Wykład 2. . = n x k y k
|
|
- Jarosław Jakubowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 2 Matematyka 2, semestr letni 2/2 Kontynuujemy przygotowanie do studiowania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennychwiedząjużpaństwo,żepochodnafunkcjif: R n Rwpunkciex R n jestodwzorowaniemliniowymdziałającymnawektorachzaczepionychwx owartościachwrjesttoobiekt nieco innego rodzaju niż wyjściowa funkcja Podobnie rzecz się ma z drugą pochodną Okazuje się, że druga pochodna funkcji wielu zmiennych jest formą dwuliniową na tej samej przestrzeni wektorowej, na której działa pochodna Zanim zatem na dobre zajmiemy się różniczkowaniem funkcji wielu zmiennych, powinniśmy dowiedzieć się kilku rzeczy o formach dwuliniowych Podobnie jak w rachunku różniczkowym funkcji jednej zmiennej, badanie drugiej pochodnej(a czasami i wyższych) jest potrzebne na przykład do określania rodzaju punktów ekstremalnych Definicja Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem R Formą dwuliniową na przestrzeni V nazywamy odwzorowanie Q:V V R którejestliniowezewzględunakażdyzeswoichargumentów,tzndlawszystkichv,v 2,v V orazλ,λ 2 Rspełniawarunki Q(λ v +λ 2 v 2,v)=λ Q(v,v)+λ 2 Q(v 2,v) Q(v,λ v +λ 2 v 2 )=λ Q(v,v )+λ 2 Q(v,v 2 ) Mówimy,żeformajestsymetryczna,jeśliponadtodlawszystkichv,v 2 V a antysymetryczna, jeśli Q(v,v 2 )=Q(v 2,v ), Q(v,v 2 )= Q(v 2,v ) Przykład Formą dwuliniową jest iloczyn skalarny( ), o którym mówili państwo w poprzednimsemestrzeniektóreprzestrzeniewektorowe,naprzykład R n,wyposażonesąwkanoniczny iloczyn skalarny Jeśli v= x x 2 x n, w= y y 2 y n to (v w)=[x x 2 x n ] y y 2 y n = n x k y k k= Przykład 2 W ruchu obrotowym bryły sztywnej związek między prędkością kątową a energią kinetyczną bryły wyraża się wzorem E= 2 I (p, n)ω 2, gdzieeoznaczaenergię,ωwartośćprędkościkątowej,ai (p, n) takzwanymomentbezwładności względemosiowektorzekierunkowym n przechodzącejprzezpunktpmomentbezwładności związany jest z rozkładem masy wewnątrz bryły, zależy również od położenia osi obrotu względem bryły Należy obliczać go oddzielnie dla każdej osi obrotu Okazuje się jednak, że informację o momentach bezwładności danej bryły względem osi o dowolnym kierunku, przechodzącej przez ustalony punkt przestrzeni p przedstawić można w postaci formie dwuliniowej symetrycznejnazywanejtensorembezwładnościzamiastwielkościi (p, n) ω 2 dowzorunaenergię
2 2 wstawićnależyi p ( ω, ω),gdzietymrazemi p oznaczaodpowiedniąformędwuliniowąprzykład konkretnej formy dla konkretnej bryły sztywnej pojawi się w dalszej części wykładu, kiedy poznamy już sposoby zapisywania form dwuliniowych MacierzformydwuliniowejWybierzmybazęe=(e,e 2,,e n )wprzestrzeniwektorowej V Zauważmy, że z warunku dwuliniowości wynika, że forma Q jest jednoznacznie określona przez swoje wartości na bazie Istotnie, jeśli to v=λ e +λ 2 e 2 + +λ n e