Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych"

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność Rozwiązanie Schemat oceniania zadań otwartych x + x 0. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x rozkładając go na czynniki liniowe x + x = x x. Stąd x = 0, x =. Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas = ( ) 0 =, =, + x = =, x = = 0 ( ) ( ) Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y = x + x, y 0 x _ z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x 0,. Odpowiedź: x 0,. Strona z 6

2 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x i na tym poprzestanie lub błędnie 8 8 zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 0, lub x 0, lub ( x 0 i x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x 0, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 0 x Zadanie. ( pkt), C =, są wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej Punkty A = ( ) i ( ) zawierającej przekątną BD tego kwadratu. Rozwiązanie Przekątne kwadratu są prostopadłe i połowią się, więc prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek S odcinka AC. Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy a AC = =, ( ) więc współczynnik kierunkowy prostej BD jest równy Strona z 6

3 abd = =. aac Środek S odcinka AC ma współrzędne xa + xc ya + yc S =, =, =,. Zatem prosta BD ma równanie postaci 7 5 y = ( x ( ) ) +, czyli y = x +. 5 Odpowiedź: Prosta BD ma równanie postaci y = x +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy współrzędne środka odcinka AC i współczynnik kierunkowy prostej AC: 7 S =,, a AC = obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC i współczynnik kierunkowy prostej BD: a AC =, a BD = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt 5 gdy wyznaczy równanie prostej BD: y = x +. Zadanie. (pkt) Kąty ostre α i β trójkąta prostokątnego spełniają warunek Wyznacz miarę kąta α. Rozwiązanie Ponieważ β = 90 α, więc sin β = sin ( 90 α ) = cosα. Zatem równość α + β + α = możemy zapisać w postaci sin sin tg sin α + cos α + tg α =. Stąd i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy + tg α =, tg α =, więc tgα =, gdyż α jest kątem ostrym. Stąd α = 60. Odpowiedź: Miara kąta α jest równa 60. α + β + α =. sin sin tg Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wartość kwadratu tangensa kąta α i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: tg α =. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy miarę kąta α : 60 α =. Strona z 6

4 Zadanie. (pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x + xy + y x + y. Dowód (I sposób) Nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + xy + y x y + 0, ( ) x y x y y Możemy potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x. Ponieważ współczynnik przy x jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie nierówności jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej y, czyli 0, Obliczmy wyróżnik trójmianu ( y ) ( y y ) + 0, y y y y , y y + y y + 0. ( ) ( ) y = = = 8. Ponieważ wyróżnik ten jest ujemny i współczynnik przy y jest ujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y. To kończy dowód. Dowód (II sposób) Nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + xy + y x y + 0. Mnożąc obie strony nierówności przez otrzymujemy x + xy + y x y Tę nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + x + xy + y + y x y + 8 0, x xy y x x y y , ( x y) ( x ) ( y ) Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy x + y x + y y + 0 i potraktuje tę zapisze nierówność w postaci równoważnej ( ) nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x, np. zapisze wyróżnik ( y ) ( y y ) = + zapisze nierówność w postaci równoważnej ( x y) ( x ) ( y ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona z 6

5 Zadanie 5. (pkt) Rozwiąż równanie x + x + x + 6 = 0. I sposób rozwiązania (grupowanie wyrazów) x x x 0 Stosujemy metodę grupowania ( ) ( ) skąd wynika, że ( x )( x ) Schemat oceniania = x ( x ) ( x ) + + = 0, a stąd otrzymujemy x = = 0, Zdający otrzymuje... pkt gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można doprowadzić do postaci iloczynowej, x x x 0 x x + + x + = 0 i na tym poprzestanie lub dalej = lub ( ) ( ) np.: ( ) ( ) popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwiązanie x =. II sposób rozwiązania (dzielenie) Oznaczmy W ( x) = x + x + x + 6. Sprawdzamy, że ( ) ( ) ( ) ( ) W = = 0, więc jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x =. Dzielimy wielomian przez dwumian x + i otrzymujemy x +. Zapisujemy więc równanie w postaci ( x ) ( x ) + + = 0. Ponieważ rzeczywistym rozwiązaniem równania jest x =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania x + > 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc jedynym Zdający otrzymuje... pkt gdy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x +, otrzyma iloraz x + i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwiązanie x =. Zadanie 6. (pkt) Na odcinku AB wybrano punkt C, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne ACD i CBE tak, że wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach C i P (zobacz rysunek). E D P A C B Udowodnij, że miara kąta APB jest równa 0. Strona 5 z 6

6 Dowód Poprowadźmy odcinek CP. E D P A C B Kąty ADC i APC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku AC, więc kąty te mają równe miary. Miara kąta ADC jest równa 60, gdyż jest to kąt trójkąta równobocznego, więc APC = 60. Tak samo kąty CEB i CPB to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku CB, więc mają równe miary. Miara kąta CEB jest równa 60, gdyż jest to kąt trójkąta równobocznego, więc CPB = 60. Zatem APB = APC + CPB = = 0, co należało udowodnić. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że kąty ADC i APC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku AC lub kąty CEB i CPB to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku CB i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. (pkt) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 5. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną. Rozwiązanie Ponieważ trójkąt jest prostokątny, więc jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. C h a A 5 S D B Zatem AB = 5, BC = a, AC = a +. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy Strona 6 z 6

7 Stąd mamy Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania AB AC BC = +, czyli ( 5) ( a ) 6 5 = a + 8a a, a + 8a 6 = 0, a + a = 0. = =, =, ( ) = + + a. + a = = 8 lub a = =. Pierwsze z rozwiązań odrzucamy (długość boku trójkąta nie może być ujemna), więc BC = oraz AC = + = 8. Ponieważ trójkąty ACD i ABC są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A, więc są podobne (cecha kąt-kąt-kąt podobieństwa trójkątów). Wynika stąd CD BC h =, czyli =. AC AB 8 5 Zatem h = = 5. Odpowiedź: Wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną jest równa Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze równanie (lub układ równań) pozwalające obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, np.: ( 5) ( a ) = + + a. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy długość jednej z przyprostokątnych trójkąta: BC =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie lub układ równań pozwalający obliczyć wysokość trójkąta h opuszczoną na przeciwprostokątną, np.: =. 8 5 Rozwiązanie pełne... pkt 8 5 Zdający obliczy wysokość trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną: h =. 5 Zadanie 8. ( pkt) W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez jest równa są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Strona 7 z 6

8 I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( x, y ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,,,,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 8 7 = 56. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Spośród liczb ze zbioru {,,,,5,6,7,8} resztę z dzielenia przez równą dają trzy liczby:,, 7. Zatem kule z tymi numerami są białe, a pozostałe kule są czarne. Mamy więc następujące kule:, ❷, ❸,, ❺, ❻, 7, ❽. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷),(,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❺,7), (❻,), (7,❷), (7,❸), (7,❺),(❽,), (❽,), 8 9 Zatem A = 8 i P ( A ) = = Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5 jest równe 9 8. Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzenia elementarnych w tabeli 8 na 8 oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A. ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ X ❷ X X ❸ X X X X X X X ❺ X X ❻ X 7 X X X ❽ X X Możemy również potraktować zdarzenie elementarne jak punkt w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i wyróżnić te punkty, które odpowiadają zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A. y ❽ 7 ❻ ❺ ❸ ❷ 0 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ x y ❽ 7 ❻ ❺ ❸ ❷ Strona 8 z 6 0 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ x

9 Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe A 8 9 P ( A ) = = =. Ω 56 8 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 8 7 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające dwa spośród trzech warunków: o kule są różnych kolorów o iloczyn numerów kul jest większy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie większy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zakładając błędnie, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: (,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷), (,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❻,), (7,❷), (7,❸), (❽,), (❽,), i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: Ω = 8 7, A = {(,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷), (,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❺,7), (❻,), (7,❷), (7,❸), (7,❺), (❽,), (❽,)} i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: Ω = 56, A = {(,❽),(❷,),(❷,7),(❸,),(❸,7),(,❷),(,❸),(,❺), (,❻), (,❽),(❺,),(❺,7),(❻,),(7,❷),(7,❸),(7,❺),(❽,),(❽,)}, A = 8. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) Strona 9 z 6 9 P A =. 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.

10 II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) x, y złożone z dwóch liczb naturalnych ze Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory { } zbioru {,,,,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba 8 7 wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = = 8. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Spośród liczb ze zbioru {,,,,5,6,7,8} resztę z dzielenia przez równą dają trzy liczby:,, 7. Zatem kule z tymi numerami są białe, a pozostałe kule są czarne. Mamy więc następujące kule:, ❷, ❸,, ❺, ❻, 7, ❽. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: {,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}, 9 Zatem A = 9 i P ( A ) =. 8 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5 jest równe 9 8. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający 8 7 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające dwa spośród trzech warunków: o kule są różnych kolorów o iloczyn numerów kul jest większy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie większy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zakładając błędnie, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: {,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽} i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia 8 7 elementarne sprzyjające zdarzeniu A: Ω =, A = {{,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}}, i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona 0 z 6

11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: Ω = 8, A = 9, A = {{,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}}. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 9 P A =. 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Narysujmy drzewo ilustrujące doświadczenie losowe jakim jest losowanie kolejno dwóch kul, przy czym kulę wylosowaną za pierwszym razem odkładamy i drugą kulę losujemy z pozostałych siedmiu kul. Wystarczy narysować tylko te gałęzie drzewa, które odpowiadają zdarzeniu A polegającemu na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Prawdopodobieństwo na każdym odcinku drzewa odpowiadającym losowaniu pierwszej kuli jest równe, a na każdym odcinku 8 odpowiadającym losowaniu drugiej kuli 7. 8 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ 7 ❽ 7 7 ❷ ❸ ❺ ❻ ❽ 7 ❷ ❸ ❺ Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe P ( A) = = 8 = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający narysuje drzewo i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona z 6

12 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Uwagi. Oceniamy rozwiązanie na 0 punktów, gdy w dalszej części rozwiązania zdający dodaje prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi zamiast mnożyć mnoży otrzymane iloczyny zamiast dodawać.. Jeżeli zdający opisał prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania.. Jeżeli zdający narysował drzewo składające się tylko z istotnych gałęzi i opisał prawdopodobieństwa na jego gałęziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania.. Jeżeli rozwiązujący popełni błąd rachunkowy lub nieuwagi i na tym zakończy, to otrzymuje punkty. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający narysuje drzewo składające się tylko z istotnych gałęzi lub wskaże na drzewie istotne gałęzie (np. pogrubi gałęzie lub zapisze prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach) i zapisze prawdopodobieństwo na co najmniej jednym odcinku każdego poziomu drzewa. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo omawianego zdarzenia: 9 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. Zadanie 9. (5pkt) Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 5 godzin i 0 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast 5 godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Rozwiązanie (I sposób) Niech V oznacza pojemność zbiornika w m, t czas, w godzinach, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury, i niech p, p oznacza ilość wody w m, jaką dostarcza odpowiednio pierwsza i druga rura w ciągu jednej godziny. Wtedy V = p t. Czas napełniania zbiornika tylko druga rurą jest równy t + 5,5 godziny, więc Strona z 6 ( ) V = p t + 5,5. Za pomocą obu rur napełnia się w ciągu 5 godzin, więc V = p + p. ( ) 5

13 Porównując prawe strony dwóch pierwszych równań mamy t + 5,5 p t = p ( t + 5,5), skąd p = p. t Stąd, z drugiego i z trzeciego równania otrzymujemy t + 5,5 p ( t + 5,5) = p + p 5, t p t t + 5,5 = p t + 5, 5 + t 5, ( ) ( ) t t t ( ) ( ) t + 5,5 = 0 + 8,5,,5 t 8,5 = 0. =,5 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5,,5 0, 5,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy, gdyż czas napełniania zbiornika nie może być ujemny. Odpowiedź: Pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu 7 godzin i 0 minut, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający przyjmie oznaczenia i zapisze równania wynikające z treści zadania, np.: V = p t, V = p ( t + 5,5), gdzie V oznacza pojemność zbiornika w m, p, p ilość wody w m, jaką dostarcza do zbiornika odpowiednio pierwsza i druga rura w ciągu jednej godziny. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układu równań pozwalający obliczyć czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą, np.: V = p t V = p ( t + 5,5). V = ( p + p ) 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający doprowadzi układ do równania z jedną niewiadomą, np.: t,5 t 8,5 = 0. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie t,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwiązania t = rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Zdający obliczy czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą: 7,5 godziny. Rozwiązanie (II sposób) Niech t oznacza czas, w godzinach, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury. Wtedy czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej Strona z 6

14 rury jest równy t + 5, 5 godziny. W ciągu jednej godziny z pierwszej rury wpływa t objętości zbiornika, a z drugiej t + 5,5 objętości zbiornika. Zatem w ciągu jednej godziny z obu rur jednocześnie wpływa + objętości zbiornika. Skoro zbiornik napełni się z obu rur t t + 5,5 w ciągu 5 godzin, więc w ciągu godziny napełnia się zbiornika. Otrzymujemy równanie 5 + =, t t + 5,5 5 ( ) ( ) ( t ) t t ( t ) 5 + 5,5 + 5 = + 5,5, t + + t = t + t, 5 8, 5 5 5,5 t,5t 8,5 = 0. =,5 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5,,5 0, 5,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy, gdyż czas napełniania zbiornika nie może być ujemny. Odpowiedź: Pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu 7 godzin i 0 minut, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z jednej z rur, np. z pierwszej, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej rury oraz ustali jaka część zbiornika jest napełniana w ciągu jednej godziny z pierwszej rury lub z drugiej rury, lub z obu rur jednocześnie, np.: t czas, w godzinach, w ciągu którego zbiornik zostanie napełniony tylko z pierwszej rury, część zbiornika napełniana w ciągu jednej godziny z pierwszej rury. t Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: + =. t t + 5,5 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający doprowadzi układ do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np.: t,5 t 8,5 = 0. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie t,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwiązania t = rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Zdający obliczy czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą: 7,5 godziny. Strona z 6

15 Zadanie 0. (5pkt) Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 5, a pole powierzchni ściany bocznej jest równe 550 m. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zaznaczmy też kąt α między ścianą boczną BCS ostrosłupa a płaszczyzną jego podstawy. S D h O h b α E C Pole ściany bocznej BCS jest równe 550, więc możemy zapisać równanie ph b = 550. Z trójkąta prostokątnego OES otrzymujemy p cosα =. hb Stąd p hb =. cosα Podstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy więc p p = 550, cosα p = 550 cosα, p = 8600 cos5, p = 0 86 cos5. Ponownie z trójkąta obliczamy prostokątnego OES otrzymujemy tgα = h p Objętość ostrosłupa jest zatem równa, skąd h = p tgα = p tg 5. = = 8600 cos cos5 sin5 V p h A p B cos5 000 = 86 cos5 sin5. Strona 5 z 6

16 Z tablic odczytujemy, że sin5 0,788 i cos5 0,657. Zatem ,657 0, ,, V m. Odpowiedź: Objętość Piramidy Cheopsa jest równa około 6,608 0 m. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie jednego z równań: p ph b = 550, cos5 =, gdzie p oznacza długość hb krawędzi podstawy ostrosłupa, zaś h b wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokość ostrosłupa: p ph b = 550 oraz cos5 =. hb Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa lub kwadratu tej długości: p = 0 86 cos 5 0,765, p = 8600 cos 5 507,. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Obliczenie wysokości ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalsze rozwiązanie błędne: h = p tgα = p tg 5 7, obliczenie objętości ostrosłupa z błędami rachunkowymi i konsekwentne zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą obliczenie objętości ostrosłupa i nie zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa i zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest 6 liczbą całkowitą:,608 0 m Uwagi. Jeżeli zdający wyrazi objętość w innych jednostkach niż m, to musi konsekwentnie podać 9 wynik końcowy, np.,608 0 dm.. Zdający może przyjąć dowolne przybliżenie liczby a z dokładnością do jednego lub więcej miejsc po przecinku. Strona 6 z 6

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 011 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz punktowania zadań zamkniętych Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 03 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron (zadania 30).. Arkusz zawiera 0 zadań zamkniętych i 0 zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZEŃ 0 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron.. W zadaniach od. do 0. są podane odpowiedzi: A, B, C, D,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: czerwca

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 sierpnia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2016 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1 31). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Miejsce na naklejkę ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM)

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) O SCHEMATACH OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH PRÓBNEJ MATURY Z MATEMATYKI przeprowadzonej 3 listopada 009 r. Projekt, w ramach

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut KOD UCZNIA MATEMATYKA 5 LUTY 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-33). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin..

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo