MODELE TOPOLOGICZNE DANYCH PRZESTRZENNYCH TOPOLOGY MODELS OF SPATIAL DATA

Transkrypt

1 Roczniki eoatyki, Warszawa, To V, Zeszyt 5, str MODELE TOPOLOICZNE DANYCH PRZETRZENNYCH TOPOLOY MODEL OF PATIAL DATA ElŜbieta Lewandowicz atedra eodezji zczegółowej UW-M w Olsztynie łowa kluczowe: grafy jako odele topologiczne, odele analityczne IP eywords: graph topology odels, analytical odel in I Wprowadzenie, cel pracy W naukach ateatycznych topologię przedstawia się wykorzystując teorię grafów, która jest działe topologii algebraicznej związanej z relacjai w zbiorach, systeai algebraicznyi i strukturai. W ysteach Inforacji Przestrzennej (IP) topologie zapisuje się w odpowiednich strukturach, składających się z powiązanych tabel. posób ich zapisu został szczegółowo określony w norach (PN 2002, IO 19107) oraz w pracach (Bielecka 2006, Eckes 2006, aździcki 1990, Molenaar 1998, ullivan, Unwin 2003, Urbański 1997). Ten tabelaryczny zapis oŝna przekształcić w ateatyczną forę grafu. W efekcie topologię przestrzeni geograficznej oddajey w postaci grafu geoetrycznego, którego eleenty: węzły, krawędzie i obszary opisują punkty, linie i powierzchnie. Model ten ujęty w forie acierzy zawiera relacje (topologie) iędzy punktai, liniai i powierzchniai (Lewandowicz 2004, 2005, 2006, Lewandowicz, Bałandynowicz 2005). W niniejszej pracy, posługując się prosty przykłade, zaprezentuję róŝne odele topologiczne danych przestrzennych, zbudowane w oparciu o jedne dane geoetryczne. Wykorzystując teorię grafów (Wilson 2000, ulikowski 1986, Coren i inni 2007), przedstawiane odele pokaŝę w forie graficznej i acierzowej. RóŜnorodność odeli wskazuje na liczne sposoby interpretacji przestrzeni geograficznej, która znajduje zastosowanie w zadaniach analitycznych. Jedną z wielu funkcji analitycznych jest poszukiwanie najkrótszej drogi iędzy dwoa punktai w sieci, np. drogowej (ulikowski 1986). Takie analizy powszechnie wykonuje się w oparciu o topologię sieciową (Esri 2003, Autodesk 2000, Bentley 2000, ysther Info 2006). Czasai istnieje potrzeba opisania drogi (oŝliwości przejścia) iędzy obiektai niebędącyi eleentai układu sieciowego, np. iędzy obiektai powierzchniowyi lub punktowyi, które nie są związane z siecią drogową, do których nie dochodzi Ŝadna droga. Zakłada, Ŝe jest to oŝliwe. Tego zadania podjęła się i takie odele analityczne przedstawia w tej publikacji. Zapis danych przestrzennych za poocą grafów W pracy. Eckesa (Eckes 2006) przedstawiono wycinek apy (rys. 1a) i zapis jej treści w forie odeli topologicznych: odelu eleentarnego (rys. 1b) i łańcuchowego (rys. 1c). Oówiona struktura zapisu danych (Eckes 2006) jest dobry wprowadzenie do treści ojego opracowania. Prezentowany przykład w forie fragentu apy (rys. 1a) wykorzysta do budowania odeli topologicznych, opisujących relacje iędzy obiektai geograficznyi. Przedstawione dane graficzne (rys. 1a, b, c) zapisała w forie uproszczonego grafu (rys. 1d). Zapisy grafowe 1c) i 1d) są topologicznie toŝsae, obrazują relacje iędzy eleentai geoetrycznyi (Chrobak 2000, Engelking, ieklucki 1986). Przyjijy, Ŝe odel 1d) stanowi podstawę do budowania narzędzi analitycznych IP. ZałoŜyła, Ŝe a zadanie, które wiąŝe się z poszukiwanie najkrótszej drogi od siłowni wiatrowej do jeziora. Poszukiwanie najkrótszej drogi w sieciowej strukturze jest typowy zadanie analityczny, powszechnie stosowany w dostępnych narzędziach IP. Poszukiwanie drogi iędzy obiektai niezwiązanyi ze strukturą sieciową jest juŝ bardziej skoplikowany zadanie. Powszechnie w takich przypadkach stosuje się analizy na 1

