Podstawy dzia ania komputera kwantowego wykorzystuj cego

Transkrypt

1 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) Podstawy dziaania komputera kwantowego wykorzystujcego zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego J. WINIEWSKA Instytut Systemów Informatycznych Wydzia Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna -98 Warszawa, ul. S. Kaliskiego Referat zawiera informacje dotyczce teoretycznych podstaw budowy komputera kwantowego. W ramach implementacji takiego urzdzenia proponowane s róne metody. Tu przybliony zosta pomys wykorzystania zjawiska jdrowego rezonansu magnetycznego. Nastpnie zostay przedstawione macierzowe postacie operatorów unitarnych, które odwzorowuj podstawowe operacje logiczne, jakie bdzie w stanie wykona komputer kwantowy. Referat nie zawiera oryginalnego dorobku naukowego autorki, lecz zosta przygotowany jako materia szkoleniowy na XXII Sympozjum Koa Zainteresowa Cybernetycznych Wojskowej Akademii Technicznej na podstawie [5]. Keywords: komputer kwantowy, bramki kwantowe, jdrowy rezonans magnetyczny. Jdrowy rezonans magnetyczny Jdrowy rezonans magnetyczny jest jednym ze zjawisk fizycznych, obok m. in. puapkowania jonów, kropek kwantowych, zcza Josephsona i metod optycznych, które rokuje nadziej, i na jego bazie bdzie moliwe zbudowanie komputera kwantowego [5]. Zjawisko jdrowego rezonansu magnetycenego polega na rezonansowym pochanianiu energii elektromagnetycznej w ciaach staych, cieczach i gazach. Zjawisko to zachodzi, gdy badana substancja skada si z pierwiastków, których jdra maj nieparzyst liczb protonów lub neutronów. Nukleony te posiadaj tzw. moment magnetyczny oraz wewntrzny moment pdu, czyli spin. B Rys.. Kierunek wektorów momentów magnetycznych protonów w staym polu magnetycznym o indukcji B Gdy na protony nie oddziauje zewntrzne pole magnetyczne, kierunki momentów magnetycznych tych nukleonów s ustawione przypadkowo. Jeeli znajd si one w staym polu magnetycznym, to kierunki momentów magnetycznych ustawi si wzdu linii pola magnetycznego. Cz protonów przyjmie pooenie równolege (o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem pola magnetycznego B ), a pozostae antyrównolege (Rys. ). Niezalenie od kierunku spinu (równolegle lub antyrównolegle wzgldem linii pola magnetycznego), wektor momentu pdu kadego protonu wykonuje w przestrzeni ruch obrotowy zakrelajc stoek, którego wierzchoek stanowi jdro atomu. Ruch ten nazywa si precesj i jest wywoany dziaaniem zewntrznej siy pola magnetycznego o indukcji B. Czstotliwo ruchu precesyjnego jest okrelona wzorem Larmora: f = B / lub = B () gdzie: staa yromagnetyczna, B indukcja pola magnetycznego [T]. W warunkach równowagi termodynamicznej liczba protonów, ustawiona zgodnie z kierunkiem B (co odpowiada niszemu poziomowi energetycznemu stanu magnetycznego), jest wiksza od liczby protonów ustawionych przeciwnie. Na skutek tego w badanym ukadzie wystpi niewielkie wypadkowe namagnesowanie M. Taki ukad moe pochon energi dostarczon z zewntrz, jeeli podziaamy na niego polem elektromagnetycznym, którego czstotliwo jest równa czstotliwoci Larmora (ley ona w przedziale czstotliwoci radiowych). Po otrzymaniu takiego impulsu wypadkowy wektor magnetyzacji moe zmieni 69

2 7 J. Winiewska, Podstawy dziaania komputera kwantowego wykorzystujcego zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego swoje pooenie w odniesieniu do zewntrznego pola magnetycznego B i odchyli si od jego kierunku o pewien kt. Gdy pobudzenie ustanie, moment M powraca do stanu pocztkowego, a nagromadzona energia zostaje wyemitowana w postaci tzw. sygnau swobodnej relaksacji lub echa. Zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego jest wykorzystywane w nastpujcy sposób: cewka nadawcza, skierowana na badany obiekt, wysya impulsy elektromagnetyczne o waciwie dobranych czstotliwociach i czasach trwania, a nastpnie cewka odbiorcza pochania, wyemitowane przez obiekt, echo (sygna relaksacji).. Model komputera kwantowego W medycynie uywa si jdrowego rezonansu magnetycznego do badania struktury wewntrznej obiektów (np. ywych tkanek). W informatyce natomiast prowadzi si badania nad moliwoci wykorzystania metod rezonansu magnetycznego do realizacji procesów obliczeniowych, a dokadniej do budowy komputera kwantowego. Komputer ten mógby skada si z magnesu, który posiada szczelin, gdzie umieszczona jest rurka z ciecz o znanym skadzie i strukturze. Atomy pynu z rurki znajdowayby si wic w staym polu magnetycznym. N S Przewody elektryczne Magnes Cewka Rys.. Schemat budowy komputera kwantowego, wykorzystujcego zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego Momenty protonów, w jdrach tych atomów, byyby traktowane jako elementarne jednostki obliczeniowe tzw. kubity, poniewa moment jest wielkoci wektorow i jego kierunek, wzgldem pola magnetycznego B, mona interpretowa jako logiczn warto zero lub jeden (kierunki, okrelajce przeciwne wartoci logiczne, powinny by ortogonalne). Tak par kwantowych bitów nazywa si baz obliczeniow, np. baz standardow nazywamy baz B={ >, >} w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta H, gdzie > i > reprezentuj kubity. Kwantowy stan momentu protonu moe zosta opisany za pomoc superpozycji elementów z bazy: > = > + > () gdzie liczby zespolone i nazywane s amplitudami stanu, a wektor > jest znormalizowany, czyli + =. Oznacza to, e kubit >H przyjmuje warto logiczn zero z prawdopodobiestwem oraz warto logiczn jeden z prawdopodobiestwem. Probabilistyczny charakter zjawisk kwantowych powoduje, e do ich opisu nie mona uy klasycznego bitu, który w danej chwili przyjmuje tylko jedn warto: zero lub jeden. Proces obliczeniowy, w ukadzie z rysunku, polegaby na wysyaniu do cieczy odpowiednio dobranych impulsów elektromagnetycznych, co spowoduje odchylanie si spinów moleku, a po skoczeniu eksperymentu, kada molekua wyemituje echo, które, odpowiednio zinterpretowane, bdzie rozwizaniem postawionego zadania. Niezalenie od tego, czy do budowy komputera kwantowego zostanie wykorzystany jdrowy rezonans magnetyczny czy te inna technologia, bdzie on musia spenia nastpujce warunki [5] : kubit musi by reprezentowany przez ukad o wyranie okrelonych dwóch stanach bazowych (logiczne zero i logiczna jedynka); musi istnie moliwo ustawienia dowolnego stanu pocztkowego komputera; kubity musz by trwae, czyli ukad powinien by odporny na dekoherencj (negatywny bo znieksztacajcy lub zupenie niszczcy wyniki oblicze wpyw pola magnetycznego obiektów znajdujcych si wewntrz lub na zewntrz ukadu obliczeniowego); kady kubit musi by adresowalny (jest to konieczne, aby zrealizowa bramki jednokubitowe); komputer kwantowy musi umoliwia przeprowadzanie operacji unitarnych poniewa s one odwracalne, a w tego rodzaju komputerze obliczenia s prowadzone w rejestrze, w którym pocztkowo znajduj si dane wejciowe, a póniej, na skutek przeprowadzanych oblicze,

3 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) rejestr zmienia swój stan i zawiera ju tylko rozwizanie zadnia, czyli dane pocztkowe s tracone (dziki operatorom unitarnym nie bezpowrotnie), a nie istnieje moliwo kopiowania wartoci kwantowych bitów; po przeprowadzeniu oblicze musi istnie moliwo odczytania wyników eksperymentu. Uniwersalny komputer kwantowy powinien umoliwia przetwarzanie informacji kwantowej zawartej w ukadach wielokubitowych, czyli tzw. rejestrach kwantowych. Formalnie komputer kwantowy jest ukadem n kubitów, na których mona przeprowadza odpowiednie operacje kwantowe reprezentowane bramkami kwantowymi, które mona zapisa w formie macierzy unitarnych (dziki temu moliwa jest odwracalno oblicze, a take gwarantowany jest poprawny stan kwantowy rejestru po obliczeniach: suma kwadratów amplitud wszystkich skadowych rejestru pozostanie równa jeden). Teoretyczne podstawy dziaania komputera kwantowego oparte s na nastpujcych zasadach [5] : kady pojedynczy kubit moe by przedstawiony za pomoc znanego stanu kwantowego >H ; kady kubit moe by zmierzony w bazie ortonormalnej { >, >}; kada uniwersalna bramka kwantowa o odpowiedniej liczbie wej, reprezentowana macierz unitarn, moe by uyta do przetworzenia dowolnego ustalonego podzbioru kubitów; kubity mog by przetwarzane jedynie za pomoc unitarnych bramek kwantowych. Z powyszych ogólnych zasad dziaania komputera kwantowego wynika, e jego modelem matematycznym jest model sieciowy, w którym cig kwantowych bramek logicznych przetwarza pewne podzbiory n-elementowego zbioru kubitów. Obliczenia kwantowe maj charakter probabilistyczny pomimo deterministycznego dziaania poszczególnych bramek kwantowych, kocowy pomiar otrzymujemy w formie rozkadu prawdopodobiestwa na pewnym zbiorze i z niego musimy odtworzy wynik oblicze. 3. Podstawowe bramki kwantowe N. Gershenfeld i I. Chuanga wykonali eksperyment [5], wykorzystujc jdrowy rezonans magnetyczny. Pole magnetyczne oddziaywao tu na ciecz, któr by chloroform (CHCl 3 ). Wodór i chlor s pierwiastkami, które posiadaj nieparzyst liczb protonów (neutronów) w jdrze, wgiel natomiast w stanie naturalnym ma liczb atomow równ, wic uyto izotopu wgla z dodatkowym neutronem. Atomy wgla i wodoru wystpuj w czsteczce obok siebie, wic reakcja jednego z tych pierwiastków jest uzaleniona od drugiego. Przy pocztkowym równolegym kierunku pola B i spinu wgla wprowadzano kolejno, przy rónych pooeniach spinu wodoru, impulsy zmiennego pola magnetycznego, oddziaujc na pooenie spinu wgla. Pierwszy impuls odchyli pooenie spinu wgla o 9 o, drugi impuls natomiast odchyla go o dalsze 9 o, a do pooenia równolegego lub antyrównolegego (w zalenoci od kierunku spinu wodoru) wzgldem kierunku pola magnetycznego. Przy równolegym pooeniu spinu wodoru i kierunku pola magnetycznego: spin wgla by odwracany o 8 o od jego pooenia wyjciowego. Przy antyrównolegym pooeniu spinu wodoru: spin wgla wraca do stanu pierwotnego (kierunek zgodny z polem B ) [3,5]. Zachowanie spinów wgla i wodoru mona zapisa za pomoc równa logicznych. Jeeli stan spinu wodoru oznaczymy przez x, stan spinu wgla przez y to przyjmiemy, e: x y dla spinu równolegego wzgldem pola dla spinu antyrównolegego wzgldem pola dla spinu równolegego wzgldem pola dla spinu antyrównolegego wzgldem pola Stan spinu wgla po dwóch kolejnych impulsach elektromagnetycznych mona zapisa jako sum modulo czynników y i x: y y x (3) Powysze równanie jest równaniem bramki logicznej XOR, oznaczanej równie jako CNOT. Bramka ta ma wasnoci rewersyjne gdy ustawimy po sobie dwie takie bramki i poddamy ich dziaaniu pewien sygna, to wyjciu drugiej bramki otrzymamy dokadnie to samo, co byo na wejciu bramki pierwszej. Jeeli porównamy bramk XOR zrealizowan w sposób kwantowy z bramk klasyczn, to moemy zauway, e w rozwizaniu klasycznym bramka musi by rozmieszczona w przestrzeni, a zmienne binarne s doprowadzane przez przewody. W rozwizaniu kwantowym natomiast operacje s rozmieszczone w czasie, a zmienne s przekazywane przez impulsy radiowe o odpowiednich czstotliwociach i czasach trwania. Dlatego te 7

4 J. Winiewska, Podstawy dziaania komputera kwantowego wykorzystujcego zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego program komputera kwantowego jest realizowany poprzez oddziaywanie na ukad czasowym cigiem impulsów zmiennego pola elektromagnetycznego. W klasycznej informatyce pojedynczy bit moe przyjmowa tylko dwie ustalone wartoci logiczne: lub. Natomiast elementarna jednostka kwantowa informacji kubit w ogólnym przypadku moe by traktowana jako element zespolonej przestrzeni Hilberta H. Dwa ortogonalne stany pojedynczego kubitu: > i > tworz, wczeniej wspomnian, ortogonaln baz standardow, gdzie stany > i > mona zapisa za pomoc wektorów kolumnowych w dwuwymiarowej przestrzeni H :, (4) operacjami rewersyjnymi, poniewa macierze unitarne s z definicji odwracalne []. Klasyczna algebra Boole a zna dwie operacje logiczne, które mona wykona na pojedynczym bicie: operacj identycznoci I oraz negacj. W ukadach kwantowych te operacje s reprezentowane nastpujcymi macierzami unitarnymi: U I U NOT (6) Dziaanie bramki NOT dla ortogonalnych wektorów bazowych > i >, nalecych do H, mona przedstawi nastpujco: > > oraz > >. Ogólnie bramka ta, dla dowolnego znormalizowanego stanu kwantowego >, opisanego równaniem, wykonuje operacj: Dowolny kubit >H moe by przedstawiony w postaci liniowej kombinacji wektorów bazowych, jak w równaniu. Wektory bazowe > i > reprezentuj odpowiednio warto logicznego zera i logicznej jedynki klasycznego bitu. Zatem pojedynczy kubit jest superpozycj tych dwóch wartoci logicznych. Podstawowe operacje wykonywane na kubicie nazywane s kwantowymi bramkami logicznymi. Bramki te s reprezentowane przez macierze unitarne o wymiarach x, bdce liniowymi bijekcjami w zespolonej przestrzeni Hilberta H. Macierze unitarne speniaj nastpujc podstawow równo: T U U (5) Ponadto macierze te reprezentuj w zespolonej przestrzeni Hilberta H obroty wokó pocztku ukadu wspórzdnych, które nie zmieniaj dugoci wektorów. Zatem naley zwróci uwag na ten bardzo istotny fakt, e dla pojedynczego kubitu istnieje, teoretycznie, nieskoczenie wiele rónych kwantowych bramek logicznych, odpowiadajcych poszczególnym macierzom unitarnym U, realizujcych zadan kwantow operacj matematyczn. W praktyce wystarczy jednak posugiwa si kilkoma odpowiednio wybranymi podstawowymi kwantowymi bramkami: kontrolowanej negacji (CNOT) oraz bramkami realizujcymi operacje zmiany fazy jednego kubitu (za pomoc tych bramek mona wykona dowolne przeksztacenie kwantowe). Operacje kwantowe, reprezentowane przez macierze unitarne, s (7) Do podstawowych operacji kwantowych, wykonywanych na jednym kubicie, naley take operacja realizowana przez tak zwan bramk Hadamarda. Kwantowa bramka Hadamarda jest reprezentowana nastpujc macierz unitarn: U H (8) Dziaanie bramki Hadamarda dla ortogonalnych wektorów bazowych >H i >H mona przedstawi nastpujco: H H (9) W przypadku ogólnym, czyli dla dowolnego znormalizowanego stanu kwantowego >, reprezentowanego wektorem o wspóczynnikach zespolonych i, mona przedstawi jako: () 7

5 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) Jeeli ukad kwantowy jest zoony z dwóch kubitów, to podstawowe operacje s reprezentowane 4x4-wymiarowymi macierzami unitanymi. W tym przypadku sporód wszystkich moliwych podstawowych operacji wykonywanych na parze kubitów, w przestrzeni H 4, szczególne znaczenie ma operacja, której dziaanie mona przedstawi nastpujco: U I U () gdzie U I jest operacj identycznociow, a U jest dowoln operacj na pojedynczym kubicie, reprezentowan unitarn macierz o rozmiarach x. Operacja ta nosi nazw sterowalnej bramki U, gdy operacja wykonywana na drugim kubicie zaley od tego, czy pierwszy kubit jest w stanie kwantowym >H, czy te w stanie >H. W szczególnym przypadku, gdy macierz U jest macierz odpowiadajc operacji negacji NOT, uzyskuje si bramk kwantow o nazwie sterowalna negacja CNOT (jedna z bramek niezbdnych do implementacji operacji kwantowych). Dziaanie tej bramki na podwójnym kubicie, dla czterech ortogonalnych wektorów bazowych: >H 4, >H 4, >H 4 i >H 4, mona przedstawi jako: () Generalizujc, dziaanie -kubitowej bramki CNOT dla dowolnego znormalizowanego stanu kwantowego: >= >+ >+ >+ > H 4 (3) gdzie wspóczynniki,, i s liczbami zespolonymi, mona zapisa: ' (4) Zatem macierz unitarna, odpowiadajca operacji CNOT jest postaci: U CNOT (5) Powysze operacje elementarne mona zdefiniowa dla dowolnego n-kubitowego ukadu poprzez odpowiednie powikszanie wymiarów macierzy unitarnych, reprezentujcych dziaanie bramek kwantowych. Jeeli ukad zawiera n kubitów, to macierze unitarne bd n x n -wymiarowe, poniewa musz zawiera tyle wierszy i kolumn, ile jest wzajemnie ortogonalnych stanów kwantowych w n -wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta. Kwantowa bramka logiczna o n wejciach jest elementem rewersyjnym, posiadajcym n wyj. Z tego wynika, e bramka kwantowa moe jednoczenie realizowa n funkcji logicznych, gdzie kada funkcja jest n-argumentowa. Podobnie jak w przypadku komputerów klasycznych równie dla komputera kwantowego mona zbudowa dowolny ukad obliczeniowy z bramek NAND. Dlatego te podstawow kwantow bramk logiczn dla ukadu, zawierajcego n kubitów, jest tzw. bramka Toffoliego [,5]. Bramka Toffoliego jest n x n -wymiarow macierz unitarn o postaci: U T (6) Bramka ta posiada n wej i n wyj. W przypadku, gdy n= bramka Toffoliego realizuje na drugim wyjciu klasyczn funkcj logiczn dwóch zmiennych: kontrolowan negacj CNOT (nazywan równie bramk XOR). Jeeli na n- tym wejciu pojawi si, to wówczas n-tym wyjciu pojawi si wynik funkcji NAND. Natomiast w przypadku, gdyby na n-tym wejciu pojawio si, to n-te wyjcie zrealizuje funkcj AND. Zatem n-wejciowa kwantowa bramka Toffoliego jest bramk uniwersaln, za pomoc której mona zrealizowa dowoln n- argumentow funkcj logiczn. Uogólnieniem bramki Toffoli ego jest kwantowa bramka oznaczona symbolem U D, 73

6 74 J. Winiewska, Podstawy dziaania komputera kwantowego wykorzystujcego zjawisko jdrowego rezonansu magnetycznego której dziaanie przedstawia n x n -wymiarowa macierz unitarna: U D u u u u (7) gdzie liczby zespolone u ij tworz x- wymiarow macierz unitarn, reprezentujc wybran logiczn bramk kwantow dla jednego kubitu. Mog to by nastpujce przykadowe macierze: i / 4 i / 4 e cos( /8) e sin( /8) F i / 4 i / 4 e sin( /8) e cos( /8) cos( /8) sin( /8) G (8) sin( /8) cos( /8) J i / 4 e Kada z przedstawionych macierzy unitarnych reprezentuje obrót o pewien ustalony kt wokó pocztku ukadu wspórzdnych w zespolonej przestrzeni Hilberta H. Dziaanie cigu kolejnych bramek kwantowych mona przedstawi w postaci iloczynu macierzy unitarnych, odpowiadajcych poszczególnym operacjom lub w postaci schematu pocze (czyli podobnie jak w klasycznej teorii automatów). 4. Zakoczenie Do chwili obecnej nauka nie posuna si do przodu na tyle, aby moliwe byo zbudowanie komputera kwantowego, który byby w stanie rozwizywa zadania o dowolnie duym rozmiarze danych wejciowych. Na bazie jdrowego rezonansu magnetycznego udao si na przykad zbudowa komputer kwantowy, który dokonuje faktoryzacji liczby 5 wedug algorytmu P. Shor a. Powodem takiego stanu rzeczy jest cigle jeszcze nie pena wiedza, dotyczca fizyki zjawisk kwantowych. Ogromnym problemem jest izolacja rodowiska obliczeniowego tak, aby wpyw czynników zewntrznych nie by w stanie zaburzy przebiegu eksperymentu. Z drugiej strony kompletna izolacja uniemoliwi odczytanie wyników oblicze, co jest oczywicie nie do przyjcia. Warto jednak rozwija t ga nauki, poniewa posiadanie poprawnie dziaajcego komputera kwantowego zapewni drastyczne obnienie zoonoci czasowej rozwiza wielu problemów, np. algorytm Grover a, który wyszukuje element w nieuporzdkowanym zbiorze n-elementowym, obnia liniowy rzd zoonoci do n [] ; a wspomniany algorytm faktoryzacji wielkich liczb Shor a [4] jest w stanie dokona oblicze w czasie wielomianowym, czyli rozkodowa wszystko, co zostao zaszyfrowane przy uyciu kluczy RSA. 5. Bibliografia [] K. Giaro, M. Kamiski, Wprowadzenie do algorytmów kwantowych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 3 [] M. Hirvensalo, Algorytmy kwantowe, WSiP, Warszawa, 4 [3] J.A. Jones, M. Mosca, Implementation of a Quantum Algorithm to Solve Deutsch s Problem on a Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computer, arxiv:quantph/987 v, 998 [4] P.W. Shor, Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, arxiv:quant-ph/9587 v, 996 [5] S. Wgrzyn, J. Klamka, S. Bugajski, M. Gibas, R. Winiarczyk, L. Znamirowski, J.A. Miszczak, S. Nowak, Nano i kwantowe systemy informatyki, Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice, 4