PORTFEL DWUSK ADNIKOWY PODEJ CIE ALTERNATYWNE 3 4

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXIV ZESZYT KRZYSZTOF PIASECKI 1, JOANNA SIWEK 2 PORTFEL DWUSKADNIKOWY Z TRÓJKTNYMI ROZMYTYMI WARTOCIAMI BIECYMI PODEJCIE ALTERNATYWNE WPROWADZENIE Pod pojciem instrumentu finansowego rozumiemy uprawnienie do przyszego przychodu finansowego wymagalnego w cile okrelonym terminie wymagalnoci. Warto tego przychodu interpretujemy, jako antycypowan warto przysz (w skrócie FV) tego instrumentu. Zgodnie z tez o niepewnoci (Mises, 1962; Kaplan, Barish, 1967), kady przyszy nieznany nam stan rzeczy jest niepewny. Niepewno w ujciu Misesa i Kaplana jest skutkiem braku naszej wiedzy o przyszym stanie rzeczy. W rozpatrywanym przypadku, mona jednak okreli ten przyszy moment czasu, w którym rozpatrywany stan rzeczy bdzie ju nam znany. Ten rodzaj niepewnoci Misesa-Kaplana nazywamy w skrócie niepewnoci. Jest to warunek wystarczajcy na to, aby modelem niepewnoci byo prawdopodobiestwo (za Komogorow, 1933, 1956; Mises, 1957; Lambalgen, 1996; Sadowski, 1976, 1980; Czerwiski, 1960, 1969; Caplan, 2001). Z tego powodu niepewno nazywamy te niepewnoci kwantyfikowaln. Równoczenie warto tutaj zauway, e FV nie jest obciona niepewnoci Knighta (1921). Wszystko to prowadzi do stwierdzenia, e FV jest zmienn losow. Punktem odniesienia do oceny instrumentu finansowego jest jego warto bieca (w skrócie PV), zdefiniowana, jako teraniejszy ekwiwalent patnoci dostpnej w ustalonym momencie czasu. Powszechnie jest ju akceptowany pogld, e PV przyszych przepywów finansowych moe by wartoci przyblion. Naturaln konsekwencj takiego podejcia jest ocena PV za pomoc liczb rozmytych. Odzwierciedleniem tych pogldów byo zdefiniowanie rozmytej PV, jako zdyskontowanej rozmytej prognozy wartoci przyszego przepywu finansowego (Ward, 1985). Koncepcja zastosowania 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydzia Zarzdzania, Katedra Inwestycji i Nieruchomoci, al. Niepodlegoci 10, Pozna, Polska, autor prowadzcy korespondencj, k.piasecki@ ue.poznan.pl. 2 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydzia Zarzdzania, Katedra Inwestycji i Nieruchomoci, al. Niepodlegoci 10, Pozna, Polska. 3 Projekt zosta sfinansowany ze rodków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji o numerach DEC-2012/05/B/HS4/03543 oraz DEC-2015/17/N/HS4/ Przedstawione tutaj rezultaty zostay zaprezentowane na XXXV Konferencji Naukowej Metody i Zastosowania Bada Operacyjnych im. Profesora Wadysawa Bukietyskiego (MZBO 16).

