Zastosowanie metody dekompozycji falkowej do analiz korelacyjnych zmian pola ciężkości Ziemi

Transkrypt

1 Zastosowanie metody dekompozycji falkowej do analiz korelacyjnych zmian pola ciężkości Ziemi JANUSZ BOGUSZ 1), ANNA KŁOS 1), WIESŁAW KOSEK 2),3) 1) Wojskowa Akademia Techniczna, Centrum Geomatyki Stosowanej, Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2, 2) Centrum Badań Kosmicznych Polskiej Akademii Nauk, Warszawa, ul. Bartycka 18A 3) Uniwersytet Rolniczy, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Kraków, Al. Mickiewicza 24/28 Streszczenie Niniejsza publikacja prezentuje wyniki opracowania obserwacji ze stacji należących do projektu GGP (The Global Geodynamics Project) za pomocą dekompozycji falkowej. GGP jest międzynarodowym programem, w ramach którego rejestruje się, na stacjach rozmieszczonych na całym świecie, zmiany ziemskiego pola ciężkości z wysoką dokładnością, przy użyciu grawimetrów nadprzewodnikowych. W omawianych badaniach użyto danych z interwałem 5-cio sekundowym. Transformacja falkowa daje możliwość badania zmian amplitudy oscylacji w czasie lub dekompozycji szeregów czasowych i analizowania żądanych częstotliwości. Dekompozycję falkową wykonano przy użyciu regularnej, ortogonalnej, symetrycznej falki Meyer a. Obserwacje wykorzystane do wykonania badań objęły okres trzęsień Ziemi zarejestrowanych na różnych stacjach oraz czas, kiedy grawimetry pracowały bez zakłóceń, tak zwany okres ciszy. Po wykonaniu dekompozycji przeprowadzono szybką transformację Fouriera dla detali sygnału, a następnie analizy korelacyjne pomiędzy odpowiadającymi sobie detalami (okresy od 10 aż do sekund) dla wszystkich kombinacji sensorów, osobno dla okresu ciszy i trzęsienia Ziemi. Detale wyznaczające zmiany długookresowe dla wszystkich kombinacji, jak i kombinacje pomiędzy dwoma sensorami na tej samej stacji dla okresu ciszy cechują się wysokimi współczynnikami korelacji Podczas trzęsienia Ziemi stacja Wettzell wykazała się silną korelacją we wszystkich detalach, natomiast stacja Bad Homburg nieoczekiwanym spadkiem korelacji w większości detali Słowa kluczowe: geodynamika, dekompozycja falkowa, zmiany pola ciężkości Ziemi 1

2 1. Wprowadzenie Grawimetria jest nauką zajmującą się pomiarami przyspieszenia ziemskiego, tj. natężenia pola siły ciężkości. W zakres grawimetrii wchodzą pomiary zmian pola ciężkości Ziemi w czasie. Na wartości przyspieszenia ziemskiego w miejscu obserwacji wpływają m.in. budowa wnętrza Ziemi czy pływy. Zmiany ziemskiego pola ciężkości rejestruje się np. w ramach projektu GGP (The Global Geodynamics Project) łączącego i udostępniającego obserwacje z licznych stacji na całej kuli ziemskiej. W ramach powyższego programu, rejestruje się zmiany pola ciężkości z interwałami jedno-, dwu-, pięciosekundowym oraz jednominutowym, a powyższe obserwacje udostępniane są bezpłatnie. W okresach pracy grawimetrów, poza dniami bez zakłóceń, kiedy to możemy wykryć, po odrzuceniu szumów systemów pomiarowych, rzeczywiste zmiany pola ciężkości Ziemi, pojawiają się także liczne anomalie spowodowane m.in. trzęsieniami Ziemi, czyli drganiami skorupy ziemskiej spowodowanymi rozchodzeniem się w niej fal sejsmicznych. Powyższe anormalne zachowania analizuje się, aby zobaczyć, w jaki sposób wpływają one na pracę grawimetru. 2. Obserwacje W ramach wykonanych badań wykorzystano obserwacje pochodzące ze stacji programu GGP. GGP jest międzynarodowym projektem grawimetrycznym, w ramach którego na stacjach rozmieszczonych na całym świecie, przy użyciu grawimetrów nadprzewodnikowych, rejestruje się zmiany ziemskiego pola ciężkości. Obserwacje powyższe są szeroko wykorzystywane, począwszy od wyznaczania okresu oscylacji Chandlera, aż do badania efektów grawitacyjnych wynikających ze zmian ciśnienia atmosferycznego, czy poziomu wód gruntowych. W omawianych badaniach wykorzystano dane 5-cio sekundowe ze stacji Wettzell oraz Bad Homburg (rys. 1). Na powyższych stacjach zmiany ziemskiego pola ciężkości rejestrowane są przez dwusensorowe grawimetry nadprzewodnikowe, z sensorem górnym oraz dolnym. Pobrane dane pochodziły z dwóch okresów: kiedy grawimetry działały bez zakłóceń, tak zwany okres ciszy, oraz z okresu trzęsienia Ziemi Sumatra-Andaman. 2

3 Rys. 1. Rozmieszczenie stacji. Pierwszy typ danych (bez zakłóceń) obejmował okres pomiędzy 13 a 20 grudnia 2004 roku. Drugi natomiast, zawierający okres trzęsień, rozpoczął się 20, a zakończył 27 grudnia tego samego roku (rys. 2-3). Trzęsienie Sumatra-Andaman z magnitudą 9.1 (NEIC), miało miejsce o godzinie 00:58:53 UTC, 26 grudnia 2004 roku, epicentrum: N, E. Wydarzenie to poprzedziło inne trzęsienie zarejestrowane na północy wyspy Macquaire (godzina 14:59:03 UTC, współrzędne epicentrum: S, E, magnituda 8.1(NEIC)). Wyspa Macquaire Sumatra-Andaman Wyspa Macquaire Sumatra-Andaman Rys. 2. Szeregi czasowe dla stacji Bad Homburg (po lewo z okresu ciszy, po prawo, z trzęsienia Sumatra-Andaman, od góry sensor górny i dolny). 3

4 Wyspa Macquaire Sumatra-Andaman Wyspa Macquaire Sumatra-Andaman Rys. 3. Szeregi czasowe dla stacji Wettzell (po lewo z okresu ciszy, po prawo, z trzęsienia Sumatra-Andaman, od góry sensor górny i dolny). 3. Dekompozycja falkowa Transformacja falkowa (Wavelet Transform) znajduje szerokie zastosowanie w analizach czasowo-częstotliwościowych sygnałów, ponadto, może być wykorzystywana jako filtr środkowo-przepustowy. Ten drugi przypadek nazywamy dekompozycją falkową. Metoda dekompozycji falkowej polega na rozłożeniu sygnału na szereg funkcji o malejących częstotliwościach w taki sposób, że każdy z poziomów dekompozycji zawiera wysokoczęstotliwościowy detal oraz aproksymację powstającą po odjęciu od sygnału wysokoczęstotliwościowych detali (rys. 4). Rys. 4. Dzielenie sygnału na poszczególne poziomy dekompozycji [1]. 4

