Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar II. Met kovanca. Avtor: Jernej Urankar

Transkrypt

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar II Met kovanca Avtor: Jernej Urankar Mentor: izred prof dr Simon Širca Ljubljana, 7 april 15 1

2 Kazalo 1 Uvod Kovanec kot togo telo 3 Dinamika vrženega kovanca 4 31 Enačbe gibanja pri prostem padu 4 3 Poenostavitev enačb 4 33 Vektorsko polje hitrosti na površini kovanca 5 34 Sile in navori, ki jih povzroča zračni upor 5 35 Trk s tlemi 6 4 Rezultati simulacij 7 5 Zaključek 1 1 Uvod Definicija kovanca je, da je togo telo z okroglo obliko Lahko govorimo o poštenem ali idealnem kovancu, za katerega je značilno, da je homogen in ima enakomerno porazdeljeno maso Kovanec s korekcijo pa nima enakomerno porazdeljene mase Za oba kovanca, tako poštenega kot takega s korekcijo, velja, da rezultat meta ni naključen, pač pa je določen z začetnimi pogoji Za prikaz gibanja kovanca lahko uporabimo kar Newtonovo mehaniko brez kakršnihkoli dodatnih zunanjih naključnih vplivov, kot so zračne ali termodinamične fluktuacije kovanca S poznavanjem začetnih pogojev pri metu kovanca lahko izračunamo rezultat meta (grb ali cifra) Začetni pogoji pa so pozicija, nagib v prostoru, gibalna in vrtilna količina Končni izidi meta pa so trije: ali pristane obrnjen z grbom navzgor ali pa obratno, torej s števko, tretja varianta pa je, da se ustavi na robu Za ameriški četrtak (»quarter«) je bilo ugotovljeno, da je verjetnost, da pade na rob, približno 1 proti 6 V seminarju bomo simulirali met kovanca Napisali bomo enačbe gibanja in nastavili začetne pogoje Kovanec bomo opisali z modelom ter pokazali model trka s tlemi Na koncu si bomo ogledali rezultate simulacij Kovanec kot togo telo Slika 1: Kovanec kot valj v lastnem koordinatnem sistemu z radijem r, višino h ter maso m [1] Kovanec opišemo kot togo telo v obliki valja z radijem r in višino h, kar prikazuje slika 1 Pri idealnem kovancu se točki geometričnega središča in masnega težišča ujemata Ti dve točki poimenujemo z B in C Koordinatni sistem, v katerem kovanec miruje, bomo poimenovali z njegovimi koordinatami, torej Koordinata težišča je C = ; C = ; C = ; za neidealni kovanec seveda to ne velja, ker je nesimetrično telo Globalni koordinatni sistem naj se imenuje xyz Geometrijsko središče kovanca naj miruje v sistemu x y z Osi slednjega so vzporedne z osmi sistema xyz

3 Orientacijo telesa oziroma njegovega koordinatnega sistema v primerjavi z lokalnim referenčnim prostorom x y z opišemo z matrično enačbo ~r = R~r in ~r = R 1 ~r, kjer je (1) ~r vektor koordinat, ki nam pove lego neke točke A na telesu, preden se prične vrteti, torej v začetni poziciji, ~r pa je vektor koordinat iste točke (A) po izvedenem vrtenju oziroma v končnem položaju R je matrika rotacije in zanjo velja R 1 = R T () Gibanje v trirazsežnem prostoru bi lahko opisali z Eulerjevimi koti, a bomo to rajši storili z Eulerjevimi parametri (ali enotskimi kvarternioni) Prednost le-teh je v tem, da z njimi nimamo težav s singularnostjo pri računskih simulacijah gibanja telesa [] Prav tako s tem skrajšamo čas računanja rotacij z y x Slika : Vrtenje obravnavamo v koordinatnem sistemu x y z Točka O predstavlja izhodišče tega sistema Vektor ~u je enotski vektor, okrog katerega kovanec zarotira Točka P se zavrti okrog tega vektorja za kot v točko P [3] Eulerjeve parametre zapišemo kot vektor: 3 e 6e 1 7 4e e 3 5 = 6 4 cos v 1 sin v sin v 3 sin 3 7 e 5 = ~e = cos ~v sin (3) Eulerjev teorem pravi, da lahko vsako rotacijo togega telesa izrazimo kot rotacijo okoli neke osi Os podamo s trirazsežnim vektorjem ~v; to je enotski vektor in ta ostane med rotacijo nespremenjen Kot rotacije označimo s ' Na sliki je prikazan ta vektor in rotacija okrog njega Matrika rotacije R je kjer je R = (e 1)I + ~e ~e T + e E, (4) E = 4 e 3 e e 3 e 1 e e (5) Na podlagi matrike rotacije lahko definiramo matriko, ki vsebuje komponente vektorja kotne hitrosti telesa (oziroma tenzor), ki ga bomo potrebovali pri dinamični analizi telesa: Toda ta matrika je v sistemu xyz, v sistemu kovanca pa ima ta matrika obliko Ω = _ RR T (6) Ω ~ = R T ΩR (7) 3

4 3 Dinamika vrženega kovanca Predpostavimo, da kovanec odvržemo na višini z Masno središče kovanca označimo z vektorjem ~r(t = ) = [x y z ] T Začetna smer v prostoru naj bo ~ (t = ) = [ ' ] T in kotna hitrost spreminjanja le-te ~! = [!!! ] T Kovanec pade na tla, ko je koordinata z najnižje točke kovanca enaka nič Kolikšen del energije se pri trku s tlemi porazdeli, opišemo s koeficientom restitucije Ta je 1 Po trku težišče kovanca odleti do višine z 1 Energija sistema po trku je enaka energiji tik po trku, a če zračnega upora ne zanemarimo, se energija kovanca že med gibanjem po zraku manjša Kovanec se giblje, dokler ponovno ne prileti na tla Simuliramo toliko časa, dokler skupna energija kovanca E = T + V ni manjša od mgr, kar pomeni, da je manjša kot potencialna energija masnega težišča na višini radija Takrat kovanec tudi ne more več spreminjati strani 31 Enačbe gibanja pri prostem padu Gibanje homogenega kovanca opišemo z dvema enačbama, ki sta napisani v matrični obliki pospeševanje masnega težišča in lego kovanca: Prva opisuje M~a C = ~ f, (8) druga pa spremembo kotne hitrosti (krožne frekvence) in orientacijo kovanca v prostoru: J C _ ~! + Ω ~ J C ~! = ~m C (9) V zgornjih dveh enačbah je M masna matrika kovanca (M = diag(m m m)), ~a C je vektor pospeška masnega težišča, f ~ je vsota zunanjih sil v sistemu xyz, ki delujejo na kovanec, J c je tenzor vztrajnostnega momenta Tu sta! in vektorja kotne hitrosti telesa, ~m C pa je vektor zunanjih navorov, ki delujejo na telo Zgornji dve enačbi nista sklopljeni Za neidealni (nesimetrični in nehomogeni) kovanec se točki B in C ne pokrivata, saj težišče ni v geometričnem središču Tako v tem primeru uporabimo enačbi M(~a B + _ Ω~r C + ΩΩ~r C ) = ~ f, (1) J B _ ~! + Ω ~ J B ~! + MR C ~a B = ~m B, (11) ki pa sta sklopljeni Tu a~ B označuje absolutni pospešek geometričnega središča kovanca (točke B), r~ C in R C vsebujeta koordinate vektorja r~ C (to pove lega masnega centra (C) z ozirom na geometrični center (B)), J B je matrika vztrajnostnega momenta telesa, ki pa je določena s koordinatnim sistemom B B B, m~ B je vsota zunanjih navorov V splošnem tenzor J B ni diagonalen, saj osi B B B niso nujno diagonalne, tako se v tej matriki pojavi vrednosti različne od nič 3 Poenostavitev enačb Pri idealnem kovancu, ki je trirazsežen, lahko poenostavimo tenzor vztrajnostnega momenta (J c ), saj smemo upoštevati naslednje vztrajnostne momente: J = J = mr medtem ko so izvendiagonalni elementi enaki nič: 4 + mh ; J = mr 1, (1) J = J = J = (13) Dvorazsežen model kovanca je pravzaprav okrogla ploščica, torej je neskončno tanek, kar seveda pomeni, da velja h = ter J = in J = V tem primeru je le en nediagonalni moment vztrajnostnega momenta različen od nič: J 6= (14) 4

5 Še bolj poenostavljen model je enorazsežni kovanec, kar upodobimo zgolj z daljico Zanj velja podobno kot pri prejšnjem primeru, torej h =, J = in J = Poleg tega se lahko obrača zgolj okoli ene osi! =! =, _! = _! =, saj rotira le okrog ene osi () in ta os tako ves čas vztraja v vodoravnem položaju 33 Vektorsko polje hitrosti na površini kovanca Zaradi zračnega upora delujeta na kovanec dodatna sila in navor Preden pričnemo z njuno obravnavo, moramo izračunati hitrost gibanja kovanca glede na okoliški zrak, oziroma v globalnem koordinatnem sistemu xyz Hitrost označimo s simbolom ~v A 1, (15) ki je hitrost v točki A 1 nekje na površini kovanca Z indeksom 1 označimo, za katero površino gre V tem primeru računamo hitrost na zgornji ploskvi, to je pri = h Z indeksoma bomo označili enačbe v zvezi s hitrostjo na spodnji ploskvi, s 3 pa s tistimi na plašču Hitrost se izračuna z relacijo ~v A 1 = ~v B + Ω~r BA 1, (16) kjer je ~v B hitrost geometričnega središča (B), produkt Ω~r BA 1 pa pove hitrost točke A 1 glede na B Hitrost geometričnega središča je vsota hitrosti gibanja težišča (označen s točko C) in produkta matrike rotacije in vektorja, ki kaže med točkama B in C Zapisano z enačbo: ~v B = ~v C + Ω~r CB (17) Za izračun sile bomo potrebovali hitrost zapisano z dvema komponentama, in sicer v smeri normale glede na površino kovanca (~v A 1n) in v tangencialni smeri (~v A 1 ) Ti sta povezani z relacijo: ~v A 1 = ~v A1 + ~v A 1n (18) R je matrika transformacije, ki koordinate iz koordinatnega sistema pretvori v sistem xyz Normalna komponenta se pretvori v hitrost v sistemu, kjer kovanec miruje, matrika H 1 je sito, s katerim določimo, katere komponente potrebujemo, nato pa pretvorimo to nazaj v globalni sistem: H 1 je matrika s samimi ničlami razen enega diagonalnega elementa, ki je 1: ~v A 1n = RH 1 R T ~v A 1 (19) H 1 = () Vektorji ~v C, ~r BA 1 in ~r CB, ki so uporabljeni v enačbah (16) in (17), so definirani takole: ~v C = [ _x _y _z] T, ~r BA 1 = R~ 1, ~r CB = R~ BC (1) ~ 1 in ~ BC sta radij-vektorja: ~ 1 = cos( ) h T sin( ), ~ BC = [ C C C ] T () Podobno izračunamo hitrostno polje tudi za spodnjo ploskev in plašč 34 Sile in navori, ki jih povzroča zračni upor Pri gibanju kovanca se pojavi zračni upor Upoštevamo ga na desni strani enačb (8), (9), (1) in (11) Težko je določiti vsoti teh sil in navorov in to zaradi spreminjajoče se hitrosti in sprememb v Reynoldsovem številu Re = rv Območje, na katerem se spreminja Reynoldsovo število, je zelo široko Od majhnih vrednosti (Re << 1), ki so običajno pri majhnih hitrostih na začetku gibanja in do Re 1 4 pri hitrosti težišča v = 1m=s in radiju r = :1m Za izračun sil in navorov moramo določiti polje hitrosti na zunanji površini modela kovanca, tj valja 5

6 Vektor sile zračnega upora izračunamo kot vsoto sil na obeh osnovnih ploskvah ( ~ f 1, ~ f ) valja ter na plašču ( ~ f 3 ): ~f r = ~ f 1 + ~ f + ~ f 3 (3) Vsak od teh vektorjev je vsota dveh sil: tangencialne in normalne sile Tako je: ~f i = ~ f i + ~ f in, i = 1,,3 (4) Sila v tangencialni smeri je posledica trenja v zraku, sila v normalni smeri pa je posledica zračnega upora Tangencialni sili na osnovnih ploskvah f 1 in f izračunamo z zvezo: Z r Z ~f i = j~v Aij b ~v Ai d d (i = 1,) (5) Tangencialna sila je odvisna od potence funkcije tangencialne komponente hitrosti ~v Ai Stopnjo potence hitrosti določa parameter b To je realno število z intervala [; 1] Za skrajni vrednosti b = je tako zračni upor linearno odvisen od hitrosti, za b = 1 pa velja kvadratni zakon upora V zgornji enačbi to potenco hitrosti integriramo po površini ploskve valja Najlažje to naredimo v cilindričnem koordinatnem sistemu Tako integriramo po kotu in po radiju valja Radij označimo z, kjer velja: Pri pretvorbi kartezičnih koordinat v cilindrične seveda velja Jacobijeva zveza = p x + y (6) dxdy = dd (7) Sila je odvisna tudi od koeficienta zračnega upora, ki pa je vsebovan v konstanti Normalni sili f 1n in f n sta podani z enačbama: Z r Z ~f in = n j~v Ainj b ~v Ains i d d (i = 1,) (8) Enačba (8) je podobna (5) Tu je uporabljena normalna komponenta hitrosti ~v Ain, prav tako konstanta n V njej je skrit tudi koeficient trenja v zraku Sili, ki delujeta na plašč valja, izračunamo z integracijo po površini plašča To storimo prav tako v cilindričnem sistemu, le da tu integriramo po kotu in po višini valja Torej sili f 3 in f 3n izračunamo z zvezama: Z +h= Z ~f 3 = j~v A 3j b ~v A 3 rd dz, (9) h= Z +h= Z ~f 3n = n j~v A 3nj b ~v A 3ns 3 rd dz (3) h= Tu v Ai ~ označuje vektorsko komponento tangencialno na površino, ker je točka A i in ~ komponente, ki je pravokotna na površino, s i pa je funkcija, ki nam da ustrezen predznak Podobno storimo tudi za navore v Ain vektor hitrosti 35 Trk s tlemi Neidealni kovanec trči s tlemi takrat, ko se točka (A) na njegovem robu dotakne tal komponent hitrosti tik pred trkom in tik po njem (v in v Az Az) opišemo z zvezo: Razmerje navpičnih = v Az v Az, (31) kjer je koeficient restitucije Zanj velja 1, pri = 1 je se hitrosti pred in po trku ohranjata S koordinatami A A A v sistemu kovanca povemo, kje se nahaja točka A Ta se sicer vedno nahaja na robu kovanca ali na zgornji ali spodnji ploskvi Pri trku upoštevamo znane zakone, to so: Newtonov zakon restitucije, to je izračun enačbe (31) [4] Ohranitev vrtilne količine 6

7 Ohranitev gibalne količine m _x S x = m _x, m _y S y = m _y, m _z S z = m _z (3) Imamo sedem enačb in devet neznank To so tri komponente hitrosti po trku ter seveda prav tako tri komponente kotne hitrosti po trku ter S x, S y in S z, ki so komponente gibalne količine ~S, definirane v mirujočem sistemu Za rešitev moramo poiskati še dve enačbi Dobimo ju tako, da upoštevamo še model stika med kovancem in vodoravno površino tal Obstaja več različnih modelov učinka trka Uporabljen je bil model»hrapavega«kovanca (vidimo ga na sliki ( 3 c)) in zanj velja: v Av =, v A = (33) Torej velja, da sta komponenti hitrosti točke dotika s tlemi (A) po trku enaki nič v Av smeri normale, v A pa v tangencialni smeri je hitrost po trku v Slika 3: Različni modeli trka Uporabljen je bil model "hrapavega"kovanca, ta je prikazan na sliki (c) [1] 4 Rezultati simulacij Na sliki 4 so prikazane štiri trajektorije gibanja masnega težišča pri prostem padu za različne tipe kovanca Vidimo po dva para trajektorij, to je rdečo in modro približno skupaj (kar predstavlja dvorazsežna idealni in neidelni kovanec) ter dve zeleni (trirazsežna idealni in neidealni) Slika 5 prikazuje spremembe hitrosti (levo) in pospeška (desno) masnega težišča kovanca V izračunu je vključen tudi vpliv zračnega upora Na naslednji sliki ( 6) lahko vidimo spremembe nagiba kovanca in navpično komponento sile zračnega upora (f rz ) Prekinjena črta predstavlja primere, ko je bil zračni upor zanemarjen, sklenjena pa primere, ko je bil ta upoštevan ( n = :3, = ) Vpliv zračnega upora je za ta parameter očiten Hitrost in pospešek masnega središča nista ravni črti kot v primeru, ko je zračni upor zanemarjen Pravzaprav oscilirata, frekvenca tega nihanja pa pada sorazmerno s padcem krožne hitrosti kovanca Odboj s tlemi pokaže precejšnjo odvisnost od začetnih pogojev Na sliki 7 vidimo prikazane trajektorije masnega težišča kovanca za različne, a ne preveč drugačne začetne pogoje V limitnem primeru, kjer število trkov limitiramo proti neskončnosti, sta območji, kjer pade cifra ali grb, pomešani Tako je rezultat meta kovanca povsem naključen Na sliki 8 (a-c) vidimo rezultat izidov meta pri 1 odbojih Seveda so pri tej simulaciji izgube energije zanemarjene Uporabljenih je milijon različnih začetnih pogojev, to je začetne višine in kotne hitrosti Verjetnost, da je kovanec po 15 metih na neki strani, je enaka 5987, po 1 pa 56 Lahko sklepamo, da bi bila v limiti n! 1 verjetnost enaka 5 [5] Odvisnost od začetnih pogojev lahko prikažemo s preslikavo U : [; ]! [; ] Z intervalom [; ] označimo točke na plašču na robu (plašču) kovanca Preslikava povezuje točki n in n+1, prva označuje mesto trka kovanca s tlemi pri n-tem trku, podobno točka n+1 pri naslednjem trku Zaporedje točk je prikazano na sliki 9 Dinamika preslikave U je kaotična, kar lahko pokaže tudi izračun eksponenta Lyapunova 7

8 Slika 4: Trajektorija dvorazsežnih kovancev, tako idealnega kot neidealnega, sta narisani z rdečo in modro barvo, trajektorija trirazsežnega pa z zelenima barvama [1] ż z ] Slika 5: Časovna odvisnost hitrosti (slika levo) in pospeška (slika desno) idealnega kovanca Sklenjena krivulja prikazuje gibanje kovanca z upoštevanjem zračnega upora, prekinjena pa brez upoštevanja le-tega [1] Slika 6: Časovna odvisnost kosinusa kota nagiba kovanca slika levo in sile upora slika desno Primer, kjer je zračni upor zanemarjen, prikazuje prekinjena krivulja, sklenjena pa prikazuje padec, kjer je ta upoštevan [1] Eksponent Lyapunova nam pove, kako hitro se trajektorije z malenkostno spremenjenimi začetnimi pogoji po neskončnem času ločijo druga od druge [6] Enorazsežni model kovanca nam lahko ustrezno simulira prostih pad le v posebnem primeru, ko se težišče kovanca giblje vzdolž ravnine in ko je smer vektorja skupne vrtilne količine kovanca pravokotna na to ravnino Na sliki 1 vidimo območja verjetnosti za glavo in cifro, ki je izračunana za različne modele kovancev Temno 8