n, w=µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n Q(v,w)=Q(λ e +λ 2 e 2 + +λ n e n,µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n )= λ Q(e,µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n )+λ 2 Q(e 2,µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n )+ + +λ n Q(e n,µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n )= n λ i Q(e i,µ e +µ 2 e 2 + +µ n e n )= i= n λ i( µ Q(e i,e )+µ 2 Q(e i,e 2 )+ µ n Q(e i,e n ) ) n n = λ i µ k Q(e i,e k ) i= i=k= Widzimywięc,żeżebywyznaczyćwartośćQ(v,w)trzebaznaćwspółrzędnewektorówviww bazieorazwartościqnawektorachbazowych:q(e i,e k )FormaQchrakteryzowanajestwięc przezn 2 liczbjeśliwartościq(e i,e k )oznaczymyq ik możemynapisać: n n Q(v,w)= λ i µ k Q ik i=k= LiczbyQ ik wygodniejestustawićwmacierzn n: Q Q 2 Q n Q 2 Q 22 Q 2n [Q] e = Q n Q n2 Q nn Jeśli forma jest symetryczna, jej macierz jest symetryczna względem głównej przekątnej, tzn Q ik =Q ki,jeślijestantysymetryczna,towyrazynagłównejprzekątnejmusząbyćrównezero oraz macierz jest być antysymetryczna ze względu na główną przekątną Zwróćmyuwagęnato,że elementmacierzowy Q ik maobawskaźnikinadole,anie,jak było w przypadku macierzy odwzorowania liniowego, jeden wskaźnik na górze a drugi na dole Różnica ta odzwierciedla różnicę między obiektami geometrycznymi reprezentowanymi przez macierz Mimo, że macierz odwzorowania i macierz formy wyglądają jednakowo, to jednak działają inaczej i mają różne własności Wzór n n Q(v,w)= λ i µ k Q ik i=k=
3 w zapisie macierzowym wyglądałby tak: Q Q 2 Q n () Q(v,w)= [ λ λ 2 λ n] Q 2 Q 22 Q 2n Q n Q n2 Q nn µ µ 2 µ n =([v]e ) T [Q] e [w] e Przykład3Macierzkanonicznegoiloczynuskalarnegona R n względembazystandardowej jest macierzą jednostkową Przykład Rozważamy bryłę sztywną B składającą się z ośmiu jednakowych mas m umieszczonychwwierzchołkachsześcianurozpiętegonawektorachbazystandardowejwr 3 3 m Wyrazy macierzowe momentu bezwładności wyznaczamy zgodnie ze wzorem: 8 I ii = m [ 8 (x α )2 +(x 3 α )2 +(x 3 α )2 (x i α )2], I ij = mx i α xj α dlai j, α= gdzie α numeruje wierzchołki sześcianu Łatwo sprawdzić, że I=m Korzystajączmacierzy[I] e obliczyćmożemymomentbezwładnościwobrociewzględemdowolnej osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych Na przykład względem osi, której wektorem kierunkowym jest n= 3, I n =m 3 [] =m 3 [] =m Przykład 5 Macierz momentu bezwładności jednorodnego czworościanu B o masie M rozpiętego na wektorach bazy standardowej względem początku układu współrzędnych jest postaci [I] e = M α=
