Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych"

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność Rozwiązanie Schemat oceniania zadań otwartych x + x 0. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x rozkładając go na czynniki liniowe x + x = x x. Stąd x = 0, x =. Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas = ( ) 0 =, =, + x = =, x = = 0 ( ) ( ) Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y = x + x, y 0 x _ z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x 0,. Odpowiedź: x 0,. Strona z 6

2 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x i na tym poprzestanie lub błędnie 8 8 zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 0, lub x 0, lub ( x 0 i x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x 0, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 0 x Zadanie. ( pkt), C =, są wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej Punkty A = ( ) i ( ) zawierającej przekątną BD tego kwadratu. Rozwiązanie Przekątne kwadratu są prostopadłe i połowią się, więc prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek S odcinka AC. Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy a AC = =, ( ) więc współczynnik kierunkowy prostej BD jest równy Strona z 6

3 abd = =. aac Środek S odcinka AC ma współrzędne xa + xc ya + yc S =, =, =,. Zatem prosta BD ma równanie postaci 7 5 y = ( x ( ) ) +, czyli y = x +. 5 Odpowiedź: Prosta BD ma równanie postaci y = x +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy współrzędne środka odcinka AC i współczynnik kierunkowy prostej AC: 7 S =,, a AC = obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC i współczynnik kierunkowy prostej BD: a AC =, a BD = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt 5 gdy wyznaczy równanie prostej BD: y = x +. Zadanie. (pkt) Kąty ostre α i β trójkąta prostokątnego spełniają warunek Wyznacz miarę kąta α. Rozwiązanie Ponieważ β = 90 α, więc sin β = sin ( 90 α ) = cosα. Zatem równość α + β + α = możemy zapisać w postaci sin sin tg sin α + cos α + tg α =. Stąd i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy + tg α =, tg α =, więc tgα =, gdyż α jest kątem ostrym. Stąd α = 60. Odpowiedź: Miara kąta α jest równa 60. α + β + α =. sin sin tg Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wartość kwadratu tangensa kąta α i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: tg α =. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy miarę kąta α : 60 α =. Strona z 6

4 Zadanie. (pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x + xy + y x + y. Dowód (I sposób) Nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + xy + y x y + 0, ( ) x y x y y Możemy potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x. Ponieważ współczynnik przy x jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie nierówności jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej y, czyli 0, Obliczmy wyróżnik trójmianu ( y ) ( y y ) + 0, y y y y , y y + y y + 0. ( ) ( ) y = = = 8. Ponieważ wyróżnik ten jest ujemny i współczynnik przy y jest ujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y. To kończy dowód. Dowód (II sposób) Nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + xy + y x y + 0. Mnożąc obie strony nierówności przez otrzymujemy x + xy + y x y Tę nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej x + x + xy + y + y x y + 8 0, x xy y x x y y , ( x y) ( x ) ( y ) Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy x + y x + y y + 0 i potraktuje tę zapisze nierówność w postaci równoważnej ( ) nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x, np. zapisze wyróżnik ( y ) ( y y ) = + zapisze nierówność w postaci równoważnej ( x y) ( x ) ( y ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona z 6

5 Zadanie 5. (pkt) Rozwiąż równanie x + x + x + 6 = 0. I sposób rozwiązania (grupowanie wyrazów) x x x 0 Stosujemy metodę grupowania ( ) ( ) skąd wynika, że ( x )( x ) Schemat oceniania = x ( x ) ( x ) + + = 0, a stąd otrzymujemy x = = 0, Zdający otrzymuje... pkt gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można doprowadzić do postaci iloczynowej, x x x 0 x x + + x + = 0 i na tym poprzestanie lub dalej = lub ( ) ( ) np.: ( ) ( ) popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwiązanie x =. II sposób rozwiązania (dzielenie) Oznaczmy W ( x) = x + x + x + 6. Sprawdzamy, że ( ) ( ) ( ) ( ) W = = 0, więc jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x =. Dzielimy wielomian przez dwumian x + i otrzymujemy x +. Zapisujemy więc równanie w postaci ( x ) ( x ) + + = 0. Ponieważ rzeczywistym rozwiązaniem równania jest x =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania x + > 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc jedynym Zdający otrzymuje... pkt gdy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x +, otrzyma iloraz x + i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwiązanie x =. Zadanie 6. (pkt) Na odcinku AB wybrano punkt C, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne ACD i CBE tak, że wierzchołki D i E leżą po tej samej stronie prostej AB. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach C i P (zobacz rysunek). E D P A C B Udowodnij, że miara kąta APB jest równa 0. Strona 5 z 6

