen benne jelen a termalizációhoz hasonló viselkedés

5 Vázlat Ütközéses modellek Homogenizálás: definíció Homogenizálás ütközéses modellben Konstrukció Homogenizálás Összefonódottság Mester egyenlet Spingázok

6 Ütközéses modell ± ¼µ Ë Ø Ø Ø Í Í Í Ø Ø Ø ½ ½ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ Ê Ë ÊÎÇÁÊ ¹ ± µ Ë

7 Ütközéses modell Kvantumállapotok S(H) = {ϱ : ϱ O, tr[ϱ] = 1} Dinamika 1 lépés: n lépés: E[ϱ] = tr env [U(ϱ ξ)u ] ϱ 0 ϱ n = tr env [U(ϱ n 1 ξ)u ] = E[ϱ n 1 ] = E n [ϱ 0 ] Ω n = U n U 1 (ϱ S ξ n )U 1 U n

8 Kvantum homogenizálás Ideális homogenizálás Klónozás, nem lehet. ϱ S ξ ξ ξ S ξ ξ

9 Kvantum homogenizálás δ-homogenizálás triviális homogenizálás ξ S ξ ξ Ω n = ξ S ξ ξ konvergencia a rezervoár stabilitása j D(ϱ (n) S, ξ) δ D(ξ j, ξ) δ

10 A homogenizáló kölcsönhatás Szimmetrikus és antiszimmetrikus altér Csere-operátor H H-n: S(ϱ ξ)s = ξ ϱ H ± : SΦ = ±Φ H H = H + H

11 A homogenizáló kölcsönhatás A triviális homogenizálás miatt U ψ ψ = ψ ψ, vagyis legáltalánosabban: U = e iγ I + V

12 A homogenizáló kölcsönhatás Qubitekre 1D antiszimmetrikus altér V = e iβ U 00 = e iγ 00, U 11 = e iγ 11, U( ) = e iγ ( ), U( ) = e i(γ+β) ( ). Másként (η = β/2): U η = cos ηi + i sin ηs

13 A homogenizáló kölcsönhatás Általában U η = cos ηi + i sin ηs = e iηs megfelel, de nem a legáltalánosabb. Fennmaradt kérdések konvergencia a rezervoár stabilitása

14 A dinamika ϱ (n) S = c 2 ϱ (n 1) S + s 2 ξ + ics[ξ, ϱ (n 1) S ] ξ n = s 2 ϱ (n 1) S + c 2 ξ + ics[ϱ (n 1) S, ξ]

15 Konvergencia Kontrakciók E szigorú kontrakció, ha ( ϱ, ξ S) D(E[ϱ], E[ξ]) kd(ϱ, ξ), 0 k < 1 Hilbert-Schmidt távolság esetünkben: D(ϱ 1, ϱ 2 ) = ϱ 1 ϱ 2 = tr[ϱ 2 1 ] + tr[ϱ2 2 ] 2tr[ϱ 1ϱ 2 ] D 2 (E[ϱ 1 ], E[ϱ 2 ]) = c 2 (c 2 D 2 (ϱ 1, ϱ 2 ) + s 2 [ξ, ϱ 1 ϱ 2 ] 2 ) (mivel E[ϱ] = c 2 ϱ + s 2 ξ + ics[ξ, ϱ])

16 Konvergencia Ami bizonyítandó Az, hogy ξ fixpont, helyettesítéssel adódik. Tehát be kell látni, hogy: [ξ, ] 2 2 = D 2 (ϱ 1, ϱ 2 ) ahol = ϱ 1 ϱ 2 Ha ez teljesül, a Banach-féle fixponttétel alapján az egyértelmű fixponthoz konvergál a dinamika.

17 Konvergencia Bizonyítás ξ = k λ k k k ξ ξ 2 = tr[(ξ ξ) (ξ ξ)] = 2tr[ξ 2 2 ] 2tr[(ξ ) 2 ] = 2 j λ2 j j 2 j 2 j,k λ j λ k j k 2 = 2 j,k λ2 j j k k j 2 j,k λ j λ k j k 2 = j,k (2λ2 j 2λ j λ k ) j k 2 = j,k (λ2 j + λ 2 k 2λ j λ k ) j k 2 = j,k (λ j λ k ) 2 j k 2 j,k j k 2 = tr[ ] = 2