5 Ważną cechą metody dekompozycji falkowej jest fakt, że suma wszystkich detali z poszczególnych poziomów dekompozycji i ostatecznej aproksymacji, w zależności od rodzaju zastosowanej falki daje sygnał wejściowy. Ilość poziomów dekompozycji wybieramy w zależności od tego, jak niską częstotliwość sygnału chcemy uzyskać. Dekompozycję falkową wykonujemy przy użyciu dyskretnej transformacji falkowej (Discrete Wavelet Transform DWT). Składowe częstotliwościowe sygnału uzyskane w procesie dekompozycji szeregu x(t) przy użyciu dyskretnej transformacji falkowej są liczone poprzez zastosowanie odwrotnej dyskretnej transformacji falkowej szeregów D j,k oraz współczynników transformacji falkowej S j,k i zapisane za pomocą wzoru [2]: x j (, 1 t) = DWT [ D j, ks j k ], dla t = 0,1,..., N 1 (1) gdzie: N=2 p (N liczba danych, p ilość składowych częstotliwościowych); j=-p,-p+1,,-1 to indeks skali; k=0,1,,2 j N-1 to indeks przesunięcia. Szeregi D j,k są liczone przy użyciu wyrażenia: 1, j = j0 j, =, (2) 0, j j0 D k natomiast współczynniki transformacji falkowej, wykorzystując równania: N 1 N 1 1 S0,0 = x( t), S j, k = x( t) w j, k ( t), (3) n t= 0 t= 0 gdzie w j,k (t) jest dyskretną funkcją falkową, taką, że jej transformacja Fouriera jest równa: W j, k ( υ) = 2 j 2 e i 2π 2 N j υ k h j 2 υ N N, υ = 2 h jest transformatą Fouriera funkcji falkowej Meyer a: N + 1, 2 N + 2,, (4) 2 h iπz ( z) = g( z) e (5) Proces rekonstrukcji sygnału odbywa się przy pomocy wyrażenia: 1 x ( t) = x( t) (6) j= p j 5

6 4. Opracowanie obserwacji Grawimetryczne szeregi czasowe poddano dekompozycji przy użyciu symetrycznej, ortogonalnej falki Meyer a. Wybór ten został zdeterminowany przez fakt, iż ta falka daje możliwość rekonstrukcji sygnału wejściowego poprzez sumowanie poszczególnych detali oraz ostatecznej aproksymacji [2]. Dowiedziono zgodność oryginalnego sygnału z jego rekonstrukcją na poziomie 10-4 nm/s 2, czyli o trzy rzędy lepszą od dokładności samego grawimetru (10-1 nm/s 2 ). W wyniku poddania szeregów czasowych procesowi dekompozycji, dla każdego z szeregu otrzymano wykresy, na których każdy z detali reprezentował składową sygnału o innej częstotliwości wyższy numer detalu odpowiadał coraz mniejszej częstotliwości (rys. 5-6). Ilość poziomów dekompozycji jest uzależniona od długości szeregu czasowego. Na każdym z rysunków dekompozycji s to sygnał wejściowy, a 12 to ostateczna aproksymacja, natomiast d 1 -d 12 to poszczególne składowe wysokoczęstotliwościowe sygnału (tab. 1). Oscylacje na początkach i końcach szeregów detali są wywołane sztucznie poprzez objęcie przez okno wagowe transformacji falkowej tylko części sygnału. Tabela 1. Przedziały częstotliwości odpowiadające poszczególnym poziomom dekompozycji. Numer detalu Przedział częstotliwości (przeliczony na okres w sekundach) 1 <10;28> 2 <20;56> 3 <32;112> 4 <64;224> 5 <128;448> 6 <256;896> 7 <512;1792> 8 <1024;3584> 9 <2048;7168> 10 <4096;14336> 11 <8192;28672> 12 <16384;57076> 6

7 Rys. 5. Dekompozycja falkowa dla szeregów czasowych ze stacji Bad Homburg. Po lewo okres ciszy, po prawo trzęsienie Sumatra-Andaman, od góry sensor górny oraz dolny. Rys. 6. Dekompozycja falkowa dla szeregów czasowych ze stacji Wettzell. Po lewo okres ciszy, po prawo trzęsienie Sumatra-Andaman, od góry sensor górny oraz dolny. 7