4 Elementy macierzowe I wyznaczamy zgodnie ze wzorem I ik = ρ(x,x 2,x 3 ) ( (x ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2 )δ ik x i x k) dx dx 2 dx 3, B gdzie ρ jest gęstością bryły Tego rodzaju całki obliczać będziemy w drugiej części semestru Korzystajączmacierzy[I] e obliczyćmożemymomentbezwładnościwobrociewzględemdowolnej osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych Na przykład względem osi, której wektorem kierunkowym jest n= 3, I n = 3 M [] Do rozwiązania mamy teraz następujące zadanie: = M 3 [] = M 3 2=2M 5 Zadanie Niech Q będzie formą dwuliniową na przestrzeni wektorowej V Znając macierz formy[q] e wbazieeimacierzeprzejścia[id] f e,[id] e fmiędzybazamieifznaleźćmacierz formy[q] f wbazief Rozwiązanie: Startujemy ze wzoru() Q(v,w)=([v] e ) T [Q] e [w] e Wiemy w jaki sposób dokonuje się zmiany reprezentacji wektora w bazie za pomocą macierzy przejścia: [v] e =[id] e f[v] f, [w] e =[id] e f[w] f Musimy też pamiętać, że transpozycja zamienia kolejność mnożenia macierzy, to znaczy Wstawiamy zgodnie z kolorem: ([v] e ) T =([id] e f[v] f ) T =([v] f ) T ([id] e f) T Q(v,w)=([v] e ) T [Q] e [w] e =([v] f ) T ([id] e f) T [Q] e [id] e f[w] f W ostatnim wzorze warto wyróżnić następujący fragment: iporównaćtoz Wniosek: Q(v,w)=([v] f ) T ([id] e f) T [Q] e [id] e f[w] f Q(v,w)=([v] f ) T [Q] f [w] f (2) [Q] f =([id] e f) T [Q] e [id] e f Wzór(2) warto porównać z odpowiednim wzorem dla macierzy odwzorowań liniowych Niech F będzie odwzorowaniem z przestrzeni V do przestrzeni V Wtedy do zapisania odwzorowania w postaci macierzy wystarczy jedna baza, której możemy użyć dwa razy: w dziedzinie i w obrazie, otrzymującmacierz[f] e eprzejścieodmacierzy[f] e edomacierzy[f] f fodbywasięwedług wzoru (3) [F] f f=[id] f e[f] e e[id] e f Zwróćmy uwagę na różnicę: [Q] f =([id] e f) T [Q] e [id] e f [F] f f=[id] f e[f] e e[id] e f
5 Z prawej strony starą macierz mnożymy przez tę samą macierz przejścia w obu przypadkach, ale z lewej jest macierz transponowana dla formy i odwrotna dla macierzy odwzorowania O tej różnicy trzeba pamiętać! Przykład6Naprzestrzeni R 2 [ ]wielomianówstopnianiewiększegoniż2rozważmyteraz formę dwuliniową daną wzorem () Q(v,w)=6 v (t)w(t)dt Użyjemy bazy standardowej do zapisania macierzy tej formy: Wyznaczamy wyrazy macierzowe: na przykład Podobnie: Q(e 3,e 2 )=6 e (t)=, e 2 (t)=t, e 3 (t)=t 2 e 3 (t)e 2(t)=6 (2t)(t)dt=6 Q(e,e )=, Q(e,e 2 )=3, Q(e,e 3 )=2, Q(e 2,e )=6, Q(e 2,e 2 )=2, Q(e 2,e 3 )=2, Q(e 3,e )=6, Q(e 3,e 2 )=, Q(e 3,e 3 )=3 Macierz tej formy ma więc postać 3 2 (5) [Q] e = Używając współrzędnych(c, b, a) związanych z bazą e, tzn takich, że możemy zapisać (6) Q(v,w)=[c v b v a v ] v(t)=at 2 +bt+c=ae 3 (t)+be 2 (t)+ce (t), [v] e = c w b w a w =[c v b v a v ] [ ] 2 2t 2 dt=6 3 t3 = c b a 3b w +2a w 6c w +2b w +2a w 6c w +b w +3a w, = 3c v b w +2c v a w +6b v c w +2b v b w +2b v a w +6a v c w +a v b w +3a v a w Powyższe wzory(),(5),(6) przedstawiają trzy sposoby opisania tej samej formy dwuliniowej: przy pomocy abstrakcyjnego wzoru(), przy pomocy macierzy w wybranej bazie(5), przy pomocy wzoru z użyciem współrzędnych(6) O ogólnych formach dwuliniowych to wszystko Dalej będziemy zajmować się tylko formami dwuliniowymi symetrycznymi, ponieważ takie właśnie formy pojawiają się w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych jako drugie pochodne funkcji Formy dwuliniowe symetryczne i formy kwadratowe W przykładach(2),() widzieliśmy, że formy dwuliniowej używamy często wstawiając ten sam wektor w oba miejsca przeznaczone na argument Odwzorowanie, które wówczas dostajemy: (7) V v q(v)=q(v,v) 5
6 6 nazywane jest formą kwadratową Nazwa bierze się stąd, że jeśli wektor pomnożymy przez stałą λ,wartośćformypomnożysięprzezλ 2 : q(λv)=q(λv,λv)=λ 2 Q(v,v)=λ 2 q(v) Forma kwadratowa związana z iloczynem skalarnym to kwadrat długości wektora: (v v)= v 2 Forma dwuliniowa symetryczna definiuje formę kwadratową wzorem(7) Okazuje się, że jeśli znamy jedynie formę kwadratową, możemy odtworzyć formę dwuliniową od której pochodzi Istotnie, obliczmy q(v+w)=q(v+w,v+w)=q(v,v)+q(v,w)+q(w,v)+q(w,w)= Q(v,v)+2Q(v,w)+Q(w,w)=q(v)+q(w)+2Q(v,w) Możemy zatem wyznaczyć Q(v, w) używając jedynie formy kwadratowej q: (8) Q(v,w)= 2 (q(v+w) q(v) q(w)) Wzór(8) nosi nazwę formuły polaryzacyjnej Formy kwadratowe i formy dwuliniowe symetryczne są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości Macierzą formy kwadratowej nazywamy macierz formy dwuliniowej od której forma pochodzi Przyjrzyjmy się jak wygląda forma kwadratowa zapisana we współrzędnych Jeśli forma symetryczna Q i wektor v w bazie e mają postać Q Q 2 Q n λ Q 2 Q 22 Q 2n [Q] e =, λ 2 [v]e =, Q n Q n2 Q nn λ n to we współrzędnych Q Q 2 Q n λ q(v)=[λ λ 2 λ n Q 2 Q 22 Q 2n λ 2 ] = Q n Q n2 Q nn λ n n n λ i λ j Q ij = ii (λ i=q i ) 2 + 2Q ij λ i λ j i<j Wostatniejrównościwykorzystaliśmysymetrięmacierzy[Q] e,cospowodowałopojawieniesię czynników 2 Przykład 7 Forma kwadratowa odpowiadająca tensorowi bezwładności z przykładu() we współrzędnych(x,x 2,x 3 )związanychzbaząkanonicznąmapostać: x ı(x,x 2,x 3 )=m[x x 2 x 2 ] x 2 = x 3 i,j= m ( 8(x ) 2 +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x x 2 x 2 x 3 x x 3)
7 Diagonalizacja Niech Q będzie formą dwuliniową symetryczną na przestrzeni V Mówimy, żebazaediagonalizujeformęqjeślimacierz[q] e jestmacierządiagonalną Twierdzenie (Lagrange) Każda forma dwuliniowa symetryczna ma bazę diagonalizującą Szkic dowodu: Dowód twierdzenia() jest konstruktywny, to znaczy polega na skonstruowaniu przykładowej bazy diagonalizującej W tym kontekście wygodniej jest pracować z formą kwadratową zamiast z formą dwuliniową Zacznijmy od konkretnego przykładu- rozważmy formęızprzykładu(7)(dlawygodyprzyjmijmym=): ı(x,x 2,x 3 )=8(x ) 2 +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x x 2 x 2 x 3 x x 3 Spróbujemy doprowadzić formę ı do takiej postaci, aby we wzorze występowały tylko wyrazy kwadratowe, bez mieszanych: ı(x,x 2,x 3 )=8(x ) 2 +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x x 2 x 