2 danych rastrowych (Esri 2003, Ciechociński 2006). W oparciu o dane wektorowe oŝna rozwiązać to zadanie. Wyaga to zbudowania odelu analitycznego, który wiązałby obiekty punktowe, liniowe i powierzchniowe w jedną sieć. W ty celu uszę wykorzystać wyjściowe dane i wykonać konwersje ich do nowych for. Rys.1. Zapisy przestrzeni geograficznej: a) w forie graficznej na apie, b) za poocą odelu topologicznego eleentarnego, c) za poocą odelu topologicznego łańcuchowego, d) za poocą uproszczonej fory odelu topologicznego (na podstawie: Eckes 2006) Rys. 2. Zapis topologii danych przestrzennych w postaci grafu etykietowanego 2

3 Zapiszy odel 1d) (rys. 1d) w forie grafu geoetrycznego, etykietowanego, (rys. 2) z zadanyi identyfikatorai węzłów, krawędzi i obszarów. W przedstawiony grafie węzły opisują trójstyki granic, punkty załaania drogi i siłownie wiatrowe. rawędzie odpowiadają granico uŝytków i osio dróg, a pięć obszarów opisuje kolejno las, jezioro i trzy obszary rolne. Przedstawione dane (rys. 2) oŝna zapisać w forach acierzowych (tabela 1): acierzy sąsiedztwa węzłów W, acierzy sąsiedztwa węzłów z krawędziai W- (w literaturze określanej jako acierz incydencji I) i acierzy oczek-obszarów O- przypisującej kaŝdeu obszarowi graniczne krawędzie. ą to podstawowe acierze opisujące graf geoetryczny. One odpowiadają dany zawarty w tabelarycznych zapisach topologii w przyjętych strukturach narzędziowych (Bielecka 2006, Eckes 2006, aździcki 1990, Molenaar 1998, ullivan, Unwin 2003, Urbański 1997). Tabela 1. Podstawowe acierze opisujące graf geoetryczny : acierz sąsiedztwa W przedstawia relacje iędzy węzłai grafu ; acierz W- przedstawia relacje iędzy węzłai i krawędziai grafu ; acierz O- przedstawia relacje iędzy obszarai i krawędziai grafu W = O- = W- = I II III IV V Macierze W, W-, O- opisują wybrane relacje iędzy węzłai, krawędziai i obszarai grafu. Macierz inforuje, które węzły są połączone krawędzią. Jeśli eleent acierzy (s W ) ij przyjuje wartość 1, to znaczy, Ŝe węzły opisane identyfikatorai i, j są połączone krawędzią. Macierz W- przypisuje węzło krawędzie, czyli eleent acierzy (s W- ) ij przyjuje wartość 1, jeśli węzeł i stanowi wierzchołek krawędzi j. olejna acierz O- przypisuje obszaro krawędzie ograniczające je. Eleent acierzy (s O- ) ij przyjuje wartość 1, jeśli krawędź j stanowi granicę obszaru i. ZauwaŜy, Ŝe graf (rys. 2) jest niespójny, węzły identyfikowane nuerai 9 i 10 nie są powiązane z Ŝadną krawędzią. Nazywa się je węzłai swobodnyi. Widać to takŝe w zapisach acierzowych w W, W-, wiersze acierzy identyfikowane węzłai o nuerach 9 i 10 zawierają sae zera. onwersja wyjściowych danych do nowych for Przedstawiony graf (rys. 2) oraz jego zapisy acierzowe W, W-, O- wykorzysta do tworzenia nowych struktur zapisu topologii danych przestrzennych (Lewandowicz 2007). ZauwaŜy, Ŝe w oparciu o acierz W- oŝna określić graf sąsiedztwa krawędzi (rys. 3) opisany acierzą. MoŜna go uzyskać poprzez przenoŝenie acierzy W- i wyzerowanie wartości diagonalnych uzyskanego iloczynu: = (( W- ) T W- )-Diag(( W- ) T W- ), gdzie Diag(( W- ) T W- ) jest acierzą diagonalną o wyrazach równych 2. Eleenty acierzy przyjują wartości 1 lub 0: (s ) ij równy 1 określa, Ŝe krawędzie grafu identyfikowane przez i, j bezpośrednio sąsiadują, ają wspólny węzeł doykający te krawędzie. Macierz O- zawiera dane, które pozwalają na wygenerowanie inforacji o sąsiedztwie obszarów. Zapiszy ją w acierzy O i przedstawy graficznie za poocą O : O = O- ( O- ) T -Diag( O- ( O- ) T ), gdzie Diag( O- ( O- ) T ) jest acierzą diagonalna o wartościach (s O ) ii równych liczbie krawędzi opisujących obszar i. Na rys. 4 przedstawiono graf O w zapisie graficzny i acierzowy. 3

4 k = Rys. 3. raf sąsiedztwa krawędzi przedstawiony graficznie i w forie acierzy O O = I II III IV V I II III IV V Rys. 4. raf sąsiedztwa obszarów O przedstawiony graficznie i w forie acierzy O raf O zawiera krawędzie, które oŝna identyfikować z liniai granicznyi rozdzielającyi dwa obszary. Przyrównując dane O z O-, oŝna określić identyfikatory krawędzi grafu O : (I)-(II)=(Las)-( Jez) = 8, (II)-(III)+ (Jez)-(Rol-1) = 9, (I)-III)=(Las)-(Rol-1) = 7, (III)-(V)= (Rol-1) (Rol-3) = 11, (III)-(IV)=(Rol-1)-(Rol-2)= 10, (IV)-(V)= (Rol-2)-(Rol-3)= 12. Taka interpretacja upowaŝnia do przedstawienia grafów o, o (rys.5) jako pochodnych for O. o o Rys. 5. Przedstawienie graficzne sąsiedztwa obszarów z z liniai granicznyi rozgraniczającyi rozgraniczającyi te obszary te za poocą obszary odeli za poocą o, odeli o opisanych okr i acierzai ok. Model okr O zawiera oraz O- obszary. Model i linie o rozgraniczające zawiera obszary dwa i linie rozgraniczające obszary. dwa Model obszary. ok zawiera Model dodatkowo o zawiera granice dodatkowo zewnętrze granice kopleksu zewnętrzne obszarów kopleksu obszarów 4

5 W oparciu o odele,, O opisała w acierzach sąsiedztwo węzłów W, krawędzi, obszarów O oraz sąsiedztwo węzłów z krawędziai W-, obszarów z krawędzi O-. Brakuje opisu sąsiedztwa obszarów z węzłai, czyli przypisanie kaŝdeu obszarowi węzłów stanowiących punkty graniczne. Uzyskay te dane poprzez działanie na wyjściowych acierzach O-, W-, otrzyując O-W : O-W = ( O- ( W- ) T ) / 2. Otrzyaną acierz O-W przedstawiono na rys I II III IV V Rys. 6 Macierz O-W przypisująca obszaro węzły rozgraniczające Macierze wyjściowe (bazowe) W, W-, O- oraz pochodne, O, O-W oŝna uzupełnić transpozai acierzy: ( W- ) T ( -W ), ( O- ) T ( -O ), ( O-W ) T ( W-O ). Jest to uzasadnione ty, Ŝe relacje są zwrotne (W-)-(-W). Przyjijy, Ŝe jeśli (W-)=(-W) to oŝey je zapisać jako (W ). Wszystkie przedstawione wyŝej acierze zawierają podstawowe dane topologiczne danych przestrzennych. Określono je na podstawie uporządkowanego rysunku apy (rys.1). Model topologiczny danych przestrzennych Proponuję acierze bazowe i pochodne, określone wyŝej, zapisać w jedny odelu w forie acierzy blokowej (rys. 7): = W W O W W O W O O O Macierz jest acierzą syetryczną o wyiarach (n x n), gdzie n jest suą liczby węzłów, krawędzi i obszarów; w naszy przykładzie n= =27. W odelu wiersze i koluny są etykietowane identyfikatorai węzłów, krawędzi i obszarów grafu. Model topologiczny danych przestrzennych, opisany acierzą oŝna przedstawić graficznie w postaci grafu ; =f(). Węzły grafu obrazują węzły, krawędzie lub obszary grafu wyjściowego. Nie pokaŝę w forie graficznej, gdyŝ rysunek byłby ało czytelny, zawierałby 27 węzłów i 168 krawędzi. Przedstawię tylko przykładowe podgrafy grafu, gdzie ( X jest kobinacją oŝliwych indeksów { W,, O, X X (W-), (-W), (W-O), (O-W), (-O), (O-)}, lub { W,, O, ( W ), ( W O), ( O) }), np. + ( O) i ( ) + ( ) + ( ) opisane odpowiednii wybranyi blokai acierzy (rys. 8). W O W O 0 = 0 0 O + ( O) k O, ( W O) + ( W ) + ( O) 0 = W O W W 0 O W O O 0 5