8 Całość analiz wykonano w oprogramowaniu Matlab (licencja nr #350334, Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa). Warszawa 5. Szybka transformacja Fouriera Szybka transformacja Fouriera (Fast ( Fourier Transform FFT)) to transformacja całkowa z dziedziny czasu do dziedziny dziedzin częstotliwości, rozkładająca ca dany szereg czasowy na sumę sum funkcji okresowych, w taki sposób, że ich splot daje funkcję pierwotną [3]:: g( f ) = + g (t ) e 2π i t f dt (7) gdzie i to jednostka urojona, t to czas w sekundach, natomiast f to częstotliwość cz w hertzach. W wyniku zastosowania szybkiej transformacji Fouriera, otrzymujemy informację informacj o mocy oscylacji w funkcji okresu. Dla każdego dego z opisanych wcześniej wcze detali wykonano szybkąą transformację transformacj Fouriera. W wyniku tego przekształcenia wykryto oscylacje w zakresach częstotliwoś częstotliwości określonych przez poszczególne poziomy dekompozycji falkowej. Rysunek 7 przedstawia przykładowe transformaty detali dla stacji Bad Homburg, sensor dolny, okres trzęsienia ęsienia Sumatra-Andaman. Sumatra Rys. 7.. Transformaty detali dla stacji Bad Homburg, sensor dolny, okres trzęsienia trz (od góry detal 3, 2, 1). 8

9 Rys. 8.. Transformaty detali dla stacji Bad Homburg, sensor dolny, okres trzęsienia trz (od góry detal 12, 11, 10). Rys. 9.. Transformaty detali (od góry) dla stacji Bad Homburg, okres trzęsienia, trz po lewo sensor dolny, po prawo sensor górny. 9

10 Rysunek 8 przedstawia przykładowe przebiegi transformat detali dla stacji Bad Homburg, dolny sensor, okres trzęsienia. Są to trzy najwyższe poziomy omawianej dekompozycji, na transformatach detali zauważono efekty długookresowe. Rysunek 9 przedstawia porównanie transformat detali od 1 do 3 dla stacji Bad Homburg pomiędzy sensorem dolnym (po lewo) oraz górnym (po prawo). Z porównania rysunków transformat widać, że osiągane wartości amplitud dla odpowiadających sobie detali kształtują się na podobnym poziomie. Taką samą zależność zauważono dla okresu ciszy. 6. Korelacje wzajemne Pomiędzy odpowiadającymi sobie detalami dla wszystkich kombinacji sensorów, osobno dla okresu ciszy i trzęsienia Ziemi obliczono korelacje wzajemne według wzoru: r XY cov( X, Y ) = = σ σ X Y 1 n 1 n i= 1 ( x i n 1 n i= 1 ( x x) 2 i x) ( y n i= 1 i y) ( y i n 1 y) gdzie cov(x,y) to kowariancja, czyli współczynnik zależności liniowej, pomiędzy szeregami X i Y, natomiast σ X oraz σ Y to odchylenia standardowe szeregów odpowiednio X i Y. Rysunek 10 przedstawia korelacje wzajemne pomiędzy odpowiadającymi sobie detalami dla kombinacji sensorów z różnych stacji po lewo dla okresu ciszy, po prawo dla trzęsienia Sumatra-Andaman. Wysokimi współczynnikami korelacji cechują się, w obu omawianych okresach, detale od 10 do 12, czyli wyznaczające zmiany długookresowe. Może to świadczyć o tym, że grawimetry reagują podobnie na zmiany długookresowe, a trzęsienie Ziemi nie wpływa znacząco na ich wskazania niskoczęstotliwościowe. Wysokimi współczynnikami korelacji cechują się także detale 3 oraz 4 dla okresu ciszy. Nieoczekiwany spadek korelacji występuje dla detali 1-2 oraz 5-9 w okresie ciszy. Detale 1-8 z okresu trzęsienia cechują się słabą korelacją wzajemną reakcje poszczególnych grawimetrów podczas trzęsień Ziemi są zupełnie różne, w zależności od częstotliwości i amplitudy docierających do stacji fal sejsmicznych. 2 (8) 10