6 Dowód Poprowadźmy odcinek CP. E D P A C B Kąty ADC i APC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku AC, więc kąty te mają równe miary. Miara kąta ADC jest równa 60, gdyż jest to kąt trójkąta równobocznego, więc APC = 60. Tak samo kąty CEB i CPB to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku CB, więc mają równe miary. Miara kąta CEB jest równa 60, gdyż jest to kąt trójkąta równobocznego, więc CPB = 60. Zatem APB = APC + CPB = = 0, co należało udowodnić. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że kąty ADC i APC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku AC lub kąty CEB i CPB to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku CB i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. (pkt) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 5. Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną. Rozwiązanie Ponieważ trójkąt jest prostokątny, więc jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. C h a A 5 S D B Zatem AB = 5, BC = a, AC = a +. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy Strona 6 z 6

7 Stąd mamy Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania AB AC BC = +, czyli ( 5) ( a ) 6 5 = a + 8a a, a + 8a 6 = 0, a + a = 0. = =, =, ( ) = + + a. + a = = 8 lub a = =. Pierwsze z rozwiązań odrzucamy (długość boku trójkąta nie może być ujemna), więc BC = oraz AC = + = 8. Ponieważ trójkąty ACD i ABC są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A, więc są podobne (cecha kąt-kąt-kąt podobieństwa trójkątów). Wynika stąd CD BC h =, czyli =. AC AB 8 5 Zatem h = = 5. Odpowiedź: Wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną jest równa Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze równanie (lub układ równań) pozwalające obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, np.: ( 5) ( a ) = + + a. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy długość jednej z przyprostokątnych trójkąta: BC =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie lub układ równań pozwalający obliczyć wysokość trójkąta h opuszczoną na przeciwprostokątną, np.: =. 8 5 Rozwiązanie pełne... pkt 8 5 Zdający obliczy wysokość trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną: h =. 5 Zadanie 8. ( pkt) W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez jest równa są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Strona 7 z 6

8 I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( x, y ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,,,,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 8 7 = 56. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Spośród liczb ze zbioru {,,,,5,6,7,8} resztę z dzielenia przez równą dają trzy liczby:,, 7. Zatem kule z tymi numerami są białe, a pozostałe kule są czarne. Mamy więc następujące kule:, ❷, ❸,, ❺, ❻, 7, ❽. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷),(,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❺,7), (❻,), (7,❷), (7,❸), (7,❺),(❽,), (❽,), 8 9 Zatem A = 8 i P ( A ) = = Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5 jest równe 9 8. Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzenia elementarnych w tabeli 8 na 8 oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A. ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ X ❷ X X ❸ X X X X X X X ❺ X X ❻ X 7 X X X ❽ X X Możemy również potraktować zdarzenie elementarne jak punkt w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i wyróżnić te punkty, które odpowiadają zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A. y ❽ 7 ❻ ❺ ❸ ❷ 0 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ x y ❽ 7 ❻ ❺ ❸ ❷ Strona 8 z 6 0 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ x

9 Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe A 8 9 P ( A ) = = =. Ω 56 8 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 8 7 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające dwa spośród trzech warunków: o kule są różnych kolorów o iloczyn numerów kul jest większy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie większy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zakładając błędnie, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: (,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷), (,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❻,), (7,❷), (7,❸), (❽,), (❽,), i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: Ω = 8 7, A = {(,❽), (❷,), (❷,7), (❸,), (❸,7), (,❷), (,❸), (,❺), (,❻), (,❽), (❺,), (❺,7), (❻,), (7,❷), (7,❸), (7,❺), (❽,), (❽,)} i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: Ω = 56, A = {(,❽),(❷,),(❷,7),(❸,),(❸,7),(,❷),(,❸),(,❺), (,❻), (,❽),(❺,),(❺,7),(❻,),(7,❷),(7,❸),(7,❺),(❽,),(❽,)}, A = 8. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) Strona 9 z 6 9 P A =. 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.