18 Konvergencia A kontrakció D(E[ϱ 1 ], E[ϱ 2 ]) c D(ϱ 1, ϱ 2 ), a kontrakciós együttható c = cos η, a fixpont pedig ξ.

19 A rezervoár stabilitása Vizsgálandó D(ξ j, ξ) valamint a lépések szükséges N δ száma, melyre Beláttuk, hogy és tudjuk, hogy E[ξ] = ξ, innen: de mi lehet a δ? D(ϱ (N δ) S, ξ) δ. D(E[ϱ], E[ξ]) c D(ϱ, ξ), N δ = ln(δ/ 2) ln c

20 A rezervoár stabilitása Számolás D(ξ, ξ n ) = ξ c2 ξ s 2 ϱ (n 1) S s 2 ξ ϱ (n 1) S s 2 D(ξ, ϱ (n 1) S 2 sc ( s c n 2 + 2) < 2 sc (1 + 2) δ ics[ϱ (n 1), ξ] S + cs [ϱ (n 1), ξ] S ) + 2 cs ϱ (n 1) ξ S vagyis U η -ra (2 + 2) sin η cos η δ, a szükséges lépések száma pedig N δ ln [(1 + 2) sc ] ln c

21 Összefonódottság sok qubit esetén tangle ahol τ(ω) = min ω= p j τ(ψ j ) j p j ψ j ψ j τ(ψ) = S lin (tr 1 ψ ψ ) = 2(1 tr[(tr 1 ψ ψ ) 2 ]) = 4 det tr 1 [ ψ ψ ] (lineáris entrópia) j

22 Összefonódottság sok qubit esetén C = max{0, 2 max{ λ j } j Konkurrencia λj } λ j = eig(ω(σ y σ y )ω (σ y σ y )) Monogámia Coffman-Kundu-Wootters: τ jk τ j k,k j

23 Összefonódottság a homogenizálás modellben entanglement 0.25 τ 0 τ τ 01 τ 02 τ 2 τ n

24 Mester egyenlet Diszkrét dinamikai félcsoport ϱ E 1 [ϱ] E 2 [ϱ] E n [ϱ], E k = E E = E k ahol E n E m = E n+m Interpoláció dϱ t dt = ( ) ( ) det det [ϱ 0 ] = dt dt E 1 t [ϱ t ] = G t [ϱ t ]

25 Markov dinamika generátora Lindblad-GKS alak E t = e Gt G[ϱ] = i [H, ϱ] + 1 c jk ([Λ j ϱ, Λ k ] + [Λ j, ϱλ k ]) 2 jk ahol {Λ 1,..., Λ d 2 1} ONB a spurtalan Hermitikus mátrixok terén.

26 Bloch-gömb Állapot ϱ r = tr[ϱ σ] Csatorna E kj := 1 2 tr[σ ke[σ j ]] (a spur megmaradása miatt E 00 = 1 2 tr[e[i ]] = 1 és E 0j = tr[e[σ j ]] = 0) r r = t + T r t j = E j0, T jk = E jk

27 Bloch-gömb Generátor G = g 10 g 11 g 12 g 13 g 20 g 21 g 22 g 23 g 30 g 31 g 32 g 33, g jk = 1 2 tr[σ jg[σ k ]]

28 Bloch-gömb Lindblad-GKS alak G[X ] = i h j [σ j, X ] j=x,y,z c jk ([σ j, X σ k ] + [σ j X, σ k ]) j,k=x,y,z h 1 = g 32 g 23 4, h 2 = g 13 g 31 4 c jj = g jj 1 2 k g kk, h 3 = g 21 g 12 4 c 12 = 1 2 (g 12 + g 21 ig 30 ), c 21 = 1 2 (g 12 + g 21 + ig 30 ), c 23 = 1 2 (g 23 + g 32 ig 10 ), c 32 = 1 2 (g 23 + g 32 + ig 10 ), c 13 = 1 2 (g 13 + g 31 + ig 20 ), c 31 = 1 2 (g 13 + g 31 ig 20 ).