2 60 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek liczb rozmytych w arytmetyce finansowej wywodzi si od Buckleya (1987). Definicja Warda jest uogólniona w (Greenhut i inni, 1995) do przypadku nieprecyzyjnie oszacowanego odroczenia. Sheen (2005) rozwija definicj Warda do przypadku rozmytej stopy nominalnej. Buckley (1987), Gutierrez (1989), Kuchta (2000) i Lesage (2001) dyskutuj problemy zwizane z zastosowaniem rozmytej arytmetyki do wyznaczania rozmytej PV. Huang (2007) rozwija definicj Warda do przypadku, kiedy przyszy przepyw finansowy jest dany, jako rozmyta zmienna losowa. Bardziej ogólna definicja rozmytej PV jest proponowana przez Tsao (2005) zakadajcego, e przyszy przepyw finansowy jest okrelony, jako rozmyty zbiór probabilistyczny. Wszyscy ci autorzy przedstawiaj PV, jako dyskonto nieprecyzyjnie oszacowanej warto przyszego przepywu finansowego. Odmienne podejcie zostao zaprezentowane w Piasecki (2011a, 2011c, 2014b), gdzie rozmyt PV oceniono na podstawie biecej ceny rynkowej instrumentu finansowego. Podstawowym narzdziem oceny korzyci pyncych z posiadania instrumentu finansowego jest stopa zwrotu zdefiniowana, jako malejca funkcja PV i równoczenie rosnca funkcja FV. W Piasecki (2011c) pokazano, e jeli PV jest rozmyt liczb rzeczywist, to wtedy stopa zwrotu jest rozmytym zbiorem probabilistycznym (Hiroto, 1981). W Siwek (2015) przedstawiono przypadek prostej stopy zwrotu, gdzie PV jest rozmyt liczb trójktn, natomiast FV jest zmienn losow o normalnym rozkadzie prawdopodobiestwa. W ten sposób, jako punkt wyjcia wybrano zaoenie o normalnym rozkadzie prostej stopy zwrotu, przyjte w klasycznej pracy Markowitz a (1952). Za opisaniem PV za pomoc trójktnej liczby rozmytej przemawiaj natomiast wyniki dyskusji przeprowadzonej w Buckley (1987), Gutierrez (1989), Kuchta (2000) i Lesage (2001). Narzdziem stosowanym do oceny korzyci z posiadania instrumentu finansowego bya rozmyta oczekiwana stopa zwrotu. Z posiadaniem instrumentu finansowego jest te zwizane ryzyko utraty posiadanego bogactwa. W Siwek (2015) do oceny ryzyka zastosowano przedstawiony w Piasecki (2011c) trójwymiarowy obraz ryzyka. Poprzez portfel finansowy rozumiemy dowolny, skoczenie elementowy zbiór instrumentów finansowych. Kady portfel finansowy jest instrumentem finansowym i w zwizku z tym jest oceniany w ten sam sposób, co jego skadniki. W Markowitz (1952) przedstawiono przypadek prostej stopy zwrotu, gdzie PV jest dodatni liczb rzeczywist, natomiast FV jest zmienn losow o normalnym rozkadzie prawdopodobiestwa. Drog dedukcji matematycznej wykazano tam midzy innymi, e stopa zwrotu z portfela jest redni arytmetyczn stóp zwrotu z jego poszczególnych skadników waon za pomoc udziaów tych skadników w portfelu. Praca Markowitza (1952) stanowia i stanowi punkt wyjcia do dalszego rozwoju teorii portfelowej. Na rozwój tej teorii miaa wpyw midzy innymi teoria zbiorów rozmytych zainicjowana w Zadeh (1965). Teoretycy i praktycy finansów dostrzegali problem nieprecyzyjnoci oceny stóp zwrotu oraz problem nieprecyzyjnoci nakadanych ogranicze. Zaowocowao to powstaniem wielu rozmytych modeli portfela

3 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 61 instrumentów finansowych. Kompetentnym ródem informacji o tych modelach s monografie Fang i inni (2008) i Gupta i inni (2014). Badania nad przedstawionymi modelami s nadal kontynuowane, czego dowodem mog by wyniki przedstawione w przykadowych pracach: Huang (2007b), Duan, Stahlecker (2011), Li, Jin (2011), Wu, Liu (2012), Liu, Zhang (2013), Zhang i inni (2013), Mehlawat (2016), Guo i inni (2016), Saborido i inni (2016) 5. Jedn ze wspólnych cech czcych wszystkie wymienione powyej prace jest stosowanie funkcji przynalenoci zbiorów rozmytych, jako substytutu rozkadu prawdopodobiestwa. Oznacza to, e losowo jest w tych modelach zastpowana przez nieprecyzyjno. Taki paradygmat badawczy zosta sformuowany w pracy Kosko (1990). Prace Piasecki (2011a, 2011b, 2011c), Siwek (2015) i prezentowana praca nie mieszcz si w tym nurcie badawczym, gdy w opisanych tam modelach funkcja przynalenoci nie zastpuje rozkadu prawdopodobiestwa, ale jedynie wchodzi z tym rozkadem w interakcje. To rozszerzenie modelu w istotny sposób wzbogaca moliwo- ci rzetelnego opisu stopy zwrotu. Pomimo uwzgldnienia nieprecyzji w oszacowaniu stopy zwrotu, w zaproponowanym rozmytym modelu mona wykorzysta bez zmian ca bogat empiryczn wiedz zebran na temat rozkadów prawdopodobiestwa stóp zwrotu. Jest to wysoce korzystna cecha zaproponowanego modelu, gdy przyblia moliwo jego realnych zastosowa. Losowo jest w tych modelach wchodzi w interakcj z nieprecyzyjnoci. Podejcie takie jest zgodne z paradygmatem badawczym sformuowanym w pracy Hiroto (1981). W chwili obecnej rozwijane s badania wedug obu wymienionych powyej paradygmatów. Modeli uwzgldniajcych interakcj losowoci z nieprecyzyjnoci jest niestety mniej. Najprawdopodobniej wynika to z faktu wyszej zoonoci matematycznej tych modeli. Na niwie finansów skwantyfikowanych do tego nurtu badawczego moemy zaliczy prace wymienione ju w tym akapicie prace oraz Tsao (2005), Huang (2007a), z czego do analizy portfelowej odnosi si jedynie praca Siwek (2015). Istotnym mankamentem wszystkich cytowanych prac z wyczeniem Siwek (2015) z zakresu rozmytej teorii portfelowej jest zdefiniowanie ex cathedra rozmytej stopy zwrotu z portfela, jako funkcjonau liniowego okrelonego nad wielowymiarow przestrzeni stóp zwrotu z poszczególnych skadników tego portfela. Jedynym uzasadnieniem takiego stanu rzeczy byo mechaniczne uogólnienie modelu Markowitza (1952) do przypadku rozmytego. Proponowane postacie funkcjonau liniowego przypisujcego stopom zwrotu ze skadników portfela stop zwrotu z portfela nie byy uzasadniane drog dedukcji matematycznej. W istotny sposób osabiao to wiarygodno przeprowadzanych oblicze. Gównym celem pracy Siwek (2015) byo porównanie oceny portfela dwuskadnikowego z ocenami jego skadników. W wyniku tej analizy uzyskano bardzo skom- 5 Dobór wymienionych tutaj artykuów autorzy zawdziczaj sugestii jednego z recenzentów, za co w tym miejscu mu dzikuj.

