WYBÓR ROZKŁADU ODDZIAŁYWAŃ KLIMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM METODY BAYES A

Transkrypt

1 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (/I/6), styczeń-marzec 06, s Tomasz PYTLOWANY Szczepan WOLIŃSKI WYBÓR ROZKŁADU ODDZIAŁYWAŃ KLIMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM METODY BAYES A Wybór typu zmienne losowe na podstawie wyników badań polega naczęście na aproksymaci parametrów przyętego rozkładu. Jednak dostępne wyniki badań lub obserwaci często nie pozwalaą na dostatecznie precyzyne dopasowanie ednego z powszechnie stosowanych typów rozkładu zmienne losowe. W artykule przedstawiono metodę opartą na wnioskowaniu Bayesa, która umożliwia oszacowanie miary dopasowania i optymalnego wyboru ednego z typowych rozkładów zmienne losowe oraz wyznaczenie dystrybuanty liniowe kombinaci testowanych rozkładów. Zastosowanie przedstawione metody zilustrowano na przykładzie oceny i wyboru dystrybuanty rozkładu reprezentuącego obciążenie śniegiem gruntu oraz wyznaczenia kombinaci testowanych rozkładów w celu określenia wartości charakterystyczne obciążenia śniegiem dla przyętego okresu powrotu. Słowa kluczowe: oddziaływania klimatyczne, obciążenie śniegiem, metoda Bayesa. Wstęp Analizuąc prognozy oddziaływań klimatycznych oparte na modelach statystycznych, w których wartości oddziaływań są traktowane ako realizace zmienne losowe, obserwue się często znaczne rozbieżności z wynikami pomiarów. Ponadto w zależności od przyętego typu rozkładu zmienne losowe uzyskue się bardzo zróżnicowane wyniki prognoz dla dłuższych okresów powrotu szacowanych oddziaływań. Związane est to ze stosunkiem wymiaru przestrzeni obserwaci do wymiaru przestrzeni parametrów []. W przypadku oddziaływań klimatycznych do dyspozyci są naczęście obserwace z kilkunastu lat, a parametry statystyczne modeli standardowych używanych do analiz są Autor do korespondenci/corresponding author: Tomasz Pytlowany, Instytut Politechniczny, PWSZ im. St. Pigonia w Krośnie, Krosno, ul Rynek, , tompyt@pwsz.krosno.pl Szczepan Woliński, Wydział Budownictwa Inżynierii Środowiska i Architektury, Politechnika Rzeszowska im. I. Łukasiewicza, Rzeszów, ul. Poznańska, , szwolkkb@prz.edu.pl

2 44 T. Pytlowany, Sz. Woliński ściśle związane z długością analizowanego szeregu wyników obserwaci oraz liczbą opóźnień w wymiarze funkci autokorelaci. Zagadnienie prognozowania sprowadza się w takich sytuacach do wnioskowania statystycznego opartego na aproksymaci asymptotyczne. Kluczowe znaczenie ma wówczas wnioskowanie w zakresie niepewności co do prawidłowego przebiegu ścieżek prognozy wykonane z wykorzystaniem różnych modeli (rozkładów prawdopodobieństwa zmienne losowe).z punktu widzenia wyboru właściwego modelu statystycznego ważnym zagadnieniem est problem wyboru metody estymaci parametrów modelu. Naczęście stosowane są metody nawiększe wiarygodności i metoda momentów, a sporadycznie inne metody. Natomiast powszechnie przymowane są standardowe modele w postaci zmiennych losowych: Gumbela, logarytmiczno-normalnych, normalnych, niekiedy gamma, Rayleigha, wykładniczych i innych [,]. W artykule skupino uwagę na dwóch zagadnieniach związanych z problematyką prognozowania oddziaływań klimatycznych. Pierwsze dotyczy uzasadnienia wyboru modeli rozważanych oddziaływań w postaci zmienne losowe o różnym rozkładzie prawdopodobieństwa i estymaci e parametrów z wykorzystaniem metody Bayesa [3,4]. Zakładaąc, że dostępna est wstępna informaca na temat wartości estymowanych parametrów i znane są dodatkowe wyników pomiarów, obliczono na podstawie twierdzenia Bayesa ich wartości a posteriori i wagi traktowane ako miara dopasowania rozważanych rozkładów zmienne losowe. Drugie zagadnienie wiąże się zastosowaniem autorskie procedury wyznaczenia modelu będącego kompilacą modeli standardowych z wykorzystaniem ich wag obliczonych metodą Bayesa. Rozważania zilustrowano przykładem zastosowania przyęte metody i procedury obliczeń do wyboru modelu obciążenia śniegiem gruntu na podstawie danych z wybrane staci meteorologiczne na terenie Polski.. Zastosowanie wnioskowania statystycznego do szacowani parametrów standardowych modeli oddziaływań Rozkład empiryczny w przypadku danych klimatycznych powstae ze zbioru maksymalnych wartości rocznych, sezonowych, dziennych itp.. W przypadku obciążenia śniegiem gruntu maksima roczne są uszeregowane w ciągu rosnącym. Do aproksymaci stosowane są się różne typy rozkładów teoretycznych. Są to zazwycza rozkłady wartości ekstremalnych: Gumbela (typ I), Frecheta i Weibulla lub rozkład logarytmiczno-normalny. Naczęście stosowanym rozkładem do szacowania oddziaływań klimatycznych est rozkład Gumbela [,5]. Na rys. oraz przedstawiono wykres funkci gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty rozkładu Gumbela o parametrach oszacowanych metodą nawiększe wiarygodności oraz wartości dystrybuanty empiryczne dla danych ze staci znaduące się w pierwsze strefie obciążenia śniegiem (Olsztyn, , [4]).