29 Homogenizáció: mester egyenlet Diszkrét dinamika r r = c 2 r + s 2 w cs w r

30 Mester-egyenlet levezetés (1) Új bázis: S j = V σ j V : ξ = 1 2 (I + ws 3) Új paraméterek: θ = arctan(ws/c) = arctan(w tan η), q = c 2 + w 2 s 2 Ekkor: E = cq cos θ cq sin θ 0 0 cq sin θ cq cos θ 0 s 2 w 0 0 c 2

31 Mester-egyenlet levezetés (2) E n = c n q n cos nθ c n q n sin nθ 0 0 c n q n sin nθ c n q n cos nθ 0 w(1 c 2n ) 0 0 c 2n

32 Mester-egyenlet levezetés (3) Legyen (ad hoc) n = t/τ, tau valamilyen időskála! E t = Ω = θ/τ, c 2t/τ = e Γ 1t, (cq) t/τ = e Γ 2t e Γ2t cos Ωt e Γ2t sin Ωt 0 0 e Γ2t sin Ωt e Γ2t cos Ωt 0 w(1 e Γ1t ) 0 0 e Γ 1t Félcsoport, de ellenőrizni kell, hogy minden t-re CP.

33 Mester-egyenlet levezetés (4) Végül: G = Γ 2 Ω 0 0 Ω Γ 2 0 wγ Γ 1 dϱ dt = i Ω [Sz, ϱ] iwγ1(sxϱsy Sy ϱsx + iϱsz + iszϱ) Γ1(SxϱSx + Sy ϱsy 2ϱ) + 1 (2Γ2 Γ1)(SzϱSz ϱ) 4

34 Spingázok A rendszer Klasszikus részecskék Belső kvantumos szabadsági fok: qubit Különféle modellek: Véletlen párkölcsönhatás Billiárdasztal 1D diffuzív rácsgáz Q-kölcsönhatás: ha ütköznek, ill. szomszédok Diszkrét idejű dinamika Numerikus szimuláció

35 Spingázok Kölcsönhatás PSWAP generátora: Heisenberg-XXX U pswap (η) = exp ( iηĥ(xxx)) σ x σ x + σ y σ y + σ z σ z Helyette: XX : H (XX) = σ x σ x + σ y σ y. ( iηĥ(xx)) U XX (η) = exp

36 Spingázok XX tulajdonságai Invariáns altér: k = k 1 1 k 0 k N Ezen a pillanatnyi Hamilton a szomszédsági mátrix ( quantum walk) Az 1-gerjesztéses altérben a CKW teĺıtett: csak kétrészű összefonódás Ezen az altéren a sűrűségoperátor főátlója: 1 valószínűsége off-diag elemei (koherenciák): konkurrencia C k,k = 2 ϱ k,k

37 Spingázok Mennyiségek inhomogenitás σ 2 (t) = p 2 k k p k 2 k teljes konkurrencia C tot (t) = k<k C k,k (t)

38 Billiárdasztal σ A B C D No. of collisions Σ C A B 10 C D No. of collisions B): billárd szekvenciák, (C, D): random szekvenciák N = 100 egység sugarú és tömegű merev gömb. Sebesség: normál eloszás σ = Illesztés ütközés szám szerint. (A,

39 1D rácsgáz σ A B C t Σ C A B C t véletlen párok, B: 1D rácsgáz 150 hey, C: 1D rácsgáz 200 hely, 100 részecske, η = 0.1. Minden 100. időlépés ábrázolva. A:

40 Összefoglalás A dekoherencia egy egyszerű mikroszkopikus modelljének részleteit tárgyaltuk: Homogenizáció általában Dinamikai félcsoport, Mester-egyenlet Összefonódottság Spingázok: összetettebb modell

41 Irodalom M. Ziman, V. Bužek: Open system dynamics of simple collison models, quant-ph/ (2010) M. Koniorczyk, Á. Varga, P. Rapčan, V. Bužek: Quantum homogenization and state randomization in semiquantal spin systems, Phys. Rev. A 77, (2008) V. Scarani, M. Ziman, P. Štelmachovič, N. Gisin and V. Bužek: Thermalizing quantum machines: dissipation and entanglement, Phys. Rev. Lett (2002) M. Ziman, P. Štelmachovič, V. Bužek, M. Hillery, V. Scarani and N. Gisin: Diluting quantum information: An analysis of information transfer in system-reservoir interactions, Phys. Rev. A (2002) Diósi Lajos: A Short Course in Quantum Information Theory - An Approach From Theoretical Physics Lecture Notes in Physics, Vol. 713, 2. kiadás (nyomdában) Kallus Zsófia: Kvantuminformáció és irreverzibilitás: ütközéses kvantum-termalizáció mester egyenletei, szakdolgozat, ELTE TTK, 2010 (témavezető: Diósi Lajos)

Podobne dokumenty

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej