Excel w obliczeniach naukowych i inżynierskich. Wydanie II

Transkrypt

1

2 Idź do Spis treści Przkładow rozdział Skorowidz Katalog książek Katalog online Zamów drukowan katalog Twój koszk Dodaj do koszka Cennik i informacje Zamów informacje o nowościach Zamów cennik Cztelnia Fragment książek online Kontakt Helion SA ul. Kościuszki c 44- Gliwice tel helion@helion.pl Helion 99 Ecel w obliczeniach naukowch i inżnierskich. Wdanie II Autor: Maciej Gonet ISBN: Format: 58 35, stron: 39 Sprawdź, jak Ecel może pomóc Ci w skomplikowanch obliczeniach! Jak za pomocą arkusza rozwiązwać zaawansowane zadania matematczne? Jak opisać równaniem wnik doświadczenia? Jak stworzć prostą bazę danch w Ecelu? Jak zaprojektować wkres animowan? Jak skorzstać z możliwości jęzka BA? Arkusz kalkulacjn Ecel to jedno z najbardziej cenionch narzędzi pakietu Microsoft Office. Liczba jego zastosowań jest wprost proporcjonalna do pomsłowości użtkowników. Jednak jego prawdziwą siłę można poznać wszędzie tam, gdzie konieczne jest żmudne przeliczanie wielu kolumn liczb lub wkonwanie skomplikowanch obliczeń matematcznch. Ecel nigd się nie nudzi, a do tego jest prawie nieomln. Czas okiełznać te ogromne możliwości! Właśnie dzięki tej książce szbko zapoznasz się z możliwościami narzędzia Microsoft Ecel w zakresie wkonwania obliczeń naukowch i technicznch. Sprawdzisz, jak wdajnie rozwiązwać problem o dowolnm stopniu złożoności. Nauczsz się obliczać całki oznaczone, rozwiązwać równania nieliniowe i różniczkowe oraz układ równań. Brzmi groźnie? Ale nie w Ecelu! Przejrzste przkład oraz opis "krok po kroku" sprawią, że rozwiązwanie tch i wielu innch problemów nie będzie dla Ciebie najmniejszm kłopotem. Książka ta świetnie sprawdzi się w rękach studentów, uczniów oraz pracowników naukowch. Podstaw prac z arkuszem kalkulacjnm Microsoft Ecel Operowanie na tablicach Prezentacja danch w formie graficznej Różniczkowanie numerczne Obliczanie całek oznaczonch Rozwiązwanie równań nieliniowch Rozwiązwanie układów równań Interpolacja danch Opis matematczn danch pomiarowch Rozwiązwanie równań różniczkowch Działania na liczbach zespolonch Przgotowanie prostej baz danch w arkuszu kalkulacjnm Możliwości jęzka BA Wkorzstaj możliwości arkusza Ecel w skomplikowanch działaniach matematcznch!

3 Spis treci Rozdzia. Wstp... 7 Do kogo adresowana jest ta ksika?... 7 Co jest, a czego nie ma w tej ksice?... 9 Konwencje przjte w tekcie... Rozwój arkusza kalkulacjnego... Rozdzia. Podstawowe operacje w arkuszu... 3 Tp danch wstpujcch w arkuszu i ich identfikacja... 3 Konstrukcja formu (wrae) w Ecelu... 6 Edcja, kopiowanie i przesuwanie zawartoci komórek... 6 Zasad interpretacji nazw i adresów w wraeniach w arkuszu i w formuach nazwanch... 9 Funkcje uatwiajce odcztwanie i wliczanie adresów Rozdzia 3. Operacje i funkcje tablicowe Podstawowe pojcia dotczce tablic i macierz Operacje tablicowe zaimplementowane w Ecelu Wprowadzanie i edcja formu tablicowch... 4 Kopiowanie formu tablicowch Odwoania do elementów lub fragmentów tablic Ucie funkcji INDEKS Ucie funkcji PRZESUNICIE Bez ucia funkcji czenie tablic i tworzenie tablic mieszanch Dnamiczne generowanie tablic o zadanm rozmiarze... 5 Uwanie tablic generowanch dnamicznie Zasad interpretacji nazw i adresów w wraeniach tablicowch w arkuszu i w formuach nazwanch Odwoania strukturalne w tabelach Regu skadni odwoa strukturalnch Element skadowe tabeli Predefiniowane specfikator wiersz Operator odwoania Odwoania strukturalne kwalifikowane i niekwalifikowane Przkad ucia odwoa strukturalnch... 6 Praca z odwoaniami strukturalnmi... 6 Rozdzia 4. Tablicowanie funkcji jednej i dwu zmiennch Funkcje jednej zmiennej Funkcja jednej zmiennej okrelona w sposób niejawn (uwikan) Funkcje dwu zmiennch... 69

4 4 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich Rozdzia 5. Graficzna prezentacja danch Rodzaje wkresów dostpnch w Ecelu Przgotowanie danch do wkresu punktowego Wkonanie wkresu punktowego Dodawanie linii trendu (regresji) do wkresu Wkres radarowe... 8 Wkres powierzchniowe Wkres dnamiczne Mae wkres dostpne w Ecelu Rozdzia 6. Róniczkowanie numerczne Pojcie pochodnej Numerczne obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem... 9 Numerczne róniczkowanie danch pomiarowch... 9 Bezporednie oszacowanie wartoci pochodnch na podstawie danch pomiarowch... 9 Obliczenie pochodnej za porednictwem funkcji aproksmujcej Rozdzia 7. Obliczanie caek oznaczonch z wkorzstaniem ich interpretacji geometrcznej Pojcie caki oznaczonej Sposob obliczania caek metod kwadratur Obliczenia caek w Ecelu Wkorzstanie operacji tablicowch do skrócenia zapisu oblicze... Wkorzstanie iteracji i odwoa cklicznch do obliczania caek... 8 Rozdzia 8. Obliczanie caek niewaciwch... Pojcie caki niewaciwej... Przkad obliczenia caki metod ekstrapolacji... Rozdzia 9. Obliczanie górnej granic cakowania... 5 Funkcja podcakowa opisana wzorem... 6 Funkcja podcakowa w postaci zbioru punktów pomiarowch... 7 Rozdzia. Obliczanie caek oznaczonch z wkorzstaniem szeregów potgowch... Podstawowe pojcia dotczce cigów i szeregów... Obliczenia sum szeregów w Ecelu... 3 Rozdzia. Ukad równa liniowch... 3 Zapis ukadu równa i jego rozwizania w formie macierzowej... 3 Przebieg rozwizania w Ecelu... 3 Wkorzstanie Solvera do rozwizwania ukadu równa liniowch Rozdzia. Rozwizwanie równa nieliniowch Równanie kwadratowe Graficzne oszacowanie pierwiastków Metoda iteracji prostej... 4 Metoda siecznch ( regula falsi ) Przspieszenie zbienoci metod siecznch Metoda stcznch (Newtona) Zmodfikowana metoda stcznch Inn wariant metod siecznch Zamierzone ucie odwoa cklicznch prz rozwizwaniu równa Wkorzstanie narzdzi Szukaj wniku i Solver Rozdzia 3. Ukad równa nieliniowch Ukad zoone z dwóch równa Ukad zoone z trzech i wicej równa... 59

5 Spis treci 5 Rozdzia 4. Wszukiwanie danch w tablicach i interpolacja Przeszukiwanie tablic funkcji jednej zmiennej Interpolacja liniowa Trend liniow Interpolacja kubiczna (wielomianem 3. stopnia)... 7 Interpolacja liniowa w przpadku funkcji dwu zmiennch... 7 Interpolacja kubiczna w przpadku funkcji dwu zmiennch Rozdzia 5. Regresja liniowa Zakres zastosowania regresji liniowej Ocena statstczna jakoci dopasowania równania regresji Regresja liniowa w Ecelu... 8 Regresja liniowa w przpadku funkcji dwu zmiennch Rozdzia 6. Regresja nieliniowa Zakres zastosowania regresji nieliniowej Ocena statstczna jakoci dopasowania równania regresji Regresja nieliniowa w Ecelu z wkorzstaniem Solvera Korelacja liniowa i nieliniowa w Ecelu... Korelacja liniowa... Korelacja nieliniowa w Ecelu z wkorzstaniem Solvera... 3 Rozdzia 7. Równania róniczkowe zwczajne... 7 Pojcie równania róniczkowego... 7 Rozwizwanie zagadnienia pocztkowego metod Eulera... 8 Modfikacje metod Eulera... 3 Metoda Rungego-Kutt... 7 Porównanie dokadnoci metod cakowania równa róniczkowch... 9 Zagadnienie brzegowe równania róniczkowego zwczajnego... Metoda strzaów... Metoda rónic skoczonch... 4 Rozdzia 8. Równania róniczkowe czstkowe... 7 Przkad równa róniczkowch czstkowch... 7 Równania eliptczne... 8 Równania paraboliczne Rozdzia 9. Konwersja liczb i jednostek Konwersja liczb w rónch sstemach pozcjnch Konwersja jednostek miar Konwersja jednostek zoonch Rozdzia. Liczb i funkcje zespolone Podstawowe wzor i definicje... 5 Interpretacja geometrczna liczb zespolonej i jej posta trgonometrczna... 5 Wzór Eulera i wkadnicza posta liczb zespolonej... 5 Równo liczb zespolonch... 5 Dziaania artmetczne na liczbach zespolonch... 5 Potgowanie i pierwiastkowanie Funkcje elementarne z argumentem zespolonm Format wwietlania liczb zespolonch Zastosowanie liczb zespolonch w elektrotechnice Rozdzia. Proste baz danch... 6 Sortowanie i filtrowanie... 6 Zakres krteriów Ucie filtra zaawansowanego... 69