3 Wybór rozkładu oddziaływań klimatycznych z wykorzystaniem metody Bayes a 45,5,5 funkca gęstości prawdopodobieństwa Gumbela dystrubuanta gumbelowska dystrybuanta empiryczna 0,75 0,5 0,5 S k [kn/m ] 0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,3,4,5,6,7,8 Rys.. Metoda analityczna w szacowaniu obciążenia śniegiem gruntu. Opracowanie własne Fig. Analytical method for estimating snow loads on the ground. Individual elaboration Szacowanie wartości oddziaływań o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia est z punktu widzenia zastosowań zagadnieniem naważnieszym i umożliwia wyznaczenie wartości maksymalnych obciążeń klimatycznych oraz opracowanie map ryzyka dla obszarów narażonych na zdarzenia katastrofalne spowodowane żywiołami powietrza i wody. W praktyce są one estymowane z wykorzystaniem maksymalnych wartości rocznych. Przy doborze odpowiedniego rozkładu szczególną uwagę należy zwrócić na estymacę ogona rozkładu po stronie wartości większych od parametru pozyci rozkładu. To w nim zawarta est informaca o oddziaływaniach maących długi okres powtarzalności. W przypadku szacowania oddziaływań za pomocą rozkładów: Gumbela (typ I), Frecheta i Weibulla należy zwrócić uwagę na parametr skali, który przymue różne wartości dla wymienionych rozkładów ekstremalnych (EVT). W opracowaniach naukowych dotyczących metod estymaci maksymalnych wartości rocznych odnaleźć można kilka testów do weryfikaci hipotez dotyczących rozróżnienia pomiędzy przypadkami gdy parametr skali est równy zeru oraz gdy przymue wartości powyże bądź poniże zera. Ma to znaczenie przy odpowiednim doborze rozkładów z rodziny EVT [9]. W ninieszym artykule skupiono uwagę na niepewności statystyczne wynikaące z niepełne informaci związane z wynikami obserwaci. Zgodnie z bayesowską koncepcą wnioskowania założono, że znana est wstępna informaca (a priori) dotycząca wartości cech estymowanych parametrów rozkładów. Wiedza ta est następnie modyfikowana na podstawie wyników obserwaci. Na podstawie twierdzenia Bayesa, z którego można określić rozkład parametrów a posteriori uwzględniaący początkowe przekonania a priori w stosunku do posiadanych danych empirycznych [3].

4 46 T. Pytlowany, Sz. Woliński 3. Zastosowanie wnioskowania Bayesa do estymaci parametrów i wyboru modelu oddziaływań Podstawowym założeniem charakteryzuącym wnioskowanie Bayesa est uznanie ocenianych parametrów modeli statystycznych za zmienne losowe o rozkładach prawdopodobieństwa ustalanych a priori, z wykorzystaniem niepewne wiedzy eksperckie, które są następnie modyfikowane na podstawie wyników badań. Wnioskowanie Bayesa umożliwia ponadto formalne porównanie ułatwiaące wybór miarodanego typu rozkładu, a także utworzenie modeli będących kombinacą różnych rozkładów tworzącą rozkład nalepie dopasowany do wyników badań doświadczalnych lub obserwaci. Twierdzenie Bayesa przystosowane do oceny rozkładu prawdopodobieństwa parametrów θ = θ,..., θ ) można zapisać w postaci [3,4]: ( d l( xθ ) π ( θ ) l( xθ ) π ( θ ) π ( θ x) = = l( xθ ) π ( θ ) dθ π ( x) b () gdzie: l( xθ) - funkca wiarygodności ze zbioru obserwaci x=(x,...,x n ), gdy wektor parametrów θ = ( θ,..., θ d ) est podany, π (θ ) - zbiór prawdopodobieństw a priori θ = ( θ,..., θ d ) przed uzyskaniem obserwaci x=(x,...,x n ), π( θ x) -zbiór prawdopodobieństw a posteriori θ = ( θ,..., θ d ) po analizie wyników obserwaci x=(x,...,x n ), π ( x) - brzegowe gęstości obserwaci x=(x,...,x n ). Funkca wiarygodności l ( xθ) reprezentue nieodłączną niepewność związaną ze zmienną losową X dla danego wektora θ [5], podczas gdy zbiory π (θ ) oraz π ( θ x) reprezentuą statystyczną niepewność poszczególnych parametrów rozkładów prawdopodobieństw w wektorze θ [3, 4]. Jeśli dowolna zmienna losowa X o gęstości prawdopodobieństwa l ( xθ) est zależna od wektora parametrów θ, to funkcę wiarygodności dla przyętego rozkładu l ( x,... x n θ) niezależnych obserwaci x=(x,,x n ) można zapisać w następuące formie [3,4]: n n x i θ i= l ( xθ) = l( x,..., x θ) = l( ) () Twierdzenie Bayesa w postaci () można wykorzystać do określenia wag, umożliwiaących ocenę dopasowania przyętych rozkładów prawdopodobieństwa do wyników obserwaci przy uwzględnieniu niepewności statystycznych związanych z ego wyborem. Oznaczaąc przez H hipotezę, że przyęty a priori rozkład prawdopodobieństwa zmienne losowe X i zbiór wyników obserwaci

5 Wybór rozkładu oddziaływań klimatycznych z wykorzystaniem metody Bayes a 47 θ są zgodne, brzegowy rozkład prawdopodobieństwa zmienne π ( x H ) można aproksymować za pomocą wzoru [3]: d d log( π ( x H )) log(π ) log( n) + log( l( x ˆ, θ H )) (3) A wartości wag dla przyętych rozkładów prawdopodobieństwa można obliczyć według formuły: d n w[ H l( xθ )] = l( x ˆ, θ H) (4) π gdzie: n liczba wyników obserwaci, d liczba estymowanych parametrów, ocena estymowanego parametru. 4. Przykład Przedstawiona w artykule metoda i procedura obliczeń mogą być zastosowane do oszacowania wagi, dopasowania przyętego rozkładu prawdopodobieństwa do danych obserwowanych z uwzględnieniem niepewności statystycznych oraz do wyznaczenia dystrybuanty rozkładu będącego kombinacą przyętych rozkładów standardowych uwzględnieniem niepewności modelowe. Na podstawie procedur przedstawionych w punkcie 3 ninieszego artykułu napisano program w ęzyku programowania statystycznego R [5]. Program oblicza wagi, które określaą stopień dopasowania rozważanego rozkładu do wyników obserwaci, z uwzględnieniem niepewności statystycznych i współrzędne rozkładu będącego kombinacą rozważanych rozkładów, z uwzględnieniem niepewności modelowe. Na rys. przedstawiono wykresy dystrybuant 9 przyętych rozkładów prawdopodobieństwa o parametrach oszacowanych metodą nawiększe wiarygodności z wykorzystaniem środowiska do obliczeń statystycznych R i procedurę optim do minimalizaci funkci wiarygodności [5], a także dystrybuantę empiryczną obciążenia śniegiem gruntu dla wyników obserwaci ze staci meteorologiczne zlokalizowane w pierwsze strefie obciążenia śniegiem (Wrocław, [4]).

6 48 T. Pytlowany, Sz. Woliński Rys.. Dystrybuanty analizowanych rozkładów prawdopodobieństwa i dystrybuanta empiryczna Fig.. Cumulative distribution of the analyzed probability distributions and empirical cumulative distribution Wykres dystrybuanty a posteriori uzyskane ako kombinaca dziewięciu przyętych a priori rozkładów standardowych zmiennych losowych przedstawiono na tle dystrybuanty empiryczne na rys.3. Obliczenia wykonano przy założeniu, że wagi rozkładówa priori są ednakowe i równe /9, a wagi rozkładów a posteriori można oszacować dla = 9, według wzoru (4), który po przekształceniu ma następuąca postać: ( ) ) ( ) ( ) ( 9 9 )] ( [ / 9 / 9 / / y l n y l n y l n y l n x l w H d d d d = = = = π π π π θ (5) gdzie: l (y) maksymalna wartość funkci wiarygodności.

7 Wybór rozkładu oddziaływań klimatycznych z wykorzystaniem metody Bayes a 49 Rys.3. Dystrybuanta kombinaci rozkładów prawdopodobieństwa i dystrybuanta empiryczna Fig. 3. Cumulative distribution of the combination of probability distributions and empirical cumulative distribution Należy zauważyć, że pomimo odmiennych kształtów rozkładów apriorycznych, na rozkład aposterioryczny est związany z funkcą wiarygodności z próby i zależy od informaci uzyskanych drogą empiryczną. W celu ustalenia wartości obciążeń klimatycznych do obliczeń konstrukci na obiektów budowlanych szacue się ich statystycznie uzasadnione wartości, które mogą być przewyższone z określonym prawdopodobieństwem, tzn. kwantyle rozkładu maksimów rocznych obliczone na podstawie wyników pomiarów [,7,8]. W normie [7] zdefiniowano wartość charakterystyczną oddziaływania zmiennego ako kwantyl rzędu p losowych maksimów o okresie powrotu T. Wartość charakterystyczna obciążenia śniegiem gruntu est kwantylem rzędu p=0,0, co korespondue z okresem powrotu oddziaływania T=50 lat [8]. Zakładaąc równe wartości wag a priori dla wszystkich przyętych rozkładów w = /9, =,,,9 za pomocą autorskiego programu z wykorzystaniem aplikaci statystyczne wykonane w programie do analiz statystycznych R, obliczono ich wagi a posteriori. Na rys. 4 przedstawiono prognozowane wartości obciążenia charakterystycznego śniegiem gruntu, dla poszczególnych rozkładów oraz ich kombinaci bayesowskie, dla p=0,0 i okres powrotu T =50 lat, wraz z przypisanymi im wagami.

8 50 T. Pytlowany, Sz. Woliński Rys. 4. Wykres radarowy prognozy wartości charakterystyczne obciążenia śniegiem gruntu z wagami odpowiadaącymi poszczególnym rozkładom prawdopodobieństwa Fig. 4. Radar chart of the forecasts of the characteristic value of the snow load on the ground with weights corresponding to each probability distribution Nawiększe wagi a posteriori uzyskały w koleności następuące rozkłady: kombinaca bayesowska (,0), Exponential (0,5859), Gamma (0,005), Generalised extreme value (0,0796), Weibull (0,076), Lognormal (0,076), Gumbela (0,0456), Generalised gamma (0,0434), Rayleight (0,0008) i Normal (0,0000). Prognoza wartości obciążenia charakterystycznego dla p=0,0 i T=50 lat wskazue, że stopień dopasowania wyników obserwaci do funkci rozkładu naczęście stosowanych zmiennych losowych prowadzi do wyników zbieżnych z kombinacą bayesowską edynie w odniesieniu do rozkładu o wyraźnie dominuące wartości wagi. Dla rozkładu wykładniczego (Exponential) waga wynosi 0,5859, a wartość obciążenia charakterystycznego S k =,06 kn/m, a dla rozkładu wg kombinaci bayesowskie,03 kn/m.w przypadku pozostałych rozkładów o wartości wag do około 0,0 wartości S k nie wykazuą korelaci z wagami rozkładów. 5. Wnioski Przedstawiona w artykule procedura estymaci oparta na wnioskowaniu bayesowskim umożliwia ocenę i porównanie zasadności wyboru typu rozkładu zmienne losowe opartego na wnioskowaniu statystycznym oraz tworzenie liniowych kombinaci tych zmiennych uwzględniaących niepewności modelo-

9 Wybór rozkładu oddziaływań klimatycznych z wykorzystaniem metody Bayes a 5 wych związane z subiektywnym wyborem typu rozkładów i łączeniem niepewnych informaci z wynikami badań. Procedura wnioskowania bayesowskiego zakłada, że estymowane parametry przyętych do analizy rozkładów są zmiennymi losowymi, a niepewności statystyczne można oszacować za pomocą prawdopodobieństw a priori, szacowanych z pewną dozą subiektywizmu, na podstawie dostępnych informaci i korygowanych na podstawie aktualnych wyników badań lub obserwaci. Przedstawione procedury zastosowano do oceny adekwatności wyboru dystrybuanty ednego z oddziaływań klimatycznych, akim est obciążenie śniegiem gruntu, traktowanego ako zmienna losowa o parametrach estymowanych statystyczną metodą nawiększe wiarygodności. Obliczono wagi odpowiadaące założonym rozkładom prawdopodobieństwa i rozkładowi utworzonemu ako liniowa kombinaca tych rozkładów oraz wartości charakterystyczne obciążenia obliczone dla analizowanych rozkładów. Wyniki obliczeń wskazuą, że wartości obciążeń charakterystycznych są w dużym stopniu zależne od wyboru typu rozkładu obciążenia, a wybór rozkładu oparty edynie na wynikach wnioskowania statystycznego może prowadzić do znacznego zaniżenia prognozowanego obciążenia. Należy podkreślić, że przedstawiona w artykule metoda może być zastosowana również do analizy wielu zagadnień dotyczących niezawodności konstrukci. Literatura [] Woliński Sz., Pytlowany T.: Uwagi o szacowaniu wartości oddziaływań za pomoca modelu Gumbela. Materiały konferencyne 56 KN KILiW PAN oraz KN PZITB Kielce- Krynica 00. [] Żurański J., Sobolewski A.: Obciążenie śniegiem w Polsce. Wydawnictwo Instytutu Techniki Budowlane, Seria: Prace Naukowe ITB. Monografie. Warszawa 009. [3] Noortwik J. M., Kalk H. J., Chbab E. H.: Bayesian estimation of design loads, HERON. Vol. 49, No. (004). [4] Pytlowany T.: Bayesowski model oddziaływań klimatycznych. OW PRz, zeszyt nr 83. nr s.59 3/ s Rzeszów 0. [5] Steenbergen M. R.: Maximum Likelihood Programming in R. [6] Gwóźdź M., Machowski A. Wybrane badania i obliczenia konstrukci budowlanych metodami probabilistycznymi, Wydawnictwo Politechniki Krakowskie, Kraków 00. [7] PN-EN 990:004. Eurokod: Podstawy proektowania konstrukci. [8] EN 99--3:005. Eurokod : Odziaływania na konstrukce. Część -3: Oddziaływania ogólne. Obciążenie śniegiem. [9] Mitzenmacher M, Upal E.: Metody probabilistyczne i obliczenia WN-T 009.

10 5 T. Pytlowany, Sz. Woliński SELECTION OF THE DISTRIBUTION FUNCTION FOR CLIMATE ACTIONS USING BAYESIAN METHOD S u m m a r y Single distribution functions are usually selected based on a best-fit approach theorem but often available random data cannot be accurately described by any of the commonly used types of the random variables. The paper presents a method based on Bayesian approach which solves problems of selecting the single distribution function and combining of probabilities contending different probability functions. The method is illustrated on the selection of single distribution function and application of Bayesian method in combining these functions to determine the characteristic value of snow load for an assumed return period. Keywords: meteorological action, snow loads, Bayesian method Przesłano do redakci: r. Przyęto do druku: r. DOI: 0.786/rb.06.5