2 x 3 x x 3 = 8(x ) 2 x (x 2 +x 3 )+8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x 2 x 3 = [ 8 (x ) 2 ] 2 x (x 2 +x 3 ) +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x 2 x 3 Wyrażenie w nawiasie kwadatowym traktujemy jak początek rozwinięcia pełnego kwadratu: 8 [(x x2 x3 ) 2 ] 6 (x2 +x 3 ) 2 +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x 2 x 3 = 8(x x2 x3 ) 2 2 (x2 +x 3 ) 2 +8(x 2 ) 2 +8(x 3 ) 2 x 2 x 3 = 8(x x2 x3 ) 2 + ( (x 2 +x 3 ) 2 +6(x 2 ) 2 +6(x 3 ) 2 8x 2 x 3) 2 Zauważmy,żeczęśćzaznaczonanaczerwononiezawierawogólewspółrzędnejx Pouporządkowaniu możemy poddać ją takiej samej operacji sprowadzania do pełnych kwadratów Dla ułatwienia rachunków zajmiemy się na razie tylko częścią czerwoną: (x 2 +x 3 ) 2 +6(x 2 ) 2 +6(x 3 ) 2 8x 2 x 3 = (x 2 ) 2 2x 2 x 3 (x 3 ) 2 +6(x 2 ) 2 +6(x 3 ) 2 8x 2 x 3 = 5(x 2 ) 2 +5(x 3 ) 2 x 2 x 3 =5 [(x 2 ) 2 2 ] 3 x2 x 3 +5(x 3 ) 2 = 5 [(x x3 ) 2 ] 9 (x3 ) 2 +5(x 3 ) 2 = 5(x 2 3 x3 ) (x3 ) 2 +5(x 3 ) 2 =5(x 2 3 x3 ) 2 3 (x3 ) 2 Otrzymany wynik wstawiamy do wyrażenia na ı: ı(x,x 2,x 3 )=8(x x2 x3 ) (x2 3 x3 ) (x3 ) 2 Nowe współrzędne oznaczamy literą α: α =x x2 x3, 7 (9) α 2 =x 2 3 x3, α 3 =x 3
8 8 Jakiej bazie odpowiadają te współrzędne? Na razie jeszcze nie wiemy Jeśli jednak tę nieznaną bazęoznaczymyliterąf,towiemy,że 8 [I] f = Jak znaleźć wektory bazowe mając odpowiadające im współrzędne? Potrzebna nam będzie zależność odwrotna do(9): x =α + α2 + 3 α3, () x 2 =α α3, x 3 =α 3 Wektorv,którywbazieezapisujesięjako v=x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 można teraz łatwo zapisać w nowej bazie, której odpowiadają współrzędne α: v=x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 = (α + α2 + ) 3 α3 e + (α 2 + ) 3 α3 e 2 +α 3 e 3 = Wektory bazy f to wektory f =e α e +α 2 ( e +e 2 ) +α 3 ( 3 e 3 e 2+e 3 ) () f 2 = e +e 2, f 3 = 3 e 3 e 2+e 3 Znaleźliśmy jakąś bazę diagonalizującą dla formy I(oraz ı) Oczywiście taka baza nie jest jedyna Nie będziemy podawać ogólnego przepisu na diagonalizację metodą Lagranża Z przeprowadzonych dopiero co rachunków na konkretnym przykładzie wynika także algorytm dla dowolnej formy Pewien problem mogą nam sprawić tylko formy w których nie ma żadnych wyrazów kwadratowych- nie ma więc od czego zacząć algorytmu W takim przypadku należy wybraćwyrazmieszanyx i x j ipodstawić x i =α+β, x j =α β, wtedy x i x j =(α+β)(α β)=α 2 β 2 i już mamy potrzebne wyrażenia kwadratowe Wspomnieliśmy już, że baza diagonalizująca nie jest wyznaczona jednoznacznie Współczynniki, które pojawiają się na diagonali macierzy formy też mogą być bardzo różne(zależą oczywiście od bazy) Okazuje się jednak, że jest coś co od wyboru bazy diagonalizującej nie zależy Mówi o tym następujące twierdzenie