6 I II III IV V I II III IV V Rys. 7. Macierz blokowa jako odel topologiczny danych przestrzennych zobrazowanych na rys. 1,2 a) b) Rys. 8. Wybrane relacje sąsiedztwa iędzy obiektai punktowyi, liniowyi i powierzchniowyi danych przestrzennych: a) graf + ( ) opisujący sąsiedztwo krawędzi i krawędzi z obszarai, b) graf ( W O) + ( W ) + ( O) węzłów z krawędziai i krawędzi z obszarai 6 O opisujący sąsiedztwa węzłów z obszarai,

7 + ( O), ( W O) + ( W ) + ( O) Przedstawione odele łączą w sieci obiekty punktowe, liniowe i powierzchniowe danych przestrzennych. W oparciu o te struktury sieciowe (rys. 8 b) oŝna określić drogę (w grafie) iędzy np. jeziore (II) a skrzyŝowanie dróg (8), ale jest za ało danych, aby wskazać drogę iędzy siłownią wiatrową a jeziore. Węzły opisujące siłownie wiatrowe jak zauwaŝono powyŝej są eleentai niespójnyi w grafie. TakŜe w odelu nie są powiązane z Ŝadnyi innyi obiektai. Chcąc je wprowadzić do przedstawianych odeli, usiy ieć dodatkowe dane wygenerowane z danych przestrzennych (geoetrycznych, rys. 1a). Wiązanie niespójnych danych (siłowni wiatrowych) z odelai bazowyi iłownie wiatrowe w grafie są opisane za poocą węzłów swobodnych. Chcąc je uwzględnić w przedstawianych odelach, naleŝy je związać ostai z eleentai spójnyi grafu (węzłai, krawędziai lub obszarai). MoŜna to zrobić na róŝne sposoby: x w : x w = f ( ), x={ W,, O }. Przyjijy, Ŝe nasze osty będą wiązać węzły swobodne z: najbliŝszy węzłe składowej spójnej grafu, najbliŝszą krawędzią składowej spójnej grafu, obszare (oczkie grafu), wewnątrz którego są połoŝone. Takie dane oŝna otrzyać, wykonując działania na danych geoetrycznych. W ty celu w IP wykorzystuje się typowe algoryty: poszukiwania najbliŝszego punktu, krawędzi i przecięcia (zawierania punktu na powierzchni). W oparciu o wyniki tych działań oŝey zodyfikować wyŝej przedstawione odele do nowych postaci: W w, w, O O w, zobrazowanych na rys. 9. a) b) c) Rys. 9. Trzy sposoby wiązania węzłów swobodnych z eleentai spójnego grafu: a) z najbliŝszyi węzłai, b) z najbliŝszyi krawędziai, W w c) z obszarai, na których są połoŝone O O w w Przedstawione odele zawierają relacje topologiczne iędzy siłowniai wiatrowyi i innyi sąsiednii obiektai oznaczonyi na apie. Jedno z rozwiązań wprowadzę do odeli z rys.8. X 7

8 Przyjęła, Ŝe węzły swobodne najlepiej powiązać z obszarai. Modyfikując odele ( W O) + ( W ) + ( O) + ( O) (rys. 8) u zyskała nowe grafy (rys. 10), które ogę wykorzystać do rozwiązania załoŝonego zadania: określenia najkrótszych dróg (przejść) iędzy siłownią wiatrową (9) a jeziore (II). Przedstawione grafy (rys. 10) przyjuję jako odele sieciowe wiąŝące obiekty geograficzne o róŝnej geoetrii. Rys.10. Zodyfikowane odele + ( O) i powiązanie węzłów swobodnych z obszarai ( W O) + ( W ) + ( O) (patrz rys. 8) uwzględniające Poszukiwanie najlepszej, najekonoiczniejszej drogi wyaga przypisania odpowiednich wag krawędzio grafów, uwzględniając cechy drogi i przyjęte środki kounikacji (ulikowski 1986, Esri 2003, Lewandowicz 2005, Ciechociński 2006). W zaleŝności od wagowania krawędzi grafu oŝey uzyskać w rozwiązaniu róŝne oŝliwe przejścia uwzględniające lub nie np. drogę na skróty przez grunty orne. W oparciu o przyjęte odele (rys.10) oŝey zapisać drogi w grafie w forie digrafów (rys. 11) np.: (9-IV-10-III-9-II), (9-IV II), (9-IV II), (9-IV II),. Algoryty związane z poszukiwanie najkrótszej drogi w grafie są powszechnie dostępne w literaturze (Coren i inni 2007) i serwisach internetowych. Najpopularniejsze z nich to algoryt Dijkstry oraz Forda Bellana. Wnioski końcowe Uiejętność czytania apy pozwala na określenie relacji przestrzennych iędzy obiektai geograficznyi. Dysponując ystee Inforacji Przestrzennej, powinniśy ieć oŝliwość uzyskiwania takich inforacji autoatycznie w wyniku procedur systeowych. Uporządkowane dane geoetryczne opisujące obiekty geograficzne stanowią bazę wyjściową do takich działań. Zbudowana topologia danych przestrzennych uoŝliwia opis topologiczny obiektów geograficznych w forach przyjaznych wyszukany analizo. Powszechnie stosowany zapis danych topologicznych w strukturach tabelarycznych oŝna przekształcić w acierzowe zapisy grafów. Nueryczne przetwarzanie otrzyanych acierzy pozwala na uzyskanie nowych for topologii danych przestrzennych. Przykłady takich odeli przedstawiono wyŝej. Model wyjściowy opisany acierzai W, W-, O- wynika z uporządkowanych danych graficznych. Przeprowadzone konwersje odelu wyjściowego do zaprezentowanych for k, o, o, o,, X w w, k w, o w i przedstawionych zapisów acierzowych, X, nie wyczerpują oŝliwości odelowania danych przestrzennych. Ta róŝnorodność zapisów topologii danych przestrzennych powinna wiązać się z konkretnyi zadaniai analitycznyi. 8

9 a) b) MoŜliwości dojścia z siłowni wiatrowej (9) do jeziora (II): Rozwiązania preferujące drogi i granice uŝytków 1) 9-IV II 2) 9-IV II 3) 9-IV II 4) 9-IV II 5) 9-IV II 6) 9-IV II 7) Rozwiązania uwzględniające przejście na skróty przez grunty orne 1) 9-IV-10-III-9-II 2) 9-IV-10-III-7-II 3) 9-IV-8-III-7-II 4) 9-IV-8-III-9-II Rys. 11. MoŜliwe drogi z siłowni wiatrowej (9) do jeziora (II) określone z odeli przedstawionych na rys. 10: a) rozwiązania preferujące drogi i granice uŝytków, b) rozwiązania uwzględniające oŝliwości przejście (na skróty) przez grunty orne W niniejszej pracy załoŝono zbudowanie odelu sieciowego, łączącego eleenty punktowe, liniowe i powierzchniowe, w celu poszukiwania drogi iędzy siłownią wiatrową a jeziore. Przedstawiono kilka odeli spełniających załoŝony cel, określono oŝliwe drogi iędzy tyi obiektai. Literatura Autodesk, 2000: User s Manual for AutoCad Map@-2000, Release 4 Bentley 2000: Microtation eographics v.07. Podręcznik uŝytkownika Bielecka E. 2006: yste inforacji geograficznej. Wydawnictwo PJWT, Warszawa Chrobak T., 2000: Modelowanie danych przestrzennych przy uŝyciu struktury FD Molenaara. Materiały II Ogólnopolskiego einariu Modelowanie danych przestrzennych, Warszawa, s Ciechociński P., 2006: Modelowanie dostępności kounikacyjnej nieruchoości jako atrybutu w procesie wyceny. Roczniki eoatyki. Warszawa, To IV, Zeszyt 3, s Coren T. H., Leiserson Ch. E., Rivest R. L., tein C., 2007: Wprowadzenie do algorytów. WNW, Warszawa Eckes., 2006: Modelowanie rzeczywistości geograficznej w systeach inforacji przestrzennej. Roczniki eoatyki. Warszawa, To IV, Zeszyt 2, s Engelking R., ieklucki., 1986: Wstęp do topologii. Biblioteka ateatyczna, To 62, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Esri, 2003: ArcI: Working With eodetabase Topology, An ERI White Paper aździcki J., 1990: ystey Inforacji Przestrzennej, Państwowe Przedsiębiorstwo Wydawnictw artograficznych, Warszawa IO 19107: eographic inforation spatial schea <ttp:// ulikowski J. L., 1986: Zarys teorii grafów. Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Lewandowicz E., 2004: rafy jako narzędzie do definiowania relacji przestrzennych poiędzy danyi geograficznyi. Roczniki eoatyki, To II, Zeszyt 2, Warszawa, s Lewandowicz E., 2005: Analizy sąsiedztwa ikroregionów w regionie w oparciu o dane przestrzenne zapisane w forie grafu geoetrycznego. Roczniki eoatyki, Warszawa, To III, Zeszyt 1, s