6 6 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich Ucie funkcji do odzskiwania danch z tabeli lub list... 7 Funkcje podsumowa Ucie funkcji z grup baz danch Rozdzia. Element jzka BA (isual Basic for Applications)... 8 Podstawowe informacje o jzku programowania BA... 8 Struktura podprogramów w BA Makropolecenie utworzone w wniku rejestracji Skoroszt makr osobistch i folder AddIns Uruchamianie makropolece Wprowadzanie kodu BA w edtorze Prosta funkcja w BA Zmienne tp i deklaracje Wraenia... 9 Obiekt, waciwoci i metod Wmiana informacji midz arkuszem a kodem BA Ucie tablic w isual Basicu... 3 Wicej o funkcjach definiowanch przez utkownika... 3 Sterowanie wkonaniem kodu Instrukcje warunkowe i instrukcja wboru Instrukcje ptli Stosowanie komentarz... 3 Uruchamianie i testowanie makroinstrukcji i funkcji... 3 Przkad funkcji i makroinstrukcji w BA... 3 Obliczanie wartoci wielomianu... 3 Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego Wkorzstanie funkcji BA w Ecelu Cakowanie numerczne Rozwizwanie równa nieliniowch z wkorzstaniem metod GoalSeek Przeksztacenie tablic dwuwmiarowej w jednowmiarow... 3 Rozwizanie równania róniczkowego metod Rungego-Kutt... 3 Funkcje utkownika podobne do funkcji standardowch Operacje na komórkach sformatowanch w okrelon sposób Wwietlanie tekstów formu w arkuszu Rozdzia 3. Graficzne element sterujce (kontrolki ekranowe, formant) Rodzaje graficznch elementów sterujcch i ich przeznaczenie Dodawanie kontrolek (formantów) do arkusza Formant formularza Formant ActiveX Nieudokumentowane formant pola tekstowego Makroinstrukcje przpiswane do formantów w arkuszu Przkad wkorzstania formantów w arkuszu Rozdzia 4. Wbrane funkcje wbudowane w Ecelu Dodatek A Literatura ctowana i uzupeniajca Skorowidz

7 Rozdzia 6. Róniczkowanie numerczne Pojcie pochodnej Pochodna jest miar szbkoci zmian wielkoci funkcji w stosunku do zmian jej argumentu. Formalnie definiuje si j jako granic ilorazu rónicowego, gd przrost argumentu maleje do zera. Operacj obliczania pochodnej nazwa si róniczkowaniem. Jeeli = f(), to pochodna oznaczana smbolem ' = f'() w punkcie = jest równa (alternatwnm smbolem pochodnej jest stosunek d/d): d d lim lim W przpadku funkcji cigch nie ma znaczenia, cz >, cz odwrotnie, granica ma tak sam warto. Gd dsponujem tlko wartociami funkcji w wbranch punktach, moem wznacz przblienie pochodnej, obliczajc iloraz rónicow, czli stosunek zmian wartoci funkcji do odpowiadajcej jej zmian wartoci argumentu. Im mniejsza warto, tm lepsze przblienie pochodnej mona wznacz (prz zao- eniu, e obliczenia odbwaj si na podstawie dokadnch wzorów, a nie obarczonch bdami wników pomiarów). Jeli funkcja jest opisana wzorem, to jej pochodn take mona opisa pewnm wzorem. Czasem jednak wzór ten moe b bardzo zoon i niedogodn do oblicze. Wted wgodniej jest zastosowa róniczkowanie numerczne. Drugi przpadek, kied stosuje si róniczkowanie numerczne, zachodzi wted, gd funkcja dana jest jako zbiór punktów, na przkad wników pomiarów. Prz róniczkowaniu numercznm bdzie miao znaczenie, cz obliczajc warto pochodnej w punkcie =, korzstam z punktów o wartoci argumentu mniejszej, cz wikszej od. W zwizku z tm stosuje si trz rodzaje ilorazów rónicowch: oparte

8 9 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich na rónicach wstecznch, przednich i centralnch. Jeli zastosujem indeks i odpowiednio do punktu poprzedzajcego i nastpujcego po, otrzmam aproksmacje pochodnej w punkcie wraone trzema sposobami: za pomoc rónic wstecznch za pomoc rónic przednich za pomoc rónic centralnch Teoretcznie w przpadku funkcji cigej, gd, te trz oszacowania powinn dawa taki sam wnik. W rzeczwistoci ma zawsze warto skoczon, wic warto- ci ilorazów rónicowch mog si róni. Które oszacowanie nale zatem wbra? Jeli dsponujem punktami pooonmi smetrcznie wokó, najdokadniejszm oszacowaniem pochodnej w punkcie jest zwkle to oparte na rónicach centralnch. Czsto jednak w trakcie oblicze wartoci i f() s wliczane sukceswnie i znane s tlko wartoci wczeniejsze. Wted z koniecznoci stosujem rónice wsteczne. Analogicznie do pochodnch pierwszego rzdu mona aproksmowa pochodne drugiego i wszch rzdów. Oszacowanie drugiej pochodnej angauje wspórzdne trzech punktów. Stosujc oznaczenia takie jak poprzednio, mona zapisa oszacowania drugiej pochodnej wzorami: za pomoc rónic wstecznch ) ( za pomoc rónic przednich ) ( za pomoc rónic centralnch ) (,5 W powszch wzorach zaoono, e punkt s równoodlege, tzn. = w przpadku rónic przednich, = w przpadku rónic wstecznch oraz = w przpadku rónic centralnch. Gd ten warunek nie jest spenion, wzor s bardziej rozbudowane. Przkadowo w przpadku rónic wstecznch nale u wzoru: ) )( ( ) )( ( ) )( ( Drug pochodn moem te traktowa po prostu jak pochodn pochodnej i zastosowa dwukrotnie wzor na pierwsz pochodn. Z regu obiektem najwikszego zainteresowania s punkt, w którch pochodne przjmuj warto zero lub osigaj ekstremum. S to tzw. punkt krtczne. Przkadowo punkt, w którm druga pochodna osiga warto zero, nazwan jest punktem przegicia.

9 Rozdzia 6. Róniczkowanie numerczne 9 Numerczne obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem W przpadku funkcji danej wzorem bezporednie zastosowanie ilorazu rónicowego jako przblienia pochodnej nie stanowi problemu i moe b efektwnie wkorzstane do obliczenia pochodnch w stuacji, gd trudno jest znale odpowiedni formu funkcji pochodnej. Jednm problemem jest dobór optmalnej wartoci. Obliczenia wkonwane s w Ecelu z dokadnoci do okoo 5 cfr znaczcch, w zwizku z tm zastosowanie bardzo maej wartoci moe prowadzi do niedokadnoci wwoanej ograniczon dokadnoci stosowanej artmetki. Z kolei due wartoci powoduj bd zwizan z pominiciem w rozwiniciu funkcji w szereg Talora wrazów wszch rzdów. Rozwinicie funkcji w szereg Talora ma posta: f ( ) f ( ) f ( )! f ( )! ( n) f ( ) n n! Jeeli z tego rozwinicia wznaczm I pochodn, otrzmam: f ( ) f ( ) f ( ) ( n) f ( ) f ( ) n! n! Wnik ten pokazuje, e przblienie pochodnej ilorazem rónicowm, obliczanm z uciem rónic przednich, generuje bd proporcjonaln w przblieniu do. Lepszm rozwizaniem jest zastosowanie rónic centralnch. Mam bowiem ( n) f ( ) f ( ) n f ( ) n f ( ) f ( ) ( )!! n! skd pierwsza pochodna wraa si wzorem: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3! ( n) f ( ) n n! W tm wzorze wstpuj tlko czon z nieparzstmi wartociami n. Wida, e bd oszacowania pochodnej za pomoc rónic centralnch jest w przblieniu proporcjonaln do. W praktce trzeba poszuka kompromisu midz tmi uwarunkowaniami. Przkadowe obliczenia przeprowadzono dla wielomianu 3. stopnia. Wniki tch oblicze wida na rsunku 6.. W przpadku przblienia z rónicami przednimi najmniejsz bd wzgldn oblicze uzskano dla 8, z tm e dla < nale przj 8. W przpadku przblienia z rónicami centralnmi najmniejsz bd wzgldn oblicze uzskano dla 5, z tm e dla <, nale przj 6.

10 9 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich Rsunek 6.. Ocena dokadnoci oszacowania pochodnej za pomoc ilorazu rónicowego Numerczne róniczkowanie danch pomiarowch Jeeli wartoci funkcji pochodz z pomiarów, to trzeba mie wiadomo, e bd pomiarów w sposób bardzo istotn wpwaj na oszacowanie pochodnej. Iloraz rónicow jest stosunkiem rónic wartoci funkcji i argumentu w pobliskich punktach, a wic jest to stosunek dwu mach, w porównaniu z wartoci funkcji, liczb. Jeeli bd pomiarów maj przeciwne znaki, moe nastpi kumulacja bdów i w efekcie bd oszacowania pochodnej bdzie bardzo du. Dlatego bezpieczniej jest przeprowadzi najpierw aproksmacj badanej funkcji na przkad wielomianem i oblicz pochodn wielomianu aproksmacjnego zamiast bezporedniego obliczania pochodnej z danch dowiadczalnch. Bezporednie oszacowanie wartoci pochodnch na podstawie danch pomiarowch Jako przkad bezporedniego róniczkowania rozpatrzm tpow w chemii analitcznej krzw miareczkowania kwasowo-zasadowego. Jest to zaleno ph roztworu od iloci dodanego odcznnika miareczkujcego. Charakterstczne punkt tej zalenoci wkazuj najszbsz (lokalnie) zmian ph. Na krzwej pochodnej wstpi w tch punktach maksima, a na wkresie drugiej pochodnej bd punkt zerowe. Dokadna lokalizacja tch punktów pozwoli okreli zawarto skadników w badanej próbce. Dane liczbowe przkadu zamieszczono na rsunku 6..

11 Rozdzia 6. Róniczkowanie numerczne 93 Rsunek 6.. Numerczne obliczenia pierwszej i drugiej pochodnej na przkadzie krzwej miareczkowania Przkad 6.. Tabelka przedstawia krzw miareczkowania próbki cm 3 mieszanin roztworów sabego i mocnego kwasu,-molowm roztworem NaOH. Wkonano wkres zalenoci ph od objtoci dodanego odcznnika miareczkujcego oraz wkres ilorazu rónicowego ph/ jako funkcji, któr jest przblieniem pochodnej. Warto ilorazu rónicowego przpisano do rodka przedziau, dla którego zostaa obliczona. Wkonano równie wkres drugiej pochodnej. Z wkresów odcztano, prz jakich wartociach ph zmienia si najszbciej. Na wkresie I pochodnej na osi rzdnch zastosowano skal logartmiczn. Na wkresach mona zauwa dwa punkt krtczne, pierwsz skok ph wstpuje prz = 4,4 cm 3 i jest prawie niewidoczn prz zastosowaniu skali liniowej na wkresie pochodnej. Dopiero ucie skali logartmicznej ujawnia ten punkt krtczn. Drugi skok ph jest bardzo wran i wstpuje prz = 55, cm 3. Na wkresie II pochodnej skal na osi rzdnch celowo ograniczono do ±, ab mona bo zauwa pierwsz ma skok ph. Aproksmacj pochodnej ilorazem rónicowm stosunkowo rzadko wkorzstuje si do obróbki danch dowiadczalnch ze wzgldu na rzko kumulacji bdów, natomiast do czsto w przpadku funkcji okrelonch wzorem. Powrócim do tego zagadnienia prz okazji metod numercznch rozwizwania równa algebraicznch i róniczkowch. Obliczenie pochodnej za porednictwem funkcji aproksmujcej Gd zachodzi potrzeba wznaczenia pochodnej zalenoci okrelonej przez wniki do- wiadcze, rozwizaniem lepszm od bezporedniego róniczkowania jest aproksmacja badanej zalenoci odpowiednio dobran funkcj, na przkad wielomianem, a nastpnie

12 94 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich zróniczkowanie funkcji aproksmujcej. (Kwesti aproksmacji zalenoci dowiadczalnej omówiono dokadnie w rozdziale 5. Regresja liniowa ). Potrzebne bd wartoci liczbowe wspócznników, musim wic u funkcji REGLINP lub REGEXPP. Jeeli do aproksmacji wbierzem wielomian n-tego stopnia f ( ) a a a a n n n k a k k to po wznaczeniu wspócznników a i moem atwo oblicz pochodne a do n-tego rzdu. Najczciej potrzebne s pierwsza i druga pochodna: f ( ) a a a na 3 3 n n n k ka k k n n 3a3 3 4a4 ( n ) nan ( k ) k f ( ) a W przpadku gd do aproksmacji danch chcem u wielomianu 3. stopnia, pierwsz pochodn moem oblicz w Ecelu w nastpujc sposób (zapis dotcz wersji 7 i wczeniejszch, w wersji ; w staej tablicowej nale zamieni na \): = SUMA(REGLINP(znane_; znane_^{;;3})*^{;;;}*{3;;;}) a drug pochodn: = SUMA(REGLINP(znane_; znane_^{;;3})*^{;;;}*{6;;;}) znane_ i znane_ reprezentuj zbior danch pomiarowch zmiennch i, kad z tch zakresów musi stanowi kolumn danch; jest wartoci argumentu, dla której obliczam pochodn. Prz obliczeniach tego tpu moe wstpi problem, gd =. Pojawia si tu bowiem smbol nieokrelon i Ecel sgnalizuje bd. Ab go unikn, trzeba do zerowego argumentu doda jak bardzo ma sta, na przkad 8 (E-8), która nie bdzie miaa wpwu na wniki oblicze. Z koniecznoci obliczenia pochodnej spotka si moem na przkad prz obliczeniach czstkowch wielkoci molowch w chemii fizcznej. Jako ilustracj rozpatrzm procedur wznaczania czstkowch objtoci molowch etanolu i wod w mieszaninie tch skadników. Dana jest zaleno redniej objtoci molowej mieszanin od uamka molowego etanolu. Objtoci molowe czstch skadników (etanol) i (woda) s znane. Nale wznacz czstkowe objtoci molowe skadników w funkcji skadu roztworu. Wielkoci te wlicza si ze wzorów: ( ) d d d d ka k k

13 Rozdzia 6. Róniczkowanie numerczne 95 Wiksz dokadno mona osign, jeeli zamiast objtoci molowej jako zmienn robocz wemie si zmian objtoci mieszanin na skutek zmieszania, czli wielko mi =. Uwzgldniajc, e + =, atwo wkaza, e ) ( d d d d mi i dalej ) ( ) ( d d mi mi ) ( d d mi mi mi = na kocach przedziau zmiennoci dla = i dla =. Zatem jeli mi przedstawim w postaci wielomianu, to i s pierwiastkami tego wielomianu. mi = ( ) ( ) jest pomocniczm wielomianem, którego pochodn bdziem chcieli wznacz w nastpujc sposób: ) ( ) ( d d d d d d mi a wic d d d d Podobnie d d d d Zadanie obliczenia czstkowch objtoci molowch sprowadza si do obliczenia pochodnej funkcji pomocniczej wzgldem. Funkcj aproksmowano odcinek po odcinku wielomianami 3. stopnia, biorc pod uwag za kadm razem czter kolejne punkt. Wznaczone wspócznniki wielomianu uwzgldniono prz obliczaniu pochodnej w dwóch punktach wewntrznch przedziau, dla którego

14 96 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich zosta wznaczone. Zatem poza skrajnmi dwoma pierwszmi i dwoma ostatnimi punktami, dla którch jest dostpn tlko jeden zestaw wspócznników, dla pozostach punktów dostpne s po dwa zestaw wspócznników, które uredniono. Wniki oblicze pokazano na rsunku 6.3. Do obliczenia pochodnch zastosowano wzor podobne do proponowanch powej. Przkadowo (zapis dotcz wersji 7 i wczeniejszch, w wersji ; w staej tablicowej nale zamieni na \): = SUMA(REGLINP($D$7:$D$; $A$7:$A$^{;;3})*A8^{;;;}*{3;;;}) Rsunek 6.3. Wniki obliczenia pochodnej z wkorzstaniem wspócznników wielomianu aproksmacjnego Wartoci funkcji pomocniczej na kocach przedziau, czli dla = i =, nie mona oblicz bezporednio (smbol nieoznaczon /). W tm przpadku oszacowano wartoci funkcji na podstawie aproksmacji wielomianem 3. stopnia wartoci funkcji w punktach ssiednich, a nastpnie wzito wartoci tch wielomianów w punktach = i =. W pierwszm przpadku jest to wraz woln wielomianu (zapis dotcz wersji 7 i wczeniejszch, w wersji ; w staej tablicowej nale zamieni na \): = INDEKS(REGLINP(D$7:D$; A$7:A$^{;;3}); 4) a w drugim suma wspócznników: = SUMA(REGLINP(D$:D$5; A$:A$5^{;;3})) Dane do tego przkadu i koncepcj rozwizania zaczerpnem z ksiki [].

15 Skorowidz ####, 5 #ADR!, 9, 35 #ARG!, 4, 3, 38, 88, 33 #DZIEL/!, 4 #LICZBA!, 4, 5 #N/D!, 49, 56, 65, 346 %, 3 [#Dane], 59 [#Nagówki], 59 [#Sum], 59 [#Ten wiersz], 59 [#Wszstko], 59 A, 34, 96 Abs, 94 ABS, 35 Activate, 97 ActiveCell, 98 AddIns, 86 ADDRESS, 353 ADR.POR, 35, 5,, 8, 5, 86, 353 ADRES, 34, 353 adres komórek, 7 adres absolutne, 8 adres bezwzgldne, 8 adres mieszane, 8, 3, 56 adres wzgldne, 8, 3 adsorpcja par na stach adsorbentach, 4 AGGREGATE, 348 AGREGUJ, 76, 78, 348 aktwna komórka, 98 algortm Rungego-Kutt, 3 Alignment, 337 Analiza smulacji, 5 Analsis Toolpak, 66 And, 93 AND, 353 Application, 95, 98 A Application.Transpose, 3 Application.ersion, 35 Application.olatile, 35 ARG.LICZBY.ZESP, 5, 369 argument, 4, 84 argument operacji, 3 argument wrae tablicowch, 55 arkusz kalkulacjn, 7, 8 arkusze, 3 Arra, 34, 33 As, 89, 9 Asc, 93, 94 ASCII, 4, 69 ASIN, 348 ASINH, 348 ATAN, 348 ATAN, 348 ATANH, 348 Atn, 94 Autofiltr, 6, 65 Autoksztat, 34 autouzupenianie formu, 5 AEDE, 358 AERAGE, 365 AERAGEA, 365 AERAGEIF, 365 AERAGEIFS, 365 awarjne wjcie z ptli, 39 B BackColor, 337 backslash, 38 baza danch, 6 filtrowanie, 6 formularze, 6 funkcje, 78 funkcje podsumowa, 74 indeks, 6 operator relacji, 66

16 378 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich baza danch pola, 6 rekord, 6 sortowanie, 6 zakres krteriów, 66 BD.ILE.REKORDÓW, 8, 368 BD.ILE.REKORDÓW.A, 368 BD.ILOCZYN, 369 BD.MAX, 79, 369 BD.MIN, 369 BD.ODCH.STANDARD, 369 BD.ODCH.STANDARD.POPUL, 369 BD.POLE, 74, 79, 369 BD.SUMA, 369 BD.REDNIA, 8, 369 BD.WARIANCJA, 369 BD.WARIANCJA.POPUL, 369 BESSEL.I, 369 BESSEL.J, 37 BESSEL.K, 37 BESSEL.Y, 37 BESSELI, 369 BESSELJ, 37 BESSELK, 37 BESSELY, 37 BETA.DIST, 36 BETA.IN, 36 BETADIST, 36 BETAIN, 36 BINDEC, 37 BINHEX, 37 BINOCT, 37 BINOM.DIST, 36 BINOM.IN, 359, 36 BINOMDIST, 36 Boolean, 9 BorderColor, 337 BorderStle, 337 BoundColumn, 338 BRAK, 354 Breakpoints, 87 Button, 33 Bte, 9 C Call, 35 Call Stack, 3 caki niewaciwe, obliczanie metod ekstrapolacji, caki oznaczone, 97 obliczanie, 99 obliczanie metod 3/8, 99 obliczanie metod kwadratur, 97 obliczanie metod parabol, 98 obliczanie metod Simpsona, 98 obliczanie metod trapezów, 98 cakowanie numerczne, 36 Caption, 337, 338, 34 Case Else, 38 cecha, 4 CELL, 355 Cells, 98, 99 Change, 345 CHAR, 93, 368 Chart, 95 CheckBo, 33 CHI.TEST, 365 CHIDIST, 36 CHIIN, 36 CHISQ.DIST, 36 CHISQ.DIST.RT, 36 CHISQ.IN, 36 CHISQ.TEST, 365 CHITEST, 365 CHOOSE, 354 Chr, 93, 94 cig funkcjn, cig liczbow, cinienie osmotczne roztworu, 83 Clear, 97 CODE, 93, 367 COLUMN, 353 ColumnCount, 338 ColumnHeads, 338 COLUMNS, 353 Columns.Count, 3 ColumnWidths, 338 COMBIN, 349 ComboBo, 33 CommandButton, 33 COMPLEX, 37, 5, 5, 54, 37 CONCATENATE, 368 CONFIDENCE, 366 CONFIDENCE.NORM, 366 CONFIDENCE.T, 366 CONERT, 45, 47, 37 jednostki, 46 Cop, 3 CORREL, 366 Cos, 94 COS, 348 COS.LICZBY.ZESP, 56, 37 COSH, 349 COUNT, 356 COUNTA, 356 COUNTBLANK, 356 COUNTIF, 356 COUNTIFS, 357 COAR, 356 COARIANCE.P, 356 COARIANCE.S, 356 CRITBINOM, 359 Currenc, 9 CErr, 35

17 Skorowidz 379 CZ.CAK.DZIELENIA, 349 CZ.RZECZ.LICZBY.ZESP, 5, 37 CZ.UROJ.LICZBY.ZESP, 5, 37 CZAS, 373 CZAS.WARTO, 373 czcionki, 98 CZSTO, 356 cz rzeczwista, 5 cz urojona, 5 CZY.ADR, 354 CZY.B, 354 CZY.BD, 354 CZY.BRAK, 355 CZY.LICZBA, 355 CZY.LOGICZNA, 355 CZY.NIE.TEKST, 355 CZY.NIEPARZYSTE, 355 CZY.PARZYSTE, 355 CZY.PUSTA, 355 CZY.RÓWNE, 37 CZY.TEKST, 355 D dane, 3 DATA, 373 DATA.WARTO, 373 Date, 9 DATE, 373 DATEALUE, 373 DAERAGE, 369 DCOUNT, 368 DCOUNTA, 368 Debug, 3 DECBIN, 43, 37 DECHEX, 44, 37 DECOCT, 37 definiowanie funkcje, 3 nazw, tabele, 57 Definiuj nazw, 8,, 5, 8 DEGREES, 35 deklaracja tablice, 3 zmienne, 89 Dela, 339, 34 DELTA, 37 Design Mode, 3 DESQ, 357 DGET, 369 Dim, 89, 9, 3 D, 367 DMAX, 369 DMIN, 369 Do Until Loop, 39 Do While Loop, 39 Do...Loop, 39 Do Loop Until, 3 Do Loop While, 3 dodawanie kontrolek do arkusza, 33 Double, 9 DPRODUCT, 369 DropButtonStle, 34 DSTDE, 369 DSTDEP, 369 DSUM, 369 DAR, 369 DARP, 369 DWÓJK.NA.DZIES, 37 DWÓJK.NA.ÓSM, 37 DWÓJK.NA.SZESN, 37 dfuzjn transport wod, 34 dnamiczne generowanie tablic o zadanm rozmiarze, 5 dziaania artmetczne na liczbach zespolonch, 5 DZIES.NA.DWÓJK, 37 DZIES.NA.ÓSM, 37 DZIES.NA.SZESN, 44, 37 DZI, 373 E, 38 edcja komórki, 6 nazw, 8 Edtowanie nazw,, 57 ekstrapolacja rozwizania równania Laplace a, 3 elektrolizer, 9 elektrotechnika, 57 element tablic, 37 Else, 36, 37 ElseIf, 36, 37 End Function, 88 End If, 36, 37 End Select, 37, 38 End Sub, 84 Eqv, 93 ERF, 37 ERF.PRECISE, 37 ERFC, 37 ERFC.PRECISE, 37 ERROR.TYPE, 355 Etkieta, 33, 333, 337 Evaluate, 35, 37 EXACT, 367 Ecel, 7, Eit Do, 3 Eit For, 39 Eit Function, 35 Eit Sub, 35 Ep, 94 EXP, 5, 6,, 349 EXP.LICZBY.ZESP, 55, 37 EXPON.DIST, 36 EXPONDIST, 36 E

18 38 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich F.DIST, 36 F.DIST.RT, 36 F.IN, 36 F.IN.RT, 36 F.TEST, 365 FACT, 35 FACTDOUBLE, 35 FASZ, 4, 3 FDIST, 36 Filtr, 65 Filtr zaawansowan, 6, 69 filtrowanie, 6 Find, 97 FIND, 368 FIN, 36 FISHER, 36 FISHERIN, 36 FIXED, 368 folder AddIns, 86 Font, 98, 337 For Each... Net, 39, 33 For...Net, 38 FORECAST, 36 ForeColor, 337 formant, 39, 344 dodawanie formantów do arkusza, 33 makroinstrukcje, 33, 343 nazw, 33 waciwoci, 33 zdarzenia, 33 formant ActiveX, 33, 33, 336 Etkieta, 337 Obraz, 34 Pasek przewijania, 339 Pole kombi, 34 Pole list, 338 Pole tekstowe, 339 Pole wboru, 337 Przcisk opcji, 338 Przcisk pokrta, 339 Przcisk polecenia, 337 Przcisk przecznika, 34 waciwoci, 336 formant formularza, 33, 33, 333 Etkieta, 333 Pasek przewijania, 335 Pokrto, 334 Pole grup, 335 Pole kombi, 335 Pole list, 334 Pole wboru, 333 Przcisk, 333 Przcisk opcji, 334 Format, 94 format wwietlania liczb zespolonch, 56 Formatuj formant, 33 F Formatuj jako tabel, 57 Formula, 96, 37 FormulaLocal, 96, 37 FormulaRC, 96 FormulaRCLocal, 96 formularze, 6 formu, 6 adres komórek, 7 autouzupenianie formu, 5 funkcje, 4 nazw, obliczanie, 5 odwoania, 8 operator, pierwszestwo dziaa, trb wwietlania, 6 wprowadzanie adresu, 7 wnik oblicze, 6 wwietlanie tekstów formu w arkuszu, 37 zmiana kolejnoci wkonwania operacji, 5 formu nazwane, 8, 9 argument wrae tablicowch, 55 formu tablicowe, 6, 4 edcja, 4 kopiowanie, 43 nazw, 43 poszerzanie obszaru, 4 tabele, 6 wprowadzanie, 4 FRAGMENT.TEKSTU, 367 FREQUENCY, 356 FTEST, 365 Function, 83, 84, 88 funkcja autouzupeniania formu, 6 funkcja podcakowa opisana wzorem, 6 funkcja podcakowa w postaci zbioru punktów pomiarowch, 7 FUNKCJA.B, 37 FUNKCJA.B.DOK, 37 funkcje, 7 argument, 4 Arra, 33 funkcje agregujce, 74 funkcje bazodanowe, 78, 368 funkcje dat i czasu, 373 funkcje dwu zmiennch, 69 funkcje informacjne, 354 funkcje innierskie, 369 funkcje jednej zmiennej, 65 funkcje jednej zmiennej okrelone w sposób niejawn (uwikan), 68 funkcje logiczne, 35 funkcje matematczne, 348 funkcje odwoa, 354 funkcje operujce na liczbach zespolonch, 49 funkcje podsumowa, 74 funkcje statstczne, 356, 358 funkcje tekstowe, 367

19 Skorowidz 38 funkcje wszukiwania, 354 konwencje zapisu, 5 parametr, 84 wwoanie, 4 zagniedanie funkcji, 4 funkcje definiowane przez utkownika, 3 funkcje podobne do funkcji standardowch, 33 parametr, 33 sterowanie wkonaniem kodu, 35 tp wniku, 33 zakoczenie wkonwania, 35 zmienna liczba argumentów, 33 funkcje BA, 83, 84, 88, 94 Arra, 34 Asc, 93 Chr, 93 CErr, 35 IsArra, 34 IsObject, 34 LBound, 3 Log, 93 metod, 95 nazw, 87 Sqr, 88, 93 stosowanie w Ecelu, 34 Ubound, 3 al, 34 waciwoci, 95 wwoanie rekurencjne, 84 GAMMA.DIST, 36 GAMMA.IN, 36 GAMMADIST, 36 GAMMAIN, 36 GAMMALN, 36 GAMMALN.PRECISE, 363 GCD, 35 generowanie planu ekspermentu cznnikowego tpu k, 5 GEOMIN, 365 GESTEP, 37 GoalSeek, 97, 38 GODZINA, 373 górna granica cakowania, 5 graficzna prezentacja danch, 75 graficzne element sterujce, 39 graficzne szacowanie pierwiastków równania, 39 GroupBo, 33 GroupName, 338 GROWTH, 359 HARMEAN, 365 Height, 337, 344 HEXBIN, 373 G H HEXDEC, 373 HEXOCT, 373 HLOOKUP, 354 HOUR, 373 HYPGEOM.DIST, 36 HYPGEOMDIST, 36 If, 36, 37 IF, 35 IFERROR, 35 ILE.LICZB, 7, 356 ILE.NIEPUSTYCH, 356 ILE.WIERSZY, 345, 353 ILOCZYN, 349 iloczn macierzow, 4 ILOCZYN.LICZB.ZESP, 54 ILORAZ.LICZB.ZESP, 37 IMABS, 5, 37 Image, 33 IMAGINARY, 5, 37 IMARGUMENT, 369 IMCONJUGATE, 5, 37 IMCOS, 56, 37 IMDI, 53, 37 IMEXP, 37 IMLN, 55, 37 IMLOG, 55, 37 IMLOG, 55, 37 Immediate Window, 3 Imp, 93 IMPOWER, 54, 37 IMPRODUCT, 53, 54, 37 IMREAL, 5, 37 IMSIN, 56, 37 IMSQRT, 54, 37 IMSUB, 53, 37 IMSUM, 53, 373 INDEKS, 3, 44, 5, 54, 6, 96, 3, 66, 7, 353 indeks, 6 INDEX, 353 INDIRECT, 353 INFO, 355 InputBo, 3 Inspekcja formu, 5 instrukcja przpisania, 9 instrukcja wboru, 35 instrukcje warunkowe, 35 Int, 94 INT, 35 Integer, 9 INTERCEPT, 358 interpolacja, 63 interpolacja kubiczna, 7 funkcje dwu zmiennch, 74 interpolacja liniowa, 66 funkcje dwu zmiennch, 7 I

20 38 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich interpretacja adresów, 9 interpretacja geometrczna, 97 liczb zespolone, 5 interpretacja nazw, 9 Is, 9, 38 IsArra, 94, 34 IsDate, 94 IsEmpt, 94 ISEMPTY, 355 ISERR, 354 IsError, 94 ISERROR, 354 ISEEN, 355 ISLOGICAL, 355 IsMissing, 94 ISNA, 355 ISNONTEXT, 355 IsNull, 94 ISNUMBER, 355 IsNumeric, 94 IsObject, 94, 34 ISODD, 355 ISREF, 354 ISTEXT, 355 izoterma Langmuira, 85, 4 jednostka urojona, 5 jednostki miar, 45 JEELI, 5, 85, 36, 37, 35 JEELI.BD, 35 jzk BA, 8, 8 J K KOD, 69, 367 kod ASCII, 4, 69 kod BA, 87 kolejno dziaa, 3 kolumn, 3, 3 KOMBINACJE, 349 komentarze BA, 3 KOMÓRKA, 36, 355 komórki, 3 KOMP.FUNKCJA.B, 37 KOMP.FUNKCJA.B.DOK, 37 komunikat o bdzie, 4, 35 kontrolki ekranowe, 39 konwencja zapisu funkcji, 5 konwersja jednostek miar, 45 CONERT, 46 konwersja jednostek zoonch, 47 KONWERTUJ, 46 konwersja liczb, 43 Analsis Toolpak, 43 liczb szesnastkowe, 44 konwersja tabeli na zakres, 63 konwersja tablic dwuwmiarowej w jednowmiarow, 3 konwersja zakresu na tabel, 63 KONWERTUJ, 45, 47, 37 jednostki, 46 Konwertuj na zakres, 63 kopiowanie formu tablicowe, 43 komórki, 7 odwoania strukturalne, 6 zawarto komórek, 6 Kopiuj, 7 korelacja liniowa,, korelacja nieliniowa, Solver, 3 KOWARIANCJA, 356 KOWARIANCJA.POPUL, 356 KOWARIANCJA.PRÓBKI, 356 krterium statstczne Fishera, 8 krterium statstczne t Studenta, 8 krzwa logistczna, 94 krzwa miareczkowania kwasowo-zasadowego, 9 krzwe Lissajous, 85 KURT, 356 KURTOZA, 356 kwadrat wspócznnika korelacji R, 79 kwalifikowane odwoania do zakresu, 8 KWARTYL, 356 KWARTYL.PRZEDZ.OTW, 78, 356 KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK, 78, 356 L, 355 Label, 33 LARGE, 357 LargeChange, 34 LBound, 94, 3, 3 LCM, 35 Left, 337 LEFT, 367 LEN, 367 LEWY, 34, 367 LICZ.JEELI, 356 LICZ.PUSTE, 356 LICZ.WARUNKI, 357 LICZBA, 34 liczba sprzona, 5 liczba stopni swobod, 79 LICZBA.CAK, 349 LICZBA.KOLUMN, 353 LICZBA.ZESP, 37, 5, 5, 54, 37 liczb, 4 format, 4 Liczbow, 4 liczb bez znaku, 5 liczb dziesitne, 4 liczb szesnastkowe, 44 L

21 Skorowidz 383 Naukow, 4 Procentow, 4 Uamkow, 4 zapis naukow, 4 liczb zespolone, 37, 49, 5 argument, 5 cz rzeczwista, 5 cz urojona, 5 dziaania artmetczne, 5 format wwietlania, 56 funkcje elementarne z argumentem zespolonm, 55 funkcje operujce na liczbach zespolonch, 5 funkcje trgonometrczne, 55 interpretacja geometrczna, 5 jednostka urojona, 5 logartm zespolon, 55 modu, 5 pierwiastkowanie, 53 posta trgonometrczna, 5 posta wkadnicza, 5 potgowanie, 53 równo liczb zespolonch, 5 stosowanie w elektrotechnice, 57 warto gówna logartmu, 55 wzór Eulera, 5 Like, 9 LINEST, 36 linia trendu, 78 LinkedCell, 337, 338, 339, 34, 345 ListBo, 33 ListFillRange, 338 ListStle, 338, 34 ListWidth, 34 list, 6 litera tablicowe, 38 LN, 3, 349 LN.LICZBY.ZESP, 55, 37 Locals, 3 Locals Window, 3 Log, 93, 94 LOG, 349 LOG, 349 LOG.LICZBY.ZESP, 55, 37 LOG.LICZBY.ZESP, 55, 37 logartm zespolon, 55 LOGEST, 359 LOGIN, 363 LOGNORM.DIST, 363 LOGNORM.IN, 363 LOGNORMDIST, 363 Long, 9, 339 LOOKUP, 354 Loop, 3 LOS, 349 LOS.ZAKR, 349 Lotus --3, 36 LUB, 67, 69, 35 cze komórki, 334 czenie tablic, 48 L M macierz jednostkowa, 38 generowanie, 5 macierz kwadratowa, 37 element diagonalne, 37 gówna przektna, 37 MACIERZ.ILOCZYN, 4, 3, 349 MACIERZ.ODW, 4, 3, 349 macierze, 37 element, 37 macierz diagonalna, 38 macierz odwrotna, 4, 3 macierz smetrczna, 38 mnoenie skalarne, 4 transpozcja, 4 ukad równa liniowch, 3 wektor, 37 wznacznik, 38, 4 makra, 8, 83 skoroszt makr osobistch, 86 Makra, 86 makroinstrukcje, 8 makropolecenia, 8, 83 nazw, 87 przpisanie do formantów, 343 rejestracja, 84 testowanie, 3 uruchamianie, 83, 86, 3 Maksmalna liczba iteracji, 86 Maksmalna zmiana, 86 mantsa, 4 MATCH, 353 MatchEntr, 34 MatchRequired, 34 Ma, 339 MAX, 46, 357 MAX.A, 357 MAX.K, 78, 357 MAXA, 357 MaChange, 39 MaLength, 339, 34 MDETERM, 35 MEDIAN, 357 MEDIANA, 357 Meneder nazw, 9,,, 3 methods, 95 metoda 3/8, 99 metoda ekstrapolacji, metoda Eulera, 8 modfikacje, 3 metoda GoalSeek, 38 metoda iteracji prostej, 4

22 384 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich metoda kwadratur, 98 metoda nadrelaksacji, 3 metoda Newtona, 5, 45 metoda Newtona-Raphsona, 6 metoda parabol, 98, 99 metoda prostoktów, 98, 99 metoda rónic skoczonch, 4, 8 metoda Rungego-Kutt, 7, 3 metoda siatek, 8 metoda siecznch, 43, 47 przspieszenie zbienoci, 44 metoda Simpsona, 98, metoda strzaów, metoda stcznch, 45 zmodfikowana metoda stcznch, 46 metoda trapezów, 98, 99 metod, 95, 97 metod analitcznego rozwizwania równa róniczkowch, 7 Microsoft Ecel, 7 Microsoft Office, MID, 367 MIESIC, 374 Min, 339 MIN, 357 MIN.A, 357 MIN.K, 78, 357 MINA, 357 minimalna suma kwadratów, 77, 93 minimum, 55 MINUTA, 374 MINUTE, 374 MINERSE, 349 MMULT, 349 mnoenie macierz, 4 MOD, 9, 349 MODE, 367 MODE.MULT, 367 MODE.SNGL, 367 modu liczb zespolonej, 5 MODU.LICZBY, 3, 3, 4, 37, 38, 35 MODU.LICZBY.ZESP, 5, 37 modu, 85 MONTH, 374 MROUND, 35 MultiLine, 339 MULTINOMIAL, 35 MultiSelect, 338, 34 N N, 355 NA, 354 NACHYLENIE, 8,, 357 nadawanie nazw, 9 nadawanie wartoci zmiennm, 9 nadrelaksacja, 3 NAJMN.WSP.WIEL, 35 najmniejsza suma kwadratów, 78 NAJW.WSP.DZIEL, 35 Name, 337 Narzdzia tabel/projektowanie, 57 Naukow, 4 nawias klamrowe, 38, 4 nawias okrge, 5 nazw, 8, 9, 43, 87 definiowanie, nadawanie, 9 nazw kwalifikowane, 9 stosowanie, 3 nazw formu, nazw tabel, 9 nazw tablic, 39 Nazw zdefiniowane, negacja, 3 NEGBINOM.DIST, 36 NEGBINOMDIST, 36 Net, 38, 39 NIE, 353 nieudokumentowane formant pola tekstowego, 34 NORM.DIST, 363 NORM.IN, 363 NORM.S.DIST, 363 NORM.S.IN, 363 NORMALIZUJ, 357 NORMDIST, 363 NORMIN, 363 NORMSDIST, 363 NORMSIN, 363 Not, 93 NOT, 353 NOW, 374 Nowe makro, 84 NR.BDU, 355 NR.KOLUMNY, 33, 5, 353 NumberFormat, 96 numerczne obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem, 9 numerczne róniczkowanie danch pomiarowch, 9 O obiekt, 95 Application, 98 Range, 95 waciwoci, 95 Object, 9 objects, 95 OBLICZ, 9 obliczanie caek niewaciwch, metoda ekstrapolacji, obliczanie caek oznaczonch, 97, 99, iteracje, 8 metoda kwadratur, 97 metod, 97, 99

23 Skorowidz 385 odwoania ckliczne, 8 operacje tablicowe, szereg potgow, obliczanie górnej granic cakowania, 5 funkcja podcakowa opisana wzorem, 6 funkcja podcakowa w postaci zbioru punktów pomiarowch, 7 metoda Newtona, 6 Solver, 6 obliczenia, 6 obliczanie pierwiastków równania kwadratowego, 33 obliczanie sum szeregów, 3 obliczanie wartoci wielomianu, 3 obliczenia czstkowe wielkoci molowch, 94 obliczenia iteracjne, 7 iteracje, 9 obracanie wkresu, 83 Obraz, 33, 34 Obrót 3-W, 83 obsuga zdarze, 345 obszar, 7, 37 obwod elektrczne prdu zmiennego, 57 OCTBIN, 37 OCTDEC, 43, 37 OCTHEX, 37 ODCH.KWADRATOWE, 357 ODCH.STAND.POPUL, 357 ODCH.STANDARD.POPUL, 357 ODCH.STANDARD.PRÓBKI, 358 ODCH.STANDARDOWE, 358 ODCH.STANDARDOWE.A, 358 ODCH.REDNIE, 358 ODCITA, 8, 358 odcztwanie adresów, 33 odwoania, 8, 9, 34 odwoania do elementów tablic, 44 odwoania do fragmentów tablic, 44 odwoania ckliczne, 8, 9, 3 obliczanie caek oznaczonch, 8 rozwizwanie równa nieliniowch, 48 odwoania strukturalne, 57, 58 cztelno, 6 funkcja autouzupeniania formu, 6 kopiowanie, 6 odwoania do wbranch elementów, 6 odwoania strukturalne kwalifikowane, 59 odwoania strukturalne niekwalifikowane, 59 przenoszenie, 6 skadnia, 58 stosowanie, 6 wpenianie, 6 zewntrzne odwoania strukturalne, 6 odzskiwanie danch z tabeli lub list, 7 Offset, 99, 36 OFFSET, 353 ogólne rozwizania równania róniczkowego, 7 Ogóln, 4, 5 okno oblicze bezporednich, 3 okno podgldu zmiennch, 3 okno zmiennch lokalnch, 3 Opcje obliczania, 85 operacje na komórkach sformatowanch w okrelon sposób, 36 operacje tablicowe, 38, operator, %, 3 operator artmetczne, 3 operator odwoania, 59 operator relacji, 3 pierwszestwo dziaa, BA, 9 Option Base, 3, 33 Option Eplicit, 9 Optional, 33 OptionButton, 33 Or, 93 OR, 35 ORAZ, 67, 353 Orientation, 339 osadzanie w arkuszu plików graficznch, 34 OSAD, 34 ÓSM.NA.DWÓJK, 37 ÓSM.NA.DZIES, 37 ÓSM.NA.SZESN, 37 Ó P ParamArra, 33 parametr, 84, 33 parametr opcjonalne, 33 pasek narzdzi Debug, 3 Pasek przewijania, 33, 335, 339 PasswordChar, 339 PEARSON, 358 PERCENTILE, 358 PERCENTILE.EXC, 358 PERCENTILE.INC, 358 PERCENTRANK, 359 PERCENTRANK.EXC, 359 PERCENTRANK.INC, 359 PERCENTYL, 358 PERCENTYL.PRZEDZ.OTW, 78, 358 PERCENTYL.PRZEDZ.ZAMK, 78, 358 PERMUT, 358 PERMUTACJE, 358 Personal.ls, 86 ptle, 38 Do...Loop, 39 For Each... Net, 39 For...Net, 38 wjcie awarjne z ptli, 39

24 386 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich PI, 4, 35 Picture, 337, 338, 34, 34 PictureAlignment, 34 PicturePosition, 337, 338, 34 PictureSizeMode, 34 PictureTiling, 34 PIERW.PI, 34, 35 PIERWIASTEK, 8, 37, 57, 93, 35 PIERWIASTEK.LICZBY.ZESP, 54, 37 pierwiastki równania kwadratowego, 33 pierwszestwo dziaa, plan cakowitego ekspermentu cznnikowego, 53 pochodna, 89 PODAJ.POZYCJ, 6, 65, 67, 68, 7, 7, 353 podprogram, 8, 83, 84 PODSTAW, 34, 9, 367 POISSON, 364 POISSON.DIST, 364 Poka formu, 5 Pokrto, 33, 334 pola, 6 Pole grup, 33, 335 Pole kombi, 33, 335, 34 Pole list, 33, 334, 338 Pole nazw, 9 pole skalarne, 8 Pole tekstowe, 33, 339 pole trójkta, 88 Pole wboru, 33, 333, 337 PORÓWNAJ, 69, 367 porównwanie tekst, 4 wartoci logiczne, 4 posta trgonometrczna liczb zespolonej, 5 poszukiwanie minimum, 55 POTGA, 35 POTGA.LICZBY.ZESP, 54, 37 POWER, 35 POWT, 367 POZYCJA, 358 POZYCJA.NAJW, 358 POZYCJA.R, 359 PRAWDA, 4, 3 PRAWDPD, 359 prawo Ficka, 34 prawo rozciecze Ostwalda, 99 PRAWY, 367 predefiniowane specfikator wiersz, 59 Preserve, 3 PROB, 359 PROC.POZ.PRZEDZ.OTW, 359 PROC.POZ.PRZEDZ.ZAMK, 359 procedura obsugi zdarzenia, 345 PROCENT.POZYCJA, 359 Procentow, 4 proces transportu mas lub ciepa, 34 PRODUCT, 349 properties, 95 Properties, 336 ProportionalThumb, 34 PRÓG.ROZKAD.DWUM, 359 przechowwanie makropolece, 86 przecignij i upu, 7 Przegldarka Projektów, 85 przenoszenie formu, 9 komórki, 8 odwoania strukturalne, 6 PRZESUNICIE, 47, 6, 8, 68, 345, 353 przesuwanie zawartoci komórek, 6 przeszukiwanie tablic, 63 przewodnictwo molowe, 84 Przbornik formantów, 33 Przcisk, 33, 333 Przcisk opcji, 33, 334, 338 Przcisk pokrta, 33, 339 Przcisk polecenia, 83, 33, 337 Przcisk przecznika, 33, 34 Przpisz makro, 343 puapki programowe, 87, 3 punkt przegicia, 9 QUARTILE, 356 QUARTILE.EXC, 356 QUARTILE.INC, 356 Quick Watch, 3 QUOTIENT, 349 R.KWADRAT, 8, 359 RC, 7 RADIANS, 35 RADIANY, 35 RAND, 349 RANDBETWEEN, 349 Range, 95, 96, 97, 3, 33 Count, 96 Formula, 96 NumberFormat, 96 Select, 98 alue, 96 RANK, 358 RANK.AG, 359 RANK.EQ, 358 ReDim, 3 REGBSTD, 359 REGEXPP, 94, 359 REGEXPW, 359 REGLINP, 94, 96, 7, 75, 76, 8, 8, 83,, 36 REGLINW, 69, 7, 73, 76, 88, 9, 36 REGLINX, 67, 69, 88, 36 Q R