9 Twierdzenie2(Sylvesteraobezwładnościform)Jeśli(α,,α n )i(β,β n )sąukładami współrzędnych odpowiadających dwum bazom diagonalizującym formę kwadratową q i jeśli n n q(α,,α n )= a i (α i ) 2, q(β,,β n )= b i (β i ) 2 k= to w zbiorach A={a,α 2,a n }, B={b,b 2,b n } jest tyle samo współczynników dodatnich, tyle samo ujemnych i tyle samo zerowych Dowód:Zauważmynapoczątku,żewartośćbezwzględnąwspółczynnikówa i można wciągnąć do definicji współrzędnych(i oczywiście tym samym bazy diagonalizującej) Możemy więczałożyć,żezbioryaibskładająsięzplusiminusjedynekwspółrzędnemożnateż uporządkować tak, aby pierwsze były te ze współczynnikami +, dalej a następnie te, które mająwspółczynnikzerojeśliwspółrzędnewukładzieαwektoravoznaczymyα i (v),podobnie ze współrzędnymi β, to forma kwadratowa q we współrzędnych odpowiadających obu bazom ma postać: p α r α p q(v)= (α i (v)) 2 β r β (α pα+i (v)) 2 = (β i (v)) 2 (β pβ+i (v)) 2 i= i= Naszymzadaniemjestpokazać,żep α =p β ir α =r β Jasnejest,żep α +r α =p β +r β Jeśli jądrem q nazwiemy podprzestrzeń zdefiniowaną warunkiem i= k= i= kerq=kerq={v V: w VQ(v,w)=}, to p α +r α =p β +r β =n dimkerq Załóżmyteraz,żep β <p α,tzn Warunki p β p α < = n+p β p α <n (2) β i (v)= dla i=,,p β, α j (v)= dla j=p α +,,n zapisane w jednym z układów współrzędnych(α lub β) przyjmą postać układu równań liniowych, który składa się z mniej niż n równań Ma więc niezerowe rozwiązanie(układ równań liniowych, jednorodny, liczba równań mniejsza od wymiaru przestrzeni) Oznaczmy to rozwiązaniev Wartośćformynawektorzev wukładziewspółrzędnychαto: (3) q(v) = p α i= (α i (v )) 2 r α i= (α pα+i (v )) 2 = p α i= (α i (v )) 2 Awartośćformynawektorzev wukładziewspółrzędnychαto: p β r β r β () q(v) = (β i (v)) 2 (β pβ+i (v)) 2 = (β pβ+i (v)) 2 i= Zewzorów(3)i()wynika,że i= (5) q(v )=, Równanie(5) w połączeniu z(3) oznacza, że p α i= (α i (v )) 2 = czyli α i (v )= dla i=p α i= 9
10 Pamiętamyjednak(układrównań(5)),żetakżedlapozostałychindeksówα i (v )=Wygląda więcnato,żewszystkiewspółrzędnewektorav wukładzieαsąrównezerotojednakoznacza, żev =DoprowadziliśmydosprzecznościOkazujesię,żeniemożebyćp β <p α Ponieważ żadenzukładówwspółrzędnychniejestwyróżniony,niemożebyćtakżep β >p α Pozostaje zatemp β =p α,atojużgwarantuje,żer β =r α JeśliliczbęwspółczynnikówdodatnichwzbiorzeAoznaczymypaujemnychr,toparę(p,q) nazywamysygnaturąformyq(lubq)aliczbęr=p+qrzędemformyznajdowaniesygnatury formy jest ważną umiejętnością potrzebną przy badaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych Istnieje jeszcze jedna metoda znajdowania sygnatury, nie wymagająca diagonalizowania formy Najpierw jednak trzeba przyzwoicie nauczyć się co to jest wyznacznik!
Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Matematyczne metody fizyki 1 Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT-1-103-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Techniczna Specjalność: - Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Bardziej szczegółowo