10 II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) x, y złożone z dwóch liczb naturalnych ze Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory { } zbioru {,,,,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba 8 7 wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = = 8. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Spośród liczb ze zbioru {,,,,5,6,7,8} resztę z dzielenia przez równą dają trzy liczby:,, 7. Zatem kule z tymi numerami są białe, a pozostałe kule są czarne. Mamy więc następujące kule:, ❷, ❸,, ❺, ❻, 7, ❽. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: {,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}, 9 Zatem A = 9 i P ( A ) =. 8 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5 jest równe 9 8. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający 8 7 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające dwa spośród trzech warunków: o kule są różnych kolorów o iloczyn numerów kul jest większy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie większy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zakładając błędnie, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: {,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽} i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia 8 7 elementarne sprzyjające zdarzeniu A: Ω =, A = {{,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}}, i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona 0 z 6

11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: Ω = 8, A = 9, A = {{,❽}, {❷,}, {❷,7}, {❸,}, {❸,7}, {,❺}, {,❻}, {,❽}, {❺,7}}. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 9 P A =. 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Narysujmy drzewo ilustrujące doświadczenie losowe jakim jest losowanie kolejno dwóch kul, przy czym kulę wylosowaną za pierwszym razem odkładamy i drugą kulę losujemy z pozostałych siedmiu kul. Wystarczy narysować tylko te gałęzie drzewa, które odpowiadają zdarzeniu A polegającemu na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 5. Prawdopodobieństwo na każdym odcinku drzewa odpowiadającym losowaniu pierwszej kuli jest równe, a na każdym odcinku 8 odpowiadającym losowaniu drugiej kuli 7. 8 ❷ ❸ ❺ ❻ 7 ❽ 7 ❽ 7 7 ❷ ❸ ❺ ❻ ❽ 7 ❷ ❸ ❺ Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe P ( A) = = 8 = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający narysuje drzewo i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona z 6

12 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Uwagi. Oceniamy rozwiązanie na 0 punktów, gdy w dalszej części rozwiązania zdający dodaje prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi zamiast mnożyć mnoży otrzymane iloczyny zamiast dodawać.. Jeżeli zdający opisał prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania.. Jeżeli zdający narysował drzewo składające się tylko z istotnych gałęzi i opisał prawdopodobieństwa na jego gałęziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania.. Jeżeli rozwiązujący popełni błąd rachunkowy lub nieuwagi i na tym zakończy, to otrzymuje punkty. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający narysuje drzewo składające się tylko z istotnych gałęzi lub wskaże na drzewie istotne gałęzie (np. pogrubi gałęzie lub zapisze prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach) i zapisze prawdopodobieństwo na co najmniej jednym odcinku każdego poziomu drzewa. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo omawianego zdarzenia: 9 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie założy, że iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający przyjmie błędnie, że wszystkie liczby ze zbioru {,,,,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez dają resztę to i 7 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. Zadanie 9. (5pkt) Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 5 godzin i 0 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast 5 godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Rozwiązanie (I sposób) Niech V oznacza pojemność zbiornika w m, t czas, w godzinach, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury, i niech p, p oznacza ilość wody w m, jaką dostarcza odpowiednio pierwsza i druga rura w ciągu jednej godziny. Wtedy V = p t. Czas napełniania zbiornika tylko druga rurą jest równy t + 5,5 godziny, więc Strona z 6 ( ) V = p t + 5,5. Za pomocą obu rur napełnia się w ciągu 5 godzin, więc V = p + p. ( ) 5

13 Porównując prawe strony dwóch pierwszych równań mamy t + 5,5 p t = p ( t + 5,5), skąd p = p. t Stąd, z drugiego i z trzeciego równania otrzymujemy t + 5,5 p ( t + 5,5) = p + p 5, t p t t + 5,5 = p t + 5, 5 + t 5, ( ) ( ) t t t ( ) ( ) t + 5,5 = 0 + 8,5,,5 t 8,5 = 0. =,5 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5,,5 0, 5,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy, gdyż czas napełniania zbiornika nie może być ujemny. Odpowiedź: Pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu 7 godzin i 0 minut, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający przyjmie oznaczenia i zapisze równania wynikające z treści zadania, np.: V = p t, V = p ( t + 5,5), gdzie V oznacza pojemność zbiornika w m, p, p ilość wody w m, jaką dostarcza do zbiornika odpowiednio pierwsza i druga rura w ciągu jednej godziny. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układu równań pozwalający obliczyć czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą, np.: V = p t V = p ( t + 5,5). V = ( p + p ) 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający doprowadzi układ do równania z jedną niewiadomą, np.: t,5 t 8,5 = 0. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie t,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwiązania t = rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Zdający obliczy czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą: 7,5 godziny. Rozwiązanie (II sposób) Niech t oznacza czas, w godzinach, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury. Wtedy czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej Strona z 6

14 rury jest równy t + 5, 5 godziny. W ciągu jednej godziny z pierwszej rury wpływa t objętości zbiornika, a z drugiej t + 5,5 objętości zbiornika. Zatem w ciągu jednej godziny z obu rur jednocześnie wpływa + objętości zbiornika. Skoro zbiornik napełni się z obu rur t t + 5,5 w ciągu 5 godzin, więc w ciągu godziny napełnia się zbiornika. Otrzymujemy równanie 5 + =, t t + 5,5 5 ( ) ( ) ( t ) t t ( t ) 5 + 5,5 + 5 = + 5,5, t + + t = t + t, 5 8, 5 5 5,5 t,5t 8,5 = 0. =,5 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5,,5 0, 5,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy, gdyż czas napełniania zbiornika nie może być ujemny. Odpowiedź: Pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu 7 godzin i 0 minut, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z jednej z rur, np. z pierwszej, następnie zapisze w zależności od wprowadzonej zmiennej czas, w ciągu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej rury oraz ustali jaka część zbiornika jest napełniana w ciągu jednej godziny z pierwszej rury lub z drugiej rury, lub z obu rur jednocześnie, np.: t czas, w godzinach, w ciągu którego zbiornik zostanie napełniony tylko z pierwszej rury, część zbiornika napełniana w ciągu jednej godziny z pierwszej rury. t Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: + =. t t + 5,5 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający doprowadzi układ do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np.: t,5 t 8,5 = 0. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie t,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwiązania t = rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Zdający obliczy czas, w ciągu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą: 7,5 godziny. Strona z 6

15 Zadanie 0. (5pkt) Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 5, a pole powierzchni ściany bocznej jest równe 550 m. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zaznaczmy też kąt α między ścianą boczną BCS ostrosłupa a płaszczyzną jego podstawy. S D h O h b α E C Pole ściany bocznej BCS jest równe 550, więc możemy zapisać równanie ph b = 550. Z trójkąta prostokątnego OES otrzymujemy p cosα =. hb Stąd p hb =. cosα Podstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy więc p p = 550, cosα p = 550 cosα, p = 8600 cos5, p = 0 86 cos5. Ponownie z trójkąta obliczamy prostokątnego OES otrzymujemy tgα = h p Objętość ostrosłupa jest zatem równa, skąd h = p tgα = p tg 5. = = 8600 cos cos5 sin5 V p h A p B cos5 000 = 86 cos5 sin5. Strona 5 z 6

16 Z tablic odczytujemy, że sin5 0,788 i cos5 0,657. Zatem ,657 0, ,, V m. Odpowiedź: Objętość Piramidy Cheopsa jest równa około 6,608 0 m. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie jednego z równań: p ph b = 550, cos5 =, gdzie p oznacza długość hb krawędzi podstawy ostrosłupa, zaś h b wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokość ostrosłupa: p ph b = 550 oraz cos5 =. hb Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa lub kwadratu tej długości: p = 0 86 cos 5 0,765, p = 8600 cos 5 507,. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Obliczenie wysokości ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalsze rozwiązanie błędne: h = p tgα = p tg 5 7, obliczenie objętości ostrosłupa z błędami rachunkowymi i konsekwentne zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą obliczenie objętości ostrosłupa i nie zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie bezbłędne...5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa i zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest 6 liczbą całkowitą:,608 0 m Uwagi. Jeżeli zdający wyrazi objętość w innych jednostkach niż m, to musi konsekwentnie podać 9 wynik końcowy, np.,608 0 dm.. Zdający może przyjąć dowolne przybliżenie liczby a z dokładnością do jednego lub więcej miejsc po przecinku. Strona 6 z 6