25 Skorowidz 387 regresja, 78 regresja quasi-liniowa, 93 regresja wielokrotna, 87 regresja liniowa, 77, 8 funkcja liniowa jednej zmiennej, 8 funkcje dwu zmiennch, 88 NACHYLENIE, 8 ocena statstczna jakoci dopasowania równania regresji, 79 ODCITA, 8 R.KWADRAT, 8 zastosowanie, 77 regresja nieliniowa, 93 ocena statstczna jakoci dopasowania równania regresji, 95 Solver, 94, 96 zasada minimalnej sum kwadratów, 93 zastosowanie, 93 regula falsi, 43, 47 Rejestrator Makropolece, 84 rejestrowanie makropolece, 84 rekord, 6 relacje, 3 REPLACE, 368 REPT, 367 RIGHT, 367 Rnd, 94 ROK, 374 ROUND, 35 ROUNDDOWN, 35 ROUNDUP, 35 ROW, 354 ROWS, 353 Rows.Count, 3 ROZK.BETA, 36 ROZK.BETA.ODWR, 36 ROZK.CHI, 36 ROZK.CHI.ODWR, 36 ROZK.CHI.PS, 36 ROZK.DWUM, 36 ROZK.DWUM.ODWR, 359, 36 ROZK.DWUM.PRZEC, 36 ROZK.EXP, 36 ROZK.F, 36 ROZK.F.ODWR, 36 ROZK.F.ODWR.PS, 36 ROZK.F.PS, 36 ROZK.GAMMA, 36 ROZK.GAMMA.ODWR, 36 ROZK.HIPERGEOM, 36 ROZK.LOG, 363 ROZK.LOG.ODWR, 363 ROZK.NORMALNY, 363 ROZK.NORMALNY.ODWR, 363 ROZK.NORMALNY.S, 363 ROZK.NORMALNY.S.ODWR, 363 ROZK.POISSON, 364 ROZK.T, 364 ROZK.T.DS, 364 ROZK.T.ODWR, 364 ROZK.T.ODWR.DS, 364 ROZK.T.PS, 364 ROZK.WEIBULL, 364 ROZKAD.BETA, 36 ROZKAD.BETA.ODW, 36 ROZKAD.CHI, 36 ROZKAD.CHI.ODW, 36 ROZKAD.DWUM, 36 ROZKAD.DWUM.PRZEC, 36 ROZKAD.EXP, 36 ROZKAD.F, 36 ROZKAD.F.ODW, 36 ROZKAD.FISHER, 36 ROZKAD.FISHER.ODW, 36 ROZKAD.GAMMA, 36 ROZKAD.GAMMA.ODW, 36 ROZKAD.HIPERGEOM, 36 ROZKAD.LIN.GAMMA, 3, 36 ROZKAD.LIN.GAMMA.DOK, 363 ROZKAD.LOG, 363 ROZKAD.LOG.ODW, 363 ROZKAD.NORMALNY, 363 ROZKAD.NORMALNY.ODW, 363 ROZKAD.NORMALNY.S, 363 ROZKAD.NORMALNY.S.ODW, 363 ROZKAD.POISSON, 364 ROZKAD.T, 364 ROZKAD.T.ODW, 364 ROZKAD.WEIBULL, 364 rozmiar tablic, 3 rozwizwanie równa nieliniowch, 35 graficzne szacowanie pierwiastków, 39 metoda GoalSeek, 38 metoda iteracji prostej, 4 metoda Newtona, 45 metoda siecznch, 43, 47 metoda stcznch, 45 odwoania ckliczne, 48 przspieszenie zbienoci metod siecznch, 44 regula falsi, 43 Solver, 49, 5 Szukaj wniku, 49 wrónik, 35 zmodfikowana metoda stcznch, 46 rozwizwanie równa róniczkowch czstkowch, 8 rozwizwanie równa róniczkowch metod Rungego-Kutt, 7, 3 rozwizwanie ukadu równa liniowch, 4, 3 Solver, 33 rozwizwanie ukadu równa nieliniowch, 56 metoda minimalizacji sum kwadratów, 54 metoda Newtona-Raphsona, 6 zmienna pomocnicza, 57 rozwizwanie zagadnienia pocztkowego metod Eulera, 8

26 388 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich równania kwadratowe, 35 pierwiastki, 33 równania nieliniowe, 35 równania róniczkowe, 7 dokadno rozwizania, 7 metoda Rungego-Kutt, 3 metod analitcznego rozwizwania równa róniczkowch, 7 rzd równania, 7 warunki brzegowe, 7 warunki pocztkowe, 7 zagadnienie pocztkowe, 8 równania róniczkowe czstkowe, 7 metoda nadrelaksacji, 3 metoda rónic skoczonch, 8 metoda siatek, 8 metod numerczne oparte na schematach rónicowch, 36 równania eliptczne, 8 równania hiperboliczne, 8 równania mieszane, 7 równania paraboliczne, 8, 34 schemat jawn, 36 schemat niejawn Cranka-Nicolsona, 37 równania róniczkowe zwczajne, 7 dokadno metod cakowania równa róniczkowch, 9 dopasowanie warunku brzegowego, metoda rónic skoczonch, 4 metoda Rungego-Kutt, 7 metoda strzaów, modfikacje metod Eulera, 3 rozwizwanie zagadnienia pocztkowego metod Eulera, 8 zagadnienie brzegowe, równanie izoterm Langmuira, 85, 4 równanie kinetki chemicznej, 8 równanie Laplace a, 8 równanie van der Waalsa, 84 równo liczb zespolonch, 5 RÓN.LICZB.ZESP, 37 róniczkowanie numerczne, 89 aproksmacje, 9, 93 bezporednie oszacowanie wartoci pochodnch na podstawie danch pomiarowch, 9 dane pomiarowe, 9 funkcje aproksmujce, 93 obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem, 9 pochodna, 89 pochodne drugiego i wszch rzdów, 9 punkt przegicia, 9 punkt krtczne, 9 rónice centralne, 9 rónice przednie, 9 rónice wsteczne, 9 szereg Talora, 9 RSQ, 359 rzd równania róniczkowego, 7 S schemat Hornera, 3 schemat jawn, 36 schemat niejawn Cranka-Nicolsona, 37 ScrollBar, 33 ScrollBars, 339, 34 SEARCH, 367 SECOND, 374 SEKUNDA, 374 Select, 97, 98 Select Case, 37 Selection, 98, 3 SERIESSUM, 6, 35 Set, 3 ShowDropButtonWhen, 34 SIGN, 35 SILNIA, 5,, 4, 35 SILNIA.DWUKR, 35 Sin, 94 SIN, 35 SIN.LICZBY.ZESP, 56, 37 Single, 9 SINH, 35 skalarne mnoenie macierz, 4 SKEW, 365 skadnia odwoa strukturalnch, 58 skadniki szeregu, skoroszt, 3 arkusze, 3 skoroszt makr osobistch, 86 SKONO, 365 SLOPE, 357 SMALL, 357 SmallChange, 339 Solver, 5, 5, 58 korelacja nieliniowa, 3 regresja nieliniowa, 96 rozwizwanie równa nieliniowch, 49, 5, 59 rozwizwanie ukadu równa liniowch, 33 sortowanie, 6 SpinButton, 33 Spinner, 33 sposób wwietlania danch, 5 SPRAWD.PRÓG, 37 SPRZ.LICZBY.ZESP, 5, 37 Sqr, 88, 94 SQRT, 93, 35 SQRTPI, 34, 35 staa dsocjacji K c kwasu azotowego w metanolu, 99 stae liczbowe, 4, 6 stae logiczne, 4, 6 stae tablicowe, 7, 3, 38 stae tekstowe, 7 STANDARDIZE, 357 STDE, 358 STDE.P, 357 STDE.S, 358

27 Skorowidz 389 STDEA, 358 STDEP, 357 Step, 38 Step Into, 3 Step Out, 3 Step Over, 3 sterowanie wkonaniem kodu, 35 STEYX, 359 STOPNIE, 8, 35 stos wwoa procedur, 3 Str, 94 String, 9 struktura tabeli, 58 stl A, 34, 96 stl adresowania komórek, 7 stl RC, 7 stl WK, 7, 34, 96 Stle, 34 Sub, 83, 84 SUBSTITUTE, 367 SUBTOTAL, 35 SUM, 35 SUMA, 4, 43, 54, 38, 35 suma regresjna, 8, 8 suma resztkowa, 79 suma szeregów, 3 SUMA.ILOCZYNÓW, 56, 7, 35 SUMA.JEELI, 35 SUMA.KWADRATÓW, 55, 33, 35 SUMA.LICZB.ZESP, 373 SUMA.SZER.POT, 35 SUMA.WARUNKÓW, 35 SUMA.X.M.Y, 35 SUMA.X.P.Y, 35 SUMA.XMY., 98, 35 SUMA_KOLOR, 36 SUMIF, 35 SUMIFS, 35 SUMPRODUCT, 35 SUMSQ, 35 SUMXMY, 35 SUMXPY, 35 SUMXMY, 35 SUMY.CZCIOWE, 74, 75, 35 SUMY.POREDNIE, 74, 75, 35 sstem dwójkow, 43 sstem liczbow, 43 sstem ósemkow, 43 sstem pozcjn, 43 sstem szesnastkow, 43 szczególne rozwizania równania róniczkowego, 7 szereg funkcjn, szereg geometrczn, szereg liczbow, szereg Maclaurina, szereg naprzemienn, szereg potgow,,, 6 szereg Talora, 9, SZESN.NA.DWÓJK, 373 SZESN.NA.DZIES, 44, 373 SZESN.NA.ÓSM, 373 Szukaj wniku, 5, 6, 5, 58 rozwizwanie równa nieliniowch, 49 SZUKAJ.TEKST, 367 redni bd wartoci, 79, 95 REDNIA, 9, 365 REDNIA.A, 365 REDNIA.GEOMETRYCZNA, 365 REDNIA.HARMONICZNA, 365 REDNIA.JEELI, 365 REDNIA.WARUNKÓW, 365 REDNIA.WEWN, 365 rednik, 4, 38 T, 368 T.DIST, 364 T.DIST.T, 364 T.DIST.RT, 364 T.IN, 364 T.IN.T, 364 T.TEST, 365 Tabela, 67 Tabela danch, 67 tabele, 9, 57, 5, 6 definiowanie, 57 dodawanie kolumn i wiersz, 6 element skadowe, 58 formu tablicowe, 6 INDEKS, 6 czenie specfikatorów kolumn, 59 odwoania strukturalne, 57, 58 operator odwoania, 59 predefiniowane specfikator wiersz, 59 PRZESUNICIE, 6 ukrwanie nagówków kolumn, 6 usuwanie kolumn i wiersz, 6 wstawianie, 57 zmiana nazw tabeli, 6 tablice, 37, 3 adres skrajnch komórek, 38 deklaracja, 3 dnamiczne generowanie tablic o zadanm rozmiarze, 5 element, 37 indeks pocztkow, 3 konwersja tablic dwuwmiarowej w jednowmiarow, 3 czenie tablic, 48 nazw, 38, 39 odwoania do elementów, 44 odwoania do pocztkowch elementów, 48 T

28 39 Ecel w obliczeniach naukowch i innierskich tablice operacje, 38, 39 rozmiar tablic, 3, 3 separator, 38 tablice wielowmiarowe, 3 transpozcja, 4 wprowadzanie, 38 zakres indeksów, 3 tablice dnamiczne, 5 stosowanie, 54 tablice funkcji dwu zmiennch, 69 tablice funkcji jednej zmiennej, 65, 63 przeszukiwanie, 63 tablice funkcji jednej zmiennej okrelonej w sposób niejawn (uwikan), 68 tablice mieszane, 48 Tan, 94 TAN, 35 TANH, 35 TDIST, 364 tekst, 5 TEKST, 368 Tekstow, 5 TERAZ, 374 TEST.CHI, 365 TEST.F, 365 TEST.T, 365 TEST.Z, 366 testowanie makropolece, 3 TEXT, 368 TetAlign, 337, 339, 34 TetBo, 33 Then, 36, 37 TIME, 373 TIMEALUE, 373 TIN, 364 To, 38 TODAY, 373 Toggle Breakpoint, 3 ToggleButton, 33 Top, 337 TRANSPONUJ, 4, 5, 353 transport mas lub ciepa, 34 TRANSPOSE, 353 transpozcja macierz, 4 TREND, 36 trend liniow, 69 TRIMMEAN, 365 TripleState, 337, 34 TRUNC, 349 trb projektowania, 3 trb wwietlania formu, 6 TTEST, 365 tworzenie tablice funkcji dwu zmiennch, 69 tablice funkcji jednej zmiennej, 65 tablice funkcji jednej zmiennej okrelonej w sposób niejawn (uwikan), 68 tablice mieszane, 48 wkres punktowe, 77 TYP, 355 TYPE, 355 tp danch, 3 BA, 9 UBound, 94, 3, 3 UFNO, 366 UFNO.NORM, 366 UFNO.T, 366 ukad równa liniowch, 4, 3 macierze, 3 rozwizanie, 3, 3 zapis ukadu równa, 3 ukad równa nieliniowch, 53 metoda minimalizacji sum kwadratów, 54 metoda Newtona-Raphsona, 6 minimum, 55 rozwizanie, 56 Solver, 59 ukad zoon z dwu równa, 53 ukad zoon z trzech i wicej równa, 59 ukoniki, 4 ukoniki wsteczne, 38 ukrwanie nagówków kolumn, 6 uamki algebraiczne, 6 Uamkow, 4 Union, 97 uruchamianie makropolece, 83, 86, 3 usuwanie nazw, 8 Utwórz z zaznaczenia, 9, U al, 34, 35 alue, 95, 339, 34 ALUE, 368 AR, 366 AR.P, 366 AR.S, 366 ARA, 366 ariant, 9, 34, 34 ARP, 366 ARPA, 366 BA, 8, 8 And, 93 argument, 84 As, 89, 9 Dim, 89, 9 Do...Loop, 39 Eqv, 93 For Each... Net, 39 For...Net, 38 Function, 83 funkcje, 83, 84, 88, 94

29 Skorowidz 39 funkcje definiowane przez utkownika, 3 If, 36 Imp, 93 instrukcja przpisania, 9 instrukcje warunkowe, 35 Is, 9, 38 komentarze, 3 komórka aktwna, 98 komunikat bdów, 35 koniec linii, 87 Like, 9 makropolecenia, 83 metod, 97 modu, 85 nazw, 87 Not, 93 obiekt, 95 operator, 9 operator porównania, 38 Option Eplicit, 9 Or, 93 parametr, 84 pasek narzdzi Debug, 3 ptle, 38 podprogram, 8, 83, 84 ReDim, 3 Select Case, 37 Sub, 83, 84 tablice, 3 testowanie makropolece, 3 Then, 36 tp danch, 9 uruchamianie makropolece, 3 wprowadzanie kodu, 87 wmiana informacji z arkuszem, 98 wraenia, 9 wwoanie rekurencjne, 84 Xor, 93 zaznaczenie, 98 zmienne, 89 zmienne lokalne, 88 isual Basic, 8 isual Basic for Applications, 8, 8 LOOKUP, 354 W WK, 7, 34, 96 WARIANCJA, 366 wariancja pomiaru, 79 wariancja resztkowa, 79 WARIANCJA.A, 366 WARIANCJA.POPUL.A, 366 WARIANCJA.PRÓBKI, 366 wartoci logiczne, 5 WARTO, 368 Watch, 3 Watch Window, 3 WEIBULL, 364 WEIBULL.DIST, 364 wektor, 37 wersja Ecela,, 35 Width, 337, 344 WIELOMIAN, 35 wielomian interpolacjn, 7 wielomian Lagrange a, 7, 75 WIERSZ, 33, 5,, 8, 5, 354 wiersze, 3, 3 Wklej, 7 waciwoci, 95 tlko do odcztu, 95 WordWrap, 337, 339, 34 Workbook, 95 Worksheet, 95 WorksheetFunction, 95, 35 wprowadzanie formu tablicowe, 4 kod BA, 87 WSP.KORELACJI, 366 wspócznnik determinacji, 79, 8 wspórzdne biegunowe, 8 Wstaw funkcj, 4, 89 wstawianie tabeli, 57 WYBIERZ, 49, 36, 354 wkadnicza posta liczb zespolonej, 5 wkres, 75 linia trendu, 78 model linii trendu, 79 regresja, 78 wkres liniowe, 76 wkres radarowe, 76, 8, 8 wkres XY, 76 wkres dnamiczne, 85 krzwe Lissajous, 85 wkres powierzchniowe, 76, 83 paski wkres izolinii, 83 zredukowane równanie stanu gazu van der Waalsa, 83 wkres przebiegu w czasie, 86 wielko wkresu, 87 wgld wkresu, 87 zmienno gstoci pierwiastków, 87 wkres punktowe, 76 przgotowanie danch, 76 punkt poczone lini, 78 tworzenie, 77 wliczanie adresów, 33 wmiana informacji midz arkuszem a kodem BA, 98 wpenianie odwoa strukturalnch, 6 wraenia, 6, 9 wrónik rozwizwanie równania kwadratowego, 35 WYST.NAJCZCIEJ, 367 WYST.NAJCZCIEJ.TABL, 367 WYST.NAJCZCIEJ.WART, 367 WYSZUKAJ, 6, 64, 73, 354