10 Lewandowicz E., Bałandynowicz J., 2005: oe Ways of Forulation of Objective Functions for Chosen pace Analysis. The 6 th International Conference Faculty of Environental Engineering, Vilnius ediinas Technical University, Volue 2, pp Lewandowicz E., 2006: Area Neighbourhood Models. Polish Acadey of ciences, eodezja i artografia, eodesy and Cartography, Vol. 55, No. 3, pp Lewandowicz E., 2007: Przestrzeń geograficzna jako przestrzeń topologiczna. einariu Modelowanie inforacji geograficznej według nor europejskich i potrzeb infrastruktury inforacji przestrzennej. Warszawa (w druku) Molenaar M., 1998: An introduction to the theory of spatial object odeling for I. Taylor & Francis, London PN, 2002: Inforacja geograficzna. Opis danych. cheat przestrzenny. Polski oitet Noralizacyjny. Polska Nora PZPN-N ullivan D. O., Unwin D. J., 2003: eographic Inforation Analysis. Jon Wiley &ons, INC ysther Info, 2006: yste Inforacji Terenowej eo-info podręcznik uŝytkownika. Poznań Urbański J., 1997: Zrozuieć I. Analiza inforacji przestrzennej. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Wilson R., 2000: Wprowadzenie do teorii grafów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa treszczenie yste Inforacji Przestrzennej (IP) stanowi narzędzie do wykonywania analiz przestrzennych. Dane geoetryczne odgrywają istotną rolę w tego typu zadaniach, pozwalają wizualizować przestrzeń i są podstawą do określania relacji iędzy obiektai geograficznyi. Te relacje tworzą topologie danych przestrzennych. Powszechnie topologię danych przestrzennych w IP przyjuje się jako strukturę zapisu danych geoetrycznych (Bielecka 2006, Eckes 2006, aździcki 1990, Molennar 1998, Urbański 1997). Przyjując określone odele topologiczne, porządkuje się zapis danych geoetrycznych w struktury bazy relacyjnej. Uporządkowanie danych pozwala na ich przetwarzanie. Relacje iędzy danyi geoetrycznyi stanowią topologię, która jest podstawą do budowy narzędzi analitycznych w IP (Eckes 2006). W niniejszej publikacji przedstawiono przykłady konwersji danych topologicznych, utworzonych w oparciu o uporządkowane dane geoetryczne, do nowych for. W efekcie uzyskano relacje iędzy obiektai geograficznyi. Zapis tych relacji w forie grafu stanowi ateatyczny odel topologii danych przestrzennych. W niniejszej publikacji wykorzystano przykład graficzny z pracy Eckesa (Eckes 2006), w której wyjaśniono podstawy zapisu danych przestrzennych w ogólnie przyjętych odelach topologicznych. Przedstawione zapisy w forie tabelarycznej i grafu (Eckes 2006) zostały przetworzone do nowych for. Zawarte w pracy przykłady graficzne prosto obrazowują oawiane zagadnienia. ElŜbieta Lewandowicz leela@uw.edu.pl 10