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami 8 Liczba 9 jest równa A. B. C. D. 9 5 C Przykładowe zadania z matematyki na oziomie odstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Liczba log jest równa A. log + log 0 B. log 6 + log C. log 6 log D. log

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI STYCZEŃ ROK 2009 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL We współpracy z: PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

XXXVII KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI

XXXVII KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI XXXVII KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1- poziom podstawowy październik 007r. 1. Pan Kowalski wpłacił pewną sumę na lokatę oprocentowaną w wysokości 8% w skali roku, przy czym odsetki

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1 - poziom podstawowy

PRACA KONTROLNA nr 1 - poziom podstawowy XLIII KORESPONDENCYJNY KURS wrzesień 2013 r. Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 - poziom podstawowy 1. Wzrost kursu Euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny nowego modelu Volvo o 5%. Ponieważ

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Kryteria oceniania z zakresu klasy trzeciej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM KLASA I Na ocenę dopuszczającą: DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I.

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów Klasa I Treści nauczania I. Liczby 1. Liczby rzeczywiste, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej, zamiana

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń:

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń: 1. Funkcja liniowa Tematyka: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

jest liczba (-1). a) Oblicz współczynnik a. b) Wyznacz pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu. 8. Oblicz długość boku rombu. 15

jest liczba (-1). a) Oblicz współczynnik a. b) Wyznacz pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu. 8. Oblicz długość boku rombu. 15 ZESTAW I Zad 1 (3 pkt) a) Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby (-1) jest niewiększa niż 4 b) Liczba

Bardziej szczegółowo

Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum

Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum 3 Przykładowe sprawdziany Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum... imię i nazwisko ucznia...... data klasa Test Liczba x jest wynikiem dodawania liczb + +. Jaki warunek spełnia liczba x? 3 5

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM Na stopień dostateczny uczeń powinien umieć: Arytmetyka - zamieniać procent/promil na liczbę i odwrotnie, - zamieniać procent na promil i odwrotnie, - obliczać

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Ocena Celujący (obejmuje wymagania na ocenę bardzo dobrą) Ocena śródroczna DZIAŁ I - LICZBY I DZIAŁANIA - umie znajdować liczby spełniające określone nietypowe

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) Aby otrzymać ocenę dopuszczającą uczeń:

KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) Aby otrzymać ocenę dopuszczającą uczeń: KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki; zna PSO; posiada zeszyt, książkę oraz potrzebne przyrządy;

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ

WYMAGANIA PROGRAMOWE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ WYMAGANIA PROGRAMOWE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na stopień dopuszczający, nie potrafi rozwiązać zadania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie I gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie I gimnazjum LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie I gimnazjum Dział Poziom wymagań koniecznych (na ocenę dopuszczającą) Poziom wymagań podstawowych (na ocenę dostateczną) Poziom wymagań rozszerzających

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2012/2013

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2012/2013 EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2012/2013 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY UNKTOWANIA GM-M1-132 KWIECIEŃ 2013 Liczba punktów za zadania zamknięte i otwarte: 29

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

XXXVI KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI

XXXVI KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI XXXVI KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 - poziom podstawowy październik 2006r. 1. Różnica pewnej liczby trzycyfrowej i liczby otrzymanej za pomocą tych samych cyfr zapisanych w odwrotnej

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą Klasa LO Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą ZBIÓR I PODZBIOR DZIAŁANIA NA ZBIORACH I W ZBIORACH Przykładowe zadania: potrafi określić rodzaj liczby (N, C, W, NW, R) ) Ze zbioru

Bardziej szczegółowo