4 62 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek plikowane zalenoci. Skomplikowana posta tych zalenoci uniemoliwiaa dalsz formaln analiz waciwoci portfela. W tej sytuacji ograniczono si do eksperymentu numerycznego. Celem prezentowanej pracy jest przedstawienie alternatywnego podejcia do rozwizania problemu opisanego w Siwek (2015). Do oceny korzyci pyncych z posiadania instrumentu finansowego zostanie tutaj zastosowany rozmyty oczekiwany czynnik dyskonta. Wykorzystany te zostanie to, e kada z trójktnych liczb rozmytych ma ograniczony nonik. Dziki temu tam stosowana miara unormowana bdzie moga by zastpiona przez miar Khalili ego (1979). 2. WYBRANE ELEMENTY TEORII LICZB ROZMYTYCH Za pomoc symbolu oznaczamy rodzin wszystkich podzbiorów rozmytych w prostej rzeczywistej. Dubois, Prade (1979) definiuj liczb rozmyt jako taki podzbiór rozmyty o ograniczonym noniku reprezentowany przez sw funkcj przynalenoci speniajca warunki:, (1). (2) Operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych zostay zdefiniowane w (Dubois, Prade, 1978). Zgodnie z zasad rozszerzenia Zadeha (1965) suma liczb rozmytych reprezentowanych odpowiednio przez swe funkcje przynalenoci jest podzbiorem rozmytym: (3) opisanym przez sw funkcj przynalenoci dan za pomoc tosamoci:. (4) W ten sam sposób, iloczyn liczby rzeczywistej i liczby rozmytej reprezentowanej przez sw funkcj przynalenoci jest podzbiorem rozmytym: (5) opisanym przez sw funkcj przynalenoci dan za pomoc tosamoci:. (6)

5 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 63 Ponadto, jeli, to wtedy iloczyn (5) jest równy dokadnej liczbie zero. Klasa rozmytych liczb rzeczywistych jest zamknita ze wzgldu na operacje (3) i (5). Nasze dalsze rozwaania ograniczymy do liczb rozmytych o ograniczonym noniku. Kada z liczb rozmytych jest informacj o nieprecyzyjnym oszacowaniu rozwaanego parametru. Rozwaajc pojcie nieprecyzyjnoci, moemy wyróni niejednoznaczno informacji oraz nieostro informacji (Klir, 1993). Wieloznaczno informacji interpretujemy tutaj jako brak jednoznacznego wyrónienia rekomendowanego przyblienia parametru. Nieostro informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego rozrónienia pomidzy rekomendowanymi przyblieniami parametru a wartociami wykluczonymi, jako przyblienia tego parametru. Nasilanie si nieprecyzyjnoci kadej informacji obnia jej przydatno. Std powstaje problem oceny nieprecyzyjnoci. Waciwym narzdziem do pomiaru wieloznacznoci liczby rozmytej jest zaproponowana przez de Luca, Terminiego (1979) miara energii. Wobec przyjcia zaoenia o ograniczonym noniku liczby rozmytej, moemy tutaj zrezygnowa ze stosowania znormalizowanej miary sugerowanej w Piasecki (2011c). W naszych rozwaaniach miar energii okrelimy za pomoc miary Khalili ego (1979). Dla dowolnej liczby rozmytej reprezentowanej przez sw funkcj przynalenoci mamy tutaj:. (7) Waciwym narzdziem do pomiaru nieostroci liczby rozmytej jest miara entropii zaproponowana przez de Luca, Terminiego (1972). W naszych rozwaaniach miar energii okrelimy zgodnie z sugestiami Kosko (1986). Dla dowolnej liczby rozmytej mamy tutaj:. (8) Ze wzgldu na dobre syntetyczne uzasadnienie oraz uniwersalizm powyszej zalenoci, zaproponowana przez Kosko miara entropii jest obecnie powszechnie stosowana. Stosujc w tej pracy liczby rozmyte szczególn uwag powiecimy rozmytym liczbom trójktnym. Liczba rozmyta wyznaczona dla dowolnego niemalejcego cigu za pomoc swej funkcji przynalenoci danej za pomoc tosamoci: (9)

6 64 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek jest rozmyt liczb trójktn. Podstawowymi zaletami liczb trójktnych s prostota ich dodawania i mnoenia przez nieujemny skalar oraz prostota pomiaru nieprecyzyjnoci. Dla dowolnej pary rozmytych liczb trójktnych i oraz mamy:, (10), (11). (12) 3. STOPA ZWROTU Z INSTRUMENTU FINANSOWEGO Wszystkie rozwaania w tym i kolejnym rozdziale prowadzi bdziemy dla ustalonego momentu. Rozwaa bdziemy prost stop zwrotu zdefiniowan za pomoc zalenoci:, (13) gdzie: jest FV opisan za pomoc zmiennej losowej, jest PV oszacowan w sposób dokadny lub przybliony. Za Markowitzem (1952) zakadamy, e prosta stopa zwrotu wyznaczona za pomoc (13) dla PV równej cenie rynkowej ma normalny rozkad prawdopodobiestwa. Zmienna losowa FV jest okrelona wtedy za pomoc zalenoci:. (14) W tym artykule zakadamy dodatkowo, e PV jest oszacowana za pomoc rozmytej liczby trójktnej opisanej za pomoc (9) przez sw funkcj przynalenoci. Ograniczenie to pierwotnie zostao zaproponowane przez Kucht (2000) i zostao zastosowane w (Siwek, 2015). Parametry liczby trójktnej zostay tam zinterpretowane s interpretowane w ten sposób, e: jest maksymalnym dolnym oszacowaniem PV, jest minimalnym górnym oszacowaniem PV.

7 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 65 Przykad metody wyznaczania parametrów, przedstawiono w (Piasecki, Siwek, 2015). Parametry,, s zawsze nieujemne. Zgodnie z zasad rozszerzenia Zadeha, prosta stopa zwrotu wyznaczona dla tak oszacowanej PV jest rozmytym y zbiorem probabilistycznym reprezentowanym przez sw funkcj przynalenoci dan jest za pomoc tosamoci:. (15) Zgodnie z (9) powysza funkcja przynalenoci przyjmuje posta: (16) co w równowanej postaci moemy zapisa jako: (17) W tej sytuacji oczekiwana stopa zwrotu jest liczb rozmyt dan za pomoc swej funkcji przynalenoci okrelonej przez tosamo: (18)

8 66 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek Czynnik dyskontujcy wyznaczony za pomoc stopy zwrotu jest okrelony przez zaleno:. (19) W tej sytuacji funkcja okrelona za pomoc tosamoci: (20) jest funkcj przynalenoci czynnika dyskonta wyznaczonego za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Powyszy czynnik dyskontujcy nazywa bdziemy oczekiwanym czynnikiem dyskonta. Zestawiajc razem (18) i (20) otrzymujemy: (21) gdzie jest czynnikiem dyskontujcym wyznaczonym za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Stosujc elementarne przeksztacenia, funkcj przynalenoci przeksztacamy do postaci: (22) atwo mona dostrzec, e wyznaczony y powyej oczekiwany czynnik dyskonta jest rozmyt liczb trójktn. Wzrost wieloznacznoci oczekiwanego czynnika dyskonta oznacza, e wzrasta bdzie ilo alternatywnych rekomendacji inwestycyjnych. Powoduje to wzrost ryzyka wybrania sporód rekomendowanych alternatyw takiej decyzji finansowej, która ex post zostanie obarczona strat utraconych szans. Ten rodzaj ryzyka nazywamy ryzykiem wieloznacznoci. Ryzyko wieloznacznoci obarczajce oczekiwany czyn-

9 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 67 nik dyskonta ocenia bdziemy za pomoc miary energii. Zgodnie z (11), miara ta jest równa:. (23) Wzrost nieostroci oczekiwanego czynnika dyskonta oznacza zacieranie si granic wyróniajcych rekomendowane alternatywy decyzyjne. Powoduje to wzrost ryzyka wyboru decyzji nierekomendowanej. Ten rodzaj ryzyka nazywamy ryzykiem nieostro- ci. Ryzyko nieostroci obarczajce oczekiwany czynnik dyskonta ocenia bdziemy za pomoc miary entropii. Zgodnie z (12), miara ta jest staa. Oddziaywujce wspólnie ryzyko wieloznacznoci i ryzyko nieostroci nazywamy ryzykiem nieprecyzyjnoci. W kadym z rozpatrywanych przez nas przypadków stopa zwrotu bya funkcj FV, która ze swej natury jest niepewna, na co ju wskazano w Rozdziale 1. Niepewno ta przenosi si na ocen stopy zwrotu i jest odzwierciedleniem braku wiedzy o przyszych stanach rynku finansowego. Brak tej wiedzy powoduje brak pewnoci u inwestora, co do przyszych zysków lub strat. Wzrost niepewnoci wywouje wzrost ryzyka podjcia decyzji nietrafnej. Ten rodzaj ryzyka nazywamy ryzykiem niepewnoci. W naszym modelu ryzyko niepewnoci ocenia bdziemy za pomoc wariancji stopy zwrotu. Formalna prostota uzyskanych opisów oczekiwanego czynnika dyskonta zachca do jego zastosowania, jako narzdzia analizy portfelowej. Kryterium maksymalizacji oczekiwanej stopy zwrotu zostanie wtedy zastpione kryterium minimalizacji oczekiwanego czynnika dyskonta. W przypadku nierozmytych wartoci obu tych parametrów s to kryteria równowane. 4. PORTFEL DWUSKADNIKOWY Poprzez portfel finansowy rozumie dowolny, skoczenie elementowy zbiór instrumentów finansowych. Kady z tych instrumentów finansowych jest charakteryzowany przez sw oszacowan warto biec i przewidywan stop zwrotu. Rozwamy teraz przypadek dwuskadnikowego portfela, zoonego z instrumentów finansowych i. Za Markowitzem (1952) zakadamy, e dla kadego instrumentu znamy rozkad prawdopodobiestwa prostej stopy zwrotu wyznaczonej za pomoc (13) dla PV równej cenie rynkowej. Identycznie jak Markowitz, zakadamy, e dwuwymiarowa zmienna losowa ma czny rozkad normalny, gdzie macierz kowariancji przyjmuje posta:. (24)

10 68 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek Kademu instrumentowi przypisujemy wtedy jego FV okrelona za pomoc zalenoci:. (25) Udzia instrumentu w portfelu jest okrelony przez zaleno: FV portfela wtedy wynosi:. (26), (27) gdzie: (28) jest stop zwrotu z portfela. Oczekiwana stopa zwrotu z portfela jest wtedy równa:. (29) Zaómy, e dla, PV instrumentu jest okrelona, jako trójktna liczba rozmyta opisana w poprzednim rozdziale. Dziki (22), wszystkie te dane pozwalaj przypisa instrumentowi finansowemu oczekiwany czynnik dyskonta:, (30) gdzie jest czynnikiem dyskontujcym wyznaczonym za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Zgodnie z (23), miara energii tej liczby rozmytej jest równa:. (31) Stosujc (10) mona wykaza, e PV portfela jest opisana, jako trójktna liczba rozmyta:. (32) Stosujc (22), portfelowi przypisujemy oczekiwany czynnik dyskonta:, (33)

11 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 69 gdzie jest czynnikiem dyskontujcym wyznaczonym za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Bezporednio z (29) wynika warunek: dziki któremu kolejno otrzymujemy:, (34), (35), (36) Nastpnie, zestawiajc razem (10), (22) i (33) (37) wnioskujemy, e:. (37). (38) Biorc pod uwag powysz zaleno oraz (10) i (11), ostatecznie otrzymujemy, e miara energii oczekiwanego czynnika dyskonta spenia warunek:. (39) Zatem miara energii oczekiwanego czynnika dyskonta portfela jest redni waon miar energii oczekiwanych czynników dyskonta skadników tego portfela. Wagi przypisane poszczególnym skadnikom s wprost proporcjonalne do ich udziau w portfelu i odwrotnie proporcjonalne do ich czynnika dyskonta. Oznacza to, e dc do minimalizacji ryzyka wieloznacznoci portfela powinnimy przede wszystkim minimalizowa ryzyko wieloznacznoci tych jego skadników, które charakteryzuj si najwyszymi oczekiwanymi stopami zwrotu, gdy zgodnie z zasadami analizy portfelowej, wartoci udziaów s okrelane post factum, po zebraniu dostpnych informacji na temat skadników portfela. Warunek (39) pokazuje, e w rozwaanym przypadku dywersyfikacja portfela jedynie urednia ryzyko wieloznacznoci. Zgodnie z (12), miara entropii oczekiwanego czynnika dyskonta portfela jest równa mierze entropii kadego z oczekiwanych czynników dyskonta skadników

12 70 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek tego portfela. W ten sposób warunek (12) wskazuje, e w omawianym przypadku dywersyfikacja portfela nie zmienia ryzyka nieostroci. Wariacja stopy zwrotu z portfela wynosi:. (40) Korzystajc z tej powszechnie znanej zalenoci Markowitz wykaza, e istnieje moliwo skonstruowania portfela takiego, e wariancja jego stopy zwrotu bdzie mniejsza od kadej wariancji stopy zwrotu ze skadnika tego portfela. W ten sposób Markowitz wykaza, e dywersyfikacja portfela moe suy minimalizacji ryzyka niepewnoci. 5. STUDIUM PRZYPADKU Portfel skadamy z instrumentów finansowych i. PV instrumentu jest okrelona za pomoc trójktnej liczby rozmytej. Wykres funkcji przynalenoci tej liczby zosta przedstawiony na rysunku 1. Rysunek 1. Funkcje przynalenoci PV instrumentów finansowych i i portfela ródo: opracowanie wasne. Przewidywana stopa zwrotu z instrumentu jest zmienn losow z rozkadem normalnym. Wtedy, zgodnie z (18), oczekiwana stopa zwrotu z instrumentu jest liczb rozmyt dan za pomoc swej funkcji przynalenoci okrelonej przez tosamo:

13 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 71 (41) i przedstawionej na rysunku 2. atwo mona dostrzec, e tak okrelona oczekiwana stopa zwrotu nie jest rozmyt liczb trójktn. Rysunek 2. Funkcje przynalenoci oczekiwanych stóp zwrotu i ródo: opracowanie wasne. Nastpnie, wyliczamy oczekiwany czynnik dyskonta wyznaczony za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Zgodnie z (19) i (33), mamy tutaj:. (42) Wykres funkcji przynalenoci oczekiwanego czynnika dyskontujcego zosta przedstawiony na rysunku 3. Korzystajc z (23) wyznaczamy miar energii tego czynnika:. (43)

14 72 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek Rysunek 3. Funkcje przynalenoci oczekiwanych czynników dyskonta, i ródo: opracowanie wasne. PV instrumentu jest okrelona jako trójktna liczba rozmyta. Wykres funkcji przynalenoci tej liczby zosta przedstawiony na rysunku 1. Przewidywana stopa zwrotu z instrumentu jest zmienn losow z rozkadem normalnym. Wtedy, zgodnie z (18), oczekiwana stopa zwrotu z instrumentu jest liczb rozmyt dan za pomoc swej funkcji przynalenoci okrelonej przez tosamo: (44) i przedstawionej na rysunku 2. atwo mona dostrzec, e take tutaj oczekiwana stopa zwrotu nie jest rozmyt liczb trójktn. Nastpnie, wyliczamy oczekiwany czynnik dyskonta wyznaczony za pomoc oczekiwanej stopy zwrotu. Zgodnie z (19) i (33), mamy tutaj. (45)

15 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 73 Wykres funkcji przynalenoci oczekiwanego czynnika dyskontujcego zosta przedstawiony na rysunku 3. Korzystajc z (23) wyznaczamy miar energii tego czynnika:. (46) Zgodnie z (10), PV portfela jest trójktn liczb rozmyt:. (47) Warto t wyznaczamy jedynie w celach pogldowych. Wykres funkcji przynaleno- ci tej liczby zosta przedstawiony na rysunku 1 w celu porównania PV portfela z PV jego skadników i. Zgodnie z (26), udziay i odpowiednio instrumentów finansowych i w portfelu s równe:. (48) Portfelowi przypisujemy oczekiwany czynnik dyskonta. Zgodnie z (38), czynnik ten jest nastpujcej liczbie rozmytej: (49). Wykres funkcji przynalenoci oczekiwanego czynnika dyskontujcego zosta przedstawiony na rysunku 3. Miar energii tego czynnika moemy teraz wyznaczy za pomoc (39) w nastpujcy sposób:. (50)

16 74 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek Zgodnie z tym, co przewidziano ju w Rozdziale 4, mamy tutaj:. (51) Zatem utworzenie portfela urednio ponoszone ryzyko wieloznacznoci. czny rozkad wektora stóp zwrotu ze skadników portfela jest rozkadem normalnym, gdzie macierz kowariancji ma posta:. (52) Korzystajc z (40), wyznaczamy wariancj stopy zwrotu:. (53) Oznacza to, e utworzenie portfela zminimalizowao ponoszone ryzyko niepewnoci. Zgodnie z (12), ponoszone ryzyko niepewnoci nie ulego zmianie. 6. PODSUMOWANIE Przeprowadzone badania wskazuj na fakt, e istniej efektywne metody portfelowego zarzdzania ryzykiem nieprecyzyjnoci majcym swoj przyczyn w przybli- onym oszacowaniu PV poszczególnych skadników portfela. Przedmiotem badania by tutaj portfel dwuskadnikowy zoony ze skadników majcych PV oszacowane, jako trójktne liczby rozmyte. Dla tego przypadku portfela wykazano, e: dywersyfikacja portfelowa moe zmniejszy ryzyko niepewnoci; dywersyfikacja portfelowa urednia ryzyko wieloznacznoci; dywersyfikacja portfelowa nie ma wpywu na ryzyko nieostroci. Oznacza to, e istniej portfele obarczone nieusuwalnym drog dywersyfikacji takim ryzykiem, które jest nieusuwalne drog dywersyfikacji portfelowej. W badanym przypadku wykazano te, e dywersyfikacja portfelowa nie zwiksza ryzyka nieprecyzyjnoci. Oznacza to, e zmniejszenie ryzyka niepewnoci nie wywouje powikszenia si ryzyka nieprecyzji. Fakt braku wpywu dywersyfikacji portfelowej na ryzyko nieostroci moe stanowi istotn wad modelu opisanego w tej pracy. ródo tej wady jest oczywiste. Wszystkie rozmyte liczby trójktne maj identyczn miar entropii. W tej sytuacji rodzi si postulat opisu PV za pomoc wybranej klasy liczb rozmytych o zmiennej mierze entropii. Najbardziej oczywistym przykadem takiej klasy liczb s rozmyte liczby trapezoidalne. W tej pracy i w Siwek (2015) rozwaano identyczny przypadek problemu zarzdzania ryzykiem nieprecyzji. Obie prace w diametralny sposób róni si sposobem podejcia do tego problemu. W Siwek (2015) powysze wnioski uzyskano jedynie

17 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 75 dla pojedynczego studium przypadku bdcego eksperymentem numerycznym. Tutaj, stosujc alternatywne podejcie, te wnioski uzyskalimy drog dedukcji formalnej dla dowolnego portfela dwuskadnikowego zoonego ze skadników majcych PV oszacowane, jako trójktne liczby rozmyte. Pozwala to wykaza przewag poznawcz zastosowanego tutaj alternatywnego podejcia nad podejciem zastosowanym w Siwek (2015). Uzyskane powyej wyniki bada zachcaj do ich kontynuacji. Sugerowanym kierunkiem przyszych bada moe by uogólnienie przedstawienia wartoci biecej na przypadek rozmytej liczby trapezoidalnej. Stosujc indukcj matematyczn, wszystkie uzyskiwane t drog wyniki mona bdzie uogólni do przypadku portfela n-skadnikowego. LITERATURA Buckley I. J., (1987), The Fuzzy Mathematics of Finance, Fuzzy Sets and Systems, 21, Caplan B., (2001), Probability, Common Sense, and Realism: a Reply to Hulsmann and Block, The Quarterly Journal of Austrian Economics, 4 (2), Chiu, C. Y., Park, C. S., (1994), Fuzzy Cash Flow Analysis Using Present Worth Criterion, The Engineering Economist, 39 (2), Czerwiski Z., (1960), Enumerative Induction and the Theory of Games, Studia Logica, 10, Czerwiski Z., (1969), Matematyka na usugach ekonomii, PWN, Warszawa. Duan L., Stahlecker P., (2011), A Portfolio Selection Model Using Fuzzy Returns, Fuzzy Optimization and Decision Making, 10 (2), Dubois D., Prade H., (1978), Operations on Fuzzy Numbers, International Journal of Systems Science 9, Dubois D., Prade H., (1979), Fuzzy Real Algebra: Some Results, Fuzzy Sets and Systems, 2, Fang Y., Lai K. K., Wang S., (2008), Fuzzy Portfolio Optimization. Theory and Methods, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 609, Springer, Berlin. Greenhut J. G., Norman G., Temponi C. T., (1995), Towards a Fuzzy Theory of Oligopolistic Competition, IEEE Proceedings of ISUMA-NAFIPS, Guo S., Yu L., Li X., Kar S., (2016), Fuzzy Multi-Period Portfolio Selection with Different Investment Horizons, European Journal of Operational Research, 254 (3), Gupta P., Mehlawat M. K., Inuiguchi M., Chandra S., (2014), Fuzzy Portfolio Optimization. Advances in Hybrid Multi-criteria Methodologies, Studies in Fuzziness and Soft Computing, 316, Springer, Berlin. Gutierrez I., (1989), Fuzzy Numbers and Net Present Value, Scandinavian Journal of Management, 5 (2), Hiroto K., (1981), Concepts of Probabilistic Sets, Fuzzy Sets and Systems, 5, Huang X., (2007a), Two New Models for Portfolio Selection with Stochastic Returns Taking Fuzzy Information, European Journal of Operational Research, 180 (1), Huang X., (2007b), Portfolio Selection with Fuzzy Return, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 18 (4), Khalili S., (1979), Fuzzy Measures and Mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 68, Klir G. J., (1993), Developments In Uncertainty-Based Information, Advances in Computers, 36, Knight F. H., (1921), Risk, Uncertainty, and Profit, Hart, Schaffner & Marx, Houghton Mifflin Company, Boston, MA.

18 76 Krzysztof Piasecki, Joanna Siwek Kolmogorov A. N., (1933), Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Julius Springer, Berlin. Kolmogorov A. N., (1956), Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York. Kosko B., (1986), Fuzzy Entropy and Conditioning, Information Sciences, 40, Kosko B., (1990), Fuzziness vs Probability, International Journal of General Systems, 17 (2/3), Kuchta D., (2000), Fuzzy Capital Budgeting, Fuzzy Sets and Systems, 111, Lambalgen M. von, (1996), Randomness and Foundations of Probability: Von Mises Axiomatization of Random Sequences, Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes Monograph Series 30, Lesage C., (2001), Discounted Cash-Flows Analysis. An Interactive Fuzzy Arithmetic Approach, European Journal of Economic and Social Systems, 15 (2), Li Ch., Jin J., (2011), Fuzzy Portfolio Optimization Model with Fuzzy Numbers, w: Li S., Wang X., Okazaki Y., Kawabe J., Murofushi T., Guan L., (red.), Nonlinear Mathematics for Uncertainty and its Applications, Advances in Intelligent and Soft Computing, 100, Liu Y.-J., Zhang W.-G., (2013), Fuzzy Portfolio Optimization Model Under Real Constraints, Insurance: Mathematics and Economics, 53 (3), de Luca A., Termini S., (1972), A Definition of a Non-Probabilistic Entropy in The Settings of Fuzzy Set Theory, Information and Control, 20, de Luca A., Termini S., (1979), Entropy And Energy Measures Of Fuzzy Sets, w: Gupta M. M., Ragade R. K., Yager R. R., (red.), Advances in Fuzzy Set Theory and Applications, Markowitz H. S. M., (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1), Mehlawat M. K., (2016), Credibilistic Mean-Entropy Models for Multi-Period Portfolio Selection with Multi-Choice Aspiration Levels, Information Science, 345, Mises R. von, (1957), Probability, Statistics And Truth, The Macmillan Company, New York. Mises L. von, (1962), The Ultimate Foundation of Economic Science an Essay on Method, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton. Piasecki K., (2011a), Rozmyte zbiory probabilistyczne, jako narzdzie finansów behawioralnych, Wyd. UE, Pozna. Piasecki K., (2011b), Effectiveness of Securities with Fuzzy Probabilistic Return, Operations Research and Decisions, 21 (2), Piasecki K., (2011c), Behavioural Present Value, SSRN Electronic Journal, DOI: /ssrn Piasecki K., (2014b), Behawioralna warto bieca nowe podejcie, Optimum Studia Ekonomiczne 67, Piasecki K., Siwek J., (2015), Behavioural Present Value Defined as Fuzzy Number a New Approach, Folia Oeconomica Stetinensia, 15 (2), Saborido R., Ruiz A. B., Bermúdez J. D., Vercher E., Luque M., (2016), Evolutionary Multi-Objective Optimization Algorithms for Fuzzy Portfolio Selection, Applied Soft Computing, 39, Sadowski W., (1977), Decyzje i prognozy, PWN, Warszawa. Sadowski W., (1980), Forecasting and Decision Making, Quantitative Wirtschafts- und Unternehmensforschung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Sheen J. N., (2005), Fuzzy Financial Profitability Analyses Of Demand Side Management Alternatives From Participant Perspective, Information Sciences, 169, Siwek J., (2015), Portfel dwuskadnikowy studium przypadku dla wartoci biecej danej jako trójktna liczba rozmyta, Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach 241, Tsao C.-T., (2005), Assessing the Probabilistic Fuzzy Net Present Value For a Capital, Investment Choice Using Fuzzy Arithmetic, Journal of Chinese Insitute of Industrial Engineers, 22 (2), Ward T. L., (1985), Discounted Fuzzy Cash Flow Analysis, 1985 Fall Industrial Engineering Conference Proceedings,

19 Portfel dwuskadnikowy z trójktnymi rozmytymi wartociami biecymi podejcie alternatywne 77 Wu X.-L., Liu Y. K., (2012), Optimizing Fuzzy Portfolio Selection Problems by Parametric Quadratic Programming, Fuzzy Optimization and Decision Making, 11 (4), Zadeh L., (1965), Fuzzy Sets, Information and Control, 8, Zhang X., Zhang W.-G., Xiao W., (2013), Multi-Period Portfolio Optimization under Possibility Measures, Economic Modelling, 35, PORTFEL DWUSKADNIKOWY Z TRÓJKTNYMI ROZMYTYMI WARTOCIAMI BIECYMI PODEJCIE ALTERNATYWNE Streszczenie Gówny celem jest przedstawienie waciwoci portfela dwuskadnikowego dla przypadku, kiedy warto bieca jest oszacowana za pomoc trójktnej liczby rozmytej. Wyznaczone zostay rozmyty oczekiwany czynnik dyskonta z portfela oraz oceny ryzyka nieprecyzyjnoci obciajcego ten portfel. Dziki temu zosta opisany wpyw dywersyfikacji portfelowej na ryzyko nieprecyzyjnoci. Sowa kluczowe: portfel dwuskadnikowy, warto bieca, trójktn liczba rozmyta, czynnik dyskonta TWO-ASSET PORTFOLIO WITH TRIANGULAR FUZZY PRESENT VALUES AN ALTERNATIVE APPROACH Abstract The main purpose of this article is to present characteristics of a two-asset portfolio in case of present values of assets being given by a triangular fuzzy number. Fuzzy expected discounting factor for a portfolio and imprecision risk assessments for the imprecision burdening a portfolio were appointed throughout the paper. Thanks to this, the influence of portfolio diversification on an imprecision risk was analyzed and some interesting conclusions were stated. Keywords: two-asset portfolio, present value, triangular fuzzy number, discounting factor

20