9 Slika 7: Trajektorije masnega težišča kovanca Začetni pogoji so pri vseh enaki, razen začetne višine [1] Slika 8: Verjetnosti, da pade grb ali cifra po 1 odbojih Izgube energije so zanemarjene Sliki b in c predstavljata povečavo prve Uporabljeni so bili taki začetni pogoji: x = y =, _x = _y = _z =, ' = =, = 7=18,! =,! = 4:15=s [5] Slika 9: (a) Pozicije točk trka kovanca s tlemi (b) Odvisnost n od n+1 Število trkov: 316 [1] območje pomeni glavo in belo območje cifro Slika a kaže primer, ko kovanec pade le na tla, a se ne odbije in 9

10 Slika 1: Diagrami prikazujejo rezultat meta, črno pomeni glavo, bela polja pa pomenijo cifrona vseh slikah je simuliran dvorazsežni kovanec Na sliki a in b je simuliran primer, kjer se kovanec od tal ne odbija, pri c in d pa se; pri a in c je zračni upor upoštevan, pri b in d pa ne [1] kjer je zračni upor zanemarjen Pri naslednji sliki (b) je ta upoštevan Sliki c in d prikazujeta modela, kjer se kovanec sme odbijati od tal Uporabljen je bil koeficient restitucije = :6 Fazni diagrami imajo fiksne začetne pogoje, razen višine in krožne frekvence (! ) Slika 11: Sliki a in b predstavljata povečavo slike 1 c Zračni upor je tu upoštevan Sliki c in d sta povečavi slike 1 d Tu je zračni upor zanemarjen V vseh primerih se kovanec odbija [1] Opazimo, da lahko vpliv zračnega upora kar zanemarimo A struktura mej na območjih je mnogo bolj komplicirana, če dopustimo, da se kovanec od tal odbija Na sliki 11 vidimo določeno območje povečano in tam so meje med območjema glave in cifre ravne oziroma gladke 5 Zaključek V tem seminarju sem opisoval dinamiko vrženega kovanca upoštevajoč realne pogoje Opisal sem Eulerjeve parametre, ki sem jih uporabil v enačbah gibanja za trirazsežni neidealni kovanec 1

11 Ugotovil sem, da za realističen kovanec, pri katerem je razdalja med masnim težiščem in geometrijskim središčem majhna, smemo uporabiti poenostavljen model idealnega tankega kovanca Zračni upor lahko zanemarimo, ko kovanec mečemo z majhne višine Zračni upor povzroči odstopanje trajektorije masnega središča z vertikalne osi in zavre vrtenje kovanca Poskakovanje kovanca po tleh ima odločilen vpliv na to, kakšen bo končni izid meta Z vse večjim številom poskokov na tleh so tudi meje med posameznimi območji čedalje bolj zamegljene Tako lahko v tem primeru meta kovanca rečemo, da gre za približno naključen proces Literatura [1] Jarosław Strzałko, J Grabski, A Stefański, P Perlikowski, and T Kapitaniak, Physics reports 469, 59 9 (8) [] C Poole in J Safko H Goldstein Classical Mechanics Third edition(addison Wesley, 1 ) [3] (1 1 14) [4] (1 1 14) [5] Jaroslaw Strzalko, Juliusz Grabski, Andrzej Stefanski, Przemyslaw Perlikowski, and Tomasz Kapitaniak, The Mathematical Intelligencer 3, (1) [6] (1 1 14) [7] (1 1 14) 11