11 Rys. 10. Korelacje wzajemne pomiędzy kombinacjami sensorów. 11

12 Rysunek 11 przedstawia korelacje wzajemne pomiędzy odpowiadającymi sobie detalami dla sensorów z tej samej stacji po lewo dla okresu ciszy, po prawo dla trzęsienia Sumatra- Andaman (od góry stacja Wettzell, na dole Bad Homburg). Rys. 11. Korelacje wzajemne dla sensorów z tej samej stacji, opracowanie własne. Korelacje wzajemne pomiędzy dwoma sensorami na tej samej stacji dla okresu ciszy cechują się wysokimi współczynnikami oba sensory rejestrują te same zmiany pola ciężkości Ziemi. Nieoczekiwany spadek korelacji dla okresu ciszy, zarówno dla stacji Bad Homburg, jak i Wettzell wystąpił w detalu 6 (przedział częstotliwości od 0,00112 do 0,00391 Hz). Podczas trzęsienia Ziemi stacja Wettzell osiąga wysokie współczynniki korelacji we wszystkich detalach, natomiast na stacji Bad Homburg zauważono nieoczekiwany spadek korelacji w większości detali. 12

13 7. Podsumowanie i wnioski 1) Metoda dekompozycji falkowej, zaprezentowana w omawianych badaniach, pozwala na uzyskanie informacji na temat reakcji grawimetrów w zależności od częstotliwości i amplitudy zakłóceń oraz na porównanie dwóch sensorów rejestrujących zmiany pola ciężkości Ziemi niezależnie na każdej stacji. 2) Wartości zmian długookresowych kształtują się na podobnym poziomie zarówno podczas trzęsień, jak i w dniach ciszy. 3) Dekompozycja falkowa może być uznana za dobrą metodę interpolacji danych z okresu trzęsień Ziemi (rys. 12). Rys. 12. Szereg czasowy ze stacji Wettzell oraz jego ostateczna aproksymacja. 4) Aproksymacja sygnału na najwyższym poziomie dekompozycji po usunięciu efektów pływowych może być dobrą reprezentacją dryftu instrumentu. LITERATURA [1] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G., Poggi J.-M., Wavelet toolbox. The MathWorks Inc., [2] Popiński W. Wavelet Transform for Time-Frequency Representation and Filtration of Discrete Signals, Applicationes Mathematicae, Vol. 23, Nr. 4, Wydawnictwo Instytutu Matematycznego PAN, Warszawa-Wrocław 1996, pp [3] Zieliński T. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań, Warszawa 2005, 2007, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności. 13

14 Wavelet decomposition in Earth s gravity field investigation Janusz Bogusz 1), Anna Kłos 1), Wiesław Kosek 2),3) 1) Centre of Applied Geomatics, Military University of Technology, Warsaw, Poland 2) Space Research Centre, Polish Academy of Sciences 3) Environmental Engineering and Land Surveying, University of Krakow This publication presents the results of using wavelet decomposition on data from sites belonging to GGP (The Global Geodynamics Project). GGP is an international program that records the Earth's gravity field with high accuracy at a number of worldwide stations using superconducting gravimeters. In the presented research the data with 5-second sampling rate is utilized. The wavelet transform gives us a great range of possibilities to detect such a changes due to either detecting how the amplitude of oscillations changes in time or by the decomposition of time series and detecting the determined frequencies. The wavelet decomposition was performed with the use of the Meyer wavelet. The Meyer wavelet is the regular, orthogonal, symmetric wavelet. The data, taken to project s realization, come from the period of the earthquake and from the time when gravimeters worked without any disturbances, registered on the different site s localization. After performing the decompostion, the Fast Fourier Transform for signal s details and the correlation analysis between corresponding details (periods from 10 up to almost seconds) were made. Details defining long term changes for all sensors combinations, as well as combinations between two sensors on the same sites for quiet days are characterized by high correlation coefficients. At the time of earthquake Wettzell site proved the strong correlation in all of discussed details, while Bad Homburg showed unexpected decrease in correlation in all of details. KEYWORDS: geodynamics, wavelet decomposition, Earth s gravity field changes 14